RESENHA DO ARTIGO TEORIA DE PORTFÓLIO: COMPOSIÇÃO ÓTIMA DE UMA CARTEIRA DE INVESTIMENTO.

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1 RESENHA DO ARTIGO TEORIA DE PORTFÓLIO: COMPOSIÇÃO ÓTIMA DE UMA CARTEIRA DE INVESTIMENTO. RESUMO Natalia de Cassia Moreira Graduanda em Engenharia de Produção Faculdade de Ciências Sociais Aplicadas de Extrema Setembro de 2013 O Objetivo do artigo é mostrar técnicas de aplicação da Teoria do Portfólio de Harry Markowitz para grandes números de ativos. Nesse, é utilizada a programação linear e a linguagem GAMS para maximizar retornos de investimentos. INTRODUÇÃO A aplicação da Teoria do Portfólio de Harry Markowitz será realizada em três partes. A primeira será uma revisão da Teoria do Portfólio, a segunda será a escolha dos ativos utilizando-se a programação linear e a terceira será a aplicação dos testes do modelo e a apresentação dos resultados. 1.0 A TEORIA DO PORTFÓLIO A Teoria do Portfólio de Harry Markowitz tem o objetivo de maximizar o retorno de investimento de acordo com os pré-requisitos do investidor e perante os riscos envolvidos. Segundo MARKOWITZ (1952), o processo de escolha de um portfólio divide-se em duas partes: primeiro, começa com observação e experiência do administrador de fundos e termina com crenças sobre a avaliação do desempenho futuro; segundo, parte das crenças relevantes sobre o desempenho futuro e termina com a escolha do portfólio. O retorno de um Portfólio é dado por: Rp =wl RI +w2 R wgrg; Na qual: Rp: taxa de retorno de um portfólio em um período; RG: taxa de retorno do ativo g no período; W g peso do ativo g no portfólio; G: número de ativos no portfólio. O retorno esperado de um Portfólio, com ativos arriscados, é dado pela expressão abaixo: E(Ri) p1 ri + p2 r pn m 160

2 Na qual: m: taxa de retorno possível para o ativo i; pn: probabilidade da taxa de retorno n ocorrer para o ativo i; N: número de possíveis ocorrências da taxa de retorno. Para medir o risco do investimento são usuais as ferramentas estatísticas variância, desvio padrão e correlação entre os ativos. A diversificação de Markowitz relaciona o grau de correlação entre os retornos dos ativos e procura combinar ativos que têm correlações baixas, permitindo a composição de uma carteira com baixo desvio padrão. 2.0 A TEORIA DO PORTFÓLIO E A PROGRAMAÇÃO LINEAR Na construção de um portfólio eficiente com um grande número de ativos são necessários muitos cálculos. Nesse caso, a programação linear será uma ótima ferramenta para realizar esses cálculos. Com os cálculos, será possível fazer análise do investimento. 2.1 UM ESTUDO DE CASO O diretor-presidente do Grupo X, Dr. Joaquim, deseja aplicar R$ ,00 em CDB e nas principais ações do IBOVESPA. O princípio é "maior lucro com menor risco possível". Para isso, foram selecionadas, por um gerente financeiro, as dez principais ações conforme a tabela abaixo: Tabela 1: Carteira teórica das principais ações componentes do IBOVESPA Ação Tipo Qnte Teórica (1) Participação(%)(2) TELB4 TELEBRÁS PN* ,50 40,977 PETR4 PETROBRÁS PN* 3.280,30 8,356 TELB3 TELEBRÁS ON* 4.662,41 4,507 TLSP4 TELESP PN* 1.611,93 4,431 ELET3 ELETROBRÁS ON* ,33 3,986 ELET6 ELETROBRÁS PNB* ,72 3,902 CMIG4 CEMIG PN* 8.262,82 3,157 VALE4 V ALE RIO DOCE PNA 12,54 3,044 BESP4 BANESPA PN* 4.486,24 2,713 BBDC4 BRADESCO PN* ,17 2,467 (*) Cotação por lote de mil ações. 161

3 (l) Quantidade Teórica válida para o período de vigência da carteira, sujeita a alterações somente no caso de distribuição de proventos (dividendo, bonificação e subscrição) pelas empresas. (2) Participação relativa das ações da carteira, divulgada para a abertura dos negócios do dia 23/07/98, sujeita a alterações em função das evoluções dos preços desses papéis. Fonte: http//: (31/07/98). Com as escolhas dos ativos, foram calculadas as correlações entre os mesmo e foram escolhidas as correlações mais baixas conforme diz a teoria. Segue os cálculos na tabela abaixo: Tabela 2: Correlação entre as principais ações componentes do IBOVESPA Cód. BES4 BBD4 CMI4 ELE3 ELE6 PET4 TEL3 TEL4 TLS4 VAL4 BES4 1 0,59 0,6 0,36 0,4 0,81 0,62 0,57 0,68 0,8 BBD4 0,59 1 0,87 0,69 0,72 0,8 0,77 0,86 0,8 0,76 CMI4 0,6 0,87 1 0,88 0,89 0,91 0,89 0,88 0,88 0,69 ELE3 0,36 0,69 0,88 1 0,99 0,74 0,89 0,81 0,78 0,45 ELE6 0,4 0,72 0,89 0,99 1 0,77 0,9 0,82 0,81 0,49 PET4 0,81 0,8 0,91 0,74 0,77 1 0,87 0,84 0,89 0,85 TEL3 0,62 0,77 0,89 0,89 0,9 0,87 1 0,9 0,86 0,68 TEL4 0,57 0,86 0,88 0,81 0,82 0,84 0,9 1 0,79 0,78 TLS4 0,68 0,8 0,88 0,78 0,81 0,89 0,86 0,79 1 0,75 VAL4 0,8 0,76 0,69 0,45 0,49 0,85 0,68 0,78 0,75 1 A correlação foi calculada com base no preço de fechamento dos ativos de 1/01 a 30/07/98 Os ativos escolhidos estão na tabela a abaixo: Tabela 3: Correlação entre as ações escolhidas para compor o portfólio Código ELE3 TEL4 BES4 VAU BES4 0,36 0,57 1 0,8 VAL4 0,45 0,78 0,8 1 ELE3 1 0,81 0,36 0,45 TEL4 0,81 1 0,57 0,78 Com a escolha dos ativos, Dr. Joaquim quer saber quanto deve aplicar em cada ativo para o mês de julho/98 fazendo as seguintes exigências: * Poderá perder, no máximo, 1% das "sobras"; * Para evitar concentração em determinados ativos, exige que, no maximo, 20% seja aplicado em CDB, 40% em BANESPA, 10% em ELETROBRAS, 10% em TELEBRAS e 20% em VALE DO RIO DOCE; e a carteira deverá render, no mínimo, igual ao rendimento da CDB. 162

4 A formulação matemática do problema será: * Objetivo: Maximizar o retorno da Carteira; * Alternativas: Aplicação em CDB (xl); Aplicação em BANESPA (x2); Aplicação em ELETROBRAS (x3); Aplicação em TELEBRAS (x4); Aplicação em VALE R.DOCE (x5); * Restrições: Capital; risco; exigências máximas da quantidade de ativos; e rentabilidade mínima. A estrutura matemática deste exercício pode ser apresentada assim: MAX RC = RM1X1+ RM2X2+ RM3X3+ RM4X4+ RM5X5 sujeito à: DP1X1 + DP2 X2 + DP3X3 + DP4X4 + DP5X5<= 1.000; X1 <= ; X2<= ; X3 <= ; X4<= ; X5<= ; RM1X1+ RM2X2+ RM3X3+ RM4X4+ RM5X5 > = RM1* RMiXi.: retorno médio/dia para o ativo i; e DPiXi.: desvio padrão do ativo i. Nota: o cálculo do retorno médio diário e do desvio padrão de cada ativo foram elaborados com base no período de 31/01 a 30/07/98. Após estruturar o modelo matemático para cada período e aplicar a linguagem GAMS, o Sr. Joaquim fez a aplicação de acordo com a tabela abaixo: Tabela 4: Parcela do capital aplicado em cada Ativo, em R$. FEV MAR ABR MAI JUN Xl , ,00 0,00 0,00 0,00 X , ,13 0,00 0,00 0,00 X , ,00 0,00 0,00 0,00 X , ,00 0,00 0,00 0,00 X5 0, ,00 0,00 0,00 0,00 CDB , , , , ,00 163

5 Os períodos que não cumpriram as imposições do Dr. Joaquim, no caso abril, maio e junho, o capital seria aplicado em CDB, pois a eventual aplicação em ações traria um rendimento médio negativo. Segue o retorno médio ótimo do investimento na tabela abaixo: Tabela 5 - Retorno médio da carteira e CDB para cada período, em R$. FEV MAR ABR MAI JUN Carteira 4.869, ,20 0,00 0,00 0,00 CDB 344,90 487, , , ,00 Total 5.214, , , , ,00 O peso do retorno de cada mês sobre a soma dos rendimentos totais para os cinco períodos, que foi de R$14.824,75 se encontra na tabela a seguir: Tabela 6 - Ponderação do retorno médio mensal de cada mês sobre o rendimento médio total para o período (fev-jun/98). FEV MAR ABR MAI JUN TOTAL 5.214, , , , , ,75 35% 41% 8% 8% 8% 100% Esses pesos foram utilizados usados para fazer os ativos da carteira do mês de julho multiplicando o peso inerente a cada mês com a parcela de capital aplicada em cada ativo para o mesmo mês, obteve-se a seguinte distribuição: Tabela 7 - Quantidade de R$ a ser aplicada em cada ativo, considerando o peso de cada mês sobre o retorno médio total para o período (fev-jun/98). FEV MAR ABR MAI JUN JUL X , ,60 0,00 0,00 0, ,00 X , ,68 0,00 0,00 0, ,00 X , ,80 0,00 0,00 0, ,40 X4 57, ,80 0,00 0,00 0, ,49 X5 0, ,60 0,00 0,00 0, ,60 CDB , , , , , ,63 Total 99999,12 De acordo com o exemplo, o mês de fevereiro, que teve R$20.000,00 aplicado em Xl (CDB). Multiplicando esse valor pelo peso de ativo no rendimento total deste mês (35,176%), obtém-se R$7.035,20. Somando com os valores obtidos para X1 em relação aos outros meses, chega-se ao valor de R$15.160,00 a ser aplicado em Xl, em julho. De 164

6 acordo com os dados reais para o mês de julho/98, vamos comparar o rendimento dessa proposta de carteira de investimentos mostrados na tabela a seguir: Tabela 8- Quantidade de R$ aplicada em julho/98, considerando o peso de cada mês sobre o retorno médio total para o período (fev-jun/98) QNTE APLICADA EM JULHO RENDIMENTO DO ATIVO EM JULHO(1) RETORNO DE CADA ATIVO ATIVO X ,00 1,142% 173,06 X ,00 16,801% 2429,70 X ,40 3,826% 289,25 X4 7420,49 14,871% 1103,53 X ,60 8,655% 703,31 CDB ,63 1,142% 539,39 TOTAL 99999, ,25 (1 ) Rendimento de cada ativo no mês de julho foi considerado como a divisão preço do ativo no dia 31/07 pelo preço do ativo no dia 01/07. De acordo com os dados acima, verificamos que o retorno da carteira proposta (5,238%) foi bem superior ao rendimento mensal do CDB (1,142%). O montante do Sr Joaquim foi de R$ ,25. A estratégia gerou um retorno excedente de R$ 4.186,25 sobre o CDB (caso ele aplicasse o capital total somente em CDB, teria um montante de R$ ,00, assim, R$ ,25 -R$ ,00 = R$ 4.186,25). CONCLUSÃO A Teoria do Portfólio de Harry Markowitz tem o objetivo de maximizar o retorno de investimento de acordo com os pré-requisitos do investidor e perante os riscos envolvidos. O Intuito do artigo foi diminuir os riscos do capital do investidor Dr Joaquim para o mês de julho/98 melhorando a alocação do mesmo. Foi utilizada a linguagem GAMS e as técnicas de programação linear, respeitando os pré-requisitos exigidos pelo investidor. Se caso o Dr Joaquim aplicasse suas sobras de caixas de acordo com a proposta desse artigo, ele obteria um retorno superior a mais de quatro vezes e meio de uma simples aplicação em CDB (5,283% da carteira contra 1,142% do CDB). A carteira proposta foi ponderada pelas quantidades sugeridas pela resolução do problema e pelo retorno médio de cada mês. Lembre-se que foi feito um estudo estatístico dos riscos, ou seja, uma estimativa do risco real dos ativos. Os estudos dos riscos dos ativos podem variar de acordo com o perfil de cada investidor, podendo ser ele mais ou menos avesso ao risco, modificando as quantidades máximas de ativos ou incluindo ações mais voláteis (1). (1) Ação Volátil - Tipo de ação que normalmente apresenta um grau de variação de cotação maior que o conjunto do mercado. 165

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS FABOZZI, F.J. lj ivestment management. New Jersey: Prentice Hall, FUNDOS de investimento terão nova regulamentação. A Cidade, Ribeirão Preto, 09 ago MYERS, S.e., ROBICHEK, A. A. Otimização das decisões financeiras. São Paulo: Atlas, MARKOWITZ, H.M. Portfolio selection Journal of Finance, v.07, p.77-91, mar STlX, G. A Ca1culus of risk Scientific American, v.87,n.03, may