Leticia Naomi Ono Maeda (UNICAMP) Johan Hendrik Poker Junior (UNICAMP)

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1 ANÁLISE DO IMPACTO DA CRISE FINANCEIRA DE 2008 NA ESTABILIDADE DAS COVARIÂNCIAS ENTRE OS RETORNOS DAS DEZ EMPRESAS DE MAIOR REPRESENTATIVIDADE NA BM&FBOVESPA ENTRE 2004 E 2012 Leticia Naomi Ono Maeda (UNICAMP) leticiamaeda@gmail.com Johan Hendrik Poker Junior (UNICAMP) johan.poker@fca.unicamp.br Com a finalidade de avaliar a influência da estabilidade das ações sobre a montagem de portfólios de investimentos, serão estudadas as covariâncias entre os retornos de dez participantes importantes nas operações da BM&FBovespa, tanto no período da crise de 2008, quanto nos períodos que a antecedem e a sucedem. O procedimento de pesquisa realizado envolve: (1) uma coleta de dados financeiros das empresas com maior participação média no índice BM&FBovespa no período estudado, com a posterior (2) avaliação, segundo o modelo de Markowitz (1952), das informações obtidas, visando calcular os retornos das organizações no período, sua volatilidade e as matrizes de covariância das dez organizações. A partir dos resultados, (3) serão montadas carteiras teóricas do período pré-crise, de crise, e póscrise, buscando quantificar a influência da oscilação das covariâncias entre as dez empresas selecionadas na manutenção de um portfólio de investimento segundo as preferências de retorno e risco de um determinado investidor.constatar-se-á que ao longo do tempo, sobretudo em períodos instáveis como os de crise, as covariâncias e, pois, as correlações entre os ativos se alteram significativamente. Assim, ambos retorno e risco de um portfólio de investimento podem mudar de forma substancial se os pesos dos ativos da carteira não forem recalculados regularmente. Isso pressupõe melhorias a serem pesquisadas em novos estudos sobre, por exemplo, modelos de identificação de portfólios conforme o grau de estabilidade das covariâncias dos ativos que o compõe. Palavras-chave: Markowitz, Portfólio de investimento, Covariâncias, BM&FBovespa.

2 Introdução A possibilidade de prever o valor futuro de ativos no mercado financeiro sempre foi desejável e atualmente há inúmeros meios de escolher ativos que compõem uma dada carteira de investimento, avaliando as características dos ativos, propriamente ditos, tais como seu retorno esperado, risco, período de investimento, liquidez, entre outros. Um dos possíveis instrumentos financeiros que analisa as relações entre duas dessas características precisamente, risco e retorno a fim de eleger a melhor opção de investimento é o modelo de Markowitz (1952). No entanto, é crucial esclarecer que a estabilidade das covariâncias entre as empresas é pressuposta ao longo do tempo, a fim de que a carteira de investimentos escolhida segundo o modelo de Markowitz (1952) se mantenha durante o período de investimento. Assim, se as covariâncias são instáveis, possíveis comprometimentos relacionados aos resultados esperados das carteiras podem ocorrer. Dado que as covariâncias são dinâmicas e dependentes de variações na economia em geral e, especificamente, no mercado financeiro, esse estudo se justifica pela necessidade de avaliar até que ponto e em que espécie de cenário seria imprudente a utilização do modelo de Markowitz (1952) sobretudo em situações de instabilidade econômica, como na recente crise de 2008 sem o emprego de melhorias, a fim de não prejudicar os resultados esperados das carteiras de ativos. 1 Fundamentação teórica 1.1 O modelo de Markowitz (1952) O modelo de Markowitz (1952) conceitua que um investidor, ao tentar prever o resultado futuro de ativos, o faz, basicamente, por meio de uma análise em conjunto de retorno esperado e risco do ativo. Estes últimos, por sua vez, são tomados, segundo Luenberg (1997), como variáveis aleatórias, uma vez que o ativo pode assumir diferentes valores futuros, cada um com uma dada probabilidade de ocorrer, tendo em vista que o valor futuro do ativo não é conhecido no ato da compra. Assim, matematicamente falando, o retorno esperado consiste basicamente soma dos possíveis retornos do ativo ponderados pelas respectivas probabilidades dos mesmos ocorrerem. Ao passo que o risco constitui-se na variância ou no quadrado da variância (desvio-padrão) o qual é mais corriqueiramente utilizado do retorno supracitado, isto é, o cálculo do quão longe um valor está do seu valor esperado. Ambos descritos nas fórmulas seguintes, respectivamente: Em que:

3 = retorno esperado do ativo X; = desvio-padrão do ativo X. Usualmente, porém, não se investe em um ativo apenas, mas sim em um conjunto de ativos o que é denominado portfólio de ativos ou carteira de investimento. A preferência por uma carteira de investimento a somente um ativo ocorre devido à necessidade de diminuirmos o risco de um investimento. De acordo com Bodie et al. (2010) o risco pode ser classificado como risco não-diversificável e risco diversificável. O primeiro é aquele risco inerente ao mercado como um todo, já o segundo é aquele que é intimamente relacionado com uma ou mais partes específicas do mercado e que, pois, pode ser minimizado através da diversificação de ativos, isto é, o investimento de um determinado montante em diferentes ativos do mercado financeiro. Markowitz (1952, p. 89) descreve tal fenômeno da seguinte forma: Na tentativa de diminuir a variância, investir em diversos ativos não é o suficiente. É preciso evitar que o investimento seja feito em ativos com alta covariância entre si. Devemos diversificar entre indústrias, especialmente indústrias com diferentes características econômicas, porque empresas de diferentes indústrias tem covariâncias menores que empresas da mesma indústria. Neste sentido, a montagem de um portfólio de ativos diminui sensivelmente o risco diversificável, aumentando a probabilidade de um ativo obter um certo valor esperado, ou em outras palavras, diminuindo o risco. Todavia ainda resta saber de que maneira devemos selecionar alguns dentre os vários ativos disponíveis no mercado, os quais possam formar o que Markowitz (1952) denominou de carteira eficiente de investimento. Uma carteira é eficiente quando para um dado retorno, não existe nenhuma outra carteira com risco menor, ou, de forma análoga, para um dado risco, não existe nenhuma outra carteira com retorno maior. Este conceito pode ser interpretado também pelo Princípio da Dominância de Sharpe (1965): Um investidor irá escolher seu portfólio ótimo do conjunto de portfólios que: 1. Oferecer o máximo retorno esperado para diferentes níveis de risco, e 2. Oferecer o mínimo risco para diferentes níveis de retorno esperado. Assim, para calcular o retorno esperado e o risco de um portfólio, supõe-se que um investidor distribua um montante entre n ativos, cada um com um peso no portfolio, sendo que e em que é o montante investido no i ésimo ativo, tem-se que o retorno total do portfólio é dado por:

4 Já para se calcular a variância de um portfólio, faz-se necessário o conceito de covariância e correlação. Tanto a covariância como a correlação podem ser esclarecidos como a interdependência entre duas variáveis aleatórias. A respeito da correlação, tem-se que: Se = 0, então X e Y não são correlacionadas; Se = 1, então X e Y são perfeitamente correlacionadas; Se = -1, então X e Y são negativamente correlacionadas. Ainda, a covariância entre dois ativos X e Y pode ser matematicamente definida por: Sabendo do valor da covariância entre duas variáveis é possível calcular o valor do desviopadrão (risco) de um portfólio de dois ativos, o qual é dado por: Não obstante, se desejarmos saber a variância de um portfólio com mais de dois ativos, basta utilizarmos, segundo Luenberger (1997), a fórmula: É possível indeferir, portanto, que a variância do portfólio é calculada a partir da covariância entre os pares de ativos. Lembrando que. Utilizando estes conceitos de retorno e risco de portfólio é possível relacioná-los por meio de um gráfico cuja abscissa corresponde ao risco e a ordenada, ao retorno esperado. Os pontos do gráfico correspondem a uma carteira de investimento que envolve determinados ativos. Os pontos correspondentes a essas carteiras de investimento formam curvas de

5 Retorno-Risco. Nesta curva estão presentes carteiras de investimento compostas pelos mesmos ativos, porém com pesos diferentes para cada carteira (ponto) da curva. Figura 1 Curvas de Retorno-Risco. Fonte: Adaptado de HIEDA, A., ODA, A. L. (1998) Escolhido os ativos que irão compor a carteira, acha-se a curva Retorno-Risco correspondente aos ativos preteridos. Assim ter-se-ia a seguinte curva Retorno-Risco cuja área interior é denominada região factível. Tanto na linha da curva, bem como na região factível, estão todas as possíveis carteiras compostas pelos mesmos ativos, mas com pesos diferentes. Figura 2 Região factível Fonte: Adaptado de LUENBERGER, D. G. (1997)

6 Não obstante a única parte da curva Retorno-Risco que segue o Princípio da Dominância, anteriormente citado, corresponde à linha da curva que vai do ponto E de mínimo risco ao ponto S de máximo retorno. Figura 3 Fronteira eficiente Fonte: Adaptado de HIEDA, A., ODA, A. L. (1998) A curva é chamada de fronteira eficiente. Tal fronteira delimita todas as possíveis carteiras eficientes de investimento, ou seja, aquelas que para um dado nível de retorno, apresenta o mínimo risco possível. Finalmente, é necessário ressaltar a relação que os pesos dos ativos possuem com o índice de correlação dos mesmos. Supondo uma carteira composta por dois ativos X e Y, formamos várias combinações de X e Y, cada uma com um diferente índice de correlação entre os mesmos e diferentes pesos, sendo que não é possível venda a descoberto ( ): Gráfico 1 Índice de correlação

7 Fonte: Adaptado de BODIE, Z., MARCUS, A. J. & KANE, A. (2010) Nesta é possível retirar as seguintes informações acerca da influência da correlação dos ativos sobre os efeitos de diversificação: quando a correlação entre os ativos é positivamente perfeita ( ), não há um efeito de diversificação da ativos; quando a correlação entre os ativos é imperfeita, há efeitos imperfeitos de diversificação de ativos; quando a correlação entre os ativos é negativamente perfeita ( ), há um efeito perfeito da diversificação de ativos demonstrado pelo alcance de um risco igual a zero. Ainda conforme a correlação entre os dois ativos muda, os pesos dos ativos da carteira devem ser alterados também a fim de manter um nível de risco determinado. Por exemplo, se fosse necessário a manutenção de um desvio-padrão igual a 10, o ativo X deveria corresponder a, aproximadamente, 25%, 37,5% e 43,75% do total da carteira, caso as correlações fossem de, respectivamente, 0, 0,30 e -1 ativos de correlação perfeita nesse caso não atingiria o nível de risco supracitado. 1.2 Preferências do investidor Embora a fronteira eficiente aponte as melhores alternativas de combinação de investimento, ela nada diz sobre qual combinação ou qual carteira deverá ser selecionada, uma vez que essa decisão cabe a cada investidor segundo suas características pessoais. Segundo Danthine (2005), tais preferências podem levar em consideração diversas variáveis: grau de riqueza do investidor, incertezas em relação ao tempo de investimento, entre outros. No entanto, um bom instrumento para a avaliação das preferência de um investidor em relação à escolha entre ativos de risco é a curva da indiferença.

8 Figura 5 Aversão ao risco Fonte: Adaptado de BODIE, Z., MARCUS, A. J. & KANE, A. (2010) A curva da indiferença mede o grau de aversão ao risco de um investidor, isto é, quanto de retorno adicional ele precisa obter para aceitar uma unidade de risco a mais. Na figura acima, pode-se observar três curvas da indiferença. Quanto mais íngreme é a curva, maior é o grau de aversão ao risco. Assim, às curvas A, B e C, correspondem aos investidores de, respectivamente, maior aversão ao risco, moderada aversão ao risco e menor aversão ao risco. De forma análoga, a aversão ao risco também pode ser calculada pelo índice de Sharpe: Em que: = retorno do ativo X; = desvio-padrão do ativo X. Este mede quanto de retorno é dado a mais para cada unidade adicional de risco. 2 Metodologia 2.1 Dados gerais A metodologia empregada envolverá o modelo quantitativo de análise, explorando dados contábeis e estatísticos extraídos das 10 principais empresas da BM&FBovespa, isto é, empresas que apresentam relativamente grandes quantidades de ações negociadas. Tais

9 informações foram extraídas da base de dados da empresa Thomson Reuters Eikon, a qual é líder na captação e distribuição de informação sobre o mercado de negócios. Para realizar este trabalho, considerou-se os seguintes períodos como cenários précrise, crise e pós-crise. Tabela 1 Períodos analisados Período Janeiro/2004 a Junho/2007 Julho/2007 a Junho/2009 Julho/2009 a dezembro/2012 Cenário Pré-crise Crise Pós-crise As dez empresas escolhidas para este estudo com os respectivos códigos de suas ações são listada a seguir na Tabela 2. Tabela 2 Empresas analisadas BBAS3.SA BBDC4.SA CCRO3.SA CMIG4.SA CSNA3.SA EMBR3.SA GGB ITUB.K PETR4.SA VALE5.SA Código da ação Empresa Banco do Brasil Banco Bradesco Companhia de Concessões Rodoviárias Companhia Energética de Minas Gerais, Companhia Siderúrgica Nacional Embraer Gerdau Itaú Unibanco Holding Petrobrás Vale 2.2 Análise das covariâncias Com o intuito de identificar o comportamento das covariâncias ao longo do tempo, serão montadas matrizes semestrais de covariâncias entre os retornos das ações empresariais supracitadas. Cada matriz possuirá as covariâncias dos retornos das empresas dentro de um semestre ao longo de oito anos (2004 a 2012). Ainda, para o cálculo das matrizes será usada a ferramenta COVARIAÇÃO.S do programa Microsoft Excel. Esta fórmula retorna a média dos produtos dos desvios de cada par de pontos em dois conjuntos de dados, nesse caso, de dois conjuntos de retornos de duas diferentes empresas. A matriz, portanto, será composta de covariâncias de todas as possíveis combinações par a par das dez empresas supracitadas.

10 2.3 Construção de carteiras hipotéticas Esta seção do trabalho terá como principal objetivo quantificar a influência da instabilidade das covariâncias em uma carteira teórica, através da alteração dos pesos dos ativos ao longo do tempo. Primeiramente, serão identificados, para cada um dos três períodos estudados (précrise, crise e pós crise) seus retornos, desvios-padrões, e matrizes de covariâncias. A partir dessas variáveis, serão construídas seis carteiras hipotéticas. Três carteiras terão como restrição a preferência de um índice de Sharpe de um investidor hipotético igual a 15% nos três períodos. As três outras carteiras terão que manter seus pesos constantes, a fim de que a variação do índice de Sharpe seja quantificada. Para achar os retornos, desvios-padrões, e matrizes de covariâncias foram utilizadas as fórmulas que constam na fundamentação teórica do presente artigo. Ao passo que as construções das carteiras que atendem a um índice de Sharpe igual a 15%, foram feitas por meio da ferramenta SOLVER do programa Microsoft Excel sob as seguintes restrições: 3 Análise das covariâncias A seguir, estão as matrizes de covariâncias das dez empresas do estudo. Tabela 3 Matriz de covariância 1º semestre de º SEMESTRE 2004 BBAS3 0, , , , , , , , , ,20200 BBDC4 0, , , , , , , , , ,21505 CCRO3 0, , , , , , , , , ,02362 CMIG4 0, , , , , , , , , ,15618 CSNA3 0, , , , , , , , , ,24623 EMBR3 0, , , , , , , , , ,68965 GGBR4 0, , , , , , , , , ,03202 ITSA4 0, , , , , , , , , ,17904 PETR4 0, , , , , , , , , ,27015 VALE5 0, , , , , , , , , ,52373 Tabela 4 Matriz de covariância 2º semestre de º SEMESTRE 2004 BBAS3 0, , , , , , , , , ,80898 BBDC4 0, , , , , , , , , ,62594 CCRO3 0, , , , , , , , , ,37403 CMIG4 0, , , , , , , , , ,45203 CSNA3 0, , , , , , , , , ,31666 EMBR3-0, , , , , , , , , ,58181 GGBR4 0, , , , , , , , , ,27617 ITSA4 0, , , , , , , , , ,58470 PETR4 0, , , , , , , , , ,80603 VALE5 0, , , , , , , , , ,31350

11 Tabela 5 Matriz de covariância 1º semestre de º SEMESTRE 2005 BBAS3 0, , , , , , , , , ,11558 BBDC4-0, , , , , , , , , ,10350 CCRO3 0, , , , , , , , , ,02741 CMIG4-0, , , , , , , , , ,20827 CSNA3 0, , , , , , , , , ,10049 EMBR3 0, , , , , , , , , ,77870 GGBR4 0, , , , , , , , , ,35271 ITSA4 0, , , , , , , , , ,06616 PETR4 0, , , , , , , , , ,38035 VALE5 0, , , , , , , , , ,34771 Tabela 6 Matriz de covariância 2º semestre de º SEMESTRE 2005 BBAS3 0, , , , , , , , , ,41330 BBDC4 1, , , , , , , , , ,63051 CCRO3 0, , , , , , , , , ,36927 CMIG4 0, , , , , , , , , ,48064 CSNA3 0, , , , , , , , , ,36817 EMBR3 0, , , , , , , , , ,85563 GGBR4 0, , , , , , , , , ,93038 ITSA4 0, , , , , , , , , ,17970 PETR4 1, , , , , , , , , ,70859 VALE5 1, , , , , , , , , ,26387 Tabela 7 Matriz de covariância 1º semestre de º SEMESTRE 2006 BBAS3 0, , , , , , , , , ,37023 BBDC4 0, , , , , , , , , ,80541 CCRO3 0, , , , , , , , , ,15332 CMIG4 0, , , , , , , , , ,34343 CSNA3 0, , , , , , , , , ,23457 EMBR3 0, , , , , , , , , ,22611 GGBR4 0, , , , , , , , , ,12264 ITSA4 0, , , , , , , , , ,16951 PETR4 0, , , , , , , , , ,78227 VALE5 0, , , , , , , , , ,04537 Tabela 8 Matriz de covariância 2º semestre de º SEMESTRE 2006 BBAS3 1, , , , , , , , , ,94974 BBDC4 1, , , , , , , , , ,69341 CCRO3 0, , , , , , , , , ,93522 CMIG4 0, , , , , , , , , ,60819 CSNA3-0, , , , , , , , , ,06248 EMBR3 0, , , , , , , , , ,11316 GGBR4 0, , , , , , , , , ,36304 ITSA4 0, , , , , , , , , ,99574 PETR4 0, , , , , , , , , ,42515 VALE5 1, , , , , , , , , ,21538

12 Tabela 9 Matriz de covariância 1º semestre de º SEMESTRE 2007 BBAS3 1, , , , , , , , , ,95263 BBDC4 1, , , , , , , , , ,02145 CCRO3 0, , , , , , , , , ,02566 CMIG4 0, , , , , , , , , ,16171 CSNA3 1, , , , , , , , , ,91059 EMBR3 0, , , , , , , , , ,50008 GGBR4 1, , , , , , , , , ,64549 ITSA4 1, , , , , , , , , ,95588 PETR4 0, , , , , , , , , ,22648 VALE5 2, , , , , , , , , ,97819 Tabela 10 Matriz de covariância 2º semestre de º SEMESTRE 2007 BBAS3 1, , , , , , , , , ,69811 BBDC4 1, , , , , , , , , ,34219 CCRO3 0, , , , , , , , , ,11298 CMIG4 0, , , , , , , , , ,40863 CSNA3 1, , , , , , , , , ,86823 EMBR3 0, , , , , , , , , ,31884 GGBR4 0, , , , , , , , , ,75780 ITSA4 0, , , , , , , , , ,13921 PETR4 2, , , , , , , , , ,53912 VALE5 2, , , , , , , , , ,52083 Tabela 11 Matriz de covariância 1º semestre de º SEMESTRE 2008 BBAS3 2, , , , , , , , , ,72102 BBDC4 0, , , , , , , , , ,63548 CCRO3 0, , , , , , , , , ,80937 CMIG4 0, , , , , , , , , ,48113 CSNA3 0, , , , , , , , , ,34521 EMBR3-0, , , , , , , , , ,72964 GGBR4 0, , , , , , , , , ,43176 ITSA4 0, , , , , , , , , ,00355 PETR4 2, , , , , , , , , ,69479 VALE5 0, , , , , , , , , ,21875 Tabela 12 Matriz de covariância 2º semestre de º SEMESTRE 2008 BBAS3 7, , , , , , , , , ,07742 BBDC4 6, , , , , , , , , ,51012 CCRO3 1, , , , , , , , , ,51304 CMIG4 0, , , , , , , , , ,88641 CSNA3 13, , , , , , , , , ,70725 EMBR3 3, , , , , , , , , ,26867 GGBR4 18, , , , , , , , , ,92815 ITSA4 9, , , , , , , , , ,04780 PETR4 15, , , , , , , , , ,82375 VALE5 14, , , , , , , , , ,23413 Tabela 13 Matriz de covariância 1º semestre de 2009

13 1º SEMESTRE 2009 BBAS3 4, , , , , , , , , ,69955 BBDC4 4, , , , , , , , , ,88590 CCRO3 1, , , , , , , , , ,04435 CMIG4 0, , , , , , , , , ,46476 CSNA3 4, , , , , , , , , ,22374 EMBR3 0, , , , , , , , , ,80982 GGBR4 0, , , , , , , , , ,80861 ITSA4 1, , , , , , , , , ,68284 PETR4 6, , , , , , , , , ,09480 VALE5 3, , , , , , , , , ,32041 Tabela 14 Matriz de covariância 2º semestre de º SEMESTRE 2009 BBAS3 6, , , , , , , , , ,15269 BBDC4 5, , , , , , , , , ,29724 CCRO3 1, , , , , , , , , ,69423 CMIG4 0, , , , , , , , , ,87067 CSNA3 5, , , , , , , , , ,66868 EMBR3 0, , , , , , , , , ,18411 GGBR4 4, , , , , , , , , ,95266 ITSA4 5, , , , , , , , , ,15391 PETR4 5, , , , , , , , , ,45604 VALE5 9, , , , , , , , , ,97958 Tabela 15 Matriz de covariância 1º semestre de º SEMESTRE 2010 BBAS3 1, , , , , , , , , ,34394 BBDC4 0, , , , , , , , , ,77293 CCRO3 0, , , , , , , , , ,55989 CMIG4 0, , , , , , , , , ,03164 CSNA3 1, , , , , , , , , ,58419 EMBR3 0, , , , , , , , , ,58616 GGBR4-0, , , , , , , , , ,68629 ITSA4-0, , , , , , , , , ,92683 PETR4 2, , , , , , , , , ,96873 VALE5 2, , , , , , , , , ,34228 Tabela 16 Matriz de covariância 2º semestre de º SEMESTRE 2010 BBAS3 3, , , , , , , , , ,41290 BBDC4 3, , , , , , , , , ,59098 CCRO3 1, , , , , , , , , ,59975 CMIG4 0, , , , , , , , , ,34494 CSNA3 0, , , , , , , , , ,15393 EMBR3 1, , , , , , , , , ,51005 GGBR4 0, , , , , , , , , ,32831 ITSA4 2, , , , , , , , , ,28677 PETR4-0, , , , , , , , , ,54011 VALE5 5, , , , , , , , , ,47598 Tabela 17 Matriz de covariância 1º semestre de 2011

14 1º SEMESTRE 2011 BBAS3 0, , , , , , , , , ,67941 BBDC4 0, , , , , , , , , ,88418 CCRO3-0, , , , , , , , , ,32945 CMIG4-0, , , , , , , , , ,58893 CSNA3 1, , , , , , , , , ,44762 EMBR3 0, , , , , , , , , ,58966 GGBR4 0, , , , , , , , , ,95741 ITSA4 0, , , , , , , , , ,49460 PETR4 0, , , , , , , , , ,47082 VALE5 1, , , , , , , , , ,55003 Tabela 18 Matriz de covariância 2º semestre de º SEMESTRE 2011 BBAS3 0, , , , , , , , , ,24707 BBDC4 0, , , , , , , , , ,11320 CCRO3 0, , , , , , , , , ,15141 CMIG4 0, , , , , , , , , ,39456 CSNA3 0, , , , , , , , , ,03871 EMBR3 0, , , , , , , , , ,74284 GGBR4 0, , , , , , , , , ,61319 ITSA4 0, , , , , , , , , ,69582 PETR4 0, , , , , , , , , ,84458 VALE5 1, , , , , , , , , ,26115 Tabela 19 Matriz de covariância 1º semestre de º SEMESTRE 2012 BBAS3 6, , , , , , , , , ,17027 BBDC4 2, , , , , , , , , ,08012 CCRO3-1, , , , , , , , , ,75057 CMIG4-3, , , , , , , , , ,97113 CSNA3 4, , , , , , , , , ,18217 EMBR3-1, , , , , , , , , ,13378 GGBR4-0, , , , , , , , , ,38715 ITSA4 2, , , , , , , , , ,01533 PETR4 5, , , , , , , , , ,64995 VALE5 3, , , , , , , , , ,18750 Tabela 20 Matriz de covariância 2º semestre de º SEMESTRE 2012 BBAS3 3, , , , , , , , , ,32253 BBDC4 2, , , , , , , , , ,67816 CCRO3 0, , , , , , , , , ,24862 CMIG4-2, , , , , , , , , ,50049 CSNA3 0, , , , , , , , , ,67921 EMBR3 0, , , , , , , , , ,12144 GGBR4 0, , , , , , , , , ,02634 ITSA4 0, , , , , , , , , ,07442 PETR4 1, , , , , , , , , ,81695 VALE5-0, , , , , , , , , ,92926 Com base nessas matrizes, pode-se inferir que as covariâncias não são estáveis ao longo do tempo, o que prejudicaria a manutenção ao longo do tempo de portfólios de investimento segundo o modelo de Markowitz (1952). Não menos importante é observar que essas variabilidades aumentam ainda mais em períodos de crise, quando é observado um significativo aumento das covariâncias entre a maioria das ações em 2007 e, sobretudo, 2008.

15 Sendo que há um razoável pico de aumento no 2º semestre de 2007, seguido por uma leve queda no 1º semestre de E, posteriormente, um pico substancialmente maior aproximadamente, 700% maior no 1º semestre de 2008 que alcança a máxima covariância dos nove anos estudados no presente trabalho. Assim, de forma geral, as tabelas apresentam uma instabilidade crescente entre o 1º semestre de 2004 até o 2º semestre de 2007, quando se alcança o apíce supracitado no ano de Consecutivamente, do 1º semestre de 2009 até o 2º semestre de 2012 é visto uma instabilidades ainda presente, mas decrescente. Nos gráfico a seguir tal conclusão pode ser conferida de forma mais visual.

16 Gráfico 2 Comportamento das covariâncias entre os retornos das ações ao longo do tempo

17 4 Construção de carteiras hipotéticas Após concluir que a instabilidade das covariâncias entre as ações é não só presente, mas também significativa, faz-se necessário uma avaliação mais particular dessas oscilações, a partir da construção de seis carteiras hipotética referentes aos períodos de pré-crise, crise, e pós-crise. Essas carteiras buscam identificar a influência das instabilidades das covariâncias na manutenção de portfólios de investimento. Foram formadas duas espécies carteiras hipotéticas para cada período supracitado. Os dois tipos de carteiras não permitem venda a descoberto, isto é,. No entanto, um deles tem como restrição para sua formação a obtenção de um índice de Sharpe equivalente a 15%. Já o outro gênero de carteira deve apresentar pesos de ativos constantes ao longo do tempo, sendo que ela inicia com uma distribuição que gera um índice de Sharpe também equivalente a 15%.A seguir, apresentam-se os dados utilizados para a obtenção de cada carteira retornos, desvios-padrões e matrizes de covariâncias bem como a construção das carteiras com os respectivos pesos de cada ativo.

18 4.1 Carteira hipotética pré-crise: Janeiro/2004 a Junho/2007 Tabela 21 Dados dos ativos individuais no período précrise Ativos μ σ BBAS3 253,20% 365,21% BBDC4 270,12% 499,17% CCRO3 416,51% 143,23% CMIG4 129,92% 152,94% CSNA3 150,99% 179,99% EMBR3 20,23% 282,37% GGBR4 410,43% 248,11% ITUB.K 352,20% 339,76% PETR4 160,81% 422,94% VALE5 187,09% 538,25% Tabela 22 Covariância entre os ativos no período pré-crise BBAS3 BBDC4 CCRO3 CMIG4 CSNA3 EMBR3 GGBR4 ITUB.K PETR4 VALE5 BBAS3 13,34 17,44 5,03 5,26 5,82 8,82 8,77 12,02 14,54 18,95 BBDC4 17,44 24,92 6,73 7,41 7,29 11,78 11,63 16,65 20,62 24,60 CCRO3 5,03 6,73 2,05 2,03 2,20 3,36 3,32 4,67 5,53 7,39 CMIG4 5,26 7,41 2,03 2,34 2,18 3,32 3,47 4,99 6,21 7,50 CSNA3 5,82 7,29 2,20 2,18 3,24 4,14 4,06 5,18 6,21 8,73 EMBR3 8,82 11,78 3,36 3,32 4,14 7,97 6,03 8,02 9,94 12,44 GGBR4 8,77 11,63 3,32 3,47 4,06 6,03 6,16 8,12 9,91 12,35 ITUB.K 12,02 16,65 4,67 4,99 5,18 8,02 8,12 11,54 13,86 17,15 PETR4 14,54 20,62 5,53 6,21 6,21 9,94 9,91 13,86 17,89 20,21 VALE5 18,95 24,60 7,39 7,50 8,73 12,44 12,35 17,15 20,21 28,97

19 Tabela 23 Carteiras de ativos no período pré-crise IS = 15% Pesos constantes Ativos Wi BBAS3 0,00% 0,00% BBDC4 0,00% 0,00% CCRO3 0,00% 0,00% CMIG4 0,00% 0,00% CSNA3 0,00% 0,00% EMBR3 83,83% 83,83% GGBR4 0,00% 0,00% ITUB.K 0,00% 0,00% PETR4 4,14% 4,14% VALE5 12,03% 12,03% Σwi 100,00% 100,00% μp 46,12% 46,12% σp 307,46% 307,46% IS 15,00% 15,00% 4.2 Carteira hipotética de crise: Julho/2007 a Junho/2009 Tabela 24 Dados dos ativos individuais no período de crise Ativos μ σ BBAS3 20,72% 387,24% BBDC4 25,78% 311,41% CCRO3 22,57% 101,15% CMIG4 5,70% 74,18% CSNA3 86,07% 498,03% EMBR3-56,67% 432,06% GGBR4 35,35% 511,16% ITUB.K 33,09% 344,08% PETR4 51,00% 570,36% VALE5 22,14% 701,37%

20 Tabela 25 Covariância entre os ativos no período de crise BBAS3 BBDC4 CCRO3 CMIG4 CSNA3 EMBR3 GGBR4 ITUB.K PETR4 VALE5 BBAS3 15,00 11,22 3,19 1,06 12,46 7,31 10,07 10,40 14,87 20,75 BBDC4 11,22 9,70 2,32 0,87 11,38 6,17 9,52 8,65 13,50 18,82 CCRO3 3,19 2,32 1,02 0,48 2,40 0,61 1,89 2,04 2,35 3,33 CMIG4 1,06 0,87 0,48 0,55 0,89-0,76 1,11 0,72 0,71 0,41 CSNA3 12,46 11,38 2,40 0,89 24,80 1,15 16,62 11,14 26,07 24,47 EMBR3 7,31 6,17 0,61-0,76 1,15 18,67 7,11 6,63 4,01 19,90 GGBR4 10,07 9,52 1,89 1,11 16,62 7,11 26,13 15,20 18,12 21,90 ITUB.K 10,40 8,65 2,04 0,72 11,14 6,63 15,20 11,84 13,22 18,07 PETR4 14,87 13,50 2,35 0,71 26,07 4,01 18,12 13,22 32,53 31,19 VALE5 20,75 18,82 3,33 0,41 24,47 19,90 21,90 18,07 31,19 49,19 Tabela 26 Carteiras de ativos no período de crise IS = 15% Pesos constantes Ativos Wi BBAS3 0,00% 0,00% BBDC4 3,46% 0,00% CCRO3 20,09% 0,00% CMIG4 14,89% 0,00% CSNA3 28,16% 0,00% EMBR3 0,00% 83,83% GGBR4 9,22% 0,00% ITUB.K 13,46% 0,00% PETR4 10,72% 4,14% VALE5 0,00% 12,03% Σwi 100,00% 100,00% μp 43,69% -42,73% σp 291,27% 429,97% IS 15,00% -9,94%

21 4.3 Carteira hipotética pós-crise: Julho/2009 a dezembro/2012 Tabela 27 Dados dos ativos individuais no período pós-crise Ativos μ σ BBAS3-4,74% 214,79% BBDC4-24,48% 225,07% CCRO3-118,61% 296,50% CMIG4-47,94% 358,54% CSNA3 50,82% 527,22% EMBR3-56,65% 174,90% GGBR4 47,29% 289,20% ITUB.K 31,06% 285,78% PETR4 42,40% 360,04% VALE5-8,45% 300,85% Tabela 28 Covariância entre os ativos no período pós-crise BBAS3 BBDC4 CCRO3 CMIG4 CSNA3 EMBR3 GGBR4 ITUB.K PETR4 VALE5 BBAS3 4,61 1,23-2,49-3,74 7,24-0,54 2,65 3,65 3,70 4,23 BBDC4 1,23 5,07 4,64 3,48-4,36 2,61-2,67-2,06-2,73 0,82 CCRO3-2,49 4,64 8,79 8,23-12,63 4,07-5,79-5,54-6,77-2,95 CMIG4-3,74 3,48 8,23 12,86-13,52 4,38-6,81-5,61-7,55-3,43 CSNA3 7,24-4,36-12,63-13,52 27,80-4,83 13,09 10,35 15,87 8,90 EMBR3-0,54 2,61 4,07 4,38-4,83 3,06-2,58-1,42-3,26 0,25 GGBR4 2,65-2,67-5,79-6,81 13,09-2,58 8,36 5,61 8,19 2,69 ITUB.K 3,65-2,06-5,54-5,61 10,35-1,42 5,61 8,17 4,75 5,10 PETR4 3,70-2,73-6,77-7,55 15,87-3,26 8,19 4,75 12,96 4,16 VALE5 4,23 0,82-2,95-3,43 8,90 0,25 2,69 5,10 4,16 9,05

22 Tabela 29 Carteiras de ativos no período pós-crise IS = 15% Pesos constantes Ativos Wi BBAS3 0,00% 0,00% BBDC4 0,00% 0,00% CCRO3 0,00% 0,00% CMIG4 0,00% 0,00% CSNA3 0,34% 0,00% EMBR3 0,00% 83,83% GGBR4 39,48% 0,00% ITUB.K 29,28% 0,00% PETR4 30,90% 4,14% VALE5 0,00% 12,03% Σwi 100,00% 100,00% μp 41,04% -46,75% σp 273,60% 147,23% IS 15,00% -31,75% Em que: = retorno de um determinado ativo no período correspondente; = desvio-padrão de um determinado ativo no período correspondente; IS = índice de Sharpe; Σwi = soma total dos pesos dos ativos; = retorno total esperado do portfólio; = desvio-padrão total de um portfólio. As preferências de retorno e risco de um investidor são um dos fatores mais importantes a serem considerado na montagem de carteiras, como visto na teoria. A partir dessa análise, é evidente que a fim de manter tais preferências, no caso uma taxa de 15% de retorno a mais por cada unidade adicional de risco, faz-se necessário alterar periodicamente os pesos dos ativos na carteira hipotética. Caso o investidor não recalcule os pesos dos ativos de sua carteira tal como mostra o tipo de carteira hipotética de pesos constantes, sua preferência em relação ao retorno e risco esperados não é atendida ao longo do tempo. Ainda, caso o investidor deseje resgatar sua aplicação no período de crise ou pós-crise, ele terá uma perda de -42,73% ou -46,75%, respectivamente, do investimento inicial feito em janeiro de 2004 (pré-crise).

23 É interessantes notar que a ação da Petrobrás permanece nas três carteiras hipotéticas cuja premissa é um índice de Sharpe constante igual a 15%. 5 Conclusão Como visto na fundamentação teórica, o índice de correlação é uma medida decorrente da relação entre a covariância e os desvios-padrões dos elementos analisados. Assim, mantendo tudo o mais constante, conforme a covariância dos mesmos se altera, a correlação entre eles também se altera. Por conseguinte, sabendo que a curva de retorno-risco tem a sua curvatura definida pela correlação propriamente dita, esta curvatura será função das alterações sofridas pelas estatísticas da covariância. Pelos gráficos pode-se perceber claramente que as covariâncias, provenientes dos retornos das empresas, não são estáveis ao longo do tempo, sendo que em períodos de crise elas variam ainda mais. Essas mudanças refletem nas curvas de retorno-risco de modo a modificar os conjuntos de carteiras possíveis de serem montados e, portanto, a alocação dos ativos dentro dessas carteiras. Essa observação é demostrada propriamente no gráfico número 1. Isso significa dizer que a montagem de carteiras segundo o modelo de Markowitz funciona apenas por um período sendo este tanto menor quanto maior forem as turbulências econômicas que oscilem a covariância entre os retornos das empresas devendo a carteira ser constantemente recomposta. Em outras palavras, dado um conjunto específico de ações, as participações de cada ação devem ser periodicamente recalculadas, como demonstrado, a fim de sempre se adequar as preferências de um determinado investidor. Como demonstrado nessa pesquisa, os pesos das ações serão mais alterados do portfólio em períodos de crise, no qual as covariâncias entre as empresas se alteram substancialmente. Recalcular periodicamente as participações de cada ativo da carteira de investimento é uma possível solução para o problema das instabilidades das covariâncias ao longo do tempo. Porém implicarão no aumento dos custos de manutenção do portfolio que serão tanto dispendiosos quanto maior forem as volatilidades das covariâncias. Outra solução interessante a ser explorada em novos estudos é a identificação de portfolios conforme o grau de estabilidade de suas covariâncias que poderia ser medido mais precisamente com o auxílio de um teste de hipóteses estatístico. REFERÊNCIAS ALMEIDA, N., SILVA, R. F. & RIBEIRO, K.. Aplicação do modelo de Markowitz na seleção de carteiras eficientes: uma análise de cenários no mercado de capitais brasileiro. XIII Seminários em administração, Uberlândia. Setembro de HIEDA, A., ODA, A. L. Um estudo sobre a utilização de dados históricos no modelo de Markowitz aplicado a Bolsa de Valores de São Paulo. In: Seminários de Administração, 3, Out. 1998, São Paulo. Anais do III SEMEAD. São Paulo: Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da USP, BODIE, Z., MARCUS, A. J. & KANE, A. Investimentos. New York: Artmed, 2010.

24 DANTHINE, J., DONALDSON, J. B. Intermediate financial theory. California: Elsevier, LUENBERGER, D. G. Investment Science. USA: Oxford University Press, p MARKOWITZ, Harry M. Portfólio selection. Journal of Finance, vol.7, n 1, pp Mar PENTEADO, M. A. & FAMÁ, R., Será que o beta que temos é o beta que queremos?. Cadernos de pesquisas em administração, São Paulo, v. 09, nº 3, julho/setembro SHARPE, William F., ALEXANDER, GORDON J., BAILEY, JEFFERY V. Investments. NewJersey: Prentice Hall, 1995.