PESQUISA EM MERCADO DE CAPITAIS. Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

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1 PESQUISA EM MERCADO DE CAPITAIS Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

2 Cap. 6 Técnicas de Cálculo da Fronteira Eficiente ELTON, E.; GRUBER, M.; BROWN, S., GOETZMANN, W. Moderna Teoria de Carteiras e Análise de Investimentos. São Paulo: Editora Atlas, 2004.

3 Problemas de escolha de carteiras Vendas a descoberto permitidas e é possível aplicar e tomar emprestado à taxa livre de risco; Vendas a descoberto permitidas mas não é possível aplicar e tomar emprestado à taxa livre de risco; Vendas a descoberto não são permitidas mas é possível aplicar e tomar emprestado à taxa livre de risco; Nem as vendas a descoberto nem aplicações ou empréstimos à taxa livre de risco são permitidos.

4 Vendas a descoberto permitidas e é possível aplicar e tomar emprestado à taxa livre de risco Caso mais simples; Há uma única carteira de ativos com risco que é preferível a todas as demais; A fronteira eficiente corresponde a todo o comprimento do raio que parte de R F e passa por B. R F B é o raio com maior inclinação.

5 Vendas a descoberto permitidas e é possível aplicar e tomar emprestado à taxa livre de risco Tangente do ângulo θ: θ = R P R F σ P Sujeito à restrição: i=1 N X i = 1 Podemos escrever R F com R F x 1: R F = 1R F = N i=1 X i R F = N i=1 (X i R F ) Introduzindo na função objetivo e escrevendo o retorno esperado e o desvio padrão da carteira na forma geral, temos: θ = i=1 N i=1 N X i ( R i R F ) X i 2 σ i 2 + i=1 N j=1 j i N X i X j σ ij 1/2

6 Vendas a descoberto permitidas e é possível aplicar e tomar emprestado à taxa livre de risco A maximização da inclinação envolve derivar a expressão de θ em relação a cada X i e igualar a zero: dθ = λx 1σ 1i + λx 2 σ 2i + λx 3 σ 3i + + λx i σ 2 i + + R dx i +λx N 1 σ N 1i + λx N σ i R F = 0 Ni Onde λ é uma constante. Defina-se Z k = λx k. Substituindo na expressão e passando os termos com variâncias e covariâncias para o lado direito: R i R F = Z 1 σ 1i + Z 2 σ 2i + + Z i σ i Z N 1 σ N 1i + Z N σ Ni Como há uma equação como essa para cada ativo i, chega-se a um sistema de equações simultâneas:

7 Vendas a descoberto permitidas e é possível aplicar e tomar emprestado à taxa livre de risco R 1 R F = Z 1 σ Z 2 σ 12 + Z 3 σ Z N σ 1N R 2 R F = Z 1 σ 12 + Z 2 σ Z 3 σ Z N σ 2N R 3 R F = Z 1 σ 13 + Z 2 σ 23 + Z 3 σ Z N σ 3N... R N R F = Z 1 σ 1N + Z 2 σ 2N + Z 3 σ 3N + + Z N σ N 2 A solução do sistema apontará os valores de Z; A proporção ótima a aplicar em cada ação k é X k, onde: N X k = Z k Z i i=1

8 Vendas a descoberto permitidas e é possível aplicar e tomar emprestado à taxa livre de risco O sistema de equações pode ser escrito: COV NXN Z NX1 = Prêmio NX1 E a solução obtida a partir de: COV 1 NXN COV NXN Z NX1 = COV 1 NXN Prêmio NX1 Z NX1 = COV 1 NXN Prêmio NX1

9 Vendas a descoberto permitidas e é possível aplicar e tomar emprestado à taxa livre de risco

10 Vendas a descoberto permitidas: não é possível aplicar ou obter empréstimos sem risco A solução para traçar a fronteira envolve encontrar as carteiras ótimas para diferentes valores de taxas livres de risco:

11 Vendas a descoberto permitidas: não é possível aplicar ou obter empréstimos sem risco Na verdade, a partir de duas carteiras situadas na fronteira é possível construir toda a fronteira. Ver solução em excel. 20,00 Retorno 18,00 16,00 14,00 12,00 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00

12 Aplicação e empréstimo a taxa livre de risco, mas sem a possibilidade de fazer vendas a descoberto Análogo ao primeiro caso com a restrição adicional que proíbe vendas a descoberto; O objetivo é maximizar a inclinação da reta que passa por R F e tangencia a carteira ótima com ativos com risco. Maximizar θ = R P R F σ P Sujeito a: (1) i=1 N X i = 1 (2) X i 0 para todos os valores de i

13 Não há venda a descoberto nem concessão e tomada de empréstimos à taxa livre de risco O conjunto eficiente é obtido minimizando o risco para cada nível de retorno desejado, então, para obter um ponto na fronteira eficiente: Minimizamos o risco para diversos valores de retorno; Restringimos a soma das participações em cada título a 1; E as participações em cada título são maiores ou iguais a zero. Minimizar Sujeito a: N i=1 X i 2 σ i 2 N N + i=1 j=1 j i X i X j σ ij (1) N i=1 X i = 1 (2) i=1 N X i R i = R P (3) X i 0 para i = 1,, N

14 Incorporação de Restrições Adicionais Qualquer restrição que possa ser formulada como uma função linear das proporções a serem aplicadas em cada título podem ser adicionadas ao problema. Ex.: A taxa de dividendo da carteira seja pelo menos igual a determinado número N i=1 X i d i D Fixação de um limite superior a ser aplicado em qualquer ação Impor limites ao giro da carteira levando em conta os custos de transação no cálculo dos retornos