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11 ! ( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares motorista e mais quatro pasageiros será superior a 100. ( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. ( ) Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e independentemente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20% RESOLUÇÃO: ( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares motorista e mais quatro pasageiros será superior a 100. Temos 5 lugares no carro para preencher com 5 pessoas. Pelo princípio fundamental da contagem, o número de possibilidades é dado por 5x4x3x2x1 = 120. Este número é superior a 100, tornando o item CORRETO. ( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. Precisamos escolher 1 delegado dos 2 disponíveis, 1 perito dos 2 disponíveis, 1 escrivão dentre os 2 disponíveis e 2 agentes dentre os 4 disponíveis. Como a ordem de escolha não importa, usamos a fórmula da combinação. Temos: Nº de possibilidades p/ Delegado = C(2, 1) = 2 Nº de possibilidades p/ Perito = C(2, 1) = 2 Nº de possibilidades p/ Escrivão = C(2, 1) = 2 Nº de possibilidades p/ Agente = C(4, 2) = 4 x 3 / 2 = 6 Como as escolhas dos profissionais de cada cargo são independentes entre si, o total de maneiras de compor as equipes é dado pela multiplicação das possibilidades: Total = 2x2x2x6 = 48 Este número é inferior a 50, tornando o item ERRADO.

12 ! ( ) Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e independentemente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20%. O total de grupos de 5 pessoas que podemos formar utilizando as 10 disponíveis é dado por C(10,5) = 252. Já o número de casos favoráveis, isto é, aqueles que formam equipes com 1 delegado, 1 perito, 1 escrivão e 2 agentes, é igual a 48, como calculamos no item anterior. Logo, a probabilidade de escolher um grupo de 5 pessoas que constitua uma equipe é: P = favoráveis/total = 48/252 = 19,04% Esse valor é inferior a 20%, tornando o item ERRADO. Resposta: C E E 5. CESPE INPI 2013) Em um rebanho de 30 novilhas 7 são marrons, 13 são malhadas e 10 são brancas. A respeito desse rebanho, julgue os itens seguintes. ( ) Se um desses animais for selecionado ao acaso, a probabilidade de ele ser malhado é inferior a 40%. RESOLUÇÃO: Temos 13 malhadas dentre 30 ao todo. A probabilidade de selecionar uma malhada, ao acaso, é: P = casos favoráveis / total de casos P = 13 / 30 P = 0,433 = 43,3% Item ERRADO. Resposta: E 6. CESPE TRT/10ª 2013) No concurso de loterias denominado miniquina, o apostador pode marcar 5, 6 ou 7 dezenas em uma cartela que possui as dezenas de 01 a 15. Nesse concurso, o prêmio principal é dado ao apostador que marcar em sua cartela as cinco dezenas sorteadas aleatoriamente em uma urna. Com relação ao concurso hipotético acima apresentado, julgue os itens subsequentes.

13 ! ( ) Considere que o cálculo do valor a ser pago pela aposta seja feito mediante a multiplicação do valor de uma aposta de 5 dezenas, que é fixo, pela quantidade de jogos de cinco dezenas que é possível fazer com as dezenas que o apostador marcar em sua cartela. Considere, ainda, que um jogo de 5 dezenas custe R$ 3,00. Em face dessa situação, é correto afirmar que o apostador deverá pagar, caso marque 7 dezenas em sua cartela, mais de R$60,00. ( ) Caso um apostador marque 5 dezenas em sua cartela, a chance de ele acertar exatamente uma dezena entre as 5 sorteadas será superior a 30%. ( ) Se um apostador marcar apenas 5 dezenas em sua cartela, a probabilidade de ele ganhar o prêmio principal com essa cartela será superior a 1/ ( ) As dezenas que forem sorteadas em concursos anteriores terão mais chances de serem sorteadas novamente. ( ) Se o apostador A marcar 6 dezenas em sua cartela e o apostador B marcar 5 dezenas, a probabilidade de A ganhar será seis vezes superior à de B. RESOLUÇÃO: ( ) Considere que o cálculo do valor a ser pago pela aposta seja feito mediante a multiplicação do valor de uma aposta de 5 dezenas, que é fixo, pela quantidade de jogos de cinco dezenas que é possível fazer com as dezenas que o apostador marcar em sua cartela. Considere, ainda, que um jogo de 5 dezenas custe R$ 3,00. Em face dessa situação, é correto afirmar que o apostador deverá pagar, caso marque 7 dezenas em sua cartela, mais de R$60,00. Caso marque 7 dezenas, o número de combinações de 5 dezenas é: C(7,5) Para facilitar os cálculos, devemos lembrar a propriedade das combinações: C(n, p) = C(n, n-p) Portanto, C(7,5) = C(7, 7-5) = C(7,2) Assim, C(7,5) = C(7,2) = 7x6 / (2x1) = 21 combinações

14 ! Portanto, como cada combinação de 5 dezenas custa 3 reais, ao todo este apostador pagará 3 x 21 = 63 reais. Item CORRETO. ( ) Caso um apostador marque 5 dezenas em sua cartela, a chance de ele acertar exatamente uma dezena entre as 5 sorteadas será superior a 30%. O total de formas de selecionar 5 das 15 dezenas possíveis é: Total = C(15,5) = 3003 Os casos que nos interessam são as cartelas com 1 dezena correta e 4 dezenas erradas. Temos 5 possibilidades de acertar uma das dezenas sorteadas (qualquer uma das 5). Já para as 4 dezenas sorteadas, devemos lembrar que temos 15 dezenas possíveis, sendo que 5 serão sorteadas e 10 não. O número de combinações das 10 dezenas não sorteadas, em grupos de 4, é: C(10,4) = (10 x 9 x 8 x 7) / (4 x 3 x 2 x 1) C(10,4) = 210 possibilidades Assim, o número de formas de pegar 1 dezena sorteada e 4 não sorteadas é 5 x 210 = 1050 possibilidades. Portanto, a probabilidade de acertar apenas 1 dezena é: P = casos favoráveis / total P = 1050 / 3003 P = 0,349 = 34,9% Item CORRETO. ( ) Se um apostador marcar apenas 5 dezenas em sua cartela, a probabilidade de ele ganhar o prêmio principal com essa cartela será superior a 1/ Como vimos acima, o total de combinações das 15 dezenas, 5 a 5, é C(15,5) = Como o apostador escolheu apenas 1 dessas combinações, a chance de ele acertar é: P = 1 / 3003 Este número é MENOR que 1/3000. Item ERRADO.

15 ! ( ) As dezenas que forem sorteadas em concursos anteriores terão mais chances de serem sorteadas novamente. ERRADO. Não há nada que indique isto no enunciado e, em regra, neste tipo de sorteio as dezenas não são viciadas, isto é, todas elas tem a mesma chance de serem sorteadas. ( ) Se o apostador A marcar 6 dezenas em sua cartela e o apostador B marcar 5 dezenas, a probabilidade de A ganhar será seis vezes superior à de B. Se A marcar 6 dezenas, o número de combinações de 5 dezenas que pode ser formado é C(6, 5) = C(6, 1) = 6. Portanto, ao marcar 6 dezenas o jogador A está selecionando 6 conjuntos de 5 números. Já o apostador B tem apenas 1 forma de acertar, dado que marcou apenas 1 conjunto de 5 dezenas. Assim, a probabilidade de A ganhar é 6 vezes maior. Item CORRETO. Resposta: C C E E C 7. CESPE TRT/ ) Considerando que, dos 10 postos de combustíveis de determinada cidade, exatamente dois deles cometam a infração de vender gasolina adulterada, e que sejam escolhidos ao acaso alguns desses postos para serem fiscalizados, julgue os itens seguintes. ( ) Cinco é a menor quantidade de postos que devem ser escolhidos para serem fiscalizados de modo que, com certeza, um deles seja infrator. ( ) Há mais de 15 maneiras distintas de se escolher dois postos, de modo que exatamente um deles seja infrator. ( ) Se dois postos forem escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de esses dois postos serem os infratores será inferior a 2%. ( ) Há menos de 30 maneiras diferentes de se escolher quatro postos, de modo que dois deles sejam os infratores. RESOLUÇÃO: ( ) Cinco é a menor quantidade de postos que devem ser escolhidos para serem fiscalizados de modo que, com certeza, um deles seja infrator. ERRADO. Podemos dar o azar de escolher 5 dos 8 postos que não são infratores. Para ter certeza de pegar pelo menos 1 infrator, deveríamos fiscalizar 9 postos.

16 ! ( ) Há mais de 15 maneiras distintas de se escolher dois postos, de modo que exatamente um deles seja infrator. Para escolher 1 posto infrator dentre os 2 possíveis, existem C(2,1) = 2 possibilidades. Para escolher 1 posto não-infrator dentre o 8 possíveis, existem C(8,1) = 8 possibilidades. Assim, o número de maneiras distintas de se escolher dois postos, de modo que exatamente um deles seja infrator, é 2 x 8 = 16. Item CORRETO. ( ) Se dois postos forem escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de esses dois postos serem os infratores será inferior a 2%. O total de maneiras de se escolher 2 postos em 10 é: C(10,2) = 10 x 9 / (2 x 1) = 45 O total de maneiras de se escolher 2 dos 2 postos infratores é: C(2,2) = 1 Portanto, a probabilidade de escolher exatamente dois postos infratores é: P = 1 / 45 = 0,0222 = 2,22% Item ERRADO. ( ) Há menos de 30 maneiras diferentes de se escolher quatro postos, de modo que dois deles sejam os infratores. Para escolher os 2 postos infratores, há apenas 1 forma, pois C(2,2) = 1. Para os outros 2 postos a serem escolhidos, temos 8 possibilidades, o que nos dá um total de maneiras de escolha igual a C(8,2) = 8 x 7 / (2 x 1) = 28. Assim, o número de maneiras diferentes de se escolher quatro postos, de modo que dois deles sejam os infratores, é 1 x 28 = 28. Item CORRETO. Resposta: E C E C 8. CESPE MPU 2013) Em razão da limitação de recursos humanos, a direção de determinada unidade do MPU determinou ser prioridade analisar os processos

17 ! em que se investiguem crimes contra a administração pública que envolvam autoridades influentes ou desvio de altos valores. A partir dessas informações, considerando P = conjunto dos processos em análise na unidade, A = processos de P que envolvem autoridades influentes, B = processos de P que envolvem desvio de altos valores, C P (X) = processos de P que não estão no conjunto X, e supondo que, dos processos de P, 2/3 são de A e 3/5 são de B, julgue os itens a seguir. ( ) Selecionando-se ao acaso um processo em trâmite na unidade em questão, a probabilidade de que ele não envolva autoridade influente será superior a 30%. RESOLUÇÃO: Foi dito que 2/3 dos processos fazem parte de A, isto é, 2/3 envolvem autoridades influentes. Assim, o restante (1/3) não envolve autoridade influente. A chance de selecionar um deles é de 1/3 = 33,33%. Item CORRETO. Resposta: C 9. CESPE STM 2011) Considere o seguinte conjunto de dados composto por cinco elementos: {82,93; 94,54; 98,40; 115,41; 123,07}. Com base nesses dados, julgue os itens subsequentes acerca das medidas de tendência central. ( ) Em uma distribuição de dados unimodal, se a média e a mediana forem iguais, não é possível determinar o valor da moda se todos os dados não estiverem disponíveis. ( ) A média do conjunto de dados em questão é 102,87 e a mediana é 98,40. Se o valor 123,07 for alterado para 200, a média irá aumentar, mas a mediana continuará sendo 98,40. ( ) Se o valor de um dos elementos do conjunto não for fornecido, esse valor pode ser determinado se a média do conjunto for conhecida, mas não será possível obter esse valor conhecendo-se apenas a mediana. RESOLUÇÃO: ( ) Em uma distribuição de dados unimodal, se a média e a mediana forem iguais, não é possível determinar o valor da moda se todos os dados não estiverem disponíveis.

18 ! ERRADO, pois é possível determinar o valor da moda ainda que algum valor esteja faltando. Exemplificando, veja a seguinte distribuição: {1; 1; 1; 1; 3,74; 6; 6; 7; 7} Ela possui média igual a 3,74 e mediana também igual a 3,74. Ainda que não soubéssemos um dos valores, já seria possível determinar que a moda é igual a 1. Exemplificando, se tivéssemos: {1; 1; 1; 1; 3,74; X; 6; 7; 7}, onde o X representa um valor desconhecido, já poderíamos afirmar que a moda é igual a 1, independente do valor que X venha a assumir. Obs.: a banca anulou este item por considerar que a redação prejudicou o julgamento objetivo. Ainda assim, é interessante você compreender os conceitos envolvidos, pois eles podem voltar a ser cobrados! ( ) A média do conjunto de dados em questão é 102,87 e a mediana é 98,40. Se o valor 123,07 for alterado para 200, a média irá aumentar, mas a mediana continuará sendo 98,40. A média do conjunto {82,93; 94,54; 98,40; 115,41; 123,07} pode ser calculada somando-se todos os elementos (total = 514,35) e dividindo-se pela quantidade de elementos (5). Assim, obtém-se o valor 102,87. A mediana é o termo central. Como n = 5, a posição da mediana é: Posição da mediana = (n + 1)/ 2 = (5 + 1) / 2 = 3 Vemos que a mediana é o 3º termo, que é igual a 98,40. Trocando-se o último valor por um número maior (200), a média naturalmente vai aumentar, pois ela é influenciada por todos os elementos da distribuição. Já a mediana não será alterada, pois ela continua sendo igual ao termo central, que manteve-se em 98,40. Item CORRETO. ( ) Se o valor de um dos elementos do conjunto não for fornecido, esse valor pode ser determinado se a média do conjunto for conhecida, mas não será possível obter esse valor conhecendo-se apenas a mediana.

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22 ! ( ) Define-se variável como o conjunto de resultados possíveis para uma característica avaliada. RESOLUÇÃO: ( ) Escolaridade e número de filhos são exemplos de variáveis quantitativas ordenável e discreta, respectivamente. A variável Escolaridade pode assumir valores como: Nível Fundamental, Nível Médio, Nível Superior, Pós Graduação etc. Trata-se, portanto, de uma variável qualitativa, e não quantitativa. Isto já torna o item ERRADO. Já a variável número de filhos é, de fato, quantitativa. Trata-se realmente de uma variável discreta, uma vez que o número de filhos pode ser {0, 1, 2, 3...}, mas não pode assumir qualquer valor entre 0 e 1, ou entre 1 e 2, por exemplo. ( ) Quando a variável é qualitativa, a única medida de tendência que se pode utilizar é a moda. Vamos utilizar como exemplo a variável Escolaridade, que já vimos ser qualitativa. Se, em uma amostra, sabemos que 5 pessoas tem nível fundamental, 10 tem nível médio, 15 tem nível superior e 1 tem pós graduação, quais medidas de posição (ou tendência central) podemos calcular? Ora, descabido é calcular a média, afinal não faz sentido somar 5 fundamental + 5 médio + 15 superior + 1 pós, e muito menos dividir por qualquer coisa. O mesmo vale para a mediana, cujo cálculo exige que trabalhemos com variáveis numéricas e que possam ser ordenadas da menor para a maior. Já a moda é definida como sendo o valor que mais se repete. Neste exemplo, claramente a moda é nível superior, que é o valor que possui o maior número de freqüências. Item CORRETO. ( ) Variância, desvio padrão e coeficiente de variação são tipos diferentes de medidas de dispersão. CORRETO. As três medidas de dispersão, ou variabilidade, que estudamos foram exatamente a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. Elas medem quão próximos ou quão dispersos/afastados encontram-se os dados de determinada amostra ou população.

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25 ! ( ) Considerando-se os três intervalos de classe centrais, é correto afirmar que a distribuição dos dados da tabela acima é aproximadamente simétrica em torno da média. ( ) A moda da distribuição se encontra no mesmo intervalo de classe que contempla a mediana e a média. ( ) A média e a mediana do número de eleitores que não votaram estão entre e ( ) Na tabela de frequências, o uso de intervalos de classe permite concluir que a variável em questão é contínua. RESOLUÇÃO: ( ) Considerando-se os três intervalos de classe centrais, é correto afirmar que a distribuição dos dados da tabela acima é aproximadamente simétrica em torno da média. Vamos representar graficamente os três intervalos de classe centrais: Observe que, de fato, temos um gráfico simétrico. Isto poderia ser percebido com a mera análise da tabela, afinal tanto à direita quanto à esquerda da classe com 3000 frequências temos classes com 1000 frequências cada. Item CORRETO. ( ) A moda da distribuição se encontra no mesmo intervalo de classe que contempla a mediana e a média.

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32 ! composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. ( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares motorista e mais quatro pasageiros será superior a 100. ( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. ( ) Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e independentemente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20% 5. CESPE INPI 2013) Em um rebanho de 30 novilhas 7 são marrons, 13 são malhadas e 10 são brancas. A respeito desse rebanho, julgue os itens seguintes. ( ) Se um desses animais for selecionado ao acaso, a probabilidade de ele ser malhado é inferior a 40%. 6. CESPE TRT/10ª 2013) No concurso de loterias denominado miniquina, o apostador pode marcar 5, 6 ou 7 dezenas em uma cartela que possui as dezenas de 01 a 15. Nesse concurso, o prêmio principal é dado ao apostador que marcar em sua cartela as cinco dezenas sorteadas aleatoriamente em uma urna. Com relação ao concurso hipotético acima apresentado, julgue os itens subsequentes. ( ) Considere que o cálculo do valor a ser pago pela aposta seja feito mediante a multiplicação do valor de uma aposta de 5 dezenas, que é fixo, pela quantidade de jogos de cinco dezenas que é possível fazer com as dezenas que o apostador marcar em sua cartela. Considere, ainda, que um jogo de 5 dezenas custe R$ 3,00. Em face dessa situação, é correto afirmar que o apostador deverá pagar, caso marque 7 dezenas em sua cartela, mais de R$60,00. ( ) Caso um apostador marque 5 dezenas em sua cartela, a chance de ele acertar exatamente uma dezena entre as 5 sorteadas será superior a 30%. ( ) Se um apostador marcar apenas 5 dezenas em sua cartela, a probabilidade de ele ganhar o prêmio principal com essa cartela será superior a 1/3.000.

33 ! ( ) As dezenas que forem sorteadas em concursos anteriores terão mais chances de serem sorteadas novamente. ( ) Se o apostador A marcar 6 dezenas em sua cartela e o apostador B marcar 5 dezenas, a probabilidade de A ganhar será seis vezes superior à de B. 7. CESPE TRT/ ) Considerando que, dos 10 postos de combustíveis de determinada cidade, exatamente dois deles cometam a infração de vender gasolina adulterada, e que sejam escolhidos ao acaso alguns desses postos para serem fiscalizados, julgue os itens seguintes. ( ) Cinco é a menor quantidade de postos que devem ser escolhidos para serem fiscalizados de modo que, com certeza, um deles seja infrator. ( ) Há mais de 15 maneiras distintas de se escolher dois postos, de modo que exatamente um deles seja infrator. ( ) Se dois postos forem escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de esses dois postos serem os infratores será inferior a 2%. ( ) Há menos de 30 maneiras diferentes de se escolher quatro postos, de modo que dois deles sejam os infratores. 8. CESPE MPU 2013) Em razão da limitação de recursos humanos, a direção de determinada unidade do MPU determinou ser prioridade analisar os processos em que se investiguem crimes contra a administração pública que envolvam autoridades influentes ou desvio de altos valores. A partir dessas informações, considerando P = conjunto dos processos em análise na unidade, A = processos de P que envolvem autoridades influentes, B = processos de P que envolvem desvio de altos valores, C P (X) = processos de P que não estão no conjunto X, e supondo que, dos processos de P, 2/3 são de A e 3/5 são de B, julgue os itens a seguir. ( ) Selecionando-se ao acaso um processo em trâmite na unidade em questão, a probabilidade de que ele não envolva autoridade influente será superior a 30%. 9. CESPE STM 2011) Considere o seguinte conjunto de dados composto por cinco elementos: {82,93; 94,54; 98,40; 115,41; 123,07}.

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38 5. GABARITO! 01 CCECEEC 02 EE 03 C 04 CEE 05 E 06 CCEEC 07 ECEC 08 C 09 ECC 10 CE 11 ECCCC 12 C 13 CCCE 14 CEEEC