ALGORITMO GENÉTICO MULTIOBJETIVO: SISTEMA ADAPTATIVO COM ELITISMO

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1 ALGORITMO GENÉTICO MULTIOBJETIVO: SISTEMA ADAPTATIVO COM ELITISMO Alípio Monteiro Barbosa, Lucas de Carvalho Ribeiro 2, João Matheus de Oliveira Arantes 3 Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, UFMG, Belo Horizonte, Brasil, alipiomonteiro@yahoo.com.br 2 Divisão de Engenharia Eletrônica, ITA, São José dos Campos, Brasil, lcarvalho.ribeiro@hotmail.com 3 Divisão de Engenharia Eletrônica, ITA, São José dos Campos, Brasil, jm.arantes@yahoo.com.br Abstract: Métodos de otimização multiobjetivo têm como principais finalidades minimizar a distância entre a frente não dominada e a frente pareto ótimo e encontrar um conjunto de soluções que sejam as mais diversas possíveis. Na expectativa de trilhar caminhos para alcançar esses objetivos, foi desenvolvido um algoritmo genético adaptativo com elitismo (ANSGA). O conceito de população externa e operadores adaptativos foi adotado. Três problemas teste foram avaliados como um indicativo do desempenho do algoritmo adaptativo. Keywords: Algoritmo genético, otimização multiobjetivo, sistema adaptativo.. INTRODUÇÃO Os Algoritmos Genéticos (AGs) são métodos de busca estocástica que imitam matematicamente os mecanismos de evolução natural das espécies, compreendendo processos de evolução genética de populações, sobrevivência e adaptação dos indivíduos []. As aplicações de tal ferramenta matemática é limitada apenas pela imaginação do pesquisador, tendo aplicações em economia [], logística [5], petróleo e gás [9], telecomunicações [8], dentre outras. Tendo isto em vista, os AGs são as mais difundidas e estudadas técnicas de Computação Evolucionária. A dificuldade de obtenção de soluções ótimas pelos métodos convencionais de otimização faz dos Algoritmos Evolucionários (AEs) uma das técnicas mais eficientes para otimização multiobjetivo. Entretanto, a tomada de decisões implica num processo que consiste em vários fatores, com o objetivo de encontrar a melhor solução. Nas últimas décadas, um bom número de algoritmos evolucionários multiobjetivos apareceu na literatura, dentre eles podem ser citados: VEGA (984), MOGA (993), NSGA (993), NPGA (993), SPEA (998), NSGA II (22), WBGA (992), PPES (998), TGA (996), Micro- GA (2), etc. Todos com grande habilidade de encontrar várias soluções ótimas e vasta aplicação real [6, 7, 2, 3]. Os métodos de otimização multiobjetivo têm dois objetivos principais: minimizar a distância entre a frente não dominada e a frente pareto ótimo e encontrar um conjunto de soluções diversificada. Em contrapartida, os AEs buscam solucionar dois problemas: o procedimento de avaliação e seleção dos algoritmos de forma a garantir uma busca eficiente para o conjunto pareto ótimo e uma forma de manter a diversidade da população evitando a convergência prematura. Vários pesquisadores buscam técnicas para garantir a manutenção de soluções distintas e mais próximas da fronteira pareto ótimo durante o processo evolucionário, o que mantém um bom espalhamento das soluções [4, ]. Entretanto, os algoritmos, usualmente, empregam unicamente um operador de mutação e um operador de cruzamento. Operadores genéticos tem sido o foco de várias pesquisas na tentativa de melhorar a performance dos AEs. Coelho e Alotto [2] trabalharam com um operador de cruzamento com característica caótica na tentativa de obter melhorias no processo evolucionário. Com base na característica dinâmica dos processos evolucionários, este trabalho propõe operadores de mutação e cruzamento adaptativos. Esses operadores utilizam informações atuais do sistema para decidir as taxas correntes de operação. Nesse contexto, o algoritmo genético adaptativo com elitismo (ANSGA) foi desenvolvido fundamentado no NSGA II proposto por Deb et al. [3]. O restante do trabalho está dividido conforme a seguir. A Seção 2 descreve o NSGA II e o ANSGA proposto. Em seguida, são analisados três problemas teste cuja performance de ambos os algoritmos é verificada. E por fim, na Seção 5 os resultados são apresentados e discutidos. 2. ALGORITMOS DE OTIMIZAÇÃO Nesta seção dois algoritmos de otimização multiobjetivo são descritos. O Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA-II) [3] e o algoritmo proposto, NSGA adaptativo (ANSGA), uma extensão do NSGA II. Serra Negra, SP - ISSN

2 2.. Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA II) Deb et al. [3] propuseram o NSGA II levando em conta a necessidade de diminuir a complexidade computacional na classificação não-dominada, introduzir o elitismo e eliminar a subjetividade na atribuição do parâmetro de compartilhamento. O algoritmo NSGA II (Figura ) trabalha com uma população filha (derivada da população pai) criada utilizando a seleção por torneio de multidão que consiste na comparação de duas soluções. Para ter-se uma estimativa da densidade das soluções que cercam uma solução particular na população, calcula-se a distância comum entre a solução anterior e a posterior ao longo de cada um dos objetivos. Esta distância serve de estimativa do tamanho do maior cubóide que inclui a solução i sem incluir qualquer outra solução da população. Uma solução i vence outra solução j se: a solução i tem um rank melhor, então, r i <r j. ambas as soluções tem o mesmo rank, mas i tem uma distância melhor do que j, então, r i = r j e di > dj. Após a seleção faz-se a recombinação e a mutação como nos Algoritmos Genéticos convencionas. Os dois conjuntos (pai e filho de mesma dimensão) são unidos em uma única população (dimensão 2) e aplica-se a classificação não dominada em frentes de dominância. Dessa forma garante-se o elitismo preservando as melhores soluções (frentes não dominadas) na população posterior. Contudo, nem todas as frentes podem ser incluídas na nova população. Dessa forma Deb et al. [3] propuseram um método denominado distância de multidão (Figura 2), que combina as frentes não incluídas no conjunto, para compor os últimos espaços da população corrente, garantido a diversidade da população ANSGA O termo adaptativo é definido na biologia como uma conformação vantajosa de um organismo a mudanças no seu ambiente. Inspirado por esta definição, o termo adaptativo foi introduzido na teoria dos algoritmos genéticos. A característica adaptativa foi inserida no cruzamento e mutação. Estes são dois operadores básicos de AG dos quais o desempenho é dependente. O tipo e a implementação desses operadores dependem da codificação e também do problema. A probabilidade de cruzamento é a freqüência na qual o cruzamento é realizado. Se não houver cruzamento, a descendência é uma cópia exata dos pais. Se ocorre o cruzamento, a descendência é constituída de partes dos cromossomos de ambos os pais. Os cruzamentos são realizados na esperança de que os novos cromossomos contenham partes boas dos cromossomos antigos e que portanto os novos cromossomos serão melhores. A probabilidade de cruzamento adaptativo é definida pela Equação. Onde ng é o número total de gerações e t éa geração corrente. Figura Fluxograma geral do NSGA II. Figura 2 Cálculo da distância de multidão do NSGA II. Pcru =, 9 8, 8e ( ),3t 2 2ng O comportamento da probabilidade de cruzamento é mostrado na Figura 3. Com o passar das gerações a taxa de cruzamento aumenta com o objetivo de que os novos indivíduos tenham as partes boas dos indivíduos antigos. A probabilidade de mutação determina a freqüência que partes dos cromossomos sofrerão mutação. Se não houver mutação, a descendência é gerada imediatamente após o cruzamento (ou copiada diretamente) sem nenhuma alteração. Se a mutação ocorre, uma ou mais partes do cromossomo é alterada. Se a probabilidade de mutação é %, todos os cromossomos são alterados, se é %, nenhum é alterado. A mutação em geral evita que o AG caia num extremo (mínimo ou máximo) local. A probabilidade de mutação adaptativa é definida pela Equação 2. O intuito é que o início do processo evolucio- () Serra Negra, SP - ISSN

3 P ro b a b ilid a d e d e C ru z a m e n to G e r a ç õ e s Figura3 Probabilidade adaptativa de cruzamento. ng =. nário tenha uma baixa taxa de mutação, ou seja, pouca alteração das partes cromossômicas. Essa taxa adapta-se ao sistema conforme o passar das gerações. O comportamento da probabilidade de mutação é mostrado na Figura 4. Pmut =, 9 8, 8e (,2t 2 2ng ) (2) externa. O algoritmo termina ao atingir o número máximo de gerações. Figura 5 Fluxograma do ANSGA. Destaque para os operados e para a população externa. P ro b a b ilid a d e d e M u ta ç ã o G e r a ç õ e s Figura 4 Probabilidade adaptativa de mutação. ng = Etapas do procedimento iterativo do ANSGA O ANSGA foi implementado de acordo com o fluxograma apresentado na Figura 5. O ANSGA inicia-se da mesma forma que o NSGA II (Seção 2.). Após gerar a população inicial e classificá-la, aplica-se o operador de seleção e os operadores adaptativos (conforme geração corrente) e a população filha é gerada. Da população total (R t ), os melhores indivíduos são selecionados e alocados (por critério de não dominância) em uma população externa. No fim do procedimento une-se a população corrente com a população 3. ESTUDO DE CASO O estudo de caso é composto por três problemas teste com diferentes níveis de dificuldade. O objetivo é verificar o comportamento dos algoritmos em condições extremas e validar, por meio das métricas de performance (Seção 4), o algoritmo proposto. Os problemas teste são descritos a seguir. Problema : O primeiro problema é a função de Rastrigin com restrições, conforme Equação 3. min f(x) = {f (x),f 2 (x)} (3) s.a. g i (x) =sen(2πx i )+, 5 h j (x) =cos(2πx j )+, 5= Onde: 5, 2 x i 5, 2 e i = j =, 2,...,5 n f (x) =n + [(x 2 i 4) cos(2π(x 2 i 4))] i= f 2 (x) =n + n [(x 2 i cos(2πx i )] i= A Figura 6 ilustra o mapeamento do espaço no círculo trigonométrico (a curva em cor vermelha identifica a faixa de ângulos 2πx i que satisfazem uma dada restrição de desigualdade g i (x). Ambas as linhas em azul pontilhado identificam os ângulos que satisfazem a restrição de igualdade. Entretanto, somente o ângulo em pontilhado com traço grosso é Serra Negra, SP - ISSN

4 aquele que satisfaz às restrições de igualdade e desigualdade simultaneamente. Logo, o algoritmo deverá encontrá-lo, o qual corresponde a 2πx i =2π ( 2 3). A solução deverá ser x i = { 2 3,..., 3} 2. A fronteira de pareto para o problema consiste em um único ponto. 8. A fronteira de pareto do problema 3 é mostrada na Figura Figura 6 Mapeamento do espaço no círculo trigonométrico. Problema f Problema 2: O segundo problema consiste na minimização de duas funções (f (x) e f 2 (x)), variável (x [, ]), conforme se segue: Figura8 Fronteira pareto ótimo. Problema f (x) = x f 2 (x) = x x sen(πx ) A fronteira de pareto do problema 2 é mostrada na Figura MÉTRICAS DE PERFORMANCE As metas de Otimização Multiobjetivo são encontrar soluções o mais perto possível da fronteira de pareto e obter a maior diversidade de soluções na fronteira. A seguir são descritas as métricas utilizadas para verificar o desempenho do algoritmo proposto. Distância Geracional Esta métrica (ilustrada na Figura 9) calcula explicitamente a proximidade de um conjunto com N soluções para o conjunto de pontos ótimos de Pareto P por meio da Equação f ( n ) i= GD d2 2 i (4) n onde n é o número de pontos não-dominados e d i é a distância euclidiana (no espaço de busca). Figura 7 Fronteira pareto ótimo. Problema 2. Problema 3: Consiste na minimização de duas funções (f (x) e f 2 (x)), 6 variáveis (x i [ 4, 4]), conforme se segue: f (x) = f 2 (x) = 6 i= x 2 i 6 (x i 2) 2 i= Figura 9 Distância geracional [3]. Serra Negra, SP - ISSN

5 Espalhamento Tem a finalidade de verificar a diversidade entre as soluções não dominadas de uma população. A Figura ilustra essa métrica. mostrados nas Figuras 2, 3 e 4 para os problemas, 2 e 3, respectivamente. A Tabela apresenta os resultados das métricas. Tomou-se o NSGA II como padrão e realizou-se a análise das métricas (Seção 4). Comparando as métricas de avaliação, é possível verificar que o algoritmo apresenta melhores soluções no problema. Uma vez que, o espalhamento é consideravelmente maior do que os dos outros casos para um volume menor. Além disso, a distância é a menor observada entre as três análises. No entanto, o desempenho computacional fica a desejar com um tempo de processamento um pouco maior. E ainda, apresenta uma baixa convergência, conforme observado na Figura 2. Já para as análises 2 e 3, os volumes são praticamente os mesmos. Porém, nota-se que o espalhamento é maior para o terceiro caso, além de um esforço computacional menor. Nos dois casos, observa-se uma convergência adequada (Figuras 3 e 4). Figura Espalhamento (spread) [3]. Cardinalidade Número de soluções não dominadas encontrada. Em teoria dos conjuntos, cardinalidade é uma forma de medir a quantidade de elementos de um conjunto. Tempo de Processamento Essa métrica tem a finalidade de comparar o tempo computacional gasto pelo algoritmo para propor a solução. Representa diretamente o esforço computacional. É desejado algoritmos com bons resultados e baixo esforço computacional. Volume Ilustrado na Figura, representa o volume definido do eixo à fronteira pareto encontrada. Para problemas de minimização, quanto menor o volume melhor N S G A II A N S G A f Figura 2 Fronteira pareto para o Problema, 5 indivíduos e gerações. O quadrado em verde próximo à origem caracteriza o ponto ótimo. Figura Métrica volume. 5. RESULTADOS E DISCUSSÕES Os algoritmos NSGA II e ANSGA foram avaliados conforme problemas teste (Seção 3). Os resultados gráficos são 6. CONCLUSÕES Neste trabalho, foi desenvolvido um algoritmo genético adaptativo ANSGA. Com base nos resultados apresentados, o algoritmo mostrou-se eficiente para os problemas testados. Os primeiros resultados apontam que a abordagem proposta pode aprimorar a performance dos algoritmos evolucionários. Contudo, os problemas com restrições ainda necessitam de maior atenção. Os algoritmos evolucionários atendem diversas áreas da ciência e cada problema adéqua-se melhor a uma determinada topologia [4]. AGRADECIMENTOS Aos colegas do PPGEE/UFMG, ao Daniel, parceiro do GCoM, pelas fundamentais dicas e ao CNPq e CAPES. Serra Negra, SP - ISSN

6 Tabela Resultado das métricas. NSGA II Referência, %. 5 execuções, População = 5, Gerações =. Sistema de Avaliação de Algoritmos Multiobjetivo (%) ANSGA II Cardinalidade Tempo Distância Espalhamento Volume Problema Problema Problema N S G A II A N S G A f Figura 3 Fronteira pareto para o Problema 2, 5 indivíduos e gerações. A linha preta éafronteira ótima N S G A II A N S G A f Figura 4 Fronteira pareto para o Problema 3, 5 indivíduos e gerações. A linha preta éafronteira ótima. Referências [] Cheung, P. B. [24]. Análise de reabilitação de redes de distribuição de água para abastecimento via algoritmos genéticos multiobjetivo, PhD thesis, Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo. [2] Coelho, S. L. e Alotto, P. [28]. Multiobjective electromagnetic optimization based on a nondominated sorting genetic approach with a chaotic crossover operator, IEEE Transactions on Magnetics 44(6): [3] Deb, K., Pratap, A., Agarwal, S. e Meyarivan, T. [22]. A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA II, IEEE Transactions on Evolutionary Computation 6(2): [4] Diosan, L. e Oltean, M. [27]. Who s better? PESA or NSGA II?, Proc. Seventh International Conference on Intelligent Systems Design and Applications ISDA 27, pp [5] Heinen, M. R. e Osório, F. S. [26]. Algoritmos genéticos aplicados ao problema de roteamento de veículos, Hífen Uruguaiana 3(58). [6] Ippolito, M. G., Morana, G., Riva Sanseverino, E. e Vuinovich, F. [2]. Nsga-based multiobjective optimisation for modular strategical planning of electric distribution systems, Proc. IEEE International Conference on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. 5, pp [7] Kim, Y. e Walton, E. K. [26]. Automobile conformal antenna design using non-dominated sorting genetic algorithm (nsga), IEE Proceedings -Microwaves, Antennas and Propagation 53(6): [8] Lima, M. M. [22]. Utilizando algoritmos genéticos no dimensionamento de call center, Revista de Inteligência Computacional Aplicada. [9] Linden, R. [26]. Algoritmos Genéticos, Editora Brasport. a edição. [] Meiyi, L., Zixing, C. e Guoyun, S. [24]. An adaptive genetic algorithm with diversity guided mutation and its global convergence property, Journal of Central South University of Technology (3): [] Mendes, L. P. V. [2]. Algoritmos genéticos aplicados a séries temporais em mercados cambiais, PhD thesis, Universidade de Coimbra. [2] Nascimento, L. S. V., Reis, D. S. e Martins, E. S. P. R. [27]. Comparação de algoritmos evolucionários na otimização multiobjetivo de sistemas de reservatórios, XVII Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos. [3] Ticona, W. G. C. [23]. Aplicaçãao de algoritmos genéticos multi-objetivo para alinhamento de sequências biológicas, Master s thesis, Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação ICMC USP. Serra Negra, SP - ISSN