Prof. Flávio Vinícius Cruzeiro Martins

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1 Prof. Flávio Vinícius Cruzeiro Martins

2 Os mecanismos de otimização tratam da questão de determinar a melhor solução de problemas abstratos.

3 Abordagem Escalar = mono-objetivo. O mecanismo de otimização deve ser capaz de determinar o vetor x* que minimiza o funcional f(x).

4 Um problema de otimização combinado com um problema de factibilidade. Otimização restrita.

5 Problema com m objetivos distintos: Este problema conduzira a m soluções distintas, cada qual atendendo da melhor forma possível a um dos objetivos.

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17 Não há uma técnica de otimização que seja universal. Depende da natureza das funções. Questões de o quê são as soluções do problema (3.1).

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19 Bacias de Atração:

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26 Mínimo Global Mínimo Local

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38 O que seriam: O vetor de variáveis de otimização? A função objetivo? A solução ótima? As restrições?

39 Tratamento da função objetivo e restrições Adaptando problemas de maximização para minimização. Função Objetivo: Restrições?

40 Solução ótima:

41 Nomeclaturas em relação às restrições:

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47 Para facilitar a visualizações, trabalharemos em problemas de 2 dimensões.

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50 Imaginemos um ser matemático, o Otimizador O Otimizador é lançado de pára-quedas em um ponto qualquer sobre a superfície da função.

51 Ele deverá caminhar sobre essa superfície, em busca do ponto mais baixo da mesma. (o ponto de mínimo) Entretanto o Otimizador deverá caminhar com uma venda cobrindo seus olhos.

52 A única informação que ele pode utilizar será: A altura do ponto no qual ele está pisando. Ele pode lembrar das alturas dos pontos em que ele tenha já pisou. Objetivo: Chegar no ponto de mínima altura sobre a superfície Fazer isso utilizando o menos número possível de passos.

53 As características da função objetivo definem que tipos de estratégias seriam efetivas para a otimização. Ser diferenciável: Possibilidade de cálculo aproximado do gradiente. Ser unimodal as estratégias seriam bem diferentes de funções multimodal.

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55 Estratégias de Direção de Busca:

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58 Vamos usar o Otimizador! A função é bem simples, mas o Otimizador não sabe disto! O Otimizador deve descobrir o ponto de mínimo utilizando apenas amostras. Qual seria uma boa estratégia?

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64 Para estes métodos funcionarem, os requisitos que encontram-se implicitos são: A função ser unimodal. A função ser diferenciável. Alguns problemas podem ocorrer Considere a função unimodal e diferenciável a seguir.

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67 Estratégias de Exclusão de Regiões. Considre agora uma f(x): Unimodal Não diferenciável.

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69 Problemas com os métodos de direção de busca: Não é devido não ser possível calcular o gradiente em pontos não diferenciáveis. Possibilidade de se deslocar a pontos vizinhos. Cálculo da direção de busca: Obtido pelo cálculo do gradiente.

70 Estratégias de Exclusão de Regiões. Podemos então desconsiderar a premissa de diferenciabilidade. Introduzir a premissa de convexidade. Então temos a nova estratégia!

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73 Grande parte das funções objetivo que queremos otimizar na pratica, infelizmente não é unimodal. Estratégias de direção de busca e estratégias de exclusão de regiões irão falhar. Exemplo de uma função multimodal.

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76 Como a função possui diversas bacias de atração diferentes. Temos diferentes mínimos locais. O que acontece se utilizarmos algoritmos com mecanismo de direção de busca? Qual seria uma possível estratégia a ser utilizada?

77 Método de Populações: Não mais um Otimizador sozinho. Um grupo de Otimizadores cooperando entre si para tentar descobrir a localização do ponto de mínimo da função.

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85 Barreiras e Penalidades:

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91 Função Objetivo e suas restrições são funções lineares.

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93 Faz sentido um problema de Otimização Linear sem restrições?

94 Faz sentido um problema de Otimização Linear sem restrições?

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101 Cálculo do gradiente por diferenças finitas:

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103 Torana-se uma busca em apenas uma variável.

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105 Seção áurea:

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107 Critérios de parada: Estabilização do valor da função-objetivo. Possibilidade: Variação nas últimas 5 iterações entre fmax e fmin de 0,1%. Estabilização do vetor de variáveis de otimização. Anulação do Vetor Gradiente.

108 Não-Diferenciabilidade. Problemas: Cálculo do gradiente. Descontinuidade da função gradiente. atratoras. Não-Convexidade Garantindo: Unimodalidade e a diferenciabilidade Converge. Multimodalidade?

109 Os métodos de direções de buca trabalham sempre com: apenas uma estimativa corrente da solução; informações obtidas apenas localmente, sobre a estimativa corrente, para definir a próxima estimativa de solução.

110 Os métodos de otimização por populações poderão trabalhar com: informação a respeito de mais de um ponto, que e tratada como informação corrente"; e/ou informações obtidas em mais de um ponto do espaço de soluções que é utilizada para definir a transição do estado corrente para o próximo estado da sequência de soluções.

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114 O novo algoritmo, no PANA, deve ser comparado apenas com os algoritmos pertencentes ao conjunto de Pareto. Desta forma 3 coisas podem ocorrer?

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116 Vamos considerar o problema de achar o mínimo de uma função Rastrigin rotacionada:

117 Um conjunto de operadores é definido. Podemos formar então 864 diferentes AG s.

118 Cada versão do AG é testada com todas as funções do conjunto representativo, com duas figuras de mérito: O número médio de avaliações da função objetivo necessárias para se atingir o mínimo global; e A fração das execuções do algoritmo que termina por encontrar o mínimo global.

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121 Então temos 25 algoritmos que são nãodominados. Estes 25 algoritmos são suficientes para a comparação com qualquer novo algoritmo sobre a mesma função de teste. Ao gerar um novo AG como deve ser o procedimento?

122 Poderiamos testá-los apenas com os melhores algoritmos já encontrados, introduzindo o novo operador? Isto significaria que os operadores seriam independetes Seria necessário testarmos com todas as variantes? O que significaria mais 240 combinações!

123 Ao gerar um novo AG como deve ser o procedimento? Se criarmos um novo operador de cruzamento, como temos que testá-lo?

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125 Infelizmente, a resposta à questão de serem os operadores independentes entre si é: NÃO! Dos 10 novos algoritmos que utilizam o operador de cruzamento real-polarizado e compõe o conjunto0 Pareto atualizado, apenas 2 são provinientes dos AG s antigos.

126 Métodos de busca por população podem lidar de duas formas básicas: Através de penalidades ; ou Impedindo a incorporação à população de indivíduos que violam restrições.

127 Através de penalidades : O problema de otimização pode envolver a busca de regiões factíveis em seu início. (problema de factibilidade) Impedindo a incorporação à população de indivíduos que violam restrições: Parte da premissa que a factibilidade pode ser resolvida a priori.

128 Descontinuidades de não-diferenciabilidade: Esta família de métodos não faz uso de informação nem de gradiente nem de subgradiente. Não havendo problemas!

129 Multimodalidade: É a principal justificativa para o desenvolvimento dos métodos de populações. É a família de métodos que mais se aproxima do conceito de algoritmo de otimização para problemas genéricos Os algoritmos tendem a convergir para ótimos que são globais na região em que foi distribuída a população inicial de pontos. É só?

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131 Notação:

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133 O POV se define a partir da análise do ordenamento das soluções, levando em conta os diversos objetivos.

134 As soluções multiobjetivo, ou soluções de Pareto, são as melhores soluções entre as quais não existe um ordenamento. Não há como definir, a partir da avaliação dos funcionais objetivos, que uma solução é melhor que a outra.

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