CAPÍTULO 2 OPERADORES DE CASAMENTO DE PADRÕES

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1 CAPÍTULO 2 OPERADORES DE CASAMENTO DE PADRÕES 2.1 INTRODUÇÃO Neste capítulo são apresentados os principais operadores de casamento de padrões encontrados na literatura. No Apêndice A, encontram se mais alguns operadores de casamento de padrões que foram testados mas que não apresentaram bons resultados. A seguir são dadas algumas notações e definições matemáticas que são utilizadas nas definições destes operadores de casamento de padrões. Denotamos por Z o conjunto de números inteiros e por Z 2 o produto Cartesiano Z Z (conjunto dos pares ordenados de inteiros). Seja E um retângulo de Z 2 (isto é, o produto Cartesiano de dois intervalos de Z). Seja m um número inteiro, denotamos por K m o intervalo de Z definido por K m [0, m]. O conjunto dos mapeamentos de E em K m é denotado por K E m. Neste trabalho, estes mapeamentos representam as imagens em níveis de cinza com domínio E (conjunto das posições dos pixels) e escala de cinza K m (conjunto dos possíveis valores dos pixels). Sejam w 1 e w 2 dois números naturais ímpares. Denominamos por janela o retângulo W de Z 2, definido por: W [ ((w 1 1)2), (w 1 1)2)] [ ((w 2 1)2), (w 2 1)2)]. Por construção a janela W é centralizada na origem (0, 0) de Z 2. Seja n #W o número de elementos de W, então n w 1 w 2. Seja n [1,...,n] Z. A enumeração das posições de W pode ser definida como sendo uma bijeção entre n e W. Esta bijeção será denotada por b. 5

2 6 O processo de casamento de padrões envolve duas imagens f e g. A primeira é chamada de imagem de referência e a segunda de imagem de pesquisa. Por simplicidade assume se que estas duas imagens pertencem a K E m. No domínio E escolhe se um ponto x de interesse (por exemplo o cruzamento de duas estradas) e, em torno deste ponto, extrai se uma subimagem com domínio W x. Mais precisamente, esta subimagem é a restrição fw x. O operador de casamento de padrão é dado pela composição de um operador com um operador. Com base num padrão de referência fw x, o operador processa a imagem de pesquisa g e produz como resultado a imagem (g) com domínio F E W e escala de níveis de cinza K que poderá ser um intervalo de Z ou de R (conjunto dos números reais). Para cada posição y em F, (g)(y) é uma medida de similaridade entre o padrão de referência fw x e a subimagem gw y. O objetivo do operador de casamento de padrões é encontrar, na imagem de pesquisa g, a subimagem correspondente a um dado padrão fw x. O padrão fw x pode ser escolhido manualmente ou através de um procedimento automático. Neste trabalho não serão dados maiores detalhes sobre este procedimento de escolha do padrão. A localização da subimagem correspondente na imagem de pesquisa é dada pela posição do máximo valor na imagem de saída (g). A posição deste máximo é marcada pelo operador (Banon, 1997). Em algumas situações, pode existir mais de um pixel assumindo o valor máximo. O operador de K F em K 1 F, que localiza o valor máximo de uma imagem f, é definido por: (f)(y) 1, se f (z) f (y) (z F) 0, caso contrário. (2.1) para todo y F.

3 7 Dependendo do operador haverá a necessidade de considerar o valor mínimo no lugar do valor máximo. Neste caso, usa se o operador de K F em K 1 F, definido por: (f)(y) 1, se f (z) f (y) (z F) 0, caso contrário. (2.2) para todo y F. A Figura 2.1 mostra o operador de casamento de padrões. fw x g (g) h K m E K F K 1 F Fig. 2.1 Operador de casamento de padrões. A maioria dos operadores de casamento de padrões utilizam uma informação de brilho médio, que pode ser medida de três formas diferentes: pela média, pela mediana ou pelo próprio valor do pixel central, relativo a uma dada janela. por: Seja f K m E. A média de f, denotada por média(f), é o número real dado média(f) 1 #E x E f (x) (2.3) onde #E é o número de elementos de E. Sejam n #E e n [1,...,n] Z. A enumeração das posições de E pode ser definida como sendo uma bijeção entre n e E e denotada por b.

4 8 Sejam x i b(i) e yi f (xi ) para i n. A mediana de f, denotada por mediana(f), é o número real dado por: mediana(f) y [ n1 2 ] (2.4) onde, y [i] é o i ésimo elemento da sequência ordenada dos valores da sequência original (y i ). Seja E Z 2 um retângulo com um número ímpar de linhas e colunas. Seja x c E o centro de E (ponto central). O valor central de f, denotado por centro(f), é o número inteiro dado por: centro(f) f(x c ) (2.5) De forma a simplificar a apresentação dos operadores de casamento de padrões, nas próximas seções, introduz se as seguintes expressões: f i (x) f (x b(i)) e f i (x) f i (x) (fw x ), (2.6) g i (y) g(y b(i)) e g i (y) g i (y) (gw y ). (2.7) onde x E, y F, i n, b é uma bijeção de n em W e é uma medida que pode ser a média (Expressão 2.3), a mediana (Expressão 2.4) ou o valor central (Expressão 2.5). Observamos que f i poderia ser escrito também da seguinte forma: f i (x) (fw x )(x b(i)). 2.2 OPERADOR DE CASAMENTO DE PADRÕES BASEADO NO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO A minimização da norma l 2 conduz a construção de um operador de casamento de padrões baseado no coeficiente de correlação (Banon, 2000, p. 38).

5 9 O operador de casamento de padrões baseado no coeficiente de correlação é dado pela composição, onde é o operador que localiza o valor máximo de uma imagem, dado pela Expressão (2.1), e é o operador de K E m em R F, definido por: f i (x) g i (y) (g)(y) i n (2.8) ( f i 2 (x) g i 2 (y)) 12 i n i n para todo g K E m, x E e y F; sendo a média (Expressão 2.3) a medida usada para calcular f i (x) e g i (y) (Expressões (2.6) e (2.7)). Neste trabalho, este operador é também implementado usando como medida a mediana (Expressão 2.4) e o valor central (Expressão 2.5). 2.3 OPERADOR DE CASAMENTO DE PADRÕES DE BARNEA E SILVERMAN Com o intuito de propor um método computacionalmente mais eficiente do que a correlação, Barnea & Silverman (1972) introduziram um operador de casamento de padrões baseado na minimização da norma l 1. O operador de Barnea e Silverman é dado pela composição, onde é o operador que localiza o valor mínimo de uma imagem, dado pela Expressão (2.2), e é o operador de K E m em R F, definido por: (g)(y) f i (x) g i (y) (2.9) i n para todo g K E m, x E e y F; sendo a média (Expressão 2.3) a medida usada para calcular f i (x) e g i (y) (Expressões (2.6) e (2.7)). Neste trabalho, este operador é também implementado usando como medida a mediana (Expressão 2.4) e o valor central (Expressão 2.5).

6 10 Este operador também é implementado, neste trabalho, acrescentando uma normalização. Então, o operador é dado pela composição, onde é o operador que localiza o valor mínimo de uma imagem, dado pela Expressão (2.2), e é o operador de K E m em R F, definido por: (g)(y) i n i n f i (x) g i (y) (f i (x) g i (y)) (2.10) para todo g K m E e y F. 2.4 OPERADORES DE CASAMENTO DE PADRÕES DE MARAGOS Aplicando uma propriedade do valor absoluto da diferença entre dois números reais na minimização da norma l 1, Maragos (1988) introduziu o conceito de correlação morfológica, que consiste numa soma de mínimos. Baseado neste conceito apresentou dois operadores de casamento de padrões. O primeiro operador de Maragos (1988) é dado pela composição, onde é o operador que localiza o valor máximo de uma imagem, dado pela Expressão (2.1), e é o operador de K E m em R F, definido por: (g)(y) min {f i (x), g i (y)} (2.11) i n para todo g K E m, x E e y F; sendo a média (Expressão 2.3) a medida usada para calcular f i (x) e g i (y) (Expressões (2.6) e (2.7)). Neste trabalho, este operador é também implementado usando como medida a mediana (Expressão 2.4) e o valor central (Expressão 2.5).

7 11 Por motivo de robustez, o segundo operador apresentado por Maragos (1988) é dado pela composição, onde é o operador que localiza o valor máximo de uma imagem, dado pela Expressão (2.1), e é o operador de K m E em R F, definido por: (g)(y) i n i n min {f i (x), g i (y)} (f i (x) g i (y)) (2.12) para todo g K m E e y F. 2.5 OPERADORES DE CASAMENTO DE PADRÕES DE BRUNELLI E MESSELODI Com a preocupação de encontrar medidas de similaridade menos sensíveis ao ruído que aquelas baseadas na norma l 2, Brunelli e Messelodi (1995) introduziram duas medidas de similaridade baseadas na norma l 1. O primeiro operador de Brunelli e Messelodi é dado pela composição, onde é o operador que localiza o valor máximo de uma imagem, dado pela Expressão (2.1), e é o operador de K m E em R F, definido por: (g)(y) 1 i n i n f i (x) g i (y) ( f i (x) g i (y) ) (2.13) para todo g K E m, x E e y F; sendo f(x) e g(y) vetores normalizados para obter média zero e variância unitária. Neste trabalho, é contemplado somente a normalização para obter a média zero, isto é, a média (Expressão 2.3) é usada como medida para calcular f i (x) e g i (y) (Expressões (2.6) e (2.7)). Este operador é também implementado usando como medida a mediana (Expressão 2.4) e o valor central (Expressão 2.5).

8 12 O segundo operador de Brunelli e Messelodi é dado pela composição, onde é o operador que localiza o valor máximo de uma imagem, dado pela Expressão (2.1), e é o operador de K m E em R F, definido por: (g)(y) 1 n i n (1 f i (x) g i (y) f i (x) g i (y) ) (2.14) para todo g K E m, x E e y F; sendo f(x) e g(y) vetores normalizados para obter média zero e variância unitária. Neste trabalho, é contemplado somente a normalização para obter a média zero, isto é, a média (Expressão 2.3) é usada como medida para calcular f i (x) e g i (y) (Expressões (2.6) e (2.7)). Este operador é também implementado usando como medida a mediana (Expressão 2.4) e o valor central (Expressão 2.5). 2.6 OPERADOR DE CASAMENTO DE PADRÕES DE KHOSRAVI E SCHAFER Khosravi e Schafer (1996) introduziram um operador de casamento de padrões que não precisa de multiplicações. O operador de Khosravi e Schafer é dado pela composição, onde é o operador que localiza o valor máximo de uma imagem, dado pela Expressão (2.1), e é o operador de K m E em K F (onde K é o intervalo [ m, 0] de Z), definido por: (g)(y) min {g i (y) f i (x)} max {g i (y) f i (x)} (2.15) i n i n para todo g K m E e y F. 2.7 OPERADOR DE CASAMENTO DE PADRÕES DE BANON E FARIA Com intuito de construir um operador de casamento de padrão para as imagens de sensoriamento remoto, Banon e Faria introduziram um operador baseado nos operadores elementares da morfologia matemática (Faria, 1997; Banon & Faria, 1997).

9 13 Sejam f x,y e f x,y dois mapeamentos de n em K m, definidos por: f x,y(i) max {0, min (m,(f i (x) a x,y )} (i n) (2.16) f x,y(i) max {0, min (m,(f i (x) b x,y )} (i n). (2.17) onde as constantes a x,y e b x,y são dadas por: a x,y dx,y l2 (2.18) b x,y dx,y l2 (2.19) e d x,y é dado por: d x,y (gwx ) (fw y ) (2.20) e l é uma constante positiva. A medida pode ser um mapeamento constante (de forma que d x,y seja igual a zero), a média (Expressão 2.3), a mediana (Expressão 2.4) ou o valor central (Expressão 2.5). O parâmetro l define o comprimento do intervalo [a x,y, b x,y ] centrado em d x,y. O operador de Banon e Faria é dado pela composição, onde é o operador que localiza o valor máximo de uma imagem, dado pela Expressão (2.1), e é o operador de K E m em K F n, definido por: (g)(y) #{i n : g i (y) [f x,y(i), f x,y(i)]} (2.21) para todo g K m E e y F. 2.8 OPERADOR DE CASAMENTO DE PADRÕES DE FERNÀNDEZ Baseado na estatística de Kolmogorov Smirnov, Fernàndez (1997) introduziu um operador de casamento de padrões que utiliza a máxima diferença absoluta.

10 14 O operador de Fernàndez é dado pela composição, onde é o operador que localiza o valor mínimo de uma imagem, dado pela Expressão (2.2), e é o operador de K m E em R F, definido por: (g)(y) max f i (x) g i (y) (2.22) i n para todo g K m E e y F. Neste trabalho, é implementado também a seguinte versão normalizada do operador de Fernàndez: (g)(y) max f i (x) g i (y) (2.23) i n para todo g K m E, x E e y F; sendo a média (Expressão 2.3), a mediana (Expressão 2.4) ou o valor central (Expressão 2.5), a medida usada para calcular f i (x) e g i (y) (Expressões (2.6) e (2.7)).