Filtros espaciais. Processamento e Recuperação de Imagens Médicas. Prof. Luiz Otavio Murta Jr. Depto. De Computação e Matemática (FFCLRP/USP)

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1 Processamento e Recuperação de Imagens Médicas Prof. Luiz Otavio Murta Jr. Depto. De Computação e Matemática (FFCLRP/USP) 1

2 Propriedades Operadores de suavização os elementos da máscara são positivos e somam um, de modo a que a saída é igual à entrada em regiões de constante intensidade A quantidade de suavização e remoção de ruído é proporcional à dimensão da máscara Transições abruptas (step edges) são tanto mais espalhadas (blurred) quanto maior for a dimensão da máscara Operadores diferenciais as coordenadas das máscaras tem sinais opostos para que se obtenha uma resposta máxima quando existem transições de intensidade (contraste) A soma dos valores é zero para que a resposta seja zero quando a região é constante As máscaras de primeira derivada produzem valores absolutos elevados em pontos de grande contraste As máscaras de segunda derivada produzem cruzamentos por zero em pontos de grande contraste 2

3 Suavização de imagem Suavização (filtragem passa-baixas) de imagem N N O(r, c) = I (r + i, c + j ) N 2 i= N j = N filtro de média (box filter) O(r, c) = N N g (i, j ) I (r + i, c + j ) i = N j = N filtro gaussiano g ( x, y ) = d= 1 e 2π σ d2 2σ 2 ( x xc ) 2 + ( y yc ) 2 3

4 Suavuzação (borramento) 4

5 Suavuzação (borramento) 5

6 Suavuzação (borramento) 6

7 Suavuzação (borramento) 7

8 Suavuzação (borramento) 8

9 Convolução 2D (bidimensional) ou 9

10 Convolução 2D (bidimensional) 10

11 11

12 Convolução 2D (bidimensional) sendo Por exemplo: 12

13 13

14 Tratamento de fronteiras, caso geral: 14

15 15

16 Mascaras (H): a) quadrada; b) gaussiana; c) LoG 16

17 Mascaras (H): De fato, a equação pode assumir a forma geral: ; 17

18 Propriedades da convolução 2D 18

19 Propriedades da convolução 2D 19

20 Separabilidade da convolução 2D 1 H1 = [11111] e H 2 = 1 1 Sejam: dada a propriedade: Podemos considerar: 20

21 Separabilidade da convolução 2D 1 H1 = [11111] e H 2 = 1 1 Sejam: Podemos considerar: Então: 21

22 Filtros gaussianos Caso 1D: 2 x2 1 g ( x) = e 2σ 2π σ x g ' ( x) = 2 g ( x) σ x2 1 g ' ' ( x) = 4 2 g ( x) σ σ Caso 2D: h ( x, y ) = g ( r ) r = x2 + y 2 22

23 Separabilidade da convolução 2D (H Gaussiano) Seja: Podemos considerar: Então: 23

24 Kernel Gaussiano (H Gaussiano) 24

25 Convolução 2D (Função Delta) Seja: Sabemos que: 25

26 Convolução 2D (Função Delta) 26

27 Convolução 2D (Função Delta e Kernel Gaussiano) 27

28 Filtro de mediana 28

29 Filtragem de mediana Seja A[i ]i =0,,n 1 uma lista ordenada de números reais. A mediana do conjunto A é o valor A[(n-1)/2] Exemplos 29

30 Filtro de mediana 30

31 Filtro de mediana 31

32 Filtro de mediana 32

33 Filtragem temporal com filtro de mediana Filtragem de Mediana da Sequência 33

34 Filtro de mediana 34

35 Filtro de mediana ponderada 35

36 Tratamento de fronteiras 36

37 Implementação dos filtros 37

38 Tratamento de fronteiras 38

39 Propriedades Operadores de suavização os elementos da máscara são positivos e somam um, de modo a que a saída é igual à entrada em regiões de constante intensidade A quantidade de suavização e remoção de ruído é proporcional à dimensão da máscara Transições abruptas (step edges) são tanto mais espalhadas (blurred) quanto maior for a dimensão da máscara Operadores diferenciais as coordenadas das máscaras tem sinais opostos para que se obtenha uma resposta máxima quando existem transições de intensidade (contraste) A soma dos valores é zero para que a resposta seja zero quando a região é constante As máscaras de primeira derivada produzem valores absolutos elevados em pontos de grande contraste As máscaras de segunda derivada produzem cruzamentos por zero em pontos de grande contraste 39

40 Operadores diferenciais 2D Derivada em relação a x: 40

41 Máscaras 1D 41

42 Detecção de transições (bordas) Operadores diferenciais de sinais 1D f ' ( xi ) Máscara 1D centrada f ( xi ) f ( xi 1 ) xi xi 1 42

43 Operadores diferenciais 2D Gradiente duma função f = ( fx, fy ) f f x2 + f y2 θ tan 1 ( f y / f x ) Exemplo: f 1 f x [( I ( x + 1, y ) I ( x 1, y ) ) / 2 x 3 + ( I ( x + 1, y 1) I ( x 1, y 1) ) / 2 + ( I ( x + 1, y + 1) I ( x 1, y + 1) ) / 2] f 1 f y [( I ( x, y + 1) I ( x, y 1) ) / 2 y 3 + ( I ( x 1, y + 1) I ( x 1, y 1) ) / 2 + ( I ( x + 1, y + 1) I ( x + 1, y 1) ) / 2] 43

44 Operadores diferenciais 2D Derivada em relação a x: 44

45 Operadores diferenciais 2D Derivada em relação a x: Estendendo: I ( u, v ) u e I ( u, v ) u Então o gradiente é: 45

46 Operadores diferenciais 2D Gradiente: Módulo do gradiente: 46

47 Operadores diferenciais 2D Calculo do gradiente: 47

48 Operadores diferenciais 2D Calculo do gradiente: em x em y 48

49 Operadores diferenciais 2D Kernels diferenciais (H) Prewitt: 1 H xp = 1 * [ 1 0 1] H xp = e e 1 H xp = [1 1 1] * H xp =

50 Operadores diferenciais 2D Kernels diferenciais (H) Sobel: S S H = 0 0 x H x = e O gradiente é: S ( I * H 1 x )(u, v ) I (u, v) S 8 ( I * H y )(u, v) Lembrando que: 50

51 Operadores diferenciais 2D O mesmo vale para Prewitt: e, 51

52 Operadores diferenciais 2D O mesmo vale ainda para Roberts: 0 1 H = 1 0 R 1 e 1 0 H = 0 1 R 2 52

53 Operadores diferenciais 2D O mesmo vale ainda para Roberts: 0 1 H = 1 0 R 1 e 1 0 H = 0 1 R 2 O detector: 53

54 Detectores de bordas 54

55 Detectores de bordas 55

56 Detectores de bordas Algoritmo de Canny: Redução de ruídos Filtro Gaussiano Detecção do gradiente Magnitude e direção Supressão de não-máximos Busca por máximos efetivos na direção do gradiente 56

57 Detectores de bordas 57

58 Detector de bordas de Canny Original Original Canny (σ = 1) Canny (σ = 4) Canny (σ = 1) Roberts (20%) 58

59 Detectores de bordas 59

60 Filtro LoG: 60

61 g ( x, y ) Detector de bordas baseado na função Laplaciana filtro LOG L ( x, y ) Chapéu mexicano Máscara 11x11 (σ2=2) 2 g ( x, y ) 2 g ( x, y ) L ( x, y ) = + x 2 y 2 61