n. 32 Regras para achar a transformação linear correspondente

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1 n. 3 Regras para achar a transformação linear correspondente Lembrete: matriz da transformação linear [T] B A F(u 1 ) = a v 1 + b v F(u ) = c v 1 + d v [T] A B = [ a c b d ] Dadas às bases e a matriz da transformação linear: T(x, y) = α F(u 1 ) + β F(u ) 1ª Coluna da matriz da transforma ção linear: a, b ª Coluna da matriz da transforma ção linear: c, d quando forem as bases canônicas: α = x e β = y quando não forem as bases canônicas: primeiro é preciso escrever os vetores (x, y) como combinação linear dos vetores da Base. T(x, y) = x F(u 1 ) + y F(u )

2 Exemplo : Seja [T] A B = [ 3 4 ] e as bases: (1, 0), (0, 1)}, encontre 3 T (x, y). Resolução: (x, y) = α (v 1 ) + β (v ) (x, y) = α (1, 0) + β (0, 1) x = α y = β Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B temos: T(x, y) = α F(u 1 ) + β F(u ) T(x, y) = x. (3, ) + y. (4, 3) T(x, y) = (3x + 4y, x +3 y) Dadas às bases e as transformações: T(x, y) = α F(u 1 ) + β F(u ) É o resultado da transforma ção linear. É o resultado da transforma ção linear. T(x, y) = x F(u 1 ) + y F(u )

3 Exemplo : Seja T (1, 0) = (1,, 1) e T (0, 1) = ( -, 1, 3), encontre T (x, y, z). Resolução: (x, y) = α (v 1 ) + β (v ) (x, y) = α (1, 0) + β (0, 1) x = α y = β F(u 1 ) = (1,, 1) F(u ) = (-, 1, 3) Assim, T(x, y) = α F(u 1 ) + β F(u ) T(x, y) = x. (1,, 1) + y. (-, 1, 3) T(x, y) = (x y, x + y, x +3 y) Exercícios: 1. Qual a transformação linear T: R R 3 tal que T (1, 0) = (1,, 1) e T (0, 1) = ( -, 1, 3)? T (x, y) = (x y, x + y, x + 3 y). Seja T: R R a transformação linear para a qual T (1, 1) = 3 e T (0, 1) = -. Encontre T (x, y).

4 T (x, y) = 5 x y 3. Seja T o operador linear no R definido por T (3, 1) = (, -4) e T (1, 1) = (0, ). Encontre T (x, y). T (x, y) = (x y, 3 x + 5 y) 4. Sabendo que T: R R 3 é uma transformação linear e que T (1, -1) = (3,, -) e T (-1, ) = (1, -1, 3), determine T (x, y, z). T (x, y) = (7x + 4 y, 3 x + y, - x + y) 5. Qual a transformação linear T: R 3 R tal que T (1, -1, 3) = 0, T (0, 1, -1) = 0 e T (0, 3, -) = 1? T(x, y, z) = x + y + z 6. Seja F L (R ) o operador cuja matriz em relação à base B = (1, 1), (1, )} é [ 1 0 ]. Determine F, ou seja, determine a 1 transformação linear. T(x, y ) = (x - y, y) 7. Seja F o operador linear do R cuja matriz em relação à base B = (1, 1), (1, -1)} é [ 1 0 ]. Determine a transformação linear. 0 5 T(x, y) = [( 3x y), ( x + 3y)] 8. Determine F: R 3 R 3, sabendo que F (1, 0, 0) = (1, 1, 0); F (0,, 0) = (, 0, 6) e F (0, 1, -1) = (, -, 3) T(x, y, z) = (x + y z, x + z, 3 y)

5 3 9. Seja [T] = [ 4 1 ], determine T (x, y). 1 0 T (x, y) = (3x - y, 4x + y, x) 10. Seja [T] = [ 1 0 ], determine T (x, y). 0 1 T (x, y) = (x, - y) 11. Seja [T] = [4, 1, 0], determine T (x, y, z). T (x, y, z) = 4 x y 1. Seja [T] = [ 3 4 ], determine T (x, y, z). 1 0 T (x, y, z) = (x + 3 y + 4z, x y) 13. Dadas as bases A = (1, 1), (1, 0)} do R e B = (1,, 0), (1, 0, -1), (1, -1, 3)} do R 3 determine a transformação linear T: R R 3 0 cuja matriz é: [T] A B = [ 1 ]. 1 3 T (x, y) = (x + y, - 3x+ 8y, 11x 15 y) 14. Dadas as bases A = (1, 1), (0, 1)} do R e B = (0, 3, 0), (-1, 0, 0), (0, 1, 1)} do R 3 determine a transformação linear T: R R 3 cuja 0 matriz é: [T] A B = [ 1 0]. 1 3 T(x, y) = (x, 10x + 9y, 4x + 3y)

6 15. Qual a transformação linear T: R R 3 tal que T (1, 0) = (, -1, 0) e T (0, 1) = ( 0, 0, 1)? T (x, y) = (x, - x, y) 16. Qual a transformação linear T: R R 3 tal que T (1, 1) = (3,, 1) e T (0, -) = ( 0, 1, 0)? T (x, y) = 17. Qual a transformação linear T: R 3 R tal que T (3,, 1) = (1, 1), T (0, 1, 0) = ( 0, -) e T (0, 0, 1) = ( 0, 0)? T (x, y, z) = 18. Sejam F: R R e G: R R definidas por F(x) = x + 3 x + 1 e G(x) = x 3. Encontre as fórmulas que definem as transformações compostas: (Lipschutz p. 179) a. F G R: F(G(x)) = 4x 6x + 1 R: F(G(x)) = F (x 3) = (x 3) + 3(x 3) + 1 = 4x 1x x = 4x 6x + 1 b. G F R: G(F(x)) = x + 6x 1 c. F F R: F(F(x)) = 4x 4 + 6x x + 15x + 5 d. G G R: G(G(x)) = 4x 9

7 19. Sejam F: R 3 R e G: R R definidas por F(x, y, z) = (x, y + z ) e G (x, y) = (y, x). Defina a fórmula da transformação de G F. R: G(F(x)) = (y + z, x) Exercícios resolvidos: 1. Qual a transformação linear T: R R 3 tal que T (1, 0) = (1,, 1) e T (0, 1) = ( -, 1, 3)? (x, y) = α (1, 0) + β (0, 1) x = α y = β Logo: T (x, y) = α T (v 1 ) + β T (v ) T (x, y) = α (1,, 1) + β (, 1, 3) T (x, y) = x (1,, 1) + y (, 1, 3) T (x, y) = (x y, x + y, x + 3 y). Seja T: R R a transformação linear para a qual T (1, 1) = 3 e T (0, 1) = -. Encontre T (x, y). (x, y) = α (1, 1) + β (0, 1) x = α y = α + β y = x + β β = y x Logo: T (x, y) = α T (v 1 ) + β T (v )

8 T (x, y) = α (3) + β ( ) T (x, y) = x (3) + (y x).(- ) T (x, y) = 3 x y + x T (x, y) = 5 x y 3. Seja T o operador linear no R definido por T (3, 1) = (, -4) e T (1, 1) = (0, ). Encontre T (x, y). (x, y) = α (3, 1) + β (1, 1) x = 3 α + β β = x 3 α y = α + β y = α + (x 3 α) y = x α α = x y Logo, β = x 3 ( x y x 3 x + 3y ) β = β = x + 3y Logo: T (x, y) = α T (v 1 ) + β T (v ) T (x, y) = α (, 4) + β (0, ) T (x, y) = ( x y x + 3y ) (, 4) + ( ).(0, ) T (x, y) = (x y, x + y) + (0, x + 3 y) T (x, y) = (x y, 3 x + 5 y) 4. Sabendo que T: R R 3 é uma transformação linear e que T (1, -1) = (3,, -) e T (-1, ) = (1, -1, 3), determine T (x, y).

9 (x, y) = α (1, 1) + β ( 1, ) x = α β α = x + β y = α + β y = - (x + β) + β y = - x + β β = y + x Logo, α = x + (y + x) α = x + y Logo: T (x, y) = α T (v 1 ) + β T (v ) T (x, y) = α (3,, -) + β (1, 1, 3) T (x, y) = (x+ y).(3,, -) + (y + x). (1, 1, 3) T (x, y) = (6 x + 3y, 4 x + y, - 4 x y) + (x + y, - x y, 3 x + 3y) T (x, y) = (7x + 4 y, 3 x + y, - x + y) 5. Qual a transformação linear T: R 3 R tal que T (1, -1, 3) = 0, T (0, 1, -1) = 0 e T (0, 3, -) = 1? (x, y, z) = α (1, -1, 3) + β ( 0, 1, -1) + δ (0, 3, -) (x, y, z) = (α, - α, 3 α ) + ( 0, β, - β) + (0, 3 δ, - δ) x = α (1) y = - α + β + 3 δ () z = 3 α β δ (3) (1) em (): y = x + β + 3 δ β = x + y 3 δ (4) (1) e (4) em (3): z = 3 x (x + y 3 δ ) δ z = 3 x x y + 3 δ δ z = x y + δ

10 δ = x + y + z (5) (5) em (4): β = x + y 3 ( x + y + z) β = x + y + 6 x 3 y 3 z β = 7 x y 3 z T(x, y, z) = α T(v 1 ) + β T(v )+ δ T (v 3 ) T(x, y, z) = x (0) + (7 x y 3 z). (0) + ( x + y + z ). (1) T(x, y, z) = x + y + z 6. Seja F L (R ) o operador cuja matriz em relação à base B = (1, 1), (1, )} é [ 1 0 ]. Determine F, ou seja, determine a 1 transformação linear. Como a matriz da transformação linear é [ 1 0 ], então: 1 a = 1, b = 1, c = 0 e d= F(u 1 ) = F (1, 1) = a v 1 + b v F(u ) = F (1, ) = c v 1 + d v F (1, 1) = 1 (1, 1) + 1 (1, ) F (1, 1) = (, 3) F (1, ) = 0 (1, 1) + (1, ) F (1, ) = (, 4) Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B temos: (x, y) = α (1, 1) + β (1, )

11 x = α + β y = α + β α = x β Logo, y = (x β) + β y = x + β β = y x α = x (y x) α = x y Assim, T(x, y ) = α F(u 1 ) + β F(u ) T(x, y ) = ( x y).(, 3) + (y x).(,4) T(x, y ) = (4x y, 6x 3 y) + ( y x, 4y 4 x) T(x, y ) = (x, x + y) 7. Seja F o operador linear do R cuja matriz em relação à base B = (1, 1), (1, -1)} é [ 1 0 ]. Determine a transformação linear. 0 5 Como a matriz da transformação linear é [ 1 0 ], então: 0 5 a = 1, b = 0, c = 0 e d= 5 F(u 1 ) = F (1, 1) = a v 1 + b v F(u ) = F (1, -1) = c v 1 + d v F (1, 1) = 1 (1, 1) + 0 (1, -1) F (1, 1) = (1, 1) F (1, -1) = 0 (1, 1) + 5 (1, -1) F (1, -1) = (5, -5) Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B temos: (x, y) = α (1, 1) + β(1, 1)

12 x = α + β y = α β α = x β Logo, y = (x β) β y = x β β = x y α = x (x y ) α = x+y Assim, T(x, y) = α F(u) 1 + β F(u) x + y y T(x, y) = ( ) (1, 1) + (x ) (5, 5) T(x, y) = [( T(x, y) = [( x + y x + y ), (x + y + 5x 5y )] + [( ), ( 5x 5y x + y ), ( 6x 4y 4x + 6y T(x, y) = [( ), ( )] T(x, y) = [( 3x y), ( x + 3y)] 5x + 5y )] 5x + 5y + )] 8. Determine F: R 3 R 3, sabendo que F (1, 0, 0) = (1, 1, 0); F (0,, 0) = (, 0, 6) e F (0, 1, -1) = (, -, 3) O conjunto de vetores ( 1, 0, 0), (0,, 0), (0, 1, -1)} é uma base do R 3, então qualquer vetor u = (x, y, z) R 3 é combinação linear dos vetores da base. (x, y, z) = α (1, 0, 0) + β (0,, 0) + δ (0,1, -1)

13 x = α y = β + δ δ = y β z = - δ δ = - z Assim: - z = y β β = y + z T(x, y, z) = α T(v 1 ) + β T(v )+ δ T (v 3 ) T(x, y, z) = x (1, 1, 0) + ( y + z ) (, 0, 6) + (- z) (, -, 3) T(x, y, z) = (x, x, 0) + (y + z, 0, 3 y + 3 z) + (- z, z, -3z) T(x, y, z) = (x + y + z z, x + z, 3 y + 3 z -3z) T(x, y, z) = (x + y z, x + z, 3 y) 3 9. Seja [T] = [ 4 1 ], determine T (x, y). 1 0 Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B temos: (x, y) = α (1, 0) + β(0, 1) x = α y = β Assim, T(x, y) = α F(u) 1 + β F(u) T(x, y) = x (3, 4, 1) + y (, 1, 0) T(x, y) = (3x y, 4x + y, x)

14 10. Seja [T] = [ 1 0 ], determine T (x, y). 0 1 Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B temos: (x, y) = α (1, 0) + β(0, 1) x = α y = β Assim, T(x, y) = α F(u) 1 + β F(u) T(x, y) = x (1, 0) + y (0, 1) T(x, y) = (x, y) 11. Seja [T] = [4, 1, 0], determine T (x, y, z). Escrevendo os vetores (x, y, z) como combinação linear da Base B temos: (x, y, z) = α (1, 0, 0) + β(0, 1, 0) + γ (0, 0, 1) x = α y = β z = γ Assim, T(x, y, z) = α F(u) 1 + β F(u) + γ F(u) 3 T(x, y, z) = x (4) + y( 1) + z(0)

15 T(x, y, z) = 4x y 1. Seja [T] = [ 3 4 ], determine T (x, y, z). 1 0 Escrevendo os vetores (x, y, z) como combinação linear da Base B temos: (x, y, z) = α (1, 0,0) + β(0, 1,0) + γ (0, 0, 1) x = α y = β z = γ Assim, T(x, y, z) = α F(u) 1 + β F(u) + γ F(u) 3 T(x, y, z) = x (, 1) + y (3, ) + z (4, 0) T(x, y, z) = (x + 3y + 4z, x y) 13. Dadas as bases A = (1, 1), (1, 0)} do R e B = (1,, 0), (1, 0, -1), (1, -1, 3)} do R 3 determine a transformação linear T: R R 3 0 cuja matriz é: [T] A B = [ 1 ]. 1 3 Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B temos: T( 1, 1) = (1,, 0) + 1(1, 0, 1) 1 (1, 1, 3) = (, 5, 4) T( 0, 1) = 0 (1,, 0) (1, 0, 1) + 3 (1, 1, 3) = (1, 3, 11)

16 Para determinar combinação linear dos vetores de A, isto é: (x, y) = α (1, 1) + β(1,0) x = α + β y = α T( x, y) temos que escrever ( x, y) como x = y + β y = α β = x y α = y Assim, T(x, y) = α F(u) 1 + β F(u) T(x, y) = y (, 5, 4) + (x y)(1, 3, 11) T(x, y) = (y, 5y, 4y) + (x y, 3x + 3y, 11x 11y) T(x, y) = (y + x y, 5y 3x + 3y, 4y + 11x 11y) T(x, y) = (x + y, 3x + 8y, 11x 15y) 14. Dadas as bases A = (1, 1), (0, 1)} do R e B = (0, 3, 0), (-1, 0, 0), (0, 1, 1)} do R 3 determine a transformação linear T: R R 3 cuja 0 matriz é: [T] A B = [ 1 0]. 1 3 Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B temos: T( 1, 1) = 0 (0, 3, 0) 1( 1, 0, 0) 1 (0, 1,1) = (1, 1, 1) T( 0, 1) = (0, 3, 0) + 0 ( 1, 0, 0) + 3 (0, 1, 1) = (0, 9, 3) Para determinar T( x, y) temos que escrever ( x, y) como combinação linear dos vetores de A, isto é:

17 (x, y) = α (1, 1) + β(0, 1) x = α x = α y = α + β y = x + β α = x β = y x Assim, T(x, y) = α F(u) 1 + β F(u) T(x, y) = x (1, 1, 1 ) + (y x)(0, 9, 3) T(x, y) = (x, x + 9y 9x, x + 3y 3x) T(x, y) = (x, 10x + 9y, 4x + 3y) 15. Qual a transformação linear T: R R 3 tal que T (1, 0) = (, -1, 0) e T (0, 1) = ( 0, 0, 1)? v 1 = (1,0) e v = (0,1) Fv 1 = F(1,0) = (, 1,0) e Fv = F(0,1) = (0, 0, 1) por ser base canônica: x = α e y = β T(x, y) = α Fv 1 + β Fv T(x, y) = x Fv 1 + y Fv T(x, y) = x(, 1, 0) + y(0, 0, 1) T (x, y) = (x, - x, y) 16. Qual a transformação linear T: R R 3 tal que T (1, 1) = (3,, 1) e T (0, -) = ( 0, 1, 0)? T (x, y) = 17. Qual a transformação linear T: R 3 R tal que T (3,, 1) = (1, 1), T (0, 1, 0) = ( 0, -) e T (0, 0, 1) = ( 0, 0)?

18 T (x, y, z) = 18. Sejam F: R R e G: R R definidas por F(x) = x + 3 x + 1 e G(x) = x 3. Encontre as fórmulas que definem as transformações compostas: (Lipschutz p. 179) a. F G F(G(x)) = F (x 3) = (x 3) + 3(x 3) + 1 = 4x 1x x R: F(G(x)) = 4x 6x + 1 b. G F G(F(x)) = G(x + 3x + 1) = (x + 3x + 1) 3 = R: G(F(x)) = x + 6x 1 c. F F F(F(x)) = F(x + 3x + 1) = (x + 3x + 1) + 3(x + 3x + 1) + 1 = (x + 3x + 1). (x + 3x + 1) + 3x + 9x R: F(F(x)) = 4x 4 + 6x x + 15x + 5 d. G G G(G(x)) = G(x 3) = (x 3) 3 = 4x 6 3 R: G(G(x)) = 4x Sejam F: R 3 R e G: R R definidas por F(x, y, z) = (x, y + z ) e G (x, y) = (y, x). Defina a fórmula da transformação de G F.

19 G(F(x, y, z)) = G (x, y + z) = (y + z, x) R: G(F(x)) = (y + z, x) Referências Bibliográficas BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 008. KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 197. NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 010. VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 9 ed. Curitiba REVISÃO TRANSFORMAÇÕES LINEARES Definição: Sejam V e W espaços vetoriais, uma transformação linear T: V W é uma função de V em W se: I) u, v V, T (u + v) = T (u) + T (v)

20 II) α R, T (α u) = α T (u) MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão n e m, respectivamente, sobre R. Consideremos uma transformação linear F: U V. Dadas as bases A = u 1, u,..., u n } de U e B = v 1, v,..., v m } de V, então cada um dos vetores F(u 1 ), F(u ),..., F(u n ), está em V e consequentemente é combinação linear da base B: Matriz da transformação linear [T] B A

21 F(u 1 ) = a v 1 + b v F(u ) = c v 1 + d v [T] A B = [ a c b d ] Regras para achar a transformação linear correspondente Dadas às bases e a matriz da transformação linear: Primeiro achar a combinação linear de vetores genéricos do espaço em que estamos (x, y, z,...) em função das coordenadas dos vetores (α, β, γ,...) da outra base (v 1, v,...) Na sequência, achar a transformação linear fazendo: T(x, y) = α F(u 1 ) + β F(u ) 1ª Coluna da matriz da transforma ção linear: a, b ª Coluna da matriz da transforma ção linear: c, d T(x, y) = x F(u 1 ) + y F(u )