Credenciamento Portaria MEC 3.613, de D.O.U

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1 Credenciamento Portaria MEC 3.613, de D.O.U MATEMÁTICA, LICENCIATURA / Geometria Analítica Unidade de aprendizagem Organizando a matemática e a vida através de linhas e colunas Prof. Lucas Nunes Ogliari Ângulo entre dois vetores Quest(v) Sejam dois vetores e v representados abaixo: Exercícios 1) Sabendo que a medida do ângulo formado entre os vetores e v é de 75º, determine a medida do ângulo formado pelos vetores: v a) e - v b) - e 2v c) - e d) 2 e 3v Determina-se ângulo entre os dois vetores e v como o menor giro de um vetor sobre o outro a partir da origem. 2) Para a figura abaixo: v Exemplo: Sabendo que a medida do ângulo formado entre os vetores e v é de 60º, determine a medida do ângulo formado pelos vetores: a) e - v R: 120º b) - e v R: 120º c) - v e - R: 60º d) 2 e 3v R: 60º Com a ajuda da figura fica mais fácil! 120º -v 60º 60º v 120º - Determine: a) O ângulo entre os vetores -3v e w. b) O ângulo entre os vetores -3 e -w. Vetor no Plano (R 2 ) Tratamento Algébrico O conjunto R 2 = R R = {(x, y)/x, y R} é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano x0y. Qualquer vetor AB considerado neste plano tem sempre um representante (segmento orientado OP) cuja origem é a origem do sistema cartesiano. Nestas condições, consideraremos, em nossos estudos, que cada vetor do plano é determinado pelo ponto extremo do segmento, sendo assim o ponto

2 P(x,y) individualiza o vetor v = OP, como mostra nas figuras abaixo: Veja na figura: Produto de um vetor por um número (escalar) Basta multiplicar o número (escalar) por cada componente do vetor, ou seja, a.u = (ax1,ay1), como segue na figura abaixo, para o vetor u = (4, 1), multiplicado por 2: 2u = (2. 4, 2. 1) = (8, 2) OBS: - A origem do sistema O(0,0) representa o vetor nulo. - O vetor oposto de v = (x,y) é o vetor v = (-x,-y). Igualdade de Vetores Dois vetores são iguais se suas componentes são iguais, ou seja, sejam u = (x1,y1) e v = (x2,y2) dois vetores, u = v se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2. Neste caso, pense e responda: se o vetor u = (x+1, 4) e o vetor v = (5, 2y-6), de acordo com a definição de igualdade de vetores, se u = v, então x e y tem que valer quanto? Vetor definido por dois pontos Em alguns casos, um vetor é representado por um segmento orientado que não passa pela origem, como o vetor AB representado na figura abaixo. Soma de dois vetores Para somar dois vetores, basta sonar suas componentes, ou seja, se u = (x1,y1) e v = (x2,y2), então u + v = (x1 + x2, y1 + y2). Por exemplo, se u = (4, 1) e v = (2, 6), então, pela definição, teremos: u + v = (4+2, 1+6) = (6, 7)

3 Como vimos anteriormente que, neste caso: OA + AB = OB Podemos concluir, facilmente, que: Ou seja: AB = OB OA Ponto Médio Dado um segmento com extremidades A(x1,y1) e B(x2,y2). Sendo M(x,y) o ponto médio entre estes extremos, podemos expressar o ponto médio de forma vetorial como: AM = MB. Portanto: AB = (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) AB = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) OBS: Expresso analiticamente, o ponto médio fica: M ( x 1 + x 2 2, y 1 + y 2 ) 2 Para entender como se chegou até a esta expressão, consulte as páginas do livro "Vetores e Geometria analítica" de Paulo Winterle. Cálculo do ângulo Observe a figura e tome como exemplos as demais colocações do livro base "Vetores e Geometria analítica" de Paulo Winterle (páginas 24-26). Definida através da lei dos cossenos, a fórmula que define o cálculo do ângulo entre dois vetores é: cosθ = u v u v

4 Paralelismo de dois vetores Dois vetores são paralelos se suas componentes são proporcionais, ou seja, se existe um número k tal que u = kv, ou ainda, (x1,y1) = k(x2,y2) o que implica em: Módulo de um vetor x 1 x 2 = y 1 y 2 = k O módulo de um vetor definido pela distância seus extremos, portanto, pelo Teorema de Pitágoras, acordo com a figura abaixo ao lado, temos: é entre de v = x 2 + y 2 Sendo um vetor AB que não parte da origem: d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2

5 Vetor no Espaço (R 3 ) O conjunto R 3 = R R R = {(x, y, z)/x, y, z R} é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano tridimensional Oxyz. Da mesma forma, consideraremos, em nossos estudos, que cada vetor do espaço é determinado pelo ponto extremo do segmento OP, sendo assim o ponto P(x,y,z) individualiza o vetor v = OP, como mostra na figura a seguir:

6 REFERÊNCIAS STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria analítica. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Makron Books, 2000.