n. 12 PRODUTO VETORIAL ou PRODUTO EXTERNO

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1 n. 12 PRODUTO VETORIAL ou PRODUTO EXTERNO O produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no fato que o resultado de um produto vetorial é sempre ortogonal a ambos os vetores originais. Aplicações: na fórmula do operador vetorial rotacional. para descrever a Força de Lorentz experimentada por uma carga elétrica movendo-se em um campo magnético. As definições de torque e momento angular também envolvem produto vetorial. para calcular a normal de um triângulo ou outro polígono, o que é importante no ramo da computação gráfica. para o desenvolvimento de jogos eletrônicos, para permitir efeitos que simulam iluminação, dentre outros. Dados dois vetores u e v no espaço, podemos definir um terceiro vetor, chamado de produto vetorial de u por v como sendo o vetor ortogonal a esses dois vetores:

2 O produto vetorial de u por v é denotado por u v ou u v Se u v, então, por definição o produto vetorial (ou produto externo) de u por v, é o vetor nulo. Notação: u v = 0 ou u v = 0 Ao contrário do produto escalar, que resulta num escalar, e pode ser definido em vetores do espaço e em vetores do plano, o produto vetorial só pode ser definido em vetores do espaço, pois está ligado essencialmente ao conceito de orientação. O sentido de u v pode ser dado pela regra da mão direita. A regra da mão direita pode ser melhor observada nas figuras que seguem, onde o polegar indica o sentido do vetor oriundo do produto vetorial:

3 Assim, nas figuras que seguem tem-se: u v = w e v u = w Propriedades do produto vetorial i. u (v + w ) = u v + u w Ou ( u + v ) w = u w + v w ii. ( α u ) v = α ( u v ) = u (α v ) iii. u v = v u

4 Interpretação geométrica do produto vetorial Relembrando: sen θ = cateto oposto hipotenusa cos θ = cateto adjacente hipotenusa tan θ = cateto oposto sen θ = cateto adjacente cos θ Área = base. altura Área = u. h Mas h é sen θ então: sen θ = cateto oposto hipotenusa sen θ = h v h = sen θ. v Portanto, Área = sen θ. v. u Mas, pela identidade trigonométrica: sen θ. v. u = u x v Assim: Área = u x v Portanto, a área do paralelogramo que tem u e v como lados é a norma do produto vetorial destes vetores, isto é

5 S = u v Fórmula canônica Dados dois vetores u = x 1 i + y 1 j + z 1 k e v = x 2 i + y 2 j + z 2 k o produto vetorial u v pode ser escrito na forma de um determinante: i j k y 1 z 1 u v = x 1 y 1 z 1 = y 2 z. i x 1 z 1 2 x 2 z. j + x 1 y 1 2 x 2 y. k 2 x 2 y 2 z 2 Obs.: Para usar j positivo na fórmula é preciso fazer: z 1 x 1 z 2 x 2 Vetor unitário e ortogonal Para achar um vetor que seja ortogonal aos vetores u e v, calculamos o produto externo, pois pela definição: o produto externo resulta em um vetor ortogonal a outros dois vetores. Logo, se é ortogonal, é produto externo, mas para calcular um vetor unitário e ortogonal, temos que achar o vetor unitário n, pelo cálculo do versor: Vetor unitário e ortogonal: n = u v u v

6 1º u v = y 1 z 1 y 2 z. i x 1 z 1 2 x 2 z. j + x 1 y 1 2 y. k 2 x 2 2º u v = x 2 + y 2 + z 2 Exercícios: 1. Sendo u = 2 i - j + k e v = i + j - 2 k, calcule o produto externo entre u e v. R: (u v ) = (1, 5, 3) 2. Conhecidos u = 2i + 3 j + k e v = i j + 2k calcule: a. u x v R: 7i 3 j 5 k b. v x u R: - 7i + 3 j + 5 k c. u x v R: Sejam os vetores u = (3, 1, 1) e v = (a, 0, 2), calcule o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a 2 6. R: a = 4 ou a = 2 4. Calcule a área do quadrilátero dado por A= (1, 4, 0), B = (5, 0, 0), C = (0, -2, 0) e D= ( -4, 2, 0). R: 28 u. a. 5. Do exercício anterior em que u = 2 i - j + k e v = i + j - 2 k, encontre um vetor unitário n, ortogonal aos vetores u e v.

7 (1, 5, 3) R: n = 35 = ( 1 35, 5 35, 3 35 ) 6. Determine o vetor unitário n, ortogonal aos vetores u = (2, 3, 1) e v = (1, 1, 2). R: n = ( 7, 1, 1 ) Resoluções: 1. Sendo u = 2 i - j + k e v = i + j - 2 k, calcule o produto externo entre u e v. R: (u v ) = (1, 5, 3) u = (2, - 1, 1) e v =(1, 1, -2) u v = i j k = i j k u v = (2 1). i (-4-1). j + (2 + 1). k u v = i + 5 j + 3 k Logo, (u v ) = (1, 5, 3)

8 (x,y,z) = (2,-1,1) (x,y,z) = (0,0,0) (x,y,z) = (1,1,-2) segmento (2,-1,1)--(0,0,0) segmento (1,1,-2)--(0,0,0) (x,y,z) = (1,5,3) segmento (1,5,3)--(0,0,0) z (x,y,z) = (2,-1,1) (x,y,z) = (0,0,0) (x,y,z) = (1,1,-2) segmento (2,-1,1)--(0,0,0) segmento (1,1,-2)--(0,0,0) (x,y,z) = (1,5,3) segmento (1,5,3)--(0,0,0) z y y x x 2. Conhecidos u = 2i + 3 j + k e v = i j + 2k calcule: a. u x v R: 7i 3 j 5 k b. v x u R: - 7i + 3 j + 5 k c. u x v R: Sejam os vetores u = (3, 1, 1) e v = (a, 0, 2), calcule o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a 2 6. A = u x v e u x v = 2 6 i j k u v = = i 0 2 a 2 j a 0 k a 0 2 u v = (2). i (6 + a). j + (- a). k

9 u v = 2 i (6 + a) j - a k = (2, -6 - a, - a) Área: u v = x 2 + y 2 + z 2 u v = ( 6 a) 2 + ( a) = ( 6 a) 2 + ( a) 2 (2 6) 2 = ( ( a 6) 2 + ( a) 2 ) 2 24 = 4 + a a a 2 2a a + 16 = 0 a a + 8 = 0 R: a = 4 ou a = 2 4. Calcule a área do quadrilátero dado por A= (1, 4, 0), B = (5, 0, 0), C = (0, -2, 0) e D= ( -4, 2, 0). u = AB = B A = (5, 0, 0) (1, 4, 0) = (4, 4, 0) v = AD = D A = ( 4, 2, 0) (1, 4, 0) = ( 5, 2, 0) u = (4, 4, 0) e v = ( 5, 2, 0)

10 i j k u v = = i j k u v = (0). i (0). j + (- 8-20). k u v = 0 i 0 j - 28 k = (0, 0, - 28) Área: u v = x 2 + y 2 + z 2 u v = ( 28) 2 u v = 28 2 = 28 R: 28 u. a.

11 5. Do exercício anterior em que u = 2 i - j + k e v = i + j - 2 k, encontre um vetor unitário n, ortogonal aos vetores u e v. R: n = (1, 5, 3) 35 = ( 1 35, 5 35, 3 35 ) u = (2, - 1, 1) e v =(1, 1, -2) Para achar o vetor unitário e ortogonal: n = Do exercício anterior: u v = (1, 5, 3) u v u v u v = = 35 Logo, n = (1,5,3) 35 = ( 1, 5, 3 ) Determine o vetor unitário n, ortogonal aos vetores u = (2, 3, 1) e v = (1, 1, 2). Para achar o vetor unitário e ortogonal: n = u = (2, 3, -1) e v =(1, 1, 2) u v = u v u v i j k = i j k u v = (6 +1). i (4 +1). j + (2-3). k u v = 7i 5j 1k Logo, (u v ) = (7, 5, 1)

12 E, u v = ( 5) 2 + ( 1) 2 = 75 = = 5 3 Assim, n = u v u v n = (7, 5, 1) 5 3 R: n = ( 7, 1, 1 ) Referências Bibliográficas BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, VALLADARES, R. J. C. Geometria analítica do plano e do espaço. Rio de Janeiro: LTC, 1990.