n. 2 MATRIZ INVERSA (I = matriz unidade ou matriz identidade de ordem n / matriz canônica do R n ).

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1 n. 2 MATRIZ INVERSA Modo : utilizando a matriz identidade Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz invertível se existir uma matriz B tal que A. B = B. A = I. (I = matriz unidade ou matriz identidade de ordem n / matriz canônica do R n ). I = 0 0 ] Se esta matriz B existir, A será chamada de matriz invertível. Para a existência da matriz inversa o determinante deve ser diferente de zero: det A 0 Relembrando: A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar, e transforma essa matriz em um número real. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm, são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0. Normalmente a matriz inversa de A é indicada por A, logo: A. A = A. A = I Se A não é invertível dizemos que A é singular.

2 Exemplo Sejam as matrizes: A = a 2 a 22 ], B = a 2 a 22 ], I n = 0 A. B = I n a 2 ]. a 22 a 2 a 22 ] = 0 a. a + a 2. a 2 a. a 2 + a 2. a 22 a 2. a + a 22. a 2 a 2. a 2 + a 22. a 22 Logo, ) a. a + a 2. a 2 = 2) a. a 2 + a 2. a 22 = 0 3) a 2. a + a 22. a 2 = 0 4) a 2. a 2 + a 22. a 22 = ] = 0 Exemplo: ) Seja A = ] encontre A-. A. B = I n Seja B = a c b d ] e B = A- (B é a matriz inversa de A), logo,

3 3 4 c ]. a 2 3 b d ] = 0 3a + 4b 3c + 4d 2a + 3b 2c + 3d ] = 0 3 a + 4b = { 3c + 4d = 0 2a + 3b = 0 2c + 3d = Logo, a = 3 b = - 2 c = - 4 d = 3 Portanto, B = A = ] 2. Ache a inversa da matriz A = ]. 2 3 b ]. a 4 c d ] = 0 + 3b 2b + 3d ] 2a 0 a + 4c b + 4d ] = 0 { 2a + 3c = a + 4c = 0 2b + 3d = 0 b + 4d = 2a + 3c = { a + 4c = 0 a = 4 e c = 2b + 3d = 0 { b + 4d = b = 3 e d = 2

4 Logo, A = ] Obs: O mesmo resultado seria obtido fazendo: a b c d ] ] = 0 Modo 2: Inversão de matrizes 2 2 No caso particular das matrizes invertíveis de ordem 2: Apenas para matrizes quadradas de ordem 2 x 2 podemos calcular a inversa da seguinte forma:. Primeiro calculamos o determinante: A = 2 3 ] det A = 8 3 det A = 4 2. Invertemos a ordem dos elementos da diagonal principal: = ] 3. Trocamos o sinal dos elementos da diagonal secundária: = ]

5 4. Dividimos cada um dos elementos da matriz pelo determinante e a matriz resultante será a matriz inversa. A = ] Teorema: Se A é uma matriz invertível, então a sua inversa é única. Modo 3: Eliminação de Gauss-Jordan (escalonamento) Escrevem-se lado a lado a matriz que queremos inverter e a matriz identidade. Após a aplicação sucessiva de operações elementares sobre as linhas da matriz a inverter, de modo a transformá-la na matriz identidade, lembrando que as mesmas operações devem ser aplicadas à matriz identidade, ao término, quando a matriz inicial tiver sido transformada na matriz identidade, a outra matriz será a matriz inversa procurada. Exemplo: A última matriz é a inversa procurada:

6 Observações i) Se A e B são matrizes quadradas invertíveis, então A. B é também invertível e (A. B) = B. A ii) Uma matriz quadrada A admite inversa, se e somente se, det A 0. iii) Se A é uma matriz quadrada e det A 0, então iv) (A ) = A det A = det A v) (A ) T = (A T ) Modo 3: calculando a matriz inversa pela matriz adjunta M M = det M. M Matriz Adjunta: M É a matriz transposta da matriz dos cofatores. Cofator é um número associado a um elemento qualquer de uma matriz quadrada. Matriz transposta: trocamos as linhas pelas colunas.

7 Encontrando a matriz cofator: M Seja M a matriz original, tal que: M = a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 ] E, seja M a matriz dos cofatores, tal que: M = Para encontrar a matriz cofator fazemos: A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 ] A 3 A 32 A 33 a 22 a 23 a 2 a 23 a 2 a 22 A = ( ) i+j A 2 = ( ) i+j A 3 = ( ) i+j a 32 a 33 a 3 a 33 a 3 a 32 a 2 a 3 a a 3 A 2 = ( ) i+j A 22 = ( ) i+j A 23 = ( ) i+j a 32 a 33 a 3 a 33 a 3 a 32 a 2 a 3 a a 3 A 3 = ( ) i+j A 32 = ( ) i+j A 33 = ( ) i+j a 22 a 23 a 2 a 23 a 2 a 22 Logo, a 22 a 23 a 2 a 23 a 2 a 22 A = ( ) + A 2 = ( ) +2 A 3 = ( ) +3 a 32 a 33 a 3 a 33 a 3 a 32 a 2 a 3 a a 3 A 2 = ( ) 2+ A 22 = ( ) 2+2 A 23 = ( ) 2+3 a 32 a 33 a 3 a 33 a 3 a 32 a 2 a 3 a a 3 A 3 = ( ) 3+ A 32 = ( ) 3+2 A 33 = ( ) 3+3 a 22 a 23 a 2 a 23 a 2 a 22

8 Assim, a 22 a 23 a 2 a 23 a 2 a 22 A = ( ) 2 A 2 = ( ) 3 A 3 = ( ) 4 a 32 a 33 a 3 a 33 a 3 a 32 a 2 a 3 a a 3 A 2 = ( ) 3 A 22 = ( ) 4 A 23 = ( ) a 32 a 33 a 3 a 33 a 3 a 32 a 2 a 3 a a 3 A 3 = ( ) 4 A 32 = ( ) A 33 = ( ) 6 a 22 a 23 a 2 a 23 a 2 a 22 A A 2 A 3 Sobre a matriz cofator: M = A 2 A 22 A 23 ] A 3 A 32 A 33 Aplicamos à transposta e obtemos a matriz adjunta: M Para encontrarmos a inversa fazemos: M = det M. M Exemplos:. Se M = ], encontre M pela matriz adjunta. º verificar se det M 0: det M = 4 6 = - 2 2º encontrando a matriz cofator: A = (-) 2. 4 =. 4 = 4 A 2 = (-) 3. 3 = -. 3 = - 3 A 2 = (-) 3. 2 = -. 2 = - 2 A 22 = (-) 4. =. =

9 Matriz cofator: M = ] Matriz adjunta: M = (M ) t = ] Encontrando a matriz inversa: M = det M. M M = ]. 4. ( 2) 2 M 2 2 = ] M =. ( 3) ] Se M = 2 3], encontre M de duas maneiras diferentes. 3 0 º modo: Encontrando a inversa pela matriz adjunta: º verificar se det M 0: det M = 2º encontrando a matriz cofator: A = (-) =. ( 3) = 3 A 2 = (-) =. ( 9) = 9 A 3 = (-) 4 2 =. ( ) = 3

10 A 2 = (-) =. ( 2) = 2 A 22 = (-) =. ( 6) = 6 A 23 = (-) 0 =. () = 3 A 3 = (-) =. ( 2) = 2 A 32 = (-) =. ( ) = A 33 = (-) 6 0 =. () = 2 Matriz cofator: M = Matriz adjunta: M = ] Encontrando a matriz inversa: M = det M. M M =. 9 6 ] M =. 9 6 ] ] M = ( 3) (2) ( 2) (9) ( 6) () ( ) ( ) () ] = ] 2º modo: Encontrando a inversa pela matriz identidade. M. M = I

11 0 2 a b c ]. d e f] = 0 0] 3 0 g h i 0 0 a + 0d + 2g b + 0e + 2h c + 0f + 2i 0 0 2a + d + 3g 2b + e + 3h 2c + f + 3i] = 0 0] 3a + d + 0g 3b + e + 0h 3c + f + 0i a + 2g b + 2h c + 2i a + d + 3g 2b + e + 3h 2c + f + 3i] = 0 0] 3a + d 3b + e 3c + f 0 0 a + 2g = () { 2a + d + 3g = 0 (2) 3a + d = 0 (3) De (): a + 2g = a = 2g (4) De (2): 2a + d + 3g = 0 d = 3g 2a () De (3): 3a + d = 0 d = 3a (6) Logo, de () e (6): 3g 2a = 3a a = 3 g (7) De (4) e (7): 3g = 2g g = (8) Portanto, de (8) em (4): a = 2 ( ) a = 3 (9) Portanto, de (9) em (6): d = 3 ( 3 ) d = 9 (0) a = 3, d = 9 e g =

12 b + 2h = 0 { 2b + e + 3h = 3b + e = 0 c + 2i = 0 { 2c + f + 3i = 0 3c + f = b = e = h = c = f = i = M = 9 6 ] Exercícios:. Dadas as matrizes, encontre as inversas: 4 7 a. A = 2 8] encontre A b. B = 2 2] encontre B Verifique se a matriz C = 2 ] é a inversa da matriz 3 8 G = ].

13 Exercícios resolvidos. Dadas as matrizes, encontre as inversas: 4 7 a. A = 2 8] encontre A Encontrando a inversa pela matriz adjunta: º verificar se det M 0: - repetir as duas primeiras linhas ou as duas primeiras colunas: ] Multiplicar os números e adicionar os resultados de: ().().(9) + (4).(8).(3) + (7).(2).(6) = 22 Multiplicar os números e subtrair os resultados de: (7).().(3) ().(8).(6) (4).(2).(9) = - 22 Logo, det M = 0 Portanto, M não é invertível. 2 3 b. B = 2 2] encontre B

14 L2 = 2L2 L ] { L3 = 2L3 3L 0 2 0] L = L + 3L2 ] { L3 = L3 7L ] ] {L = L L ] ] {L2 = 40L2 + L ] ] { L = 0 L L2 = 440 L L3 = 40 L ] ] Portanto, 8 B = ]

15 2. Verifique se a matriz C = 2 ] é a inversa da matriz 3 8 A = ]. Para ser a inversa, preciso que: C. A = I ou A. C = I Logo, para C. A = I ] ] = 0 2(8) + ( )3 2() + ( )2 ( 3)8 + 8(3) 3() + 8(2) ] = 0 6 = { 0 0 = = = Da mesma forma para A. C = I ] ] = 0 8(2) + ( 3) 8( ) + (8) 3(2) + 2( 3) 3( ) + 2(8) ] = 0 6 = { = = = Como C. A = I ou A. C = I então a matriz C é a inversa da matriz A.

16 Referências Bibliográficas BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 980. CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 990. ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 998. LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 972. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 200.