MÉTODOS BÁSICOS DA ANÁLISE DE ESTRUTURAS

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1 MÉTODOS BÁSICOS DA ANÁLISE DE ESTRUTURAS Luiz Fernando Martha Pontifícia Universidade Catóica do Rio de Janeiro PUC-Rio Departamento de Engenharia Civi Rua Marquês de São Vicente, 5 - Gávea CEP 45-9 Rio de Janeiro, RJ Te.: () 4-9 Fax: () 4-95 E-mai: fm@tecgraf.puc-rio.br URL:

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3 Sumário. INTRODUÇÃO..... Breve histórico sobre a Engenharia Estrutura..... Anáise estrutura Modeo estrutura Modeo discreto Modeo computaciona..... Organização dos capítuos.... CONCEITOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL..... Cassificação de estruturas reticuadas..... Condições básicas da anáise estrutura Condições de equiíbrio Condições de compatibiidade entre desocamentos e deformações Leis constitutivas dos materiais..... Métodos básicos da anáise estrutura Método das Forças Método dos Desocamentos Comparação entre o Método das Forças e o Método dos Desocamentos Comportamento inear e superposição de efeitos Estruturas estaticamente determinadas e indeterminadas Determinação do grau de hiperestaticidade IDEALIZAÇÃO DO COMPORTAMENTO DE BARRAS Reações entre desocamentos e deformações em barras Deformações axiais Deformações normais por fexão Distorções por efeito cortante Distorções por torção Reações diferenciais de equiíbrio em barras Equiíbrio entre tensões e esforços internos Desocamentos reativos internos Desocamento axia reativo interno provocado por esforço norma Rotação reativa interna provocada por momento fetor Desocamento transversa reativo interno provocado por esforço cortante Rotação reativa interna provocada por momento torçor 6.5. Equação de Navier para o comportamento à fexão Comparação entre vigas isostáticas e hiperestáticas A essência da anáise de estruturas reticuadas...65

4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha 4. SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS Traçado do diagrama de momentos fetores Energia de deformação e princípio da conservação de energia Princípio dos trabahos virtuais Princípio das forças virtuais Princípio dos desocamentos virtuais Teoremas de reciprocidade Souções fundamentais para barras isoadas Funções de forma para configurações deformadas eementares de barras de pórticos panos Coeficientes de rigidez de barra de pórtico pano Coeficientes de rigidez à torção de barra Reações de engastamento de barra para soicitações externas MÉTODO DAS FORÇAS Metodoogia de anáise peo Método das Forças Hiperestáticos e Sistema Principa Restabeecimento das condições de compatibiidade Determinação dos esforços internos Matriz de fexibiidade e vetor dos termos de carga Escoha do Sistema Principa para uma viga contínua Sistema Principa obtido por eiminação de apoios Sistema Principa obtido por introdução de rótuas internas Escoha do Sistema Principa para um quadro fechado Sistema Principa obtido por corte de uma seção Sistema Principa obtido por introdução de rótuas Exempos de soução peo Método das Forças MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS Desocabiidades e Sistema Hipergeométrico Metodoogia de anáise peo Método dos Desocamentos Matriz de rigidez goba e vetor dos termos de carga Convenções de sinais do Método dos Desocamentos Exempo de soução de uma viga contínua Exempos de soução de pórticos simpes Pórtico com três desocabiidades Pórtico com articuação interna Pórtico com barra incinada MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS COM RESTRIÇÕES NAS DEFORMAÇÕES Cassificação das simpificações adotadas Consideração de barras inextensíveis Exempo de soução de pórtico com barras inextensíveis...6

5 Luiz Fernando Martha Sumário 7... Regras para determinação de desocabiidades externas de pórticos panos com barras inextensíveis Simpificação para articuações competas Pórtico com articuação no topo de uma couna Pórtico com articuação dupa na viga e couna Exempo de soução de pórtico com duas articuações Consideração de barras infinitamente rígidas Exempo de soução de pórtico com dois pavimentos Exempo de barra rígida com giro PROCESSO DE CROSS Interpretação física do Método da Distribuição de Momentos Distribuição de momentos fetores em um nó Soução iterativa do sistema de equações de equiíbrio Formaização do Processo de Cross Processo de Cross para um pórtico com uma desocabiidade Processo de Cross para uma viga com duas desocabiidades Apicação do Processo de Cross a quadros panos MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA (não incuído, ainda sendo escrito). CARGAS ACIDENTAIS E MÓVEIS; LINHAS DE INFLUÊNCIA Introdução Linhas de infuência para uma viga biapoiada Método cinemático para o traçado de LI Metodoogia para cácuo de LI s peo método cinemático Linha de infuência de esforço cortante em viga biengastada Linha de infuência de momento fetor em viga biengastada Exempo de determinação de envotórias de esforços internos...7 APÊNDICE A CONVENÇÃO DE SINAIS PARA ESFORÇOS INTERNOS (não incuído, ainda sendo escrito) APÊNDICE B ANALOGIA DA VIGA CONJUGADA... B.. Conversão de condições de apoio...4 B.. Roteiro do processo de Mohr...6 B.. Cácuo de desocamentos em vigas isostáticas...6 B.4. Anáise de vigas hiperestáticas...8 B.5. Determinação de reações de engastamento de vigas... B.6. Dedução de coeficientes de rigidez de barras... REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...5

6 . INTRODUÇÃO O projeto e a construção de estruturas é uma área da Engenharia Civi na qua muitos engenheiros civis se especiaizam. Estes são os chamados engenheiros estruturais. A Engenharia Estrutura trata do panejamento, projeto, construção e manutenção de sistemas estruturais para transporte, moradia, trabaho e azer. Uma estrutura pode ser concebida como um empreendimento por si próprio, como no caso de pontes e estádios de esporte, ou pode ser utiizada como o esqueeto de outro empreendimento, como no caso de edifícios e teatros. Uma estrutura pode ainda ser projetada e construída em aço, concreto, madeira, pedra, materiais não convencionais (materiais que utiizam fibras vegetais, por exempo), ou novos materiais sintéticos (pásticos, por exempo). Ea deve resistir a ventos fortes, a soicitações que são impostas durante a sua vida úti e, em muitas partes do mundo, a terremotos. O projeto estrutura tem como objetivo a concepção de uma estrutura que atenda a todas as necessidades para as quais ea será construída, satisfazendo questões de segurança, condições de utiização, condições econômicas, estética, questões ambientais, condições construtivas e restrições egais. O resutado fina do projeto estrutura é a especificação de uma estrutura de forma competa, isto é, abrangendo todos os seus aspectos gerais, tais como ocação, e todos os detahes necessários para a sua construção. Portanto, o projeto estrutura parte de uma concepção gera da estrutura e termina com a documentação que possibiita a sua construção. São inúmeras e muito compexas as etapas de um projeto estrutura. Entre eas está a previsão do comportamento da estrutura de ta forma que ea possa atender satisfatoriamente às condições de segurança e de utiização para as quais ea foi concebida. A anáise estrutura é a fase do projeto estrutura em que é feita a ideaização do comportamento da estrutura. Esse comportamento pode ser expresso por diversos parâmetros, tais como peos campos de tensões, deformações e desocamentos na estrutura. De uma maneira gera, a anáise estrutura tem como objetivo a determinação de esforços internos e externos (cargas e reações de apoio), e das correspondentes tensões, bem como a determinação dos desocamentos e correspondentes deformações da estrutura que está sendo projetada. Essa anáise deve ser feita para os possíveis estágios de carregamentos e soicitações que devem ser previamente determinados. O desenvovimento das teorias que descrevem o comportamento de estruturas se deu iniciamente para estruturas reticuadas, isto é, para estruturas formadas por

7 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha barras (eementos estruturais que têm um eixo caramente definido). Estes são os tipos mais comuns de estruturas, tais como a estrutura de uma cobertura ou o esqueeto de um edifício metáico. Mesmo em casos de estruturas nas quais nem todos os eementos estruturais podem ser considerados como barras (como é o caso de edifícios de concreto armado), é comum anaisar o comportamento goba ou parcia da estrutura utiizando-se um modeo de barras. Este ivro está direcionado para a anáise de estruturas reticuadas estaticamente indeterminadas, isto é, para a anáise de estruturas hiperestáticas. Isso incui as treiças (estrutura com todas as barras articuadas em suas extremidades), os pórticos ou quadros (panos e espaciais) e as grehas (estruturas panas com cargas fora do pano). Nee são tratados principamente os métodos cássicos da anáise de estruturas hiperestáticas: o Método das Forças e o Método dos Desocamentos. Nesse contexto, a anáise considera apenas cargas estáticas e admite-se um comportamento inear para a estrutura (anáise para pequenos desocamentos e materiais eásticoineares). Considera-se como pré-requisito para a eitura deste ivro conhecimentos de Mecânica Gera (Estática), Anáise de Estruturas Isostáticas (estruturas estaticamente determinadas) e Resistência dos Materiais. Parte-se do princípio de que o eitor entende os conceitos básicos de equiíbrio estático, esforços internos, tensões e deformações. Diversos ivros-texto abordam esses assuntos. Como sugestão para eitura, recomenda-se na área de Estática os ivros de Hibbeer (999) ou Meriam e Kraige (999), na área de Anáise de Estruturas Isostáticas os ivros de Campanari (985) ou Süssekind (977-), e na área de Resistência dos Materiais os ivros de Beer e Johnston (996), Féodosiev (977), Hibbeer () ou Timoshenko e Gere (994)... Breve histórico sobre a Engenharia Estrutura Timoshenko (878-97), um dos pais da Engenharia Estrutura moderna, descreve em seu ivro História da Resistência dos Materiais (Timoshenko 98) um histórico do desenvovimento teórico sobre o comportamento de estruturas. A Engenharia Estrutura vai encontrar raízes, se bem que de uma forma empírica, nos grandes monumentos e pirâmides do antigo Egito e nos tempos, estradas, pontes e fortificações da Grécia e da Roma antigas. O início da formaização teórica da Engenharia Estrutura é atribuído à pubicação do ivro Duas Ciências, de Gaieu, em 68, que deu origem a todo o desenvovimento da ciência desde o sécuo 7 até os dias de hoje. Antes disso, Leonardo da Vinci (45-59) já havia escrito agumas notas sobre Estática e Resistência dos Materiais. Durante esses sécuos, vários matemáticos e cientistas iustres deram suas contribuições para formaizar a Engenharia Estrutura ta como se entende hoje. Até o início do sécuo pode-se citar, dentre outros, Jacob Bernoui (654-75), Euer (77-78), Lagrange (76-8), Couomb (76-86), Navier (785-86), Thomas Young (77-89), Saint-Venant

8 Luiz Fernando Martha Introdução ( ), Kirchhoff (84-887), Kevin (84-97), Maxwe (8-879) e Mohr (85-98). A formaização da Engenharia Estrutura através de teorias científicas permite que os engenheiros estabeeçam as forças e soicitações que podem atuar com segurança nas estruturas ou em seus componentes. Também permite que os engenheiros determinem os materiais adequados e as dimensões necessárias da estrutura e seus componentes, sem que estes sofram efeitos prejudicais para o seu bom funcionamento. A Engenharia Estrutura sofreu um grande avanço no fina do sécuo 9, com a Revoução Industria. Novos materiais passaram a ser empregados nas construções, tais como concreto armado, ferro fundido e aço. Também é nessa época que a Engenharia Estrutura teve um grande desenvovimento no Brasi. Em seu ivro História da Engenharia no Brasi (Tees 994-, Tees 984-), Pedro Caros da Siva Tees descreve, com uma impressionante quantidade de informações históricas, esse desenvovimento. Durante o sécuo, os principais desenvovimentos se deram nos processos construtivos e nos procedimentos de cácuo. A Engenharia Civi brasieira é detentora de vários recordes mundiais, notadamente na construção de pontes... Anáise estrutura Como dito, a anáise estrutura é a etapa do projeto estrutura na qua é feita uma previsão do comportamento da estrutura. Todas as teorias físicas e matemáticas resutantes da formaização da Engenharia Estrutura como ciência são utiizadas na anáise estrutura. A anáise estrutura moderna trabaha com quatro níveis de abstração para a estrutura que está sendo anaisada, ta como indicado na Figura.. O primeiro níve de abstração é o do mundo físico, isto é, esse níve representa a estrutura rea ta como é construída. Essa visão de caráter mais gera sobre a anáise de estruturas tem por objetivo definir caramente o escopo deste ivro. Estrutura Rea Modeo Estrutura Modeo Discreto Modeo Computaciona Figura. Quatro níveis de abstração para uma estrutura na anáise estrutura. Baseado na concepção do paradigma dos quatro universos da modeagem em Computação Gráfica ideaizado por Gomes e Veho (998) e no conceito de anáise estrutura de Feippa ().

9 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha... Modeo estrutura O segundo níve de abstração da anáise estrutura é o modeo anaítico que é utiizado para representar matematicamente a estrutura que está sendo anaisada. Esse modeo é chamado de modeo estrutura ou modeo matemático e incorpora todas as teorias e hipóteses feitas para descrever o comportamento da estrutura para as diversas soicitações. Essas hipóteses são baseadas em eis físicas, tais como o equiíbrio entre forças e entre tensões, as reações de compatibiidade entre desocamentos e deformações, e as eis constitutivas dos materiais que compõem a estrutura. A criação do modeo estrutura de uma estrutura rea é uma das tarefas mais importantes da anáise estrutura. Essa tarefa pode ser bastante compexa, dependendo do tipo de estrutura e da sua importância. Por exempo, o modeo estrutura de um prédio residencia de pequeno porte é concebido de uma forma corriqueira. Em gera, o modeo deste tipo de estrutura é formado por um conjunto de inhas que representam as vigas e counas do prédio e peas superfícies que representam as ajes de seus pavimentos. Por outro ado, a concepção do modeo estrutura de um prédio que abriga o reator de uma usina atômica é muito mais compexa e pode envover diversos tipos de eementos estruturais, das mais variadas formas (por exempo, superfícies para representar paredes estruturais com furos ou a superfície para representar a casca de concreto armado que cobre o prédio). Na concepção do modeo estrutura é feita uma ideaização do comportamento da estrutura rea em que se adota uma série de hipóteses simpificadoras. Estas estão baseadas em teorias físicas e em resutados experimentais e estatísticos, e podem ser divididas nos seguintes tipos: hipóteses sobre a geometria do modeo; hipóteses sobre as condições de suporte (igação com o meio externo, por e- xempo, com o soo); hipóteses sobre o comportamento dos materiais; hipóteses sobre as soicitações que agem sobre a estrutura (cargas de ocupação ou pressão de vento, por exempo). No caso de estruturas reticuadas, o modeo estrutura tem características que são bastante específicas. O modeo matemático deste tipo de estrutura usa o fato de os eementos estruturais terem um eixo bem definido e está embasado na Teoria de Vigas de Navier, que rege o comportamento de membros estruturais que trabaham à fexão, acrescida de efeitos axiais e de torção. A Figura. mostra um e- xempo de um modeo estrutura bidimensiona para o pórtico de um gapão industria.

10 Luiz Fernando Martha Introdução 5 Estrutura Rea Modeo Estrutura Figura. Estrutura rea e o seu modeo estrutura. Observa-se na Figura. que os eementos estruturais do gapão (vigas e counas) aparecem representados por inhas. A informação tridimensiona das barras fica representada por propriedades gobais de suas seções transversais, tais como área e momento de inércia. Portanto, no caso de estruturas reticuadas, a consideração da geometria do modeo é uma tarefa simpes: os eixos das barras definem os eementos do modeo estrutura. Entretanto, a consideração das outras hipóteses simpificadoras que entram na ideaização do comportamento da estrutura rea pode ser bastante compexa. Por e- xempo, a representação das soicitações (cargas permanentes, cargas acidentais, etc.) pode envover um ato grau de simpificação ou pode ser muito próxima da reaidade. O mesmo pode ser dito com respeito à consideração do comportamento dos materiais ou do comportamento das fundações (condições de apoio). No e- xempo da Figura., a igação da estrutura com o soo foi modeada por apoios que impedem os desocamentos horizonta e vertica, mas que permitem o giro da base das counas. Outro tipo de hipótese poderia ter sido feito para os apoios: por que não considerá-os como engastes perfeitos (que impedem também o giro da base)? Nesse mesmo modeo, as cargas verticais representam o peso próprio da estrutura e as cargas horizontais representam o efeito do vento. De quantas maneiras se pode considerar os efeitos do vento ou de outras soicitações? Questões como essas mostram que existem diversas possibiidades para a concepção do modeo estrutura de uma estrutura. Nessa concepção diversos fatores entram em cena, tais como a experiência do anaista estrutura e a compexidade da estrutura e de suas soicitações. Apesar da importância da concepção do modeo estrutura dentro da anáise estrutura, não é o objetivo deste ivro abordar esse assunto. Os modeos matemáticos adotados para a ideaização do comportamento de estruturas usuais já estão de certa forma consagrados, principamente no caso de estruturas reticuadas. Esses modeos são descritos em ivros de Resistência dos Materiais (Féodosiev 977; Timoshen-ko & Gere 994; Beer & Johnston 996) e Teoria da Easticidade (Timo-

11 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha shenko & Goodier 98, Mavern 969, Litte 97, Boresi & Chong 987, Viaça & Taborda 998), entre outros. Também não são tratadas aqui questões que se referem à representação das soicitações reais no modeo estrutura, bem como questões reativas às eis constitutivas dos materiais que compõem a estrutura. Esses assuntos, em gera, são abordados em discipinas que tratam das etapas de dimensionamento e detahamento dentro do projeto estrutura, tais como Estruturas de Aço, Estruturas de Concreto ou Estruturas de Madeira. O foco principa deste ivro são as metodoogias de anáise de estruturas hiperestáticas. No corpo deste voume, o modeo estrutura competo (com materiais, soicitações e apoios definidos) vai ser sempre fornecido como ponto de partida para a anáise. Entretanto, para entender os métodos de anáise estrutura, é necessário conhecer os modeos matemáticos adotados para estruturas reticuadas. Portanto, os Capítuos, e 4 deste ivro resumem todas as teorias físicas e matemáticas que são necessárias para descrever os métodos de anáise estrutura que são tratados neste voume.... Modeo discreto O terceiro níve de abstração utiizado na anáise estrutura é o do modeo discreto (veja a Figura.). Esse modeo é concebido dentro das metodoogias de cácuo dos métodos de anáise. Portanto, a concepção do modeo discreto de estruturas reticuadas é um dos principais assuntos tratados neste ivro. De uma forma gera, os métodos de anáise utiizam um conjunto de variáveis ou parâmetros para representar o comportamento de uma estrutura. Nesse níve de abstração, o comportamento anaítico do modeo estrutura é substituído por um comportamento discreto, em que souções anaíticas contínuas são representadas peos vaores discretos dos parâmetros adotados. A passagem do modeo matemático para o modeo discreto é denominada discretização. Os tipos de parâmetros adotados no modeo discreto dependem do método utiizado. No Método das Forças os parâmetros adotados são forças ou momentos e no Método dos Desocamentos os parâmetros são desocamentos ou rotações. Por exempo, a Figura. mostra a discretização utiizada na soução de um pórtico pano peo Método das Forças. Nesse método, os parâmetros adotados para discretizar a soução são forças ou momentos redundantes para garantir o equiíbrio estático da estrutura. Isto é, são forças e momentos associados a víncuos excedentes de uma estrutura hiperestática. Esses parâmetros são denominados hiperestáticos.

12 Luiz Fernando Martha Introdução 7 () H A V A M A H B V B M A () () H B Figura. Superposição de souções básicas no Método das Forças. No exempo da Figura., os hiperestáticos adotados são as reações de apoio M A (reação momento no apoio da esquerda) e H B (reação horizonta no apoio da direita). A configuração deformada do pórtico, denominada eástica (indicada pea inha tracejada na figura e mostrada em escaa ampiada), é obtida pea superposição de souções básicas dos casos (), () e () mostrados na figura. A estrutura utiizada nas souções básicas é uma estrutura isostática obtida da estrutura origina pea eiminação dos víncuos excedentes associados aos hiperestáticos. Cada soução básica isoa um determinado efeito ou parâmetro: o efeito da soicitação externa (carregamento) é isoado no caso (), o efeito do hiperestático M A é isoado no caso () e o efeito do hiperestático H B é isoado no caso (). A metodoogia de cácuo do Método das Forças determina os vaores que os hiperestáticos devem ter para recompor os víncuos eiminados (restrição à rotação no apoio da esquerda e restrição ao desocamento horizonta do apoio da direita). Dessa forma, a soução do probema fica parametrizada (discretizada) peos hiperestáticos M A e H B. Essa metodoogia será apresentada em detahes no Capítuo 5 deste ivro. Na soução peo Método dos Desocamentos para estruturas reticuadas, a soução discreta é representada por vaores de desocamentos e rotações nos nós (pontos de encontro das barras), ta como indicado na Figura.4. Esses parâmetros são denominados desocabiidades. No exempo dessa figura, as desocabiidades são os desocamentos horizontais dos nós superiores, e, os desocamentos verticais desses nós, e, e as rotações dos nós ivres ao giro, θ B, θ C e θ D. y C y D x C x D

13 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha θ C y C θ D y D x C x D x C x D y C θ C θ D y D Y θ B X θ B Figura.4 Parâmetros nodais utiizados na discretização peo Método dos Desocamentos. Na Figura.4, a configuração deformada da estrutura (eástica mostrada em escaa ampiada) representa a soução contínua do modeo matemático. Os vaores das desocabiidades nodais representam a soução discreta do probema. Nesse tipo de metodoogia baseada em desocamentos, a soução contínua pode ser obtida por interpoação dos vaores discretos dos desocamentos e rotações nodais, considerando também o efeito da carga distribuída na barra horizonta. Em gera, para estruturas reticuadas com barras prismáticas, a soução obtida por interpoação é igua à soução anaítica do modeo estrutura. Isto ocorre porque as funções de interpoação que definem a configuração deformada contínua são compatíveis com a ideaização matemática do comportamento das barras feita pea Resistência dos Materiais. A metodoogia de cácuo do Método dos Desocamentos vai ser detahada no Capítuo 6. No caso de estruturas contínuas (que não são compostas por barras), o método comumente utiizado na anáise estrutura é uma formuação em desocamentos do Método dos Eementos Finitos (Zienkiewicz & Tayor, Feippa ). Nesse método, o modeo discreto é obtido pea subdivisão do domínio da estrutura em subdomínios, chamados de eementos finitos, de formas simpes (em modeos panos, usuamente triânguos ou quadriáteros), ta como exempificado na Figura.5 para o modeo bidimensiona de uma estrutura contínua com um furo. Essa subdivisão é denominada maha de eementos finitos e os parâmetros que representam a soução discreta são vaores de desocamentos nos nós (vértices) da maha. Pode-se observar por esse exempo que a obtenção do modeo discreto para estruturas contínuas é muito mais compexa do que no caso de modeos de estruturas reticuadas (pórticos, treiças ou grehas). Para estruturas formadas por barras, os nós (pontos onde vaores discretos são definidos) são identificados naturamente no encontro das barras, enquanto que para modeos contínuos os nós são obtidos pea discretização do domínio da estrutura em uma maha. Muitos outros métodos são utiizados, tais como o Método dos Eementos de Contorno. As notas de aua de Feippa () apresentam uma exceente introdução aos métodos de anáise de estruturas contínuas.

14 Luiz Fernando Martha Introdução 9 Figura.5 Discretização peo Método dos Eementos Finitos para uma estrutura contínua. Uma importante diferença entre os modeos discretos de estruturas reticuadas e de estruturas contínuas é que a discretização de uma maha de eementos finitos introduz simpificações em reação à ideaização matemática feita para o comportamento da estrutura. Isto ocorre porque as funções de interpoação que definem a configuração deformada de uma maha de eementos finitos não são, em gera, compatíveis com a ideaização matemática do comportamento do meio contínuo feita pea Teoria da Easticidade. Dessa forma, a soução do modeo discreto de eementos finitos é uma aproximação para a soução anaítica da Teoria da Easti-

15 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha cidade, ao passo que a soução do modeo discreto de uma estrutura com barras prismáticas é igua à soução anaítica da Resistência dos Materiais. Conforme comentado, este ivro trata apenas de modeos de estruturas reticuadas. Existem diversas referências para o tratamento de estruturas contínuas através do Método dos Eementos Finitos. Pode-se citar os ivros de Cook et a. (989), Feippa (), Zienkiewicz e Tayor (), Assan (999), e Soriano (). Este útimo se constitui em uma referência em português recente e competa (dentro do contexto da anáise de estruturas) sobre o Método dos Eementos Finitos.... Modeo computaciona Desde a década de 96 o computador tem sido utiizado na anáise estrutura, embora iniciamente somente nos institutos de pesquisa e universidades. Nos anos setenta essa utiização passou a ser corriqueira, e nos anos oitenta e noventa, com a criação de programas gráficos interativos, a anáise estrutura passou a ser feita com uso de computador em praticamente todos os escritórios de cácuo estrutura e empresas de consutoria. A anáise de estruturas pode ser vista atuamente como uma simuação computaciona do comportamento de estruturas. Embora este ivro não esteja direcionado diretamente ao desenvovimento de programas para prever o comportamento de estruturas, é importante ter em mente que não se concebe atuamente executar as tarefas de anáise estrutura, mesmo para o caso de estruturas reticuadas, sem o uso de computador e de Computação Gráfica. Portanto, este ivro pode ser considerado como introdutório para a anáise de estruturas. As souções apresentadas para os modeos discretos das formuações do Método das Forças e do Método dos Desocamentos são obtidas através de resoução manua. O enfoque dado aqui é para o entendimento do comportamento de estruturas reticuadas hiperestáticas e dos fundamentos dos métodos básicos da anáise estrutura. Livros-texto sobre o Método dos Eementos Finitos, como os que são citados acima, abordam de uma certa maneira a impementação computaciona do Método da Rigidez Direta (que é uma formaização do Método dos Desocamentos direcionada para uma impementação computaciona) e do Método dos Eementos Finitos. O Método das Forças tem uma metodoogia que não é conveniente para ser impementada computacionamente e, por isso, é pouco utiizado em programas de computador. Entretanto, diversos outros aspectos estão envovidos no desenvovimento de um programa de computador para executar uma anáise estrutura. Questões como estruturas de dados e procedimentos de criação do modeo geométrico, geração do modeo discretizado, apicação de atributos de anáise (propriedades de materiais,

16 Luiz Fernando Martha Introdução carregamentos, condições de suporte, etc.) e visuaização dos resutados são fundamentais nesse contexto. Essas questões não são tratadas nos ivros de eementos finitos, mas são da área de Modeagem Geométrica e Computação Gráfica... Organização dos capítuos Este capítuo procurou posicionar o eitor dentro da atividade de anáise estrutura e direciona para os principais tópicos que são abordados neste ivro. No Capítuo são introduzidos conceitos básicos sobre a anáise de estruturas. O capítuo trata principamente das condições básicas que têm que ser atendidas peo modeo estrutura, tais como reações de equiíbrio entre forças e entre tensões, as reações de compatibiidade entre desocamentos e deformações, e as eis constitutivas dos materiais que compõem a estrutura. É feita uma introdução aos métodos cássicos da anáise estrutura: Método das Forças e Método dos Desocamentos. O comportamento inear de estruturas, condição para apicar superposição de efeitos, também é discutido. Também é feita uma abordagem conceitua entre as diferenças de comportamento de estruturas isostáticas e estruturas hiperestáticas. Finamente, é apresentado um procedimento gera para determinação do grau de hiperestaticidade de pórticos panos e grehas. O Capítuo resume a formaização matemática feita na ideaização do comportamento de barras. A Teoria de Vigas de Navier para o comportamento à fexão de barras é apresentada com todas as suas hipóteses e simpificações. As principais reações diferenciais da Resistência dos Materiais que regem o comportamento de barras para efeitos axiais, cisahantes, de fexão e de torção são apresentadas com vistas à sua utiização no desenvovimento dos métodos de anáise apresentados nos capítuos subseqüentes. O Capítuo 4 apresenta souções fundamentais que são utiizadas nas metodoogias dos Métodos das Forças e dos Desocamentos. Tais souções são obtidas com base no Princípio dos Trabahos Virtuais. Esse princípio, através de suas duas formuações Princípio das Forças Virtuais e Princípio dos Desocamentos Virtuais, é necessário para deduzir as expressões utiizadas no cácuo de coeficientes dos sistemas de equações resutantes da discretização do probema peos Métodos das Forças e dos Desocamentos. O Método das Forças é apresentado em detahes no Capítuo 5. O capítuo trata principamente de apicações do método para pórticos panos, mas também são considerados exempos de treiças panas e grehas. Embora, atuamente, na prática esse método seja pouco utiizado (tem difíci impementação computaciona), o método tem o mérito de ser intuitivo e, por isso, em gera é o primeiro método a ser apresentado em ivros-texto.

17 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O Capítuo 6 apresenta uma introdução ao Método dos Desocamentos. O objetivo é descrever os fundamentos do método apicado a pórticos panos. Nesse capítuo só são tratados pórticos com barras horizontais e verticais, pois a resoução de pórticos com barras incinadas pea formuação gera do Método dos Desocamentos é muito trabahosa para ser feita manuamente. No Capítuo 7 são introduzidas restrições que são comumente adotadas para as deformações de barras com o objetivo de reduzir o número de parâmetros discretos e, assim, faciitar a resoução manua peo Método dos Desocamentos. A apresentação do método com essas restrições pode ser considerada como a forma cássica de apresentação em ivros-texto, como por exempo no de Süssekind (977-), que estavam votados para uma resoução manua. Na verdade, o principa objetivo ao considerar essas restrições a deformações de barras é caracterizar o comportamento de pórticos com respeito aos efeitos de deformações axiais e de deformações transversais por fexão. Por exempo, a consideração de barras sem deformação axia (chamadas de barras inextensíveis.) é uma aproximação razoáve para o comportamento de um pórtico. A hipótese de barras inextensíveis possibiita o entendimento do conceito de contra-ventamento de pórticos com barras incinadas, que é muito importante no projeto de estruturas. O Capítuo 8 descreve um processo de soução iterativa de pórticos peo Método dos Desocamentos. Esse processo é denominado Método da Distribuição de Momentos (White et a. 976) ou Processo de Cross (Süssekind 977-). Apesar deste processo ter caído em desuso nos útimos anos, ee tem a vantagem de propiciar um entendimento intuitivo do comportamento de vigas e quadros que trabaham fundamentamente à fexão, aém de permitir uma rápida resoução manua. O Método da Rigidez Direta, que é uma formaização do Método dos Desocamentos votada para sua impementação computaciona, é apresentado no Capítuo 9. Essa formuação gera do Método dos Desocamentos é feita para pórticos panos, com barras com quaquer incinação, com ou sem articuação, e para grehas. Finamente, o Capítuo descreve o procedimento de anáise estrutura para cargas acidentais e móveis, isto é, para cargas que não têm atuação constante ou posição fixa sobre a estrutura. Os conceitos de Linhas de Infuência e Envotórias de Esforços são introduzidos. É deduzido o método cinemático para o traçado de inhas de infuência, também chamado de Princípio de Müer-Bresau (White et a. 976, Süssekind 977-). As souções de engastamento perfeito deste princípio para barras isoadas são apresentadas. Essas souções faciitam a determinação de inhas de infuência por programas de computador que impementam o Método da Rigidez Direta. Dois apêndices compementam os capítuos descritos. O primeiro mostra a convenção de sinais adotada para esforços internos em estruturas reticuadas. O segundo apresenta a Anaogia da Viga Conjugada como forma aternativa para deduzir as souções fundamentais de barras introduzidas no Capítuo 4.

18 . CONCEITOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL Este capítuo resume aguns conceitos básicos de anáise estrutura para estruturas que são compostas por barras. Esses conceitos foram seecionados de forma a permitir a compreensão dos demais capítuos deste ivro, e essa seeção foi baseada em consutas a trabahos de diversos autores que certamente descrevem esses conceitos em maior profundidade. Os principais ivros que serviram como referência para este capítuo foram os de White, Gergey e Sexsmith (976), Rubinstein (97), Candreva (98), Timoshenko e Gere (994), Tauchert (974) e West (989). São considerados como pré-requisitos para os assuntos tratados neste capítuo a definição de tensões, deformações e esforços internos (esforços normais e cortantes e momentos fetores e torçores) em barras e a anáise de estruturas estaticamente determinadas (estruturas isostáticas). Como referências para esses assuntos podese citar, aém das referências anteriores, os ivros dos seguintes autores: Beaufait (977), Beer e Johnston (996), Campanari (985), Feton e Neson (997), Feming (997), Süssekind (977-), Gorfin e Oiveira (975), Hibbeer (998) e Meriam (994)... Cassificação de modeos de estruturas reticuadas Conforme mencionado no Capítuo, este ivro está direcionado para a anáise de estruturas reticuadas, isto é, de estruturas formadas por barras. Esta seção faz uma cassificação dos tipos de modeos de estruturas reticuadas de acordo com o seu arranjo espacia e de suas cargas. Também são definidos sistemas de eixos gobais da estrutura e de eixos ocais das barras. Para cada tipo de estrutura são caracterizados os tipos de esforços internos e as direções dos seus desocamentos e rotações. A Figura. mostra um exempo de um quadro ou pórtico pano. Um quadro pano é um modeo estrutura pano de uma estrutura tridimensiona. Este modeo pode corresponder a uma fatia da estrutura, ou pode representar uma simpificação para o comportamento tridimensiona. Estruturas deste tipo estão contidas em um pano (neste ivro é adotado o pano formado peos eixos X e Y, como mostra a Figura.) e as cargas também estão contidas no mesmo pano. Isso incui forças com componentes nas direções dos eixos X e Y e momentos em torno do eixo Z (que sai do pano).

19 4 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha O quadro pano da Figura. tem um soicitação externa (carregamento) composta por uma força horizonta P (na direção de X) e uma carga uniformemente distribuída vertica q (na direção de Y). Também estão indicados na figura as reações de apoio, que são compostas de forças horizontais e verticais, e por um momento em torno do eixo Z. P q y C x C z θ C z θ D x D y D Y Y z θ B H A M A X H B V B X V A Figura. Eixos gobais, cargas, reações, desocamentos e rotações de um quadro pano. A Figura. também indica a configuração deformada da estrutura (ampificada de forma exagerada) com as componentes de desocamentos e rotações do nós (pontos extremos das barras). A simpificação adotada para modeos estruturais de quadros panos é que não existem desocamentos na direção transversa ao pano (direção Z) e rotações em torno de eixos do pano da estrutura. Portanto, um quadro pano apresenta somente as seguintes componentes de desocamentos e rotação: x desocamento na direção do eixo goba X; y desocamento na direção do eixo goba Y; z θ rotação em torno do eixo goba Z. As igações entre as barras de um pórtico pano são consideradas perfeitas (igações rígidas), a menos que agum tipo de iberação, ta como uma articuação, seja indicado. Isto significa que duas barras que se igam em um nó tem desocamentos e rotação compatíveis na igação. Ligações rígidas caracterizam o comportamento de pórticos e provocam a deformação por fexão de suas barras. Os esforços internos de um quadro pano também estão associados ao comportamento pano da estrutura. Neste tipo de estrutura, existem apenas três esforços internos em um barra de um pórtico pano, definidos nas direções dos eixos ocais da barra, ta como indicado na Figura.: N esforço norma (esforço interno axia) na direção do eixo oca x;

20 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura 5 Q = Q y esforço cortante (esforço interno transversa) na direção do eixo oca y; z M M = momento fetor (esforço interno de fexão) em torno do eixo oca z. y x M N M Q Q N Figura. Eixos ocais e esforços internos de uma barra de quadro pano. Esforços internos em uma estrutura caracterizam as igações internas de tensões, isto é, esforços internos são integrais de tensões ao ongo de uma seção transversa de uma barra. Esforços internos representam o efeito de forças e momentos entre duas porções de uma estrutura reticuada resutantes de um corte em uma seção transversa. Os esforços internos correspondentes de cada ado da seção seccionada são iguais e contrários, pois correspondem uma ação e a reação correspondente. A reação entre tensões e esforços internos vai ser discutida no Capítuo. Uma treiça é uma estrutura reticuada que tem todas as igações entre barras articuadas (as barras podem girar independentemente nas igações). A Figura. mostra uma treiça pana com suas cargas e reações. Na anáise de uma treiça as cargas atuantes são transferidas para os seus nós. A conseqüência disso, em conjunto com a hipótese de igações articuadas, é que uma treiça apresenta apenas esforços internos axiais (esforços normais de tração ou compressão). Y N X N Figura. Eixos gobais, cargas, reações e esforço interno norma de uma treiça pana. Muitas vezes, a hipótese de igações articuadas é uma simpificação para o comportamento de uma treiça, pois muitas vezes não existem articuações nos nós. Esta

21 6 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha simpificação se justifica, principamente, quando os eixos das barras concorrem praticamente em um único ponto em cada igação. Nesse caso, o comportamento da estrutura de dá fundamentamente a esforços internos axiais (esforços cortantes e momentos fetores são pequenos na presença de esforços normais). Um outro tipo de estrutura reticuada é a greha. Grehas são estruturas panas com cargas na direção perpendicuar ao pano, incuindo momentos em torno de eixos do pano. A Figura.4 mostra uma greha com uma carga uniformemente distribuída transversa ao seu pano. Neste ivro é adotado que o pano da greha é formado peos eixos X e Y. Os apoios de uma greha apresentam apenas uma componente de força, que é na direção vertica Z, e duas componentes de momento. x M A y M A Z V A V B q z Y X y θ Figura.4 Eixos gobais, cargas, reações, desocamentos e rotações de uma greha. Por hipótese, uma greha não apresenta desocamentos dentro do seu pano. A Figura.4 indica a configuração deformada da greha (de forma exagerada), que apresenta as seguintes componentes de desocamento e rotações: z desocamento na direção do eixo goba Z; x θ rotação em torno do eixo goba X; y θ rotação em torno do eixo goba Y. Em gera, as igações entre as barras de uma greha são rígidas, mas é possíve que ocorram articuações. Uma igação articuada de barras de greha pode iberar a- penas uma componente de rotação, ou pode iberar as duas componentes. Os esforços internos de uma barra de greha estão mostrados na Figura.5, juntamente com a convenção adotada para os eixos ocais de uma barra de greha. São três os esforços internos: Q = Q z esforço cortante (esforço interno transversa) na direção do eixo oca z; y M M = momento fetor (esforço interno de fexão) em torno do eixo oca y; T = T x momento torçor (esforço interno de torção) em torno do eixo oca x. x θ

22 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura 7 Q T M T Q M x y z Figura.5 Eixos ocais e esforços internos de uma barra de greha. É interessante fazer uma comparação entre as componentes de desocamentos e rotações de quadros panos e grehas, bem como entre os tipos de esforços internos. A Tabea. indica as componentes de desocamentos e rotações que são nuas para quadros panos e grehas. Observe que quando uma componente é nua para um quadro pano ea não é nua para uma greha, e vice-versa. A tabea também mostra as diferenças entre os esforços internos de quadros panos e grehas. Vê-se que os esforços normais são nuos para grehas. Por outro ado, os quadros panos não apresentam momentos torçores. As barras de um quadro pano e de uma greha apresentam esforços cortantes, mas ees têm direções distintas em reação aos eixos ocais. O mesmo ocorre para momentos fetores. Tabea. Comparação entre quadro pano e greha. Quadro Pano Greha Desocamento em X x x = Desocamento em Y y y = Desocamento em Z z = Rotação em torno de X x θ = Rotação em torno de Y y θ = Rotação em torno de Z Esforço norma Esforço cortante Momento fetor z z x θ y θ θ θ = x N = N (x oca) y Q = Q (y oca) z M = M (z oca) Momento torçor = T x z N = z Q = Q (z oca) y M = M (y oca) T = T (x oca)

23 8 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha Finamente, o caso mais gera de estruturas reticuadas é o de quadros ou pórticos espaciais. Um exempo é mostrado na Figura.6. Cada ponto de um quadro espacia pode ter três componentes de desocamento (,, e ) e três componentes x y z x y z de rotação ( θ, θ, e θ ). Existem seis esforços internos em uma barra de pórtico x y espacia: esforço norma N = N (x oca), esforço cortante Q (y oca), esforço cortante Q (z oca), momento fetor M (y oca), momento fetor M (z oca), e z y z x momento torçor T = T (x oca). q z P z P x P y Z Y X Figura.6 Eixos gobais e cargas de um quadro espacia... Condições básicas da anáise estrutura No contexto da anáise estrutura, o cácuo corresponde à determinação dos esforços internos na estrutura, das reações de apoios, dos desocamentos e rotações, e das tensões e deformações. As metodoogias de cácuo são procedimentos matemáticos que resutam das hipóteses adotadas na concepção do modeo estrutura. Dessa forma, uma vez concebido o modeo de anáise para uma estrutura, as metodoogias de cácuo podem ser expressas por um conjunto de equações matemáticas que garantem a satisfação às hipóteses adotadas. Dito de outra maneira, uma vez feitas considerações sobre a geometria da estrutura, sobre as cargas e soicitações, sobre as condições de suporte ou igação com outros sistemas e sobre as eis constitutivas dos materiais, a anáise estrutura passa a ser um procedimento matemático de cácuo que só se atera se as hipóteses e simpificações adotadas forem revistas ou reformuadas. As condições matemáticas que o modeo estrutura tem que satisfazer para representar adequadamente o comportamento da estrutura rea podem ser dividas nos seguintes grupos: condições de equiíbrio; condições de compatibiidade entre desocamentos e deformações;

24 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura 9 condições sobre o comportamento dos materiais que compõem a estrutura (eis constitutivas dos materiais). A imposição destas condições é a base dos métodos da anáise estrutura, isto é, as formas como essas condições são impostas definem as metodoogias dos chamados Métodos Básicos da Anáise de Estruturas, foco principa deste ivro. Esta seção exempifica as condições básicas que o modeo estrutura tem que atender através de um exempo simpes de três barras articuadas (Timoshenko & Gere 994), mostrado na Figura.7. Existe uma força externa P apicada no nó da estrutura que conecta as três barras. As barras são feitas com um materia com móduo de easticidade E e têm seções transversais com área A. N N N Y θ θ X P Figura.7 Estrutura com três barras articuadas.... Condições de equiíbrio No contexto deste ivro, no qua não são considerados probemas de vibrações ou de dinâmica de estruturas, condições de equiíbrio são condições que garantem o e- quiíbrio estático de quaquer porção isoada da estrutura ou da estrutura como um todo. No exempo da Figura.7, o equiíbrio tem que ser garantido gobamente, isto é, para a estrutura como um todo, em cada barra isoada e em cada nó isoado. Nesse exempo simpes, em que só existem esforços internos axiais nas barras (forças normais), as três reações de apoio nos nós superiores convergem em um ponto: o nó inferior. Na verdade, essas reações são os próprios esforços normais nas barras, ta como indicado na Figura.7. Aém disso, a simetria da estrutura impõe que os esforços normais nas barras incinadas sejam iguais (isto é, na verdade, uma

25 Métodos Básicos da Anáise de Estruturas Luiz Fernando Martha imposição de equiíbrio de forças na direção horizonta X). Dessa forma, o equiíbrio do nó inferior na direção vertica Y garante o equiíbrio goba da estrutura: F Y = N + N cosθ = P. (.) Nessa equação, tem-se: N N esforço norma na barra vertica; esforço norma nas barras incinadas. Na Equação (.), a condição de equiíbrio na direção vertica do nó inferior da estrutura foi escrita considerando a geometria origina (indeformada) da estrutura. Isto só é váido quando os desocamentos que a estrutura vai sofrer são muito pequenos em reação às dimensões da estrutura. Essa hipótese, denominada de hipótese de pequenos desocamentos (White et a. 976, West 989), será adotada neste ivro. A anáise de estruturas com essa consideração denomina-se anáise de primeira ordem. Nem sempre é possíve adotar a hipótese de pequenos desocamentos. Por exempo, no projeto moderno de estruturas metáicas exige-se que se faça uma anáise de segunda ordem (desocamentos não desprezíveis na imposição das condições de equiíbrio), peo menos de uma maneira aproximada. Apesar disso, neste ivro só serão consideradas anáises com pequenos desocamentos, e as condições de equiíbrio sempre serão escritas para a configuração (geometria) indeformada da estrutura. Esse ponto será justificado na Seção.4 deste capítuo, onde a hipótese de pequenos desocamentos é abordada em maior profundidade. Observa-se pea Equação (.) que não é possíve determinar os vaores dos esforços normais N e N. Isto é, existem duas incógnitas em termos de esforços e apenas uma equação de equiíbrio (considerando que a equação de equiíbrio na direção horizonta já foi utiizada). As estruturas que não podem ter seus esforços determinados apenas peas equações de equiíbrio são chamadas de estruturas hiperestáticas, como a estrutura do exempo da Figura.7. Existe um caso especia de estruturas que podem ter seus esforços internos e externos (reações de apoio) determinados apenas peas condições de equiíbrio são as chamadas estruturas isostáticas. Em gera, as equações de equiíbrio fornecem condições necessárias, mas não suficientes, para a determinação dos esforços no modeo estrutura. Para a determinação dos esforços em estruturas hiperestáticas, é necessário fazer uso das outras condições, que são tratadas nas seções a seguir.

26 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Anáise Estrutura... Condições de compatibiidade entre desocamentos e deformações As condições de compatibiidade entre desocamentos e deformações são condições geométricas que devem ser satisfeitas para garantir que a estrutura, ao se deformar, permaneça contínua (sem vazios ou sobreposição de pontos) e compatíve com seus víncuos externos. Deve-se ressatar que as condições de compatibiidade não têm reação aguma com as propriedades de resistência dos materiais da estrutura (consideradas nas eis constitutivas dos materiais, tratadas na seção a seguir). As condições de compatibiidade são expressas por reações geométricas impostas no modeo estrutura para garantir a continuidade no domínio da estrutura rea. Essas reações consideram as hipóteses geométricas adotadas na concepção do modeo. As condições de compatibiidade podem ser divididas em dois grupos: Condições de compatibiidade externa: referem-se aos víncuos externos da estrutura e garantem que os desocamentos e deformações sejam compatíveis com as hipóteses adotadas com respeito aos suportes ou igações com outras estruturas. Condições de compatibiidade interna: garantem que a estrutura permaneça, ao se deformar, contínua no interior dos eementos estruturais (barras) e nas fronteiras entres os eementos estruturais, isto é, que as barras permaneçam igadas peos nós que as conectam (incuindo igação por rotação no caso de não haver articuação entre barras). No exempo da Figura.7, as condições de compatibiidade externa são garantidas automaticamente quando só se admite uma configuração deformada para a estrutura que tenha desocamentos nuos nos nós superiores, ta como mostra a Figura.8. A configuração deformada está indicada, com desocamentos ampiados de forma exagerada, peas inhas tracejadas mostradas nessa figura. As condições de compatibiidade interna devem garantir que as três barras permaneçam igadas peo nó inferior na configuração deformada. Mantendo-se a hipótese de pequenos desocamentos, pode-se considerar que o ânguo entre as barras após a deformação da estrutura não se atera, ta como indicado na Figura.8.