Modelo matemático do comportamento axial e à flexão de barras

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1 odeo matemático do comportamento aia e à eão de barras Este capítuo resume os principais conceitos matemáticos envovidos na ideaização do comportamento de barras. Ta ideaização baseia-se em hipóteses simpiicadoras adotadas para o comportamento aia e para o comportamento à eão (condensado na teoria de vigas de Navier). Esses conceitos são básicos para a anáise de estruturas reticuadas e podem ser encontrados em vários ivros-teto de mecânica dos sóidos (resistência dos materiais) ou de anáise estrutura. O resumo aqui apresentado baseia-se nos trabahos dos seguintes autores: Féodosiev (1977), Beer e Johnston (006), Timoshenko & Gere (1994), White et a. (1976) e West (1989). No conteto deste capítuo, só são considerados materiais ideaizados com comportamento eástico-inear e sem imite de resistência. Isso é justiicado peos seguintes motivos: De maneira gera, as estruturas civis trabaham em regime eástico-inear. or isso, a maioria das estruturas é anaisada adotando-se essa aproimação. esmo para projetos com base em regime útimo, a determinação da distribuição de esorços internos, em gera, é eita a partir de uma anáise inear, isto é, az-se o dimensionamento oca no estado útimo de resistência, com o uso de coeicientes de majoração de carga e de minoração de resistência, mas com esorços cacuados através de uma anáise goba inear. Essa é uma aproimação razoáve na maioria dos casos, mas o correto seria azer uma anáise goba considerando o materia em regime não inear (que é reativamente compea quando comparada com uma anáise inear). Na prática, uma anáise não inear é eecutada por computadores de orma incrementa, sendo que em cada passo do processo incrementa é eita uma anáise inear. Como este capítuo é introdutório à a- náise de estruturas, justiica-se a consideração de um comportamento inear. O oco principa deste capítuo é a descrição do modeo matemático do comportamento de barras à eão. A consideração em si de eis constitutivas não ineares é um tema bastante ampo que oge ao escopo deste capítuo. ortanto, o materia considerado apresenta comportamento eástico-inear. As tensões σ e as deormações ε que aparecem nesse caso são normais às seções transversais das barras (na direção do eio oca, na direção aia da barra). A ei constitutiva que reaciona tensões normais e deormações normais é a conhecida ei de Hooke (Beer & Johnston 006, Féodosiev 1977) e é dada por: sendo: σ = Eε, (1) E móduo de easticidade (propriedade do materia) [F/L ]; σ tensão norma na seção transversa da barra (direção ongitudina) [F/L ]; ε deormação norma na direção ongitudina da barra [ ]. 1. Reações entre desocamentos e deormações em barras O modeo estrutura tem como premissa uma condição de continuidade dos campos de desocamentos e deormações no interior das barras. Aém disso, esses dois campos têm que ser compatíveis entre si, isto é, os desocamentos e deormações de uma barra devem estar associados. Nos métodos de anáise, a condição de continuidade no interior de uma barra é orçada automaticamente quando só se admitem deormações contínuas para a barra. Esta seção resume as hipóteses básicas do modeo estrutura que garantem continuidade e compatibiidade entre deormações e desocamentos no interior de uma barra. O modeo estrutura adotado baseia-se na teoria de vigas de Navier para barras submetidas à eão acrescida da consideração de eeitos aiais provocados por esorços normais à seção transversa da barra. Outra hipótese simpiicadora adotada aqui é o desacopamento dos eeitos aiais e transversais (eão e cisahamento). Isso signiica que esses eeitos podem ser considerados em separado e superpostos, resutando nas mesmas respostas de quando os eeitos atuam em conjunto. Essa hipótese é consistente com a hipótese de pequenos desocamentos, que também está sendo adotada.

2 odeo matemático do comportamento aia e à eão de barras Luiz Fernando artha ara deinir as reações entre desocamentos e deormações em uma barra, é adotado um sistema de coordenadas ocais para a barra, indicado na Figura 1. y, v Seção transversa y z CG Figura 1 Sistema de eios ocais de uma barra. Na Figura 1, o eio aia da barra,, passa peo centro de gravidade das seções transversais e os outros eios são transversais à barra. Em modeos de quadros panos, o eio y pertence ao pano da estrutura e o eio z sai do pano. Com base nesse sistema de coordenadas, são deinidos os desocamentos e rotações dos pontos do eio de uma barra de pórtico pano: u( desocamento aia ou ongitudina (na direção de [L]; v( desocamento transversa (na direção de y) [L]; θ( rotação da seção transversa por eão (em torno do eio z) [R]. Os desocamentos aiais u( e transversais v( de uma barra deinem uma curva chamada eástica. Em pórticos panos e vigas, o sentido positivo do desocamento transversa v( é o do eio oca y e o sentido positivo da rotação por eão θ( é o anti-horário. Isso é eempiicado para uma viga engastada e em baanço mostrada na Figura, onde a eástica está indicada pea inha tracejada desenhada em uma escaa eageradamente ampiada. Considerando que os desocamentos são pequenos, pode-se aproimar a rotação da seção transversa pea tangente da eástica. Dessa orma, pode-se associar o desocamento transversa à rotação da seção transversa em uma equação que também é considerada uma reação de compatibiidade: dv θ =. () v θ Figura Eástica de uma viga engastada e em baanço com desocamento transversa e rotação indicados com seus sentidos positivos Deormações aiais Uma barra submetida a soicitações aiais centradas (cuja resutante passa peo centro de gravidade da seção transversa) apresenta uma deormação aia ta que todos os pontos de uma seção transversa têm os mesmos desocamentos na direção aia. Uma consequência disso é que as seções transversais de uma barra submetida a uma deormação aia permanecem panas, como indica a Figura 3. Ta condição garante a continuidade de desocamentos no interior da barra. A deormação aia é obtida com base no desocamento aia reativo, du, entre duas seções transversais que distam entre si (Figura 3). A deormação é igua à razão entre a variação de comprimento do eemento ininitesima e seu comprimento inicia: Nessa equação: ε a du =. (3) comprimento origina de um eemento ininitesima de barra [L]; du desocamento aia (ongitudina) reativo interno de um eemento ininitesima de barra [L];

3 a Luiz Fernando artha odeo matemático do comportamento aia e à eão de barras 3 ε deormação norma na direção aia ou ongitudina devida ao eeito aia [ ]. u u+du du Figura 3 Desocamento aia reativo de um eemento ininitesima de barra. 1.. Deormações normais por eão A teoria de vigas de Navier ( ) está undamentada em duas hipóteses básicas. A primeira deas é a hipótese de manutenção das seções transversais panas quando a viga se deorma, proposta originamente por Jacob Bernoui ( ). A segunda hipótese despreza deormações provocadas por eeitos de cisahamento. De acordo com tais hipóteses, as seções transversais de uma viga que se deorma à eão permanecem panas e normais ao eio deormado da viga. Observe que essa condição também garante uma continuidade de desocamentos em todos os pontos interiores de uma barra que sore eão, pois cada seção transversa permanece encaiada com suas adjacentes. A manutenção das seções transversais panas e normais ao eio deormado da barra introduz uma condição de compatibiidade que reaciona deormações normais por eão com a rotação da seção transversa. Considere a rotação reativa por eão, dθ, de um eemento ininitesima de barra indicada na Figura 4. Cada ibra do eemento ininitesima é deinida por uma coordenada y. Quando se consideram pequenos desocamentos, a variação de comprimento de uma ibra genérica é δ = dθ y. A deormação norma por eão é dada pea razão entre δ e o comprimento inicia da ibra, : Nessa equação: dθ ε = y. (4) dθ rotação reativa interna por eão de um eemento ininitesima de barra [R]; ε deormação norma na direção ongitudina devida ao eeito de eão [ ]. dθ δ dθ y ρ dθ y = ρ dθ Figura 4 Rotação reativa por eão de um eemento ininitesima de barra. Na Equação 4, o sina negativo aparece porque uma ibra superior (y positivo) sore deormação por encurtamento (negativa) quando dθ é positiva (anti-horária). O sina negativo da equação considera uma deormação positiva (aongamento) para uma ibra inerior (y negativo), com dθ positiva. Observe na Figura 4 a reação = ρ dθ entre o raio de curvatura ρ do eio da barra e o comprimento do e- emento ininitesima de barra. Disso resuta: dθ 1 =, (5) ρ

4 4 odeo matemático do comportamento aia e à eão de barras Luiz Fernando artha sendo: 1/ρ curvatura da eástica transversa v( da barra [L 1 ]; ρ raio de curvatura da eástica transversa v( da barra [L]. A deormação norma por eão de um ibra, dada pea Equação 4, também pode ser escrita em unção curvatura da barra: y ε =. (6) ρ Em outras paavras, a deormação norma por eão em uma ibra genérica é proporciona à distância da ibra ao eio e à curvatura 1/ρ da barra. A partir da Equação 4, considerando a reação entre o desocamento transversa v( e a rotação da seção transversa θ( dada pea Equação, pode-se escrever: d v ε = y. (7) A Equação 7 é uma reação de compatibiidade entre o desocamento transversa de uma barra e suas deormações normais por eão. Combinando a Equação com a Equação 5, observa-se que eiste uma reação entre a curvatura e a derivada à segunda da eástica transversa v( em reação a : 1 d v =. (8) ρ Essa equação é aproimada e é váida somente na condição de pequenos desocamentos. A epressão competa da curvatura de uma curva para grandes echas v( é (Féodosiev 1977): d v 1 = ρ dv 1 + 3/. Observa-se que, para pequenas incinações dv/ da curva, a curvatura da Equação 9 se aproima à ornecida pea Equação 8 para pequenos desocamentos. (9). Reações dierenciais de equiíbrio em barras O modeo matemático adotado para a representação do comportamento de estruturas reticuadas considera que as condições de equiíbrio devem ser satiseitas para a estrutura como um todo, para cada barra ou nó isoado, ou para quaquer porção isoada da estrutura. Isso incui o equiíbrio de um eemento ininitesima de barra. Nesta seção, serão indicadas reações dierenciais que resutam do equiíbrio considerado em níve ininitesima para uma barra de pórtico pano. Conorme mencionado anteriormente, esse modeo matemático baseia-se na teoria de vigas de Navier para barras submetidas à eão, acrescida da consideração de e- eitos aiais. ara deduzir as reações de equiíbrio para um eemento ininitesima de barra, adota-se direções positivas de cargas distribuídas e esorços internos. A Figura 5 isoa um eemento ininitesima de barra e indica os sentidos positivos para orças distribuídas e esorços internos.

5 Luiz Fernando artha odeo matemático do comportamento aia e à eão de barras 5 q y q( Q + d p( N O p Q + dq N + dn Figura 5 Equiíbrio de um eemento ininitesima de barra e direções positivas adotadas para cargas distribuídas e esorços internos. Na Figura 5, as seguintes entidades são apresentadas: p( taa de carregamento (orça) ongitudina distribuído na barra [F/L]; q( taa de carregamento (orça) transversa distribuído na barra [F/L]; N( esorço norma (esorço interno aia ou ongitudina) [F]; Q( esorço cortante (esorço interno transversa de cisahamento) [F]; ( momento etor (esorço interno de eão) [F L]. O equiíbrio de orças no eemento ininitesima nas direções horizonta e vertica, considerando as direções positivas indicadas na Figura 5, resuta em: dn F = 0 dn + p( = 0 = p( ; (10) dq F y = 0 dq + q( = 0 = q(. (11) O equiíbrio de momentos em reação ao ponto O do eemento ininitesima (Figura 5), desprezando os termos de mais ata ordem, proporciona a seguinte reação: d O = 0 d ( Q + dq) + q( = 0 = Q(. (1) As Equações 11 e 1 podem ser combinadas, resutando em uma reação de equiíbrio entre o momento etor em uma seção transversa e a taa de carregamento transversa distribuído: d = q(. (13) 3. Equiíbrio entre tensões e esorços internos A ormuação gera do modeo matemático para o comportamento de barras também considera reações de equiíbrio, no níve da seção transversa da barra, que associam tensões com esorços internos. As Seções 1.1 e 1. mostram que os eeitos aiais e de eão provocam deormações normais na direção ongitudina da barra. Como consequência, aparecem tensões normais ongitudinais σ devidas a esses dois eeitos, como indica a Figura 6. N σ s σ s = + y CG z -y da y s y i σ (y) σ i σ σ σ (y) a i Seção transversa Figura 6 Decomposição das tensões normais ongitudinais em parceas devidas aos eeitos aia e de eão.

6 6 odeo matemático do comportamento aia e à eão de barras Luiz Fernando artha As tensões indicadas na Figura 6 são: a σ tensão norma na seção transversa da barra devida ao eeito aia [F/L ]; σ tensão norma na seção transversa da barra devida à eão [F/L ]. Tais tensões devem estar em equiíbrio com o esorço norma e o momento etor na seção transversa, isto é, as resutantes das tensões normais ongitudinais, integradas ao ongo da seção transversa, devem ser iguais ao esorço norma e ao momento etor na seção transversa. Na Figura 6, é considerado um caso de eão composta reta. A eão é composta quando é combinada com o eeito aia. A eão é reta quando ocorre em torno de um dos eios principais da seção transversa (no caso, o eio z), tendo como consequência que cada ibra identiicada por uma ordenada y apresenta um vaor constante de tensão norma. Também é indicado na Figura 6 que as tensões normais ongitudinais variam inearmente ao ongo da atura da seção transversa. Essa distribuição inear se deve a dois atores. rimeiro, conorme apresentado nas Seções 1.1 e 1., pea hipótese da manutenção das seções transversais panas, as deormações normais ongitudinais variam inearmente ao ongo da atura da seção. O segundo ator é a consideração de um comportamento inear para o materia. ea Figura 6, vê-se que, para o eeito aia, as tensões são constantes ao ongo da seção transversa e, para o eeito de eão pura, as tensões normais são nuas na ibra do centro de gravidade (CG) da seção. Dessa orma, as reações de equiíbrio entre as tensões normais ongitudinais e o esorço norma e o momento etor são: A a a σ da = 0 N = σ da N = σ A ; (14) A Na Equação 14 tem-se: A área da seção transversa [L ]. A a y σ da = 0 = ( y) σ da. (15) A O sina negativo que aparece na Equação 15 deve-se à convenção de sinais adotada: uma tensão norma positiva (tração) em uma ibra inerior (y negativo) provoca um momento etor positivo (como indicado na Figura 6). 4. Desocamentos reativos internos A seção anterior mostrou que os esorços internos (esorço norma, esorço cortante, momento etor e momento torçor) em uma seção transversa representam resutantes de tensões internas integradas ao ongo da seção. O modeo matemático adotado para o comportamento de barras permite que as deormações tenham representações integrais no níve de seção transversa. Essas representações têm signiicado ísico e são chamadas de desocamentos reativos internos. Na verdade, os desocamentos reativos internos já oram introduzidos na Seção 1 e são resumidos abaio: du desocamento aia (ongitudina) reativo interno de um eemento ininitesima de barra (Figura 3) [L]; dθ rotação reativa interna por eão de um eemento ininitesima de barra (Figura 4) [R]; Com base nas reações entre deormações e desocamentos em barras (Seção 1), nas reações das eis constitutivas do materia (Equação 1) e nas reações de equiíbrio em tensões na seção transversa e esorços internos (Seção 3), é possíve estabeecer reações entre os desocamentos reativos internos e os esorços internos Desocamento aia reativo interno provocado por esorço norma ara o eeito aia, usando as Equações 14, 1 e 3, tem-se que o desocamento reativo interno provocado por um esorço norma atuando em um eemento ininitesima de barra (Figura 7) é igua a: a a du N N = σ A = E ε A N = EA du =. (16) EA

7 Luiz Fernando artha odeo matemático do comportamento aia e à eão de barras 7 N N N du = EA du Figura 7 Desocamento aia reativo de um eemento ininitesima de barra provocado por esorço norma. 4.. Rotação reativa interna provocada por momento etor ara o eeito de eão, usando as Equações 15, 1 e 4, tem-se uma reação entre o momento etor e a rotação reativa de um eemento ininitesima de barra (Figura 8): dθ dθ = ( y) σ da = ( y) E ε da = ( y) E y da = EI. (17) A A A dθ d θ = EI Figura 8 Rotação reativa interna por eão de um eemento ininitesima de barra provocada por momento etor. Na Equação 17, aparece um parâmetro geométrico de seção transversa para o comportamento à eão de barras: I = y da momento de inércia à eão da seção transversa em reação ao eio z [L 4 ]. A O momento de inércia à eão da seção transversa é uma propriedade geométrica que depende de sua orientação com respeito ao pano onde ocorre a eão da barra. A orientação da seção transversa é importante para a resistência à eão de uma barra. or eempo, a Figura 9 mostra uma viga biapoiada com uma seção transversa retanguar com duas orientações: uma em pé e outra deitada. A barra com a seção em pé vai a- presentar deormações por eão menores (menor curvatura) do que com a seção deitada. A resistência à eão é maior quanto maior o momento de inércia da seção transversa. O momento de inércia quantiica um aastamento de pontos da seção em reação ao eio neutro (eio que passa peo centro de gravidade da seção). or isso, uma seção em orma de I (em pé) é eiciente para a resistência à eão. h b h Figura 9 Comparação entre conigurações deormadas de viga biapoiada com seção retanguar em pé e deitada. Eistem inúmeros manuais e ivros que apresentam órmuas e tabeas de vaores de momentos de inércia (e de outras propriedades geométricas) para diversos tipos de seções transversais. b

8 8 odeo matemático do comportamento aia e à eão de barras Luiz Fernando artha A partir da Equação 17, a rotação reativa interna por eão é dada por: d θ =. (18) EI Uma importante reação entre a curvatura da viga e o momento etor é obtida a partir das Equações 5 e 18: 1 =. (19) ρ EI A reação entre o momento etor e a curvatura de uma barra dada pea Equação 19 é eporada na Seção 9 para reacionar o aspecto da curva eástica com o diagrama de momentos etores. 5. Tensões normais provocadas por eeitos aia e de eão As Seções 1.1, 1. e 3 mostram que, na ideaização do comportamento de barras, o eeito aia e o eeito de eão provocam deormações e tensões normais à seção transversa. ortanto, os eeitos aia e de eão se sobrepõem para a distribuição de tensões normais ao ongo da seção transversa, como indicado na Figura 6. O eeito aia provoca uma distribuição uniorme de tensões normais. Da Equação 14, tem-se: a N σ =. (0) A A distribuição de tensões normais provocada por eão é inear e é obtida utiizando a reação entre tensões normais e deormações normais, e a reação entre a deormação norma por eão e a curvatura, dada pea Equação 6: y σ ( y) = E. (1) ρ Utiizando a Equação 19, chega-se à epressão para a distribuição de tensões normais provocada por um momento etor em uma seção transversa: y σ ( y) =. () I Com base na Equação, pode-se determinar a tensão no bordo inerior e a tensão no bordo superior de uma seção transversa submetida a um momento etor: y s σ s = = ; (3) I Ws y i σ i = + = +. (4) I Wi Nas Equações 3 e 4, o sina do momento etor é positivo quando traciona as ibras ineriores (convenção usua adotada) e os seguintes parâmetros são deinidos (Figura 6): s σ tensão norma por eão no bordo superior da seção transversa [F/L ]; i σ tensão norma por eão no bordo inerior da seção transversa [F/L ]; ys máima distância do bordo superior à inha neutra que passa peo centro de gravidade da seção transversa [L]; yi máima distância do bordo inerior à inha neutra que passa peo centro de gravidade da seção transversa [L]; W I / y móduo de resistência à eão superior da seção transversa [L 3 ]; s = s W I / y móduo de resistência à eão inerior da seção transversa [L 3 ]. i = i A distribuição da tensão norma na seção transversa resutante do eeito aia combinado com eeito de eão é obtida a partir das Equações 0 e :

9 Luiz Fernando artha odeo matemático do comportamento aia e à eão de barras 9 N y σ ( y) =. (5) A I Finamente, têm-se as tensões normais do eeito combinado nos bordos da seção transversa: sendo (Figura 6): N σ s = ; (6) A W s N σ i = + ; (7) A W i σ tensão norma combinando os eeitos aia e de eão no bordo superior da seção transversa [F/L ]; s σ tensão norma combinando os eeitos aia e de eão no bordo inerior da seção transversa [F/L ]. i 6. Equação dierencia para o comportamento aia O comportamento aia de uma barra pode ser consoidado em uma equação dierencia que eva em conta, para um eemento ininitesima de barra, as reações de equiíbrio, compatibiidade e ei constitutiva do materia. A Equação 10 epressa o equiíbrio do eemento ininitesima de barra, reacionando o gradiente do esorço interno aia N( com a taa de orça aia distribuída apicada p(. A Equação 3 estabeece uma a reação de compatibiidade entre a deormação norma aia ε ( e o desocamento aia u(. E a equação a a da ei constitutiva do materia reaciona tensão norma σ ( com deormação norma ε (, ambas na direção aia. As reações de compatibiidade e ei constitutiva estão combinadas na Equação 16 N ( = EA( du/, sendo E o móduo de easticidade do materia e A( a área da seção transversa, que pode variar ao ongo do a comprimento da barra. Essa equação também considera a reação de equiíbrio N( = σ ( A( entre tensão norma e o esorço interno aia (Equação 14). A substituição da Equação 16 na Equação 10 resuta na equação dierencia do comportamento aia: d du EA( = p(. ara uma barra prismática (com área de seção transversa que não varia ao ongo de seu comprimento), temse: d u p( =. EA Com base na Equação 9, observa-se que uma barra com seção transversa constante e sem carregamento aia tem um desocamento aia que varia inearmente. (8) (9) 7. Equação de Navier para o comportamento à eão O comportamento de vigas à eão oi ormaizado no início do sécuo XIX por Navier. As reações dierenciais de equiíbrio e compatibiidade mostradas neste capítuo para o comportamento à eão de vigas azem parte dessa ormaização, a chamada teoria de vigas de Navier. A Figura 10 az um resumo de todas as epressões associadas a essa teoria, mostrando o reacionamento entre eas.

10 10 odeo matemático do comportamento aia e à eão de barras Luiz Fernando artha Hipóteses básicas: (a) Desocamentos são pequenos em reação às dimensões da seção transversa. (b) Despreza-se deormações por cisahamento (barras ongas, isto é, comprimento é bem maior do que a atura da seção). (c) Seções transversais permanecem panas e normais ao eio da barra quando esta se deorma (Hipótese de Bernoui). (d) ateria tem comportamento eástico-inear (Lei de Hooke). y, v q( dv equenos desocamentos: θ tan(θ ) = θ( Deormação do eemento ininitesima: dθ δ dθ y δ dθ ε = ε = y y Reação tensão vs. deormação: σ = Eε = A = E dθ ( y) E y da A dθ y da TEORIA DE VIGAS DE NAVIER v dθ θ d v ε = y dθ σ = E y dθ = EI d θ = EI d v ( = EI( arâmetros envovidos: E móduo de easticidade do materia A área da seção transversa da área ininitesima de uma ibra da seção transversa I = y da momento de inércia da seção transversa em reação ao eio z q taa de carregamento distribuído transversa ao eio da barra (positiva na direção de y) Q esorço cortante (positivo quando entrando pea esquerda or na direção de y, ou quando entrando pea direita or contrário a y) momento etor (positivo quando traciona as ibras ineriores da seção transversa) v desocamento transversa (positivo na direção de y) θ rotação da seção transversa por eão (positiva no sentido anti-horário) d θ rotação reativa interna por eão de um eemento ininitesima de barra δ variação de comprimento de uma ibra genérica dada por y ε deormação norma na direção ongitudina de uma ibra devida ao eeito de eão σ tensão norma na direção ongitudina da barra devida ao eeito de eão Equiíbrio do eemento ininitesima: Seção transversa y CG z -y da σ (y) Q Equiíbrio entre momento etor e tensões normais: = ( y) σ da A Equação de Navier: d d v EI( q( = Figura 10 Resumo da teoria de vigas de Navier. O d = q( q + d Q + dq dq F y = 0 = q( d O = 0 = Q( 4 d v q( = 4 EI (momento de inércia constante) Essa teoria, que despreza deormações devidas ao eeito cortante, estabeece uma equação dierencia que reaciona os desocamentos transversais v( de uma viga com a taa de carregamento distribuído transversamente q(. ara se chegar a essa equação dierencia, primeiro é obtida uma reação entre o momento etor na seção transversa e a segunda derivada do desocamento transversa em reação a. Isso é deduzido utiizando as Equações 8 e 19, considerando o caso gera de momento de inércia I variáve ao ongo da barra: d v ( =. (30) EI( A Equação 30 reaciona o momento etor em uma seção transversa da viga com a curvatura da viga, que pode ser aproimada por d v/ no caso de pequenos desocamentos. Combinando-se a Equação 30 com a Equação 13, chega-se a:

11 d Luiz Fernando artha odeo matemático do comportamento aia e à eão de barras 11 d v EI( = q(. (31) No caso em que a barra é prismática (momento de inércia I da seção transversa constante ao ongo da barra), tem-se: 4 d v q( =. 4 (3) EI A Equação 31, ou sua outra versão (Equação 3) para inércia constante, é chamada de equação de Navier. Essa equação engoba, no níve de um eemento ininitesima de barra, todas as condições que o modeo estrutura tem que atender. As Equações e 4 consideram condições de compatibiidade; a Equação 1 considera a ei constitutiva do materia; a Equação 13 considera condições de equiíbrio entre carregamento transversa distribuído, esorço cortante e momento etor; e a Equação 15 considera o equiíbrio entre tensões normais e momento etor. ode-se, ainda, considerar a reação que eiste entre o desocamento transversa e o esorço cortante em uma barra, obtida peas Equações 1 e 30, considerando I constante: 3 d v Q( =. 3 (33) EI 8. Comparação entre vigas isostáticas e hiperestáticas Nesta seção, é eita uma comparação entre o comportamento de vigas isostáticas e hiperestáticas com base na equação de Navier. Considere, por eempo, as vigas isostáticas mostradas na Figura 11. A anáise do equiíbrio de um eemento ininitesima de barra resutou na Equação 13, que reaciona o momento etor ( em uma seção transversa da barra com a taa de carregamento transversa distribuído q(. Essa equação integrada duas vezes em reação a ao ongo da viga ornece: q( + b1 + ( b. (34) = 0 As constantes de integração b 0 e b 1 icam deinidas peas condições de contorno em termos de orças ou momentos nas etremidades das vigas. A viga biapoiada da Figura 11-a apresenta duas condições de contorno em momentos (momentos etores nuos nas etremidades): (0) = 0 e () = 0. E a viga engastada e ivre da Figura 11-b apresenta uma condição de contorno em momento (momento etor nuo na etremidade ivre) e outra em orça (esorço cortante nuo na etremidade ivre): () = 0 e Q() = 0. y q( y q( (0) = 0 () = 0 (a) (b) () = 0 Q() = 0 Figura 11 Duas vigas isostáticas e suas duas condições de contorno em termos de orças ou momentos. Como, pea Equação 1, d/ = Q(, pode-se concuir que as duas vigas isostáticas da Figura 11 têm condições de contorno suicientes para a determinação das constantes de integração b 0 e b 1. Assim, os momentos etores e os esorços cortantes icam deinidos nas vigas isostáticas utiizando somente condições de equiíbrio. No caso de vigas hiperestáticas, como as indicadas na Figura 1, não eistem duas condições de equiíbrio em orças ou momentos disponíveis para a determinação das constantes b 0 e b 1 da Equação 34. ortanto, utiizando somente equiíbrio, não é possíve resover o probema.

12 1 odeo matemático do comportamento aia e à eão de barras Luiz Fernando artha y y q( q( v(0) = 0 v() = 0 θ(0) = 0 () = 0 (a) v(0) = 0 θ(0) = 0 (b) v() = 0 θ() = 0 Figura 1 Duas vigas hiperestáticas e suas quatro condições de contorno em termos de desocamentos transversais ou de suas derivadas. Entretanto, as condições de compatibiidade e eis constitutivas devem ser consideradas para resover as vigas hiperestáticas. Essas outras condições estão incuídas na equação de Navier (Equação 3). Considerando que tais vigas têm móduo de easticidade E e momento de inércia I da seção transversa constantes, a equação de Navier integrada quatro vezes em reação a ao ongo da viga ornece: q( v ( + c EI 4 3 = + c3 + c + c1 0. (35) Considerando as Equações e 30, observa-se que eistem para as vigas da Figura 1 quatro condições de contorno em termos de desocamentos transversais v( ou de uma de suas derivadas dv/ = θ( e d v/ = (/EI; portanto, é possíve determinar as quatro constantes de integração da Equação 35. Uma vez integrada essa equação e com o conhecimento das constantes de integração, os esorços internos (momentos etores e esorços cortantes) podem ser encontrados peas Equações 30 e 33. Na verdade, os métodos básicos da anáise estrutura não resovem vigas hiperestáticas dessa maneira reativamente compea. A indicação da soução dessa orma é eita apenas para demonstrar que, para resover uma estrutura hiperestática, é sempre necessário considerar, aém do equiíbrio, as condições de compatibiidade entre desocamentos e deormações e a ei constitutiva do materia. 9. Anáise quaitativa de diagramas de esorços internos e conigurações deormadas em vigas O projeto e a anáise de estruturas ormam uma atividade que muitas vezes pode ser trabahosa, mesmo no caso de estruturas isostáticas para as quais apenas considerações sobre equiíbrio estático são necessárias para determinar a distribuição de esorços na estrutura. No caso de estruturas hiperestáticas, o desaio é maior ainda porque a distribuição de esorços depende de dimensões das seções transversais dos membros estruturais, que não são conhecidas a priori, conorme comentado anteriormente. Tanto no caso de anáise de estruturas isostáticas quanto no de estruturas hiperestáticas, o processo pode ser aciitado se o anaista estrutura tiver uma noção dos aspectos dos diagramas de esorços internos que resutam da anáise. Em agumas situações, uma anáise aproimada pode ser eecutada com base nos aspectos dos diagramas. or eempo, a partir do aspecto do diagrama de momentos etores de uma estrutura hiperestática, pode-se identiicar seções transversais nas quais o momento etor é nuo e transormar a estrutura em uma estrutura isostática através da introdução de rótuas em agumas dessas seções. Dessa orma, se poderia anaisar com uma aproimação razoáve a estrutura hiperestática utiizando somente condições de equiíbrio. O ivro de White, Gergey e Sesmith (1976) contém um capítuo dedicado a esse tipo de anáise. Esta seção, bastante motivada por esses autores, apresenta características dos diagramas de esorços internos e da coniguração deormada de vigas. Essas características podem auiiar o traçado aproimado dos diagramas. As características apresentadas baseiam-se principamente nas reações dierenciais da ideaização do comportamento de barras à eão resumidas neste capítuo. Ta apresentação inicia-se com os aspectos dos diagramas de esorços cortantes e momentos etores de uma viga biapoiada com duas orças concentradas, indicados na Figura 13. São ressatados o reacionamento entre esses diagramas e a reação dees com o carregamento.

13 Luiz Fernando artha odeo matemático do comportamento aia e à eão de barras 13 Q Trecho horizonta pois dq = 0 (carga distribuída nua) Descontinuidade com vaor da orça concentrada apicada Descontinuidade com vaor da reação de apoio concentrada Vaor máimo de momento etor pois esorço cortante troca de sina neste ponto Descontinuidade com vaor da reação de apoio concentrada Reação concentrada para cima bico para cima Q > 0 momento etor aumenta de vaor Força concentrada para baio bico para baio Q < 0 momento etor diminui de vaor Reação concentrada para cima bico para cima Figura 13 Características dos diagramas de esorços cortante e de momentos etores para uma viga biapoiada com duas orças concentradas. Observa-se, na Figura 13, que o diagrama de esorços cortantes apresenta patamares horizontais e que o diagrama de momentos etores é ormado por uma inha poigona (trechos ineares). Isso se deve aos trechos descarregados entre reações de apoio e cargas apicadas. Em cada trecho, com base nas Equações 11 e 1, tem-se que o esorço cortante é constante (dq/ = 0) e o momento etor varia inearmente (d/ = Q). Também com base nas mesmas reações dierenciais, nos pontos onde atua uma orça transversa concentrada (tanto reação de apoio quanto carga apicada), o diagrama de esorços cortantes da Figura 13 apresenta descontinuidades e o diagrama de momento etores apresenta bicos, isto é, pontos onde há uma mudança de incinação. Observe que as descontinuidades do diagrama de esorços cortantes, quando percorrido da esquerda para a direita, assumem o vaor e o sentido da orça atuante: nos apoios onde atuam reações para cima, o sato do diagrama é para cima; e, nos pontos que têm orças apicadas para baio, o sato é para baio. Aém disso, observe que os bicos do diagrama de momentos etores seguem os sentidos das orças concentradas: reação orça para cima nos apoios impica bico para cima (imaginando um diagrama com proongamento nuo ora do domínio da viga, indicado pea inha pontihada), e orça apicada para baio resuta em bico para baio. Observa-se que a incinação do diagrama de momentos etores está reacionada com o sina do esorço cortante no trecho: quando o esorço cortante é positivo, o momento etor aumenta de intensidade da esquerda para a direita; quando o esorço cortante é negativo, o momento etor diminui de intensidade. Finamente, veriica-se que o vaor máimo de momento etor ocorre na seção transversa onde ocorre a mudança de sina do diagrama de esorços cortantes. As Equações 11 e 1 também ornecem subsídios para o entendimento dos aspectos dos diagramas de esorços cortantes e de momentos etores de uma viga biapoiada com baanços submetida a uma orça uniormemente distribuída para baio, como iustrado na Figura 14.

14 14 odeo matemático do comportamento aia e à eão de barras Luiz Fernando artha q dq = q Todos os trechos têm a mesma incinação Descontinuidade com vaor da reação de apoio concentrada Q Tangente horizonta pois esorço cortante é nuo na etremidade Vaores mínimos ocais de momento etor pois o esorço cortante troca de sina nestas seções Reação concentrada para cima bico para cima Tangente horizonta pois esorço cortante é nuo na etremidade d = q Todos os trechos têm concavidade para cima Vaor máimo oca de momento etor pois o esorço cortante é nuo nesta seção Figura 14 Características dos diagramas de esorços cortante e de momentos etores para uma viga biapoiada com baanços submetida a uma orça uniormemente distribuída. O diagrama de esorços cortantes mostrado na Figura 14 apresenta um aspecto de um serrihado cujos trechos têm todos a mesma incinação, que decresce da esquerda para a direita pois dq/ = q (carga para baio). As descontinuidades desse diagrama nos apoios apresentam o vaor das reações de apoio e têm o sentido para cima porque as reações têm essa direção. Associado a isso, o diagrama de momentos etores tem bicos para cima nos pontos dos apoios. No vão entre apoios, o diagrama de momentos etores apresenta um máimo oca na seção transversa onde o esorço cortante é nuo, pois d/ = Q. Os vaores de momento etor nas seções transversais dos apoios correspondem a vaores de mínimos, pois o esorço cortante nessas seções troca de sina negativo para positivo (percorrendo da esquerda para a direita). Também por causa da reação d/ = Q, o diagrama de momentos etores apresenta tangentes horizontais na etremidade ivre dos baanços porque, nessas seções transversais, o esorço cortante é nuo. Finamente, observa-se que todos os trechos do diagrama de momentos etores apresentam concavidade para cima. Como o diagrama de momentos etores é desenhado de orma invertida (vaores positivos para baio), a concavidade para cima está associada a d / < 0. De ato, considerando que a carga uniormemente distribuída é votada para baio, e portanto negativa, pea Equação 13 tem-se d / = q. Os aspectos dos diagramas de esorços cortantes e momentos etores dos eempos anteriores de vigas biapoiadas oram anaisados evando conta apenas reações dierenciais de equiíbrio Equações 11, 1 e 13. Uma importante reação dierencia, que envove equiíbrio e compatibiidade em níve ininitesima, traz também subsídios para identiicar o aspecto do diagrama de momentos etores. É a reação entre a segunda derivada da eástica e o momento etor, dada pea Equação 30, ou entre a curvatura da eástica e o momento etor, dada pea Equação 19: d v 1 = ρ = EI. Nessa reação, ρ é o raio de curvatura; v( é o desocamento transversa (eástica); ( é o momento etor; e EI é o parâmetro de rigidez à eão da viga (produto do móduo de easticidade do materia peo momento de inércia à eão da seção transversa). A associação entre curvatura (ou concavidade) da eástica e o momento etor é importante porque é possíve identiicar intuitivamente o aspecto da eástica para aguns modeos estruturais, como vigas contínuas e pórticos simpes. Isso ajuda no traçado do aspecto do diagrama de momentos etores. or eempo, quando a concavidade da eástica é para cima (d v/ > 0) o momento etor é positivo. Isso é consistente com o ato de que um momento etor positivo é associado à tração nas ibras ineriores da barra e compressão na ibras superiores (concavidade para cima ou conveidade para

15 Luiz Fernando artha odeo matemático do comportamento aia e à eão de barras 15 baio). Quando a concavidade é para baio (d v/ < 0), ocorre o inverso: ibras superiores tracionadas e momento etor negativo. Outra observação importante é que nas seções transversais da barra onde ocorre mudança de concavidade (raio de curvatura ρ tende a ininito), a concavidade tem vaor nuo e o momento etor também é nuo. Os pontos de uma barra onde isso ocorre são chamados de pontos de ineão. Na identiicação intuitiva do aspecto da eástica, a equação de Navier (Equação 3), para barras com inércia constante, também pode ornecer agum subsídio. ara o caso de trechos de barras sem carregamento transversa, tem-se que d / = 0 e d 4 v/ 4 = 0, isto é, para trechos descarregados, o momento etor varia inearmente (observado anteriormente) e o desocamento transversa varia cubicamente (poinômio do terceiro grau que satisaz d 4 v/ 4 = 0). ortanto, em um trecho descarregado de barra, não pode ocorrer mais do que um ponto de ineão (isso é uma propriedade de um poinômio do terceiro grau). ara escarecer esse ato, considere, como eempo, a viga biapoiada mostrada na Figura 15, sem carregamento transversa e com momentos apicados nas etremidades (White et a. 1976). esq dir esq onto de ineão Coniguração deormada (escaa eagerada) Coniguração deormada (escaa eagerada) dir esq dir esq (a) Figura 15 Viga biapoiada com momentos apicados nas etremidades (White et a. 1976): (a) uma única concavidade; (b) uma mudança de concavidade. Na viga da Figura 15-a, os momentos apicados têm sentidos opostos e provocam uma eão na viga com uma única concavidade, tracionando as ibras na ace superior. or outro ado, os momentos apicados na viga da Figura 15-b têm o mesmo sentido, o que provoca uma eão com uma mudança de concavidade, tracionando as ibras superiores na etremidade esquerda e tracionando as ibras ineriores na etremidade direita. Em ambas as situações, o momento etor varia inearmente ao ongo da viga, sendo que no primeiro caso ee não troca de sina e no segundo caso ee troca de sina. Observa-se que, no ponto de ineão, na seção transversa onde ocorre a mudança de concavidade da viga da Figura 15-b, o momento etor é nuo. Os eempos mostrados na Figura 15 são hipotéticos e servem apenas para entender o comportamento da eástica e do diagrama de momentos etores em um vão descarregado. Em gera, os vãos de uma viga contínua ou as vigas de um pórtico são soicitados por orças verticais para baio associadas ao peso próprio ou a cargas acidentais e de ocupação. É interessante, portanto, saber o aspecto da eástica e do diagrama de momentos etores para tais situações. A Figura 16 iustra dois eempos de um vão (uma viga biapoiada) com momentos etores nas etremidades tracionando as ibras superiores. Essa situação é muito comum em vigas contínuas e em pórticos. (b) dir q (a) (b) esq dir esq q dir Coniguração deormada Coniguração deormada esq dir esq dir (c) (d) Figura 16 Viga biapoiada com momentos apicados nas etremidades e cargas verticais para baio.

16 16 odeo matemático do comportamento aia e à eão de barras Luiz Fernando artha Nas Figuras 16-a e 16-b são mostradas duas vigas biapoiadas com cargas verticais para baio e sem momentos apicados nas etremidades. Na primeira, três orças concentradas são apicadas e, na segunda, uma orça uniormemente distribuída abrangendo todo o vão é apicada. eo ato de todas as cargas apicadas terem sentido para baio, os correspondentes diagramas de momentos etores mostrados são positivos, isto é, tracionam as ibras ineriores em todas as seções transversais. Nas Figuras 16-c e 16-d, as mesmas cargas verticais são superpostas às cargas momento apicadas nas etremidades da viga da Figura 15-a. As conigurações deormadas resutantes das superposições de cargas estão indicadas com uma escaa de desocamentos eagerada e os diagramas de momentos etores resutantes também estão mostrados. Os diagramas são obtidos pea superposição do diagrama trapezoida da Figura 15-a com os diagramas das Figuras 16-a e 16-b, isto é, os diagramas inais são obtidos pendurando o diagrama de viga biapoiada a partir da inha reta que az o echamento das ordenadas do diagrama nas etremidades. Observa-se que, nos dois eempos, embora a curva eástica possa ter dierentes aspectos, eistem dois pontos de ineão (círcuos pretos indicados nas iguras), que correspondem aos dois únicos possíveis pontos de interseção do diagrama pendurado com o eio da viga. ode haver uma situação na qua eiste somente um ponto de ineão, que seria quando o diagrama de viga biapoiada pendurado toca o eio da viga em apenas um ponto. Em outra situação não haveria ponto de ineão agum, para o caso do diagrama pendurado não interceptar o eio da viga. ode-se concuir que, em um vão com momentos etores nas etremidades que tracionam ibras superiores e com cargas verticais para baio no interior, não pode ocorrer mais do que dois pontos de ineão. Essa é uma situação bastante comum. Um eempo é mostrado na Figura 17. q Coniguração deormada (desenhada de orma eagerada): onto de ineão (mudança de concavidade) Q Figura 17 Características da coniguração deormada, do diagrama de momentos etores e do diagrama de esorços cortantes para uma viga contínua com baanços submetida a uma orça uniormemente distribuída. As mesmas observações eitas para os aspectos dos diagramas de esorços cortantes e de momentos etores do eempo da Figura 14 podem ser eitas para os diagramas da viga contínua da Figura 17. Como oi observado, o diagrama de esorços cortantes tem o aspecto de um serrihado. Nos apoios, as descontinuidades desse diagrama têm o mesmo vaor e sentido (para cima) das reações de apoio. Consistentemente, nos pontos dos apoios, o diagrama de momentos etores apresenta bicos para cima. Nos vãos entre apoios, o diagrama de momentos etores apresenta máimos ocais nas seções transversais onde o esorço cortante é nuo. Os vaores de momento etor nas seções transversais dos apoios correspondem a vaores de mínimos ocais pois o esorço cortante nessas seções troca de sina negativo para positivo. E, nas etremidades ivres dos baanços, o diagrama de momentos etores apresenta tangentes horizontais porque o esorço cortante é nuo. Essas observações são compementadas peas características associadas da curva eástica da viga. Observase que, em cada um dos vãos internos, eistem dois pontos de ineão, que correspondem às seções transversais onde os momentos etores são nuos. Nesses pontos ocorre uma mudança de concavidade da eástica, sendo que, nos trechos centrais dos vãos, a concavidade é para cima; e, nos trechos próimos aos apoios, a concavidade é para baio. Isso é consistente com o ato de os momentos etores serem positivos (tracio-

17 Luiz Fernando artha odeo matemático do comportamento aia e à eão de barras 17 nam as ibras ineriores) nos trechos centrais dos vãos e serem negativos (tracionam as ibras superiores) nos trechos próimos aos apoios. Veriica-se, a partir das observações anteriores, que a identiicação do aspecto da curva eástica de uma viga é muito importante para a identiicação do aspecto do seu diagrama de momentos etores. Em agumas situações, o traçado da eástica é bastante intuitivo. A Figura 18 iustra isso com base em dois eempos de vigas com apenas uma carga concentrada apicada. (a) ponto de ineão (b) pontos de ineão EI = const. a/3 a/3 Figura 18 Vigas submetidas a uma única carga concentrada: aspectos das eásticas e dos diagramas de momentos etores. A viga da Figura 18-a tem um vão, entre o engaste e o apoio simpes do 1 gênero, e um trecho em baanço. Uma orça concentrada é apicada para baio na etremidade ivre do baanço. O traçado intuitivo da curva eástica começa peo baanço. A orça para baio provoca uma deeão do baanço com a concavidade para baio. A continuidade de rotação da eástica na seção transversa do apoio simpes impõe que, nessa seção, a eástica tenha uma rotação no sentido horário. No outro ado do vão, o engaste impõe que a rotação da eástica seja nua. Observa-se que obrigatoriamente a curva eástica tem uma mudança de concavidade (ponto de ineão) no vão entre apoios, pois a curva parte de uma tangente horizonta no engaste e chega na etremidade oposta do vão com uma rotação no sentido horário. Como esse vão é descarregado, não pode haver outro ponto de ineão, e o diagrama de momentos etores varia inearmente. A concavidade para cima da eástica próima ao engaste indica que os momentos etores tracionam as ibras ineriores nessa região, ao passo que a concavidade para baio na segunda parte do vão e no baanço mostra que os momentos etores tracionam as ibras superiores. Na seção transversa do apoio simpes, o diagrama de momentos etores tem de ser contínuo, mas apresenta uma mudança brusca de direção, isto é, um bico para cima. Todos os bicos desse diagrama são consistentes com os sentidos das orças verticais atuantes. Se or considerado que ora do domínio da viga o diagrama se proonga com vaores constantes (inhas pontihadas na Figura 18-a), eistem três bicos. No engaste, a reação vertica e o bico são para baio; no apoio simpes, a reação vertica e o bico são para cima; e, na etremidade ivre do baanço, a orça vertica apicada e o bico são para baio. Observa-se também que o sentido horário da reação momento no engaste é consistente com um momento etor que traciona as ibras ineriores nessa etremidade da viga. Um ato interessante deve ser saientado com reação à viga da Figura 18-a. Em um vão descarregado, com rigidez à eão EI constante, engastado em uma etremidade e com uma rotação da eástica na outra etremidade, o ponto de ineão ica ocaizado a 1/3 do vão em reação ao engaste. A viga contínua com apoios simpes mostrada na Figura 18-b tem três vãos e uma orça vertica apicada no vão centra. A identiicação da eástica é simpes se or imaginado que, em uma situação inicia, os apoios das etremidades da viga não eistem. Nesse caso, a apicação da orça concentrada no vão centra provocaria uma curva eástica que, por compatibiidade de rotação nos apoios do vão, teria baanços ivres com deeão para cima. Reintegrando os apoios das etremidades, a curva eástica seria orçada para baio. Dessa orma, a eástica ganha concavidades para baio nos vãos etremos. Também é intuitivo imaginar que as reações verticais nos apoios das etremidades são para baio, pois orçam a eástica para baio nos vãos etremos. O resutado é uma curva eástica com concavidades para baio na esquerda e na direita e concavidade para cima no centro. Os pontos de ineão, onde mudam as concavidades, obrigatoriamente estão ocaizados no vão centra. Isso pode ser concuído de agumas maneiras. Observe que o diagrama de momentos etores nos vãos etremos é inear, pois ees estão descarregados. Nos apoios etremos, os momentos etores são nuos, o que consome os únicos possíveis pontos de ineão nesses vãos. As reações verticais para baio provocam tração nas ibras superiores (consistente com as concavidades para baio). Dessa orma, nas seções transversais dos apoios simpes interiores que imitam o vão centra, os momentos etores tracionam as ibras superiores. A carga vertica apicada para baio no vão centra az com que dois pontos de ineão apareçam no vão.

18 18 odeo matemático do comportamento aia e à eão de barras Luiz Fernando artha O diagrama de momentos etores da viga da Figura 18-b é consistente com o aspecto da eástica e com as reações de apoio. Observa-se que o diagrama é uma inha poigona cujos vértices estão associados a eventos de orças verticais. Cada bico da inha poigona tem o mesmo sentido da correspondente orça vertica. E os momentos etores são nuos nos pontos onde ocorre mudança de concavidade da curva eástica. Isso é váido também para as etremidades da viga, que podem ser consideradas pontos de ineão. Outras situações em que o traçado intuitivo da eástica auiia na identiicação do aspecto do diagrama de momentos etores são indicadas na Figura 19. Os eempos dessa igura são vigas contínuas submetidas a um recaque de um dos apoios. As eásticas são traçadas com escaa eagerada de desocamentos. Os sentidos das reações verticais são consistentes com o recaque imposto e com as restrições impostas peos outros apoios. Os diagramas de momentos etores resutantes são ormados por trechos ineares por vão. Os pontos de ineão das eásticas correspondem com às seções transversais nas quais o momento etor é nuo. E os bicos dos diagramas têm o mesmo sentido das reações verticais. (a) (b) ponto de ineão (c) ponto de ineão Figura 19 Vigas submetidas a recaques de apoio: aspectos das eásticas e dos diagramas de momentos etores. Os eempos de vigas apresentados anteriormente nesta seção tratam apenas dos aspectos quaitativos da curva eástica e do diagrama de momentos etores. A não ser em um único caso (Figura 18-a), não se tem inormação precisa sobre a ocaização de pontos de ineão. Embora a ocaização eata de pontos de ineão não seja o objetivo desta seção, é possíve ter mais subsídios para isso através de uma anáise em que se varia a rigidez reativa à eão dos vãos de uma viga contínua. Considere as vigas contínuas com dois vãos mostradas na Figura 0 (Figuras 0-b, 0-c e 0-d). O apoio da esquerda é um engaste e o apoio da direita é simpes. A barra do primeiro vão apresenta um parâmetro de rigidez à eão de reerência (EI = EI r) e está carregada com uma orça vertica uniormemente distribuída. A barra do segundo vão está descarregada e tem três possibiidades para sua rigidez à eão. Na Figura 0-b, a barra do segundo vão tem uma rigidez grande (EI = EI g > EI r); na Figura 0-c, a barra tem o vaor de reerência da rigidez (EI = EI r); e, na Figura 0- d, a barra tem uma rigidez pequena (EI = EI p < EI r). Nas iguras, a barra do segundo vão é desenhada com dierentes espessuras para representar a rigidez reativa das três possibiidades.