INSTABILIDADE DE ARMADURAS LONGITUDINAIS EM PILARES DE CONCRETO ARMADO

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1 INSTABIIDADE DE ARMADURAS ONGITUDINAIS EM PIARES DE CONCRETO ARMADO Saete Souza de Oiveira Buffoni Rau Rosas e Siva Resumo: A famagem das armaduras ongitudinais em piares de concreto armado pode ocorrer na região entre dois estrios consecutivos, ou pode envover um certo número de estrios. As normas de projeto existentes não fornecem uma metodoogia apropriada para o dimensionamento dos estrios em diferentes situações. O presente traaho tem por ojetivo desenvover uma formuação que permita anaisar a famagem das armaduras ongitudinais em piares de concreto armado sumetidos a carregamento axia evando em conta o espaçamento entre os estrios, o diâmetro e arranjo dos estrios na seção transversa e o diâmetro das armaduras ongitudinais. Para este propósito um método anaítico para a avaiação da famagem da armadura ongitudina é proposto, considerando-se as arras ongitudinais restringidas pea rigidez axia ou à fexão dos estrios. Admite-se que a armadura ongitudina funciona como uma couna eseta. O presente traaho trata a couna com um ou mais modos de deformação, incuindo certas não-inearidades. São fornecidos cargas críticas e caminhos pós-críticos para tais casos. Como resutado deste estudo, apresenta-se uma proposta para dimensionamento raciona dos estrios que permite estudar diferentes aternativas em um áaco de utiização simpes para projeto. Apresentam-se comparações com resutados experimentais da iteratura em piares de concreto armado. Isto permite uma avaiação crítica dos desenvovimentos teóricos reaizados e da forma proposta de dimensionamento raciona dos estrios. Paavras-chave: Famagem; armaduras ongitudinais e transversais; piares; concreto armado. Astract: Bucking of ongitudina reinforcement in reinforced concrete coumns may occur in the region eteen to consecutive ties, or may invove a numer of ties. The existing design code specifications do not provide an appropriate methodoogy for the design of the transversa reinforcement in different situations. The main ojective of the present ork is to deveop a formuation to ao to anayze the ucking of ongitudina ars in reinforced concrete coumns taking into account the tie spacing, the diameter and arrangement of the ties in the cross section and the ongitudina ar diameter. For this purpose an anaytica method for the evauation of the ucking oad of ongitudina ars is descried, as a function of the constraint imposed y the axia or fexura stiffness of the stirrups. The ongitudina ar is considered as a coumn deforming according to thin eam theory. The theoretica anaysis considers the coumn ith one or more deformation modes, ith some degree of noninearity, incuding the anaysis of post-critica equiirium paths. As a resut of this study, rationa criteria for spacing and sizing of transversa reinforcement are derived, aoing studying different aternatives in an aacus of simpe use for design. Severa comparisons ith the resuts otained experimentay y other authors in reinforced concrete coumns are presented, aoing for an evauation of the vaidity of the theoretica deveopments and the rationa design methodoogy proposed herein. ey ords: Bucking; ongitudina and transverse reinforcement; reinforced concrete coumns, coumns; reinforced concrete.. Universidade Federa Fuminense UFF E-mai: saete@vm.uff.r Pontifícia Universidade Catóica do Rio de Janeiro PUC-Rio E-mai; rau@civ.puc-rio.r ENGEVISTA, v. 8, n., p. 9-6, junho 006 9

2 . INTRODUÇÃO O estudo da instaiidade das armaduras ongitudinais em piares de concreto armado tem atraído a atenção de vários pesquisadores nos útimos anos, entretanto a maioria dos estudos está restrita à anáise da famagem ocorrendo sempre entre dois estrios consecutivos como apresentam os traahos de Breser & Giert []. A famagem da armadura ongitudina com a participação dos estrios no impedimento da mesma é um fenômeno pouco estudado na iteratura. O estudo experimenta de piares de concreto armado sumetidos a carregamentos monotônicos ou cícicos, com a finaidade de se visuaizar o comportamento das armaduras ongitudinais tamém tem atraído atenção de vários pesquisadores nos útimos quarenta anos dentre os quais cita-se os traahos de Pfister [0], Moehe & Cavanagh [7] e Pantazopouou [9] que apresentam em seus ensaios a famagem das arras ongitudinais em piares de concreto armado envovendo vários estrios. Em face do exposto anteriormente, o presente traaho tem como ponto de partida os resutados da pesquisa desenvovida por Buffoni [] que estuda a famagem das armaduras ongitudinais em piares de concreto armado sumetidos a carregamento axia evando em conta o espaçamento entre os estrios, o diâmetro e arranjo dos estrios na seção transversa e o diâmetro das armaduras ongitudinais. o caso de emendas das arras na presente formuação, considerou-se a armadura ivre em uma das extremidades. Considerou-se na modeagem um ou mais modos de deformação, incuindo-se a nãoinearidade geométrica. A partir destes resutados propõe-se um critério de projeto raciona para a escoha do espaçamento, diâmetro dos estrios e arranjo das armaduras. A dedução da formuação dos modeos matemáticos que serão aordados está fora do escopo deste artigo, procurando-se mostrar diretamente a apicaiidade prática de tais modeos, por meio de comparações com resutados experimentais da iteratura. Estimua-se o eitor a consutar Buffoni [], que contempa de forma minuciosa as hipóteses e formuações inerentes a cada modeo.. FORMUAÇÃO.. Introdução O modeo matemático das armaduras ongitudinais e transversais para a determinação da carga crítica apresenta-se na Figura, onde os estrios são representados esquematicamente como apoios eásticos intermediários uniaterais, cuja rigidez depende das características mecânicas e geométricas do aço. Para ta propósito um método anaítico para a avaiação da famagem da armadura ongitudina foi descrito, considerando-se as arras ongitudinais restringidas pea rigidez axia ou à fexão dos estrios. Estudaram-se particuarmente dois casos. No primeiro caso, considerouse a armadura ongitudina como uma x y couna e os estrios como apoios discretos. No segundo caso, considerou-se a armadura ongitudina como uma couna sore ase eástica, onde a ase eástica é composta peos estrios. Para se considerar Figura - Modeo matemático da armadura ongitudina e transversa. ENGEVISTA, v. 8, n., p. 9-6, junho Fj P s s

3 O comprimento da couna é designado por, s é o espaçamento entre estrios e F j são as forças correspondentes aos apoios eásticos j e podem ser escritas como: onde F j = j j F j j = () é o desocamento do apoio genérico. Neste traaho, adotam-se as hipóteses usuais no campo da resistência dos materiais considerando-se que a couna e o carregamento estão num pano de simetria e que a seção permanece pana e perpendicuar ao eixo, antes e após as deformações... Energia Interna de Deformação e Energia Potencia da Viga-Couna As matrizes de rigidez eástica e geométrica da couna são otidas a partir das energias de deformação e potencia, respectivamente. Toda a formuação matemática é reaizada a partir da couna de Euer, que é iapoiada e sumetida a carregamento axia. Após a dedução das expressões que definem as matrizes de rigidez, adota-se um campo de desocamentos que satisfaça as condições de contorno do modeo apresentado na Figura. A energia interna de deformação fica representada peo somatório da energia de memrana, U m, proveniente das deformações da arra na direção axia mais a energia de fexão, U f, proveniente das deformações devidas à fexão. Em gera, no proema da famagem, as deformações devidas à fexão são em mais importantes que as deformações axiais da arra e na formuação do proema não se eva em consideração a deformação axia, hipótese adotada na teoria inextensiona de vigas como se verifica nos traahos de Bazant [] e Dym & Shames [5], a única parcea da energia interna considerada é a energia de fexão da viga, que é dada por: U EI, xx +,x dx () 0 Em virtude do modeo adotado, a energia de deformação dos estrios, os quais são considerados como moas é dada por: U i n i = = i= ( x = is) () onde é o vaor do desocamento cacuado nos pontos onde existem estrios e n é o número de estrios envovidos no modeo. Considerando-se que o apoio eástico discreto pode ser sustituído por uma ase eástica distriuída continuamente k=/s, tem-se que o termo correspondente à energia de deformação dos estrios na expressão () pode ser avaiado como uma integra da seguinte forma: i= n i= ( x = is) k( x) 0 dx () O potencia das cargas externas é dado peo produto da carga, P, e o encurtamento na extremidade da couna, podendo ser expresso como: V p = P V p = P,x +,x dx (5) 8 0 onde P é o carregamento axia e o sina negativo é devido o desocamento se reaizar no sentido contrário ao das forças. ENGEVISTA, v. 8, n., p. 9-6, junho 006 5

4 .Variáveis Adimensionais Caso discreto Quando se quer reaizar uma anáise paramétrica, é importante que a mesma seja reaizada com eficiência, para isto foram feitas as seguintes mudanças de variáveis e escohidos os seguintes parâmetros adimensionais: Γ = x ξ = 0 ξ P EI d = η = (6) EI onde ξ é o parâmetro adimensiona do desocamento axia, d é o parâmetro adimensiona do desocamento atera da couna, Γ é o parâmetro adimensiona do carregamento axia e η é o parâmetro adimensiona da rigidez dos estrios. m ( ) ( x) A + + ( ) = = m mπx m mπx mπx m mπx ( ( ) ) + + sin (8) Esse campo de desocamentos comina funções que descrevem um comportamento simétrico com funções antissimétricas. A consideração de deformações apenas do tipo simétrico, pode se tornar um pouco distante do que acontece na reaidade, pois se verifica em muitos casos que a famagem pode envover modos não simétricos. Na forma adimensiona o campo de desocamentos fica: d j m ( ( ) m ( + ( ) ) + sin( mπξ )) ( ξ ) a mπξ + mπξ + ( ) = m= m mπξ (9). Couna sore ase eástica As variáveis adimensionais são as mesmas consideradas na expressão (6), com exceção do parâmetro adimensiona da rigidez dos estrios que é dado por: k η = (7) EI.. Campo de Desocamentos Oservações experimentais mostram que a forma famada da armadura ongitudina se parece muitas vezes com uma função senoida sore um período, o qua pode envover vários espaçamentos entre estrios. Dessa forma, considerou-se a seguinte função para descrever o campo desocamentos da couna:.5. Integração ao ongo da Barra para Otenção das Matrizes de Rigidez Eástica (f) e Rigidez Geométrica (g) A matriz de rigidez eástica representada por f é otida da energia de deformação expressa em (), a matriz de rigidez que eva em consideração os apoios aterais, m, é otida da energia de deformação () e () e a matriz de rigidez geométrica, g é otida a partir da energia da carga axia expressa em (5). Dessa forma, as expressões das matrizes de rigidez citadas considerando-se o campo de desocamentos i e j para uma determinada condição de contorno são dadas a seguir. Da energia de deformação ( = ENGEVISTA, v. 8, n., p. 9-6, junho fi, j 0 d, ξξ i d, ξξ i d, ξξ j d, ξξ j + d, ξξ i d, ξ i d, ξξ j d, ξ j d, ξ i d, ξ i d, ξ j d, ξ j + dξ (0)

5 Da energia de deformação da moa - Apoios distriuídos de forma discreta m i, j ξ = ξ = 0 = η () d i d j - Apoios distriuídos de forma contínua g i, j m i, j = η dξ () 0 d i d j Da energia da carga axia = 0 d, ξ i d, ξ j + d, ξ i d, ξ j d, ξ i d, ξ j dξ () campo de desocamentos com um ou mais graus de ierdade descrito em (9) nas expressões para a otenção das matrizes de rigidez e resove-se o proema de autovaores expresso em (5) otendo-se assim os vaores adimensionais para a carga de famagem. Os vaores para estes casos encontram-se no traaho de Buffoni []. No caso contínuo, considerando-se a armadura ongitudina como uma couna sore ase eástica, onde a ase eástica é composta peos estrios e sustituindo-se o campo de desocamentos descrito em (9) com um ou mais graus de ierdade apenas na parcea quadrática das expressões (0), () e () para otenção das matrizes de rigidez e resovendo-se o proema de autovaores expresso em (5) otém-se os vaores adimensionais para a carga crítica que se encontram em Buffoni []. A expressão (6) apresenta o parâmetro de carga crítica considerando-se apenas um termo na expansão moda..6. Soução do Proema de Autovaores Considerando-se apenas a parcea quadrática nas expressões (0) a () temse o proema de autovaor, dado na seguinte expressão: + Γ 0 () f m g = Resovendo-se a equação () chega-se aos vaores da carga crítica como a seguir: = g ( f + m Γ ) (5).6.. Parâmetros de Carga Crítica ( 5π ) 8 π A partir da soução do proema de autovaores, foi possíve encontrar os parâmetros de carga crítica para os casos discreto e contínuo. No caso discreto, considerou-se que o comprimento da armadura envovida na famagem varia de um a dezesseis espaçamentos entre estrios. Dessa forma, sustitui-se o ENGEVISTA, v. 8, n., p. 9-6, junho π 0π + 5π η + π η 0η Γ = (6) 5.7. Consideração das Emendas das Barras da Armadura Para se considerar o caso de emendas das arras na presente formuação, considerou-se um modeo onde a armadura é engastada em uma das extremidades e ivre na outra como o modeo apresentado na Figura. Dessa forma, todos os passos reaizados para a couna engastada nas extremidades foram feitos para o caso da presença de emendas com a finaidade de se conhecer o comportamento das armaduras quando uma das extremidades está ivre.

6 y Fj x s s Figura - Modeo para consideração das emendas das arras da armadura..8. Cácuo do Parâmetro Adimensiona de Rigidez, η O vaor numérico do parâmetro adimensiona de rigidez depende da rigidez dos estrios,, do móduo de easticidade da armadura ongitudina, E, do momento de inércia da armadura ongitudina, I e do espaçamento entre estrios, s quando os estrios são considerados distriuídos continuamente ao ongo da armadura..9. Cácuo da Rigidez dos Estrios, O vaor de é função das características mecânicas e da geometria do estrio. Considera-se nesta formuação os arranjos apresentados na Figura. Neste traaho considera-se a carga axia concêntrica existindo condições de perfeita simetria, assim é cacuada considerando-se os modeos simpificados da Figura. O modeo da Figura.a está reacionado à arra ocaizada no centro de uma perna de estrios, as Figuras.,.c,.d e.e estão reacionados às arras de canto, a Figura.f está reacionada à arra envovida peo estrio interior como mostra a Figura.c. A Figura mostra tamém a força exercida pea arra ongitudina sore o estrio na direção em que a famagem pode ocorrer. Para o modeo da Figura.a, a armadura ongitudina pode ser considerada como impondo uma carga concentrada no meio do vão de uma viga fixa nas extremidades e a expressão para a rigidez do estrio é dada por: 9EI t = (7) Para o modeo da Figura. a expressão para a rigidez do estrio fica: EAt = (8) onde E é o moduo de easticidade da armadura ongitudina e A t é a área do estrio. Um resutado anáogo é otido para o modeo da Figura.c. Para os modeos das Figuras.d e.e, otém-se um vaor simiar, porém o vaor de seria /. Quando o arranjo das armaduras na seção é semehante a Figura., as arras ocaizadas no centro de uma perna de estrios são as primeiras a famarem, se o arranjo for do tipo mostrado na Figura.c, as primeiras arras a famarem são as arras do vértice, pois as arras do centro de uma perna envovidas por um outro estrio possui uma rigidez muito maior do que a rigidez das arras de canto. Nota-se que a armadura transversa pode oferecer diferentes contriuições para a resistência à famagem das arras ongitudinais. As arras ongitudinais ocaizadas no canto dos estrios são restringidas por uma rigidez extensiona e aqueas arras ocaizadas na perna de um estrio são restringidas apenas pea rigidez a fexão. O móduo de easticidade ongitudina a ser considerado é o móduo de easticidade instantâneo, porém utiiza-se o móduo de easticidade reduzido quando o mesmo é conhecido. ENGEVISTA, v. 8, n., p. 9-6, junho 006 5

7 π/. a) ) c) d) Figura - Arranjos da armadura na seção transversa. F π/ F π/ F π/ F π/ F F / / a) ) c) d) e) f) Figura - Modeos simpificados para cácuo da rigidez.. CURVAS Γ vs. η PARA O CÁCUO DO ESPAÇAMENTO E DIÂMETRO DOS ESTRIBOS A Figura 5 apresenta a curva que reaciona o parâmetro de carga crítica da couna, Γ e o parâmetro de rigidez dos estrios, η com as contriuições de vários modos para a carga de famagem. Nota-se que este gráfico apresenta uma curva onde a armadura está fixa nas extremidades e outra curva onde uma das extremidades está ivre para simuar a presença de emendas das arras da armadura. Verifica-se que a partir de um ato níve de rigidez, a carga de famagem cresce quase que inearmente com o aumento da rigidez dos estrios. A partir deste gráfico será apresentado um método para o cácuo do espaçamento e rigidez dos estrios em um piar de concreto armado... Curvas Γ vs. η Modificadas A curva da Figura 5 é váida para quaquer tipo de seção considerada. Conforme o ojetivo do projeto, asta introduzir os respectivos vaores de Γ ou η para cada caso em particuar. Por exempo, para a seção da Figura., sustituindo-se o vaor da rigidez dos estrios,, da expressão (7) no vaor do parâmetro adimensiona de rigidez, η,expresso em (7) otém-se o seguinte vaor: φt sφ 9 η = (9) Por outro ado, sustituindo-se o momento de inércia da armadura ongitudina na expressão de Γ tem-se: 6P Γ = (0) Eπφ Dessa forma, é possíve aterar os vaores de Γ e η das expressões (9) e (0) e criar novos parâmetros com a finaidade de faciitar os cácuos dos exempos que serão apresentados. As variáveis adimensionais Γ e η foram modificadas da seguinte forma: ENGEVISTA, v. 8, n., p. 9-6, junho

8 t η φ η = = 9 sφ Γπ P Γ = = () 6 Eφ Portanto a ordenada e ascissa dos gráficos da Figura 5 são ateradas mutipicando-se as mesmas peos fatores, π e, respectivamente. Dessa forma, 6 9 otém-se o gráfico da Figura 6 com os parâmetros de carga e rigidez menores. Dependendo do arranjo dos estrios na seção transversa, otém-se um vaor diferente para a rigidez, e para o parâmetro adimensiona da rigidez dos apoios aterais, η Γ.. Considerações Sore a Carga de Famagem para Dimensionamento A carga de famagem deve ser sempre maior que a carga de escoamento em compressão por um fator γ >, isto para garantir o uso de P = f A no dimensionamento inicia, como é feito usuamente. No dimensionamento usua, usca-se otimizar o projeto tomando γ =, entretanto, é pouco recomendáve do ponto de vista de segurança em regime póscrítico. Adotou-se no presente traaho os vaores de γ=, η y y s Figura 5- Parâmetro de carga vs. Parâmetro de rigidez da couna com seis graus de ierdade. ENGEVISTA, v. 8, n., p. 9-6, junho

9 Figura 6 - Parâmetro de carga vs. Parâmetro de rigidez da couna com seis graus de ierdade.. SEQÜÊNCIA DE PROJETO COM A UTIIZAÇÃO DAS CURVAS Γ vs.η Uma seqüência possíve de projeto com o uso dos gráficos Γ vs. η, seria como se mostra a seguir: - O vaor de vem da geometria da peça; - O diâmetro da armadura ongitudina, φ é usuamente determinado peo projetista; - Busca-se uma carga de famagem, P = γ e assim otém-se Γ ; cr P y - Com o vaor de Γ entra-se na ordenada do gráfico Γ vs. η e descore-se o η necessário na ascissa. Como já se dispõe dos vaores de e φ, as variáveis de projeto serão o espaçamento entre os estrios, s e o diâmetro dos estrios, φ t, os quais serão cacuados e adotados de forma compatíve com os imites das normas de projeto existentes. Caso o espaçamento resute muito pequeno, ou o diâmetro muito grande, é necessário reduzir ou usar estrios supementares... Cácuo do Diâmetro e Espaçamento entre Estrios para os Piares Descritos no Traaho de Queiroga & Giongo [] Pretende-se anaisar os piares de seção quadrada cujo arranjo das armaduras na seção transversa apresenta-se na Figura 7 e o resumo das características dos piares apresenta-se na Taea. Os piares P, P e P6 foram seecionados para a reaização dos testes numéricos. ENGEVISTA, v. 8, n., p. 9-6, junho

10 Assim, usca-se uma carga de famagem, P = γ e otém-se Γ cr P y 0 cm P Pcr = γ Py 65,8 kn Γ = E φ cr = Γ = 8,9 η = 9, 0 () 0 cm Figura 7- Seção e arranjo das armaduras nos piares ensaiados por Queiroga []. Taea - Resumo das características dos piares ensaiados por Queiroga []. Piar (cm) Arm. ong. A s (cm ) P 0,5,5 Arm. Trans. 8φ 6,c / 5 P 0,5,5 8φ 6,c / 0 c mm f c (MPa) φ 7,5 59,60 φ 7,5 5,0 P6 0 8φ,5,5 φ6,c / 5 7,5 55,90 Os vaores cacuados para o diâmetro e espaçamento entre os estrios utiizando o critério proposto no item apresentam-se na Taea. O procedimento competo de cácuo apresenta-se em Buffoni []. A seguir apresentam-se os passos reaizados para o piar P. Piar P As propriedades da armadura são: f y = 50 N φ =,5 mm mm = 00 mm = 9,9 mm E = 0000 P N mm A = 5 mm = f A = 5,6 0 N s = 50 mm y y s Pretende-se cacuar o diâmetro e espaçamento entre estrios para γ =, considerando-se a armadura sem emendas. s O vaor de η encontrado na expressão () foi otido entrando-se com o vaor de Γ na ordenada do gráfico apresentado na Figura 6 e o vaor necessário de η encontra-se na ascissa correspondente a Γ. A partir da expressão () tem-se que: ENGEVISTA, v. 8, n., p. 9-6, junho t s φ η φ = =,8 () A Taea apresenta os vaores cacuados para os piares P e P6 que foram cacuados da mesma forma que o piar P. Na inha correspondente ao piar P, os vaores encontrados para o diâmetro, considerando-se um espaçamento s = 50 mm foi aproximadamente φ t = 5, mm. Nota-se que estes vaores são encontrados a partir do modo de famagem que poderia incusive envover vários estrios num estado imite. A Taea apresenta os vaores comerciais para o diâmetro do estrio. Verifica-se tamém que quando se diminui o espaçamento entre estrios, o vaor do diâmetro dos estrios poderia ser menor. A Taea. apresenta o caso onde uma das extremidades da armadura está ivre, simuando o caso de emendas das arras da armadura. Nesse caso, os vaores encontrados para o diâmetro dos estrios são mais atos, visto que um certo vaor do parâmetro de carga corresponde a vaores mais atos de rigidez para o caso onde uma das extremidades da armadura está ivre e, portanto, vaores mais atos para o diâmetro dos estrios são necessários.

11 De acordo com a NBR 68/00 o vaor do espaçamento deve ser ta que em um estado imite a famagem ocorreria entre dois estrios consecutivos. A Taea apresenta os vaores imites para o piar P, do espaçamento e diâmetro dos estrios descritos em diversas normas de projeto de estruturas de concreto. Verifica-se que o espaçamento máximo entre estrios fica em torno de 50 mm para um diâmetro dos estrios maior ou igua a 5 mm. De acordo com as diversas normas, estes vaores consideram no estado imite útimo, que a famagem da armadura ongitudina ocorreria no máximo em uma meia-onda entre estrios, pois se considera que o comprimento de famagem é o próprio espaçamento entre dois estrios. Taea Cácuo do diâmetro e espaçamento entre estrios para os piares de Queiroga [] a partir da formuação proposta. Piar Queiroga [] Arm. a) Armadura fixa nas extremidades Formuação Proposta Armadura fixa nas extremidades γ =, Transv. Γ η s mm Arm. Transv. φ t mm φ tcom P φ 6,c / 5 8,9 9, 50 5,0 6, P φ 6,c / 0 8,9 9, 00,68 5 P6 φ 6,c / 5 8,9 9, 50,9 5 Os: Para o diâmetro do estrio, φ t =6, mm encontra-se um espaçamento máximo de 8 mm. mm ) Armadura ivre em Uma das Extremidades Formuação Proposta Queiroga [] Armadura ivre em uma das extremidades γ =, Arm. Transv. Piar Γ η s mm φ t φ tcom mm mm P 8,9 566,0 50 7, 8 P 8,9 566,0 00 6,5 8 P 8,9 566,0 50 5,50 6, Os: Para o diâmetro do estrio, φ t =6, mm encontra-se um espaçamento máximo de 86 mm. ENGEVISTA, v. 8, n., p. 9-6, junho

12 Taea Vaores imites para o espaçamento e diâmetro dos estrios para o piar P de Queiroga [] otidos de normas de projeto. Vaores Máximos fixados em Normas famagem com uma meia-onda entre dois estrios s 6φ (mm) ACI 8 00 φ t 0 (mm) s φ NBR 68 (mm) 00.. Apicações para Piares com Seções de Grandes Dimensões Apica-se o critério proposto a um piar de concreto armado com seção transversa retanguar 5 cm x 0 cm, atura ivre de 50 cm, com resistência à compressão do concreto 0 MPa e do aço de 500 MPa. A armadura ongitudina consiste de arras de 6 mm de diâmetro, e o corimento é de cm, conforme apresentado na Taea. Nomeou-se este piar de P e se apresenta a seguir aguns casos de variações nos arranjos das armaduras na seção transversa. φ t 5 (mm) Taea - Resumo das características do piar P. Piar B cm H cm Cm Arm. ong c cm f yk Mpa P φ Caso Considera-se o arranjo das armaduras na seção transversa apresentado na Figura 8. Para o cácuo da rigidez dos estrios, adotou-se o modeo da Figura 9, onde a perna do estrio é considerada como uma viga fixa nas extremidades. A fexiiidade do estrio associada a cada arra pode ser otida apicando-se uma carga transversa concentrada unitária isoadamente em cada ponto centra da arra. Nota-se que isto corresponde a admitir-se que o início da famagem se dá na arra menos restringida. Assim, avaia-se o ponto crítico como correspondente a uma arra que contriui com a menor rigidez do estrio. Para o modeo da Figura 9 isto ocorre no centro da viga, e neste caso a rigidez fica sendo: 8.EI t = () onde o vão ivre de fexão é = = 0 mm ( ) 5 cm 0 cm Figura 8 Caso : Arranjo das armaduras na seção transversa do piar P. P P P P P P P P P a Figura 9- Modeo simpificado para cácuo da rigidez referente ao caso. ENGEVISTA, v. 8, n., p. 9-6, junho

13 Supôs-se iniciamente que o diâmetro do estrio é igua a 5 mm. Considerando os estrios como ase eástica e sustituindose k = /s no parâmetro η chega-se a: k 8,EI t η = = = φt s EI sei 8,φ t sφ η φ 9η φ = = (5) 8, 8, Pretende-se cacuar o diâmetro e espaçamento entre estrios para γ =, considerando-se a armadura sem emendas. Dessa forma, usca-se uma carga de famagem, P = γ P e otém-se Γ e η. cr y Taea 5 Dimensionamento dos estrios para o caso. s (mm) φ t (mm),8,8,77 Caso O modeo da Figura 0 se apresentou o mais favoráve e econômico em termos de dimensionamento dos estrios. O modeo simpificado para o cácuo de apresentase na Figura, onde o vaor de = 8 mm, sendo dada por: 6EI t = (8) a ( a) P Pcr = γ Py 0, kn Γ = E φ cr = Γ = 9,9 η = 80, 08 (6) A partir da expressão (6) tem-se: φ t s = 6,8 0 (7) Estipuaram-se aguns vaores para o espaçamento entre estrios de acordo com os imites impostos pea NBR 68/00. Para que a ase eástica possa impedir a famagem da armadura ongitudina os diâmetros encontrados apresentam-se na Taea 5. Os vaores encontrados para o diâmetro do estrio foram atos, visto que este modeo é astante fexíve. A expressão para o cácuo do dimensionamento dos estrios otida a partir das expressões de η e apresentadas em (7) e (8), respectivamente é dada por: t φ η = s φ a ( a) (9) Os resutados apresentam-se na Taea 6 para os vaores de γ =, 0 e γ =,. verificou-se através dos cácuos que ao se definir o diâmetro do estrio como φ t = 6, mm, o espaçamento entre estrios fica em maior do que o imite superior registrado na NBR 68/00. ENGEVISTA, v. 8, n., p. 9-6, junho 006 6

14 ,6 cm 5 cm 0 cm Figura 0 Caso : Arranjo das armaduras na seção transversa do piar P. a P P Figura - Modeo simpificado para cácuo da rigidez referente ao caso. Taea 6 Dimensionamento dos estrios para o caso. a) Cácuo do Diâmetro dos estrios. s (mm) φ t (mm) γ =,0 γ =, 90 5,8 5,8 50 5,6 5,9 50,9,7 ) Cácuo do espaçamento. φ t (mm) s (mm) γ =,0 γ =, 5 0 6, 59 modeo simpificado da Figura, que se apresenta na expressão (8), e a rigidez do modeo da Figura 0 sem estrios supementares, como apresenta o modeo simpificado da Figura. O vaor da rigidez,, para o modeo da Figura, correspondente a uma das cargas mais próximas do centro que é dada por: 5EI = (0) t ( + a 9a + 8a 8a ) O vaor de = 0 mm e os resutados considerando-se a rigidez média da ase eástica para a consideração de espaçamento dupo, com os vaores de γ =,0 e γ =, apresentam-se na Taea 7. Taea 7 Caso: Dimensionamento dos estrios considerando-se espaçamento dupo. a) Cácuo do diâmetro dos Estrios A partir deste modeo reaizou-se um estudo para verificar a possiiidade de executá-o com espaçamento dupo. Cacuou-se a rigidez média efetiva da ase eástica como sendo a média dos vaores da rigidez cacuada com estrios supementares utiizando-se o s (mm) φ t (mm) γ =,0 γ =, 90 6,5 6,9 50 6, 6,5 ENGEVISTA, v. 8, n., p. 9-6, junho 006 6

15 50,96,96 ) Cácuo do Espaçamento γ =,0 γ =, , 66 9 s (mm) φ t (mm) P P P P P P P P Figura - Modeo simpificado para cácuo da rigidez referente ao caso sem estrios 5. CONCUSÕES A partir da otenção dos gráficos que reacionam o parâmetro de carga da armadura ongitudina com o parâmetro de rigidez dos estrios, mostrou-se interessante propor uma seqüência de projeto, caracterizando o dimensionamento raciona dos estrios em piares de concreto armado. Os exempos mostram que o resutado de ta procedimento pode se tornar compatíve com os resutados existentes em normas de projeto atuais, por uma cairagem adequada dos parâmetros envovidos. Os vaores cacuados para o espaçamento e diâmetro dos estrios foram otidos a partir da consideração de um modo de famagem gera que poderia incusive envover vários estrios. variações no vão de fexão dos estrios. Pode ainda ser considerada uma rigidez efetiva para o estrio como a média entre a rigidez cacuada quando se consideram estrios supementares e a rigidez cacuada sem a consideração dos mesmos. Assim, dimensiona-se o estrio utiizando um espaçamento dupo, ou seja, a cada dois espaçamentos coocamse estrios supementares, o que pode ser enéfico na hora da concretagem. Em resumo, propõe-se um projeto raciona de armadura transversa, com uso de considerações reacionadas a famagem da armadura ongitudina. Um eventua maior consumo de armadura pode ser compensado por mehores condições de execução de piares, devido à redução de armaduras supementares. A partir dos resutados apresentados verifica-se que a armadura transversa pode oferecer diferentes contriuições 6. REFERÊNCIAS para a resistência a famagem das arras. American Concrete Institute ongitudinais. Foi mostrado, através de Committee 8. Buiding Code exempos, que o procedimento adotado Requirements for Structura Concrete neste traaho permite que se atinja a (ACI 8-0) and Commentary (8Rrigidez necessária, com diversas 0), American Concrete Institute, variáveis: espaçamento entre os estrios, Farmington His, Mich, 00. diâmetro dos estrios, diâmetro da armadura ongitudina, uso de estrios. Bazant, Z. P.; Cedoin,. Staiity of supementares, e reposicionamento das Structures Eastic, Ineastic, Fracture, arras da armadura ongitudina. Estas and Damage theories. Oxford University duas útimas variáveis correspondem a Press, Ne York, 99. ENGEVISTA, v. 8, n., p. 9-6, junho 006 6

16 . Breser, B.; Giert, P. H. Tie Requirements for Reinforced Concrete Coumns. ACI Journa. Vo. 58, No. 5, p , 96.. Buffoni, S. S. O. Estudo da Famagem de Armaduras ongitudinais em Piares de Concreto Armado. Tese de Doutorado, Departamento de Engenharia Civi, PUC/Rio, Dym, C..; Shames, I. H. Soid Mechanics - A Variationa Approach. McGra-Hi-ogakusha, td. Tokyo, James, F. P. Infuence of Ties on the Behavior of Reinforced Concrete Coumns. Journa of the American Concrete Institute. Proceedings Vo. 6, No. 5, p. 5-57, Moehe, J. P.; Cavanagh, T. Confinement Effectiveness of Crossties in RC. Journa of Structura Engineering, Vo., N o 0, p. 05-0, NBR-68., 00. Projeto e execução de oras de concreto armado. 9. Pantazopouou, S. J. Detaiing for Reinforcement Staiity in RC Memers. Journa of Structura Engineering, Vo., N o 6, ASCE, p. 6-6, Pfister, J. F. Infuence of Ties on the Behavior of Reinforced Concrete Coumns. Journa of the American Concrete Institute, Vo. 6, No. 5, p. 5-56, 96.. Queiroga, M. V. M. Anáise Experimenta de Piares de Concreto de Ato Desempenho Sumetidos à Compressão Simpes. Dissertação de Mestrado apresentada à Escoa de Engenharia de São Caros, EESC USP, Queiroga, M. V. M.; Giongo, J. S. Resistência e Ductiidade de Modeos de Piares de Concreto de Ata Resistência Sumetidas à Compressão Simpes. IV Simpósio EPUSP sore Estruturas de Concreto, SP, 000. ENGEVISTA, v. 8, n., p. 9-6, junho 006 6