ANÁLISE ESTRUTURAL I NOTAS DE AULA

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1 ÁLIE ETRUTURL I OT DE UL ssunto: Linhas de Influência de Estruturas Isostáticas Prof. Roberto Márcio da ilva

2 1-) ITRODUÇÃO s linhas de influência tem uma importante aplicação no projeto de estruturas submetidas a carregamentos móveis, tais como: pontes, viadutos, passarelas e vigas de rolamento. os capítulos anteriores foram desenvolvidas técnicas para analisar estruturas isostáticas submetidas a carregamento fixo. erá mostrado agora como os esforços solicitantes numa estrutura isostática variam com a posição do carregamento móvel. 2-) DEFIIÇÃO Uma linha de influência mostra como um determinado esforço numa seção varia quando uma carga concentrada move sobre a estrutura. linha de influência é construída sobre o eixo da estrutura sendo que as abscissas representam as posições da carga móvel e as ordenadas representam os respectivos valores do esforço considerado. Exemplo: Linha de influência de momento fletor para uma seção 3-) PROCEDIMETO PR ÁLIE erá mostrado a seguir os procedimentos para se construir uma linha de influência de um esforço numa determinada seção. 3.1-) Vigas sobre 2 apoios eja uma carga móvel vertical P deslocando-se sobre a viga B mostrada abaixo, e x a posição desta carga. 2

3 3.1.1-) Linha de influência das reações de apoio M = 0 V B.L P(x-a) = 0 V B = P(x-a)/L dividindo agora ambos os membros pela carga P para tornar o carregamento unitário e adimensional, temos: V B /P = P(x-a)/(P.L) V = (x-a)/l B Chama-se V B de linha de influência da reação de apoio V B, isto é, uma equação que mostra como a reação V B varia com a posição x de uma carga unitária que se desloca sobre a estrutura. ota-se que os valores de V B são adimensionais. Dando valores para x determina-se os respectivos valores de V B. x = a x = L+a x = 0 x = a+l+b V B = 0 (carga sobre o apoio ) V B = (L+a-a)/L V B = 1 (carga sobre o apoio B) V B = -a/l (carga na extremidade do balanço esquerdo) V B = (a+l+b-a)/l V B = (L+b)/L > 1 ordenada Y representa o valor da reação de apoio V B quando a carga móvel unitária estiver sobre a seção s. nalogamente, obtêmse V : M B = 0 V.L P(L+a-x) = 0 V = P(L+a-x)/L 3

4 dividindo-se ambos os membros por P, resulta: V = (L+a-x)/L Dando valores para x, obtêm-se: x = a V = (L+a-a)/L V = 1 (carga sobre o apoio ) x = L+a V = [(L+a-(L+a)]/L V = 0 (carga sobre o apoio B) x = 0 V = (L+a)/L > 1 (carga na extremidade do balanço esquerdo) x = a+l+b V = [-(a+l+b)+l+a]/l V = -b/l ordenada Y representa o valor da reação de apoio V quando a carga móvel unitária estiver sobre a seção s. Resumindo, pode-se concluir que as linhas de influência das reações de apoio de uma viga biapoiada são lineares e têm valor unitário no apoio analisado, e zero no outro apoio, prolongando-se a reta até as extremidades dos balanços ) Linha de influência da força cortante numa seção entre os apoios linha de influência de Q pode ser obtida a partir das linhas de influência de V e V B. Chamando a carga unitária de P = 1 e as reações de V e V B, tem-se: x<a+c Q = - V B x>a+c Q = V 4

5 Resultando portanto: ordenada Y representa o valor da força cortante na seção, quando a carga unitária estiver na seção ) Linha de influência do momento fletor numa seção entre os apoios linha de influência de M pode também ser obtida a partir das linhas de influência de V e V B. Fazendo a carga unitária P = 1 e as respectivas reações V e V B, temse: x<a+c x>a+c M = V B.d (tração no lado de referência) M = V.c Resultando portanto: 5

6 ordenada Y representa o valor do momento fletor na seção quando a carga unitária móvel estiver sobre a seção 1. este caso os valores de M não são adimensionais pois foram obtidos do produto de V ou V B por uma distância c ou d, tendo portanto a dimensão de comprimento. s ordenadas positivas podem ser marcadas de qualquer lado desde que se indique o sinal. 3.2-) Vigas em balanço ) Linha de influência das reações de apoio M = 0 M 1.x = 0 M = x V = 0 V 1 = 0 V = 1 x = 0 M = 0; V = 1 x = L M = L; V = 1 Resultando portanto: 6

7 3.2.2-) Linha de influência da força cortante numa seção do balanço x<c x>c Q = 0 Q = 1 Resultando portanto: OB: o caso do balanço para a esquerda o sinal de Q será negativo. 7

8 3.2.3-) Linha de influência do momento fletor numa seção do balanço x<c x c M = 0 M = -1(x-c) (tração na face superior) Dando valores para x obtém-se: x = c M = 0 x = L M = -1(L-c) = -1.d = -d Resultando portanto: Para o balanço a esquerda a linha de influência é análoga. OB: s linhas de influência dos esforços solicitantes numa seção do balanço de uma viga biapoiada são os mesmos obtidos para a viga em balanço. 8

9 3.3-) Exemplo Para a viga biapoiada abaixo pede-se traçar as linhas de influência de: V, V B, Q, M, Q 2 e M 2. 9

10 3.4-) VIG GERBER Como visto anteriormente, vigas Gerber são estruturas isostáticas de eixo reto que resultam da associação de vigas simples (vigas em balanço, vigas biapoiadas). O traçado das linhas de influência de vigas Gerber é obtido a partir das linhas de influência das vigas simples, levando em consideração a transmissão de carga da viga que está apoiada para aquela que serve de apoio. Deve-se lembrar que quando a carga móvel está sobre um apoio ela é integralmente transmitida para ele. través de alguns.exemplos mostrar-se-á como traçar as linhas de influência para as vigas Gerber. EXEMPLO 1 Para a viga abaixo pede-se as linhas de influência de V, M. Decomposição da estrutura. Traça a L.I. para a viga B. Como a viga BCD esta apoiada em B, haverá transmissão de carga. 10

11 EXEMPLO 2 Para a viga abaixo, pede-se: V C, V E, Q e M. Decomposição Regra Geral: Traça-se a LI para a viga simples que contém a seção estudada, depois prolonga esta linha para as vigas que transmitem carga para a viga que contém a seção estudada. 11

12 EXEMPLO 3 12

13 3.5-) TRELIÇ s linhas de influência das reações de apoio das vigas treliçadas são as mesmas obtidas para as vigas de alma cheia. M E = 0 M = 0 V E.L - 1.x = O x = 0 V = 1; V E = 0 x = L V = 0; V E = 1 V.L - 1(L-x) = O V = (L-x)/L V E = x/l. Cabe salientar que no caso das treliças o efeito do carregamento móvel chega nos nós indiretamente, através de elementos estruturais secundários como as transversinas. s linhas de influência das forças normais nas barras podem ser determinadas a partir das LI. das reações de apoio. Deve-se portanto procurar expressar a força normal na barra em função das reações de apoio. 13

14 EXEMPLO Traçar as linhas de influência das forças normais nas barras BC, GH, GC, GB e HC da viga treliçada. plicando-se o processo das seções é possível expressar diretamente as forças normais nas barras em função das reações de apoio. BRR BC: eccionando a barra BC e substituindo-a pelas forças normais que ela aplica nos nós B e C têm-se: Liberdade: rotação em torno de G. Condição de equilíbrio: M G (esq) = 0 ou M G (dir) = 0 x a M G (dir) = 0 V.3a -.b = 0 BC = ( V E.3a)/b x a M G (esq) = 0 BC = ( V.a)/b E BC V. a - BC. b = 0 14

15 BRR GH: eccionando a barra GH e substituindo-a por tem-se: GH nos nós G e H, Liberdade: rotação em torno de C. Condição de equilíbrio: M C (dir) = 0 ou M C (esq) = 0 x 2a M C (dir) = 0 V.2a +.b = 0 GH = -( V E.2a)/b x 2a M C (esq)= 0 GH = -( V.2a)/b E GH V.2a + GH.b = 0 15

16 BRR GC: eccionando a barra GC e substituindo-a por tem-se: GC nos nós G e C, Liberdade: translação vertical (dois corpos rígidos ligados por duas barras paralelas biarticuladas). Condição de equilíbrio: V(esq) = 0 ou V(dir) = 0 x a V(dir) = 0 V +.sen α = 0 GC = - V E /sen α X 2a V(esq) = 0 GC = V / sen α E GC V - GC.sen α = 0 Obs:. Quando a carga estiver no painel que contém a barra GC, parte dela transmite para o nó G e parte para o nó H. Como a linha de influência de estrutura isostática é sempre linear, então pode-se traçar a linha do início ao fim do painel; e ligar os pontos ( e M) através de uma reta. 16

17 BRR GB: eccionando a barra GB e substituindo-a por tem-se: GB nos nós G e B, Liberdade: translação vertical (dois corpos rígidos ligados por 2 barras paralelas biarticuladas). Condição de equilíbrio: V (esq) = 0 ou V(dir) = 0 x a V (esq) = 0 V + GB = 0 GB = - V Obs:. Para x < a, a variação é linear, basta ligar os pontos 1 e 2. BRR HC: eccionando a barra HC e substituindo-a por tem-se: HC nos nós H e C, 17

18 Estudando o equilíbrio do nó H tem-se: V H = 0 x a ou x 3a V H = 0 HC = 0 x = 2a V H = 0 HC + 1 = 0 HC = -1 a < x < 2a parte de P =1, transmite para o nó H 2a < x < 3a parte de P =1, transmite para o nó H, então a variação é linear de G até H e de H até I. 3.6-) CRREGMETO Em estruturas submetidas a carregamento móvel podem atuar cargas permanentes e cargas acidentais. seguir mostra-se que será possível a partir das linhas de influência localizar as cargas acidentais na estrutura para que estas causem o máximo valor do esforço que está sendo analisado. Dois tipos de cargas serão considerados: 1 - Cargas Concentradas Como as ordenadas obtidas nas linhas de influência são determinadas usando uma carga unitária adimensional, então para qualquer carga concentrada "P" atuando na estrutura numa seção de abscissa x, o valor do seu efeito pode ser obtido multiplicando-se a ordenada adimensional na seção pelo valor da carga "P". 2 - Cargas Distribuídas Considere um pedaço de viga submetida a uma carga uniformemente distribuída p. LIH DE IFLUE Como mostrado na figura acima cada elemento dx da viga estará submetido a uma carga concentrada dp = p.dx. e dp está localizado numa abscissa "x", onde a linha de influência tem ordenada "y", então o efeito de dp será: dp.y = p.dx.y 18

19 Portanto, o efeito de todas as cargas concentradas dp é obtido pela integração sobre todo o comprimento da viga, isto é: dp. y = p. dx. y = p. y. dx = p. área Como p é constante, pode-se concluir que "o efeito da carga distribuída é simplesmente obtido multiplicando a carga "p" pela área sob a linha de influência". TREM - TIPO Em geral as cargas a serem consideradas nos projetos de estruturas solicitadas por carregamento móvel, são especificadas em ormas Técnicas. Estas cargas são representadas pelos chamados trem-tipo, onde são indicadas as cargas concentradas, as distâncias entre elas, além de eventuais cargas distribuídas. Por exemplo: 3.7-) EFORÇO MÁXIMO Conhecido o carregamento permanente e dado um determinado "trem - tipo" constituído de cargas concentradas e distribuídas, podese determinar os valores máximos dos esforços numa seção. a pesquisa destes valores máximos deve-se considerar o carregamento permanente em toda a estrutura e o carregamento acidental (trem - tipo) nas posições mais desfavoráveis. 19

20 EXEMPLO: eja determinar, para a viga abaixo, os valores máximos do momento fletor na seção s, para o carregamento a seguir : PERMETE M = 0,5t/m 4,562m 2 = 2,281t.m DETL M = (6t 1,875m) + (2t 1,125m) + (1,5t/m 7,5m 2 ) = 24,7t.m 1 = -1,25m 2 2 = 7,5m 2 M PERMETE = 2,281t.m 3 = -1,688m 2 M DETL = 24,7t.m = 4,562m 2 M = 27,03t.m 20

21 PERMETE M = 0,5t/m 4,562m 2 = 2,281t.m DETL M θ = (1,5t/m -1,25m 2 ) + (1,5t/m -1,688m 2 ) + (6t -1,125m) + (2t -0,375m) = -11,907t.m 1 = -1,25m 2 2 = 7,5m 2 M PERMETE = 2,281t.m 3 = -1,688m 2 M θ DETL = -11,907t.m = 4,562m 2 M θ = -9,62t.m Obs:. Deveria ser pesquisada a colocação da carga concentrada de 6t na ordenada y 4. o caso verifica-se que se obtém o mesmo valor. (COIDÊ!!) 4-) OBTEÇÃO GRÁFIC D LIH DE IFLUÊ Em 1886, Heinrich Müller-Breslau desenvolveu uma técnica para construção gráfica da linha de Influência. Esta técnica é conhecida como "Princípio de Müller-Breslau". 21

22 4.1-) PRICÍPIO DE MÜLLER-BRELU linha de Influência de um esforço numa seção tem a mesma forma da deformada da estrutura quando a capacidade de resistir tal esforço na seção da estrutura é eliminada, e esta é submetida a um deslocamento unitário associado ao esforço. EXEMPLO 1 - Para obtenção de M, basta articular a seção s (retirar a capacidade de resistir momento fletor na seção s ), resultando portanto: - Para obtenção de Q, basta liberar a translação vertical em s (retirar a capacidade de resistir à força cortante na seção s ), resultando portanto: -Para obtenção de resultando: V, basta liberar a translação vertical em, 22

23 EXEMPLO 2 Para obtenção de analogicamente obtém-se V B, libera-se a translação vertical em B, V D, Q, M 2 e Q 3. 23

24 EXEMPLO 3 Bibliografia: Hibbeler, R.C tructural nalysis, Macmillan Publishing Company, ew York,

25 EXERCÍO REOLVIDO 25

26 Exercício 1: Para a estrutura abaixo, pede-se: a) Traçar a linha de influência de M, Q 2, e Q 3. b) Calcular M e máx M para os trens-tipo abaixo. máxο Respostas: M = 0, ,25 = 14,42t.m máx máxο M = 0, ,99 = -12,83t.m máxο M = 0, ,67 = -10,99t.m 26

27 a) b) 1 = -0,375 2 = +1,50 3 = -1,25 4 = 0, = -0,2083 = 0,0842 M M M M PERMETE DETL. DETL. Ο DETL. = 0, = 0,1684t.m = [3.(1,5 + 0,4175)] + (10 0,75) + (4 0,25) = 14,25t.m = 3.( 1,833) (10 0,75) = 12,99t.m = 3.( 1,833) (10 0,5) (4 0,167) = 11,167t.m 27

28 Exercício 2: Para a estrutura abaixo, pede-se: a) Traçar a linha de influência de Q. b) Valores de Q máx e Q para o trem-tipo abaixo. máxο a) b) 1 = -0,125 2 = +1,125 3 = -1,250 = -0,250 Q Q Q PERMETE DETL. Ο DETL. 2 = 0,250(m ) 2(t / m) = 0,500t.m = 4.( 0,125 1,250) (10 0,500) (5 0,167) = 11,335t.m = 4.(1,125) + (10 0,750) + (5 0,250) = 13,250t.m Respostas: Q = -0,500-11,335 = -11,835t.m máxο máx Q = -0, ,250 = 12,750t.m 28

29 Exercício 3: Para a treliça abaixo, pede-se: a) Traçar a linha de influência dos esforços normais nas barras e IJ. b) Calcular os esforços máximo e mínimo na barra para o carregamento indicado, definindo, inclusive, se eles correspondem a tração ou compressão na barra. a) M (0 x 3,2) V = 0 (0 x 3,2) V = 0 (6,4 x 19,2) M C B = 0 2 (3,2) V = 0 3,2 (6,4 x 19,2) + V K = V H K IJ = 0 + 2,4 2,4 = 0 IJ = V K = 0 IJ IJ = 2,667 V = 1,333 V H K 29

30 b) 1 = -0,53 2 = -3,22 3 = 2,14 = -1,61 PERMETE DETL. Ο DETL. = 2 ( 1,61) = 3,23t = 4 ( 3,75) (15 0,67) (8 0,333) = 27,71t = 4 (2,14) + (15 0,67) + (8 0,333) = 21,25t Respostas: = -3, ,25 = 18,02t (tração) máx máxο = -3,23-27,71 = -30,94t (compressão) 30

31 Exercício 4: Para a treliça abaixo, pede-se: Calcular os valores máximos (positivos e negativos) da força normal na barra, para os trens-tipo abaixo e para carregamento inferior. sen( α) = 3 = 0,6 5 cos( α) = 4 = 0,8 5 V = 0 V (0 x 8) D V = 0 V (12 x 16) + sen( α) = 0 sen( α) = 0 = VD = 1,667 V sen( α) V = = 1,667 V sen( α) D 31

32 1 = 6,666 2 = 1,112 = 7,778 PERMETE DETL. DETL. Ο = 1,5 7,778 = 11,667t = (3 7,778) + (10 1,111) + (4 0,833) = 37,776t = 0 Respostas: = 37, ,667 = 49,443t máx máxο = ,667 = 11,667t 32