UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO ESCOLA DE MINAS OURO PRETO MG SISTEMAS ESTRUTURAIS AULA 3 SISTEMAS ESTRUTURAIS ESPACIAIS E PLANOS

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2 Classificação dos elementos estruturais Os elementos estruturais, em função das suas três dimensões, podem ser classificados em: - Barra: duas dimensões são da mesma ordem de grandeza e bem menores que a terceira dimensão - Folha, placa, chapa e casca: duas dimensões são da mesma ordem de grandeza e bem maiores que a terceira dimensão - Bloco: as três dimensões são da mesma ordem de grandeza Estruturas lineares Estruturas formadas por uma ou mais barras. Ex: vigas, pilares, treliças, arcos, pórticos, grelhas, etc.

3 O caminho das cargas começa nas lajes, que delas vão para as vigas e, em seguida, para os pilares, que as conduzem até a fundação.

4 Vigas Estruturas lineares, dispostas horizontalmente ou inclinadas, com um ou mais apoios. Principais tipos de vigas: - Viga em balanço: viga com um só apoio, necessariamente um engaste - Viga biapoiada: viga com um apoio fixo e um apoio móvel - Viga biengastada: viga com as duas extremidades engastadas - Viga Gerber: viga articulada e isostática, sobre mais de dois apoios - Viga contínua: viga hiperestática, com mais de dois apoios

5 Vigas - Viga balcão: viga cujo eixo, curvo ou poligonal, situa-se em um plano fora do qual agem as ações - Viga coluna: viga com solicitações de flexão e de compressão - Viga armada: viga constituída por uma barra, em que os esforços solicitantes predominantes são momentos fletores, e por outras barras em que só há esforços normais - Viga Vierendeel: vigas de banzos (ou cordas) paralelos, contendo somente montantes

6 Vigas - Viga de alma cheia: viga cuja alma não tem espaços vazios - Viga de alma vazada: viga cuja alma possui espaços vazios Alma de uma viga: parte de uma viga que resiste, principalmente, às forças cortantes. Mesa de uma viga: parte de uma viga que resiste, principalmente, aos momentos fletores.

7 Treliças Estrutura linear constituída de barras retas, dispostas de modo a formar painéis triangulares, e solicitadas predominantemente por esforço normal. Principais elementos que compõem as treliças: - Banzo (ou corda): conjunto de barras que limitam superiormente (banzo superior) e inferiormente (banzo inferior) a treliça - Montante: barra vertical das treliças ou das vigas Vierendeel, ou ainda, barra vertical em que o esforço solicitante predominante é uma força normal de compressão - Diagonal: barra com o eixo coincidente com a diagonal de um painel - Painel: trecho de uma estrutura linear compreendido entre dois alinhamentos consecutivos de montantes - Nó: junção das extremidades das barras de uma estrutura linear - Tesoura: treliça plana de banzos não paralelos, destinada ao suporte de uma cobertura

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9 Pilares Barras, geralmente retas, com eixo quase sempre disposto verticalmente, em que os esforços solicitantes predominantes são forças normais de compressão. Pórticos Os pórticos planos são estruturas lineares planas, com solicitações coplanares que, não sendo constituídas de uma barra única de eixo retilíneo, não recaem na categoria de arco, viga, pilar ou treliça.

10 Grelhas São constituídas por estruturas lineares (vigas), situadas em um mesmo plano, formando uma malha que recebem solicitações não coplanares. Estruturas Pênseis Estruturas lineares cujos elementos principais são constituídos por cabos. Fio: barra que só pode resistir a solicitações de tração segundo seu eixo Cabo: conjunto de fios

11 Arcos Barras curvas em que os esforços solicitantes predominantes são forças normais de compressão agindo, simultaneamente ou não, com momentos fletores.

12 Estruturas de superfície Também conhecidas como estruturas laminares, são definidas pela superfície média e pela lei de variação da sua espessura, cujo estudo (bem mais complexo que o das estruturas lineares) é feito com teorias específicas (Teoria das Placas, Teoria das Chapas e Teoria das Cascas) que resultam de simplificações adequadas da Teoria da Elasticidade. Definições: - Lâmina: corpo em que uma das dimensões é muito menor do que as outras duas - Folha: estrutura constituída por uma ou mais lâminas - Folheto médio: superfície média de uma folha - Plano médio: folheto médio de uma folha plana - Chapa: folha plana sujeita a esforços apenas em seu plano médio - Viga-parede: chapa disposta verticalmente sobre apoios isolados - Placa: folha plana sujeita, principalmente, a esforços fora do seu plano médio - Casca: folha curva sujeita a esforços no seu plano médio

13 Estruturas de superfície - Casca cilíndrica: casca cujo folheto médio é uma superfície cilíndrica - Abóboda: casca cilíndrica sujeita, principalmente, a esforços normais de compressão - Folha poliédrica: folha constituída por lâminas planas - Folha prismática: folha poliédrica de arestas paralelas

14 Estruturas de bloco Elementos estruturais comumente empregados nas fundações das construções, com a finalidade de transmitir ao solo as ações da superestrutura. Podem ser apoiados diretamente sobre o solo (dependendo da capacidade de suporte do mesmo) ou, quando necessário, são associados a estacas ou tubulões, sobre os quais se constroem blocos de concreto.

15 Fios e cabos Fio: barra em cujas seções transversais se supõe existir apenas esforços normais de tração. Diz-se também que os fios são barras que, por hipótese, não têm capacidade de mobilizar esforços resistentes (esforços solicitantes) que não sejam forças normais de tração. Cabo: barra que resulta da adequada associação de um conjunto de fios. Admite-se que nas seções transversais do cabo estão presentes apenas esforços normais de tração. No caso ideal, a forma desses elementos coincide, precisamente, com o fluxo dos esforços, assumindo a forma externa do caminho que as forças aplicadas percorrem até os apoios. São submetidos à ação do peso próprio, vento e variações de temperatura (linhas de transmissão ou de comunicações), bem como ações dos tipos concentradas ou distribuídas, provenientes de outros elementos que compõem a estrutura (coberturas, pontes, passarelas, etc.). São indicados para vencer grandes vãos e cobrir grandes áreas livres. Porém, estes elementos desenvolvem forças horizontais consideráveis nos seus apoios (empuxos).

16 Fios e cabos Ponte Golden Gate, São Francisco EUA (1937) Ponte sobre o Rio Piracicaba, Piracicaba SP Ponte Octávio Frias de Oliveira, São Paulo SP

17 Fios e cabos Estádio Olímpico de Munique (Frei Otto, 1972)

18 Fios e cabos 1) Cabos inextensíveis solicitados por cargas concentradas Considere o cabo, de peso próprio desprezível, submetido a uma força vertical F, como mostra a figura. L 1 L 2 T AC Fazendo-se o equilíbrio de forças, chega-se a: F 0 H H 0 H H x A B A B F 0 V V F 0 V V F V y A B A B A FL M A 0 VB L F L1 0 VB L 1 FL L 2

19 Fios e cabos Devido à hiperestaticidade do sistema estrutural, a determinação do empuxo (H) só será possível mediante a consideração de momento fletor nulo em um ponto qualquer do cabo. Impondo-se a condição de momento nulo em C, resulta: E VA L F L L M C 0 H A f VA L1 0 H A f L f D VB L F L L M C 0 H B f VB L2 0 H B f L f Por equilíbrio nodal podem ser calculadas as forças normais de tração que ocorrem nos trechos AC e BC. Isto é, VA F L2 L1 Nó A Fy 0 TAC sen VA 0 TAC sen Lfcos H A Fx 0 H A TAC cos 0 TAC cos F L2 L1 Lfcos VB F L1L 2 Nó B Fy 0 TBC sen VB 0 TBC sen Lfcos H B Fx 0 H A TBC cos 0 TBC cos F L2 L1 Lfcos

20 Fios e cabos H H A B Das equações TAC e TBC conclui-se que o trecho de maior tração será aquele que cos cos possui a maior inclinação com relação à horizontal ( ou ), uma vez que H é constante. A tração T em cada trecho do cabo também pode ser calculada a partir de: H V T cos T sen T T V H Analogia com uma viga simplesmente apoiada, de vão L e submetida a uma carga concentrada F (Viga de substituição) L 1 L 2 FL1 M A 0 F L1 VBL 0 VB L FL M B 0 F L2 VAL 0 VA L E F L2 L1 M C VAL1 L D F L1L 2 M C VBL2 L 2

21 Fios e cabos Dividindo o momento fletor M C (da viga) pela flecha f (do cabo), obtém-se a força horizontal H (do cabo): MC V F L L AL VBL f f f f L H Quando uma ou mais cargas são aplicadas ao cabo, a determinação da configuração de equilíbrio tornase mais complexa, pois nos pontos de aplicação das cargas concentradas passam a ocorrer deslocamentos não só verticais, mas também horizontais. L 1 L 2 L 3 V B F 0 H H H x A B F 0 V V F F F V F F F V y A B A B M 0 F L F L F L V L 0 A F L F L F L L B L

22 Fios e cabos Para a determinação do empuxo, ou seja, das reações horizontais em A e B, constante ao longo do cabo (H A =H B =H), basta aplicar o princípio da viga de substituição. H M M M f f f C D E C D E A tração em cada trecho pode ser obtida a partir do valor do empuxo e da inclinação do cabo, em cada trecho, com a horizontal. H LAC TAC H cos L 1 H LCD TCD H cos L 2 L 1 H LDE TDE H cos L 3 L 2 H LBE TEB H cos L L 3

23 Fios e cabos 2) Cabos solicitados por carga uniformemente distribuída ao longo de seu vão q L/2 L/2 Aplicando-se o princípio da viga de substituição resultam as seguintes equações: ql VA VB 2 2 ql HA HB 8 f T V H máx 2 2 Na equação de T máx, V corresponde ao maior valor do cortante referente à viga de substituição, e também ao ponto em que o cabo tem maior inclinação com a horizontal. O valor mínimo da tração no cabo ocorre na posição (ao longo do cabo) em que a componente vertical resulta nula. 2 Tmín 0 H H

24 Arcos Os arcos foram utilizados como elementos estruturais pelos babilônios, egípcios e gregos, mas foi com os romanos que atingiram sua máxima utilização. Romanos: construíram pontes e aquedutos, inicialmente com pequenos vãos, mas, com a experiência acumulada, conseguiram construir arcos com grandes vãos ou com uma grande continuidade. A obtenção da forma em arco, muito provavelmente, surgiu com a necessidade de espaços livres através de uma parede. O processo utilizado, inicialmente, era o de colocar os elementos de alvenaria em balanço, em relação aos anteriores, sendo a evolução imediata a de cortar as pedras com faces inclinadas, formando assim uma linha contínua.

25 Arcos O mesmo processo evolutivo conduziu à adoção da parte superior do arco em uma configuração curva, o que permite que todos os elementos que formam o arco fiquem solicitados por esforços de compressão.

26 Arcos A transmissão das solicitações em um arco permite a colocação de vários arcos adjacentes, ou mesmo a absorção das reações por elementos denominados contrafortes, mantendo-se, assim, o sistema em equilíbrio. Com a utilização de contrafortes nos arcos, foi possível a construção das catedrais medievais, totalmente executadas em pedra. Com o advento do concreto armado e do aço, os vãos dos arcos aumentaram, ampliando-se as possibilidades de sua aplicação em pontes, viadutos, construções industriais, esportivas e em templos religiosos.

27 Arcos Aqueduto romano (Pont du Gard), França Aqueduto de Segóvia, Espanha Arco natural de rocha, México

28 Arcos Classificação dos arcos Quanto à forma os arcos podem ser classificados em parabólicos ou circulares, constituindo-se nas formas mais utilizadas, sendo também possível a construção em forma elíptica ou de catenária. Esquema estático

29 Arcos Relações e terminologia Os arcos são caracterizados pelo seu vão L, pela flecha máxima f e pelas alturas h de suas seções transversais. Normalmente, a relação entre a flecha f e o vão L varia em torno de 1/6 a 1/5, podendo-se, em alguns casos particulares, aumentar essa relação até 1/2 ou diminuí-la até 1/20. Altura (h) da seção transversal pode variar de acordo com o esquema estático do arco e com o material utilizado: - Para o arco triarticulado, é mais racional, sob o ponto de vista estrutural, que a altura h seja variável, aumentando das articulações para os pontos intermediários, onde ocorrem os momentos fletores máximos. - Para os arcos biarticulados é mais adequado que o trecho central tenha altura constante, variando até o mínimo permissível construtivamente junto aos apoios. - Os arcos biengastados, ao contrário, devido ao maior valor do momento fletor nas extremidades, geralmente devem apresentar maior altura nos apoios, diminuindo nos trechos centrais, onde poderá permanecer constante.

30 Arcos Relações e terminologia Em geral, para os arcos de pequenos vãos, em vista da simplicidade de execução, é mantida constante a altura h em toda a sua extensão, independentemente do tipo dos mesmos. A relação entre a altura h e o vão L varia de 1/60 a 1/40 (grandes vãos) e de 1/40 a 1/30 (pequenos vãos). Arco maciço Arco treliçado, com seção constante Arcos maciços com seção transversal variável

31 Arcos Seções transversais utilizadas - Arcos em concreto armado: seções transversais maciças, de forma retangular, visando o atendimento de necessidades construtivas. - Arcos em madeira: podem ser treliçados ou ter seções transversais retangulares, usualmente formadas por diversas lâminas coladas, já na curvatura final desejada para o arco. - Arcos em aço: são geralmente treliçados, o que facilita muito a fabricação e a montagem, minimizando o peso próprio e resultando em grande economia, não somente de material, mas também em fundações e outros elementos de apoio.

32 Arcos Estabilidade Por serem elementos que trabalham sob compressão, os arcos podem apresentar problemas de instabilidade, tanto locais quanto global. A instabilidade local (ocorre em barras isoladas tais como banzos, diagonais ou montantes) pode surgir quando a solicitação em um desses elementos atinge a carga crítica de flambagem. Para eliminar este tipo de instabilidade são utilizados perfis mais "robustos" (com maior área de seção transversal) ou pode-se diminuir a distância entre os travamentos desses elementos, o que consiste em aumentar o número de diagonais e montantes. As duas soluções apresentadas implicam em aumento de consumo do material utilizado e a escolha de uma delas deve ser guiada por este parâmetro, ou seja, deve-se sempre buscar a estrutura que é capaz de resistir a todas as solicitações, com o menor consumo de material (estrutura ideal). Flambagem fora do plano Flambagem no plano

33 Grelhas As grelhas são estruturas planas constituídas de elementos de barras (vigas) que se interceptam e, consequentemente, passam a trabalhar em conjunto para resistir às ações que nelas venham a atuar. Estão sujeitas a ações predominantemente perpendiculares ao seu plano.

34 Grelhas Estabilidade Seja a plataforma formada por uma série de vigas paralelas e independentes entre si, todas com vão na mesma direção. Como cada viga trabalha independentemente das outras, quando uma força F é aplicada no meio do vão de apenas uma das vigas, esta deverá ser resistente o suficiente para suportar sozinha a totalidade da força transmitindo-a até os apoios.

35 Grelhas Uma forma de construção mais leve, e consequentemente mais econômica, resultaria se as forças concentradas pudessem ser repartidas entre diversos elementos, de modo que nenhum deles tivesse que realizar todo o trabalho isoladamente, ou seja, que todos os elementos resistentes fossem solicitados. Uma estrutura de grelha, tal como a mostrada na figura acima, é um meio de se atingir estes objetivos, sendo essencial que as vigas sejam interligadas em cada ponto de interseção, para que todas possam participar da transmissão, aos apoios, de quaisquer forças aplicadas.

36 Grelhas Estudo de modelos de grelhas retangulares Sejam as grelhas submetidas a uma força F crescente, até a ruptura: Modelo A Modelo B Modelo C Flecha de uma viga biapoiada submetida a uma carga concentrada aplicada no meio de vão: 48EI Rigidez da viga à flexão (relação entre a força aplicada e a flecha correspondente): R 3 L 3 FL 48EI

37 Grelhas Estudo de modelos de grelhas retangulares

38 Grelhas - No Modelo B, o centro de cada viga deve ter a mesma flecha. Se a rigidez de uma viga é R 1 e a rigidez da outra viga é R 2, então a força necessária para fletir a primeira viga é F 1 = R 1 e para fletir a segunda é F 2 = R 2. Portanto, a força total necessária para fletir o par de vigas é: F F F R R R R R B Na equação anterior R B é a rigidez do par de vigas com carregamento central, que por definição é R B = F/, ou seja, a rigidez do sistema é igual à soma das rigidezes das duas vigas (R B = R 1 + R 2 ). Assim, como no Modelo B cada viga tem a mesma rigidez e o mesmo vão daquela que constitui o Modelo A (R 1 = R 2 = R A ), a rigidez também deveria ser o dobro, mas observa-se que a relação obtida no ensaio foi 2,68/1,45 = 1,85. - No Modelo C as quatro vigas adicionais oferecem apoio ao par central de vigas, o que reduz o vão dessas vigas e, consequentemente, aumenta a rigidez do sistema, ou seja, a força que causa ruptura é maior, desde que o seu efeito seja repartido entre todas as vigas.

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