Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA I

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1 Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNC Exame de Época de Recurso 25/07/2003 NOME: Não esqueça de escrever o nome 1) (3 L.) Tempo estimado de resolução 20 minutos a) Considere o cabo representado na igura, suspenso entre os pontos e B, submetido a uma acção distribuída variável descendente p(x). Mostre que, independentemente da lei que caracteriza a força p(x), o esforço axial no cabo é máximo em B. p(x) s componentes de tensão num ponto genérico do cabo são: y x β T(x) B h T H ( x) = T T ( x) = T cosα = constante x senα + p( x) dx 0 componente horizontal do esforço axial num ponto qualquer do α T x l cabo é constante. Por sua vez, a componente vertical é a soma da componente vertical em (que é uma constante) com a resultante da carga e o ponto genérico situado a uma distância x do ponto. ssim, para hipótese de α > 0, quanto maior a distância x maior essa resultante. Portanto, o esforço é máximo em B, que é o ponto mais afastado de. b) Defina ângulo de atrito estático φ e. Relacione-o com o coeficiente de atrito estático µ e entre as duas superfícies. Justifique a resposta com base na análise das condições de equilíbrio do bloco de peso P assente numa superfície inclinada caracterizada pelo ângulo α. α P N R α a O ângulo de atrito estático, φ e, é o ângulo formado pela reacção, R, e a normal à superfície de contacto, quando o movimento de translação é iminente. No caso da figura, também corresponde ao ângulo, α, de inclinação da superfície de contacto para o qual o deslizamento é iminente. Considerando as equações de equilíbrio na superfície de contacto: a a cosα = N senα = tgα N µ = tgα = tgφe e a como por definição: µ = e N

2 c) Considere o seguinte sistema estrutural. Determine as reacções pelo método do polígono funicular. Polígono funicular O ponto E está impedido de se mover segundo a direcção vertical. Polígono de forças L.. linha tem que passar por este ponto. B C R B D E B R E L.. R B R E H B

3 Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNC Exame de Época de Recurso 25/07/2003 RESOLUÇÃO DO EX. 2 a) Determine a tensão máxima no cabo e o valor da força de interacção nós nós e O; O Equilíbrio de momentos flectores no nó O: M = 0 O H O H O L 3.0 M N ,5 8 5,0 8 2,5 8 = 0 = 12kN Equilíbrio de forças na direcção vertical: = = 0 O = 12kN + O H Equilíbrio de forças na direcção horizontal: = 0 H H O = 0 H O = H M Equilíbrio de momentos flectores no nó M: M = 0 H L 3.0 M T M H 2,5 8 = 0 H = H = ( 40 )kn O 3

4 Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNC Exame de Época de Recurso 25/07/2003 Tensão máxima no cabo: T max O T max H O H O L 3.0 M N max = + H = O + HO = 12,0 + 13, 3 T T 17, 94kN max = orça máxima de interacção nos nós e O: int O int H O H O L 3.0 M N = + 8 = O = 20kN int = + H = O + HO = 20,0 + 13, 3 int = 24, 04kN b) Determine as reacções nos apoios nos nós e G; Equilíbrio de forças na direcção vertical: = 0 U H N TU 5 kn 5.0 N QR R S 4.0

5 Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNC Exame de Época de Recurso 25/07/ = 0 = 5kN P Equilíbrio de momentos flectores no nó P: M = 0 9kN/m H O O T U H O 5 kn 5.0 H P P Q R S P ( 4 9 2) H 4 5 H = H = 30, 13kN Equilíbrio de momentos flectores no nó D: M = 0 O D O 15 kn H H H D D D G 5.0 G H = 0 G = 56, 67kN G c) Determine o esforço axial na barra bi-articulada [TU]. R Equilíbrio de momentos flectores no nó R: M = 0 U H N TU 5 kn 5.0 N QR R S H 5 N = 0 H = 26, 13kN TU

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9 4 3 kn 4 kn/m B C D E 20 knm 5 kn G a) 3 kn θ δ δb δ = 4θ e δ = 2θ B W ext = 0 δ + 3 δ B = 0 = 1.5kN

10 b) 4 kn/m Esta força distribuída é transformada en duas resultantes R1 e R2 aplicadas nos dois corpos distintos 1.5 m R1 R2 0.5 m θ1 θ2 δr2 δd δe δr1 D δ R1 = 1. 5θ 1, D 2θ 1 δ =, δ R2 = 0. 5θ 2, δ E = 3θ 1 = 1θ 2 3θ 1 = θ 2 R 1 = 12kN e R 2 = 4kN W ext = 0 R1 δ R2 D δ D + R2 δ R2 = 0 D = 12kN c) 20 knm 5 kn θ δ MG δ = 1θ W ext = 0 5 δ + 20 θ M G θ = 0 M G = 25kNm

11 Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNC Exame de Época de Recurso 25/07/2003 NOME: Não esqueça de escrever o nome ssinale nas quadrículas verdadeiro ou falso. Nota: Poderão existir nenhuma ou mais do que uma resposta verdadeiras. 5) (3 L.) a) Um torsor cujos invariantes escalar e vectorial são nulos é equivalente a zero. Os elementos definidores de um campo de momentos são o vector principal e o vector momento num ponto qualquer do espaço. dicionando a um sistema de forças um vector igual e oposto à sua resultante, aplicado num ponto qualquer do eixo central, obtém-se um novo sistema de forças equivalente a binário. b) r r r r O torsor { 1,2,3, 4 } τ representado na igura é equivalente a resultante aplicada no centroíde. r r r r τ,,, é aberto. O polígono funicular associado ao sistema de forças { } dicionando ao torsor τ os vectores 5 r e 6 r, de magnitude 2, obtém-se um torsor equivalente a zero. 6/8

12 c) igura 1 igura 2 10 kn 45º B C D E 20 kn G 2.0m 2.0m 2.0m 4.0m 2.0m 4.0m 1.0m igura 3 O sistema estrutural representado na igura 1 é hipostático. O sistema estrutural representado na igura 2 é uma vez hiperestático. reacção de apoio em D do sistema estrutural representado na igura 3 vale 10kN (ascendente). d) Considere o sistema estrutural representado na igura, submetido às forças concentradas indicadas. 10 kn 10 kn 10 kn E 3.0m B C D 4.0m 4.0m 4.0m O esforço axial na barra B é nulo. barra E está comprimida e as barras B, BC e CD estão traccionadas. barra C está comprimida e submetida a um esforço axial de 25/6 kn. 7/8

13 Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNC Exame de Época de Recurso 25/07/2003 NOME: Não esqueça de escrever o nome e) Considere o cabo flexível representado na igura, de peso próprio desprezável, submetido a uma força uniformemente distribuída constante por unidade de comprimento na direcção horizontal; 2 kn/m 4.0m 10º B 10.0m O esforço axial é mínimo em B. O cabo tem uma configuração geométrica parabólica. Sendo o esforço axial em B dado por T=45,4kN, então o esforço axial em vale 52,7kN. f) O bloco B1, de peso P=20N encontra-se apoiado sobre um bloco B2, de peso Q=40N, de acordo com a representação da igura, estando submetido a uma força horizontal H, aplicada de forma gradual H B 1 P=20kN 20N Q=40kN 40N B dmitindo que o movimento relativo entre os dois blocos está impedido, sendo os coeficientes de atrito estático e dinâmico na superfície de contacto de µ e = e µ d = 0.20, respectivamente, então o movimento do conjunto só é possível mediante a aplicação de uma força mínima de 12N. dmitindo agora que o movimento relativo entre os blocos B1 e B2 não está impedido e que o coeficiente de atrito estático entre as respectivas superfícies de contacto é de µ e = 0. 50, então a aplicação de uma força horizontal de 10N leva ao derrube iminente do bloco B1. O derrube e deslizamento iminentes do bloco B1 são concomitantes quando o coeficiente de atrito estático entre as superfícies de contacto dos dois blocos é µ e = /8