p L Os momentos nos apoios têm valor conhecido, apresentado em tabelas apropriadas, neste caso:

Transcrição

1 ENGENHARIA CIVIL TEORIA DE ESTRUTURAS II º Ano / º Semestre 00/00 Prof. João Miranda Guedes (DEC) MÉTODO DE CROSS Seja a seguinte estrutura hierstática: E,I R R L Os momentos nos aoios têm valor conhecido, aresentado em tabelas aroriadas, neste caso: R R L Consideremos agora na estrutura anterior um aoio dulo intermédio, i.e. duas barras: E,I R R L L R 0 R 0 R 0 R 0 R 0 M -R 0 R R L L L L Método de Cross

2 Determinemos os esforços momentos flectores nas extremidades das barras or alicação do Método dos Deslocamentos. Neste caso, já conhecemos os esforços nas barras corresondentes à fixação do aoio fictício: R 0 R 0 R 0 R 0 R 0 R 0 R 0 R 0 R 0 L L e será aenas necessário determinar os esforços rovocados elo momento M concentrado alicado na direcção : R* R* k k L L [ K K ] { } { } { } 0 M M K K L E I E I 4 4 L L i.e. R R R R R R K K K K K K K K M M Método de Cross J. Miranda Guedes (DEC FEUP) 00/00

3 O momento flector na extremidade das barras é roorcional à rigidez à rotação das barras no nó. Somando então as duas resostas e substituido o valor M, temos: R R R R R R R 0 R 0 R R R 0 R 0 K K K K K K 0 0 Os momentos flectores na extremidade das barras são calculados subtraindo aos momentos de encastramento na situação do aoio fictício imóvel, uma ercentagem do momento em desequilíbrio no nó R 0, ercentagem essa dada ela relação entre a rigidez à rotação da barra e a rigidez à rotação do nó. Consideremos agora a estrutura anterior constituida or barras axialmente indeformáveis e tal que a barra da esquerda é vertical: L L R 0 M -R 0 L L L L Método de Cross J. Miranda Guedes (DEC FEUP) 00/00

4 Aliquemos a sequência de cálculo anterior. Determinemos os esforços momentos flectores nas extremidades das barras or alicação do Método dos Deslocamentos. Neste caso, já conhecemos os esforços nas barras corresondentes à fixação do aoio fictício: R 0 R 0 R 0 R 0 R 0 L L e será aenas necessário determinar os esforços rovocados elo momento M concentrado alicado na direcção : K K L L [ K K ] { } { } { } 0 M M K K L E I E I 4 4 L L i.e. R R Método de Cross J. Miranda Guedes (DEC FEUP) 00/00 4

5 R R K K K K K K K K M M Somando as duas resostas e substituido o valor M, temos: R R R R R 0 R 0 R R R 0 R 0 K K K K K K 0 0 Os momentos flectores nas extremidades das barras são iguais aos calculados na estrutura anterior. Consideremos agora a mesma estrutura, constituida or barras axialmente indeformáveis, mas suondo a barra da esquerda numa osição «diagonal»: L L L R 0 L M -R 0 L L Método de Cross J. Miranda Guedes (DEC FEUP) 00/00 5

6 Aliquemos a sequência de cálculo anterior. Determinemos os esforços momentos flectores nas extremidades das barras or alicação do Método dos Deslocamentos. Neste caso, já conhecemos os esforços nas barras corresondentes à fixação do aoio fictício: R 0 R 0 R 0 L R 0 R 0 R 0 L e será aenas necessário determinar os esforços rovocados elo momento M concentrado alicado na direcção : L K K L [ K K ] { } { } { } 0 M M K K L E I E I 4 4 L L i.e. R R R R K K K K K Método de Cross J. Miranda Guedes (DEC FEUP) 00/00 6 K K K M M

7 Somando as duas resostas e substituido o valor M, temos: R R R R R 0 R 0 R R R 0 R 0 K K K K K K 0 0 Os momentos flectores nas extremidades das barras são ainda iguais aos calculados na estrutura anterior, i.e. não deendem da orientação das barras. Seja agora uma estrutura constituida or barras axialmente indeformáveis: C L B D A L. cos L L L M -R 0 R 0 L. cos L L. cos L Método de Cross J. Miranda Guedes (DEC FEUP) 00/00 7

8 Aliquemos a sequência de cálculo anterior. Determinemos os esforços momentos flectores nas extremidades das barras or alicação do Método dos Deslocamentos. Neste caso, já conhecemos os esforços nas barras corresondentes à fixação do aoio fictício: (R 0 ) R 0 (R 0 ) (R 0 ) (R 0 ) (R 0 ) (R 0 ) e será aenas necessário determinar os esforços rovocados elo momento M concentrado alicado na direcção : (K ) (K ) (K ) [( K ) ( K ) ( K ) ] { } { } { } 0 M ( K ) ( K ) ( K ) M E I 4 L L E I E I 4 4 L L i.e. Método de Cross J. Miranda Guedes (DEC FEUP) 00/00 8

9 (R ) (R ) (R ) ( R ) ( K ) ( R ) ( K ) ( R ) ( K ) ( K ) M ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) M ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) M ( K ) ( K ) ( K ) Somando as duas resostas e substituido o valor M, temos: L (R ) (R ) (R ) L. cos L ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) 0 0 Mais uma vez, os momentos flectores na extremidade das barras são calculados subtraindo aos momentos de encastramento na situação do aoio fictício imóvel, uma ercentagem do momento em desequilíbrio no nó R 0, ercentagem essa dada ela relação entre a rigidez à rotação da barra e a rigidez à rotação do nó. Note ainda que, or um lado, caso não exista qualquer momento concentrado alicado no nó livre, 0 Método de Cross J. Miranda Guedes (DEC FEUP) 00/00 9

10 ( R ) ( R ) ( R ) 0 e or outro, o equilíbrio do nó transfere ara as extremidades das barras oostas ao nó que sofre rotação um momento que, or sobreosição dos efeitos anteriores, é igual a (R a ) (R ) (R ) (R ) (R a ) (R a ) (R ) (R a ) (K a ) (R 0 ) R 0 (R 0 ) (R 0 ) (R 0 ) (K ) (R a ) (K a ) (R 0 ) (R 0 ) (R ) (K ) (K ) x (R ) (R a ) (K a ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) a ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) a ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) a a a a r ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) r ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) r ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) 0 0 i.e. são calculados adicionando aos momentos de encastramento na situação do aoio fictício imóvel, um valor r do momento absorvido ela barra na extremidade que sofre rotação, sendo que ara a barra i, ( K ) i ( K a ) i r i No caso de barras de secção constante, temos: 0 Método de Cross J. Miranda Guedes (DEC FEUP) 00/00 0

11 r i E I E I 4 ri 0,5 L L i i Para finalizar esta rimeira abordagem do Método de Cross, iremos considerar ainda na estrutura anterior um aoio dulo na extremidade direita da barra, C L B D A L. cos L A resolução da estrutura determina ara os esforços nas extremidades das barras (R a ) (R ) (R ) (R ) (R a ) (R a ) (R ) (R a ) (K a ) (R 0 ) R 0 (R 0 ) (R 0 ) (R 0 ) (K ) (R 0 ) (R 0 ) (K ) (K ) x (R ) (R a ) (K a ) Método de Cross J. Miranda Guedes (DEC FEUP) 00/00

12 ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) a ( R ) ( R ) ( R ) ( R ) a ( R ) 0 a a a ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) r ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) r ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) A rigidez à rotação da barra no aoio fictício, (K ), é, neste caso, igual a (. E. I / L) e não a (4. E. I / L), sendo (R ) r 0. Por outro lado, os valores cocientes da rigidez à rotação das barras nos nós designam-se or coeficientes de distribuição de rigidez nos nós 0 Método de Cross J. Miranda Guedes (DEC FEUP) 00/00