MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: BARRAS BI-ARTICULADAS 3D

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1 MÉODO DOS DESOCAMENOS: BAAS BI-AICUADAS D Consideremos a estrutura constituida or duas barras bi-articuladas e submetida a uma acção força P alicada no nó e a um assentamento de aoio δ V. Persectiva P β P Alçado Alçado P E, A δ V δ V. cos δ V Persectiva P P Alçado Alçado P E, A δ V δ V. cos δ V que, or sobreosição dos efeitos, é igual à soma de duas estruturas: Persectiva Persectiva P δ V Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 7

2 Analisando aenas a sub-estrutura relativa às acções, temos: ) Assentamento de aoio: Persectiva Alçado Alçado E, A δ V δ V. cos δ V π E, A δ V E A π δv sin π π cos sin ) Assentamento : Persectiva Alçado Alçado E, A. cos Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 75

3 E, A ) Assentamento : Persectiva Alçado Alçado E, A. cos π E, A E A π cos π π cos sin Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 7

4 ) Assentamento : Persectiva Alçado Alçado E, A. cos π E, A E A π sin Estabelecendo as equações de equilíbrio de forças ara cada uma das direcções corresondentes às incógnitas hiergeométricas i, i,,, temos: P cos β P sin β Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 77

5 MÉODO DOS DESOCAMENOS: MAIZ DE IGIDEZ / ESOÇOS NOS NÓS Seja um elemento de barra bi-articulado em equilíbrio submetido a um conjunto de forças concentradas alicadas nos nós etremos e/ou variações uniformes de temeratura. Alicando o Princíio de Sobreosição de Efeitos e faendo uso de valores dos deslocamentos nas etremidades determinados anteriormente, estabelece-se um sistema de equações que traduem o equilíbrio de forças que terá que eistir nas três direcções em cada nó etremo da barra. orças / Variação de temeratura alicadas: t E, A 5 Deslocamentos calculados: E, A 5 Acção Variação de temeratura alicada: t E, A 5 Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 78

6 Acção deslocamentos dos nós: Estabelecendo a equação de equilíbrio de forças nos nós aenas nas direcções e do eio da barra, as únicas que introduem esforços na barra, temos: i.e. { } { } [ ] {}, designado-se a matri [ ] or matri de rigide, agora relativa ao elemento de barra bi-articulado. Por outro lado, o vector { } não reresenta mais do que os esforços nas etremidades da barra segundo as direcções e os sentidos indicados na figura. Substituindo as forças ij elos valores determinados anteriormente e as forças i elos esforços corresondentes, neste caso aenas os esforços aiais, temos: N Nd e EA Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 79

7 MÉODO DOS DESOCAMENOS: OMUAÇÃO MAICIA Consideremos uma barra inclinada de um ângulo em relação à horiontal e dois sistemas de coordenadas associados: δ corresondente aos g.l. ditos locais da barra (... direcção do eio da barra) e aos g.l. globais (... direcção vertical e direcção horiontal). Eite uma Matri de ransformação [ ] que transforma as coordenadas nas coordenadas δ: δ 5 δ δ u δ reresentado ( u u ) eios global. u u u u u 5, i.e. { δ } [ ] {} u as coordenadas do vector versor do eio da barra no sistema de O mesmo raciocínio se ode estabelecer ara as forças nos nós. Sejam as forças corresondentes aos g.l. ditos locais da barra (... esforço aial) e aos g.l. globais (... força vertical e força horiontal). A mesma Matri de ransformação [ ] transforma as coordenadas nas coordenadas : 5 Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 8

8 Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 8 5 u u u u u u, i.e. { } [ ] { } Esta matri é ortogonal, i.e. { } [ ] { }. A formulação matricial do sistema de equações que estabelece o equilíbrio de forças nos nós de uma estrutura bi-articulada tridimensional, segue os assos já aresentados ara o caso bi-dimensional. Note-se, no entanto, que neste caso a alicação da transformação à matri de rigide no sistema de eios local,, na matri de rigide no sistema de eios global, a transfoirma numa matri de elementos.

9 PAASMO ENE ESUUAS CONÍNUAS PANAS DO IPO PÓICO E DO IPO GEHA 5 t o E, I, A ) Cargas alicadas: ) Cargas alicadas: Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 8

10 E, I, A ) Assentamento : ) Assentamento : E, I, A ) Assentamento : ) Assentamento : E, I, A ) Assentamento : ) Assentamento : E, I, A Sistema de equações: Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 8

11 MÉODO DOS DESOCAMENOS: ESUUAS EM GEHA Seja uma nova estrutura hierstática, lana, constituida or duas barras, uma inclinada de um ângulo θ em relação à horiontal, solicitada or forças na direcção ortogonal ao lano da estrutura cos cuja resolução, or analogia às estruturas contínuas de órticos lanos, se simlifica. cos Por sobreosição dos efeitos, temos: Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 8

12 . cos. cos Analisando cada uma das sub-estruturas anteriores em searado, temos: ) Cargas alicadas: cos sin sin cos ) Assentamento : G J cos E I sin cos sin sin cos Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 85

13 ) Assentamento : G J sin E I cos cos sin sin cos ) Assentamento : E I cos sin sin cos Estabelecendo as equações de equilíbrio de forças ara cada uma das direcções corresondentes às incógnitas hiergeométricas i, i,,, temos: sendo, com i, j,,. ij ij ij Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 8

14 MÉODO DOS DESOCAMENOS: MAIZ DE IGIDEZ / ESOÇOS NOS NÓS Seja um elemento de barra em equilíbrio submetido a um conjunto de forças concentradas alicadas nos nós etremos e concentradas e/ou distribuidas alicadas ao longo do eio da barra. Alicando o Princíio de Sobreosição de Efeitos e faendo uso de valores dos deslocamentos nas etremidades determinados anteriormente, estabelece-se um sistema de equações que traduem o equilíbrio de forças que terá que eistir nas três direcções de cada nó etremo da barra. orças alicadas: 5 Deslocamentos calculados: 5 Acção carga alicada: 5 b a c Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 87

15 Acção deslocamentos dos nós: Estabelecendo a equação de equilíbrio de forças nos nós, temos: i.e. { } { } [ ] {}, designado-se a matri [ ] or matri de rigide. Por outro lado, o vector { } não reresenta mais do que os esforços nas etremidades da barra segundo as direcções e os sentidos indicados na figura. Substituindo as forças ij elos valores determinados anteriormente e as forças i elos esforços corresondentes, temos: M M M M d te fe e td fd 5 GJ GJ GJ GJ 5 Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 88

16 MÉODO DOS DESOCAMENOS eacções resultantes de assentamentos de aoio em barras bi-encastradas. esumo. 5 GJ GJ Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 89

17 GJ GJ MÉODO DOS DESOCAMENOS: OMUAÇÃO MAICIA Consideremos uma barra inclinada de um ângulo em relação à horiontal e dois sistemas de coordenadas associados: δ corresondente aos g.l. ditos locais da barra (... direcção de translação ortogonal ao lano da barra, rotação na direcção ortogonal ao eio da barra e na direcção do eio da barra) e aos g.l. globais (...direcção de translação ortogonal ao lano Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 9

18 da barra, rotação na direcção horiontal e na direcção vertical). Eite uma Matri de ransformação [ ] que transforma as coordenadas nas coordenadas δ: δ 5 δ 5 δ δ δ δ δ cos( ) δ sen( ) δ δ δ 5 δ sen( ) cos( ) ) cos( ) sen( ) sen( ) cos( ) 5, i.e. { δ } [ ] {} sendo medido semre da horiontal ositiva na etremidade esquerda ara a barra ara a barra no sentido contrário ao dos onteiros do relógio: δ δ δ δ 5 5 δ δ O mesmo raciocínio se ode estabelecer ara as forças nos nós. Sejam as forças corresondentes aos g.l. ditos locais da barra (... momento torsor, momento flector e esforço transverso) e aos g.l. globais (... momento horiontal, momento vertical e esforço transverso). A mesma Matri de ransformação [ ] transforma as coordenadas nas coordenadas : Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 9

19 5 5 cos( ) sen( ) 5 sen( ) cos( ) ) cos( ) sen( ) sen( ) cos( ) 5, i.e. { } [ ] { } Esta matri é ortogonal, i.e. [ ] [ ]. Seja um elemento de barra inclinado em equilíbrio submetido a um conjunto de forças concentradas alicadas nos nós etremos e concentradas e/ou distribuidas alicadas ao longo do eio da barra. De acordo com as relações estabelecidas anteriormente, temos: orças alicadas: 5 5 Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 9

20 Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 9 Deslocamentos calculados: δ δ δ δ δ 5 δ δ δ δ δ δ δ GJ GJ GJ GJ, i.e. {} { } [ ] { } δ Utiliando as relações anteriores, odemos assar do sistema de coordenadas local δ e ara o sistema de coordenadas global e, {} [ ] {} {} { } [ ] {} {} { } [ ] [ ] {} {} [ ] { } { } [ ] {} { } [ ] { } [ ] [ ] {} ( ) δ δ i.e. { } [ ] { } [ ] [ ] [ ] {} { } { } [ ] { } g. Partindo do equilíbrio de forças da barra no referencial local, e utiliando as matries de transformação de coordenadas, estabelecemos a equação de equilibrio de forças da barra no referencial global. A assemblagem da matri de rigide e do vector das cargas, segue os assos já indicados ara as barras contínuas e bi-articuladas.

21 MÉODO DOS DESOCAMENOS: ESUUAS MISAS Seja a seguinte estrutura hierstática a resolver elo método dos deslocamentos: E, I, A E, I, A P P que, or sobreosição dos efeitos, é igual à soma de duas estruturas: E, I, A E, I, A P Analisando cada uma das sub-estruturas anteriores em searado, temos: Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 9

22 ) Cargas alicadas: E, I, A P P ) Assentamento : E, I, A ) Assentamento : E, I, A Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 95

23 ) Assentamento : E, I, A Estabelecendo as equações de equilíbrio de forças ara cada uma das direcções corresondentes às incógnitas hiergeométricas i, i,,, temos: sendo, com i, j,,. ij ij ij ij Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 9

24 MÉODO DOS DESOCAMENOS: ESUUAS IDIMENSIONAIS Seja uma nova estrutura hierstática, tridimensional, constituida or três barras, ortogonais entre si, solicitadas or forças alicadas nas barras ou 7 Por sobreosição dos efeitos, temos: 5 5 Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 97

25 Analisando cada uma das sub-estruturas anteriores em searado, temos: ) Cargas alicadas: 5 ) Assentamento : ) Assentamento : 5 5 ) Assentamento : 5) Assentamento 5 : Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 98

26 ) Assentamento : ) Assentamento : 5 5 Estabelecendo as equações de equilíbrio de forças ara cada uma das direcções corresondentes às incógnitas hiergeométricas i, i,,,, 5,, temos: MÉODO DOS DESOCAMENOS: MAIZ DE IGIDEZ / ESOÇOS NOS NÓS Seja um elemento de barra em equilíbrio submetido a um conjunto de forças concentradas alicadas nos nós etremos e concentradas e/ou distribuidas alicadas ao longo do eio da barra. Alicando o Princíio de Sobreosição de Efeitos e faendo uso de valores dos deslocamentos nas etremidades determinados anteriormente, estabelece-se um sistema de equações que traduem o equilíbrio de forças que terá que eistir nas três direcções de cada nó etremo da barra. orças alicadas: 9 5 E, I, A, J 7 8 Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) 99

27 Deslocamentos calculados: 9 5 E, I, A, J 7 8 Acção carga alicada: 9, 5 E, I, A, J 7 8,, Acção deslocamentos dos nós: 9 5 E, I, A, J 7 8 Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP)

28 Método dos Deslocamentos J. Miranda Guedes (DEC EUP) Estabelecendo a equação de equilíbrio de forças nos nós, temos: ,,, GJ GJ EA EA GJ GJ EA EA M M M N M M M N td fd fd d d d te fe fe e e e MÉODO DOS DESOCAMENOS: OMUAÇÃO MAICIA Encontrada a matri de transformação [ ] das coordenadas no sistema de eios global nas coordenadas no sistema de eios local δ, i.e. { } [ ] { } δ, a transformação e assemblagem das matries de rigide e dos vectores das acções segue os assos já aresentados ara o caso das estruturas lanas.