DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS

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1 DECivil ecção de ecânica Estrutural e Estruturas DIGR DE EFORÇO INTERNO E ETRUTUR IOTÁTIC I. Cabrita Neves bril, 00

2 ÍNDICE Pág. 1. Esforços internos em peças lineares 3. Diagramas de esforços transversos e de momentos flectores 5 3. Relações entre diagramas de carga, de esforços transversos e de momentos flectores Diagramas de esforços normais Eemplo 14

3 DIGR DE EFORÇO INTERNO E ETRUTUR IOTÁTIC 1. Esforços internos em peças lineares Considerese uma superfície plana cujo centro de gravidade se desloca ao longo de uma linha, cujo comprimento é muito superior às dimensões da superfície, por forma que a linha e a superfície se mantenham permanentemente perpendiculares entre si (Fig. 1). o sólido assim gerado dáse o nome de peça linear, à linha chamase eio da peça linear e à superfície plana secção transversal. ecção transversal Fig. 1 Peça linear Uma peça linear dise de secção constante se as dimensões da superfície que a gera se mantiverem constantes durante o movimento ao longo do eio. s peças lineares são de eio rectilíneo ou curvilíneo consoante a forma do seu eio. s peças lineares de eio rectilíneo e secção constante chamamse peças prismáticas. Numa representação esquemática é vulgar reduir as peças lineares ao seu eio. Considerese agora uma estrutura isostática constituída por peças lineares, em equilíbrio sob a acção de um carregamento genérico. e efectuarmos um corte numa destas peças lineares por uma secção transversal o equilíbrio rompese em geral, sinal claro de que entre as duas partes que resultaram do corte se eerciam forças, ditas forças interiores relativamente à estrutura como um todo, necessárias ao equilíbrio. Estas forças interiores constituem dois sistemas de vectores que se distribuem nas duas secções transversais 1 e que resultaram do corte e que obedecem ao princípio da acção e reacção. Cada um deles representa a acção de uma das partes da peça sobre a outra. e efectuarmos a redução destes sistemas de vectores no centro de massa de cada uma das secções 1 e obteremos vectores principais R r e R r, e momentos resultantes r e r, iguais e opostos (Fig. ). Estes vectores podem ser decompostos segundo as três direcções de um qualquer referencial ortonormado. No entanto, para decompor R r e r adoptase por convenção o seguinte referencial: começase por orientar a peça da esquerda para a direita; isso pode ser feito designando por etremidade 1 a sua etremidade esquerda e por etremidade a sua etremidade direita, ou 3

4 simplesmente orientando o seu eio da esquerda para a direita através de uma seta (Fig. 3). acção da parte 1 sobre R r a parte r G r 1 G parte 1 parte 1 R r acção da parte sobre a parte 1 Fig. Elementos de redução das forças de interacção entre duas partes de uma mesma peça linear origem do referencial localiase no centro de massa da secção da etremidade direita da peça (etremidade, secção, também chamada secção positiva). O eio é tangente ao eio da peça e aponta para fora. O eio é vertical e orientado de cima para baio e obviamente o eio será perpendicular a ambos e formará com eles um referencial directo (orientado para fora do papel). R r 1 G r r N r V r r r V r Fig. 3 Peça linear orientada e sentidos positivos dos esforços internos. Às componentes,,, V, V e N dos elementos de redução r e R r neste referencial dáse o nome de esforços internos na secção da peça linear e serão positivos se tiverem os sentidos indicados, concordantes com os sentidos positivos do referencial escolhido. Reparese que os vectores r er r, por um lado, e r e R r, por outro (Fig. ), representam dois aspectos de um mesmo efeito de interacção entre as partes esquerda e direita de uma peça linear numa secção. Por isso, se se utiliar como referencial para efectuar a decomposição dos elementos de redução r e R r, das forças que actuam na secção 1 (secção negativa), um referencial com origem em G 1 e cujos eios têm sentidos opostos aos eios do referencial anterior, as componentes de r e R r, e de r e R r nos referenciais próprios de cada secção 4

5 terão sempre os mesmos sinais. Quando as primeiras forem positivas as segundas também o serão, e vice versa. Ficam assim definidos de forma inequívoca os sinais dos esforços internos numa secção de uma peça linear. Obviamente que basta considerar os esforços que actuam numa das duas secções, e na prática usase unicamente a secção positiva e o referencial correspondente. Às componentes V e V chamamse esforços transversos segundo e segundo, respectivamente. Elas representam a tendência para o corte da peça na secção. À componente N dáse o nome de esforço normal, dado tratarse de uma força perpendicular à secção transversal da peça. O seu efeito é o de comprimir ou traccionar a peça. De acordo com a convenção anterior um esforço normal positivo será de tracção e um negativo será de compressão. Às componentes e dáse o nome de momentos flectores segundo e segundo, e o seu efeito é o de flectirem a peça nos planos e, respectivamente. chamase momento torsor e o seu efeito, como o nome indica, é o de produir torção da peça em torno do seu eio. e uma peça linear se encontra em equilíbrio plano, isto é, se se encontra sujeita a forças eistentes num único plano, que também contém o seu eio, só eistirão três esforços internos. Esforço normal N, momento flector segundo, que se designará simplesmente por, e esforço transverso segundo, que se representará simplesmente por V. Os seus sentidos positivos nas etremidades esquerda e direita de um troço da peça linear encontramse representados na Fig. 4. N N V V Fig. 4 entidos positivos dos esforços internos nas etremidades direita e esquerda de um troço de uma peça linear. Diagramas de esforços transversos e de momentos flectores Considerese, a título de eemplo, o caso da viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga uniformemente distribuída de densidade de distribuição q (Fig. 5). R L R q Fig. 5 Viga simplesmente apoiada 5

6 s reacções nos apoios e, arbitradas de baio para cima, podem ser determinadas a partir das equações de equilíbrio seguintes, tomando para sentido positivo de momentos o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. L = 0 R L ql = 0 (1) F = 0 R R ql 0 () = L R = q = R (3) Cortese a viga pela secção, à distância genérica do apoio, e tracese o diagrama de corpo livre da parte (Fig. 6), eplicitando os esforços internos em, que representam a acção da parte da viga sobre a parte. Estes esforços internos foram arbitrados com o sentido positivo, de acordo com a convenção de sinais estabelecida anteriormente para os esforços internos numa secção. q R V N Fig. 6 Diagrama de corpo livre do troço. partir deste diagrama de corpo livre e recorrendo às respectivas equações de equilíbrio podem determinarse os esforços internos na secção. F = 0 N = 0 (4) L F = 0 R q V = 0 V = q (5) L = 0 q R = 0 = q q (6) Os resultados obtidos nas Eqs. (5) e (6) mostram que tanto o esforço transverso V quanto o momento flector variam com a posição da secção considerada. e representarmos graficamente as funções dadas pelas Eqs. (5) e (6) poderemos ter uma ideia da forma como estes esforços internos variam ao longo do eio da viga. esta representação gráfica dáse o nome de diagramas de esforços internos, neste caso, diagrama de esforços transversos e diagrama de momentos flectores. Comecemos por faer a representação do diagrama de esforços transversos V, dado pela Eq. (5) (Fig. 7). 6

7 V ql Fig. 7 Diagrama de esforços transversos ql O diagrama de momentos flectores será obtido pela representação gráfica da Eq. 6. Nesta representação iremos inverter, por raões que serão justificadas a seguir, o sentido positivo do eio das ordenadas (Fig. 8). ql 8 Fig. 8 Diagrama de momentos flectores raão pela qual se inverte o sentido do eio das ordenadas no caso dos diagramas de momentos flectores reside no facto de que ao procedermos deste modo o diagrama nos dá imediatamente uma ideia de como a peça se vai deformar por fleão, isto é, a fleão da peça é concordante com o andamento do diagrama de momentos flectores. Na verdade, se um troço de uma peça linear se encontrar submetido a momentos positivos nas suas etremidades, esse troço flectirá para baio, isto é, apresentará conveidade para o lado onde são representados os momentos flectores, e vice versa (Fig. 9). deformada da peça diagrama de momentos flectores Fig. 9 Concordância entre deformada e diagrama de momentos flectores 7

8 Reparese que os diagramas das Figs. 7 e 8 foram obtidos com base no diagrama de corpo livre da Fig. 6 o qual, neste caso, é válido qualquer que seja. e eistir uma carga concentrada aplicada num determinado ponto da peça o diagrama de esforços transversos apresentará uma discontinuidade nesse ponto. nalogamente, se num determinado ponto estiver aplicado um momento, o diagrama de momentos flectores apresentará uma discontinuidade nesse ponto. Vejamos porquê. uponhamos que num determinado ponto C da viga anterior actua uma carga concentrada P (Fig. 10). P R a C L R Fig. 10. Viga simplesmente apoiada com carga concentrada Calculando momentos das forças que actuam na viga relativamente ao ponto facilmente se conclui que a reacção em vale a R = P 1 (7) L O diagrama de corpo livre do troço da viga será (Fig. 11) R V N Fig. 11 Diagrama de corpo livre do troço. Pelo equilíbrio de forças segundo a vertical concluise imediatamente que a V = R = P 1 (8) L Esta conclusão será válida enquanto for válido o diagrama de corpo livre da Fig. 11 em que se baseou, isto é, enquanto for a. Para > a o diagrama de corpo livre do troço terá que incluir a força P (Fig. 1). 8

9 R P V N a Fig. 1 Diagrama de corpo livre do troço. Por soma de forças verticais obtémse neste caso V Pa = R P = (9) L epressão que será válida para a < L. O diagrama completo de esforços transversos será então (Fig. 13) V a P 1 L C Pa L Fig. 13 Diagrama de esforços transversos. Reparese que o valor do esforço transverso numa secção de uma peça de eio rectilíneo corresponde à soma das componentes segundo a normal ao eio de todas forças à esquerda de (ou à direita de ), afectadas do correspondente sinal, de acordo com a convenção de sinais acima adoptada para os esforços transversos. Vejamos agora o caso em que eiste um momento aplicado num determinado ponto da peça (Fig. 14). R L D D R b Fig. 14 Viga com momento aplicado. 9

10 Calculando momentos das forças aplicadas na viga relativamente ao ponto concluise facilmente que a reacção em, arbitrada com o sentido de baio para cima, vale R = D L (10) O diagrama de corpo livre do troço da viga permitenos obter a epressão para o momento flector à esquerda de D, (Fig. 15). Fig. 15 Diagrama de corpo livre do troço. Calculando momentos em relação a vem R D R = 0 (11) L = Para secções à direita de D o diagrama de corpo livre de será (Fig. 16) V N R D D N V Fig. 16 Diagrama de corpo livre do troço. e o momento flector em será obtido através de = 0 D R = 0 = D 1 (1) L partir das Eqs. 11 e 1 pode então obterse o diagrama de momentos flectores completo (Fig. 17). Tal como acontecia no caso do diagrama de esforços transversos também aqui o valor do momento flector numa secção pode ser obtido através da soma de todos os momentos aplicados à esquerda de (ou à direita) com os momentos produidos relativamente a por todas as forças à esquerda de (ou à direita), tendo em conta o correspondente sinal, de acordo com a convenção de sinais anteriormente estabelecida para os momentos flectores. 10

11 D b 1 L D D b 1 L Fig. 17 Diagrama de momentos flectores. 3. Relações entre diagramas de carga, de esforços transversos e de momentos flectores Destaquese um troço elementar de uma peça linear em equilíbrio e tracese o seu diagrama de corpo livre (Fig. 18). Notese que, sendo elementar o comprimento deste troço, e na hipótese de as funções que representam os esforços internos serem contínuas no troço em causa, os esforços que actuam nas suas etremidades esquerda e direita distinguemse entre si por variações elementares dessas funções. Os esforços foram arbitrados com sentidos positivos, de acordo com a convenção estabelecida, e representouse por p a densidade de distribuição de carga. p() d V d VdV Fig. 18 Diagrama de corpo livre de um troço elementar de uma peça linear. Teremos para equações de equilíbrio ( V dv) 0 F = 0 V pd = (13) d = 0 d pd V d = 0 (14) partir da Eq. 13 obtémse dv p = (15) d Despreando a terceira parcela da Eq. 14, atendendo a que representa um infinitésimo de ordem superior relativamente às restantes, chegase a 11

12 d V = (16) d s Eqs. 15 e 16 traduem as relações que devem eistir entre os diagramas de carga, de esforços transversos e de momentos flectores. e o diagrama de carga for representado por um polinómio de um determinado grau, o diagrama de esforços transversos será representado por um polinómio de um grau acima, e o diagrama de momentos flectores por um polinómio de dois graus acima. Em cada ponto o valor do esforço transverso poderá ser obtido pela tangente ao diagrama de momentos flectores. Em cada ponto a densidade de carga poderá ser obtida através do valor da tangente ao diagrama de esforços transversos com o sinal trocado. Notese que na Eq. 14 p representa o módulo da densidade de carga de um carregamento que actue com o sentido considerado na Fig. 18, isto é, no sentido positivo do eio. Portanto, para efeitos de utiliação da Eq. 15, um carregamento será positivo se actuar de cima para baio. s Eqs. 15 e 16 podem ainda ser escritas na forma dv = pd (17) d = V d (18) Considerando um troço finito de uma peça linear compreendido entre dois pontos e escreverseá V = V dv pd (19) = d V d (0) ou ainda V = V pd (1) = Vd () Eq. mostra que o momento flector num ponto pode ser obtido adicionando ao momento flector num ponto a área abaio da curva que representa o diagrama de esforços transversos, compreendida entre os pontos e. nalogamente, a Eq. 1 indicanos que o esforço transverso na secção pode ser obtido subtraindo ao esforço transverso em a área abaio do diagrama de carga, compreendida entre os pontos e. 1

13 4. Diagramas de esforços normais Considerese uma ve mais um troço elementar de uma peça linear, mas desta ve em equilíbrio sob a acção de uma carga distribuída actuando na direcção do eio da peça, com densidade de distribuição q. Esta carga distribuída pode representar a componente segundo a direcção do eio da peça de uma carga distribuída actuando com outra orientação qualquer. Tracese o seu diagrama de corpo livre (Fig. 19). q() N d NdN Fig. 19 Diagrama de corpo livre de um troço elementar de uma peça linear sujeita a uma carga distribuída actuando segundo o seu eio. Teremos para equação de equilíbrio F = 0 N dn q d N = 0 (3) ou dn q = (4) d Esta equação é semelhante à Eq. 15 e pressupõe um sentido positivo de q da esquerda para a direita (o sentido positivo do eio ). Dinos que o valor da densidade de carga distribuída segundo o eio da peça num determinado ponto pode ser obtido a partir do valor da tangente ao diagrama de esforços normais depois de multiplicado por menos um. Para um troço de dimensão finita pode ainda escreverse, de forma análoga à Eq. 1, a epressão N = N q d (5) que nos mostra que o esforço normal num ponto se pode obter subtraindo ao esforço normal num ponto a área abaio do diagrama de carga aial compreendida entre e. Naturalmente, o esforço normal numa secção de uma peça linear de eio rectilíneo representa a soma das componentes segundo o eio da peça de todas as forças à esquerda de (ou à direita), tendo em conta a convenção de sinais estabelecida para os diagramas de esforços normais. 13

14 5. Eemplo Pretendese traçar os diagramas de momentos flectores, de esforços transversos e de esforços normais em todas as barras da estrutura representada na Fig. 0, sujeita ao carregamento indicado. 8 kn/m 15 kn 1,5 m C D E F 16 kn.m G 3,0 m kn/m,0 m,0 m 4,0 m,0 m,0 m Fig. 0 Estrutura com carregamento Resolução Tratase de uma estrutura eteriormente hiperestática do º grau, globalmente isostática, relativamente à qual se sabe desde já que o diagrama de momentos flectores passará necessariamente pelos pontos, D e G, já que as articulações eistentes nestes pontos não impedem, por naturea, as rotações relativas entre as peças que se lhes ligam. O primeiro passo da resolução consiste na determinação das reacções eteriores. Cálculo das reacções eteriores O diagrama de corpo livre da barra DG (Fig. 1) irá permitirnos determinar a reacção vertical em G com a escrita de uma única equação de equilíbrio. = 0 8R = 0 R 11,5 kn (6) D G G = Com base no diagrama de corpo livre do troço DG (Fig. ) calculase a componente horiontal da reacção em G. R G = 0 11,5 1 R = 46,7 kn G 1, = 0 (7) 14

15 Finalmente, as três equações de equilíbrio da estrutura como um todo permitemnos determinar as reacções no encastramento (Fig. 3). 3 F = 0 R 46,7 = 0 R = 49,7 kn (8) 8 kn/m 15 kn N D V D D E F 16 kn.m G R G R G 4,0 m,0 m,0 m Fig. 1 Diagrama de corpo livre do troço DG 8 kn/m 15 kn R G 1,5 m C D E F G 16 kn.m 11,5 kn R R,0 m,0 m 4,0 m,0 m,0 m Fig. Diagrama de corpo livre do troço DG F = 0 R ,5 = 0 R 9,5kN (9) = 3 = ,5 1 46,7 4,5 = 0 = 1355, kn.m (30) Estamos agora em condições de traçar os diagramas de esforços nas várias barras que constituem a estrutura. Começamos por orientar todas as barras da estrutura (Fig. 4). Tracemos seguidamente os diagramas de esforços, começando pela barra (Fig. 5). 15

16 8 kn/m 15 kn 1,5 m 3,0 m 46,7 kn C D E F G 16 kn.m 11,5 kn kn/m R,0 m,0 m 4,0 m,0 m,0 m R Fig. 3 Diagrama de corpo livre da estrutura como um todo C D E F G Fig. 4 Orientação das barras da estrutura, da esquerda para a direita Tracemos agora os diagramas de esforços na barra C (Fig. 6). Por a barra ser inclinada teremos o cuidado de decompor as forças que nela actuam em componentes segundo o eio da barra e segundo a perpendicular antes de traçar os diagramas de esforços. carga distribuída dá assim origem a duas outras, uma actuando na direcção do eio da barra e a outra na direcção perpendicular. s reacções em C calculamse a partir das três equações de equilíbrio das forças que actuam na barra C. Para traçar os diagramas de esforços no troço CDEG (Fig. 7), começase por traçar o diagrama de corpo livre deste troço, colocando em C reacções iguais e de sentido oposto às que actuavam na etremidade C da barra C. 16

17 kn/m 9,5 kn 1355, kn.m 49,7 kn Polinómio do 1º grau Diagrama de corpo livre da barra 9,5 kn 46,7 kn 49,7 kn 46,7 kn Diagrama de esforços transversos na barra Polinómio do º grau Tangente horiontal 1355, kn.m Diagrama de momentos flectores na barra Polinómio do 3º grau Diagrama de esforços 9,5 kn normais na barra Fig. 5 Diagramas de esforços na barra. 17

18 8 kn/m 1,5 m 9,5 kn 91,1 kn.m C 46,7 kn 173,5 kn Diagrama de corpo livre da barra C 46,7 kn,0 m 13,44 kn/m 17,9 kn/m 507,9 kn 94 kn,5 m C 91,0 kn.m 474,3 kn 138,8 kn Diagrama de corpo livre da barra C 94 kn C 138,8 kn Diagrama de esforços transversos na barra C Polinómio do º grau 91,0 kn.m C Polinómio do 1º grau Diagrama de momentos flectores na barra C 507,9 kn C 474,3 kn Diagrama de esforços normais na barra C Fig. 6 Diagramas de esforços na barra C. 18

19 8 kn/m 15 kn 46,7 kn 173,5 kn C D E F 91,1 kn.m 16 kn.m 11,5 kn,0 m 4,0 m,0 m,0 m G 46,7 kn Diagrama de corpo livre do troço CDEG 173,5 kn 5,5 kn C D E 9,5 kn Polinómio do 1º grau F G 11,5 kn Diagrama de esforços transversos no troço CDEG 91,0 kn.m Polinómio do º grau C D E 46,0 kn.m F G 171,0 kn.m 187,0 kn.m Diagrama de momentos flectores no troço CDEG 46,7 kn C D E F G Diagrama de esforços normais no troço CDEG Fig. 7 Diagramas de esforços no troço CDEG. 19