INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

Transcrição

1 NSTTUT SUPERR TÉCNC TENSR DE NÉRCA E REFERENCAS RTNRADS (A. F. Tovar de Lemos ) AEST, utubro de 1998

2 TENSR DE NÉRCA E REFERENCAS RTNRADS Índice 1 - Definição geral de momento de inércia Sistemas discretos Sistemas contínuos Raio de giração. 5 - omentos em relação a um referencial ortonormado.1 - Epressões em função das coordenadas Relações entre os momentos no mesmo referencial Produtos de inércia atri e tensor de inércia. Direcções e momentos principais de inércia. Elipsóide de inércia atri de inércia Tensor de inércia. Direcções e momentos principais de inércia. Elipsóide de inércia Cálculo do momento de inércia em relação a uma recta qualquer, utiliando a matri de inércia Teorema de Lagrange-Steiner Aplicação às áreas planas Posição do problema Elipse de inércia Considerações de carácter dimensional Circulo de ohr e elipse de Cullman.

3 1 - Definição geral de momento de inércia Sistemas discretos Seja dado um sistema material de partículas P 1, P,...P n de massas respectivamente m 1, m,.m n (Fig.1). Represente-se por P k a partícula genérica do sistema de massa m k. P1 (m1) P (m ) P (m ) k k P3 (m 3 ) Fig. 1 Dado um elemento geométrico qualquer (ponto, recta ou plano) define-se momento de inércia do sistema material em relação a esse elemento geométrico pela epressão n = m k r k (1.1) k= 1 onde r k representa a distância da partícula genérica P k ao elemento geométrico considerado. Na Fig. representam-se as distâncias a considerar respectivamente para o momento de inércia em relação a um ponto ( o ), a uma recta r ( r ) e a um plano π ( π ). Claro que, no caso da recta r e do plano π, as distâncias se medem perpendicularmente ao elemento respectivo. r π P1 (m1) r 1 r 1 r r 3 r k P (m ) r 3 r k r 1 r k r Fig. P k (m r k ) P3 (m 3 ) r 3 Da definição dada, resulta que um momento de inércia é uma grandea escalar essencialmente não negativa. Normalmente será positiva e, ecepcionalmente poderá ser nula, o que eige então que todas as partículas eistam sobre o elemento 3

4 geométrico considerado (por eemplo, é nulo o momento de inércia de uma figura plana em relação ao seu próprio plano) Sistemas contínuos Suponhamos agora que o sistema material considerado é, não um sistema discreto como se considerou anteriormente, mas um sistema material contínuo. É o caso, por eemplo, representado na Fig.3 em que se supõe a massa distribuída de uma forma contínua (embora não necessariamente homogénea), num volume V. Suponhamos que se pretende calcular o momento de inércia do sistema material contínuo, assim definido, em relação a um plano π. V r P π Fig. 3 Represente-se agora simplesmente por P a partícula genérica e por r a distância dessa partícula ao plano π. número de partículas a considerar será agora infinito e por isso o somatório da epressão (1.1) transforma-se em integral. Designando por dm a massa elementar contida na viinhança da partícula genérica P, a referida epressão (1.1) escreve-se agora, aplicada ao momento de inércia em relação ao plano π sendo a massa total do sistema. = r dm (1.) Claro que os momentos de inércia do sistema em relação a qualquer recta ou ponto dariam origem a integrais semelhantes a (1.). A determinação de qualquer integral do tipo (1.) aplicado a um sistema material contínuo distribuido em volume pode efectuar-se através do cálculo de um integral de volume, recorrendo ao conceito de densidade mássica em volume em cada ponto, definida como se sabe por m ρv (P) = lim (1.3) V 0 V e que permite pôr então 4

5 dm = ρv (P) dv (1.4) e introduindo em (1.) fica pois = r ρ (P) dv (1.5) V V Se o sistema for homogéneo, ρv ( P ) pode evidentemente passar-se para fora do integral pois é constante no domínio. Analogamente se se estiver em presença de uma distribuição contínua de massa em superfície (Fig.4) ou em linha (Fig.5) S L Fig. 4 Fig. 5 pode recorrer-se aos conceitos de densidade mássica em superfície m ρs( P) = lim dm = ρs(p) ds S 0 S (1.6) ou em linha m ρs ( P) = lim s 0 s dm = ρ s ( P) ds (1.7) recaindo-se então no cálculo, respectivamente, de um integral de superfície ou de um integral curvilíneo = r ρ (P) ds (1.8) S S = r ρ (P) ds (1.9) para determinar um momento de inércia qualquer nesses casos. L s Raio de giração Considere-se um sistema material de massa total e seja um momento de inércia desse sistema em relação a um elemento geométrico qualquer (ponto, recta ou plano). 5

6 Chama-se raio de giração do sistema, em relação ao elemento geométrico considerado, à grandea K definida por = K K = (1.10) É falso concluir que o raio de giração tem as dimensões de um comprimento. Com efeito, num sistema de grandeas fundamentais (LT), por eemplo, será [ ] = [ ] L = [ K] = L (1.11) raio de giração é susceptível de interpretação geométrica. Representa a distância ao elemento geométrico em causa, a que se deveria localiar toda a massa do sistema para produir o mesmo momento de inércia. - omentos em relação a um referencial ortonormado.1 - Epressões em função das coordenadas Seja dado novamente um sistema material discreto (a passagem a um sistema contínuo fa-se de forma análoga à utiliada na passagem da epressão (1.1) para (1.)). Por outro lado, seja dado um referencial ortonormado, relativamente ao qual as coordenadas da partícula genérica P k se representam por k, k e k (Fig. 6). P 1 P k k P 3 P k k Fig. 6 6

7 Vamos calcular os momentos de inércia do sistema em relação: aos planos coordenados, aos eios coordenados e à origem. Assim, por eemplo, o momento de inércia em relação ao plano será definido evidentemente por n = m (.1) k= 1 Se não houver motivo para confusão, podem suprimir-se os índices e escrever-se simplesmente (.1) na forma k k = m (.) Nessas condições, os momentos de inércia em relação aos restantes planos coordenados escrevem-se = m, = m (.3) Analogamente, os momentos de inércia em relação aos eios coordenados, e, podem escrever-se ( ), = m( + ), = m( + ) = m + (.4) e o momento de inércia em relação à origem ( + ) = m + (.5) s momentos de inércia em relação aos eios representam-se vulgarmente pelas letras A, B e C e portanto será = A, = B, C (.6) =. - Relações entre os momentos no mesmo referencial Das epressões obtidas no parágrafo anterior, podem deduir-se relações de muito interesse entre os momentos de inércia em relação aos elementos do triedro cartesiano, que são as seguintes: A = = = + + +, = A + B = = = B + +, = C + C = 1 = = + ( A + B + C) (.7) Note-se que estas epressões são aplicáveis a quaisquer 3 rectas ortogonais que se intersectem num mesmo ponto do espaço. Assim, por eemplo, pode dier-se que o 7

8 momento de inércia em relação a um ponto é igual à soma do momento de inércia em relação a uma recta r qualquer passando pelo ponto, com o momento de inércia em relação ao plano π perpendicular à recta que passe pelo mesmo ponto (Fig.7). r π Fig Produtos de inércia Considerando um sistema material discreto, de partícula genérica P(,,) e massa m, definem-se produtos de inércia e representam-se pelas letras D, E e F as grandeas D = m, E = m, F = m (3.1) onde o somatório é estendido a todas as partículas do sistema. São grandeas com as mesmas dimensões físicas dos momentos de inércia (L ) mas, contrariamente ao que sucedia com estes, os produtos de inércia podem ser negativos. No caso de o sistema material ser contínuo, o cálculo dos produtos de inércia fa-se substituindo os somatórios das equações (3.1) por integrais nos respectivos domínios. Assim, por eemplo D = dm, E = dm, F = dm (3.) 4 - atri e tensor de inércia. Direcções e momentos principais de inércia. Elipsoide de inércia atri de inércia Dado um sistema material e um referencial ortonomado qualquer (,,,) de origem num ponto, vamos considerar agora 6 grandeas de entre as anteriormente definidas: (i) A, B e C (momentos de inércia em relação aos eios, e ) e (ii) D, E e F (produtos de inércia em relação a pares destes eios). 8

9 Fig. 8 Dispondo estas grandeas numa matri simétrica, tendo o cuidado de previamente trocar o sinal dos três últimos, define-se a chamada matri de inércia no ponto do sistema material dado e referida aos eios (,,) considerados, ou seja: A D E = D B F (4.1) E F C A disposição das 6 grandeas indicadas por forma a constituirem a matri de inércia revela-se muito útil na apresentação de certos cálculos de ecânica em forma matricial. Por outro lado, permite aplicar o Cálculo atricial ao problema de saber como variam as componentes da matri de inércia (e portanto os momentos e produtos de inércia) do mesmo sistema material relativa ao mesmo ponto, mas referida a outros eios com origem nesse ponto, digamos eios (,, ) (Fig. 9). problema resolve-se considerando simplesmente a transformação linear (neste caso ortogonal) que corresponde à mudança de eios indicada e afectando a matri dessa transformação. Nos novos eios obter-se-á assim uma nova matri, A' D' E' ' = D' B' F' (4.) E' F' C' onde A, B e C representam os momentos de inércia em relação aos novos eios e D, E e F representam os produtos de inércia respectivos. 9

10 Fig Tensor de inércia. Direcções e momentos principais de inércia. Elipsoide de inércia. Pode dier-se que a matri de inércia não é mais do que a disposição matricial dos elementos de um tensor de ª ordem definido por ( δ ) ij = m ij s s i j (4.3) Nesta epressão i (ou j, ou s ) representa as coordenadas 1 =, = e 3 =, da partícula genérica de massa m, e o somatório é estendido a todas as partículas, tendose suprimido o índice de soma, como se fe por eemplo na passagem das epressões (.1) para (.), isto é, a epressão completa seria n k= 1 ( ) = m (4.4) ij k ij Suprimindo o índice k, que apenas significaria que a coordenada se refere à partícula k, obtem-se (4.3) como foi dito. Nesta mesma epressão (4.3), figura por outro lado o conhecido símbolo de Kronecker δ ij. Além disso, o índice repetido s significa que deve aplicar-se a convenção de Einstein (ou convenção de soma). Sendo assim, o cálculo das componentes do tensor de inércia torna-se imediato. Com efeito, será por eemplo ks ks ( + + ) = m( + ) ki 11 = m (4.5) kj 10

11 que representa pois (vidé (.4)) o momento de inércia =A e situação análoga se dá para =B e 33 =C. Por outro lado, as componentes não diagonais fornecem por eemplo ( ) = que representa (-D) como se pretendia (vidé (3.1)). 1 = m 0 m (4.6) Finalmente note-se que, se o sistema material fosse contínuo e não discreto, a epressão (4.3) tomaria a forma = ( δ ) dm (4.7) ij ij s É evidente da análise de (4.3) que esta epressão define uma grandea com índices (portanto de ª ordem), simétrica, mas não se provou que seja efectivamente um tensor. Tal demonstração não será aqui feita, limitando-nos a indicar que, para o faer, bastava considerar sistemas de eios com a mesma origem, calcular os momentos e produtos de inércia do mesmo sistema material num e noutro caso e verificar que entre eles se verificam as relações que corresponderiam a aplicar a ij as leis de transformação tensorial. Admitindo pois que ij é um tensor simétrico de ª ordem, são-lhe agora aplicáveis as propriedades estudadas para este tipo de tensores no cálculo tensorial, designadamente a eistência de direcções principais e valores principais que, neste caso, se designam respectivamente direcções e momentos principais de inércia do sistema material, no ponto considerado. s i j p p p Fig. 10 Vale a pena sublinhar o significado da eistência de direcções principais de inércia de um sistema num ponto. Quer isso dier que é possível determinar 3 direcções 11

12 ortogonais p, p e p (Fig. 10) tais que, em relação a elas, o sistema tem os 3 produtos de inércia nulos. s momentos de inércia 1, e 3 em relação a essas direcções são os momentos principais e a matri de inércia fica diagonaliada = [ ] = ij 0 0 (4.8) Aliás, como se sabe, os conceitos de direcções principais e componentes principais podem definir-se mesmo em Cálculo atricial. Em certos casos, as direcções principais de inércia são indeterminadas, o que corresponderá a dois dos momentos principais (ou mesmo a três) serem iguais. Analogamente pode associar-se ao tensor de inércia o conceito conhecido de quádrica tensorial, que dá origem neste caso ao chamado elipsóide de inércia. A sua equação escreve-se ij i j = 1 (4.9) com a dupla soma (em i e j) no 1º membro. Desenvolvendo esta soma e designando os momentos e produtos, respectivamente por A, B, C e D, E, F, fica A + B + C D E F = 1 (4.10) Dado um sistema material qualquer (Fig.11) e um ponto também qualquer, será esta a equação do elipsóide de inércia do sistema no ponto, referido aos eios (,,) com origem em. Fig. 11 1

13 Se os eios variarem, a equação do mesmo elipsóide variará também em conformidade, sendo que, quando os eios escolhidos forem os eios principais de inércia em, a equação (4.10) se escreverá, tendo presente (4.8) 1 p p 3 p = (4.11) onde p, p e p representam as coordenadas do ponto corrente do elipsóide nos eios principais. Estes serão, por seu turno, os eios de simetria do elipsóide, em relação aos quais ele poderá ser escrito na conhecida forma a + b + c = 1 (4.1) onde a, b e c são as medidas do semi-eios. Para obter essas medidas neste caso, basta transformar (4.11) da seguinte forma p 1 1 p + 1 p = 1 (4.13) o que mostra que o raio vector segundo cada direcção principal é igual ao inverso da rai quadrada do momento principal de inércia respectivo. Esta conclusão será depois generaliada para um vector qualquer no elipsóide e o momento de inércia em relação à recta correspondente a esse raio vector. A escrita das características de inércia agrupadas em forma de matri de inércia mostra-se cómoda para traduir a equação do elipsóide de inércia. Com efeito, se representarmos por X a matri coluna das coordenadas, ou seja X = (4.14) imediatamente se conclui que (4.9) pode escrever-se onde é a matri de inércia. X T X = 1 (4.15) 5 - Cálculo do momento de inércia em relação a uma recta qualquer, utiliando a matri de inércia Seja um sistema material qualquer, por eemplo contínuo, e uma recta R do espaço, definida por um ponto e um dos seus versores λ r (Fig.1). 13

14 P r λ r R P 1 Fig. 1 momento de inércia do sistema em relação a esta recta define-se, como foi dito, por onde r representa a distância de cada partícula P à recta. = r dm (5.1) R as da Fig. 1 conclui-se que, sendo P 1 o pé da perpendicular baiada da partícula P sobre a recta, se verifica r 1 ( P λ) = P P = P P (5.) Considerando um referencial de origem em, em relação ao qual as coordenadas de P se representam por i e as componentes de λ r por λ i (cosenos directores da recta), pode escrever-se (5.1), tendo presente (5.). na forma R = ( ss iλi jλ j)dm (5.3) as, sendo λ r por hipótese unitário, note-se que é válida a identidade δ λ λ 1 (5.4) ij i j = e o 1º membro dentro do parêntesis não fica alterado se escrevermos (5.3) na forma R = ( ssδijλiλ j iλi jλ j)dm (5.5) Finalmente, como λ i e λ j (componentes do vector unitário da recta R) são independentes do domínio de integração, que é o sistema material, podem ser postas fora do integral e portanto (5.5) escreve-se ainda 14

15 R = ( ij s s i j ) dm λ iλ j (5.6) ou ainda, atendendo a que o integral representa ij (vidé (4.7)) R = λ λ (5.7) ij i j Esta epressão permite calcular o momento de inércia do sistema em relação a uma recta R, conhecido o tensor de inércia num ponto qualquer dessa recta. Analogamente ao que foi dito a propósito de (4.10), a epressão (5.7) toma a forma R = Aα + Bβ + Cγ Dαβ Eαγ Fβγ (5.8) se os cosenos directores forem representados, como habitualmente, por α, β, e γ. Em face das epressões obtidas, é fácil agora mostrar que o elipsóide de inércia definido no 4. representa o lugar geométrico dos pontos P do espaço, de coordenadas 1 cuja distância a é igual a 1 P = (5.9) R Com efeito, considerando a epressão (5.7), podemos eprimir nela as componentes λ i através das coordenadas i de P, marcado como se disse. Com efeito, será = λ i i i = (5.10) P 1 R e então, substituindo em (5.7), fica i j = ij iji j 1 (5.11) 1 1 R = R R Este facto permite considerar o elipsóide de inércia como um autêntico diagrama espacial para a determinação dos momentos de inércia em relação às infinitas rectas que passam por. Assim se justifica, como caso particular, o que atrás foi dito a propósito da epressão (4.13). 6 - Teorema de Lagrange - Steiner No parágrafo anterior vimos como é possível calcular o momento de inércia de um sistema material em relação às infinitas rectas que passam por um determinado ponto, conhecido o tensor de inércia nesse ponto. 15

16 uitas vees, todavia, põe-se o problema de conhecer o momento de inércia em relação a outra recta qualquer do espaço, não passando por. Um processo seria escolher sobre essa recta um ponto qualquer, calcular nesse ponto directamente o tensor de inércia e aplicar novamente o referido na secção 5. Sucede porém que é possível estabelecer uma relação directa entre os tensores de inércia em dois pontos diferentes, o que é objecto do chamado Teorema de Lagrange- Steiner. Note-se que no caso geral estes dois pontos serão quaisquer do espaço, pertençam ou não ao corpo. Para simplificar, vamos considerar o caso de um dos pontos ser o centro de massa G do sistema e o outro um ponto qualquer. Esta consideração não diminui a possibilidade de aplicar o teorema a dois pontos quaisquer, como depois se verá. Seja então o corpo (Fig.13) e considerem-se dois referenciais paralelos de origens em G e. Representam-se, respectivamente, por (X, Y, Z) e (,, ) as coordenadas da partícula genérica em relação a estes referenciais. X Z G a a Fig. 13 P a Y Representando ainda por a, a e a as coordenadas do ponto no referencial de origem em G, será X = + a, Y = + a, Z = + a (6.1) Suponhamos então que se pretende calcular o momento de inércia do sistema em relação ao eio passando por. Será, tendo em conta as relações (6.1) = = [ ] ( ) dm = ( Y a ) + ( Z a ) dm = ( Y Z ) dm + ( a a ) dm a Ydm a Zdm (6.) Note-se agora o seguinte, acerca do º membro desta epressão: (i) 1º integral representa o momento de inércia G em relação ao eio X passando por G. 16

17 (ii) No º, 3º e 4º integrais, aparecem as grandeas a, a, e (a +a ) que são independentes do domínio de integração e podem, por isso, colocar-se fora dos integrais. Nestas condições e atendendo ainda a que representa a massa total do sistema, (6.) pode escrever-se dm = (6.3) ( + a ) a Ydm a Zdm = + a (6.4) G as, sendo G o centro de massa, os dois últimos integrais de (6.4) são nulos. Por outro lado, (a +a ) representa o quadrado da distância d entre os eios e GX, como facilmente se conclui considerando um triângulo rectângulo de catetos a e a. () d a (X) a Fig. 14 Logo, será (Fig.14) e a epressão (6.4) fica a + a = d (6.5) G = + d (6.6) Representando agora por A e GX por A G, isto é, os momentos de inércia em relação a um eio qualquer e em relação a um outro eio X paralelo passando pelo centro de massa G, pode pôr-se mais simplesmente A = A G + d (6.7) Relações análogas poderiam escrever-se para os momentos de inércia em relação aos eios e, na forma B = B G + d (6.8) 17

18 C = C G + d (6.9) As relações (6.7) a (6.9) traduem a parte do Teorema de Lagrange-Steiner relativa à transformação de momentos de inércia em relação a eios paralelos. A segunda parte refere-se à transformaçãode produtos de inércia em relação a eios também paralelos. Assim, seja o produto de inércia D em relação aos eios (,) e considerem-se novamente as epressões (6.1). Vem = XYdm + a ( X a )( Y a ) D = dm = a dm = (6.10) anulando-se os restantes integrais por raões análogas às já apontadas. Representando o 1º integral do º membro por D G visto ser um produto de inércia, fica por fim D = D + a a (6.11) G Note-se que, nesta epressão, a e a representam as coordenadas X e Y do ponto (coordenadas que entram no produto de inércia que se está a transformar), no referencial baricêntrico. Analogamente viria para os outros dois produtos de inércia E = E + a a (6.1) G G F = F + a a (6.13) Estas três últimas epressões completam o Teorema de Lagrange-Steiner e portanto as leis de transformação do tensor de inércia. Fa-se notar que, quando for necessário relacionar características de inércia do mesmo sistema em relação a referenciais paralelos, nenhum deles com origem no centro de massa, basta aplicar duas vees o Teorema de Lagrange-Steiner, primeiro entre uma das origens e o centro de massa e, em seguida, entre esta e a segunda origem de eios. Por fim, deia-se registado que eistem teoremas análogos à parte do Teorema de Lagrange-Steiner respeitante à transformação de momentos de inércia em relação a rectas paralelas, teoremas esses agora referentes a pontos e a planos paralelos. 7 - Aplicação às areas planas Posição do problema Tem muito interesse em Resistência de ateriais o cálculo de momentos e produtos de inércia de áreas planas (consideradas como corpos bidimensionais) em relação a rectas ou a pontos do seu plano. 18

19 Para corpos nestas condições, o que sucede é que as epressões gerais atrás deduidas apresentam certas simplificações a que vale a pena faer uma referência eplicita. Consideremos então uma área plana qualquer do plano (Fig.15). Fig. 15 Nestas condições, o momento de inércia em relação ao plano será nulo = 0 (7.1) e de (.7) resulta então que os momentos em relação aos eios são A = =, B = =, C = = + = A B (7.) e o momento em relação à origem + que é chamado momento polar de inércia. = = + = A B (7.3) + A propósito desta última epressão convem notar que, se os eios (,) fossem rodados em conjunto no seu plano em torno de, o momento em relação a continuaria a ser igual à soma dos momentos em relação aos dois eios na nova posição. Quanto aos produtos de inércia, temos agora, de acordo com as considerações anteriores, que E=F=0 e portanto, só o produto de inércia D será diferente de ero. Atendendo a tudo o que foi dito, compreende-se imediatamente que ao tensor de inércia (4.1) se passa a dar a seguinte disposição matricial A D 0 = D B 0 (7.4) 0 0 A + B 19

20 relativamente a um par de eios qualquer (ortogonais) do plano da figura passando por e um 3º eio perpendicular ao plano, passando pelo mesmo ponto. 1 1 Fig. 16 mediatamente se compreenderá que, se o par de eios escolhidos coincidir com as duas direcções principais em do plano da figura ( 1, 1, na Fig. 16), coincidindo a 3ª direcção principal com o eio, então (7.4) poderá escrever-se = 0 0 (7.5) Uma consequência que imediatamente resulta do que foi dito é que a epressão (5.8) relativa ao momento de inércia em relação a uma recta qualquer do espaço passando por se escreve agora R = Aα + Bβ + (A + B) γ Dαβ (7.6) Claro que, se a recta pertencer ao próprio plano da figura continuando a passar por, a simplificação é maior ainda R = Aα + Bβ Dαβ (7.7) 7. - Elipse de inércia No ponto pode definir-se o elipsóide de inércia da figura plana cujos eios serão, evidentemente, as duas direcções principais (1) e () referidas em (7.5) e o eio, perpendicular ao plano da figura, passando por. Em relação a um sistema de eios quaisquer (,,) cujo eio é este último eio perpendicular ao plano da figura, a equação do elipsóide será (vidé (4.10)) 0

21 A e, quando referida a eios principais (4.11), + B + (A + B) D = 1 (7.8) 1 p p 3 p = (7.9) A intersecção do elipsóide de inércia com o plano da figura é, consequentemente, uma elipse que se chama elipse de inércia da figura no ponto. Esta elipse pode, ocasionalmente, degenerar em circunferência, se o elipsoide de inércia for de revolução em torno do eio. Se o ponto for o centro de massa, a elipse de inércia toma o nome de elipse central de inércia. Claro que a elipse de inércia pode ser utiliada para determinar os momentos de inércia em relação às infinitas rectas passando por, bastando utiliar o raciocínio semelhante já feito para o elipsóide de inércia Considerações de carácter dimensional Fisicamente, as dimensões de qualquer momento de inércia são evidentemente (L ). No caso das áreas planas que estamos a estudar, dado que qualquer momento de inércia de um sistema plano (,) é da forma = ρs r ds = ρsr dd (7.10) S a introdução do referido momento de inércia deve-se à eistência de uma densidade mássica em superfíice ρ S com as dimensões (L - ). Analogamente, a massa total, que é definida por um integral da forma terá evidentemente as dimensões de (). = ρs dd (7.11) Em Resistência de ateriais, o estudo das áreas planas tem interesse no cálculo das peças através da geometria da respectiva secção normal ao eio. Por isso, costuma arbitrar-se ρ=1 e adimensional. Deste facto, resulta imediatamente que 3 [ ] L e [ ] = L = (7.1) 1

22 quer dier, os momentos de inércia passam a ser epressões na 4ª potência de unidades de comprimento (cm 4, mm 4, etc.) e as massas são medidas pela área (cm, mm, etc.) Círculo de ohr e elipse de Cullman Uma ve que, como se viu, o tensor de inércia é um tensor simétrico de ª ordem, pode-se-lhe aplicar o método do Círculo de ohr o qual, para o caso das áreas planas, degenera na Circunferência de ohr. Uma ve que se trata de assunto já bem conhecido, praticamente nada há a dier sobre ele, a não ser chamar a atenção para o facto de a circunferência nunca poder ser secante do eio das ordenadas (produtos de inércia), uma ve que não eistem momentos de inércia (abcissas) negativos. utro método que, tal como o Círculo de ohr, pretende estudar graficamente a variação dos momentos de inércia de um sistema material plano em relação às rectas do seu plano é o da chamada elipse de Cullman que, como se vai ver, trabalha com os raios de giração, atrás definidos no 1.3. Assim, consideremos o ponto e as direcções principais de inércia nesse ponto (1) e () (Fig.17) e marquemos uma elipse tomando para semi-eio em cada direcção o raio de giração correspondente à outra direcção. Assim, sendo 1 e os momentos principais de inércia, vem 1 K1 e K = = (7.13) e portanto na Fig. 17 é P 1 = K e P = K1. P R K θ P K 1 P P 1 1 Q Fig. 17 Esta elipse permite, dada uma recta R qualquer passando por, determinar o raio de giração correspondente a essa recta. Com efeito, seja P o ponto de intersecção dessa recta R com a elipse e tracemos uma tangente à elipse, paralela a R, sendo P o ponto de tangência. A direcção P define, como se sabe, a direcção conjugada com R relativamente à elipse. Finalmente baiemos por a perpendicular a essa tangente, que a encontra em Q. Vamos demonstrar que a distância Q representa o raio de giração correspondente à recta R.

23 Para isso, seja a elipse de Cullman referida às direcções principais. Representando por e as coordenadas do ponto genérico P, fica K + = 1 (7.14) K 1 as, por outro lado, sendo θ o ângulo indicado = P cos θ e = P senθ (7.15) e substituindo em (7.14), P cos K θ P sen θ + = 1 K 1 (7.16) o que pode escrever-se 1K K cos θ K1 + sen θ K = (7.17) P ra sabe-se que, numa elipse, o produto P Q é constante e igual a K 1 K. K1 K P Q = K1 K Q = (7.18) P logo, (7.17) pode escrever-se na forma cos K1 sen K = + Q (7.19) as K 1 e K podem obter-se de (7.13) e portanto (7.19) escreve-se cos 1 sen = + Q (7.0) Como o 1º membro desta última epressão é justamente R (7.7) fica e R = Q (7.1) = K R (7.) R Q = 3