Aplicação da Álgebra Linear à Geometria (1/2) 1. Geometria a m: rectas e planos

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1 30 a : aula (1h) 19/05/2010 Aplicação da Álgebra Linear à Geometria (1/2) 30-1 Instituto Superior Técnico o semestre Álgebra Linear 1 o ano das Lics em Engenharia Informática e de Computadores e Engenharia Química Aplicação da Álgebra Linear à Geometria (1/2) 1 Geometria a m: rectas e planos Em tudo o que segue vamos supor que K é um corpo comutativo Um espaço linear a m A sobre um corpo comutativo K ou apenas espaço a m sobre K ou K-espaço a m, é caracterizado por um conjunto não vazio A, um espaço vectorial V sobre K, e uma acção do grupo aditivo (V; +), do espaço vectorial V, em A ou seja uma aplicação tal que: ' : V A A (v; P ) 7 P e+ v 1) (P e+ v) e+ w = P e+ (v + w) para todos v; w em V e todo P em A 2) P e+ 0 = P para todo P 2 A e sendo 0 o elemento neutro de (V; +) Exige-se além disso que a acção seja livremente transitiva ou seja deverá valer a propriedade seguinte: 3) Para todo (P; Q) 2 A A existe um e um só v 2 V tal que: Q = P e+ v Um espaço a m é pois dado por um terno (A; V; ') Usámos a notação e+ para exprimir a acção e evitar a confusão com a operação de soma, +, de nida em V mas o facto é que em geral se usa a mesma notação para a acção, e+, e para essa soma, +, em V ; apesar de se poder esperar que daí resultem inconvenientes, um pouco de habituação revela que assim não é Escreveremos por isso daqui em diante: '(v; P ) = P + v O espaço vectorial V diz-se o suporte do espaço a m sobre K, A e quando V tenha dimensão nita sobre K de ne-se a dimensão de A como sendo dim K A := dim K V O elemento único, v, a que se refere 3) é usualmente designado por Q P, por P; Q ou ainda simplesmente por P Q (correndo o risco de confundir o vector P; Q 2 V com um segmento dirigido da geometria euclidiana elementar ) tendo-se portanto: Q = P + (Q P ) ou ainda Q = P + P Q Valem as propriedades seguintes relativas a pontos de A: P 1 P 1 = 0 P 1 P 2 + P 2 P 1 = 0 P 1 P 2 + P 2 P 3 + P 3 P 1 = 0 ou mais geralmente: P 1 P 2 + P 2 P 3 + : : : + P n 1 P n + P n P 1 = 0 (regra de Chasles) Vale ainda a chamada regra do paralelogramo: Se P Q = P 0 Q 0 então P P 0 = QQ 0 Um exemplo importante de espaço a m é o espaço a m n-dimensional canónico sobre o corpo K, usualmente designado por A n (K) correspondendo ao terno (K n ; K n ; ') com ' : K n K n K n dada por (x; y) 7 y + x

2 30 a : aula (1h) 19/05/2010 Aplicação da Álgebra Linear à Geometria (1/2) 30-2 Chama-se plano a m ou variedade linear a m, ou ainda subespaço a m do espaço a m A a qualquer conjunto da forma P + L = fq 2 A : Q = P + v; com v 2 Lg onde L V é um subespaço vectorial de V Note-se que um plano a m é um espaço a m Sendo L de dimensão nita e dim K L = k diz-se que = P + L é um plano k-dimensional (a m) ou variedade linear (a m) k-dimensional e escreve-se dim K = k: Dado o plano a m = P + L diz-se que é um plano que passa por P 2 A e tem L como subespaço director Se Q 2 diz-se que passa por Q ou Q incide em ou ainda incide em Q, ou en m que Q está sobre ou está sobre Q Uma recta é um plano = P + L com dim L = 1 Tendo V dimensão nita chama-se hiperplano a um plano = P + L com codimensão 1 ou seja tal que codim K := dim K A dim K = 1 ou seja codim K L = 1 onde codim K L = dim K V dim K L Um plano 0-dimensional é a nal um elemento de A e a um elemento de A chama-se ponto O seguinte teorema é de demonstração fácil: Dados dois pontos distintos P; Q de um K-espaço a m A, existe uma e uma só recta passando por P e por Q Quanto à existência, basta considerar P + Q P que é uma recta pois Q P 6= 0 por P e Q serem distintos; realmente ter-se-ia P 2 P Q P e Q 2 P + Q P Quanto à unicidade, se P e Q pertencerem a uma recta r, então como P 2 r ela terá de ser da forma r = P + v mas como Q 2 r = P + v virá Q P 2 v (com Q P 6= 0) e daí Q P = v ou seja r é necessariamente a recta P + Q P P Q Designando por P Q = P + Q P A recta única de nida pelos pontos distintos P; Q de A, designa-se por v o espaço vectorial gerado por v tem-se pois: Se X 2 P Q tem-se X = P + t (Q diz-se uma parametrização a m da recta P ) com t 2 K e a aplicação : K P Q t 7 P + t (Q P ) P Q ; é uma bijecção Seja K um corpo ordenado e sejam P 0 ; P 1 ; : : : ; P k pontos a nmente independentes de A; de ne-se o k-símplice de vértices P 0 ; P 1 ; : : : ; P k como sendo o conjunto dos pontos P 2 A tais que P 0 P = t 1 P 0 P 1 + t 2 P 0 P 2 + : : : + t k P 0 P k em que t 1; t 2; : : : ; t k são elementos do corpo ordenado K tais que 0 t 1 ; 0 t 2 ; : : : ; 0 t k e t 1 + t 2 + : : : + t k = 1 Designa-se por vezes por NP 0 ; P 1 ; : : : ; P k Um k-símplice é uma gura convexa Um 0-símplice é a nal um ponto e um 1-símplice é um segmento; a um 2-símplice dá-se o nome de triângulo sólido e a um 3-símplice dá-se o nome de tetraedro sólido Dois planos 1 = P 1 +L 1 e 2 = P 2 +L 2 dizem-se paralelos se L 1 L 2 ou L 2 L 1 e secantes se 1 \ 2 6= ; (com esta terminologia, dois planos 1 ; 2 tais que 1 2 são simultaneamente paralelos e secantes e em particular um plano é paralelo a ele próprio e também secante a ele próprio); no primeiro caso escreve-se 1 k 2 ; se 1 e 2 são secantes e P \ 2 então o conjunto 1 \ 2 é um plano e mais precisamente, 1 \ 2 = P 0 + (L 1 \ L 2 ); o plano 1 \ 2,

3 30 a : aula (1h) 19/05/2010 Aplicação da Álgebra Linear à Geometria (1/2) 30-3 diz-se o plano intersecção de 1 com 2 e designa-se por 1 ^ 2 ; sendo P \ 2, o plano P 0 + (L 1 + L 2 ) designa-se por 1 _ 2 e chama-se o plano invólucro de 1 com 2 ; tem-se, quando as dimensões em questão sejam nitas: (relação de Grassmann) dim K ( 1 _ 2 ) + dim K ( 1 ^ 2 ) = dim K 1 + dim K 2 Vale o seguinte resultado: Dado um k-plano a m de um K-espaço a m A, e dado um ponto P 2 A tal que P =2 existe um e um só k-plano a m 0 de A passando por P e paralelo a Suponhamos que = P 0 + L com dim K L = k; então basta tomar 0 = P + L Chamamos a atenção par o facto de serem válidas as seguintes asserções relativas a um K-espaço linear a m A de dimensão n: A1 Dados dois pontos distintos P; Q de A, existe uma e uma só recta passando por P e por Q A2 Dado um k-plano a m de A, e dado um ponto P 2 A mas tal que P =2 existe um e um só k-plano a m 0 de A passando por P e paralelo a A3 Existem n + 1 pontos em A que não são (n 1)-coplanares Estas três asserções conhecem-se como os axiomas de um espaço a m abstracto n-dimensional Suponhamos que dim K V = n; xado um ponto O 2 A e xada uma base ordenada de V, isto é, um referencial, (v 1 ; : : : ; v n ) de V podemos associar a qualquer ponto P 2 A um n-plo x = (x 1 ; : : : ; x n ) 2 K n de nido por P O = x 1 v 1 + : : : + x n v n A (O; v 1 ; : : : ; v n ) chama-se um referencial a m de A; por outro lado diz-se que x = (x 1 ; : : : ; x n ) é o n-plo das coordenadas a ns de P relativamente ao referencial referido Escreve-se então: P (x 1 ; : : : ; x n ) (com respeito a (O; v 1 ; : : : ; v n ) ) Fica assim claro que uma vez xado um referencial a m de A, dispomos de uma bijecção A ' A n (K) Esta aplicação, bem como a sua inversa, é uma aplicação a m num sentido a precisar mais adiante Dada uma recta r = P 0 + L onde L = v, qualquer P 2 r veri ca P P 0 = tv com t 2 K e esta relação diz-se a equação paramétrica da recta r Escolhido um referencial a m (O; v 1 ; : : : ; v n ) em A n (K) e sendo x = (x 1 ; : : : ; x n ) e x 0 = (x 1 0; : : : ; x n 0 ) as coordenadas de P e de P 0 e sendo v = 1 v 1 + : : : + n v n teremos: x 1 = x t 1 x n = x n 0 + t n

4 30 a : aula (1h) 19/05/2010 Aplicação da Álgebra Linear à Geometria (1/2) 30-4 e valem então as equações canónicas da recta r : x 1 x = = xn x n 0 n Duas rectas r 1 = P 1 + L 1 e r 2 = P 2 + L 2 onde L 1 = v 1 e L 2 = v 2 são paralelas se e só se v 1 = kv 2 onde k 2 K (condição de paralelismo de duas rectas) Mais geralmente, seja dado um k-plano = P 0 + L onde L = v 1 ; : : : ; v k, sendo portanto v 1 ; : : : ; v k uma base de L: Fixado um referencial a m (O; v 1 ; : : : ; v n ) teremos: P 0 (x 1 0; : : : ; x n 0 ) (com respeito a (O; v 1 ; : : : ; v n ) ) e qualquer P 2 veri ca v i = 1 i v 1 + : : : + n i v n (i = 1; : : : ; k) P P 0 = t 1 v 1 + : : : + t k v k com t i 2 K para cada i = 1; : : : ; k que é a equação paramétrica do plano ; e teremos: x 1 = x t : : : + t k 1 k x n = x n 0 + t 1 n 1 + : : : + t k n k Dada uma matriz A = [a i j ] 2 M(m n; K) e uma matriz b = [bi ] 2 M(n 1; K) é bem sabido que o sistema Ax = b ou seja 8 >< >: a 1 1x 1 + : : : + a 1 nx n = b 1 a m 1 x 1 + : : : + a m n x n = b m é compatível, isto é, tem soluções, se e só se o rango rg(a) = r da matriz A for igual o rango rg(ajb) da matriz aumentada 2 3 a 1 1 : : : a 1 n b 1 6 Ajb = a m 1 : : : a m n b m e nesse caso o conjunto das soluções tem a forma x 0 + L onde x 0 2 K n e L é um subespaço de K n tal que dim K L é o co-rango da matriz A ou seja dim K L = corg(a) = n rg(a) Quer dizer: o conjunto das soluções é um plano a m = x 0 + L de dimensão n r do espaço a m A n (K) Mais precisamente, L é o conjunto das soluções do sistema homogéneo: 8 >< a 1 1x 1 + : : : + a 1 nx n = 0 >: a m 1 x 1 + : : : + a m n x n = 0 Reciprocamente qualquer plano = x 0 + L de dimensão k do espaço a m A n (K) é o conjunto das soluções de um sistema da forma Ax = b, como atrás, onde rg(a) = n k Realmente se x 2 tem-se x x 0 2 L e como dim K L = k basta escolher n k formas lineares linearmente independentes ' i (u) = a i 1u 1 + : : : + a i nu n de forma que L = (ker ' 1 ) \ : : : \ ker ' n k

5 30 a : aula (1h) 19/05/2010 Aplicação da Álgebra Linear à Geometria (1/2) 30-5 e como ' i (x x 0 ) = a i 1(x 1 x 1 0) + : : : + a i n(x n x n 0 ) daí resultará 8 >< >: a n a 1 1x 1 + : : : + a 1 nx n = a 1 1x : : : + a 1 nx n 0 1 k x 1 + : : : + a n n k x n = a n 1 k x : : : + a n k n x n 0 pelo que bastará pôr b i = a i 1x : : : + a i nx n 0 para obter o sistema Ax = b procurado Estas n k equações (independentes) dizem-se um sistema de equações cartesianas para o plano a m k-dimensional = x 0 + L Concluimos que, xado um referencial a m (O; v 1 ; : : : ; v n ) as correspondentes coordenadas de qualquer plano a m k-dimensional satisfazem a um sistema de equações cartesianas (independentes) e reciprocamente o conjunto das soluções de um tal sistema é um plano a m de A n (K): Em particular, em se tratando de um hiperplano = x 0 + L (ou seja dim K L = n 1, sendo dim K A = n) as coordenadas dos seus pontos satisfarão a uma equação cartesiana em que os coe cientes a i não são todos nulos a 1 x 1 + : : : + a n x n = b Espaço linear a m euclidiano sobre um corpo comutativo K Num espaço a m euclidiano diz-se que dois planos 1 = P 1 + L 1, 2 = P 2 + L 2 são perpendiculares, ou normais, ou ortogonais se e só se L 1 e L 2 forem ortogonais, escrevendo-se então 1? 2 Se = P + H é um certo hiperplano plano de codimensão 1 e Q 6= P um ponto de um espaço a m euclidiano, só há uma recta r = Q + L que seja normal a ; r diz-se a normal a passando por Q Então r ^ reduz-se a um ponto chamado o pé da normal (ou da perpendicular) a passando por Q Dado um hiperplano qualquer normal pode escrever-se na forma = Q+ u com kuk = 1; diz-se que u é um vector director normal unitário com relação a ; sendo assim, qualquer ponto X 2 é da forma hx P; ui = 0 onde P é um ponto arbitrário de Sendo = P + H um hiperplano e r = Q+ u, o pé da perpendicular a passando por Q é o ponto: F = Q hq P; uiu onde P é um ponto arbitrário de A distância de um ponto Q a um hiperplano exprime-se também comodamente em termos de u: d(q; ) = d(q; F ) = jhq P; uij Em geral, a distância de um ponto a um plano, não necessariamente hiperplano é: e a distância entre dois planos quaisquer é: Vale o seguinte teorema de Pitágoras : d(p; P 0 + L) = kpr L?(P P 0 )k d(p 1 + L 1 ; P 2 + L 2 ) = kpr (L1+L 2)?(P 1 P 2 )k : Sejam P; Q; R pontos distintos; então d(r; P ) 2 = d(q; P ) 2 + d(r; Q) 2 se e só se as rectas RQ forem perpendiculares QP e Fixado um referencial a m euclidiano (O; e 1 ; : : : e n ) em A n (K) de ne-se o produto externo de n 1 vectores v 1 ; : : : ; v n 1 de K n como sendo o vector, designado por [v 1 ; : : : ; v n 1 ], cujas componentes na base euclidiana e 1 ; : : : ; e n de K n se obtêm formalmente como sendo os coe cientes de e 1 ; : : : ; e n no desenvolvimento de e 1 : : : e n v 1 1 : : : v n 1 : : : : : : : : : v 1 n 1 : : : v n n 1

6 30 a : aula (1h) 19/05/2010 Aplicação da Álgebra Linear à Geometria (1/2) 30-6 como se de um determinante se tratasse Tem-se em particular, para o produto euclidiano h: : : ; : : :i de K n : h[v 1 ; : : : ; v n 1 ]; v i i = 0 para i = 1; : : : ; n Tem-se então para os pontos P de um hiperplano = P 0 + L onde L = v 1 ; : : : ; v n 1 : h[v 1 ; : : : ; v n 1 ]; P P 0 i = 0 e sendo x = (x 1 ; : : : ; x n ) e x 0 = (x 1 0; : : : ; x n 0 ) as coordenadas euclidianas de P e de P 0 e sendo = [v 1 ; : : : ; v n 1 ] = 1 e 1 + : : : + n e n tem-se uma equação cartesiana do hiperplano : que é da forma 1 (x 1 x 1 0) + : : : + n (x n x n 0 ) = 0 nx a i x i + a 0 = 0 i=1 com a 1 ; : : : ; a n ; a 0 em K Reciprocamente o conjunto dos x2k n veri cando esta equação corresponde ao conjunto dos pontos de um hiperplano A condição de paralelismo para dois hiperplanos 1 = P 1 + L 1 e 2 = P 2 + L 2 onde L 1 = v 1;1 ; : : : ; v 1;n 1 e L 2 = v 2;1 ; : : : ; v 2;n 1 é 1 = k 2 onde i = [v i;1 ; : : : ; v i;n 1 ] com i = 1; 2 e onde k 2K; a condição de ortogonalidade é h 1 ; 2 i = 0 O vector [v 1 ; : : : ; v n 1 ] é um vector normal e ao seu normalizado v = [v 1; : : : ; v n 1 ] k[v 1 ; : : : ; v n 1 ]k chama-se vector unitário normal ao hiperplano com respeito ao referencial ortonormado e 1 ; : : : ; e n