ANÁLISE DE ESTRUTURAS II

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1 DECivil ANÁLISE DE ESTRUTURAS II INTRODUÇÃO À ANÁLISE LIMITE DE LAJES Orlando J B A ereira 005

2 1 Introdução Em geral, pretende-se que as estruturas tenham um comportamento linear nas situações usuais de serviço, pelo que a Teoria da Elasticidade é adequada para verificar a segurança das estruturas em relação aos estados limites de utilização Em contrapartida, quando uma estrutura atinge o colapso, já deixou de apresentar comportamento elástico linear No entanto, para uma determinada estrutura e um determinado carregamento, a carga de colapso depende apenas da capacidade plástica do material, não dependendo do comportamento deste antes do colapso or conseguinte, a verificação da segurança aos estados limites últimos pode ser efectuada recorrendo a um modelo rígido-plástico A Análise lástica de Estruturas baseia-se num conjunto de Teoremas Fundamentais: o Teorema Estático, o Teorema Cinemático e o Teorema da Unicidade Neste texto, que se destina a uma introdução à Análise Limite de Lajes, em duas semanas, serão utilizados o Teorema Estático e o Teorema Cinemático

3 Admissibilidade estática - Teorema Estático Considere-se uma laje sujeita a uma carga paramétrica q = λ q 0 (x,y) Uma distribuição de momentos é estaticamente admissível se equilibra o carregamento e não excede a capacidade plástica da laje Uma distribuição de momentos que equilibra o carregamento satisfaz a equação de equilíbrio no interior da laje, m x x m + y y mxy + = q, x y e as condições de fronteira estáticas: Apoio simples - m n = m n ; Encastramento deslizante - r n = r n ; Bordo livre - r n = r n m n = m n ; Canto livre-livre - R = R Admita-se que a laje se encontra armada nas direcções x e y Nestas circunstâncias, é natural considerar soluções equilibradas em que m xy = 0 e as restantes componentes são tais que m x x = q x e m y y = q, com q x + q y = q y Admitindo que o efeito do esforço transverso sobre a carga de colapso da laje é desprezável e que a laje tem ductilidade suficiente para mobilizar toda a capacidade plástica das armaduras, estas soluções equilibradas serão estaticamente admissíveis se m m m e x x + x m m m, y y + y onde + m x e disposta segundo x e segundo y m x são as capacidades plásticas positiva e negativa correspondentes à armadura + m y e m y são as capacidades plásticas correspondentes à armadura Este processo de obtenção de distribuições de momentos estaticamente admissíveis é designado por método das bandas (ou das faixas ou de Hillerborg), pois corresponde a considerar que parte da carga é equilibrada através de bandas de laje dispostas segundo x e a restante carga é equilibrada através de bandas dispostas segundo y Note-se que m x pode ser descontínuo segundo y, sem que tal afecte o equilíbrio, pelo que uma faixa disposta segundo x pode ter um diagrama de momento diferente do das faixas contíguas De igual modo, m y não necessita de ser contínuo segundo x 3

4 O Teorema Estático da análise plástica estabelece que, entre todas as distribuições de esforços estaticamente admissíveis, a distribuição de esforços no colapso é aquela a que corresponde o maior parâmetro de carga Este valor do parâmetro de carga, λ c, é designado por parâmetro de carga de colapso Consequentemente, se existe uma distribuição de momentos estaticamente admissível à qual corresponde o parâmetro de carga λ, então λ λ c ortanto, para esse λ, a segurança em relação ao estado limite último está assegurada Na prática, o que normalmente se pretende é calcular uma distribuição de momentos que equilibra um determinado λ para, a partir dela, dimensionar as armaduras Quanto mais a distribuição de momentos escolhida se afastar da correspondente a um comportamento elástico linear, mais facilmente a laje poderá apresentar uma fendilhação excessiva em serviço ortanto, para assegurar um bom comportamento em serviço, a escolha entre as várias distribuições de momentos equilibradas possíveis pode ser feita por comparação com uma distribuição de momentos obtida através de um modelo de elementos finitos compatíveis para comportamento elástico linear Como exemplo, considere-se a laje representada na figura 1 A laje está sujeita a uma carga uniformemente distribuída paramétrica no painel () e comporta-se como se fosse isótropa retende-se calcular um minorante do valor do parâmetro de carga no colapso 400 m y x (1) () q () = λ 1 kn/m m + = m (knm/m) = m 300 m 400 m Figura 1 Admite-se que na direcção x existe apenas uma banda e que, segundo y, existe uma única banda por painel Com base nestas hipóteses, a análise da laje reduz-se à análise das vigas representadas na figura No modelo adoptado, existe apenas um diagrama de momentos que equilibra q y() O valor mais elevado que esta carga pode atingir, respeitando a condição de cedência, é aquele para o qual q y( ) 4 8 = m ortanto, q y( ) = m No painel (1), m y = 0 ara que o campo de momentos seja equilibrado, é necessário que m x seja contínuo entre os dois painéis No modelo adoptado, a cada valor do momento flector sobre o apoio central corresponde um diagrama de momentos que equilibra q x() ara equilibrar a maior carga possível, o valor do momento flector sobre o apoio central deve ser m O valor mais elevado que q x() pode atingir é aquele para o qual o momento positivo máximo é igual a m 4

5 ( + ) m q x() q y() m y() m x ( - ) m ( + ) m v x x R 4-x R 1 ( + ) q x() (-) (-) m /3 Figura Conforme indicado na figura, a posição do vértice da parábola, designada por x R, corresponde ao ponto onde v x é nulo Como o declive do diagrama de v x é igual a q x() e xb vxdx = mx ( xb ) mx ( xa ), xa os valores de x R e q x() podem ser obtidos resolvendo o sistema 1 qx( ) xr = m 1 qx( )( 4 xr ) = m Desta forma, obtém-se ( ) ( 4 6) 4 ( 3) 8 q = + m = + m e x = ( )4 x + 7 ortanto, λ 1kN/m = qx( ) + q y( ) = m 8 m R 5

6 Como segundo exemplo, considere-se a laje com uma abertura quadrada representada na figura 3 A laje está sujeita a uma carga uniformemente distribuída paramétrica e comporta-se como se fosse isótropa retende-se calcular um minorante do valor do parâmetro de carga no colapso L/3 L/3 L/3 x q = λ 1 kn/m m + = m (knm/m) = m y L L/3 L Figura 3 Admite-se que a laje está dividida nos 8 sub-painéis representados na figura 4, os quais são utilizados para formar as bandas que equilibram a carga e em cada um dos quais q x e q y são constantes ara a solução ser equilibrada, tem de existir continuidade de m x e de r x entre os sub-painéis (1) e (), () e (3), (6) e (7), (7) e (8) elo mesmo motivo tem de existir continuidade de m y e de r y entre os sub-painéis (1) e (4), (4) e (6), (3) e (5), (5) e (8) 7q/6 (1) () (3) (4) (5) q (+) 9qL /16 (6) (7) (8) 13qL /108 q x q q y (1)(4)(6) m y (1)()(3) q/6 m x (+) ql /1 7qL /7 Figura 4 Nestas condições, a carga aplicada no sub-painel () tem de ser equilibrada na banda (1)()(3), da forma indicada na figura 4 O mesmo sucede na banda (6)(7)(8) Nos sub-painéis (4) e (5), q x e m x são nulos, pelo que m x é descontínuo na direcção y, o que não afecta o equilíbrio 6

7 Como q x ( ) = 1 ) + q y( 1 q e q x ( 6 ) + q y( 6 ) = q, a banda (1)(4)(6) encontra-se sobrecarregada da forma indicada na figura 4 O mesmo sucede na banda (3)(5)(8) Nos sub-painéis () e (7), q y e m y são nulos, pelo que m y é descontínuo na direcção x, o que não afecta o equilíbrio O momento flector máximo é 9qL 16, pelo que o valor máximo que a carga pode atingir, respeitando a condição de cedência, é q = 16m 9L Como terceiro exemplo, considere-se a laje representada na figura 5 A laje está sujeita a uma carga uniformemente distribuída paramétrica e comporta-se como se fosse isótropa retendese calcular um minorante do valor do parâmetro de carga no colapso L x q = λ 1 kn/m L m + = m (knm/m) = m y Figura 5 Neste caso, não é possível equilibrar a carga sem utilizar o momento torsor Uma solução equilibrada é q m x = m y = 0, m xy = xy ara esta solução, os momentos principais são m I = qxy e m II = qxy Os momentos principais máximo e mínimo são iguais a ± ql, pelo que o valor máximo que o parâmetro de carga pode atingir, respeitando a condição de cedência, é m m λ = kn L 7

8 3 Admissibilidade cinemática - Teorema Cinemático Verifica-se experimentalmente que, quando uma laje de betão armado atinge o colapso, as fendas e as deformações se concentram em bandas aproximadamente rectas, designadas por linhas de rotura (ou charneiras plásticas) Ao atingir o colapso forma-se um mecanismo, o qual pode ser estudado considerando que a laje tem um comportamento rígido-plástico e que as únicas deformações são as rotações relativas nas linhas de rotura Admitindo um comportamento rígido-plástico, um campo de deslocamentos transversais é cinematicamente admissível se é contínuo, forma uma superfície planificável e satisfaz as condições de fronteira cinemáticas que envolvem directamente o deslocamento transversal As descontinuidades nas rotações correspondem a deformações plásticas or conseguinte, a existência de deslocamentos depende não só do número de linhas de rotura e das rotações relativas em torno delas mas também da localização destas linhas Como exemplo, considere-se a laje representada na figura 6, simplesmente apoiada nos bordos AB e CD e com os bordos AC e BD livres ara existir continuidade de deslocamento transversal ao longo da linha de rotura EF, a recta que contém EF tem de passar pela intersecção das direcções dos bordos AB e CD Deste modo, arbitrando a rotação do painel ABFE em torno de AB, é possível calcular um valor da rotação do painel EFDC em torno de CD tal que, na direcção perpendicular à linha de rotura, não exista rotação relativa entre os painéis ara qualquer posição da linha de rotura que não satisfaça a condição referida, quaisquer que sejam as rotações dos painéis, a laje "rasga" pela linha de rotura em vez de "dobrar" D sen ϕ 1 /sen ϕ sen ϕ 1 F C sen ϕ 1 /tan ϕ E cos ϕ 1 sen ϕ 1 ϕ ϕ 1 A Figura 6 B 8

9 Neste caso, para uma rotação do painel ABFE, a rotação do painel EFDC é sen ϕ 1 senϕ cos ϕ + senϕ tan e a rotação relativa na linha de rotura é ( ) 1 1 ϕ Se algum dos bordos AB e CD fosse encastrado, a geometria do mecanismo seria a mesma, surgindo apenas uma linha de rotura adicional ao longo de cada bordo encastrado Se algum dos apoios for pontual, como exemplificado na figura 7, a direcção do eixo de rotação do painel que passa por esse ponto pode ser escolhida de forma arbitrária Figura 7 Admita-se que a laje se encontra armada nas direcções x e y Numa linha de rotura que forma um ângulo ϕ com o eixo x, os momentos flector e torsor são, de acordo com as fórmulas de Johansen, m m = m cos ϕ m sen ϕ, y + t x ( m m ) senϕ cosϕ = y x Note-se que o momento torsor não influencia o valor do parâmetro de carga associado ao mecanismo Se m x = m y = m, a laje comporta-se como uma laje isótropa: qualquer que seja a direcção da linha de rotura, o momento flector é igual a m e o momento torsor é nulo Sabendo-se o valor do momento flector em cada linha de rotura, o valor de λ associado ao mecanismo pode ser calculado através do rincípio dos Trabalhos Virtuais, igualando a dissipação de energia nas linhas de rotura ao trabalho das forças exteriores O trabalho das forças exteriores é 9

10 q wdxdy + r wds + W = R w laje bordo A dissipação de energia nas linhas de rotura é rel D = m i i li i i i i Se o carregamento estiver em equilíbrio com os momentos, de acordo com o TV, W = D, sendo λ obtido por resolução desta equação O Teorema Cinemático da análise plástica estabelece que, entre todos os campos de deslocamentos cinematicamente admissíveis, o mecanismo de colapso é aquele a que corresponde o menor parâmetro de carga Consequentemente, se existe um mecanismo cinematicamente admissível ao qual corresponde o parâmetro de carga λ, então λ λ c ortanto, para esse λ, não existe segurança em relação ao estado limite último A menos que se disponha de um programa de cálculo automático que introduza novas linhas de rotura até convergir para o mecanismo de colapso, o método das linhas de rotura só pode ser utilizado em conjunto com o método das bandas, para estimar a precisão da solução estaticamente admissível Como exemplo, considere-se a laje quadrada, encastrada em todos os bordos, representada na figura 8 A laje está sujeita a uma carga uniformemente distribuída paramétrica e comporta-se como se fosse isótropa retende-se calcular um majorante do valor do parâmetro de carga no colapso q = λ 1 kn/m L m + = m (knm/m) = m L Figura 8 Neste caso, utiliza-se o mecanismo representado na figura 9, em planta, e na figura 10, em axonometria 10

11 / / / / / / / / / / / / Figura 9 / / / / Figura 10 Sendo a carga uniforme, o trabalho das forças exteriores é igual ao produto da carga pelo volume delimitado pelas posições inicial e final da laje O deslocamento transversal no centro da laje é igual a L/, pelo que 3 1 L L W = λ L = λ 3 6 A dissipação de energia é D = 4 m + L + 4 m L = m L ( ) 8 Igualando as duas expressões, m λ = 48 m /kn λ c L Como segundo exemplo, considere-se novamente a laje representada na figura 1 Agora, pretende-se calcular um majorante do valor do parâmetro de carga no colapso O mecanismo não tem necessariamente de abranger todos os painéis da laje Tanto pode envolver mais do que um painel como apenas parte de um painel Neste caso, utiliza-se o mecanismo representado na figura 11, em planta, e na figura 1, em axonometria 11

12 / / / / / / / / / / / / Figura 11 / / / / Figura 1 O deslocamento transversal no centro do painel () é igual a, pelo que 3 W = λ 1 4 λ 3 = 3 A dissipação de energia é D = 4 m + + m 4 = 0m ( ) Igualando as duas expressões, 60 λ = m λc 3kN Tendo também em conta o resultado obtido na secção anterior, m λ c m 8kN 3kN Como terceiro exemplo, considere-se a laje representada na figura 13 A laje está sujeita a uma carga uniformemente distribuída paramétrica e comporta-se como se fosse isótropa retende-se calcular um majorante do valor do parâmetro de carga no colapso 1

13 L q = λ 1 kn/m m + = m (knm/m) = m L Figura 13 Neste caso, utiliza-se o mecanismo representado na figura 14, em planta, e na figura 15, em axonometria L/ 3 1 /(a) 1 1 L/ 3 1 a L Figura 14 Figura 15 O deslocamento transversal máximo é igual a L/, pelo que o trabalho das forças exteriores é dado por 13

14 1 L 1 L W = λ L a + L ( 1 a) 3 As componentes das rotações dos painéis simétricos são dadas por a 1 = e = a a As componentes da rotação do painel triangular são 1 e 3 = 4a a A dissipação de energia é D = m L + m L 1 a + m + 3 a L a Igualando as duas expressões, 1( a + 1) m λ = a 3 a L ( ) ara o valor de a que minimiza λ, dλ 1( a + a 3) m = 0 = 0 da a 3 a L ( ) ( ) ( ) A única solução dentro da laje é a = = , o que corresponde a um ângulo de 59º entre as linhas de rotura simétricas e o encastramento ara esta posição das linhas de rotura, ( ) m m m = 177 m /kn c 8 λ = λ 3kN L L 14

15 4 Bibliografia A Ghali, AM Neville, Structural Analysis - A Unified Classical and Matrix Approach, E & FN Spon, London, 1997 A Hillerborg, Strip Method of Design, A Viewpoint ublication, 1974 KW Johansen, Linhas de Rotura, Teoria e rática, Livro Técnico, Rio de Janeiro, 1967 ARG Lamas, Lajes, Apontamentos da cadeira de Elasticidade Aplicada, IST, JA Lima, AT Coelho, V Monteiro, Manual de Betão Armado, Laboratório Nacional de Engenharia Civil, Lisboa, 1970 D Loriggio, Estudos Sobre a Utilização da Teoria das Charneiras lásticas para Análise Limite e Dimensionamento de Lajes de Concreto Armado, Relatório ICIST AI 3/97 15