PME MECÂNICA I

Transcrição

1 PME100 - MEÂNI I a LIST DE EXEÍIS - DINÂMI LIST DE EXEÍIS MPLEMENTES LIV TEXT (FNÇ, MTSUMU) Eercícios - Dinâmica do Ponto (DP.1) bloco tem massa m e está preso a uma mola não deformada de rigidez k e comprimento l 0. Se o bloco B de massa m B é pressionado contra e a mola se deforma uma distância d, determine a distância que ambos os blocos deslizam sobre a superfície lisa antes de se separarem. Qual é a velocidade no momento da separação? (DP.) Um piloto vai fazer uma manobra acrobática com um automóvel dentro de um túnel, fazendo uma espécie de loop longitudinal. Ele vai entrar no túnel em ângulo, subir pela parede, alcançar o teto e descer pelo outro lado, percorrendo uma trajetória helicoidal de passo constante como esquematizado na figura 1 abaio. Figura 1 carro tem massa de 100 kg, e as dimensões da seção do túnel cilíndrico estão indicadas na figura. Figura onsidere o automóvel como um ponto material, despreze a dissipação de energia e suponha que o piloto não vai acelerar nem frear o carro durante a manobra. 1

2 dmitindo que o piloto inicie a manobra avançando com um ângulo de 0º em relação ao eio do túnel, faça um cálculo aproimado dos seguintes valores: (a) a velocidade mínima que o carro deve ter ao iniciar a manobra (começar a subir a parede do túnel); (b) o comprimento mínimo do túnel necessário para completar a manobra; (c) o tempo gasto para realizar a manobra. (DP.) lingote de aço de 1800 kg transportado a uma velocidade v = 0, m/s atinge um conjunto de molas. Se a rigidez da mola eterna é k = kn/m, determine a rigidez que a outra mola deve ter para que o lingote pare no momento em que sua face estiver a 0, m da parede. (DP.) bloco de 10 kg e o bloco B de kg estão ambos a uma altura h = 0, m acima do chão, quando o sistema é liberado do repouso. Depois que bate no chão sem ricochetear, observa-se que B alcança uma altura máima de 0,18 m. Determine: (a) (10 pontos) a velocidade de eatamente antes do impacto, e (b) (10 pontos) a quantidade de energia dissipada pelo atrito de eio na roldana. (DP.) carro, com 1800 kg de massa, e o carro B, com 1700 kg de massa, estão em repouso sobre um vagão com 0 Mg de massa que também se encontra em repouso. s carros e B então aceleram e rapidamente atingem velocidades constantes em relação ao vagão de, m/s e 1,17 m/s, respectivamente, para depois desacelerarem até pararem totalmente na etremidade oposta do vagão. Desprezando o atrito e a resistência ao rolamento, determine a velocidade do vagão quando os carros estão se movendo com velocidades constantes.

3 Eercícios - Dinâmica do Ponto 1) Três barras uniformes de massa m são soldadas conforme mostra a figura. Determinar os momentos e produtos de inércia em relação aos eios z e o momento de inércia em relação à reta que une a origem ao ponto D. Desprezar as dimensões da seção transversal das barras. Dados: =B=D=E=a/; =a E esposta: ma 17ma 17ma J J J z z ma J J z J z 0 J D B D 1 ) figura indica dois cubos, de massa m e m e aresta a, apoiados no prisma de massa M. Determinar o deslocamento do prisma quando o cubo de massa m atingir o plano horizontal. Desprezar o atrito entre o prisma e o solo. fio é m inetensível e de massa desprezível. a l esposta: m a m M l M a m o o ) Um homem de 80 kg precisa atravessar um fosso de 8 m de largura e, para isso, dispõe de pranchas de 1 m de comprimento e massa de 0 kg cada uma. Entretanto, as bordas do fosso são lisas 1m (sem atrito) e não há meio de calçar as pranchas. Sabendo que estas não escorregam entre si, qual o número mínimo de pranchas que ele deve empilhar para conseguir atravessar o fosso andando sobre a 8m pilha? esposta: 8

4 ) barra homogênea de comprimento L e peso mg, articulada em, tem em sua etremidade um peso concentrado mg. conjunto parte do repouso na posição horizontal. Pede-se: a) baricentro e o momento de inércia do conjunto em relação a. g b) velocidade angular e a aceleração angular em função de. c) aceleração do baricentro do conjunto. d) s componentes da reação na articulação. L espostas: L 7 a) ; J ml b) 6 1g 1g ω cosθ; ω sen θ 7L 1L d) mg cosθ; mg sen θ 1 8 ) pêndulo composto da figura tem massa m, velocidade angular e aceleração angular conhecidas. seu centro de gravidade está localizado a uma distância a da articulação. Pede-se determinar as reações na articulação, para uma posição a genérica. espostas: m( a g cos ) i m( a g sen ) j 6) Um cilindro de massa m e raio desce um plano inclinado de um ângulo em relação à horizontal. Dados o coeficiente de atrito entre o cilindro e o plano e o momento de inércia 1 J m z do cilindro, pede-se: a) aceleração do baricentro e a aceleração angular do cilindro, supondo que não haja escorregamento. b) Idem, supondo que haja escorregamento. c) Determinar o ângulo que delimita as condições dos itens (a) e (b).

5 espostas: g sen α a) a g sen α; ω b) c) tan α μ a μg cosα g( sen α μ cos α); ω 7) Um disco de massa M e raio tem seu centro ligado a uma mola de constante k. sistema é solto do repouso, na posição = 0, para a qual a força da mola é nula, sobre um plano inclinado que faz um ângulo com a horizontal. Não há escorregamento entre o disco e o plano. Pede-se a) aceleração do centro do disco em função da distância percorrida. b) força tangencial no ponto de contato entre o disco e o plano, em função de. c) distância percorrida até que a força tangencial se anule. d) Eplicar o que ocorre a partir do instante considerado no item (c). espostas: 1 M gsen α a) a M gsen α k b) F M gsen α k c) M k 8) Um cilindro homogêneo de raio r e peso mg rola sem escorregar sobre uma superfície cilíndrica fia de raio. No instante t = 0 o cilindro é abandonado r do repouso na posição definida pelo ângulo 0. Pede-se: a) velocidade angular do cilindro em função de. b) componente normal da reação sobre o cilindro em função de. c) valor de para o qual o cilindro abandona a superfície fia. esp.: a) g r r sen sen b) 7sen sen N 0 c) sen sen 0 mg 0 7 9) Uma massa concentrada m está presa ao disco de raio e massa m, no ponto, conforme mostrado na figura. disco, por sua vez, está ligado a uma mola de constante k através de um fio que se enrola no disco. conjunto parte do repouso da posição = 0, sendo nula a força da mola, nesta posição. onsiderando pede-se: g k a) velocidade angular ω e a aceleração angular do conjunto em função de. b) aceleração do baricentro do conjunto, em função de ω, e. c) s componentes da força reativa na articulação, nas direções i e j, em função de ω, e. esp.: a) k g k g sen ; cos m m

6 b) a B i sen cos cos sen j c) msen mcos mg k mcos msen X Y 10) barra B é homogênea, possui comprimento e peso mg. barra escorrega sem atrito no interior da circunferência vertical fia de centro e raio a partir do repouso na posição definida por Ө= o. Dado J =m /6, pede-se determinar: a) energia cinética da barra em função de Ө; g b) velocidade angular ω em função de Ө; c) s reações em e B para Ө = o ; d) s reações em e B para Ө = 0 o. esp: g b) (cos d) N N B ) mg c) N mg; 8 N B mg 8 11) disco homogêneo de massa m e raio / está conectado ao disco de massa m e raio por meio de um cabo enrolado nos dois discos. Não / ocorre escorregamento entre o cabo e os discos. Supondo que o sistema parte do repouso, pede-se determinar as acelerações angulares dos discos, a aceleração do ponto e a tração no fio. B espostas: g a g g mg T 1) No dispositivo da figura, o carrinho movimenta-se para a direita com aceleração a constante. placa quadrada homogênea de lado c e massa m está articulada em. Usando o sistema de coordenadas (,,z) solidário à placa, pede-se: a) alcular J z e J z. c b) Determinar em função de J z. c) Determinar as reações na articulação em c função de,, e demais dados. espostas: 1 a) J z mc ; J z mc 6 6

7 mc J b) a cos g sen z c) m acos c gsen ; m asen c gcos 1) anel de seção retangular e massa m pode deslizar sem atrito sobre a guia horizontal B. barra homogênea, de comprimento L e massa m é articulada sem atrito ao anel por meio de um pino F B horizontal em. É aplicada ao anel uma força F horizontal. Sabendo que o sistema parte do repouso, z com a barra pendente na vertical, pede-se determinar, para o instante inicial, a aceleração angular da barra, a aceleração do anel e a reação da articulação sobre a barra em. espostas: 6 F k F F ; a o i ; i mg j ml m 1) figura mostra a vista lateral de um automóvel de massa m. coeficiente de atrito dinâmico entre os pneus e o solo é µ. Pede-se: (a) supondo tração nas rodas traseiras, determine as reações normais do solo nos pares de rodas dianteiro e traseiro, bem como a máima aceleração do veículo para que não haja derrapagem; (b) repita o item (a) supondo apenas tração dianteira; (c) repita o item (a) para o c caso de tração nas quatro rodas. a b esp.: ( b c) a) N D mg ( a b c) bmg b) N D ( a b c) ( b c) mg c) N D ( a b) N T N T mga N T ( a b c) mg( a c) ( a b c) ( a c) mg ( a b) a ga a ( a b c) gb ( a b c) a g 1) Duas barras idênticas, articuladas em e B, cada uma com massa m e comprimento L estão inicialmente na vertical. Uma força F é aplicada no centro da barra superior B. Sabe-se que o momento de inércia da barra em relação ao seu baricentro é dado por J z = ml /1. Nestas F condições, pedem-se as acelerações angulares das barras e a força horizontal no pino que une as barras B e B. g 6F B esp: B k H B Fi 7mL 1 7

8 B 9F k 7mL 16) Um disco homogêneo, de massa m e raio r, rola sem escorregar sobre o prisma de massa M, que forma um ângulo com o plano horizontal, como m mostra a figura. Supondo que não eiste atrito entre o prisma e o plano horizontal em que o prisma se apóia, determinar a aceleração do prisma e a força normal que o disco eerce sobre o prisma. M 17) Um sistema possível para freiar o movimento de rotação de uma nave espacial de raio consiste em colocar duas pequenas massas m nas etremidades de dois fios de comprimento L. Inicialmente as massas giram com todo o corpo da nave, conforme a figura. No instante em que as massas alcançam sua máima distância e seus fios estão radialmente para fora, conforme a figura B, os fios são soltos. Qual valor de L fará que a nave anule sua velocidade angular? Qual o valor da velocidade v de cada massa no instante em que os fios são soltos? Dados: m,, e J z (momento de inércia da nave em relação ao eio z, perpendicular à figura). v L Figura L v Figura B esposta: L J z m v J z m 18) Um disco homogêneo de kg está montado sobre o eio horizontal B. plano do disco faz um ângulo de 0 com o plano z, como mostra a figura. Sabendo que o eio gira com velocidade angular constante ω de 10 rad/s de intensidade, determine as reações dinâmicas nos pontos e B. 8

9 19) Um homem está parado de pé sobre uma mesa giratória que gira em torno de um eio vertical com uma velocidade angular constante = 10 rad/s. Se a roda que ele segura gira com velocidade angular constante ω s = 0 rad/s, determine a intensidade do momento que ele tem de eercer sobre a roda para segurá-la na posição mostrada. onsidere a roda como um aro circular fino (anel) tendo uma massa de kg e um raio médio de 00 mm. 9