Prof. A.F.Guimarães Questões Dinâmica 2 Atrito e Força Centrípeta

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1 Questão rof..f.guimarães Questões Dinâmica trito e Força Centrípeta (IT) Um automóvel se desloca sobre uma estrada, da direita para a esquerda, conforme as figuras a 4. s setas nas rodas indicam os sentidos das forças de atrito (sem relação com os módulos) exercidas sobre elas pelo chão: rodas de traseiras possuem tração e as rodas dianteiras não. Figura 3 II. s rodas dianteiras e traseiras possuem tração. ssim, ambas sofrem a reação do chão para a esquerda. Figura 4 III. O carro não traciona o chão para a direita. orém, o movimento do carro prossegue para a esquerda, enquanto o atrito entre os pneus e o chão atua nas rodas. Figura Figura Figura 3 Figura 4 ssocie os esquemas apresentados com os algarismos romanos de I a IV. I. Tração somente nas rodas dianteiras; II. Tração nas quatro rodas; III. Motor desligado (desacoplado); IV. Tração somente nas rodas traseiras. Figura I. s rodas dianteiras sofrem a reação do chão, devido ao atrito entre os pneus e o próprio chão, para a esquerda. Isso significa que elas tracionam (empurram) o chão para direita. Já as rodas de traseiras, são tracionadas para direita pelo chão. Isso significa que as rodas traseiras não possuem tração. Figura IV. De forma semelhante ao que ocorre no caso da figura, porém, de forma inversa. s Questão (FUVEST) Uma caixa vazia, pesando é colocada sobre uma superfície horizontal. o ser solicitada por uma força horizontal, começa a se movimentar quando a intensidade da força atinge 5 ; cheia d água, isso acontece quando a intensidade da força atinge 5. a) Qual a força de atrito em cada caso? b) Qual a quantidade de água? dote g m s. a) Com a caixa vazia, temos, na iminência do movimento: F F f 5. atd Com a caixa cheia, temos na iminência do movimento: F F f 5. atd f at f at

2 b) Com a caixa vazia, podemos encontrar o coeficiente de atrito de destaque. Como a força normal de contato com o chão é igual ao peso, temos: fatd µ 5 µ µ,5. O coeficiente de atrito não se altera pelo fato da caixa conter água. ssim, teremos: f atd µ 5,5. Mas, + H. O ssim, HO 9. Cerca de 9 kg (9 l) de água. Questão 3 (UCCM) Um corpo de massa 4, kg está sobre uma superfície horizontal com a qual tem coeficiente de atrito dinâmico,5. plica se nele uma força F constante, que forma com a horizontal um ângulo de 53, conforme a figura. Se o módulo de F é e a aceleração local da gravidade é m s, pode se concluir que a aceleração do movimento do corpo é, em m s : Dados: sen 53,8 e cos 53,6. F 53 odemos escrever: Logo, Como ssim, F Fsen53,8 6 F Fcos x 53,6. + F f µ, at Fr Fx fat a 3 a ms ms Letra. 4 6,5. Questão 4 (MCK) o sistema a seguir, o fio e a polia são ideais. o se abandonarem os blocos, vai do ponto M para o em,5 s. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície de apoio é: M 45cm ( ).,; ( ).,5; C( ).,75; D( ).,5; E( ).,5. f at F 53 F F x Dados: g m s, massa do bloco, 8 kg e massa do bloco, kg. ( ).,; ( ).,; C( ).,3; D( ).,4; E( ).,5. o ser abandonado, o bloco percorre um at espaço dado por: S vt+. Logo,

3 at S vt+ (, 5) a, 45 a, 4 m s. Essa é a aceleração do sistema. Essa aceleração é dada por Fr fat. ssim, Letra. Questão 5 ( ) m + m a f,4 µ 8 µ,. at (FUVEST) Um bloco de massa m, montado sobre rodas (para tornar o atrito desprezível), parte do repouso em e leva o tempo t para atingir. massa das rodas é desprezível. etirando se as rodas, verifica se que o bloco, partindo do repouso em, leva um tempo t para atingir. a) Determinar o valor de t. b) Determinar o valor do coeficiente de atrito entre o plano e o bloco (sem rodas), em função de α. a) Desprezando o atrito, o intervalo de tempo que o carrinho leva para descer vale: g g g senα α α H h h h H sen α H ( gsenα) t h t senα g b) Se o bloco parte do repouso, sem as rodas, ele desce com aceleração, dada por: ( t ) h a senα h a. senα t Utilizando a expressão de t, a aceleração será então dada por: / h gsen α gsenα a. senα / h 4 Como a força resultante é igual à componente x do peso menos a força de atrito. Teremos então: Questão 6 ma senα µ, cosα / gsenα m/ sen // α µ cos // α 4 3senα µ cosα 4 3tgα µ. 4 (IT) Dois blocos de massas m 3 kg e m 5 kg deslizam sobre um plano, inclinado de 6 com relação à horizontal, encostados um no outro, com o bloco acima do bloco. Os coeficientes de atrito cinético entre o plano inclinado e os blocos são µ c,4 e µ c,6, respectivamente para os blocos e. Considerando a aceleração da gravidade g m s, a aceleração a do bloco e a força F que o bloco exerce sobre o bloco são, respectivamente: ( ). 6, m s ;, ; 3

4 ( ).,46 m s ; 3, ; C( )., m s ; 7 ; D( ). 8,5 m s ; 6 ; E( ). 8,5 m s ; 4. mesma aceleração, ou seja, a a a. ssim, teremos: 8a 69,6 a 6 m s. Utilizando a equação para o bloco, teremos: 3 6, 6, 6 F F. 6 Letra. Questão 7 f at F (IT) Os blocos e da figura têm massas m. O coeficiente de atrito entre todas as superfícies é µ. força F imprime ao bloco da figura (I) velocidade uniforme. Calcule as relações F /F e F 3 /F, onde F é a força indicada na figura (II) e F 3 é indicada na figura (III), para que o bloco nessas figuras tenha velocidade constante. F f at (I) F (II) ara o bloco, teremos: F F f F r x at 3a 3sen6,4 3 cos6 F 3a 6, 6 F. (III) F 3 ara o bloco, teremos: F f + F 5a 5sen6,6 5 cos6 F 5a 43,5 5 + F. r x at + ara que os blocos e desçam encostados, se faz necessário que os dois blocos tenham a Figura (I): F fat Mas como a aceleração é nula, podemos escrever: 4

5 Figura (II): F fat µ gm. f at F T f at f at d D a F f + f, f µ, f µ T f at at at at at F 3µ Logo,, 5. F µ F 3 µ. ( ). a < (d/d) µg; ( ). a > (d/d) µg; C( ). a >µg; D( ). a > (D/d) µg; E( ). a > [D/(D d)] µg; Figura (III): f at F 3 f at f at T T d D a F3 4µ Logo,. F µ Questão 8 fat T µ F3 fat + fat + T F3 µ + µ + µ F 4 µ. 3 (IT) Um antigo vaso chinês está a uma distância d da extremidade de um forro sobre uma mesa. Essa extremidade, por sua vez, se encontra a uma distância D de uma das bordas da mesa, como mostrado na figura. Inicialmente tudo está em repouso. Você apostou que consegue puxar o forro com uma aceleração constante a (veja figura), de tal forma que o vaso não caia da mesa. Considere que ambos os coeficientes de atrito, estático e cinético, entre o vaso e o forro tenham o valor µ e que o vaso pare no momento que toca a mesa. Você ganhará a aposta se a magnitude da aceleração estiver dentro da faixa: 5 ara que o vaso não caia, enquanto a extremidade do forro percorrer D, o vaso percorrerá D d. ssim, teremos: at S D D t a Então, a aceleração do vaso será dada por: a D Svaso D d a ad a. D d Mas da força resultante no vaso, temos: F ma µ a µ g..

6 D Logo, a g. D d µ Letra E. Questão 9 (UICM) Uma bola de massa, kg, presa à extremidade livre de uma mola esticada de constante elástica k m, descreve um movimento circular e uniforme de raio r,5 m com velocidade v m s sobre uma mesa horizontal e sem atrito. outra extremidade da mola está presa a um pino em O, segundo a figura a seguir. O a) Determine o valor da força que a mola aplica na bola para que esta realize o movimento descrito. b) Qual era o comprimento original da mola antes de ter sido esticada? a) ara que a bola realize o movimento descrito, a mola exerce sobre a bola uma força elástica que aponta para o centro da trajetória do movimento. Essa força elástica proporciona para a bola, uma resultante centrípeta. Logo: mv Fel Fcp Fel,5 F. b) deformação da mola neste caso vale: el Fel kx x x, m. Logo, como o raio da trajetória vale,5 m, o comprimento original da mola é de,4 m. v 6 Questão (Un) Um disco gira em torno de seu centro, num plano horizontal, com uma velocidade angular 5 rad s. Um pequeno corpo de massa m é colocado a uma distância r cm do centro do disco. che o menor coeficiente de atrito entre as superfícies para o corpo não deslizar sobre o disco. força de atrito entre as superfícies deve ser a resultante centrípeta sobre o corpo de massa m. ssim, teremos: Questão f at F cp mv / µ /, v 5, µ g µ,5. (Un) O trecho mais baixo de uma montanharussa pode ser aproximado por um arco de circunferência de raio. Os ocupantes de um carrinho, ao passar por este trecho, sentem uma sensação de aumento de peso. valiam que, no máximo, o seu peso foi duplicado. Desprezando os efeitos de atritos, os ocupantes concluirão que a velocidade máxima atingida foi de: ( ). 3g ; ( ). 3 g ; C( ). g ; D( ). g ; E( ). g. o trecho mais baixo, a força normal de contato entre o ocupante com o acento do carrinho da montanha russa menos o peso do ocupante, será a resultante centrípeta. F, cp mv / / v g.

7 Letra E. Questão (MCK) a figura, o fio ideal prende uma partícula de massa m a uma haste vertical presa a um disco horizontal que gira com velocidade angular constante. distância do eixo de rotação do disco ao centro da partícula é igual a, 3 m. velocidade angular do disco é (g m s ) Questão 3 (FUVEST) Um carro percorre uma pista curva superelevada (tg θ,) de m de raio. Desprezando o atrito, qual a velocidade máxima sem risco de derrapagem? g m s 6 m θ ( ). 3 rad s ; ( ). 5 rad s ; C( ). 5 rad s ; D( ). 8 3 rad s ; E( ). rad s ; Vamos, a partir da resultante centrípeta, determinar as componentes da tração do fio. E com as componentes da tração, determinaremos a velocidade angular. ( ). 4 km h ; ( ). 48 km h ; C( ). 6 km h ; D( ). 7 km h ; E( ). 8 km h. ara que não ocorra risco de derrapagem, vamos considerar apenas as forças peso e normal de contato com a pista. Vamos decompor a força normal de contato com a pista e assim encontrar suas componentes. componente na direção horizontal será a resultante centrípeta e a componente vertical equilibrará o peso. 6 F cp T x T θ x Tx Fcp Tsen6 m T Tcos 6. Onde, 3 m e g m s. gora, dividindo a primeira equação pela segunda, e utilizando tg 6 3, teremos, então: Tsen / m/, 3 Tcos / m/ 6, rad s. Da figura podemos concluir que: mv x Fcp senθ cosθ. θ Onde m. gora dividindo a primeira equação pela segunda, e utilizando a tg θ, teremos, então: 7

8 mv / sen / θ v tg θ / cosθ m/, v v m s v km h 7. x Letra D. h α Questão 4 (IT) Uma massa pontual se move, sob a influência da gravidade e sem atrito, com velocidade angular em um círculo a uma altura h na superfície interna de um cone que forma um ângulo α com seu eixo central, como mostrado na figura. altura h da massa em relação ao vértice do cone é: Onde htgα. Dividindo a primeira equação pela segunda teremos: sen / α / gh tgα tg α, v cos / α mv / v gh / tg α g tg α h / htgα tg α Letra D. g h cotg α. g ( ). ; g ( ). senα ; g cotgα C( ). senα ; g D( ). cotg α ; E( ). Inexistente, pois a única posição de equilíbrio é h. Vamos determinar as componentes da força normal de contato nas direções horizontal e vertical. ssim, teremos: senα α h mv x Fcp cosα. 8 Questão 5 (IT) Um aro metálico circular e duas esferas são acoplados conforme ilustra a figura abaixo. s esferas dispõem de um furo diametral que lhes permite circular pelo aro sem atrito. O aro começa a girar, a partir do repouso, em torno do diâmetro vertical EE, que passa entre as esferas, até atingir uma velocidade angular constante. Sendo o raio do aro, m a massa de cada esfera e desprezando se os atritos, pode se confirmar que: E m m E ( ). s esferas permanecem na parte inferior do aro porque esta é a posição de mínima energia potencial. ( ). s esferas permanecem a distâncias r de EE tal que, se θ for o ângulo central cujo vértice é o centro do aro e cujos lados passam pelo centro das esferas na posição de equilíbrio

9 estável, então tg θ, estando as esferas g abaixo do diâmetro horizontal do aro. C( ). s esferas permanecem a distâncias r de EE tal que, se θ for o ângulo central cujo vértice é o centro do aro e cujos lados passam pelos centros das esferas na posição de equilíbrio r estável, então tg θ, estando as esferas g acima do diâmetro horizontal do aro. D( ). s alternativas () e (C) anteriores estão corretas. E( ). posição de maior estabilidade ocorre quando as esferas estão nos extremos de um mesmo diâmetro. ara uma posição de equilíbrio estável, teremos que, as componentes da força normal de contato nas esferas, nas direções vertical e horizontal, respectivamente, resultam no equilíbrio com o peso e na resultante centrípeta nas esferas. ssim, teremos: E r baixo. Dessa forma, a componente vertical não se equilibraria com o peso. Letra. Questão 6 (IME) Uma mesa giratória tem velocidade angular constante, em torno do eixo. Sobre esta mesa encontram se dois blocos, de massas m e M, ligados por uma corda inelástica que passa por uma roldana fixa à mesa, conforme a figura a seguir. Considerando que não existe atrito entre a mesa e o bloco M, determine o coeficiente de atrito mínimo entre os dois blocos para que não haja movimento relativo entre eles. Considere d a distância dos blocos ao eixo de rotação. Despreze as massas da roldana e da corda. Dado: M>m M m d x Fcp senθ m r cosθ. θ r E x T f atmm T M m f atmm Onde r senθ. gora dividindo a primeira equação pela segunda, teremos então: sen / θ m/ r cos / θ / r tg θ. g Como não deve haver movimento relativo entre as massas m e M, os dois blocos são submetidos à mesma aceleração centrípeta, dada por: a cp d v d d. cima da horizontal, a força normal de contato nas esferas estaria apontando na diagonal para 9

10 Onde v é a velocidade linear dos centros dos objetos com relação ao eixo. ssim, para os corpos, teremos: F T + f Ma T + µ cpm atmm cp F T f ma T µ. cpm atmm cp Vamos multiplicar a segunda equação por e somá las. ssim, teremos: Macp T + µ macp T + µ ( M ma ) cp µ ( M m) d µ.