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Transcrição

1 ffω Ψ Φ P3 ' F sica $ Escola Politécnica & FGE GABATO DA P3 % 1 e julho e 2004 ff Ω Ψ Φ uest~ao 1 Consiere um toróie e seοc~ao quaraa e lao a e raio interno, conforme a figura, que possui N espiras enrolaas, e por a one passa uma corrente. Ele se encontra no vácuo. (1,0 ponto) (a) Calcule o vetor campo magnético no interior o toróie ( ~ B 0 ) e o coeficiente e auto-inut^ancia L. Agora, o toróie é preenchio com um material e suscetibiliae magnética χ m. (0,5 ponto) (b) Determine o vetor intensiae magnética ~H no interior o toróie. (0,5 ponto) (c) Determine o campo magnético ( ~ B) no interior o toróie na presenοca o material. (0,5 ponto) () Determine o vetor magnetizaοc~ao ~M no material.

2 Soluοc~ao (a) O campo ~B 0 em um ponto entro o solenóie epene, aproximaamente, apenas a ist^ancia r entre este ponto e o centro o solenóie. Fora o solenóie o campo é aproximaamente nulo. Usano a lei e Amp ere e escolheno para o caminho C um c rculo e raio r, conc^entrico com o toróie, obtemos: C ~B 0 ~` =2ßrB 0 = μ 0 N =) ~B 0 = μ 0N 2ßr ^ z r a O fluxo através e uma espira é Φ (1) = A auto-inut^ancia é aa por Z ~B 0 ~S = μ 0N 2ß L = NΦ(1) +a Z = μ 0N 2 a 2ß (b) O vetor intensiae magnética é ao por a 1 r ar μ 0Na = 2ß `n + a `n + a ~H = ~B 0 μ 0 = N 2ßr ^ (c) O campo ~B entro o material é () A magnetizaοc~ao entro o material é ~B = μ ~H = μ 0 (1 + χ m ) ~H =(1+χ m ) ~B 0, ~ B = μ 0 (1 + χ m ) N 2ßr ^ ~M = χ m ~H = χ mn 2ßr ^

3 ffω Ψ Φ uest~ao 2 Consiere um capacitor e placas paralelas e área A separaas por uma ist^ancia 3. Uma chapa metálica e espessura, área A e carga nula é inseria entre as placas, conforme a figura. _ + metal As placas o capacitor possuem cargas + e istribuias uniformemente. (0.5 ponto) (a) Determine a istribuiοc~ao e carga na chapa metálica. Justifique sua resposta. (0.5 ponto) (b) Determine o vetor campo elétrico nas regi~oes, e, conforme a figura. (0.5 ponto) (c) Determine a iferenοca e potencial elétrico entre as placas o capacitor. (0.5 ponto) () Determine a capacit^ancia o sistema.

4 Soluοc~ao (a) Para que o campo elétrico no interior o conutor seja nulo, a carga inuzia na superf cie superior a chapa eve ser igual a + e a carga inuzia na superf cie inferior eve ser igual a, ambas uniformemente istribuias. (b) O campo elétrico no capacitor plano poe ser calculao com a Lei e Gauss e vale E = ffl 0 A ; entro o capacitor, e E = 0, fora ele. As istribuiοc~oes e carga nas superf cies a placa metálica criam um campo igual e oposto ao o capacitor e moo que o campo entro a placa é zero. + E = z^ ε o A E = 0 E = z^ ε o A γ (c) A iferenοca e potencial é (veja a figura) V = Z fl ~E ~` = ffl 0 A +0+ ffl 0 A 2 = ffl 0 A () A capacit^ancia é aa por C = ffl 0A ffl 0A V = 2 = 2

5 ffω Ψ Φ uest~ao 3 Consiere o circuito representao na figura abaixo, one L, C e s~ao a inut^ancia, a capacit^ancia e a resist^encia os iferentes componentes. A e B s~ao uas chaves que servem para abrir ou fechar o circuito. L C + 0 _ 0 A B No instante t = 0 o capacitor está carregao com carga 0. A chave B está aberta e a chave A é ent~ao fechaa. (0.5 ponto) (a) Escreva a equaοc~ao iferencial que representa o circuito fechao, em termos a carga na placa superior o capacitor ((t)). (1.0 ponto) (b) ual é a express~ao a carga em funοc~ao o tempo e em termos e 0, L e C? Agora, no instante t =2ß p LC achave A é aberta e a B éfechaa. (0.5 ponto) (c) Escreva a equaοc~ao iferencial que representa o circuito fechao. (0.5 ponto) () Determine a carga na placa superior o capacitor ((t)) em funοc~ao o tempo.

6 Soluοc~ao (a) A equaοc~ao o circuito é L t = C Para o capacitor escarregano = =t. Assim, 2 t 2 +!2 0 =0;! 2 0 = 1 CL (b) A soluοc~ao geral a equaοc~ao acima é = Acos(! 0 t + ffi) =) = =t = A! 0 sen(! 0 t + ffi) No instante t =0, (0) = Acos(ffi) = 0 e (0) = A! 0 sen(ffi) =0 Portanto, ffi =0,A = 0 e = 0 cos(! 0 t) (c) Para o circuito C temos = C No instante t = 2ß p LC = T (um per oo) o capacitor está novamente com a carga máxima 0. Com o capacitor escarregano = =t e t = C =) t = 1 C () A equaοc~ao acima poe ser integraa = 1 C t =) Z 0 = Z t T =) (t) = 0 e (t 2ßp LC)=C 1 C t =) `n = 1 0 C (t T )

7 ffω Ψ Φ uest~ao 4 Um solenóie ieal com i^ametro D e comprimento L possui N 1 espiras. Um anel e raio a, formao por N 2 espiras é posicionao e moo que seu eixo seja coinciente com o o solenóie. A resist^encia este anel ée 2 ohms. (1,0 ponto) (a) Determine a mútua inut^ancia M 12 o sistema quano a>d=2 e quano a<d=2. (1,0 ponto) (b) Uma corrente 1 (t) = 0 cos(!t) é passaa pelo solenóie. Determine a corrente inuzia na espira quano a>d=2. (1.0 ponto) (c) No caso o item b, se oeixooanel for eslocao e uma ist^ancia <(a D=2) paralelamente ao eixo o solenóie, haverá muanοca na corrente inuzia no anel? Justifique sua resposta em termos a lei e Faraay. Soluοc~ao N 2 a D/2 e^ z L, N

8 (a) Campo o solenóie: ~B = μ 0 N 1 L ^e z Fluxo através as N 2 espiras Φ=B (área e uma espira) N 2 Logo N 1 Φ a<d=2 = μ 0 L N 2 ßa 2 N 1 D Φ a>d=2 = μ 0 L N 2 ß 2 M 12 (a<d=2) = Φ = μ 0N 1 N 2 L M 12 (a>d=2) = Φ μ 0N = 1 N 2 ß L 2 ßa 2 D 2 4 (b) Usano a lei e Faraay " = Φ t = M 12 t e anel = " 2 Como t =! 0sen(!t) teremos anel (t) = μ 0N 1 N 2 L 2! 0 D 2 4 sen(!t) (c) Como < [a D=2] o fluxo gerao pelo solenóie no anel n~ao sofrerá alteraοc~ao com respeito ao caso o item b, logo (t) n~ao se alterará. a D/2