(b) lim. n 3 2. (e) lim

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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LEGM, LET, MEC o SEM. 008/09 6 a FICHA DE EXERCÍCIOS I. I. Derivação Logarítmica. Calcule f (), sempre que eista, nos casos em que a função f é definida pela epressão: (a) f() = log (b) f() = 3 (c) f() = 5 / (d) f() = / (e) f() = (f) f() = log (g) f() = (log ) (h) f() = / (i) f() = e ( + ) 0 (j) f() = sen tan 4 (k) f() = 4 + ( + ) (l) f() = sen (m) f() = (sen ) (n) f() = e (o) f() = (log ) cos II. Somas de Riemann. ) Calcule os seguintes limites. Comece por identificar a soma com uma soma de Riemann f( i ) i associada a uma partição de [0, ] em n intervalos iguais. (a) lim (d) lim i n 3 n i + n (b) lim (e) lim i n 3 i=n+ i (c) lim (f) lim i n n n i ) A tabela seguinte mostra os resultados de medições da velocidade v(t) duma partícula: t v(t) Use somas de Riemann para estimar a distância percorrida pela partícula de t = 0 até t =. 3) A largura duma certa piscina foi medida de em metros chegando-se aos valores indicados na figura. Use somas de Riemann para estimar a área da piscina. 4) Calcule o volume duma pirâmide de vértices (,, 0), (,, 0), (,, 0), (,, 0) e (0, 0, ).

2 CDI I - LEGM, LET, MEC SEM. 008/09 FICHA 6 5) A taa de natalidade numa certa cidade foi de 6 + t milhares de nascimentos por ano, em que t é o número de anos desde 970. (a) Estime através dum integral, o número de nascimentos entre 970 e 990. (b) Sabendo que a taa de mortalidade foi de 5+ t mil por ano desde 970, e que a população da cidade em 970 era de 375,000 habitantes, estime o valor da população em ) A ponte 5 de Abril tem duas torres distando cerca de 000 metros uma da outra, entre as quais estão suspensos dois cabos grossos paralelos. Destes cabos saem, de 0 em 0 metros, cabos mais finos que seguram o tabuleiro da ponte. Assumindo que a distância vertical dos cabos grossos à ponte é dada por h() = 000, use um integral para estimar o comprimento total de cabos finos usados entre as duas torres. 7) Uma chapa metálica fina foi cortada na forma da região R = { (, y) R : + y, } Calcule a massa da chapa sabendo que a densidade é dada por ρ(, y) = (gramas/cm ). Sugestão: divida a região em faias verticais. 8) Calcule o volume da pirâmide triangular comvértices nos pontos (0, 0, 0), (, 0, 0), (0,, 0) e (0, 0, ). 9) A densidade (em g/cm ) dum disco de raio 5 é dada por ρ() = 5 em que é a distância ao centro do disco. Calcule a massa do disco. Sugestão: divida o disco en aneis concêntricos de modo que a densidade seja aproimadamente constante em cada anel. 0) Calcule o volume do sólido obtido fazendo um buraco cilíndrico de raio 3 pelo centro duma esfera de raio 5. ) Assumindo que a taa de evaporação da água num recipiente é proporcional à área da superfície da água mostre que o nível de água diminui a um ritmo constante, independentemente da forma do recipiente. ) Sabendo que começa a chover em t = 0 e que a quantidade de chuva a cair, passadas t horas, é dada pela epressão (t + 6)/6 centímetros por hora, calcule a quantidade de chuva (em centímetros) que cai nas primeiras horas.

3 CDI I - LEGM, LET, MEC SEM. 008/09 FICHA 6 3 III. Regra de Barrow e Cálculo de Áreas. ) Determine a área da região plana D R limitada pelas curvas y = e, y = e =. ) Determine a área da região plana D R limitada pelas curvas y = e, y = + e =. 3) Determine a área da região plana D R limitada pelas curvas y = e, y = e = 0. 4) Determine a área da região plana D R limitada pelas curvas y = ( )e, y = e =. 5) Determine a área da região plana D R limitada pelas curvas y = log, y = e y =. 6) Determine a área da região plana D R limitada pelas curvas y = log( + ), y = log( + ) e = e. 7) Determine a área da região plana D R limitada pelas curvas y = log( + ), y = log( + ) e = e. 8) Determine a área da região plana D R limitada pelas curvas y = π e y = cos. 4 9) Determine a área da região plana D R limitada pelas curvas y =, y = e y =. 0) Determine a área da região plana D R limitada pelas curvas y = e, y = e e =. ) Determine a área da região plana D R limitada pelas curvas y = log( + ) e y = log(). ) Determine a área do conjunto dos pontos (, y) R cujas coordenadas verificam 0 π e 0 y sen. 3) Determine a área do conjunto dos pontos (, y) R cujas coordenadas verificam 0 π e 0 y cos.

4 4 CDI I - LEGM, LET, MEC SEM. 008/09 FICHA 6 4) Determine a area do conjunto dos pontos (, y) R cujas coordenadas verificam e e 0 y ( + log ()). 5) Determine a área do conjunto dos pontos (, y) R cujas coordenadas verificam e e 0 y. log () 6) Determine a área do conjunto dos pontos (, y) R cujas coordenadas verificam 3 0 e 0 y. + 7) Determine a área do conjunto dos pontos (, y) R cujas coordenadas verificam 3 0 e 0 y ) Determine a área do conjunto dos pontos (, y) R cujas coordenadas verificam 0 e 0 y ( + ) +. 9) Determine a área do conjunto dos pontos (, y) R cujas coordenadas verificam e 0 y ( + 3) +. 0) Determine a área do conjunto dos pontos (, y) R cujas coordenadas verificam 0 e 0 y ( + ) +. ) Determine a área do conjunto dos pontos (, y) R cujas coordenadas verificam 0 log e 0 y + e. ) Determine a área do conjunto dos pontos (, y) R cujas coordenadas verificam 0 log e 0 y 3 e.

5 CDI I - LEGM, LET, MEC SEM. 008/09 FICHA 6 5 IV. Primitivas de funções racionais. Determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções: ) ( + )( ) 4) 5 7) ) ( )( + ) 3 3) ( )( + ) + 3 6) ( + ) ( 3) 9) ) 5) 8) ) 5) + + 8) ( )( + ) ) ) ( 4)( + ) 7) 4 3) 6) ) (4 )( + ) + ) ( ) 5) ( + )( ) 8) + + 0) + ) ( + 3)( ) 4 ( + )( + 3) ( )( + ) ) 6) 9) + (4 )( + ) ( )( + ) ) 7) 30) ( )( + + ) ( + )( + ) + ( + )( + 3) ( + )( + + ) V. Mais primitivação por substituição. Usando a substituição indicada, determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções: 5 ) ( + )( + ), = t ), = t 3) ( ), = t 4) ( + ) + 3, + 3 = t 5) 7) 9) ( + 3) +, + = t 6) +, + = t 8) + 3, = t6 + +, + = t 3 ( ), = t3 0) +, t = +

6 6 CDI I - LEGM, LET, MEC SEM. 008/09 FICHA 6 ) +, t = + 3) ) + e, t = + e 4) + e, t = e e (e )( + e ), t = e e 4 5) e +, t = e 6) ( + log ()), t = log log 7) (log() ), t = log 8) log ( log ), t = log cos 9) 4 + sen (), t = sen 0) cos + sen (), t = sen sen ) 4 + cos (), t = cos ) sen + cos (), t = cos cos 3) + sen cos (), t = sen 4) sen + cos sen (), t = cos sen() 5) ( sen ) cos (), t = sen 6) sen() cos( + cos ()), t = cos 7) cos, t = sen() 8) sen, t = cos() 9) cos( sen ), t = sen() 30) sen ( + cos), t = cos() 3) cosh, t = senh() 3) senh, t = cosh() tan 33), t = tan 34) + tan + tan, t = tan 35) +, = tan t 36) +, = senh t 37), = 38) cost, = cosh t 39), = sen t 40), = sen t 4), t = 4) +, t = + 43) +, = tant 44) +, = senh t 45), t = 46), = cos t 47), = cosh t 48), = sen (t) ( )