Curso: SUPERCONDUTIVIDADE: uma introdução

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1 IX a. ECOLA DO CBPF 16 7 de Julho de 1 Cuso: UPERCONDUTIVIDADE: uma intodução Pof.: Paulo Pueu Texto coespondente à 3 a. Aula (19/7/1) Capítulo 3. 1

2 Capítulo 3. TEORIA DE GINZBURG - LANDAU 3.1. INTRODUÇÃO A mais bem sucedida descição macoscópica de supecondutividade foi intoduzida po Vitaly Ginzbug e Lev Landau em 195. Esta descição, que é chamada de teoia Ginzbug-Landau, ou simplesmente teoia G-L, deiva da descição poposta po Landau paa as tansições de fase de segunda odem. O modelo de Landau se fundamenta na hipótese da existência de uma vaiável temodinâmica, denominada paâmeto de odem, que caacteiza o estado odenado de baixas tempeatuas. O paâmeto de odem tende a zeo continuamente quando a tempeatua cesce e se apoxima da tempeatua cítica. Tata-se de uma descição do tipo campo-médio que poduz esultados muito bons no caso da tansição supecondutoa. A teoia G-L foi desenvolvida antes da teoia micoscópica. Poém, L. Gokov (1959) demonstou que, em cetos limites de tempeatua e campo magnético, as equações da teoia G-L podem se deivadas a pati da teoia micoscópica. Como veemos, a teoia G-L tem gande valo peditivo e é paticulamente útil ao elaciona os compimentos caacteísticos (compimento de penetação e compimento de coeência) com as divesas popiedades do estado supeconduto. 3.. O PARÂMETRO DE ORDEM UPERCONDUTOR O aspecto cental da teoia G-L é a noção de paâmeto de odem supeconduto. Este conceito tem oigem na poposta da teoia de London que consiste em caacteiza o estado supeconduto como um estado quântico macoscópico, no qual a densidade de supepatículas, n, está associada ao compimento de penetação, tal como expesso pela equação (.1). Ginzbug e Landau genealizaam esta noção intoduzindo um paâmeto de odem complexo, ψ ( ), tal que ψ ( ) epesenta a densidade local de supepatículas; ou seja ψ ( ) n ( ) (3.1)

3 Potanto, de acodo com a equação (.1), ψ ( ) deve decesce continuamente a zeo quando a tempeatua cesce e se apoxima de T c, onde λ L se tona infinito. Além de depende da posição e da tempeatua, ψ ( ) também deve vaia em esposta a campos eletomagnéticos aplicados. Emboa, igoosamente, ψ ( ) deva se tatado como um paâmeto de odem (tal como, po exemplo, o é a magnetização de um sistema feomagnetico) esta quantidade se apesenta, em cetos aspectos, como uma pseudo função de onda, ou uma função de onda macoscópica paa os elétons supecondutoes. Os tabalhos de Gokov contibuiam paa o desenvolvimento desta intepetação, pois ψ ( ) pode se elacionada, em ceta medida, à (vedadeia) função de onda de um pa de Coope. Como todos os paes de Coope condensam no mesmo estado, que assume dimensão macoscópica, uma única função de onda é suficiente paa descevê-los em conjunto A ENERGIA LIVRE G-L NA AUÊNCIA DE CAMPO MAGNÉTICO A Expessão da Enegia Live As vaiações de ψ ( ) são deteminadas pela minimização da enegia live de Helmholtz, cuja expessão é a vesão supecondutoa da expansão em séie de potências do paâmeto de odem da teoia de Landau paa as tansições de fase de segunda odem. Empegando a notação usual, na ausência de campos magnéticos aplicados a densidade de enegia live G-L é escita como β 4 f ( ψ, T ) f N ( T) + α( T) ψ + ψ + γ ψ, (3.) onde f N (T ) efee-se ao estado nomal e α, β, γ são paâmetos fenomenológicos. Esta expessão se justifica em situações em que ψ é pequeno, como nas vizinhanças da tempeatua cítica. Nestas cicunstâncias é aceitável o desenvolvimento da expessão paa a enegia live numa séie de potências em ψ, com a etenção, apenas, dos temos de mais baixa odem. Na expansão devese exclui o temo popocional a ψ, pois este impediia que o estado com paâmeto de odem nulo (fase nomal) seja um estado de equilíbio. O temo cúbico no módulo do paâmeto de odem é elevante na descição de tansições de 3

4 fase de 1a. odem, o que não é o caso da tansição supecondutoa discutida aqui. Po outo lado, a intodução do temo popocional a ψ visa efleti a penalização em enegia live causada pela vaiação espacial de ψ ( ). Obsevamos que f não deve depende de ψ se estivemos tatando de sistemas isotópicos. Notamos também que a inclusão de um temo em ψ, que seia de mesma odem que o teceio temo em (3.), é de fato supéflua, pois numa integação em volume da densidade de enegia live, 3 F ( ψ, T) f ( ψ, T ) d, (3.3) um tal temo se tonaia, pelo teoema da divegência, num temo de supefície somado a um temo popocional a ψ, o qual já está incluido na expessão (3.). Paa sistemas suficientemente gandes, as contibuições de supefície paa a enegia live F podem se despezadas Popiedades de Equilíbio Consideemos inicialmente o caso de um sistema homogêneo em que não haja gadientes do paâmeto de odem. O estado de equilíbio é então dado pela minimização da densidade de enegia live, que é obtida de f s αψ + β ψ ψ 3 (3.4) As soluções são ψ e ψ α β (3.5) O tipo de solução que pocuamos é a que fonece ψ paa T > Tc e ψ paa T < Tc. Então, ( α β ) deve se positivo abaixo de T c, nulo em T T c e negativo (não-físico) acima de T c. Em ega, supõe-se que β é uma constante positiva. Potanto, é necessáio que α(t) mude de sinal em T c. Acima de T, α deve se positivo paa que o mínimo de f s ocoa em ψ, o que c coesponde ao estado nomal. Abaixo de T c, α deve se negativo paa que uma solução com ψ favoeça a enegia live do estado supeconduto em elação 4

5 à do estado nomal. Fazendo uma expansão de α(t) em tono de T c e consevando apenas o temo de mais baixa odem, obtemos α T) α ( T T ). (3.6) ( c como Desta foma, na ausência de gadientes, a expansão (4.) pode se escita β 4 f f N α ( T Tc ) ψ + ψ, (3.7) e seu compotamento acima e abaixo de T c está esquematizado na figua 4.1. Os estados de equilíbio seão ψ paa T > Tc e ψ ψ ( α / β )( T T c ) paa T < Tc. Coelacionando este esultado com a densidade de supepatículas da teoia de London atavés da equação (3.1), notamos que o compimento de penetação divege em T c de acodo com 1/ λ L ( T c T ). (3.8) As densidades de enegia live de equilíbio seão e f f f ( T > T ) c (3.9.a) N α β α ( β β f N + α T Tc ) ( T Tc ) + ( T Tc ) α f N ( T Tc ) ( T < T β c ). (3.9.b) 5

6 Figua 3.1: Densidade de enegia live G-L do estado supeconduto efeida à enegia live do estado nomal. Os pontos indicam as posições de equilíbio ψ no estado nomal e ψ ( α β )( ) 1 T T c no estado supeconduto. A difeença ente as densidades de enegia live no estado nomal e no estado supeconduto pemite estima o campo cítico H c. Quando o campo atinge este valo, a enegia live ganha pelo sistema atavés do pocesso eletônico de condensação ao estado supeconduto estaá exatamente compensada. Então, usando a equação (3.9.b) podemos esceve α H ct, (3.1) β 1 f N f ( T Tc ) µ onde a notação H ct é usada paa expessa o campo cítico temodinâmico, que no caso dos supecondutoes do tipo I é idêntico a H c. Nos sistemas do tipo II, H ct também pode se definido atavés da equação (3.1), mas não coesponde a H c1 nem a H c. De acodo com a equação (3.9.b), a difeença ente as densidades de entopia seá s s N α ( T β c T ), (3.11) o que significa que a existência de um paâmeto de odem não-nulo no estado supeconduto efetivamente poduz uma diminuição na entopia do sistema. Obseva-se também que não ocoe descontinuidade na entopia em T Tc. Potanto, não há calo latente e a tansição é de a. odem. No entanto, o calo 6

7 específico mostaá uma descontinuidade em deduzimos T Tc, pois da equação (3.11), α [ c cn ] Tc. (3.1) T Tc β Na figua 3. são mostadas a densidade de enegia live, a entopia e o calo específico nas poximidades de T c, tal como pevisto pela teoia G-L. Figua 3.: Densidade de enegia live(a), entopia(b) e calo específico(c) nas poximidades de T c segundo a teoia G-L Paâmeto de Odem Dependente de Posição: Compimento de Coeência Reconsideemos a densidade de enegia live dada pela equação (3.) e suponhamos que o paâmeto de odem ψ() efetivamente dependa da posição. Assim como β, o coeficiente γ da equação (3.) pode se tomado como uma constante positiva, pois haveá um custo enegético paa faze o paâmeto de odem vaia ao longo da amosta. Num vedadeio tou de foce de intuição física, Ginzbug-Landau popuseam que h γ (3.13) m onde m é a massa das supepatículas. A justificativa da escolha epesentada pela igualdade (3.13) foi feita po Gokov, em 1959, ao demonsta a fundamentação da teoia G-L a pati da teoia micoscópica. 7

8 A condição de estabilidade da teoia G-L deiva da minimização da enegia live (3.) em elação ao paâmeto de odem, tal como se havia feito no caso simples da equação (3.4). e fizemos F ψ 3 f d ψ, (3.14) obtemos a equação: h m ψ + β ψ ψ αψ, (3.15) a qual lemba a equação de chödinge, na qual o paâmeto de odem desempenha o papel de função de onda. Po esta azão, ψ é também chamada de função de onda macoscópica, ou pseudo-função de onda. Devemos, no entanto, atenta paa o fato de que a expessão (3.15) epesenta uma equação difeencial de a. odem não-linea, pois o temo que desempenha o papel de potencial, β ψ, depende da solução. Potanto, não é válido o pincípio de supeposição paa ψ. Ademais, ψ não é nomalizável, pois ψ não é uma distibuição de pobabilidade. Assim, estitamente, ψ ( ) é uma vaiável temodinâmica que otula os possíveis estados de equilíbio do sistema e suas enegias lives. A equação (3.15) pode se eescita como h m α + β ψ α + 1 ψ, (3.16) a qual mosta que a quantidade (-h / m α ) possui a dimensão de um compimento ao quadado. Paa intepeta o significado físico deste compimento suponhamos que o paâmeto de odem possa se escito como ψ f, onde ψ α / β e f é eal. Tatando o poblema em uma dimensão, a equação (3.16) se tona ψ h d m α dx f f 3 + f, (3.17) a qual mosta que a escala natual paa a vaiação de f é o compimento 8

9 ( ) h ξ T m α 1/. (3.18) Este compimento caacteístico é chamado de compimento de coeência G-L. Obsevamos que ξ(t) não é o mesmo compimento de coeência de Pippad, ξ, definido pela equação (.7). De fato, ξ é essencialmente constante com a tempeatua, ao passo que, segundo a equação (3.18), notamos que ξ(t) divege em T T como c 1/ ( T T ) ξ ( T ) ~ (3.19) c Em tempeatuas póximas ao zeo absoluto pode-se mosta, com o auxílio da teoia micoscópica, que ξ ξ, onde ξ é da odem do compimento de coeência de Pippad. Em temos de ξ(t), a equação (3.17) toma a foma d f 3 ξ ( T) f + f. (3.) dx upondo que f(x) 1 + φ(x), onde φ(x) << 1, obtemos uma foma lineaizada da equação (3.), ou seja, ou ainda, cuja solução é ξ d φ dx ( 1+ 3φ +...) + ( 1+ φ) d φ φ, ξ dx φ ( x) ~ e x ± ξ. (3.1) A equação (3.1) mosta que um pequeno distúbio no paâmeto de odem decai num compimento caacteístico da odem de ξ(t), o qual fonece a escala típica de vaiação espacial do paâmeto de odem. 9

10 3.4. A ENERGIA LIVRE G-L NA PREENÇA DE CAMPO MAGNÉTICO A Expessão da Enegia Live na Pesença de Campo As modificações na equação (3.) paa a densidade de enegia live G-L devido à pesença de um campo magnético devem se feitas com cuidado, pois a indução magnética local B mic ( ) deve se consideada como a soma do campo aplicado com a magnetização poduzida pelas supecoentes js. Ademais, a pesença de um campo magnético implica na substituição h h e A, (3.) i i e deve-se cuida paa que a teoia seja invaiante fente a uma tansfomação de calibe no potencial veto. Desta foma, a densidade de enegia live (3.), na pesença de campo magnético, deve se escita como: f s N. (3.3) m i β 4 1 h 1 ( ψ, T, h) f ( T ) + αψ + ψ + e A ψ + µ h ( ) Podemos tona mais tanspaente o efeito do campo magnético na densidade de enegia live escevendo o paâmeto de odem (complexo) como ψ (3.4) iθ ( ( ) ψ ( ) e ). Então, o temo que envolve o gadiente e o potencial veto em (3.3) tonase 1 m h i [ h ( ψ ) + ( h θ e A) ψ ] 1 e A ψ. (3.5) m O temo ente paênteses no segundo membo da igualdade acima fonece a enegia associada com a vaiação espacial do paâmeto de odem na pesença do campo, e pode se intepetado como a enegia cinética das supepatículas, pois 1

11 1 m vs 1 m ( p e A) s (3.6) As Equações de Ginzbug-Landau A equação (3.15) é a pimeia equação G-L na ausência de campo aplicado e é obtida da minimização da enegia live G-L em elação à vaiação do paâmeto de odem. Na pesença de campo, a equação (3.15) é modificada simplesmente aplicando-se a tansfomação quanto-mecânica expessa pela equação (3.). Assim, 1 h e m i A ψ + β ψ ψ αψ (3.7) é a foma completa da 1 a equação G-L, que desceve a vaiação de ψ() no inteio de uma amosta supecondutoa, uma vez conhecido o potencial veto A. Esta equação deve se suplementada com condições de contono apopiadas paa ψ, as quais em geal são elacionadas ao valo, ou à vaiação, do paâmeto de odem na supefície da amosta. A segunda equação G-L é obtida da minimização da enegia live com elação às vaiações de A e fonece a densidade de supe-coente, e h e ( ψ ψ ψ ψ ) ψ A (3.8) m i m j s As equações (3.7) e (3.8) são as célebes equações de Ginzbug-Landau, que fomam um sistema de duas equações difeenciais acopladas que devem se esolvidas simultaneamente. A pimeia equação assemelha-se fomalmente à equação de chödinge e fonece o paâmeto de odem. A segunda equação fonece as coentes, ou seja a esposta diamagnética do supeconduto fente à aplicação do campo magnético. A equação (3.8) é idêntica à expessão quantomecânica usual paa a densidade de coente associada à patículas de caga e, massa m e função de onda ψ ( ) na pesença de um campo eletomagnético epesentado pelo potencial veto A. Enquanto a 1 a equação está associada ao compimento de coeência, a a equação, como veemos na póxima secção, está associada ao compimento de penetação de London. 11

12 A Obtenção da Equação de London A equação (3.8) expessa uma esposta eletodinâmica de natueza local: j s ( ) depende dos valoes de ψ, ψ e A no ponto. uponhamos que o paâmeto de odem ψ ( ), dado pela expesão (3.4), tenha amplitude constante e dependa da posição apenas atavés de uma fase θ ( ). Nestas cicunstâncias, a equação (3.8) toma a foma j s e h θ e A ψ m m. (3.9) Aplicando o opeado otacional a ambos os membos da equação acima e lembando que o otacional de um gadiente é nulo, obtemos j s e ψ A, (3.3) m que epoduz a equação de London (.9) se intepetamos ψ como a densidade local de supepatículas, tal como expesso pela equação (3.1). É, potanto, evidente que o compimento de penetação de London está associado à a equação G-L. Em paticula, no calibe de London, a equação (3.9) deve se eduzi à equação (.19). Isto significa que, nesta apoximação, tanto a amplitude quanto a fase do paâmeto de odem são independentes da posição O PARÂMETRO DA TEORIA G-L É possível estima os paâmetos caacteísticos da teoia de Ginzbug- Landau a pati de quantidades detemináveis expeimentalmente. Assim, lembando a definição do compimento de penetação de London, dada pela equação (.1), podemos esceve ψ m λ L µ e ( ), (3.31) já que identificamos a densidade de supepatícula paâmeto de odem. Lembando também que pela equação (3.5), e que obtemos ( ) calcula n com o módulo quadado do s ψ α H ct β, tal como expesso α T β µ da equação (3.1), podemos 1

13 e α( T ) µ H ct ( T ) λl ( T ). (3.3) m Fazendo consideações similaes, obtemos β e ct L (3.33) m 3 4 ( T ) µ H ( T ) λ ( T ) Com o auxílio da equação (3.3) podemos também eesceve a expessão (3.18) paa o compimento de coeência, obtendo ( T ) h. (3.34) µ e H ( T ) ( T ) ξ ct λ L Este esultado é gealmente expesso em temos do quantum de fluxo magnético paa os supecondutoes, φ h h. (3.35) e e Então, eescevemos o compimento de coeência (3.34) como ξ ( T ) φ. (3.36) π µ H ( T ) ( T ) ct λ L Esta equação expessa uma inteessante elação ente os dois compimentos caacteísticos do estado supeconduto e o campo cítico temodinâmico, ou seja H φ ξ. (3.37) ( T ) ( T ) λ ( T ) cte ct L π µ Como veemos posteiomente, é também útil a intodução do (célebe) paâmeto de Ginzbug-Landau, κ, que é definido como a azão dos dois compimentos caacteísticos, ( T ) ( ) λl κ. (3.38) ξ T 13

14 As equações (3.8) e (3.19) mostam que os compimentos de penetação e de coeência divegem da mesma foma em T T. Potanto, espea-se, teoicamente, que o paâmeto κ não apesente qualque anomalia em T c. De fato, veifica-se expeimentalmente que κ depende muito facamente da tempeatua e, paa a maioia dos efeitos páticos, pode se consideado como uma constante. c 4.6. EXEMPLO DE APLICAÇÃO DA TEORIA G-L: A QUANTIZAÇÃO DO FLUXO MAGNÉTICO NUM ANEL UPERCONDUTOR Paa ilusta a aplicação das equações G-L num exemplo conceto, escolhemos um casos simples em que a amplitude do paâmeto de odem não vaia com a posição na amosta. Esta aplicação mosta que o fluxo magnético atavés de um supeconduto multiplamente conectado deve se quantizado. Consideemos uma amosta na foma de um anel que é submetida a um campo magnético, tal como epesenta a figua 3.4(a). Tacemos, então, uma tajetóia fechada imagináia no inteio do anel que esteja suficientemente afastada da supefície, de modo que não fluam coentes nesta egião. Figua 3.3: Anel supeconduto na pesença de um campo magnético. A tajetóia fechada, que é epesentada em linha pontilhada, está no inteio do anel, afastada das supefícies, de modo que a densidade de coente seja nula nesta egião. (b) Fluxo magnético apisionado num anel de estanho, segundo Deave e Faibank (1961). upondo que o paâmeto de odem tenha amplitude constante ao longo do tajeto fechado e que dependa da posição apenas atavés da sua fase θ ( ), podemos esceve 14

15 onde usamos a equação (3.9), e caminho fechado. O teoema de tokes, v e h e dl θ A d, (3.39) m m j s l v A dl dl v epesenta um elemento infinitesimal do ( A) d B d (3.4) mosta que a integal de linha do potencial veto ao longo da tajetóia fechada é igual ao fluxo magnético Φ atavés da áea delimitada pelo anel. Po outo lado, a fase do paâmeto de odem deve se altea de uma quantidade igual a π n (n inteio) ao completa um ciclo ao longo do tajeto fechado, pois ψ ( ) deve se univocamente definido. Isto significa que θ. d l θ π n. (3.41) ubstituindo (3.4) e (3.41) em (3.39), obtemos que o fluxo magnético atavés do anel supeconduto deve se quantizado como h h n n nφ e e Φ (,1,,... ) n, (3.4) onde φ é o quantum de fluxo paa o estado supeconduto definido na equação 15 (4.35) e cujo valo em unidades I é φ 1 T m. A obsevação expeimental da quantização do fluxo magnético num anel supeconduto, tal como está epesentada na figua 3.3(b), constitui-se numa evidência dieta e contundente da natueza quântica-macoscópica do estado supeconduto. Ademais, o valo do quantum de fluxo demonsta que a caga da supepatícula é efetivamente igual a duas vezes a caga do eléton. 15