BEAM SEARCH FILTRADO COM INSERÇÃO DE OCIOSIDADE NA PROGRAMAÇÃO DE UMA MÁQUINA EM AMBIENTE DO TIPO JIT

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1 Veax consultoia VX 989 eamseach.docx Função: opeações Segmento: indústia / logística Tema: planeamento de opeações Metodologia: análise uantitativa EM SERCH FILTRDO COM INSERÇÃO DE OCIOSIDDE N PROGRMÇÃO DE UM MÁQUIN EM MIENTE DO TIPO JIT Detalha um método paa pogama odens de podução consideando custos de adiantamento e de ataso uando as odens são concluídas foa da data exata devida. Idealmente, métodos desse tipo devem se usados paa se pogama os ecusos mais impotantes do sistema podutivo, como po exemplo, a máuina gagalo. RESUMO Este tabalho avalia a utilização do beam seach filtado (SF) combinado com um algoitmo de inseção de ociosidade (IO). O caso estudado é baseado em uma única máuina, com datas de entega múltiplas e com penalidades distintas de adiantamento e de ataso paa cada odem. O obetivo a se alcançado é a minimização do custo total. Paa isso, o SF é utilizado paa gea as seüências, e o IO, paa defini os pogamas. ssume se ue a dificuldade de solução do poblema é dependente de dois paâmetos: fato de ataso médio e amplitude elativa das datas de entega. Testes empíicos compaativos são ealizados atavés de simulação computacional, onde se mede o tempo de solução e o valo alcançado pela função obetivo. Os esultados indicam ue de uma foma geal, o pocedimento poposto popicia uma diminuição no custo total e, além disso, ue paa a escolha de um pocedimento apopiado, o ideal é se conhece o valo dos paâmetos. INTRODUÇÃO Desde o final dos anos 8, váios tabalhos têm apontado paa uma linha de pesuisa ue utiliza um dos pincipais pontos da filosofia JIT evita ue podutos e componentes seam poduzidos ou entegues antes da data coeta como pate da função obetivo de um sistema ue empua a podução. Em outas palavas, seia a utilização de uma pate da filosofia JIT em um sistema ue empua a podução. adaptação dessa filosofia se esume basicamente na utilização da inseção de ociosidade. inseção de ociosidade é elevante paa ambientes onde exista um custo caso o poduto sea finalizado em hoáio anteio à sua data de entega. Podem se cita exemplos da utilização dessa filosofia na podução de podutos peecíveis ou com custos de componentes compados muito altos. Como esse custo é absolutamente eliminado com a inseção de ociosidade não há azão paa aceitá lo. O inconveniente dessa inseção é um possível "aependimento" futuo no caso de se pecisa do tempo ue foi gasto como ociosidade. Este tabalho avalia a utilização do beam seach filtado (SF) untamente com um algoitmo de inseção de ociosidade (IO). Como seá visto adiante, o SF vai geando seüências de odens e o IO vai definindo os pogamas ótimos paa as seüências definidas pelo SF. Os esultados computacionais indicam ue, paa uma []

2 média dos valoes alcançados nas eplicações de tipos de instâncias, o pocedimento poposto suplantou o SF em todos os casos analisados, indicando ue ealmente popicia um custo total de pogamação meno. Há casos onde a inseção de ociosidade chega a diminui o valo da função obetivo em mais de 4%. Po outo lado, a inseção de ociosidade fez com ue o tempo de solução computacional pioasse, emboa ainda dento de valoes aceitáveis. DEFINIÇÃO E REVISÃO ILIOGRÁFIC DO PROLEM Definições e teminologias utilizadas neste tabalho aceca da pogamação e seüenciação são baseadas pincipalmente no livo de MORTON & PENTICO (993). baixo seá feita uma beve evisão dos pincipais tópicos utilizados mais adiante. Neste tabalho haveá uma difeença ente a pogamação e a seüenciação. seüenciação seá definida como uma odenação dos pedidos odens de podução. Paa um conunto de odens J={J,...,J n } e paa () a ésima odem na seüência, deve se enconta a seüência =<(),(),...,(n)> com () {,,...,n} e () (i) sempe ue i. Obseva ue uma seüência epesentada po <...> não deve se confundida com um conunto epesentado po {...}, pois o mesmo não possui seus elementos odenados. Cada odem J (=,...,n), possui uato valoes associados {p,d,w,h }, onde p,d,w,h são o tempo de pocessamento, a data de entega, a penalidade de ataso e a penalidade de adiantamento espectivamente. pogamação seá definida como a deteminação dos hoáios de e de témino das odens de uma dada seüência. Paa uma dada odem J (=,...,n), existe um intevalo de pocessamento [e,e +p ] onde e significa o hoáio efetivo de do pocessamento da odem J. No caso do poblema de uma máuina, paa duas odens consecutivas J () e J (+), com intevalos de pocessamento definidos po [e (),e () +p () ] e [e (+),e (+) +p (+) ], podeá have intesecção ente os dois intevalos apenas nos pontos extemos dos intevalos. Sea W () o peíodo de ociosidade antes da ealização da odem J (). Supondo ue as odens esteam disponibilizadas no instante, o pogama π() de um conunto de odens J, é a deteminação do hoáio de e de témino de cada odem, ou sea, π()=<w (),p (),W (),p (),...,W (n),p (n) >. Semanticamente pode se dize ue paa uma dada seüência, um pogama define o peíodo de ociosidade antes do de cada odem W () e o peíodo de pocessamento da mesma p (), paa =,,...,n. Paa casos em ue não haa a possibilidade da inseção de ociosidade, isto é, W () = {,,...,n}, a pogamação e a seüenciação são euivalentes pois cada odem possui apenas um tempo de pocessamento a ela atibuído.. DEFINIÇÃO DO PROLEM Paa um pogama π, pode se denomina o hoáio de témino da odem J () a função: C ( ) W ( π ) = C ( ) ( π ) + p ( ) ( π ) + W paa = ( π ) + p =,..., n ( ) ( ) ( ) paa. maioia das outas funções de pogamação depende desta função. função difeença epesenta a uantidade de tempo em ue o témino de uma odem difee de sua data de entega. Po uma uestão de simplicidade notacional, uando não causa eo conceitual, seá dada pefeência paa a notação ue omite a seüência. Exemplos desse caso são apesentados abaixo, onde os valoes das funções paa J () são euivalentes a valoes paa J. Define se a função difeença como L =C d. Costuma se sepaa a função difeença uando ela é positiva e uando ela é negativa. Se ela é negativa, é chamada de adiantamento e é definida po E =max{, L }, enuanto ue se ela é positiva, é chamada de ataso e pode se definida po T =max{,l }. Seá consideado o caso de uma única máuina ue deveá pocessa uma odem de cada vez de um conunto de odens J={J,J,...,J n }. odem J () deve se finalizada antes ue a odem J (+) sea iniciada paa ()=,,...,n. s chegadas das odens seão estáticas, ou sea, todas estaão disponíveis no instante inicial. O pogama deveá se ealizado de maneia a cumpi as datas de entega d, sabendo se ue cada odem demanda um deteminado tempo p paa o seu pocessamento. Há possibilidade de inseção de tempo ocioso W antes da elaboação de uma deteminada odem J. funçãoobetivo a se analisada seá do tipo min n = he + w T ) (, sendo as penalidades h > e w >.. PRINCIPIS RESULTDOS CONHECIDOS pimeia publicação ue se tem notícia aceca do poblema especificado acima é devida à FRY et al. (987). Emboa os autoes façam todo o desenvolvimento []

3 teóico com penalidades paa cada odem, h e w, os testes computacionais são apesentados com um único valo paa todas as odens, h e w. Não há comentáios sobe a azão dessa simplificação. Com o pocedimento poposto encontou se ótimos globais em divesas instâncias testadas e o compotamento médio em todo estudo foi meno do ue % acima do ótimo global. poposta de FRY et al. é uma heuística do tipo toca de paes adacentes, com a possibilidade da inseção de ociosidade atavés da utilização da pogamação linea. Pelas caacteísticas do poblema, o pocedimento de pogamação linea pôde se esolvido em tempo polinomial, atavés de um pocedimento de um passo. DUL RZQ & POTTS (988) analisaam o poblema sem a possibilidade da inseção de ociosidade, utilizando a pogamação dinâmica e o banch and bound. Inicialmente os autoes apesentaam 3 maneias de se defini limitantes infeioes atavés da utilização de uma elaxação de estado espaço na pogamação dinâmica. Em seguida, fomulaam um pocedimento ótimo utilizando o banch and bound com seüenciação paa fente, com um limitante supeio sendo definido po uma heuística de um passo e com os limitantes infeioes confome uma das 3 popostas. Não houve nenhuma indicação fote de ue um dos métodos fosse supeio aos outos em todos os sentidos. Os autoes concluem ue a pogamação dinâmica deve se utilizada na esolução de poblemas até odens, enuanto ue paa poblemas de até 5 odens, deve se utiliza o banch and bound com os limitantes infeioes sendo definidos pela pogamação dinâmica. Os tabalhos de OW & MORTON (988 e 989) apesentam compaações ente 4 pocedimentos heuísticos ue combinam egas de despacho e funções de pioidade com beam seach (S). O poblema analisado foi euivalente ao tatado aui, só ue sem a possibilidade de inseção de ociosidade. O melho dos uato pocedimentos foi o SF ue seá explicado detalhadamente adiante. O desempenho de todos esses pocedimentos foi medido atavés do custo obtido pela heuística em teste e pela melho solução conhecida paa instâncias peuenas banch and bound e paa instâncias maioes, limitante infeio, utilizando uma elaxação envolvendo a divisão da odem em subodens e estas sendo esolvidas como um poblema de pogamação linea. Paa as instâncias de 5 e de 5 odens, os pocedimentos ficaam ente e 7% acima do limitante infeio. Posteiomente, YNO & KIM (99) foneceam outo pocedimento de inseção de ociosidade. Nesse pocedimento, os autoes utilizaam uma fomulação com euações ecusivas, assumindo ue w h. Os autoes utilizaam o banch and bound, á consideando a inseção de ociosidade no limitante infeio paa veifica o desempenho de uato egas de despacho e uma heuística de toca de paes adacentes. Esse último pocedimento é paecido com o utilizado po FRY et al. e utiliza como seüência inicial àuela definida pela ega de despacho com melho desempenho dente as uato testadas. Nos cinco casos, após a definição da seüência final, utiliza se o pocedimento paa a inseção de ociosidade e elaboação do pogama. Os esultados indicaam ue em média, a heuística ficou apenas a,% do ótimo. Os autoes finalizam o tabalho apontando ue haveia uma necessidade de se cia limitantes infeioes melhoes do ue os ue foam utilizados no estudo. 3 EM SERCH (S) De uma maneia dieta e simplificada, pode se dize ue o S é uma técnica de busca ue utiliza ceto númeo de soluções em paalelo em uma ávoe de busca. O númeo de soluções em paalelo é chamado de lagua da busca. Paa o desenvolvimento do tabalho seão utilizadas tês opeações com seüências, definidas como segue: Definição : se =<(),...,(n)> é uma seüência com n elementos, define se a opeação de tansfomação da seüência, no conunto J, denotada po con()=j, como auela ue foma um conunto sem odenação com todos os elementos petencentes à seüência, ou sea, J={(),...,(n)} e J =n. Exemplo: paa =<,,C>, con()={,,c}={,,c}= ={C,,}. Definição : se s =<s (),...,s ()> e s =<s (),...,s (i)> são duas seüências paciais (isto é, não são fomadas necessaiamente po todos os elementos disponíveis), define se a concatenação de s e s como a seüência <s (),...,s (),s (),...,s (i)>. Uma opeação de concatenação seá denotada po s +s. Exemplo: paa s =<,,C> e s =<D,E,F>, s +s =<,,C,D,E,F>. Definição 3: se =<(),...,(n)> é uma seüência completa e s =<s (),...,s ()> é uma seüência pacial onde todo elemento de con(s ) está em con(), define se a difeença ente e s como a seüência ue contém os elementos odenados com as mesmas elações de pecedência ue em, mas não contém os elementos de s. Nesse caso a opeação difeença seá denotada po s =s = <s (),...,s (n )>. [3]

4 Exemplo: paa =<,,C,D,E,F> e s =<,D,E>, s =<,C,F>. s seüências utilizadas adiante seão fomadas pelos índices dos elementos de J. Sea ( N: n) o nível da ávoe de busca; b a lagua da busca, isto é, o númeo de seüências completas etidas paa aboescência no nível subseüente; ( N: b(n +)) um nó em um deteminado nível. Sea uma seüência completa fomada no nó do nível e uma seüência inicial completa. Cada seüência seá fomada po uma seüência pacial fixa s (onde con( s ) =) e uma seüência pacial complementa s = s. Paa o nó do nível, uma seüência completa seá fomada da seguinte foma: = s + s =< s (), s (),..., s ( ) > + < s (), s (),..., s ( ) > Desea se enconta uma seüência completa n n n = s + s =< s ( ), s (),..., s ( n) > +, n onde s epesenta uma seüência pacial fixa contendo todos os elementos de J. Sea R =con( )={,...,n} o conunto de índices das odens disponíveis petencentes à seüência inicial. Sea ( N: b) um dos nós etidos paa aboescência no nível posteio; R = \ con( R s ) o conunto de índices de odens disponíveis paa seem pocessadas nos nós descendentes de do nível ; = { } ( N: b(n +)) o conunto de todas as seüências completas ciadas no nível ; =< > ( N: b) a seüência de seüências etidas ue contém os b menoes valoes da função g ( ) : ; a seüência de ésimo meno custo. Paa (u N: u b), pode se dize ue u : min g( ) = g( ) se = u = u : min g( ) = g( u ) se, \con<,,..., > ou, de uma foma mais compacta, ag min g( ) se = = ag min g( ) se. \con<,,..., > O pocedimento tem com a definição de um limitante supeio, cua seüência é epesentada po =< (), (),..., ( n) >, onde () significa o índice da odem de ésima posição na seüência. Posteiomente gea se o pimeio nível da ávoe de busca com n seüências completas = s + s =< > + < > (=,,...,n). O conunto de todas essas seüências fomaá o conunto = { } (=,,...,n), onde paa cada uma das seüências, deve se analisa o valo de sua função obetivo g( ). Os b menoes valoes fomaão a seüência =< > ( N: b). No segundo nível, paa cada seüência pacial fixa etida no nó anteio s, deve se foma outas (n ) seüências paciais fixas. Paa cada um dos b nós do pimeio nível, as seüências paciais fixas seão definidas pelo pimeio temo do pimeio nível, uma enumeação completa das possíveis odens no segundo nível e o estante da seüência deivado de. Potanto, cada índice de odem R (onde R = R \ con( s ) ) petencente ao segundo nível, fomaá seüências completas do tipo = s + s =< s, > + < s >., O conunto de todas essas seüências fomaá o conunto = ; b; b(n )), onde paa { }( R cada uma das seüências, deve se analisa o valo de sua função obetivo g( ). Os b menoes valoes fomaão a seüência =< > ( N: b). Neste ponto a busca é começada no teceio nível, e o mesmo pocedimento é utilizado até o último nível da busca. No último nível, a seüência escolhida como n sendo a melho, seá a ue é definida como =. n [4]

5 nível nível C D E nível nível 3 C D E EC ED E E C CD CE E EC ED nível 4 CD CDE EC ED nível 5 CDE figua : ávoe de busca utilizando o beam seach EDC Como exemplo, pode se cita o caso em ue haa 5 odens paa seem seüenciadas J (=D,,,C,E). lagua de busca deseada é b=. Um esuema gáfico do desenvolvimento da solução é mostado na figua. Inicia se o pocedimento encontando se uma seüência inicial de acodo com algum pocedimento como uma ega de despacho po exemplo. Utilizando a ega de despacho, a seüência inicial é definida po = <,,C,D,E>. seüência inicial seá consideada o limitante supeio. Gea se o pimeio nível da ávoe com uma enumeação completa das odens ue possam esta na pimeia posição da seüência, mantendo os outos elementos de e etiando se o elemento ue foi colocado na pimeia posição da seüência de, ou sea, = <>+< >= <,,C,D,E>, =<,,C,D,E>,..., E =<E,,,C,D>. Compaam se os valoes das funções obetivo das seüências obtidas g( ), e escolhe se as b= melhoes. Como esultado = {,,..., }, pois min g( ) = g( ) = min g( ) g( E ) = \. e = E E pois Os nós ciados no segundo nível seão apenas os filhos dos nós mantidos no pimeio nível. Paa um ceto nível da ávoe de busca difeente dos níveis e l, o númeo de nós ciados é euivalente a b(n +). Potanto, no caso em análise, cada nó mantido no pimeio nível iá gea outos uato nós no segundo nível, totalizando 8 nós. Cada um dos nós seá epesentado pelo pimeio temo do pimeio nível ( ou E), uma enumeação completa das possíveis odens no segundo nível e o estante da seüência deivado de. Paa o nó, =<,>+<,> =<,,C,D,E>, C =<,C,,D,E>, D =<,D,,C,E>, E =<,E,,C,D>. O mesmo pocedimento é feito paa o nó E, com o pimeio temo sendo =<E,>+< E,> =<E,,,C,D>. O estante do pocedimento é apesentado na figua. No segundo nível as melhoes seüências paciais são C e 4 E, no teceio nível e 4 D e e no uato nível 3 D. No uinto e último nível, escolhe se a 5 5 seüência de meno custo ente e. 4 EM SERCH FILTRDO (SF) O filto aplicado no S teve sua oigem nos tabalhos apesentados po OW & MORTON (988 e 989). O filto pode se definido como uma função de avaliação pévia paa o S, tansfomando o S em um método de busca de dois estágios. Confome os estudos de OW & MORTON, pode se infei ue o S consegue melhoes esultados com a utilização de um filto adeuado. 3 C [5]

6 Na pogamação e seüenciação, o filto pode se epesentado po uma função de pioidade da odem J no hoáio t, ϕ (t). Dependendo da função obetivo ue se estea tabalhando, essa função de pioidade também pode se uma ega de despacho. Neste tabalho, seá utilizada a função de pioidade denominada EXP ET (Exponential Ealiness Tadiness) pesente nos estudos de OW & MORTON e explicada detalhadamente no item 5. Pode se dize ue o pocedimento é semelhante ao S, com a difeença sendo a foma de escolha das seüências, a seem analisadas. Essa alteação de uma avaliação global de cada seüência paa uma avaliação local faz com ue o método fiue mais eficiente se o númeo de odens é gande. Deve se foma um conunto F={F,F,...,F f,f,...,f f,...,f b,...,f fb } onde F d = ag max ϕ ( t), R \{ F, F,..., F( d ) } com (d, N: d f; b), F = e lembando ue nesse caso o agumento é um R e não t. Paa cada odem F d F, deve se elaboa e avalia todas as seüências completas, mantendo se as F d = ag min g( ), u F F \{ u, u,...,} paa (u N: u b), com =. d s seüências ue não foam escolhidas paa seem mantidas são eliminadas definitivamente. Potanto = { : F F}. O estante do pocedimento é F d d euivalente ao S. Paa uma maio claeza de apesentação, o pocedimento SF está disponível no apêndice como um pseudocódigo. 5 FUNÇÃO DE PRIORIDDE EXP ET Uma função de pioidade é um pocedimento ue utiliza infomações das odens paa defini ual deve se pocessada subseüentemente e se a mesma deve te ociosidade inseida, antes de inicia o seu pocessamento. Especificamente, a função de pioidade EXP ET (ϕ (t)) pode se definida como sendo: F d ϕ (t) w i /p i w /p -h i /p i -h /p kp med kp med figua : significado gáfico da função de pioidade EXP ET (k=5) w ( h + w ) max(, d t p ) w kp exp se d t p p h pmed h + w ϕ ( t) = 3 h w ( h + w ) min( kpmed, d t p ) paa outos casos, p h h kpmed onde k é um paâmeto de auste ue detemina o hoáio em ue a função de pioidade começa cesce e p med é o tempo de pocessamento médio das odens ue ainda não foam seüenciadas, p = D p med D, sendo D o conunto de odens ainda não seüenciadas. utilização da função pode se no modo despacho, de maneia ue, a odem ue apesenta o maio valo numéico dente todas as disponíveis deve se seüenciada subseüentemente. Neste tabalho a função seá utilizada no modo despacho. figua mosta, paa odens, a função de pioidade vaiando no decoe do tempo. Peceba ue uma odem J ue no hoáio t ea menos pioitáia ue J i, pode se tona mais pioitáia do ue J i no hoáio t+δt, onde Δt é um intevalo de tempo. 6 INSERÇÃO DE OCIOSIDDE Poblemas ue levam em consideação o adiantamento, devem necessaiamente utiliza a inseção de ociosidade. Caso não sea assim, uma das pincipais caacteísticas desses poblemas fica deixada de foa. Mesmo assim, váios autoes não tabalhaam com a inseção de ociosidade (OW & MORTON, 988 e 989, DUL RZQ & POTTS, 988), povavelmente pelo fato de não se conhece um algoitmo paa tal. Pemitindo a inseção de ociosidade como uma vaiável contínua, um conunto com n odens possui infinitos pogamas viáveis. p d p i d i med t [6]

7 O pimeio tabalho a apesenta um IO petence a FRY et al. (987). De uma maneia bastante claa nesse tabalho, os autoes fomulaam o poblema de inseção de ociosidade no poblema de ataso e adiantamento com penalidades individuais, como um poblema de pogamação linea. Pela caacteística do poblema, o mesmo pôde se esolvido em tempo ². De uma maneia povavelmente independente, GREY et al. (988) também popuseam um IO no poblema de ataso e adiantamento sem penalidades, com tempo. mbos os tabalhos supõem ue os algoitmos seam utilizados em uma seüência definida peliminamente. lgum tempo depois, YNO & KIM (99) popuseam outo IO baseado na pogamação dinâmica. inseção de ociosidade também é feita após a seüenciação e o tempo de solução no pio caso é ² demonstando ue a implementação desse algoitmo popociona uma inseção de ociosidade com tempo menos eficiente do ue os dois casos comentados anteiomente. Neste tabalho seá utilizada uma vesão adaptada do IO de GREY et al. (988), disponível em COLIN (997) e COLIN & SHIMIZU (998), paa a utilização em funçõesobetivo do tipo minσ(h E +w T ). De uma foma concisa, pode se dize ue após uma seüência completa se geada, o IO insee a uantidade ótima de ociosidade na seüência definida peliminamente. 7 ESTUDO COMPUTCIONL O pincipal obetivo do estudo computacional é analisa o desempenho do SF uando o mesmo é utilizado untamente com o IO. Compaações tentaão identifica casos onde a inseção de ociosidade podeia se vantaosa levando em consideação caacteísticas intínsecas dos dados ue estão sendo utilizados. Com a finalidade de se amplia os estudos oiginais de OW & MORTON (988 e 989), as instâncias testadas seão de gandes dimensões. Devido a esse fato, tona se inviável a utilização de um método ótimo paa compaação. Mesmo assim, uma hipótese a se consideada é ue a difeença ente a solução ótima e a solução geada pelo SF não se altea confome o aumento do tamanho da instância. ssumindo ue essa hipótese sea vedadeia emboa não haa uma gaantia efetiva de ue isso ocoa, pode se considea as difeenças obtidas nos estudos de OW & MORTON euivalentes às difeenças obtidas neste estudo. 7. VRIÁVEIS CONTROLDS Desde o começo da década de 7, foam identificadas duas vaiáveis ue paecem te uma maio influência nos estudos ue levam em consideação o ataso consideando ue o adiantamento é um ataso negativo. pimeia delas é o fato de ataso médio, τ (SRINIVSN, 97), ue pode se definida semanticamente como a popoção de odens ue atasaiam caso a seüência fosse obtida aleatoiamente. Matematicamente é definida como d = np med τ =. med n p segunda é a amplitude elativa das datas, R (WILKERSON & IRWIN, 97, KER & MRTIN, 974). Essa vaiável indica o uanto as datas de entega estão distibuídas no intevalo total de pocessamento das odens. Matematicamente d = d np d = max min max min R. d d med p Paa uma maio claeza desses conceitos, a figua 3 apesenta o significado gáfico dos mesmos. Note pela figua ue as vaiáveis alteam a média das datas de entega e o uanto essas datas estão distibuídas com elação ao tempo total de pocessamento. 7. EXPERIMENTO RELIZDO O SF e o IO foam pogamados em PSCL 6. e implementados em um micocomputado com pocessado PENTIUM 33Mhz e 8M de memóia RM. s instâncias foam geadas com as seguintes caacteísticas: Númeo de odens: n=; Fato de ataso médio: τ {,;,;,4;,6;,8;,9}; mplitude elativa das datas de entega: R {,;,;,4;,6;,8;,9}; Tempo de pocessamento: p ~U[,], onde ~U[ ] epesenta uma distibuição unifome disceta; d min d med R Σp τ Σp d max Σp figua 3: vaiáveis testadas no estudo computacional tempo [7]

8 Data de entega: PR PR d ~ U P( τ ), P( τ ) +, onde P=nE(p)= (n +n)/ define a soma da espeança dos tempos de pocessamento, de acodo com a média da distibuição; Penalidade de adiantamento: h ~U[,]; Penalidade de ataso: w ~U[,]. Combinando as instâncias com elação a τ e a R, obtemse 36 tipos de instâncias. Paa cada um desses 36 tipos foam geadas instâncias. Pelo fato de existiem poblemas na geação de númeos aleatóios, uma instância só foi aceita de acodo com alguns citéios de apovação. O citéio é a popoção da difeença ente as vaiáveis eais e nominais, ou sea: τ τ Pop( τ ) = τ R R Pop( R) = R eal eal e s definições de τ eal e R eal paa uma deteminada instância inst (onde inst epesenta o númeo de odens da instância), são as seguintes: τ eal R = inst eal inst inst inst max di d i, k inst = p Com a utilização do citéio de aceitação não houve necessidade de se gea as datas de entega dependentes dos tempos de pocessamento, confome nomalmente ocoe na liteatua. Note ue os casos tatados na liteatua podem te poblemas na geação dos tempos de pocessamento. Não há veificação se os mesmos foam geados confome o espeado. No caso poposto aui, ambos, as datas de entega e os tempos de pocessamento, têm seus valoes avaliados após a geação. Paa uma dada popoção de desvio dos valoes nominais, o pogama aceita ou eeita a instância em uestão. Neste tabalho, foi utilizada uma popoção de 5%, tanto em τ como em R, paa a aceitação das instâncias. d k. p. e Paa os paes (τ,r) {(,8;,8),(,8;,9),(,9;,4),(,9;,6),(,9;,8),(,9;,9)}, foi pemitida a geação de datas de entega negativas. Os demais paes foam geados de acodo com datas positivas. azão paa esse fato fica claa pela obsevação da figua 3. Se o τ e o R são gandes, a pate esueda de R de d min até d med possui uma egião ue fica antes de. s soluções das instâncias foam sepaadas em gandes gupos. O pimeio, denominado gupo, é o das soluções no modo despacho, isto é, sem inseção de ociosidade. O gupo é no modo pogamação, isto é, com a utilização do IO e com a seüência inicial sendo definida po EXP ET no modo despacho. No modo despacho, pogama se as odens de acodo com a seüência, sem a inseção de ociosidade. Esse modo é muito mais facilmente implementável além de se amplamente utilizado em indústias. No modo pogamação, uma seüência é definida, insee se a ociosidade nessa seüência definida peliminamente paa só então elaboa se o pogama com os espectivos hoáios de e de témino de cada odem. 7.3 INTERPRETÇÃO DOS RESULTDOS pesentam se abaixo as compaações ente os divesos casos com elação aos tempos de pocessamento computacional bem como aos valoes das funçõesobetivo. COMPRÇÃO COM RELÇÃO OS TEMPOS DE PROCESSMENTO COMPUTCIONL: Os esultados apesentados aui seão os tempos de pocessamento computacional médios das instâncias esolvidas com elação a um deteminado pa (τ,r). figua 4 apesenta os tempos de pocessamento computacional em centésimos de segundo (cs) nos expeimentos do gupo. Nesse caso não houve vaiação dos tempos com elação aos paâmetos (τ,r). No caso dos pocedimentos com inseção de ociosidade, o SF depende dos paâmetos (τ,r). figua 5 apesenta os tempos de pocessamento computacional paa as laguas de busca e 3, ao passo ue a figua 6 apesenta paa as laguas 5 e 8. Pelos gáficos, obseva se ue enuanto o poduto bf é peueno com elação à escala de tempos, o tempo de solução é elativamente invaiante com (τ,r). De uma maneia geal, o tempo diminui com o aumento de τ e de R. Potanto, os menoes tempos são obtidos com os [8]

9 maioes valoes do pa (τ,r). Isso acontece poue nesse caso, a inseção de ociosidade é muito peuena uando existe e potanto o IO é pouco utilizado. tempo de solução (cs) elação ente tempo de solução, laguas da busca e do filto b= b=3 b=5 b= lagua do filto figua 4: elação ente tempo de solução, laguas da busca e do filto no SF sem inseção de ociosidade tempos de solução paa b= e b=3 35 tempo (cs) ,;,,;,6,;,,;,6,4;,,4;,6,6;,,6;,6,8;,,8;,6,9;,,9;,6 fato de ataso médio; amplitude da distibuição b=, f= b=, f=3 b=, f=5 b=, f=8 b=, f= b=3, f= b=3, f=3 b=3, f=5 b=3, f=8 b=3, f= figua 5: tempos de solução do SF com inseção de ociosidade paa b= e b=3 [9]

10 tempos de solução paa b=5 e b=8 tempo (cs) ,;,,;,6,;,,;,6,4;,,4;,6,6;,,6;,6,8;,,8;,6,9;,,9;,6 b=5, f= b=5, f=3 b=5, f=5 b=5, f=8 b=5, f= b=8, f= b=8, f=3 b=8, f=5 b=8, f=8 b=8, f= fato de ataso médio; amplitude da distibuição figua 6: tempos de solução do SF com inseção de ociosidade paa b=5 e b=8 tabela : esultados obtidos com elação às funções obetivo pa esultado gupo esultado gupo diminuição do custo g * (b ;f ) de g * DP g * (b ;f ) de g * DP -g */g *,;, ; ;3 3.66,%,;, ; ;8 4.9,7%,;, ; ; 8.9,3%,;, ; ; ,%,;, ; ; ,%,;, ; ; ,%,;, ; ;3.478,%,;, ; ;5 7.76,%,;, ; ;5 8.49,%,;, ; ;8 4.49,3%,;, ; ; ,%,;, ; ; ,7%,4;, ; ; ,%,4;, ; ; ,%,4;, ; ;5 8.4,%,4;, ; ;5 4.,%,4;, ; ; ,7%,4;, ; ; ,%,6;, ; ;5 8.7,% ,%,9;, ; ;3.64,% []

11 COMPRÇÃO COM RELÇÃO OS VLORES DS FUNÇÕES OJETIVO: tabela apesenta uma análise das funções obetivo. Como mencionado anteiomente, toda a massa de dados analisada foi com elação à média das instâncias paa um deteminado pa (τ,r). coluna "g*" epesenta o melho valo alcançado (isto é, melho média de instâncias), consideando se todas as combinações de b e f. coluna "(b;f) de g*" mosta ual combinação de (b;f) popiciou o melho valo alcançado. coluna "DP" epesenta o desvio padão das médias dos valoes de (b;f) paa um deteminado pa (τ,r). coluna "diminuição do custo" mosta o uanto o valo mínimo do gupo é meno do ue o meno valo do gupo. Obseva ue um desvio padão gande epesenta ue a mudança nos valoes de b e f alteam bastante os valoes da função obetivo. Lagua da busca e do filto: Um fato cuioso alcançado nos expeimentos paa o gupo é ue o f "ideal" paa 5 odens alcançada po OW & MORTON (988 e 989) se não euivalente, é muito póxima da alcançada aui paa o caso de odens. Outo ponto ue pode se citado é com elação aos paâmetos testados. Nos estudos de OW & MORTON o leito fica inclinado a entende ue a utilização do filto é boa paa ualue combinação de (τ,r). Paa o gupo, a utilização do filto sempe foi vantaosa confome pode se obsevado na tabela, apesa de ue em alguns casos, a utilização do filto melhoou a busca em apenas fações de um ponto pecentual. No gupo, isso nem sempe foi vedade. Os casos onde f= epesentam ue o S sem o filto é melho do ue o SF. Na média geal, o f ideal paa o gupo está ente e 4. Paa o caso de b, desconsideando se o tempo de pocessamento computacional, uanto maio seu valo melho. O filto no gupo, na média geal também ficou ente e 4. Um aumento da lagua da busca também tende a melhoa os esultados. Como esultado final e sugestão, pode se dize ue o filto utilizado com cautela em casos bem estudados, pode melhoa significativamente o S com elação ao valo alcançado pela função obetivo. Inseção de ociosidade: Paa casos específicos, a inseção de ociosidade tona se absolutamente vital. Especialmente paa τ peueno e R gande, a inseção de ociosidade melhoa bastante o valo da função obetivo. tabela mosta casos cua melhoia popocionada pelo pocedimento de inseção de ociosidade levou a função obetivo diminui em mais de 4%. Se fo levado em consideação ue nos casos páticos, onde os valoes de τ tendem a se peuenos e de R se gandes (poucas odens atasaão e as datas de entega são elativamente bem distibuídas ao longo do hoizonte de pogamação), o pocedimento poposto é ainda mais inteessante. Esses esultados indicam ue uma boa escolha do tipo de pocedimento, e dos paâmetos utilizados no pocedimento como po exemplo b e f têm impotância significativa paa o bom desempenho do pocedimento utilizado. Os esultados detalhados paa todos os paes (τ;r) testados se encontam em COLIN (997). 8 CONSIDERÇÕES DICIONIS Se foem levados em consideação casos eais, a impotância da inseção de ociosidade povavelmente seia diminuída. Isso aconteceia devido às empesas sempe teem uma cateia de pedidos ue se apoxima de sua capacidade podutiva. Mesmo assim, a inseção de ociosidade como no caso estudado aui deve se encaada como uma feamenta adicional de pogamação. Seu pincipal intuito é diminui os custos efeentes ao adiantamento na utilização de ecusos. inseção de ociosidade feüente indica ue alguma povidência deve se tomada nos outos níveis de decisão. Po exemplo a eliminação de tunos de tabalho, a melho definição das datas de entega, o emaneamento de pessoal ou a diminuição do númeo de hoas extas ealizadas podem se opções mais lucativas sob o ponto de vista da empesa. inseção de ociosidade na pogamação da podução é feita com o intuito de diminuição de custos, mas sem leva em consideação a hipótese de se toma decisões petencentes a outos níveis. Pela complexidade do pocedimento, da foma ue foi apesentado, paece ue o S só se adeuaia num ambiente eal de pogamação a casos de uma máuina. Dessa foma, ele seia utilizado fazendo a pogamação da máuina gagalo e as outas máuinas deveiam se pogamadas com pocedimentos mais simples como egas de despacho. Casos desse tipo são bem discutidos em MORTON & PENTICO (993). Como sugestão de pesuisas futuas, paece se viável o desenvolvimento de um pocedimento "mais podeoso" com elação aos esultados alcançados pelo SF com inseção de ociosidade. Em alguns casos isolados, como po exemplo paa cetos (τ;r) e (b;f), a inseção de ociosidade fez os esultados da busca pioaem. idéia seia tenta de alguma foma elaboa um limitante supeio ue utilize ambos, os pocedimentos com e sem inseção de ociosidade de modo ue o pocedimento alcançe o melho dos dois. Po exemplo, YNO & KIM []

12 (99) utilizam o pocedimento de inseção de ociosidade após a seüência final se definida. Po conseüência, não há como o valo da função obetivo no caso com inseção de ociosidade se pio do ue no caso sem. 9 REFERÊNCIS ILIOGRÁFICS DUL RZQ, T. S. & POTTS, C. N.: "Dynamic pogamming state space elaxation fo single machine scheduling", Jounal of Opeational Reseach Society, vol. 39, pp. 4 5, 988. KER, K. R. & MRTIN, J..: "n expeimental compaison of solution algoithms fo the single machine tadiness poblem", Naval Reseach Logistics Quately, vol., pp , 974. COLIN, E. C.: "eam seach e inseção de ociosidade no poblema de pogamação de uma máuina em ambiente do tipo JIT", São Paulo, Escola Politécnica, Univesidade de São Paulo, dissetação de mestado, 6p., 997. COLIN, E. C. & SHIMIZU, T.: "lgoitmo de pogamação de máuinas individuais com penalidades distintas paa adiantamento e paa ataso", submetido à publicação, 998. FRY, T. D.; RMSTRONG, R. D. & LCKSTONE, J. H.: "Minimizing weighted absolute deviation in single machine scheduling", IIE Tansactions, vol. 9, pp , 987. GREY, M. R.; TRJN, R. E. & WILFONG, G. T.: "Onepocesso scheduling with symmetic ealiness and tadiness penalties", Mathematics of Opeations Reseach, vol. 3, pp , 988. MORTON, T. E. & PENTICO, D. W.: Heuistic scheduling systems: with applications to poduction systems and poect management, Wiley, New Yok, 993. OW, P. S. & MORTON, T. E.: "Filteed beam seach in scheduling", Intenational Jounal of Poduction Reseach, vol. 6, pp. 35 6, 988. OW, P. S. & MORTON, T. E.: "The single machine ealy/tady poblem", Management Science, vol. 35, pp. 77 9, 989. SRINIVSN, V.: " hybid algoithm fo the one machine seuencing poblem to minimize total tadiness", Naval Reseach Logistics Quately, vol. 8, pp , 97. WILKERSON, L. J. & IRWIN, J. D.: "n impoved method fo scheduling independent tasks", IIE Tansactions, vol. 3, pp , 97. YNO, C.. & KIM, Y. D.: "lgoithms fo a class of single machine weighted tadiness and ealiness poblems", Euopean Jounal of Opeational Reseach, vol. 5, pp , 99. []

13 i EM SERCH FILTRDO COM INSERÇÃO DE OCIOSIDDE N PÊNDICE: PSEUDOCÓDIGO DO SF Paa o entendimento do pseudocódigo, define se adicionalmente: um ";" sepaam dois comandos; C o hoáio de témino de pocessamento da seüência pacial s i no nível. pocedimento eam Seach Filtado (b,f,r, ) Calcule p med de R ; F ; paa i:= até n faça Calcule ϕ i (); Insia i de acodo com valoes cescentes de ϕ i () em F; paa i:= até max{b,f} faça Retie de s i, a odem de i-ésima posição em F e insia-a em s i ; Concatene Calcule g( i ); Insia i odenada po função obetivo no conunto ; paa i:= até b faça Insia a i-ésima seüência do conunto em ; paa := até n faça paa i:= até b faça uxilia; paa := até b faça ( ) ( ); Figua 7: pseudocódigo SF Figua 8: pocedimento auxilia do pseudocódigo SF s i e s i, geando i ; pocedimento uxilia R R \con( s i ); Calcule p med de R ; F ; paa := até R faça Calcule ϕ ( C ); Insia de acodo com valoes cescentes de s ϕ ( C ) em F; i s i paa := até min{b, R } faça Concatene s a odem de posição -ésima em F, geando a seüência pacial s ; Concatene s a s, geando ; Calcule g( ); nalisados:=min{max{b,f}, R }; se ( <nalisados) então Insia em, odenado de acodo com valoes cescentes de g( ); caso contáio PosInseção:=; paa m:= diminuindo até faça se (g( )<g( m )) então PosInseção:=m; se (PosInseção>=) e (PosInseção< ) então Movimente todas as seüências em ue ficam após a PosInseção-ésima posição paa uma posição posteio, até a posição ; Insia na (PosInseção)-ésima posição de ; s i [3]

14 Sobe a Veax Consultoia Veax é uma empesa de consultoia especializada em gestão. Temos uma ampla gama de expeiências e competências como pode se consultado em Os lídees da empesa á poveam seviços de consultoia paa mais de 6 oganizações de difeentes segmentos e tamanhos, em mais de 5 poetos. Infomações adicionais Paa infomações adicionais você pode nos contata em contato@veaxc.com ou visite nosso sítio de intenet em utoia e publicação Emeson Colin é o auto do documento e sócio da Veax Consultoia. O documento foi publicado oiginalmente em Gestão e Podução. Veax consultoia Veax Consultoia, 9 Tel: Rua Pamplona, 8 c 5 Jadim Paulista 45 São Paulo SP, asil