Algoritmo Genético Especializado na Resolução de Problemas com Variáveis Contínuas e Altamente Restritos

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JULIO DE MESQUITA FILHO - CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA Algoitmo Genético Especializado na Resolução de Poblemas com Vaiáveis Contínuas e Altamente Restitos DISSERTAÇÃO SUBMETIDA À UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE MESTRE EM ENGENHARIA ELÉTRICA ÉRICO DE OLIVEIRA COSTA ZINI ILHA SOLTEIRA - SP Feveeio de 009

2 ÉRICO DE OLIVEIRA COSTA ZINI Algoitmo Genético Especializado na Resolução de Poblemas com Vaiáveis Contínuas e Altamente Restitos Dissetação submetida ao Pogama de Pós-gaduação em Engenhaia Elética da Faculdade de Engenhaia de Ilha Solteia UNESP, paa obtenção do título de Meste em Engenhaia Elética. Áea de Conhecimento: Automação Oientado: Pof. D. Rubén Augusto Romeo Lázao Co-oientado: Pof. D. José Robeto Sanches Mantovani ILHA SOLTEIRA SP Feveeio de 009

3 FICHA CATALOGRÁFICA Elaboada pela Seção Técnica de Aquisição e Tatamento da Infomação Seviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteia. Z77a Zini, Éico de Oliveia Costa. Algoitmo genético especializado na esolução de poblemas com vaiáveis contínuas e altamente estitos / Éico de Oliveia Costa Zini. -- Ilha Solteia : [s.n.], f. : il. Dissetação (mestado) - Univesidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenhaia de Ilha Solteia. Áea de conhecimento: Automação, 009 Oientado: Rubén Augusto Romeo Lázao Co-oientado: José Robeto Sanches Mantovani Bibliogafia: p Algoitmo evolucionáio.. Algoitmo multiobjetivo. 3. Manipulação de estições. 4. Otimização com estições.

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5 É com amo e cainho que dedico este tabalho à minha esposa, Eliana; aos meus pais, Celso e Lucinda; às minhas imãs, Ediléia e Elis; em gatidão ao imenso apoio e tocida pela minha vitóia e, também, po me incentivaem a conquista novos hoizontes...

6 AGRADECIMENTOS A minha sincea e pofunda gatidão vão a todos que contibuíam de foma dieta e indieta paa que eu completasse com êito mais esta impotante etapa da minha vida. Pimeiamente, a DEUS po me da saúde, sabedoia e foças paa luta; à minha esposa, Eliana, pelo cainho e compeensão; aos meus pais, Celso e Lucinda, e às minhas imãs, Ediléia e Elis, po teem me incentivado e me acompanhado em todas as etapas da minha vida pessoal e pofissional. Ao meu oientado, pofesso D. Rubén Romeo pela sua etema competência, compeensão, paciência em ensina e coigi alguns eos pimáios que às vezes eu cometia. Ao gande companheio Mauício Ganada Echevei, doutoando na UNESP de Ilha Solteia/SP e pofesso da Univesidade Tecnológica de Peeia na Colômbia, po suas valiosas contibuições e impotantes dicas, que foam cuciais no desenvolvimento deste tabalho. Aos pofessoes do Depatamento de Engenhaia Elética (DEE), em especial ao meu cooientado pofesso D. José Robeto S. Mantovani, pela dedicação e os impotantes conhecimentos que me popocionou. Em geal, agadeço a todos os funcionáios e colegas do DEE pela pontidão e apoio nestes anos de convivência. Aos divesos amigos, Macelo Oliveia Dias, Macelo Fuly Batista, ente outos, pela gande ajuda e amizade. Enfim, agadeço a todas as pessoas que contibuíam paa a conclusão deste tabalho, pois sei que sozinho não seia possível.

7 Tantas vezes pensamos te chegado, Tantas vezes é peciso i além... Fenando Pessoa.

8 RESUMO Este tabalho apesenta uma metodologia composta de duas fases paa esolve poblemas de otimização com estições usando uma estatégia multiobjetivo. Na pimeia fase, o esfoço concenta-se em enconta, pelo menos, uma solução factível, descatando completamente a função objetivo. Na segunda fase, aboda-se o poblema como biobjetivo, onde se busca a otimização da função objetivo oiginal e maimiza o cumpimento das estições. Na fase um popõe-se uma estatégia baseada na diminuição pogessiva da toleância de aceitação das estições compleas paa enconta soluções factíveis. O desempenho do algoitmo é validado atavés de casos testes bastantes conhecidos na liteatua especializada. Palavas-chave Restições, Otimização com Restições. Algoitmo Evolucionáio (AE), Algoitmo Multiobjetivo, Manipulação de

9 ABSTRACT This wok pesents a two-phase famewok fo solving constained optimization poblems using a multi-objective stategy. In the fist phase, the objective function is completely disegaded and entie seach effot is diected towad finding a single feasible solution. In the second phase, the poblem is teated as a bi-objective optimization poblem, whee the technique convets constained optimization to a two-objective optimization: one is the oiginal objective function; the othe is the degee function violating the constaints. In the fist phase a methodology based on pogessive decease of the toleance of acceptance of comple constains is poposed in ode to find feasible solutions. The appoach is tested on well-know benchmak functions. Keywods: Constained Optimization. Evolutionay algoithm (EA), Multi-Objective Algoithm, Constaint Handling,

10 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figua.: Subdivisão das técnicas de busca... Figua.: Classificação geal dos métodos matemáticos... 4 Figua 3.: Eemplo de aquisição de um automóvel (soluções I, A, B, C, D e II)... 7 Figua 3.: Eemplo de aquisição de um automóvel (soluções I, A, B, C, D, II, E, F e G)... 8 Figua 3.3: Esquematização da abodagem Figua 3.4: Esquematização da abodagem... 3 Figua 3.5: Repesentação do espaço das vaiáveis de decisão e o coespondente espaço objetivo Figua 3.6: Relação de dominância ente as soluções Figua 3.7: Fonteia de Paeto ótima Figua 3.8: Funções g e h de um poblema multiobjetivo Figua 3.9: Identificação da fonteia de Paeto Figua 3.0: Soluções bem espaçadas na fonteia de Paeto Figua 3.: Soluções com baia divesidade na fonteia de Paeto Figua 3.: Diagama de fluo do método da bissecção ecusiva... 4 Figua 3.3: Oganização das altenativas de solução em fentes de dominância Figua 3.4: Intepetação gáfica do método da soma pondeada Figua 3.5: Região da fonteia de Paeto não alcançado pelo método da soma pondeada Figua 3.6: Repesentação do método da estição-ε Figua 3.7: Método leicogáfico da pogamação po metas... 5 Figua 4.: Estutua básica de um algoitmo genético... 58

11 Figua 4.: Opeado de ecombinação com um ponto de cote Figua 4.3: Opeado de ecombinação multiponto com dois pontos de cote Figua 4.4: Opeado de mutação Figua 5.: Distância de aglomeação paa a solução i Figua 5.: Esquemática dos pocedimentos do NSGA-II Figua 6.: Repesentação gáfica do poblema sem a pesença da estição h( )... 8 Figua 6.: Repesentação gáfica do poblema com a pesença da estição h( )... 8 Figua 6.3: Geação de solução infactível após aplicação do opeado genético Figua 6.4: Poblema mono-objetivo estito abodado como multiobjetivo Figua 6.5: Região dominada pela solução A usando a definição de dominância modificada 9 Figua 6.6: Região dominada pela solução A usando a definição de dominância usual... 9 Figua 6.7: Pate não-dominada da fonteia de Paeto ótima Figua 7.: Pocesso de busca po soluções factíveis. Evolução paa difeentes valoes deε 0 Figua 7.: Fonteia de Paeto ótima e egião de inteesse paa o poblema G Figua 8.: Gáfico da função G( ) paa n = Figua 8.: Gáfico das cuvas de nível de g, ) e g, ) paa o poblema G ( ( Figua 8.3: Gáfico da função G3( ) paa n =... 0 Figua 8.4: Gáfico da cuva de nível de h, ) paa o poblema G3... ( Figua 8.5: Gáfico da função G6( )... 4 Figua 8.6: Gáfico das cuvas de nível de g, ) e g, ) paa o poblema G ( ( Figua 8.7: Repesentação de G6( ) e as estições g, ) e g, )... 5 ( ( Figua 8.8: Gáfico da função G8( )... 8 Figua 8.9: Gáfico das cuvas de nível de g (, ) e g (, ) paa o poblema G Figua 8.0: Gáfico da função G( )... Figua 8.: Gáfico tidimensional de h( ) =... Figua 8.: Gáfico da Cuva de nível de h, ) paa o poblema G... 3 ( Figua 8.3: Repesentação de G( ), h( ) = e a estição h( ) = 0 elaada... 3 Figua 9.: Oganização das altenativas de solução paa G5 em fentes de dominância... 38

12 LISTA DE TABELAS Tabela 3.: Pseudocódigo do método da bissecção ecusiva Tabela 3.: Conjunto de soluções e seus espectivos valoes de função objetivo Tabela 7.: População de indivíduos geada aleatoiamente Tabela 7.: Valoes das estições paa cada indivíduo Tabela 7.3: Violações consideando δ = 0, 0 paa as estições de igualdade Tabela 9.: Algumas caacteísticas dos poblemas testes... 7 Tabela 9.: Melho solução encontada paa o Poblema G Tabela 9.3: Melho solução encontada paa o Poblema G... 3 Tabela 9.4: Melho solução encontada paa o Poblema G Tabela 9.5: Melho solução encontada paa o Poblema G Tabela 9.6: Melho solução encontada paa o Poblema G Tabela 9.7: Melho solução encontada paa o Poblema G Tabela 9.8: Melho solução encontada paa o Poblema G Tabela 9.9: Melho solução encontada paa o Poblema G Tabela 9.0: Melho solução encontada paa o Poblema G Tabela 9.: Melho solução encontada paa o Poblema G Tabela 9.: Melho solução encontada paa o Poblema G Tabela 9.3: Compaação dos melhoes esultados Tabela 9.4: Valoes dos objetivos, das vaiáveis e das violações de estições dos melhoes indivíduos encontados paa G Tabela 0.: Resultados obtidos em (Venkataman e Yen, 005) na pimeia fase... 4

13 SUMÁRIO Intodução Motivações Intodução Geal Oganização do Teto... 6 Otimização Intodução Divisão das Técnicas de Otimização..... Técnicas Baseadas em Cálculo..... Técnicas Enumeativas Técnicas Aleatóias Guiadas Otimização Multiobjetivo Intodução Métodos de Abodagem da Otimização Multiobjetivo Definição do Poblema de Otimização Multiobjetivo Dominância e Soluções Paeto Ótimas Pocedimentos paa Enconta um Conjunto Não-Dominado Método de Kung paa Obtenção do Conjunto Não-Dominado Métodos Clássicos de Otimização Multiobjetivo Método da Soma Pondeada Método da Restição -ε Métodos de Pogamação po Metas... 50

14 3.6.4 Vantagens de Desvantagens dos Métodos Clássicos Algoitmos Evolucionáios Intodução Algoitmos Genéticos Definições Estutua Básica do Algoitmo Genético Repesentação ou Codificação Geação da População Inicial Avaliação da População Seleção dos Indivíduos Opeadoes Genéticos Elitismo Paâmetos de Contole Vantagens e Desvantagens dos Algoitmos Genéticos Vantagens dos Algoitmos Genéticos Desvantagens dos Algoitmos Genéticos Algoitmo Genético com Codificação Real Algoitmos Evolucionáios Multiobjetivos Intodução Algoitmos Evolucionáios Multiobjetivos Algoitmo Genético Elitista Baseado em um Odenamento Não-Dominado (NSGA-II) Distância de Aglomeação Seleção po Toneio Segundo a Distância de Aglomeação ( < c ) Deteminação dos Descendentes Finais Pseudocódigo paa o NSGA-II Algoitmos Evolucionáios paa Poblemas Restitos Intodução Algoitmos Evolucionáios paa Resolve Poblemas Restitos Métodos Baseados em Funções de Penalização Métodos Baseados na Pefeência de Soluções Factíveis sobe as Infactíveis 87

15 6..3 Métodos Baseados em Otimização Multiobjetivo Algoitmo Poposto Intodução Algoitmo Poposto Fase I : Algoitmo de Satisfação das Restições Fase II : Algoitmo de Otimização com Restições Poblemas Testes Intodução Poblema G Poblema G Poblema G Poblema G Poblema G Poblema G Poblema G Poblema G Poblema G Poblema G Poblema G... 9 Testes e Resultados Paâmetos Utilizados Caacteísticas Geais Resultados Finais Conclusões Conclusão Geal Sugestões paa Tabalhos Futuos... 4 Refeências... 44

16 CAPÍTULO INTRODUÇÃO Neste capítulo apesentam-se as motivações paa a elaboação do algoitmo que seá poposto, uma intodução geal elatando os objetivos deste tabalho e, além disso, apesentase a oganização deste teto. As idéias básicas paa a elaboação deste tabalho foam, pincipalmente, baseadas no atigo de Venkataman e Yen (VENKATRAMAN ; YEN, 005).. Motivações Nesta seção apesentam-se algumas motivações que influenciaam na elaboação de um Algoitmo Genético voltado, pincipalmente, à aplicação em poblemas altamente estitos e com vaiáveis contínuas. Os Algoitmos Genéticos são técnicas de buscas estocásticas que não ofeecem gaantia de poduzi soluções factíveis. Pensando nesta caacteística, suge a motivação de implementa um Algoitmo Genético que taga confiança em poduzi soluções que sejam úteis e obedeçam as estições impostas ao poblema. Assim, do ponto de vista pático, é essencial que um Algoitmo Genético utilizado em poblemas de otimização estita poduza soluções factíveis paa todas tentativas de busca pela solução ótima.

17 Capítulo : Intodução 5 Uma motivação que também influenciou a elaboação do algoitmo que seá poposto se efee aos divesos paâmetos dependentes do poblema que são necessáios paa implementação de deteminados Algoitmos Genéticos aplicados a poblemas estitos. Sabese que quando se tata de otimização estita, sugem váios tipos de poblemas com suas espectivas peculiaidades. No entanto, seia impaticável se um Algoitmo Genético elaboado e ajustado paa um poblema específico não pudesse se utilizado paa a esolução de outos poblemas. Assim, buscou-se elaboa um algoitmo que possa se aplicado a uma gande vaiedade de poblemas. Enfim, fomulou-se uma estutua bastante genéica, ou seja, não eige nenhuma infomação subjetiva do poblema e possui paâmetos de contole não vaiáveis.. Intodução Geal A maioia dos poblemas do mundo eal apesenta, em sua fomulação, estições de igualdade e desigualdade. Na esolução destes poblemas os Algoitmos Evolucionáios, em especial os Algoitmos Genéticos, têm sido amplamente utilizados. Estas técnicas, ao seem compaadas com os métodos tadicionais de pogamação, possuem a vantagem de tabalha com uma meno quantidade de infomações não pecisando, po eemplo, calcula gadientes, deivadas, hessianas ente outas. Além disso, estas técnicas são de fácil implementação e são feamentas de busca global. Duante os últimos anos, váios algoitmos evolucionáios foam popostos paa esolve poblemas de otimização estita. Consideando a otimização estita, pode-se dize que obte uma solução factível, ou seja, uma solução que seja útil na fomulação do poblema e satisfaça todas as estições, pevalece, em deteminado estágio do algoitmo, sobe otimiza a função objetivo. Eistem poblemas bastante compleos que são altamente estitos e, neste caso, enconta uma única solução factível pode se consideado uma taefa etemamente difícil. Muitas vezes, impo que a obtenção de soluções factíveis seja sempe satisfeita, pode se uma eigência um tanto eageada. No entanto, deve-se pelo menos espea que um citéio de factibilidade seja satisfeito paa todas as tentativas de buscas pela solução ótima e que uma otimização adequada seja alcançada (VENKATRAMAN; YEN, 005). Sendo assim, objetivou-se elaboa um algoitmo que, em seu pimeio estágio, visa eclusivamente obte,

18 Capítulo : Intodução 6 pelo menos, uma única solução factível. Após alcança com sucesso o pimeio estágio, o algoitmo tansfee-se paa um segundo estágio que visa ealiza a otimização simultânea da função objetivo e da violação das estições. Neste estágio um poblema mono-objetivo de otimização estita é tatado como um poblema biobjetivo e, desta foma, além de busca a solução ótima global factível do poblema, pocua-se também obte soluções que violam de foma aceitável as estições impostas na tentativa de obte um ganho impotante nos valoes da função objetivo. Enfim, o objetivo pincipal deste tabalho foi elaboa um Algoitmo Genético que visa atende a factibilidade e, posteiomente, a factibilidade e otimalidade simultaneamente. Estas caacteísticas do algoitmo poposto fazem com que sua estutua seja eficiente e especializada na esolução de poblemas que possuem vaiáveis contínuas e que são, pefeencialmente, altamente estitos, visto que, obte soluções factíveis paa estes tipos de poblemas é bastante difícil e, além disso, estes poblemas muitas vezes pemitem uma pequena magem de violação das estições impostas paa obte uma melhoia impotante no valo da função objetivo. Paa veifica o desempenho do algoitmo poposto, utilizam-se poblemas testes que são bastante utilizados como efeência na liteatua especializada. Desta foma, obtêm-se os esultados povenientes da aplicação do algoitmo poposto a estes poblemas e, posteiomente, ealiza-se uma compaação dos esultados obtidos aqui com as soluções já epotadas na liteatua utilizando outos algoitmos..3 Oganização do Teto Nesta seção apesenta-se como este tabalho foi oganizado. Este tabalho está dividido em dez capítulos e a segui é citado e comentado cada um destes capítulos: Neste pimeio capítulo apesentaam-se as motivações e uma intodução geal com os objetivos da ealização deste tabalho.

19 Capítulo : Intodução 7 No capítulo é intoduzido o assunto otimização, apesentando a fomulação geal e os conceitos básicos do tema, além disso, apesentam-se também as altenativas disponíveis paa o tatamento desse assunto. No capítulo 3 são apesentadas as difeenças conceituais e de tatamento ente a otimização mono-objetivo e multiobjetivo. São apesentados os conceitos, definições, fomas de abodagem e alguns métodos clássicos de otimização multiobjetivo. No Capítulo 4 apesentam-se alguns algoitmos evolucionáios, em especial, apesentase a teoia do Algoitmo Genético básico fonecendo uma estutua geal desta técnica. São apesentadas também as vantagens e desvantagens da aplicação desta técnica e, além disso, mostam-se as implicações da utilização de um algoitmo genético com codificação eal. No capítulo 5 são intoduzidos alguns algoitmos evolucionáios multiobjetivos eistentes na liteatua, em especial, apesenta-se a teoia do Algoitmo Genético Elitista Baseado em um Odenamento Não-Dominado (NSGA-II) que epesenta uma técnica impotante paa o desenvolvimento deste tabalho. No Capítulo 6 apesentam-se algumas fomas de tabalha com algoitmos evolucionáios visando a esolução de poblemas de otimização estita. Este capítulo tem a finalidade de intoduzi alguns métodos de manipulação de estições eistentes na liteatua e apesenta algumas vantagens e desvantagens povenientes de suas aplicações. No Capítulo 7 apesenta-se o algoitmo poposto. Descevem-se suas caacteísticas, paticulaidades e estatégias acopladas paa sua fomação. Este algoitmo é especializado na esolução de poblemas altamente estitos e com vaiáveis contínuas e tenta evita deteminados poblemas povenientes da aplicação de outos métodos de otimização estita. No Capítulo 8 apesentam-se os poblemas testes utilizados paa veifica o desempenho do algoitmo poposto. Apesentam-se os enunciados dos poblemas testes e, também, mostam-se as melhoes soluções ótimas já encontadas e as caacteísticas de cada um destes poblemas. Além disso, quando possível, são esboçados os gáficos da função objetivo e do conjunto de estições paa alguns destes poblemas.

20 Capítulo : Intodução 8 No Capítulo 9 apesentam-se os esultados obtidos da aplicação do algoitmo poposto aos poblemas testes vistos no capítulo anteio. Além de apesenta os esultados obtidos, apesentam-se detalhadamente os paâmetos de contole utilizados e as dificuldades encontadas na obtenção das soluções. Na apesentação dos esultados, é feita uma compaação dos esultados obtidos com as melhoes soluções epotadas na liteatua. Finalmente, no capítulo 0, apesentam-se as conclusões geais obtidas da ealização deste tabalho. Ainda neste capítulo são feitas sugestões paa a ealização de tabalhos futuos e, consequentemente, são apesentadas idéias que podem se aplicadas ao algoitmo poposto visando sua melhoia.

21 CAPÍTULO OTIMIZAÇÃO. Intodução Neste capítulo são apesentados, de foma sucinta e objetiva, os pincipais conceitos, fundamentos e divisões do campo denominado otimização. A palava otimiza tem o sentido de melhoa o que já eiste, ou então, pojeta o novo com mais eficiência e meno custo. A otimização visa detemina a melho configuação do pojeto sem te que testa todas as possibilidades. Otimização pode também se definida como a necessidade de eficiência, que pode se dividida nas etapas de econhecimento das altenativas e a decisão. Pimeiamente, é econhecido numa taefa ou poblema a possibilidade de opta ente váias hipóteses e, em seguida, é decidida po aquela que se considea a melho opção (ZINI, 005). A decisão pode se qualitativa quando a escolha é feita atavés do bom senso, ou quantitativa quando a decisão é baseada em métodos matemáticos. No entanto, no pocesso de tomada de decisões é de gande auílio o uso de alguns métodos ou técnicas paa ealiza taefas ou esolve poblemas.

22 Capítulo : Otimização 0 Um poblema de otimização possui a seguinte fomulação geal (KOZIEL; MICHALEWICZ, 999): Otimiza f () (.) Sujeito a ( ) 0, paa j =, K, q (.) g j h j ( ) = 0, paa j = q +, K, m (.3) sendo que: l( i) u( i), i n (.4) i =, K, ) é definido como sendo as vaiáveis de decisão ou de pojeto. Estas ( n vaiáveis podem se contínuas (eais), inteias ou discetas. Na epessão (.) está definida a função f () que se deseja otimiza. Esta função é chamada de função objetivo do poblema e pode se minimizada ou maimizada. A epessão (.4) epesenta as estições lateais que definem o espaço de busca que seá chamado de S. Este espaço epesenta o domínio das vaiáveis definidas pelos seus limitantes infeio e supeio. A egião S epesenta o conjunto de todos os pontos onde a função objetivo do poblema está definida. As epessões (.) e (.3) epesentam um conjunto de m estições que definem uma egião que seá denominada po F. Esta egião está contida no espaço de busca S e seá chamada de egião factível. Uma solução que petença à egião F é bastante desejável, visto que, a efeida egião satisfaz, simultaneamente, as epessões de (.), (.3) e (.4). * O ponto = (,, K, n ) é denominado ponto ótimo. Este ponto é fomado pelas vaiáveis de decisão que otimizam a função objetivo f () em alguma egião e satisfazem as estições.

23 Capítulo : Otimização * O valo f ( ) epesenta o valo da função objetivo no ponto ótimo. Este valo seá chamado de valo ótimo do poblema. * * O pa fomado pelo ponto ótimo e valo ótimo, ou seja, (, f ( )) epesenta a solução ótima do poblema. As soluções ótimas podem se classificadas como (CASTRO, 00): - local: quando o valo é ótimo consideando uma pate do espaço de busca; - global: quando o valo é ótimo consideando todo o espaço de busca; A segui, mosta-se a divisão de algumas técnicas de otimização eistentes.. Divisão das Técnicas de Otimização É comum depaa-se com situações em que é necessáio decidi deteminadas caacteísticas de um sistema de onde se deve etai o maio númeo possível de benefícios. Pensando nisto, foam desenvolvidos métodos e técnicas que pemitem descobi quais os valoes devem se escolhidos paa atingi os valoes máimos ou mínimos efeentes a deteminadas situações (LUCAS, 00). Potanto, paa a esolução de divesos poblemas, encontam-se disponível na liteatua uma vaiedade de técnicas e métodos. Em (LINDEN, 006), po eemplo, estas técnicas estão divididas como: - Técnicas de busca baseadas em cálculo; - Técnicas de busca aleatóias guiadas; - Técnicas de busca enumeativas; O diagama abaio, elaciona e subdivide as efeidas técnicas de busca:

24 Capítulo : Otimização Técnicas de Busca Baseada em Cálculo Aleatóias Guiadas Enumeativas Algoitmos Evolucionáios Resfiamento Simulado ( Simulated Annealing ) Estatégias Evolucionáias Algoitmos Genéticos Pogamação Evolutiva Paalelos Seqüenciais Figua.: Subdivisão das técnicas de busca... Técnicas Baseadas em Cálculo Estes técnicas usam um conjunto de condições necessáias e suficientes que devem se satisfeitas pelas soluções de um poblema de otimização. Nesta classe, estão pesentes os métodos de Pogamação Matemática (também conhecido como Métodos Clássicos) que foam uns dos pimeios métodos desenvolvidos paa o tatamento dos poblemas de otimização. Eiste uma gande quantidade de tetos voltados a este assunto, como po eemplo, (BAZARAA et al. 990, 993).

25 Capítulo : Otimização 3 Na pogamação matemática, o poblema é tatado de foma iteativa e deteminística. Paa isto, necessita-se tabalha com uma vaiedade de infomações tais como: gadientes, hessianas, deivadas ente outas e, po esta azão, eigem nomalmente muitas infomações e condições do poblema a se esolvido como, po eemplo, egião factível bem definida, suavidade da função que se deseja otimiza e conveidade do poblema. Uma gande desvantagem da pogamação matemática é ainda a ineistência de um método que busque soluções ótimas globais, ou seja, as soluções poduzidas pelos métodos de pogamação matemática são suscetíveis a ficaem pesas em ótimos locais. Os métodos matemáticos gealmente apesentam teoemas de gaantia de convegência paa uma solução ótima. No entanto, a solução encontada não seá necessaiamente a solução ótima global, o que pode, eventualmente até ocoe. Isto dependeá basicamente da solução inicial adotada, já que, os métodos de pogamação matemática necessitam de uma solução inicial paa o início do método iteativo (CASTRO, 00). Os métodos de Pogamação Matemática ainda podem se classificados em difeentes áeas de acodo com o compotamento da função objetivo e das estições. A segui, são mostadas estas classificações: - Pogamação Linea: a função objetivo e as estições são lineaes. - Pogamação Não-Linea: a função objetivo ou pelo menos uma das estições são não-lineaes. Em seguida, foam sugindo outas áeas com o intuito de apefeiçoa a esolução dos poblemas. Um eemplo é a Pogamação Quadática, onde a função objetivo é quadática e as estições são lineaes. Outos eemplos que se enquadam nas áeas de Pogamação Matemática, sugem do fato de os poblemas de otimização apesenta ou não estições. Com isso, sugem os Poblemas de Otimização com estições ou estitos e sem estições ou iestitos.

26 Capítulo : Otimização 4 A segui, tenta-se elaciona e classifica alguns dos inúmeos métodos de pogamação matemática eistentes paa o tatamento de poblemas de otimização (CASTRO, 00 apud NEVES, 997): Pogamação Linea Pogamação Não-Linea Simple Minimização sem Restição Métodos Unidimensionais Métodos Multidimensionais Redução Sucessivas de Intevalos Métodos sem Cálculo de Deivadas Métodos com Cálculo de Deivadas Dietas Apoimação paa Polinômios Hooke e Jeeves Rosembock Poweel (Dieções Conjugadas) Nelde Deivadas ª Odem Deivadas ª Odem Métodos de Fibonacci Método da Seção Áuea Método DSC-Powell Método da Secante Método de Newton Método da Bissecção Métodos Quase-Newton Métodos de Dieções Conjugadas Gadiente Busca Linea sem usa Deivadas Busca Linea usando Deivadas Método de Newton Minimização com Restição Métodos das Penalidades Métodos das Baeias Segundo Vandeplaats, petence a uma classe maio, coespondendo às técnicas de minimização nãoestingida seqüencial Método das Penalidades Método das Baeias Método Lagangeano Aumentado Método do Gadiente Pojetado (Rosen) Métodos das Dieções Viáveis Método do Gadiente Reduzido (Wolfe) / Genealizado Pogamação Linea Sequencial (Método de Planos de Cotes) Pogamação Quadática Sequencial Figua.: Classificação geal dos métodos matemáticos... Técnicas Enumeativas As técnicas enumeativas pocuam a solução pesquisando, em seqüência, cada ponto do espaço de busca (finito e disceto). Uma destas técnicas é conhecida como Pogamação Dinâmica (BARCELLOS, 000).

27 Capítulo : Otimização 5..3 Técnicas Aleatóias Guiadas Estas técnicas são baseadas nas técnicas enumeativas. No entanto, utilizam infomações adicionais paa diigi a busca às soluções. Ente estas técnicas, estão o Resfiamento Simulado e os Algoitmos Evolucionáios. O Recozimento Simulado ou, talvez mais conhecido pelo temo Simulated Annealing, é uma técnica baseada em um pocesso que faz uma analogia com a temodinâmica. Na constução de cistais pefeitos, um mateial é aquecido até uma tempeatua elevada e depois esfiado de foma lenta, mantendo duante o pocesso o chamado quase equilíbio temodinâmico. Assim, o Recozimento Simulado tenta simula um pocesso equivalente paa enconta a solução ótima do poblema (ROMERO; MANTOVANI, 004). Os Algoitmos Evolucionáios são técnicas de busca estocásticas, podeosas e amplamente aplicáveis, que fazem uma analogia com os mecanismos de evolução natual e da genética. O pincípio básico destas técnicas é a evolução de uma população de indivíduos (conjunto de soluções). Confome a linha de aplicação e alguns detalhes dos Algoitmos Evolucionáios podem-se dividi esta técnica em Estatégias Evolucionáias, Algoitmos Genéticos, Pogamação Evolutiva. Neste tabalho, seá dada ênfase aos Algoitmos Evolucionáios, em especial aos Algoitmos Genéticos, visto que, utiliza-se esta técnica paa o desenvolvimento pincipal deste tabalho. Mais adiante, seá dedicado um capítulo eclusivo paa eplicita os conceitos destas técnicas.

28 CAPÍTULO 3 OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO 3. Intodução Neste capítulo, são apesentados alguns conceitos e definições da otimização multiobjetivo. No capítulo anteio, apesentou-se a fomulação geal de um poblema de otimização epesentados pelas epessões de (.) a (.4). Nesta fomulação, foi apesentada uma função objetivo e um conjunto de estições. Na pesença de uma única função objetivo, o poblema é chamado de otimização mono-objetivo. Na otimização multiobjetivo, em sua fomulação, além de um conjunto de estições, apaece também mais de uma função objetivo e, potanto, uma das difeenças ente as otimizações mono-objetivo e multiobjetivo efee-se à quantidade de funções objetivos associadas ao poblema. Uma gande maioia dos poblemas do mundo eal apesentam mais de um objetivo a seem otimizados que são, na maioia das vezes, conflitantes ente si, ou seja, a melhoia de um ou mais objetivos causam, consequentemente, a deteioação de outo(s). Em Deb (004) é apesentado um eemplo bastante básico que possui objetivos conflitantes. Este eemplo está associado à aquisição de um automóvel.

29 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 7 Na busca da compa de um automóvel, o mecado ofeece váios peços e difeentes gaus de confoto. A figua a segui, ilusta uma dessas situações: CONFORTO 9 C D II B A 4 I 5 mil 80 mil CUSTO EM R$ Figua 3.: Eemplo de aquisição de um automóvel (soluções I, A, B, C, D e II). Considee na ilustação, um automóvel (solução I) e outo (solução II) com os espectivos valoes de mecado: R$ 5 mil e R$ 80 mil. Nesta situação, suponha que o único objetivo é minimiza o custo do automóvel. Desta foma, a solução ótima escolhida seá a epesentada po I e, povavelmente, não haveia caos no mecado que poduzam custos altos. Na vida eal, é evidente que esta situação não admite um único objetivo, ou seja, devese considea também o gau de confoto do automóvel. É bastante povável que um automóvel com meno custo seja também menos confotável. A figua anteio indica que o cao mais baato possui um nível de confoto igual a 4. Uma pessoa que almeja o maio confoto escolheia a solução II que possui um gau de confoto igual a 9. Pode-se veifica que ente as soluções etemas (I e II) eistem, na linha tacejada, outas soluções que popocionam uma vaiação de custo e confoto. Na figua, as soluções

30 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 8 A, B, C e D epesentam estas soluções com difeentes custos e confotos. Neste caso, podese nota que ente todas as soluções pesentes, não é possível dize que uma solução é melho que outa, ou seja, nenhuma solução que tenha meno custo e confoto pode se consideada supeio à outa com maio custo e confoto. A escolha do melho automóvel epesentado po estas soluções só pode se feita levando em consideação as necessidades e as possibilidades financeias da pessoa que deseja adquii o automóvel. Sendo assim, nos poblemas de otimização multiobjetivo eiste também uma distinção com os poblemas de otimização mono-objetivo quanto à maneia que as soluções são adquiidas. Potanto, isso faz com que esses poblemas apesentem um conjunto de soluções ótimas. Consideando agoa a mesma situação do poblema e, acescentando às opções eistentes mais 3 tipos de caos (soluções E, F e G), obtêm-se a seguinte situação ilustada na figua a segui: CONFORTO 9 G D II C F B E A 4 I 5 mil 80 mil CUSTO EM R$ Figua 3.: Eemplo de aquisição de um automóvel (soluções I, A, B, C, D, II, E, F e G). Emboa compa um cao com baio custo e alto confoto seja uma condição ideal, esta condição não é eal paa o mecado. Potanto, na figua a solução G com baio custo e

31 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 9 alto confoto é uma opção dita absuda e não deve se consideada. Poém, eistem soluções que são supeioes às outas, isto é, apesentam maio confoto e custo meno ou igual. Na figua, as soluções E e F supeam, espectivamente, as soluções I e A. Estas soluções que supeam as outas são chamadas de não-dominadas, enquanto que, as soluções que são supeadas po, pelo menos, uma outa solução são denominadas dominadas. Assim, quem deseja compa um automóvel, diante de todas as opções apesentadas na figua anteio (obviamente ecluindo a solução G) a melho opção, desta vez, é escolhe ente as soluções (E, F, B, C, D e II). Deste modo, é muito inteessante uma técnica ou método que enconte o conjunto das soluções não-dominadas paa que, ente essas, possa se escolhida aquela que melho atenda as necessidades de quem busca po estas soluções. Essa é a taefa da otimização multiobjetivo. Assim, como na otimização mono-objetivo, na otimização multiobjetivo também eistem divesos métodos e técnicas paa esolve poblemas que possuem mais de duas funções objetivos. Mais adiante, seão vistos algumas dessas técnicas. 3. Métodos de Abodagem da Otimização Multiobjetivo Foi visto que uma difeença fundamental ente a otimização mono-objetivo e multiobjetivo está na quantidade de soluções ótimas obtidas. No entanto, do ponto de vista pático, ao esolve um poblema de otimização necessita-se, na maioia das vezes, de somente uma solução como esposta independentemente do tipo de otimização adotado. Assim, dento da otimização multiobjetivo eistem duas abodagens no tatamento do poblema: ) Definidas as pioidades e pesos ente os váios objetivos de inteesse, enconta-se a solução ótima baseadas nas infomações fonecidas anteiomente; ) Não contendo nenhuma infomação adicional, enconta-se o conjunto de soluções não-dominadas paa posteiomente escolhe uma solução dente este conjunto.

32 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 30 Em Deb (004), são esquematizados estas duas abodagens. Nas figuas a segui mostam-se estas duas abodagens consideando que o poblema possui duas funções objetivos. Fomulação do Poblema Multiobjetivo: Minimiza f Minimiza f Sujeito a estições Definição das pioidades das funções objetivo Estima a impotância elativa dos pesos w e w Constução de uma única função objetivo composta: F=w f +w f Utiliza a otimização monoobjetivo f Deteminação da solução ótima única f Figua 3.3: Esquematização da abodagem.

33 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 3 Fomulação do Poblema Multiobjetivo: Minimiza f Minimiza f Sujeito a estições Utilização da otimização multiobjetivo que enconte as soluções não-dominadas f Deteminação das soluções não-dominadas f f Escolha de uma solução f Figua 3.4: Esquematização da abodagem. Na abodagem, epesentada pela figua 3.3, é impotante essalta que é gealmente bastante difícil estabelece o nível elativo da impotância dos objetivos. Assim, a difícil questão da pimeia abodagem é como defini todas as pioidades e pesos dos poblemas que, na maioia das vezes, se conhece tão pouco. Nesta abodagem, as divesas funções objetivos do poblema são tansfomadas em uma única e, potanto, basta utiliza uma técnica de otimização mono-objetivo paa esolve o poblema esultante. Neste caso, encontam-se disponíveis váios algoitmos que podem se baseados em métodos clássicos, algoitmos de busca aleatóia guiada como, po eemplo, o Recozimento Simulado ou até mesmo nos algoitmos evolucionáios.

34 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 3 Po outo lado, eistem algoitmos evolucionáios que tabalham com os poblemas baseando-se na abodagem. Assim esses algoitmos possibilitam a obtenção de um gande númeo de soluções não-dominadas paa que, posteiomente, seja escolhida ente este conjunto a melho opção. Realmente, em poblemas multiobjetivos do mundo eal eiste a dificuldade em enconta infomações qualitativas e quantitativas ineentes ao poblema. Deste modo, diante dos fatos apesentados, pode-se conclui que a abodagem é bem mais inteessante. Potanto, esta conclusão faz com que os Algoitmos Evolucionáios sejam pefeidos em elação aos métodos clássicos ou mesmo ao Recozimento Simulado, já que estas duas categoias não foam pojetadas paa tabalhaem com múltiplas soluções como acontece natualmente com os Algoitmos Genéticos (CASTRO, 00). Paa o desenvolvimento pincipal deste tabalho, utiliza-se como base a abodagem atavés da utilização de Algoitmos Genéticos. No entanto, seão apesentados também alguns conceitos de métodos que devem se aplicados segundo as idéias da abodagem. 3.3 Definição do Poblema de Otimização Multiobjetivo A fomulação geal de um poblema de otimização multiobjetivo, envolve a minimização ou maimização de algumas funções objetivos que estão sujeitas a uma deteminada quantidade de estições. Assim, a fomulação geal do poblema de otimização multiobjetivo pode se epessa po (DEB, 004): Otimiza Z = f (), paa k =,, K, l com l (3.) k Sujeito a ( ) 0, paa j =, K, q (3.) g j h j ( ) = 0, paa j = q +, K, m (3.3) l( i) u( i), i n (3.4) i

35 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 33 A fomulação dada pelas epessões (3.) a (3.4) são semelhantes às dadas no capítulo anteio paa um poblema de otimização mono-objetivo. Potanto, as definições dadas paa as epessões do capítulo anteio, valem também paa estas epessões. A difeença, como já foi dito, efee-se à quantidade de funções objetivos associadas ao poblema que devem se otimizadas simultaneamente. Desta foma, o que se busca é enconta um ponto =, K, ) que satisfaça o conjunto de estições e otimize as funções objetivos ( n envolvidas no poblema. Assim, com a pesença de mais de uma função objetivo, suge um novo espaço impotante denominado espaço objetivo. Potanto, pode se feito o mapeamento do espaço das vaiáveis de decisão com o seu coespondente espaço objetivo. A figua a segui, epesenta o mapeamento ente o espaço das vaiáveis e o objetivo, ambos bidimensionais, ou seja, foam consideadas duas vaiáveis de decisão e duas funções objetivos. f = (, ) Z = ( f, f ) f Figua 3.5: Repesentação do espaço das vaiáveis de decisão e o coespondente espaço objetivo. Como já foi comentada, a maneia mais inteessante paa obte as soluções ótimas de um poblema multiobjetivo é enconta um conjunto de soluções que sejam não-dominadas. Quando se efee às soluções não-dominadas, foi visto que essas supeam outas soluções levando em conta os valoes das funções objetivos. Sendo assim, o compotamento de uma solução no espaço objetivo é que detemina se uma solução é não-dominada ou não. Potanto, a elação ente as soluções mapeadas no espaço objetivo iá guia a escolha de pontos desejáveis no espaço das vaiáveis. Essa elação é taduzida pela compaação ente cada duas

36 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 34 soluções mapeadas levando-se em consideação cada função objetivo do poblema. Baseando-se nesta idéia, suge o conceito de dominância que seá visto a segui. 3.4 Dominância e Soluções Paeto Ótimas A maioia dos algoitmos de otimização multiobjetivos usam os conceitos de dominância. Nestes algoitmos, duas soluções são compaadas paa veifica se uma domina ou não a outa. Segundo Deb (004), o conceito de dominância pode se definido como: Definição : Uma solução () domina outa solução (), se ambas as condições e são vedadeias: - A solução () não é pio que () em todos os objetivos; - A solução () é estitamente melho que () em pelo menos um objetivo. Caso qualque uma das condições acima seja violada, a solução () solução (). Se () domina a solução () (ou matematicamente () também pode se escito como: não domina a p ()), este fato - () é dominado po (); - () é não-dominado po (); - () é não-infeio a (). Consideando um poblema de otimização de minimização com k funções objetivos, ou seja, todas as funções objetivos deste poblema devem se de minimização. Pode-se desceve o conceito de dominância paa este tipo de situação como: Definição : Uma solução () domina outa solução () se: - qualque que seja k {,, K, l}, tal que f k ( ()) f k ( ()), eiste j {,, K, l}, tal que f ( ()) < f ( ()). j j

37 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 35 Paa facilita o entendimento das definições anteioes, considee a figua a segui supondo que se tata de um poblema de minimização (BARDANACHVILI, 006). f e c b d a f Figua 3.6: Relação de dominância ente as soluções. Pelas definições anteioes, a solução a domina as soluções b e c, ou seja, a p b e a p c. As soluções a e d são não-dominadas ente si. Pode-se afima que as soluções a, d e e fomam um conjunto de soluções não-dominadas que domina o conjunto fomado pelas soluções b e c. Logo, isto significa que um elemento do conjunto {b, c} encontaá pelo menos um elemento de {a, d, e} que o domine. De modo geal, dado um conjunto de soluções P, o conjunto de soluções nãodominadas P é aquele contendo elementos não-dominados po qualque elemento do conjunto P. Então, quaisque soluções de P são não-dominadas ente si e qualque solução das demais do conjunto P são dominadas po pelo menos um elemento de P. Caso o conjunto P seja o pópio espaço de busca S, então o conjunto P é chamado de conjunto Paeto ótimo. Sendo assim, eiste uma sutil difeença ente um conjunto de soluções não-dominadas e um conjunto Paeto ótimo. Um conjunto de soluções não-dominadas é definido no conteto de uma amosta do espaço de busca S, enquanto o conjunto Paeto ótimo é definido em

38 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 36 elação a todo espaço de busca. Ao considea somente funções a seem minimizadas, as soluções Paeto ótimas, assumem o aspecto da figua a segui: f Espaço Objetivo Fonteia de Paeto ótima f Figua 3.7: Fonteia de Paeto ótima. Um poblema simples de otimização multiobjetivo foi poposto e testado po Schaffe (SCHAFFER, 984) e tem como objetivo minimiza, simultaneamente, duas funções objetivos g e h definidas po: g ( ) = e h ( ) = ( ) (3.5) A epesentação gáfica de ambas as funções g e h são mostadas na figua seguinte. Analisando esta epesentação, é possível veifica que as soluções ótimas de Paeto devem esta compeendidas no intevalo [0, ], visto que, foa deste intevalo ambas as funções cescem simultaneamente.

39 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 37 g,h 0 g() h() Figua 3.8: Funções g e h de um poblema multiobjetivo. No intevalo [0, ], enquanto uma função cesce a outa diminui de valo e, desta foma, não é tão fácil identifica a fonteia de Paeto. No entanto, esboçando o gáfico g h tem-se o espaço objetivo e, potanto, pode-se identifica a fonteia de Paeto. O gáfico do espaço objetivo é mostado a segui. Fonteia de Paeto Soluções dominadas Figua 3.9: Identificação da fonteia de Paeto

40 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 38 A Fonteia de Paeto, conhecida também como Fente de Paeto é uma cuva composta de soluções não-dominadas, como já foi dito, consideando todo o espaço de busca. Desta foma, deduz-se que o objetivo do pocesso de otimização multiobjetivo seá obte os elementos da fonteia de Paeto, já que, qualque solução foa dela encontaia solução melho sobe ela. Assim, o espaço de soluções se divide em soluções ótimas e não-ótimas. O eemplo anteio apesenta apenas dois objetivos e, potanto, foi fácil identifica a fonteia de Paeto. No entanto, paa poblemas mais compleos não é possível faze uma análise gáfica e, assim, é necessáio o uso de técnicas ou métodos computacionais paa a esolução destes poblemas. Na fonteia de Paeto, em pincípio, não há pefeência po nenhuma das soluções, sendo necessáio acescentaem elações ente as funções objetivos paa escolhe uma deteminada solução da fonteia de Paeto. Os pontos no espaço objetivo são obtidos gealmente po métodos ou técnicas computacionais e, desta foma, deve-se pocua enconta um númeo adequado de pontos o mais póimo possível da fonteia de Paeto. Além de enconta os efeidos pontos, é desejável que estes estejam elativamente bem espaçados. Potanto, na otimização multiobjetivo, busca-se alcança duas impotantes metas na busca de soluções (DEB, 004): - Enconta um conjunto de soluções o mais póimo possível da fonteia de Paeto; - Enconta um conjunto de soluções que estejam elativamente bem espaçados, ou seja, com a maio divesidade possível. A meta é comum a qualque pocesso de otimização, já a meta é específica paa poblemas de otimização multiobjetivo. A figua a segui, epesenta a solução de um poblema que é ideal paa a otimização multiobjetivo, ou seja, as duas metas impostas foam atendidas.

41 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 39 f Espaço Objetivo Fonteia de Paeto ótima f Figua 3.0: Soluções bem espaçadas na fonteia de Paeto. No entanto, a figua a segui atende somente a meta, ou seja, encontam-se soluções ótimas, mas com baia divesidade. f Espaço Objetivo Fonteia de Paeto ótima Figua 3.: Soluções com baia divesidade na fonteia de Paeto. f

42 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo Pocedimentos paa Enconta um Conjunto Não-Dominado Enconta as soluções não-dominadas de um dado conjunto é simila ao pincípio de enconta o valo mínimo de um conjunto de númeo eais. No caso de enconta o valo mínimo em um conjunto dos númeos eais, dois númeos são compaados paa veifica qual é o meno e, desta foma, o opeado < (meno) é usado paa faze esta veificação. No entanto, paa enconta um conjunto não-dominado a elação de dominância p, vista anteiomente, pode se usada paa identifica a melho de duas soluções. Assim, como eistem difeentes pocedimentos paa enconta o valo mínimo de um conjunto finito de númeos eais, paa enconta um conjunto de soluções não-dominadas de um dado conjunto não é difeente (DEB, 004). Os pocedimentos paa detemina um conjunto não-dominado gealmente possuem difeentes compleidades computacionais e, desta foma, seá apesentado apenas o método consideado pela liteatua especializada como o mais eficiente. Este pocedimento é chamado de Método de Kung e seá visto em seguida. Em Deb (004), além do Método de Kung apesentam-se mais dois métodos paa a obtenção de um conjunto de solução não-dominadas Método de Kung paa Obtenção do Conjunto Não-Dominado Ente os métodos de abodagem dos poblemas de otimização multiobjetivo visto neste capítulo, os métodos que obtêm um conjunto não-dominado como solução é o mais inteessante. E não é paa menos, pois a maioia dos algoitmos de otimização multiobjetivo usa o conceito de dominância em seus pocessos de busca pelas soluções ótimas. Nestes algoitmos, duas soluções são compaadas a fim de estabelece qual solução domina a outa. O método de Kung, apesentado em Deb (004), Peñuela e Ganada (007), popõe uma divisão ecusiva do conjunto de soluções. O pimeio passo consiste em odena descendentemente o conjunto de soluções que seá epesentado po P de acodo com a impotância do valo da pimeia função objetivo. Posteiomente, o conjunto é dividido ecusivamente em dois subconjuntos E (esqueda) e D (dieita). Potanto, isto implica que o subconjunto E é de melho qualidade que o subconjunto D do ponto de vista da pimeia

43 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 4 função objetivo. Assim, é possível veifica o citéio de dominância, em elação à segunda função objetivo, ente os subconjuntos D e E. As soluções de D que não são dominadas po qualque membo de E são combinadas com os membos de E paa foma um conjunto nãodominado M. A confomação do conjunto M e a veificação de dominância têm luga no momento em que o tamanho de E e D são iguais a, ou seja, até que as divisões ecusivas dos subconjuntos pemitam compaa só uma solução do conjunto E com uma do conjunto D. Dos tês métodos apesentados po Deb (004), o pópio auto afima que o método de Kung não é fácil de se visualizado como os outos dois métodos estantes. No entanto, como já discutido, o método de Kung é o mais eficiente computacionalmente. Em Peñuela e Ganada (007), são apesentados um diagama de fluo e um pseudocódigo que juntos sintetizam os pocedimentos do Método de Kung que também é chamado de Bissecção Recusiva. Paa apesenta este diagama e o pseudocódigo, os autoes consideam a definição dos seguintes paâmetos: V: Matiz que contêm os valoes de todas as funções objetivos paa cada uma das soluções do conjunto. N: Númeo de soluções do conjunto a seem avaliadas. P: Veto com elementos de a N usado paa identifica cada solução a se avaliada. M: Númeo de funções objetivos do poblema. TipoOt: Veto que define o tipo de otimização (minimização=0 ou maimização=) de cada uma das funções objetivos. Po eemplo, TipoOt=[0, ] significa que F obj é de minimização e F obj é de maimização. A figua 3. e a tabela 3. mostam, espectivamente, o diagama de fluo e o pseudocódigo do método da bissecção ecusiva:

44 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 4 Dados de entada: V, P, M, TipoOt, L=, i = F obj é de minimização? TipoOt[]=0? sim não Odena P descendentemente em elação a F obj Odena P ascendentemente em elação a F obj Veifica se tem elementos de P que não estão em uma fente P= Vazio? sim Saída: Fentes odenadas Retia de P as soluções que já estão na Fente [L] L = L + i= não Veifica se foam compaadas todas as funções objetivos sim i = M? não i = i + Chama a função que pemite obte a fente L não-dominada Fente [L] =FND_odenado (V, P, TipoOt, i) Figua 3.: Diagama de fluo do método da bissecção ecusiva.

45 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 43 Tabela 3.: Pseudocódigo do método da bissecção ecusiva. Método de Kung (bissecção ecusiva). function [Fente] = FND_odenado(V, P,TipoOt, i) % A entada i coesponde a i-ésima função objetivo com % a que se compaaá o conjunto atual.. N=size(P,); 3. PosDividi=ound((N)/); 4. if N> % Divide-se a fente e chama a funcão ecusivamente. 5. [E]= FND_odenado (V,P ([:PosDividi],:), TipoOt, i); 6. [D]= FND_odenado (V,P([PosDividi+:N],:), TipoOt, i); 7. if TipoOt(i)==0 % Se o poblema é de minimização 8. if V(D(size(D,)),i)<=V(E(size(I,)),i) % Se D domina E 9. M=[E;D]; 0. else. M=[E];. end 3. end 4. if TipoOt(i)== % Se o poblema é de maimização 5. if V(D(size(D,)),i)>=V(E(size(I,)),i) % Se D domina E 6. M=[E;D]; 7. else 8. M=[E]; 9. end 0. end. Fente=M;. else 3. Fente=P; 4. end Como eemplo, considee a tabela seguinte contendo um conjunto de soluções (veto P) e os seus espectivos valoes das funções objetivo (Matiz V). Tabela 3.: Conjunto de soluções e seus espectivos valoes de função objetivo. Veto P Matiz V Soluções Função Objetivo (F obj ) Função Objetivo (F obj ) 0,85,58 0,390 7, ,7559 7,8 4 0,688 8, ,4570, ,4078 8, ,377 7,7673

46 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo ,95 6,98 9 0,7348 6, ,83 8,604 0,6785 3,8630 0,8 3,558 Assumindo que ambas as funções objetivos são de minimização e, utilizando o Método de Kung apesentado, são obtidos os seguintes esultados mostados na figua 3.3 que segue. 8 4 Fobj Fente 3 Fente Fente F obj Figua 3.3: Oganização das altenativas de solução em fentes de dominância. Obsevando a figua 3.3, pecebe-se que as soluções foam divididas em fentes de dominância. Sendo assim, este algoitmo apesenta uma caacteística impotante, pois além de enconta o conjunto de soluções não-dominadas (Fente = {8,, 0, 7,,, }) de todo o conjunto P, ele também pemite oganiza as soluções em fentes que indicam o nível ou classe de dominância que uma solução possui em elação às outas. A idéia paa se obte as

47 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 45 demais fentes das soluções que não fazem pate do conjunto não-dominado (Fente ), consiste em etia do conjunto P as soluções que já estão alocadas em uma fente e epeti o pocesso da bissecção ecusiva (PEÑUELA; GRANADA, 007). Obte as soluções oganizadas em fentes de dominância é muito impotante, pois eistem algoitmos que eigem a classificação das soluções de todo o conjunto em váios níveis de dominância. Desta foma, é possível avalia a qualidade da solução dependendo da fente a qual petencem. No caso dos Algoitmos Genéticos, um conjunto de soluções equivale a uma população e cada solução, epesenta um indivíduo da população. Sendo assim, a oganização dos indivíduos em fente de dominância se faz da mesma foma bastando, simplesmente, mante a analogia ente os temos apesentados. No desenvolvimento pincipal deste tabalho, utiliza-se um Algoitmo Genético que se baseia nesta mesma idéia, ou seja, é feita a classificação da população em fentes de dominância paa avalia a qualidade dos indivíduos. 3.6 Métodos Clássicos de Otimização Multiobjetivo Nesta seção, descevem-se alguns métodos de otimização multiobjetivo. A utilização do temo métodos clássicos, utiliza-se pincipalmente paa distingui-los das técnicas evolucionáias. A liteatua dispõe de váios métodos clássicos paa tata um poblema de otimização multiobjetivo. Em Deb (004) e Coello (996), po eemplo, são apesentados alguns destes métodos. Os métodos clássicos tansfomam o poblema de otimização multiobjetivo em um poblema mono-objetivo, incopoando infomações subjetivas adicionais. Desta foma, o poblema equivalente possui algumas infomações adicionais e paa sua fomulação e esolução, é necessáia a definição de alguns paâmetos. A segui são descitos alguns destes métodos.

48 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo Método da Soma Pondeada Um dos métodos clássicos mais simples é o Método da Soma Pondeada. Este método consiste em foma uma única função objetivo composta da soma pondeada das funções objetivo do poblema de otimização multiobjetivo oiginal. Paa isso, é necessáia a atibuição de pesos (paâmetos), que são valoes popocionais ao nível de pefeência atibuída à espectiva função objetivo. Sendo assim, a função objetivo unificada é epessa po: F( ) = l k= w f ( ) k k (3.6) l w k k= sendo: = e [0,] (3.7) w k Consideando, po eemplo, um poblema multiobjetivo com duas funções objetivos ( f ( ) e f ( ) ) e seus espectivos pesos w e w tem-se a minimização da seguinte função: F( ) = w f( ) + w f ( ) S (3.8) A figua 3.4 ilusta, hipoteticamente, o espaço objetivo e as soluções Paeto ótimas paa este poblema. Na epessão (3.8) a função F é uma combinação linea de ambos os objetivos f e f. Desta foma, as linhas de contono da função F no espaço objetivo é uma eta. De fato, dividindo a epessão (3.8) po w e isolando a função objetivo f temos: w f( ) = w F( ) f( ) + w (3.9) Na epessão (3.9) a pacela F( ) w epesenta o coeficiente linea da eta e desta foma, conhecendo-se os pesos w, w e atibuindo valoes a F são obtidos difeentes etas no espaço objetivo. As etas pontilhadas a, b, c e d na figua 3.4 epesentam difeentes etas coespondentes a difeentes valoes de F. Sendo assim, qualque solução no espaço objetivo

49 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 47 petencente à eta teá o mesmo valo de F. Pode-se obseva, po eemplo, que paa um valo de F temos a eta a, enquanto que, um valo meno de F esulta na eta b. Neste poblema epesentado pela epessão (3.8), queemos minimiza o valo de F e, potanto, o intuito é obte uma eta com o valo mínimo de F. Isto acontece com a eta que é tangente ao espaço objetivo. Na figua 3.4 esta eta é epesentada po d. Sendo assim, o ponto A é a solução mínima de F e, conseqüentemente a solução Paeto ótima coespondente aos pesos adotados. É impotante obseva que na epessão (3.9) o coeficiente w w epesenta o coeficiente angula da eta e, potanto, se difeentes pesos foem utilizados as etas que epesentam as linhas de contono de F teão difeentes inclinações e poduzião, desta foma, difeentes soluções ótimas na fonteia de Paeto. f c b a d A Espaço Objetivo W W Fonteia de Paeto ótima Figua 3.4: Intepetação gáfica do método da soma pondeada. f É inteessante nota que esse tipo de abodagem é adequado apenas quando o espaço objetivo é uma egião convea na fonteia de Paeto e, sendo assim, é possível pova que Dize sem fomalidades que uma egião é convea é o mesmo que afima que: dados dois pontos quaisque petencente a esta egião o segmento de eta que une tais pontos deve esta inteiamente contido nesta egião. Caso contáio, a egião é não-convea.

50 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 48 todos os pontos desta fonteia podem se obtidos vaiando-se os pesos (DEB, 004). A figua 3.5 epesenta um espaço objetivo não-conveo na fonteia de Paeto. Nesta figua, a fonteia de Paeto foi dividida nas egiões AB, BD, DC e CE. Neste caso, a egião ente BDC do espaço objetivo não podeá se encontada pelo método eposto e, desta foma, algumas soluções que podeiam vi a se inteessantes seão pedidas. Isto ocoe poque nesta egião as etas que epesentam as linhas de contono de F encontaão mais de um ponto no espaço objetivo e não seão tangentes e, sendo assim, seá possível enconta uma eta tangente que poduziá um meno valo paa a função F. Na figua pode-se veifica que a eta c passa pelos pontos D e C na egião BDC e não é tangente, no entanto, a eta b que é paalela a c encontaá o ponto B tangente ao espaço objetivo que poduziá um meno valo paa a função F. f A B D Espaço Objetivo C Fonteia de Paeto ótima b c E f Figua 3.5: Região da fonteia de Paeto não alcançado pelo método da soma pondeada Método da Restição-ε Paa atenua as dificuldades enfentadas pelo método da soma pondeada em esolve poblemas que possuem a egião do espaço objetivo não-convea, o método da estição-ε

51 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 49 pode se usado (DEB, 004). Este método consiste em tata todas as funções objetivos como estições em níveis ε k, a menos uma que seá minimizada. Sendo assim, o método consiste em minimiza o objetivo de maio impotância sujeito a limitação Deste modo, a fomulação do poblema paa o método estição-ε é a seguinte: ε k dos outos objetivos. Min sujeito a f ( ) ε k =,, K, l e k µ k S k f µ ( ) (3.0) Na fomulação acima, o paâmeto ε k epesenta um limitante supeio dos valoes de f k e não é, necessaiamente, um valo póimo de zeo. Paa o entendimento do pesente método, a figua 3.6 mosta a epesentação de um poblema com dois objetivos f e f. Nesta figua é consideado a minimização de f e o objetivo f como uma estição f ( ε. ) f C Espaço Objetivo Fonteia de Paeto ótima a ε ε f b Figua 3.6: Repesentação do método da estição-ε.

52 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 50 Consideando como limitante supeio de f o valo a ε o espaço objetivo é dividido em duas pates e a egião à esqueda da eta pontilhada coespondente a este limitante tonase a egião factível. Desta foma, a taefa é enconta a solução que minimiza f nesta egião factível. Fica clao que a solução pocuada é a C. Pode-se pecebe na figua 3.6 que a escolha do limitante b ε paa f não é uma boa opção, visto que, paa este valo a egião factível paa o poblema é vazia e, desta foma, o poblema não teá solução Métodos de Pogamação po Metas A idéia pincipal dos métodos de pogamação po metas é enconta soluções que alcancem uma efeência (objetivo pedefinido) paa uma ou mais funções objetivos. Se não eistem estas soluções, a taefa seá enconta soluções onde a difeença com a efeência estipulada seja mínima. Po outo lado, se a solução com valo de função objetivo igual ao da efeência eiste, a taefa da pogamação po metas seá identifica esta solução. Em Deb (004), são apesentados tês métodos de pogamação po metas que são: Método de Pogamação po Metas Pondeado, Leicogáfico e Min-Ma. Neste teto apesenta-se o Método Leicogáfico, visto que, seá utilizada a idéia deste método junto com os Algoitmos Genéticos paa alcança os esultados que seão apesentados. Método Leicogáfico Neste método, difeentes metas são categoizadas dento de muitos níveis de pioidade. Uma meta do pimeio nível de pioidade é mais impotante que uma meta do segundo nível de pioidade. Assim, é impotante cumpi as metas do pimeio nível de pioidade antes de considea as metas do segundo nível de pioidade. Este método fomula e esolve um númeo seqüencial de poblemas de pogamação po metas. Sendo assim, pimeio consideam-se somente as metas e as coespondentes estições do pimeio nível de pioidade na fomulação do poblema de pogamação po

53 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 5 metas e, em seguida, este poblema é esolvido. Se eistem múltiplas soluções paa o poblema anteio, outo poblema de pogamação po metas é fomulado consideando desta vez o segundo nível de pioidade. As metas do pimeio nível de pioidade são usadas como estições de igualdade paa assegua que as soluções do segundo nível de pioidade não violem as estições do pimeio nível de pioidade. O pocedimento epete-se seqüencialmente paa os outos níveis de pioidade (DEB, 004; GRANADA et al., 008). A figua 3.7, ilusta o pincípio de funcionamento do método leicogáfico da pogamação po metas paa um poblema de minimização com dois objetivos f e f. Figua 3.7: Método leicogáfico da pogamação po metas.

54 Capítulo 3: Otimização Multiobjetivo 5 Nesta figua, consideando que o pimeio nível de pioidade é minimiza f, ou seja, atingi a meta paa f é mais impotante que f, o pocedimento consiste em pimeio minimiza f e ignoa f. Desta foma, enconta-se o conjunto de soluções epesentados pelos segmentos AB e CD paa o pimeio nível de pioidade. A solução paa o segundo nível de pioidade seá aquela que minimiza f e faça pate de f. Neste caso, a solução paa o segundo nível de pioidade seá a epesentada pelo ponto D. Esta última solução seá a solução de todo o poblema de pogamação po metas leicogáfico. É impotante obseva que dando maio pioidade paa a meta de minimiza f do que f, a solução do poblema muda paa a solução epesentada na figua pelo ponto E Vantagens e Desvantagens dos Métodos Clássicos Nos métodos clássicos, a vantagem pincipal é a eistência de povas que gaantem a convegência paa soluções Paeto ótimas. No entanto, os métodos clássicos utilizam a idéia da abodagem apesentada na seção 3., ou seja, o poblema de otimização multiobjetivo oiginal é tansfomado em um poblema de otimização mono-objetivo. Na modificação de um poblema multiobjetivo paa um mono-objetivo suge a desvantagem da necessidade de intodução de paâmetos adicionais que afetam dietamente os esultados obtidos. No capítulo a segui, é apesentada a teoia dos Algoitmos Evolucionáios em especial a dos Algoitmos Genéticos, visto que, esta técnica é bastante podeosa e vem sendo amplamente aplicada em váios poblemas de otimização.

55 CAPÍTULO 4 ALGORITMOS EVOLUCIONÁRIOS 4. Intodução No capítulo deste tabalho foi apesentada uma possível divisão dos Algoitmos Evolucionáios em: Estatégias Evolucionáias, Algoitmos Genéticos e Pogamação Evolutiva. Em Deb (004), além da teoia dos Algoitmos Evolucionáios citados, são apesentados os conceitos de Pogamação Genética que também se enquada neste amo. Sendo assim, eistem difeentes tipos de Algoitmos Evolucionáios e a idéia envolvida na teoia destes algoitmos está elacionada em utiliza conceitos e pincípios da evolução natual das espécies como estatégia de otimização de poblemas. Apesa do pesente capítulo tata de Algoitmos Evolucionáios, aqui seá apesentado somente um desses algoitmos: o Algoitmo Genético. O intuito de da ênfase somente a este algoitmo se deve ao fato que a base pincipal do desenvolvimento deste tabalho se apóia nesta técnica. Desta foma, neste capítulo são apesentados os pincipais fundamentos da técnica da qual se denomina Algoitmos Genéticos. Inicialmente, apesenta-se uma estutua básica e mais usual da foma com que esta técnica foi ou vem sendo oiginalmente empegada, visto que, novas estatégias podem se adicionadas em conjunto com a técnica mais básica dos Algoitmos Genéticos com o intuito de pomove novas melhoias e da oigem a Algoitmos Genéticos mais elaboados. No decoe deste capítulo, são eplicitados de foma sucinta as oigens, definições,

56 Capítulo 4: Algoitmos Evolucionáios 54 pocedimentos, foma de codificação de uma configuação, vantagens, desvantagens e outos tópicos impotantes elacionados a esta técnica. Apesentam-se também as implicações da mudança do Algoitmo Genético mais básico paa uma codificação com paâmetos eais. 4. Algoitmos Genéticos O Algoitmo Genético é um amo dos algoitmos evolucionáios e como tal pode se definido como uma técnica de busca que se baseia no pocesso da evolução natual. Analisando invenções como, po eemplo, o avião; podem-se pecebe caacteísticas semelhantes à de um pássao nesta invenção. Há um bom tempo o homem vem se baseando nas caacteísticas e pincípios da natueza paa a ciação de máquinas, métodos e técnicas que na maioia das vezes visam melhoa ou facilita a vida em nosso cotidiano (CASTRO, 00). Dento destes conceitos, fundamentado no pocesso de seleção natual poposto po Dawin e nos mecanismos da genética suge a teoia dos Algoitmos Genéticos. Este algoitmo foi inventado po Holland na década de 70 (ROMERO, 005). Holland estudou fomalmente a evolução das espécies e popôs um modelo computacional heuístico que, quando implementado, podeia ofeece soluções de boa qualidade paa poblemas etemamente difíceis que não podiam se esolvidos computacionalmente até aquela época (LINDEN, 006). Os Algoitmos Genéticos são técnicas inspiadas na teoia de Dawin, ou seja, são técnicas de buscas baseadas na teoia da evolução, combinando a sobevivência dos mais aptos com a toca de infomações de uma foma estutuada, onde um poblema do mundo eal é modelado atavés de um conjunto de indivíduos que são soluções potenciais que melho se ajustam ao ambiente. De foma análoga com a teoia da evolução, esses indivíduos são selecionados, se epoduzem e sofem mutação, obtendo deste modo uma nova geação de indivíduos que Heuísticas são algoitmos que encontam soluções de boa qualidade paa poblemas compleos. Um algoitmo heuístico é um conjunto de pocedimentos simples, muitas vezes baseados no senso comum, que encontam soluções de boa qualidade (não necessaiamente a ótima) de maneia simples e ápida.

57 Capítulo 4: Algoitmos Evolucionáios 55 também atendem as necessidades do ambiente. Após ceto númeo de geações espea-se convegi paa uma geação de elite que coesponda a uma solução ótima ou quase ótima paa o poblema. Desde então, os Algoitmos Genéticos começaam a se epandi po toda a comunidade científica, geando uma séie de aplicações que pudeam ajuda a esolve poblemas etemamente impotantes. Uma gande aplicação dos Algoitmos Genéticos está em poblemas de busca, onde dado um conjunto de elementos ou indivíduos, deseja-se enconta aquele ou aqueles que melho atendam a cetas condições especificadas (CASTRO, 00). 4.. Definições Como visto anteiomente, os algoitmos genéticos se utilizam dos conceitos da genética paa simula a evolução das populações. Paa melho entende o conceito dos algoitmos genéticos, faz-se uma analogia ente os temos usados na biologia e o módulo computacional efeente ao estudo dos algoitmos genéticos. A compleidade utilizada pela natueza paa foma novas geações é ealizada atavés da epodução que eistem em dois tipos distintos (LINDEN, 006): Asseuada: ealizada po oganismos infeioes, como as bactéias; Seuada: que eige a pesença de dois oganismos, na maioia das vezes de seos opostos, que fazem a toca ente si do mateial genético; Na epodução seuada os elementos que fazem pate desse pocesso são: genética, comossomos, genes e alelos. No desenvolvimento da técnica usada em algoitmos genéticos os elementos que paticipam desse pocesso são: Poblemas de otimização, indivíduos, vaiáveis e valo das vaiáveis. Paa os efeidos pocessos foi ciada a seguinte coespondência biunívoca (ROMERO, 005):

58 Capítulo 4: Algoitmos Evolucionáios 56 Repodução Seuada Genética Comossomos Genes Alelos Algoitmo Genético Poblemas de otimização Indivíduos Vaiáveis Valo das vaiáveis Desta foma, nos algoitmos genéticos, podem-se apesenta as pincipais definições que estão associadas aos temos utilizados na biologia (CASTRO, 00): Comossomos ou Indivíduos: epesenta uma cadeia de caactees epesentando alguma infomação elativa às vaiáveis do poblema. Cada indíviduo epesenta deste modo uma solução do poblema; Genes ou vaiáveis: É a unidade básica do indivíduo. Cada indivíduo tem cetos númeos de genes, cada um descevendo ceta vaiável do poblema; População: Conjunto de indivíduos ou soluções; Geação: O númeo de iteações que o algoitmo genético eecuta; Opeações Genéticas: Opeações que o algoitmo genético ealiza sobe cada um dos indivíduos; Região Factível: É o conjunto, espaço ou egião que compeende as soluções factíveis do poblema a se otimizado. Deve se caacteizado pelas funções de estições, que definem as soluções factíveis do poblema a se esolvido.

59 Capítulo 4: Algoitmos Evolucionáios 57 Função Objetivo: É a função que se deseja otimiza. Esta função contém a infomação do desempenho de cada indivíduo na população. Nesta função estão epesentadas as caacteísticas do poblema que o algoitmo genético necessita paa ealiza seu objetivo, sendo usualmente epessa como: F = f (,, K, n ) sendo F.,,, K n as vaiáveis que o algoitmo pocua detemina paa otimiza 4.. Estutua Básica do Algoitmo Genético Paa implementa um algoitmo genético, devem-se ealiza os seguintes passos (ROMERO, 005, POZO et al.): Escolhe-se adequadamente uma epesentação paa os indivíduos da população. Gealmente, esta epesentação é feita utilizando a codificação bináia, pois a aplicação dos opeadoes genéticos de ecombinação e mutação são mais simples de seem empegadas. Posteiomente, escolhe-se uma população inicial, nomalmente fomada po indivíduos ciados aleatoiamente; Avalia-se adequadamente toda população segundo algum citéio deteminado po uma função que mede a qualidade do individuo (função de aptidão ou fitness ). Desta foma, os melhoes indivíduos são aqueles que apesentam função de aptidão de melho qualidade; Estabelece-se uma estatégia de seleção dos indivíduos como base paa ciação de um novo conjunto de indivíduos (nova população); Estabelece-se um mecanismo que pemita implementa os opeadoes genéticos de ecombinação e mutação. A nova população é obtida aplicando sobe os indivíduos selecionados os efeidos opeadoes;

60 Capítulo 4: Algoitmos Evolucionáios 58 Repetem-se os passos acima até que: um indivíduo de qualidade aceitável seja encontado, um númeo peestabelecido de passos seja atingido ou o algoitmo não consiga mais mosta evolução, ou seja, não se consegue melhoa a incumbente já encontada; O fluogama a segui epesenta a estutua básica de um algoitmo genético: População Inicial Avaliação de Aptidão Citéio de paada foi satisfeito? sim Retona o melho indivíduo não Seleção Recombinação Mutação } Opeadoes genéticos Figua 4.: Estutua básica de um algoitmo genético

61 Capítulo 4: Algoitmos Evolucionáios Repesentação ou Codificação A epesentação ou codificação das vaiáveis de um poblema a se otimizado popociona um gande impacto no desempenho de um algoitmo genético, devendo desta foma, se a mais simples possível sem pede, no entanto, as caacteísticas de epesentação do poblema tatado. Eistem inúmeas fomas de epesentação das vaiáveis de um poblema, tais como: bináia, númeos inteios ou eais (CASTRO, 00). A maioia dos tabalhos desenvolvidos utiliza a codificação bináia, onde cada indivíduo é epesentado po um veto composto po 0 e. Um algoitmo genético básico eige que a epesentação do indivíduo seja com a codificação bináia. Sendo assim, poblemas que possuem vaiáveis inteias ou eais são tansfomados, de alguma maneia, em codificação bináia. A pincipal justificativa em se utiliza a codificação bináia se deve, pincipalmente, ao fato da teoia básica de implementação dos opeadoes genéticos e as caacteísticas de convegência te sido baseada em cima da codificação bináia. Outa justificativa é que a codificação bináia imita os dois tipos de alelos eistentes num gene de um comossomo (ROMERO, 005). Infelizmente, a codificação bináia taz alguns poblemas. Neste tabalho, não se discute estes poblemas nem as fomas utilizadas paa evita que eles aconteçam. No entanto, em (RENDÓN et al., 006) pode-se enconta os tipos e as maneias de contona os poblemas geados pela codificação bináia. Po fim, uma vez definidas as vaiáveis elevantes paa a esolução de um poblema de otimização, bem como a foma com que estas vaiáveis seão epesentadas, devem-se justapo estas vaiáveis de maneia a fomaem os indivíduos Geação da População Inicial A população inicial de indivíduos é na maioia das vezes geada de foma aleatóia. No entanto, eistem ocasiões onde é mais apopiada uma geação da população inicial utilizando uma heuística. Assim, logo no início, podem-se intoduzi na população inicial indivíduos

62 Capítulo 4: Algoitmos Evolucionáios 60 com caacteísticas inteessantes, como po eemplo, acescenta soluções apoimadas conhecidas contendo algum tipo de infomação pévia. Eistem divesos tabalhos que compovam que a geação da população inicial não é uma fase cítica em algoitmos genéticos, no entanto, é necessáio que a população inicial contenha indivíduos suficientemente divesificados (CASTRO, 00) Avaliação da População A avaliação da população é ealizada utilizando uma função de aptidão, que deve indica a qualidade de cada indivíduo na população. Paa poblemas de otimização esta função está intimamente ligada à função objetivo. Após a etapa de geação da população inicial, é necessáio avalia os indivíduos que foam ciados e, desta foma, deve-se seleciona alguns indivíduos paa da continuidade à ciação de outos que possam evolui suas caacteísticas. A avaliação da qualidade dos indivíduos da população é a componente mais impotante em qualque algoitmo genético, pois é atavés desta que se mede quão póimo um indivíduo está da solução desejada ou quão boa é esta solução. É essencial que a função que avalia a qualidade dos indivíduos seja muito epesentativa e difeencie na popoção coeta as más soluções das boas. Se houve pouca pecisão na avaliação, uma solução ótima pode se posta de lado duante a eecução do algoitmo, além de gasta um maio tempo computacional eploando soluções pouco pomissoas (POZO et al.) Seleção dos Indivíduos Após a etapa de avaliação dos indivíduos de uma população tem que se cia um mecanismo que tansmita a heeditaiedade deles às populações seguintes, pesevando suas boas caacteísticas. Nesta etapa os indivíduos são escolhidos e, posteiomente, ecombinados.

63 Capítulo 4: Algoitmos Evolucionáios 6 O pocesso de seleção está baseado no pincípio da sobevivência dos melhoes indivíduos, ou seja, os indivíduos com melho aptidão ecebem uma maio pobabilidade de seem copiados paa faze pate da geação da nova população. Eistem váios métodos paa seleciona os indivíduos sobe os quais seão aplicados os opeadoes genéticos. A segui, apesentam-se esumidamente alguns destes métodos: Seleção po anking: os indivíduos da população são odenados de acodo com seu valo de adequação e então sua pobabilidade de escolha é atibuída confome a posição que ocupam; Seleção po gio de oleta: cada indivíduo da população é epesentado na oleta popocionalmente ao seu índice de aptidão. Assim, paa indivíduos com alta aptidão é dada uma poção maio da oleta, enquanto aos indivíduos de aptidão mais baia, é dada uma poção elativamente meno; Seleção po toneio: considea-se este método bastante inteessante e, na implementação do algoitmo que seá apesentado aqui, utiliza-se a idéia deste método. Assim, seá dada maio ênfase em sua apesentação. Este método é um dos mais simples de implementa computacionalmente e, além disso, têm encontado bons esultados. A idéia deste método é pomove um toneio ente um gupo de n ( n ) indivíduos aleatoiamente tomados na população. Assim, o indivíduo que vence este toneio (indivíduo com melho valo de aptidão ente o gupo), é selecionado paa faze pate da geação da nova população, enquanto os demais indivíduos do gupo são descatados. O pocesso de seleção temina quando se ealiza uma quantidade de toneios igual ao tamanho da população. Dente as vantagens do método de seleção po toneio, a segui citam-se algumas, tais como (CASTRO, 00): - não acaeta convegência pematua; - combate a estagnação; - nenhum esfoço computacional eta é necessáio, tal como anking;

64 Capítulo 4: Algoitmos Evolucionáios 6 - aptidão eplícita é desnecessáia; - inspiação biológica do pocesso; 4..7 Opeadoes Genéticos Opeadoes genéticos são funções que se aplicam às populações, pemitindo obte novas populações. Após a seleção dos indivíduos em uma população, ealiza-se a ecombinação e/ou mutação desses, obtendo assim uma nova população com melhoes indivíduos ou não. Atavés de sucessivas geações, epetem-se esses pocedimentos até chega a um esultado satisfatóio a fim de que a população se divesifique e mantenha caacteísticas de adaptação adquiidas pelas geações anteioes. Os algoitmos genéticos básicos são nomalmente constituídos de dois opeadoes: ecombinação e mutação. O opeado de ecombinação pemite a toca de mateial genético ente dois indivíduos denominados pais, combinando infomações de maneia que eista uma pobabilidade azoável dos novos indivíduos poduzidos seem melhoes que seus pais. Como passo inicial, toda a população selecionada é agupada aleatoiamente em paes. A ecombinação acontece atavés de um pocesso de decisão aleatóio, ou seja, escolhe-se uma taa de ecombinação ( ρ ) e gea-se um númeo aleatóio paa cada pa. Logo, se o valo aleatóio geado fo infeio a ρ a ecombinação é pemitida; caso contáio, os paes são mantidos inalteados (CASTRO, 00). Os mais conhecidos opeadoes de ecombinação são: Opeadoes de um ponto: Cada pa de indivíduos a seem ecombinados são paticionados em um ponto, chamado ponto de cote, escolhido aleatoiamente. Um novo indivíduo é geado pemutando a metade inicial de um indivíduo com a metade final do outo. Nomalmente este opeado apesenta pio desempenho que o multiponto que seá visto a segui.

65 Capítulo 4: Algoitmos Evolucionáios 63 Ponto de queba Pais: Filhos: Figua 4.: Opeado de ecombinação com um ponto de cote. Opeado multiponto: é uma genealização do opeado de um ponto. Nele é escolhido um númeo n de pontos de cote. A figua a segui mosta um eemplo desta opeação: Ponto de queba Ponto de queba Pais: Filhos: Figua 4.3: Opeado de ecombinação multiponto com dois pontos de cote. Após o opeado de ecombinação, caso haja necessidade de cia uma vaiabilidade maio ente os descendentes, usa-se o opeado genético de mutação, que coesponde a uma pequena alteação aleatóia em seu código genético da qual gaante que divesas altenativas seão eploadas. Na figua a segui mosta-se um eemplo de mutação: Mutação Filho mutante Filhos: Filhos: Figua 4.4: Opeado de mutação.

66 Capítulo 4: Algoitmos Evolucionáios 64 A figua 4.4 mosta o caso em que a mutação coesponde à toca ente si de duas posições escolhidas aleatoiamente. Neste eemplo, a codificação não é a bináia. No entanto, na mutação paa uma epesentação bináia, um bit pode se invetido de 0 paa ou vicevesa, segundo uma pobabilidade de mutação ρ m Elitismo Com o intuito de aumenta a velocidade de convegência do algoitmo e de peseva e utiliza as melhoes soluções encontadas na geação atual paa as póimas geações, suge o conceito de elitismo. Em sua vesão mais simples, o pocesso simplesmente ealiza a cópia dos (N ) melhoes indivíduos da população coente paa a póima geação, gaantindo que estas soluções não seão destuídas nas etapas de ecombinação e mutação. Sendo assim, além dos melhoes indivíduos seem passados de uma geação paa outa, também paticipaão da ciação de novos indivíduos. A pincipal vantagem deste método está na gaantia de convegência, ou seja, caso o ótimo global seja descobeto duante o pocesso de busca, o algoitmo genético deve convegi paa esta solução. No entanto, devido a pesença de uma cópia ou mais dos melhoes indivíduos, eiste a possibilidade de foça a busca na dieção de algum ótimo local que tenha sido descobeto antes do global (CASTRO, 00) Paâmetos de Contole A utilização coeta dos paâmetos de contole é, sem dúvidas, um dos aspectos mais elevantes dento da estutua de um algoitmo genético. No entanto, as escolhas destes paâmetos ião depende ente outas coisas da aplicação a se esolvida. A eficiência e o funcionamento de um algoitmo genético são altamente dependentes dos seus paâmetos de contole e, a segui, descevem-se estes paâmetos: - Tamanho da População ( n p ): O tamanho da população indica o númeo de indivíduos em cada população, que é nomalmente constante duante a evolução. O tamanho da população pode afeta o desempenho global e a eficiência dos algoitmos genéticos. Populações muito pequenas têm gandes chances de pede a divesidade necessáia paa convegi a uma boa solução, pois fonecem uma pequena cobetua do espaço de busca do poblema. Entetanto, se a população tive muitos indivíduos, o algoitmo podeá pede gande pate de sua eficiência pela demoa em avalia a

67 Capítulo 4: Algoitmos Evolucionáios 65 função de aptidão de todo conjunto a cada iteação, além de se necessáio tabalha com maioes ecusos computacionais (POZO et al.). Uma maneia inteessante é elaciona o tamanho da população com o tamanho do indivíduo, ou seja, quanto maio fo o indivíduo maio deveá se o tamanho da população. Na liteatua especializada, encontam-se valoes típicos ecomendados de n [30; 00] (ROMERO, 005). p - Taa de Recombinação ( ρ ): Este paâmeto indica com qual taa ou pobabilidade iá ocoe a ecombinação ente os indivíduos selecionados na população. Quanto maio esta taa, mais apidamente novas estutuas seão intoduzidas na população. No entanto, esta taa sendo muito alta podeá etia apidamente indivíduos de boa qualidade da população. Valoes baios podem tona a convegência do algoitmo muito lenta (CASTRO, 00). Na liteatua especializada, encontam-se valoes típicos ecomendados de ρ [0,5;,0] (ROMERO, 005). - Taa de Mutação ( ρ m ): Este paâmeto indica com qual taa ou pobabilidade ocoeá a mutação nos indivíduos da população ao longo do pocesso de evolução. A mutação é empegada paa fonece novas infomações dento da população visando, desta foma, aumenta a divesidade populacional. A taa de mutação possibilita ainda a maio vaedua do espaço de busca. No entanto, deve-se toma o cuidado em utiliza uma taa de mutação muito alta, pois isto pode tona a busca essencialmente aleatóia (CASTRO, 00). Na liteatua especializada, encontam-se valoes típicos ecomendados de ρ [0, 00; 0,05] (ROMERO, 005). m 4.3 Vantagens e Desvantagens dos Algoitmos Genéticos Nesta seção, apesentam-se algumas vantagens e desvantagens em se utiliza os Algoitmos Genéticos. Em Linden (006), são infomadas algumas vantagens e desvantagens desta técnica das quais são mostadas a segui.

68 Capítulo 4: Algoitmos Evolucionáios Vantagens dos Algoitmos Genéticos Genéticos são: As pincipais vantagens que pode se consideada na utilização dos Algoitmos São obustos e aplicáveis a uma gande vaiedade de poblemas; Não usam apenas infomação local, logo, não ficam pesos, necessaiamente, a ótimos locais como deteminados métodos de busca. Esta caacteística é uma das mais inteessantes dos algoitmos genéticos e fazem com que eles sejam técnicas etemamente adequadas paa funções multimodais e de compotamento compleo; Seu desempenho não é afetado po descontinuidades na função ou em suas deivadas. Os algoitmos genéticos não usam infomações de deivadas na sua evolução nem necessitam de infomação dos gadientes da supefície da função objetivo paa efetua a busca. Isto faz com que sejam muito adequados paa funções com descontinuidades ou paa os quais não temos como calcula a deivada; Apesentam um bom desempenho paa uma gande escala de poblemas; São de fácil implementação e popocionam maio fleibilidade no tatamento do poblema a se esolvido; 4.3. Desvantagens dos Algoitmos Genéticos Apesa dos algoitmos genéticos possuíem uma gande quantidade de vantagens, pode-se também cita algumas desvantagens povenientes da utilização desta técnica: Dificuldade de acha o ótimo global eato; Requeem um gande númeo de avaliações de função de aptidão;

69 Capítulo 4: Algoitmos Evolucionáios 67 Gandes possibilidades de configuações que podem complica a esolução do poblema tatado; As deficiências dos algoitmos genéticos podem se atenuadas com uma maio consolidação da técnica e com o avanço das capacidades computacionais. 4.4 Algoitmo Genético com Codificação Real Nas seções anteioes foam apesentados os conceitos básicos de um Algoitmo Genético tadicional. Na lógica deste algoitmo, a codificação das vaiáveis do poblema deve se feita utilizando uma cadeia bináia. Desta foma, paa a utilização do Algoitmo Genético tadicional um poblema a se esolvido deve se enquada a esta lógica. A vantagem de se utiliza esta lógica, que implica na codificação bináia, é a aplicação tivial dos opeadoes genéticos de ecombinação e mutação. No entanto, eistem algoitmos genéticos que modificam a lógica do Algoitmo Genético tadicional, como po eemplo, utilizando-se a codificação dos indivíduos com paâmetos eais ao invés de bináios. A dificuldade que suge da utilização da codificação eal paa um Algoitmo Genético está elacionada com os opeadoes genéticos de ecombinação e mutação. Sendo assim, foi necessáio pojeta estatégias paa simula tais opeadoes genéticos. Potanto, a utilização da codificação eal implica na mudança dos opeadoes de ecombinação e mutação. Em (DEB, 004) são descitos alguns opeadoes de ecombinação e mutação paa a codificação eal, tais como: - Opeadoes de Recombinação: Recombinação Linea; Recombinação Blend e suas Vaiantes; Recombinação Bináia Simulada; Opeado de Recombinação Fuzzy; Recombinação Simple; Recombinação Baseada em Conectivos Fuzzy; e outas. - Opeadoes de Mutação:

70 Capítulo 4: Algoitmos Evolucionáios 68 Mutação Aleatóia; Mutação Não-Unifome; Mutação Polinomial; e outas. Neste teto, dente todos estes opeadoes, apesenta-se apenas um opeado de ecombinação e outo de mutação, ou seja, seão apesentados os opeadoes de Recombinação Linea e de Mutação Aleatóia. São apesentados este dois opeadoes, pois na implementação do algoitmo que seá poposto neste tabalho utilizou-se a codificação eal e esses dois opeadoes genéticos. - Recombinação Linea: O opeado de Recombinação Linea é bastante simples e consiste em: dados dois indivíduos (pais) são obtidos como: (, t ) i e na geação t, os descendentes (, t ) i (, t ) (, t ) (, t) (, t ) (, t ) (, t ) 0,5( + ), (,5 0,5 ) e ( 0,5 +,5 ) (4.) i i i i i i Desta foma, um dos tês descendentes é eliminado po toneio ou aleatoiamente. - Mutação Aleatóia: este é o esquema mais simples de mutação e consiste em cia uma solução y de foma totalmente aleatóia consideando todo o espaço de (, t+ ) i busca. Isso é feito da seguinte maneia: y = ( (, t+ ) ( U ) ( L) i i i i ) (4.) sendo um númeo aleatóio ente [0, ] e os subíndices U e L indicam os limites i supeio e infeio, espectivamente, do espaço de busca. No capítulo a segui, seá apesentada a foma em que os Algoitmos Evolucionáios, em especial os Algoitmos Genéticos, podem se aplicados em poblemas de otimização multiobjetivo.

71 CAPÍTULO 5 ALGORITMOS EVOLUCIONÁRIOS MULTIOBJETIVOS 5. Intodução No capítulo anteio, foi apesentado o Algoitmo Evolucionáio conhecido como Algoitmo Genético. Neste algoitmo pode-se pecebe que, na busca da solução ótima do poblema, uma população de soluções é pocessada em cada iteação ou geação. Esta caacteística do Algoitmo Genético ou de outa técnica evolucionáia faz com que estes algoitmos sejam natualmente adequados paa a deteminação de váias soluções. Sendo assim, pode-se afima que na esolução de poblemas de otimização multiobjetivo, os Algoitmos Evolucionáios são mais vantajosos em elação, po eemplo, aos métodos clássicos que não foam pojetados paa tabalhaem com múltiplas soluções. Na seção 3.4 do capítulo 3 foam vistos duas metas impotantes da otimização multiobjetivo, que são: - Enconta um conjunto de soluções o mais póimo possível da fonteia de Paeto; - Enconta um conjunto de soluções que estejam elativamente bem espaçados.

72 Capítulo 5: Algoitmos Evolucionáios Multiobjetivos 70 Em elação à pimeia meta, como os Algoitmos Genéticos tabalham com uma população de soluções, é possível ealiza algumas mudanças na teoia do Algoitmo Genético básico (visto no capítulo anteio), com o intuito de faze com que esta técnica obtenha uma população de soluções Paeto ótimas no final de uma única simulação do algoitmo. Apefeiçoando o Algoitmo Genético paa tabalha neste sentido, evita-se o uso epetitivo da otimização mono-objetivo paa obte apenas uma solução Paeto ótima em cada simulação do algoitmo. Outa vantagem deste pocedimento é a de elimina a utilização de, po eemplo, paâmetos (pesos) necessáios paa tansfoma um poblema de otimização multiobjetivo em mono-objetivo, estatégia que é utilizada pelos métodos clássicos e que fonecem apenas uma única solução Paeto ótima, já que, cada conjunto de pesos está associado a uma solução paticula na fonteia de Paeto. Sendo assim, uma maneia de enconta múltiplas soluções Paeto ótimas utilizando métodos clássicos, seia ealizando váias esoluções do poblema utilizando em cada esolução difeentes valoes de pesos (DEB, 004). A segunda meta da otimização multiobjetivo é tão elevante quanto a pimeia, pois obtendo-se um conjunto bem distibuído na fonteia de Paeto, obtêm-se uma maio altenativa de escolha da solução ótima, já que, é possível enconta um conjunto de soluções Paeto ótimas concentadas e com poucas vaiações ente as soluções. Sendo assim, além de enconta soluções não-dominadas na população, na otimização multiobjetivo, é necessáio peseva a divesidade ente estas soluções. Até o momento, não foi apesentado nenhuma estatégia de peseva a divesidade ente as soluções em uma população, no entanto, na liteatua eistem divesas maneias de faze esta manutenção da divesidade. A estatégia utilizada paa mante a divesificação da população é intoduzi no algoitmo funções que avaliam a densidade de soluções po egiões do espaço de busca e, desta maneia, é possível da pefeência a soluções que peencham egiões menos densas (BARDANACHVILI, 006). Em Deb (004), po eemplo, podem se encontados alguns opeadoes de nicho que ealizam esta manutenção da divesidade populacional. Sendo assim, é possível acopla aos algoitmos evolucionáios alguma estatégia de divesidade e, com isso, após algumas geações do algoitmo, faze com que as metas da otimização multiobjetivo sejam atendidas, ou seja, a população convija póima à fonteia de Paeto ótima e, além disso, possua uma boa distibuição das soluções.

73 Capítulo 5: Algoitmos Evolucionáios Multiobjetivos 7 Neste capítulo, apesentam-se alguns algoitmos evolucionáios multiobjetivos, em paticula, os que utilizam as idéias dos Algoitmos Genéticos. Sendo assim, descevem-se algumas modificações que podem se ealizadas em um Algoitmo Genético básico a fim de enconta múltiplas soluções Paeto ótimas. Especificamente, seá apesentada em detalhes a técnica denominada NSGA-II (po seu acônimo em inglês) que eque a incopoação de um Algoitmo Genético que melhoe a qualidade das soluções não-dominadas duante o pocesso iteativo. A ênfase dada a esta técnica está elacionada a sua utilização como base pincipal paa o desenvolvimento deste tabalho. No entanto, podem-se utiliza outos algoitmos evolucionáios multiobjetivos paa a obtenção das soluções Paeto ótimas. 5. Algoitmos Evolucionáios Multiobjetivos Na liteatua especializada, encontam-se uma vaiedade de algoitmos evolucionáios multiobjetivos. No entanto, analisa em detalhes todas as técnicas eistentes é consideado uma taefa inviável neste tabalho. Sendo assim, seão citados alguns algoitmos evolucionáios multiobjetivos que podem se encontados em (DEB, 004). Ente os pincipais algoitmos evolucionáios multiobjetivos estão: - VEGA (acônimo do temo inglês Vecto Evaluated Genetic Algoithm), implementado po Schaffe (SCHAFFER, 984) foi o pimeio Algoitmo Genético Multiobjetivo paa enconta um conjunto de soluções não-dominadas; - MOGA (acônimo do temo inglês Multiple Objective Genetic Algoithm) foi intoduzido po Fonseca e Fleming (FONSECA; FLEMING, 993); - NPGA (acônimo do temo em inglês Niched-Paeto Genetic Algoithm) foi poposto po Hon e outos (HORN et al., 994); - NSGA (acônimo do temo em inglês Non-Dominated Soting Genetic Algoithm) foi implementado po Sinivas e Deb (SRINIVAS; DEB, 994);

74 Capítulo 5: Algoitmos Evolucionáios Multiobjetivos 7 - NSGA-II (do inglês: Elitist Non-Dominated Soting Genetic Algoithm) esta técnica foi sugeida po Deb e outos (DEB et al., 000a e 000b); - Outos algoitmos; De modo geal, os algoitmos apesentados se baseiam em adaptações paa que se continue a utiliza as tês opeações básicas de um Algoitmo Genético, ou seja, a seleção, ecombinação e mutação. Uma adaptação especial é feita na opeação de seleção que depende da função de aptidão. No algoitmo VEGA, po eemplo, foi empegada a idéia de dividi a população de cada geação em M vetoes, onde cada veto se aplica a uma função objetivo nas compaações das aptidões. Outo eemplo de algoitmo que foi citado é o NSGA que tabalha dividindo a população em fentes não-dominadas e atibui um valo maio de aptidão às fentes de dominância de melho qualidade. Além disso, as compaações são complementadas po funções que avaliam a densidade de soluções po egiões com o intuito de da pioidade a peenche egiões menos densas. Ente os algoitmos citados, está o NSGA-II e, como foi comentado, este seá apesentado em detalhes po se o algoitmo base da implementação ealizada neste tabalho. O NSGA-II é citado como uma técnica que obtêm um dos melhoes desempenhos e, este opeado, é consideado elitista e contém váias difeenças em elação ao NSGA comentado anteiomente. Dente essas difeenças, o NSGA-II passa a avalia a densidade das soluções no espaço objetivo atavés da Distância de Aglomeação (Cowding Distance), difeente do NSGA que avalia a densidade das soluções no espaço das vaiáveis (BARDANACHVILI, 006). A segui, dedica-se uma seção completa paa a apesentação do NSGA-II. 5.3 Algoitmo Genético Elitista Baseado em um Odenamento Não-Dominado (NSGA-II) Como o pópio nome sugee, o NSGA-II é classificado como elitista e incopoa um mecanismo de pesevação das soluções dominantes atavés de váias geações do Algoitmo Genético. O pocesso se inicia a pati de uma população (P) com N indivíduos (Pais) obtidos aleatoiamente, ou também, atavés de uma heuística constutiva. As seguintes geações são

75 Capítulo 5: Algoitmos Evolucionáios Multiobjetivos 73 obtidas usando mecanismos modificados de seleção, ecombinação e mutação definidas pelo Algoitmo Genético básico. Antes de apesenta todo o pocesso iteativo do NSGA-II é impotante ecoda que, no capítulo 3 foi apesentado o Método de Kung que é capaz de classifica uma população de indivíduos em fentes não-dominadas. Desta foma, é possível detemina a qualidade dos indivíduos da população baseando-se na fente a qual petencem. Outo conceito necessáio paa a apesentação do Algoitmo NSGA-II é a definição de um opeado que pemite estima a densidade de soluções ao edo de uma solução paticula na população. Este conceito é a Distância de Aglomeação (Cowding Distance) e seá visto a segui Distância de Aglomeação Os algoitmos multiobjetivos buscam enconta o maio númeo possível de soluções que petençam à fente de Paeto. Potanto, é necessáio que a população se mantenha a mais divesificada possível. A Distância de Aglomeação pemite quantifica o espaço ao edo de uma solução i. Paa isto, deve-se calcula o peímeto do hipecubo fomado pelas soluções vizinhas a i que estão localizadas na mesma fente de dominância. Paa fins de eemplificação, considee a figua 5. que mosta um poblema de minimização com dois objetivos. Na figua, os cículos cheios epesentam soluções que petencem a melho fente e os cículos vazios são soluções que fazem pate de uma fente de qualidade infeio, paa este eemplo, a Distância de Aglomeação da solução i é dada po: d i = f ( i+ ) ma f f f ( i ) min + f ( i ) ma f f f ( i+ ) min (5.) Na epessão (5.), ma f, min f, ma f e min f epesentam os valoes máimos e mínimos sobe todo espaço solução paa as funções objetivo f e f. Esta epessão epesenta o semipeímeto do etângulo pontilhado da figua. Sendo assim, pode-se afima

76 Capítulo 5: Algoitmos Evolucionáios Multiobjetivos 74 que paa um conjunto de soluções, a solução que intoduz o maio nível de divesidade é aquela com maio distância de aglomeação. f i- f ( i ) ma f f f ( i+ ) min i i+ f ( i+ ) ma f f f ( i ) min f Figua 5.: Distância de aglomeação paa a solução i. A segui, é apesentado o algoitmo que calcula a Distância de Aglomeação paa as soluções de uma deteminada fente de dominância (DEB, 004).. Seja n o númeo de soluções em uma deteminada fente de dominância. Paa cada solução i petencente a esta fente de dominância, atibui inicialmente uma distância d = 0 ; i. Paa cada função objetivo f k com k =,, K, l, odena o conjunto de soluções em odem cescente de f k, ou seja, enconta o veto de índices k I.

77 Capítulo 5: Algoitmos Evolucionáios Multiobjetivos Paa k =,, K, l atibui uma gande distância paa as soluções etemas do veto K I, ou seja, d I K = d K = In, e paa todas as outas soluções j =,3, K, n calcula: d K I j = d K I j + f K K ( I j + ) ( I ) K f j K ma min f k f k (5.) O elemento K I j do veto de índices epesenta a j-ésima solução no conjunto odenado cescentemente em elação à f k. Assim, K I e K I n epesentam, espectivamente, o meno e maio valo paa a função objetivo f k. Como já citado, em (5.) os paâmetos ma f k e epesentam os valoes máimos e mínimos sobe todo o espaço de soluções paa a k-ésima função objetivo. min f k Odenando o conjunto de soluções em fentes de dominância e atibuindo uma Distância de Aglomeação paa cada solução das fentes, pode-se defini a segui o método de seleção usado no NSGA-II Seleção po Toneio Segundo a Distância de Aglomeação (< c) Este pocedimento equivale à seleção usada no Algoitmo Genético básico. Consiste em compaa duas soluções, das quais, cada uma, possui duas caacteísticas: Um gau de não-dominância i (valo atibuído à solução baseado na fente de dominância a qual petence, soluções da mesma fente possuem o mesmo gau); Uma distância de Aglomeação d i (vista anteiomente). Desta foma, defini-se a seleção (< c) como: Definição: Uma solução i vence um toneio com outa solução j se qualque uma das seguintes condições é vedadeia:

78 Capítulo 5: Algoitmos Evolucionáios Multiobjetivos 76 Se a solução i tem um melho gau, ou seja, i < j ; Se têm o mesmo gau, mas a solução i tem uma melho Distância de Aglomeação que a solução j, ou seja, i = j e i d j d >. Conhecendo-se a seleção (< c), podem-se detemina os descendentes finais paa o NSGA-II. Isto é mostado a segui Deteminação dos Descendentes Finais Como visto anteiomente, o início do pocesso paa a deteminação dos descendentes finais acontece a pati de uma população (P) com N indivíduos (Pais) obtidos aleatoiamente, ou também, atavés de uma heuística constutiva. A póima população (F) também com N indivíduos (Filhos) é ciada a pati da população atual (P). Paa cia a população (F), são selecionados aleatoiamente N paes de indivíduos da população atual (P) e cada pa compete ente si atavés de um toneio e em cada toneio vence o indivíduo que faz pate da fente de dominância de melho qualidade. Caso as altenativas que competem ente si petençam à mesma fente, então ganha o indivíduo que intoduza o maio gau de divesidade na população em constução (F). Com este pocedimento, selecionam-se todos os N indivíduos, e os opeadoes de ecombinação e mutação são ealizados de maneias idênticas aos ealizados no Algoitmo Genético básico e, após a aplicação destes opeadoes, é geada a população (F) com N indivíduos (Filhos). É impotante menciona que os vencedoes de cada toneio são os únicos pemitidos a obte descendência. Desta foma, espea-se que as infomações genéticas das altenativas dominantes estejam pesentes nas seguintes geações e ataia o esto da população paa suas vizinhanças (PEÑUELA; GRANADA, 007). Após a ciação da população (F) usando a população (P), ao invés de enconta as fentes não-dominadas de (F), pimeiamente as populações (P) e (F) são unidas paa foma uma nova população (R) agoa com tamanho N. Então, a população inteia (R) é odenada em fentes de dominância. Emboa este pocedimento eija um esfoço maio se compaado com apenas odena a população (F), isto pemite uma veificação global de não-dominância ente os indivíduos (Pais) e (Filhos). Assim que o odenamento não-dominado dos N

79 Capítulo 5: Algoitmos Evolucionáios Multiobjetivos 77 indivíduos de (R) é ealizado, esta nova população estaá ocupada po soluções com difeentes fentes não-dominadas. A confomação da população final é feita com os indivíduos de (R) e inicia com a melho fente não-dominada e continua com as soluções da segunda melho fente não-dominada, em seguida com as soluções da teceia melho fente não-dominada e assim po diante. Como o tamanho da população (R) é N, e a população final deve se de tamanho N, nem todas as fentes de (R) podeão esta pesentes na população final. Sendo assim, quando a última fente de (R) é consideada paa confoma a população final, pode eisti soluções nesta fente que ultapassem o tamanho N da população final. Potanto, caso isto aconteça, é necessáio elimina indivíduos da última fente selecionada. Isto é feito eliminando os indivíduos com meno Distância de Aglomeação. Enfim, após todos esses passos os descendentes finais são geados. A figua a segui, esquematiza os pocedimentos do NSGA-II. (P) (R) (R) Seleção Recombinação Mutação Reuni Classifica Fente Fente Fente 3 Pais (P) Filhos (F) Descendentes Finais Rejeitadas (F) Fente n Figua 5.: Esquemática dos pocedimentos do NSGA-II. NSGA-II. A segui, apesenta-se o pseudocódigo que sintetiza os pocedimentos do algoitmo

80 Capítulo 5: Algoitmos Evolucionáios Multiobjetivos Pseudocódigo paa o NSGA-II Gea uma população P de tamanho N; Identifica as fentes de dominância e avalia as Distâncias de Aglomeação em cada fente; 3 Usando a Seleção (< c), ecombinação e mutação, gea-se uma população de descendentes do mesmo tamanho de P; 4 Reuni Pais e Filhos em um conjunto de tamanho N e classificá-los em fentes de dominância; 5 Detemina os descendentes finais selecionando as fentes com melho gau de dominância. Se o limite de tamanho N é supeado, elimina as soluções com meno Distância de Aglomeação na última fente selecionada; 6 Se o citéio de convegência é atingido, fim do pocesso. Caso contáio, etona ao passo 3. Até o momento, não foi comentado nada sobe os casos onde apaecem indivíduos infactíveis na população. Paa estes casos, devem-se utiliza estatégias que possibilitem tata de foma adequada os indivíduos com estas caacteísticas. No capítulo a segui, apesentamse alguns métodos de manipulação de estições usando Algoitmos Evolucionáios. Em poblemas de otimização estita o apaecimento de indivíduos infactíveis é bastante comum, sendo assim, seão apesentadas algumas fomas de lida com estes tipos de indivíduos.

81 CAPÍTULO 6 ALGORITMOS EVOLUCIONÁRIOS PARA PROBLEMAS RESTRITOS 6. Intodução Neste capítulo são apesentadas sucintamente algumas fomas de tabalha com poblemas estitos usando Algoitmos Evolucionáios, em especial, os Algoitmos Genéticos. Inicialmente, é feita uma intodução em que é mostado como a pesença de estições dificulta consideavelmente a esolução de deteminados poblemas. É feita também uma beve análise das maneias de lida com poblemas estitos, e desta foma, veifica-se algumas vantagens e desvantagens oiundas de cada uma destas estatégias. Inicialmente, os Algoitmos Genéticos eam aplicados com sucesso em poblemas de otimização sem a pesença de estições. No entanto, foi uma questão de tempo paa sugiem as pimeias utilizações da técnica na esolução de poblemas estitos e, não é paa menos, pois a maioia dos poblemas de otimização eal envolvem estições (CASTRO, 00). Um deteminado empeendimento, po eemplo, pecisa satisfaze um conjunto de estições elevantes paa obtenção de sucesso na sua ealização. Em poblemas científicos também não é difeente, pois gealmente estes poblemas ficam sujeitos a planos limítofes, dependências

82 Capítulo 6: Algoitmos Evolucionáios paa Poblemas Restitos 80 numéicas e outas estições que devem se obedecidas, caso contáio, a solução obtida é consideada infactível (LINDEN, 006). Apesa de te sido apesentada no capítulo, apesenta-se novamente a fomulação geal paa um poblema de otimização estito (KOZIEL; MICHALEWICZ, 999): n Otimiza f () = (, K, n ) R (6.) sendo F S. A função objetivo f está definida no espaço de busca n S R e o conjunto F S define a egião factível. Usualmente, o espaço de busca S está definido como um etângulo n -dimensional no infeio e supeio): n R (domínio das vaiáveis definidas pelos seus limitantes l( i) u( i), i i n (6.) enquanto que a egião factível ( m ) : F S está definida pelo conjunto de m estições adicionais g j ( ) 0, paa j =, K, q (6.3) e h j ( ) = 0, paa j = q +, K, m (6.4) As estições de desigualdade que assumem valo igual à zeo, ou seja, ( ) = 0 g i no ótimo global do poblema são chamadas de estições ativas. A pesença de estições em um poblema de otimização aumenta consideavelmente a dificuldade na esolução deste poblema. Estas dificuldades estão elacionadas com a quantidade de limites nas vaiáveis de decisão, os tipos de estições envolvidas, as intefeências ente as estições e a inte-elação ente as estições e a função objetivo (VENKATRAMAN; YEN, 005).

83 Capítulo 6: Algoitmos Evolucionáios paa Poblemas Restitos 8 Paa se te uma idéia das dificuldades envolvidas em poblemas estitos, é feita a análise de um eemplo numéico. Considea-se o eemplo abaio, semelhante ao apesentado em (VENKATRAMAN; YEN, 005): Minimiza f ( ) = (6.5) sendo que as duas vaiáveis de decisão estão definidas no intevalo [0,], ou seja, 0 e 0. Sem a pesença de mais nenhuma estição adicional, o valo ótimo acontece quando = 0 e =, ou seja, f ( ) =. Agoa, acescenta-se ao poblema uma estição adicional h( ) dada po + = Neste caso, o novo valo ótimo seá dado po f ( ) = 0.5 quando as vaiáveis de decisão assumem os valoes = 0 e = No entanto, analisando os poblemas com e sem a estição h( ), pode-se veifica que a quantidade de soluções factíveis no poblema que contém a estição h( ) diminui dasticamente. Este fato pode se veificado nas figuas 6. e 6. que mostam as egiões factíveis dos poblemas com e sem a estição. Ponto Ótimo Região Factível f Figua 6.: Repesentação gáfica do poblema sem a pesença da estição h( )

84 Capítulo 6: Algoitmos Evolucionáios paa Poblemas Restitos 8 Ponto Ótimo Região Factível f Figua 6.: Repesentação gáfica do poblema com a pesença da estição h( ) Potanto, fica evidente que a dificuldade na solução de um poblema pode se significantemente aumentada quando o númeo de estições cesce ou quando os tipos de estições envolvidas são compleas. Poblemas altamente estitos apesentam gandes dificuldades na obtenção de sua solução. Em tais poblemas, enconta uma única solução factível pode se consideado uma taefa bastante tabalhosa. Diante disto, pode-se discutivelmente afima que a obtenção de uma solução factível pevalece a pioi sobe otimiza a função objetivo. Poblemas com estas caacteísticas são tatados como poblemas de satisfação de estições e váios Algoitmos Evolucionáios têm sido popostos paa esolvê-los eficientemente. O desafio pincipal ao se tabalha com poblemas altamente estitos é ealiza a manipulação das estições e da função objetivo simultaneamente. Os métodos de manipulação de estição têm diecionado a uma vaiedade de pojetos de fomulação da aptidão paa cada indivíduo na população dependendo do valo de sua função objetivo e de sua satisfação de estição (VENKATRAMAN; YEN, 005). Váias técnicas de manipulação de estições usando Algoitmos Evolucionáios têm sido popostas paa esolve poblemas de otimização estita e algumas das mais elevantes seão apesentadas a segui.

85 Capítulo 6: Algoitmos Evolucionáios paa Poblemas Restitos Algoitmos Evolucionáios paa Resolve Poblemas Restitos Ao esolve poblemas de otimização estitos, um dos pimeios pocedimentos poposto é de simplesmente elimina da população indivíduos que epesentam soluções infactíveis. Este pocedimento pode não se muito eficiente quando a egião factível é muito pequena se compaada ao espaço de busca total. Neste caso, a população inicial pode se totalmente infactível e, desta foma, inviabiliza a evolução do algoitmo. Outo fato agavante em utiliza tal pocedimento acontece pincipalmente, quando se tabalha em espaços de busca não-conveos e, neste caso, depois de geada a população inicial a aplicação dos opeadoes genéticos pode da oigem a uma gande quantidade de indivíduos infactíveis, eigindo desta foma um gande esfoço computacional paa a composição da nova população (LINDEN, 006). Este fato é mostado na figua a segui. solução factível solução infactível solução ótima Região Factível (não-convea) Figua 6.3: Geação de solução infactível após aplicação do opeado genético Na figua, epesenta-se a geação da solução infactível (quadado) a pati das duas soluções factíveis (cículos). Pode-se obseva que apesa da solução geada se infactível, ela está mais póima da solução ótima (tiângulo). Po todos estes motivos, é impotante entende que soluções infactíveis muitas vezes não devem se ecluídas de todo pocesso de busca. De uma foma geal, é desejável que

86 Capítulo 6: Algoitmos Evolucionáios paa Poblemas Restitos 84 soluções factíveis tenham pefeência sobe as infactíveis no pocesso de busca, no entanto, algumas soluções infactíveis estão muito póimas da egião factível e possuem caacteísticas inteessantes em temos de avaliação. Caso tais soluções pudeem paticipa da geação da nova população no pocesso de busca do Algoitmo Genético possivelmente seão encontadas mais apidamente soluções melhoes paa o poblema (LINDEN, 006). Nos últimos anos, os pesquisadoes têm desenvolvidos uma gande quantidade de Algoitmos Evolucionáios paa esolve poblemas de otimização estita. Sendo assim, é possível categoizá-los em difeentes gupos (VENKATRAMAN; YEN, 005): Métodos Baseados em Funções de Penalização; Métodos Baseados na Pefeência de Soluções Factíveis sobe as Infactíveis; Métodos Baseados em Otimização Multiobjetivo. 6.. Métodos Baseados em Funções de Penalização Em uma gande pate das aplicações são empegados os métodos baseados na penalidade dos indivíduos infactíveis, pocedimento também muito utilizado na otimização clássica e está ente os pimeios métodos usados paa manipula estições usando Algoitmos Evolucionáios. Nestes métodos, os indivíduos são penalizados baseados em suas violações de estições. A penalidade imposta nos indivíduos infactíveis pode vaia desde a ejeição completa dos indivíduos infactíveis até o decéscimo de sua aptidão baseado no gau de violação das estições destes indivíduos. Eistem difeentes tipos de função penalidade baseados nestes pincípios (VENKATRAMAN; YEN, 005). A segui, são discutidos sucintamente alguns dos pincipais tipos de métodos baseados na penalidade. Pimeiamente, apesenta-se o método de penalidade denominado Método da Pena de Mote. Neste método, as soluções infactíveis não são consideadas paa a geação da nova população, e esta é a maio penalidade que pode se imposta a uma solução infactível. Do ponto de vista da compleidade de implementação, pode-se afima que o Método da Pena de Mote é bastante simples de se implementado (VENKATRAMAN; YEN, 005). No entanto, este método possui a gande desvantagem de não apoveita nenhuma infomação de indivíduos infactíveis paa guia a busca à solução ótima e, como já comentado, aboli

87 Capítulo 6: Algoitmos Evolucionáios paa Poblemas Restitos 85 completamente a pesença de soluções infatíveis no pocesso de busca pode se uma opção não muito eficiente. Este método pode se eficiente quando a egião factível fo convea e ocupa uma gande pate do espaço de busca, caso contáio, não é aconselhável utilizá-lo. Um pocedimento comum no método das penalidades é associa um valo numéico efeente a cada estição não satisfeita penalizando o indivíduo infactível com este valo, desta foma, diminui-se popocionalmente a aptidão destes indivíduos. Basicamente, este pocedimento significa modifica a função objetivo da seguinte foma (VENKATRAMAN; YEN, 005, LINDEN, 006): obj( ) = f ( ) + m j= c ( ) j j (6.6) sendo: f () valo atual da função objetivo; j coeficiente de penalidade paa a estição j ; c j () gau de violação da estição j coespondente ao indivíduo ; obj() função objetivo modificada após adiciona a penalidade; Sendo assim, penalidade é uma soma dos pesos das violações das estições. Neste tabalho, sem peda de genealidade, considea-se a minimização da função objetivo, a não se que o contáio seja especificado. O pocedimento de penalização definido pela epessão anteio, dá oigem a difeentes métodos de penalidades, que são apenas paticulaidades do pocedimento em questão. Tais métodos podem se divididos em: - Método de Penalidade Estática - Método de Penalidade Dinâmica - Método de Penalidade Adaptativo No método de penalidade estática, como o pópio nome já diz, a penalização é definida a pioi e não se altea com a eecução do algoitmo.

88 Capítulo 6: Algoitmos Evolucionáios paa Poblemas Restitos 86 O sucesso do método de penalidade estática depende da escolha dos coeficientes de penalidade paa as estições. Estes coeficientes devem se deteminados baseados nas dificuldades das estições (VENKATRAMAN; YEN, 005). No método de penalidade dinâmica, define-se uma penalidade que evolui com o tempo de eecução do algoitmo. No início do algoitmo usam-se penalidades menoes, pois ainda necessita-se de soluções infactíveis de boas caacteísticas genéticas paa pemiti o pogesso da população. Confome o pocesso evolui, as soluções tendem a melhoa e, consequentemente, aumenta-se gadativamente a penalidade, já que diminui a necessidade de soluções infactíveis paa a convegência à solução ótima (LINDEN, 006). No entanto, a dificuldade envolvida na calibação de muitos paâmetos paa o método da penalidade dinâmica tem limitado significantemente sua aplicabilidade. No método de penalidade adaptativo, em vez de se usada uma penalização fia, utiliza-se a população coente como uma avaliação paa a modificação da penalização. Uma maneia de defini esta modificação neste método consiste em diminui a penalização quando a maioia dos indivíduos da população petence à egião factível e aumenta a penalização caso contáio (LINDEN, 006). Uma das desvantagens dos métodos apesentados está na eigência da utilização de paâmetos que devem se calibados paa cada poblema. Ao penaliza um indivíduo infactível diminui-se de alguma foma a aptidão deste indivíduo. Um dos poblemas de simplesmente designa uma baia aptidão abitáia a indivíduos infactíveis, está no fato da não difeenciação da qualidade destes indivíduos, ou seja, eistem indivíduos que estão póimos da egião factível e alteando uma ou outa condição desespeitada, epesentam soluções de boa qualidade. Potanto, deve-se tata de foma difeenciada indivíduos infactíveis de acodo com sua qualidade elativa. Tatando elativamente os indivíduos infactíveis, pode-se gaanti que ao ealiza uma busca dento da egião infactível, o Algoitmo Genético atavés dos opeadoes genéticos enconte a egião factível. Podem-se esumi algumas caacteísticas elacionadas aos métodos de penalidade como (RICHARDSON et al., 989):

89 Capítulo 6: Algoitmos Evolucionáios paa Poblemas Restitos 87 - penalidade que são funções da distância da egião factível possuem melho desempenho do que aquelas penalidades que são simplesmente funções do númeo de estições violadas; - paa poblemas que possuem poucas estições e poucas soluções factíveis, as penalidades que são simplesmente funções do númeo de estições violadas não fonece gaantia de enconta soluções factíveis; - quanto mais pecisa fo a penalidade estimada, melho pode se a qualidade das soluções encontadas; 6.. Métodos Baseados na Pefeência de Soluções Factíveis sobe as Infactíveis Pode-se afima que é impotante a eistência de uma odenação básica paa assegua que o pio indivíduo que espeita todas as estições tem melho aptidão do que o melho indivíduo infactível. Afinal, qualque solução factível deve te pefeência sobe aquela solução que é infactível. No entanto, isto pode se violado definindo uma egião bem póima da egião factível, ou seja, pode-se defini uma toleância δ de violação de estição aceitável e, desta foma, se um indivíduo fo levemente infactível espeitando esta toleância este indivíduo pode se consideado como factível. Isto é bastante inteessante, pois desta foma utiliza-se infomações de soluções que são quase factíveis e que podem apesenta caacteísticas inteessantes paa a evolução do algoitmo (LINDEN, 006). Baseado no pincípio que soluções factíveis devem te melho aptidão que um indivíduo infactível, suge os métodos baseados na pefeência de soluções factíveis sobe as infactíveis. Nestes métodos, as soluções factíveis dominam as infactíveis e, desta maneia, soluções que espeitam todas as estições dos poblemas teão valoes de aptidão supeioes aos indivíduos que não espeitam. Uma maneia de ealiza tal pocedimento foi poposta em (POWELL; SKOLNICK, 993), onde as soluções factíveis foam avaliadas no intevalo (,) baseadas nos valoes da função objetivo, e as soluções infactíveis foam avaliadas no intevalo (, ) baseadas nas violações de estições e, com isso, as soluções eam odenadas

90 Capítulo 6: Algoitmos Evolucionáios paa Poblemas Restitos 88 consideando estes valoes dos intevalos. Consequentemente, neste método, todas as soluções factíveis dominam as infactíveis (obviamente, considea-se um poblema de minimização). Soluções infactíveis são compaadas baseadas em suas violações de estições, enquanto soluções factíveis são compaadas baseadas em seus valoes de função objetivo. Analisando este método podem-se obseva as seguintes caacteísticas (VENKATRAMAN; YEN, 005): - contanto que nenhuma solução factível é encontada, a função objetivo não intefee no odenamento dos indivíduos; - eistindo a combinação de soluções factíveis e infactíveis na população, as soluções factíveis seão odenadas à fente das soluções infactíveis; - soluções factíveis seão odenadas baseadas em seus valoes de função objetivo; Em elação ao método apesentado, pode-se afima que a sua maio desvantagem está elacionada com a peda da divesidade que fica definido eplicitamente como pate da seleção dos indivíduos. Esta desvantagem fica evidente em poblemas multimodais e, neste caso, o Algoitmo Genético pode fica estito a uma egião do espaço de busca, ou seja, a peda da divesidade faz com que o algoitmo esteja suscetível a fica peso a ótimos locais (VENKATRAMAN; YEN, 005) Métodos Baseados em Otimização Multiobjetivo Os métodos baseados em otimização multiobjetivo, atualmente são de gande inteesse científico e fomam o estado de ate dos algoitmos de otimização estita. Uma maneia de aboda um poblema mono-objetivo estito atavés de uma filosofia multiobjetivo é tansfoma o poblema mono-objetivo em biobjetivo, ou seja, considea como objetivos, simultaneamente, a função objetivo e o gau de violação de estições dos indivíduos na população. A figua a segui epesenta esta idéia consideando a minimização simultânea da função objetivo e das violações de estições:

91 Capítulo 6: Algoitmos Evolucionáios paa Poblemas Restitos 89 Função Objetivo f () A Soluções Factíveis do Poblema Mono-objetivo Oiginal ESPAÇO DE BUSCA B Fonteia de Paeto ótima ε v() (Violação das Restições) Figua 6.4: Poblema mono-objetivo estito abodado como multiobjetivo. Na figua 6.4, como já dito, mosta-se um poblema mono-objetivo estito abodado atavés de uma filosofia multiobjetivo onde v( ) epesenta o gau de violação de estições e f () é a função objetivo oiginal. Também é mostada a fente de Paeto ótima do poblema multiobjetivo, o ponto A que epesenta a melho solução factível do poblema estito (mínimo estito) e o ponto B que epesenta o valo mínimo consideando uma pequena violação das estições e aceitando uma magem de violação ε. É impotante fisa que nos poblemas do mundo eal é pouco comum enconta estições ígidas (que devem se obedecidas igoosamente), ou seja, pemite-se uma magem de violação suave nas estições e, consequentemente, obtêm-se uma melhoia impotante no valo da função objetivo. Potanto, o uso da otimização multiobjetivo atavés de algoitmos evolucionáios pemite obte um conjunto com os melhoes compomissos ente as funções objetivos (paeto ótimo) envolvidas no poblema. Sendo assim, todas as soluções petencentes à fonteia de Paeto ótima que estão ente os pontos A e B são de gande inteesse.

92 Capítulo 6: Algoitmos Evolucionáios paa Poblemas Restitos 90 Aboda um poblema mono-objetivo estito com a filosofia multiobjetivo apesentada, faz com que seja analisado um aspecto inteessante. Na figua 6.4 está epesentada a fonteia de Paeto completa, no entanto, apenas uma pate desta egião é de maio inteesse (egião ente os pontos A e B). Potanto, no pocesso de busca seia inteessante intensifica a busca nesta egião. Dieciona a busca paa uma egião paticula do espaço de busca, possui vantagens, tais como: possibilidade de diminuição do esfoço de busca e obtenção de uma melho pecisão nas soluções não-dominadas. Como a busca é diecionada paa uma egião paticula, fica claa a edução no esfoço de busca. Além disso, como uma meno egião é buscada, espea-se que a densidade das soluções obtidas seja maio e, desta foma, aumenta-se a pecisão das soluções obtidas (DEB, 004). Eistem estatégias como o pincípio de dominância po pesos, método de dominância guiada, ente outas que podem se usadas duante o pocesso de otimização paa obte um conjunto de soluções na egião Paeto ótima de inteesse. O método de dominância guiada, po eemplo, intoduz uma tansfomação dos objetivos atavés de uma soma pondeada e, desta maneia, o conceito de dominância é modificado possibilitando que difeentes pocessos enfoquem difeentes egiões de busca. Neste método, a função pondeada de objetivos é definida como (DEB, 004) apud (BRANKE et al., 000): Ω ( f ( )) = i f ( ) + i l a ij j=, j i f ( ), j paa i =,, K, l (6.7) sendo a ij o valo do ganho na j-ésima função objetivo paa a peda de uma unidade na i-ésima função objetivo. A epessão (6.7) eige fia uma matiz a contendo elementos em sua diagonal pincipal. Desta foma, o conceito de dominância é definido consideando as funções pondeadas Ω i, ou seja, paa um poblema de minimização, uma solução () domina outa solução () se Ω ( f ( ()) Ω ( f ( ()) e esta desigualdade é estitamente satisfeita paa pelo menos um objetivo. i i A segui, ilusta-se o conceito do método atavés de um eemplo que pode se encontado em (DEB, 004; DEB et al., 00a). Neste eemplo, considea-se o método paa duas funções objetivos ( l = ) e, deste modo, obtêm-se as seguintes funções pondeadas: Ω ( f = f + a f, f ) (6.8)

93 Capítulo 6: Algoitmos Evolucionáios paa Poblemas Restitos 9 Ω ( f = f + a f, f ) (6.9) As equações acima podeiam se epessas po: a Ω = f a ou Ω = af (6.0) É inteessante nota que as funções pondeadas (6.8) e (6.9) podem se eescitas, espectivamente, como: f = a f Ω( f + a, f ) (6.) f = a f + Ω f ( f, ) (6.) Na figua a segui, são epesentadas as linhas de contono coespondente às duas funções lineaes acima passando pela solução A no espaço objetivo, sendo e a os a coeficientes angulaes dessas etas. Todas as soluções petencentes à egião em destaque são dominadas po A de acodo com a definição de dominância dada anteiomente. f Região Dominada A a a f Figua 6.5: Região dominada pela solução A usando a definição de dominância modificada.

94 Capítulo 6: Algoitmos Evolucionáios paa Poblemas Restitos 9 Po outo lado, consideando a definição de dominância usual, ou seja, uma solução () domina outa solução () se f ( ()) f ( ()) e esta desigualdade é estitamente satisfeita paa pelo menos um objetivo; obtém-se a nova egião dominada pela solução A epesentada na figua a segui. É inteessante obseva que a definição de dominância usual, é a mesma dada paa a dominância modificada, no entanto, paa a dominância usual, considease na epessão (6.0) a matiz a como sendo a identidade. f Região Dominada A f Figua 6.6: Região dominada pela solução A usando a definição de dominância usual. Potanto, fazendo-se um compaativo ente as egiões mostadas nas figuas 6.5 e 6.6, está clao que a definição modificada de dominância pemite tona dominada uma egião maio do que qualque egião epesentada pela definição usual de dominância. Assim, utilizando uma egião maio popocionada pela definição de dominância modificada, a fonteia de Paeto ótima completa (dada pela definição de dominância usual), pode se tona dominada ao invés de não-dominada. Paa mosta esse fato, considea-se a figua a segui que mosta a fonteia de Paeto ótima juntamente com os mesmos valoes de a e a utilizados no eemplo da figua 6.5.

95 Capítulo 6: Algoitmos Evolucionáios paa Poblemas Restitos 93 f E Região de Pefeência A E a a Fonteia de Paeto ótima f Figua 6.7: Pate não-dominada da fonteia de Paeto ótima. Nesta figua, pecebe-se que apenas as soluções póimas ao ponto A da fonteia de Paeto ótima oiginal, agoa são não-dominadas. Assim, fica clao que pacelas da fonteia de Paeto ótima oiginal é dominada (egião foa da cuva E E ) pelas soluções petencentes à cuva E E em destaque. Potanto, espea-se que um algoitmo evolucionáio multiobjetivo enconte somente pontos da egião de pefeência na fonteia de Paeto (pontos da cuva E E ), ou seja, este método dieciona a busca paa uma egião paticula da fonteia de Paeto ótima oiginal. Desta foma, escolhendo valoes apopiados paa os elementos da matiz a, a egião de inteesse ente os pontos A e B da figua 6.4 pode se pioizada. Como já se afimou, aboda um poblema mono-objetivo estito atavés de uma filosofia multiobjetivo é bastante inteessante e possui uma séie de vantagens. Ente outas caacteísticas que fazem com que a utilização dos métodos de otimização multiobjetivo usando algoitmos evolucionáios sejam mais vantajosos em elação a outos métodos usados paa esolve poblemas de otimização estita são:

96 Capítulo 6: Algoitmos Evolucionáios paa Poblemas Restitos 94 - As estições que dominam o poblema podem se esolvidas de uma maneia natual, ou seja, não é necessáio fomula funções objetivos penalizadas atificialmente. - Pelo fato anteio, não necessita de paâmetos de penalização. Estes paâmetos intoduzem uma componente subjetiva na solução do poblema. Neste tabalho, utiliza-se esta mesma abodagem multiobjetivo paa desenvolve o algoitmo poposto que seá apesentado no capítulo a segui.

97 CAPÍTULO 7 ALGORITMO PROPOSTO 7. Intodução Neste capítulo é apesentado o algoitmo poposto, ou seja, um Algoitmo Genético que é especializado em esolve poblemas altamente estitos e com vaiáveis contínuas. No capítulo anteio, foam apesentadas algumas estatégias utilizadas paa esolve poblemas de otimização estita usando algoitmos evolucionáios e, desta foma, foam mostadas as vantagens e desvantagens da utilização de cada uma destas estatégias. De modo geal, as aplicações destas estatégias apesentam algumas paticulaidades como: - falta de elitismo; - necessidade de escolha de paâmetos que eigem conhecimentos pévios sobe as caacteísticas do poblema; - a não gaantia de obtenção de soluções factíveis.

98 Capítulo 7: Algoitmo Poposto 96 A análise das paticulaidades apesentadas seviu de motivação paa a elaboação do algoitmo poposto. O algoitmo poposto, tenta evita algumas das desvantagens decoentes da aplicação de alguns métodos paa esolve poblemas estitos. No algoitmo poposto é incopoado o elitismo e, além disso, não é necessáio utiliza paâmetos dependentes do poblema ou qualque outa componente subjetiva paa esolve os poblemas. Sendo assim, buscou-se elaboa um algoitmo bastante genéico, mesmo o Teoema da Ineistência do Almoço Gátis (No Fee-Lunch Theoem) afimando que nenhum Algoitmo Genético seá eficiente na esolução de todos os tipos de poblemas (WOLPERT; MACREADY, 997). Finalmente, buscou-se elaboa um algoitmo que gaanta o fonecimento de soluções factíveis atavés de uma busca eclusiva po factibilidade no início do pocesso. Tal pocedimento é bastante inteessante paa esolução de poblemas altamente estitos. Na seção a segui, apesenta-se detalhadamente este algoitmo. 7. Algoitmo Poposto Ente os métodos apesentados paa esolve poblemas com estições, estão os métodos baseados na otimização multiobjetivo e, como já comentado, estes métodos são de gande inteesse. Sendo assim, no seu desenvolvimento, o algoitmo poposto utiliza a estatégia multiobjetivo apesentada no capítulo anteio, ou seja, um poblema mono-objetivo de otimização estita é tansfomado em um poblema biobjetivo. Potanto, o poblema modificado teá dois objetivos, onde um é a função objetivo oiginal f () e o outo é o gau de violação das estições v( ). Assim, um objetivo considea a otimalidade e o outo a factibilidade. O algoitmo poposto é composto de duas fases. Na pimeia fase, a função objetivo oiginal é completamente desconsideada e o poblema de otimização concenta-se somente em minimiza o gau de violação das estições v( ). Assim, o algoitmo enconta, eventualmente, uma solução factível, pois a busca é diigida baseada somente na violação das estições. Além disso, nesta fase utiliza-se a idéia da filosofia da pogamação po metas leicogáfico apesentada na seção do capítulo 3 como estatégia paa minimização do

99 Capítulo 7: Algoitmo Poposto 97 gau de violação das estições. A segunda fase consiste em otimiza, simultaneamente, a função objetivo oiginal e o gau de violação das estições usando um algoitmo multiobjetivo. 7.. Fase I: Algoitmo de Satisfação das Restições Nesta fase, a função objetivo oiginal é completamente desconsideada e todo esfoço do algoitmo está diecionado em enconta uma única solução factível. A cada indivíduo da população é atibuído um valo de aptidão de acodo com o seu gau de violação das estições. Posteiomente, utiliza-se uma estatégia elitista paa assegua que a solução com meno violação de estições seja copiada paa a geação seguinte. Esta fase pemite obte uma solução que satisfaça todas as estições, e epesenta uma solução útil no mundo eal. Na eecução da pimeia fase, utiliza-se um escala de violação das estições paa epesenta o gau de desespeito das estições paa cada indivíduo da população e, com isso, atibui seu valo de aptidão. A segui, mosta-se o pocedimento adotado paa a deteminação deste escala. - Escala de Violação de Restição Na fomulação geal de um poblema de otimização estito, estão envolvidas m estições de desigualdade e igualdade. Sendo assim, afima-se que a violação de estição de um indivíduo é um veto m dimensional, onde cada coodenada deste veto epesenta a violação de deteminado indivíduo da população a cada uma das estições. Potanto, defini-se a violação do indivíduo na j-ésima estição como (VENKATRAMAN; YEN, 005): ma c j ( ) = ma ( 0, g ( ) ) j ( 0, h ( ) δ ) j paa paa j =, K, q j = q +, K, m (7.) sendo que denota o opeado de valo absoluto.

100 Capítulo 7: Algoitmo Poposto 98 Na epessão (7.) obseva-se que as estições de igualdade (ígidas) foam convetidas em estições suaves utilizando uma toleância δ. Desta foma, facilita-se a obtenção de soluções que satisfaça as estições de igualdade h j (). Paa da a todas as estições o mesmo gau de impotância, cada violação de estição individual () calculada em (7.) são nomalizadas. Isto é feito dividindo cada uma delas c j pela maio valo de violação da estição coespondente de toda a população. Pimeiamente, enconta-se a violação máima de cada estição na população usando a seguinte epessão: c ma ( j ) = ma c X j ( ) (7.) Estes valoes de máima violação de cada estição em toda a população são utilizados paa nomaliza cada violação calculada em (7.). Finalmente, as violações de estições nomalizadas de cada indivíduo da população são somadas e divididas pela quantidade de estições m, poduzindo um escala de violação paa cada um destes indivíduos. Obviamente, estes escalaes assumião valoes ente 0 e. Cada escala é epesentado po v( ) e calculado pela seguinte epessão: v() m c () c j= = ma j m (j) (7.3) Atavés da epessão (7.3) calcula-se um único paâmeto que epesenta o gau de violação nomalizada que abange todas as estições paa cada indivíduo da população. Este escala é denominado escala de violação de estição. No póimo capítulo, seão apesentados, detalhadamente, poblemas testes de otimização estita que foam utilizados na veificação da qualidade do Algoitmo Poposto. No entanto, a segui antecipa-se um destes poblemas paa eemplifica como é feito o cálculo dos escalaes de violação de estição de uma população de indivíduos atavés dos pocedimentos vistos anteiomente. Isto pemite obte a função de adaptação da fase um.

101 Capítulo 7: Algoitmo Poposto 99 Poblema G5: Minimiza 3 0,00000 G 5( ) = 3 + 0, s.a 3 4 0,55 0 0, sen( 3 0,5) + 000sen( 4 0,5) + 894,8 = sen( 3 0,5) + 000sen( 3 4 0,5) + 894,8 = sen( 4 0,5) + 000sen( 4 3 0,5) + 94,8 = paa i =, 6 i 0,55 0,55 paa i = 3, 4 7 i sendo,, K, 7 as estições do poblema. Atavés de uma população geada aleatoiamente com 5 indivíduos, seá calculado seus escalaes de violação de estição paa o poblema G5. A tabela 7. mostada a segui epesenta estes indivíduos e os espectivos valoes das vaiáveis de decisão. No pocesso de geação da população, deve-se te um cuidado especial paa gaanti a satisfação das estições 6 e 7 de foma que o poblema fique limitado somente pelas 5 pimeias estições ( 5,, K, ). Tabela 7.: População de indivíduos geada aleatoiamente. Indivíduos da População X Vaiáveis de Decisão n 3 4 () 56,4 33,69 0,4667 0,344 () 867,67 79,77-0,3338 0,0833 (3) 955,76 98,4 0, ,074 (4) 7,69 53,3 0,3778 0,05565 (5) 747,4 966,49 0,97-0,4855

102 Capítulo 7: Algoitmo Poposto 00 Avaliando cada indivíduo da população acima paa o poblema G5 e desconsideando completamente a função objetivo, obtêm-se as violações eatas po indivíduo paa cada uma das 5 estições. A tabela 7. que segue mosta esses dados. Tabela 7.: Valoes das estições paa cada indivíduo. Indivíduos Restições () da População X () -0, , ,30 6,85 33,80 () -0,9665-0,335-6,97-065,90 94,60 (3) -0,074-0, ,88 3,90 50,93 (4) -0,3384-0,8666-7,7 99,6 565,6 (5) 0, ,648 0,647 64,6-37, j Aplicando a epessão (7.) aos dados anteioes e assumindo uma toleância δ = 0, 0 paa as estições de igualdade, obtêm-se os dados apesentados na tabela 7.3 a segui. Desta foma, é tivial obte os valoes c ( j) efeentes à epessão (7.). ma Tabela 7.3: Violações consideando δ = 0, 0 paa as estições de igualdade. Indivíduos da População Violação () c c c 3 c c 4 5 X () ,9 6,84 33,79 () 0 0 6,96 065,89 94,59 (3) ,87 3,89 50,9 (4) 0 0 7,6 99,5 565,5 (5) 0, ,646 64,6 37,0 c ( j) 0, ,9 065,89 33,79 ma i ma ( j) 5 - c j

103 Capítulo 7: Algoitmo Poposto 0 É conveniente gea um veto adicional i ( j) que contenha os indivíduos geadoes de cada c ( j) atual. Assim, po eemplo, a máima violação da estição é ocasionada ma pelo indivíduo 5, ou seja, (5). ma Finalmente, aplicando a epessão (7.3) aos dados da tabela anteio, obtêm-se um veto de escalaes de violação de estição v (X ), onde cada coodenada deste veto quantifica o gau de infactibilidade de cada indivíduo da população X. Este veto é epesentado po: v ( X) = [0,4456; 0,4304; 0,48; 0,377; 0,53] T O veto v (X ) coesponde à função de adaptação da fase um que seá usada no pocesso de seleção. Paa a busca de soluções factíveis, utiliza-se um Algoitmo Genético tadicional com codificação eal incopoando a idéia do método leicogáfico da pogamação po metas. No algoitmo poposto a incopoação do método leicogáfico na fase um é chamada de Diminuição Pogessiva da Toleância de Aceitação das Restições Compleas. - Diminuição Pogessiva da Toleância de Aceitação das Restições Compleas (DPTARC) na Fase I Na figua 6.4 do capítulo anteio, mostou-se a manipulação das estições atavés da aceitação de uma pequena magem de violação ε. A técnica usada paa enconta as soluções factíveis consiste em considea um intevalo paa a magem de violação ε ε ε ) de ( min ma maneia que o Algoitmo Genético têm como objetivo inicial minimiza v(x ) calculado na epessão (7.3), consideando ε ma. Assim, inicialmente o algoitmo tabalha com uma alta magem de violação e, desta foma, espea-se que o Algoitmo Genético alcance seu objetivo com um baio custo computacional. Posteiomente, a magem de violação é eduzida cada vez que o Algoitmo Genético alcança um objetivo pacial até finalmente alcança uma magem de violação de estições meno ou igual a teá encontado uma solução factível. ε min. Neste ponto, o Algoitmo Genético

104 Capítulo 7: Algoitmo Poposto 0 Como estatégia de edução da magem de violação popõe-se utiliza ε = ( τ ) ε. O valo de ε min coesponde à toleância δ usada paa avalia o cumpimento das estições de igualdade como, po eemplo, ε min = δ = 0, 000. O valo de ε ma é um valo atativo que pemite o Algoitmo Genético enconta facilmente uma população com uma azoável magem de infactibilidade (egião factível inicial). A pati desta população, o pocesso de otimização guia a busca paa a seguinte egião factível de melho qualidade até enconta uma solução factível com o gau de pecisão desejado. A figua a segui, mosta o pocesso de busca po soluções factíveis paa o poblema G5 patindo de uma população aleatóia e consideando ε = 0, ma 4, ε = 0, 000 e τ = 0, 5 min. Os cículos bancos coespondem à população inicial, os asteiscos indicam a evolução da população depois de váias geações e o momento que alcança cada uma das violações ε. f ε min = 0,000 ε ma Figua 7.: Pocesso de busca po soluções factíveis. Evolução paa difeentes valoes de ε. YEN, 005): Paa ealiza uma análise desta fase, definem-se alguns temos (VENKATRAMAN;

105 Capítulo 7: Algoitmo Poposto 03 - F egião factível, ou seja, o domínio do espaço de busca S que, obviamente, é factível; - C i i-ésima componente factível desconectada no espaço de busca S, sendo i =, K, ; - C C = φ paa i j e i, j =, K, i j - C C C = F K Baseando-se nos temos apesentados, discutem-se algumas paticulaidades da pimeia fase deste algoitmo. Como já comentado, o objetivo desta fase é de enconta pelo menos uma solução factível. O alcance desta solução factível deve se obtido após uma inicialização andômica de indivíduos que compõem a população inicial. Como eistem m estições e componentes factíveis, o Algoitmo Genético poposto cuja seleção dos indivíduos é baseada eclusivamente na violação de estições, encontaá uma solução factível com uma pobabilidade t. Esta pobabilidade é vedadeia, pois neste caso, o escala de violação de estição epesenta somente uma medida da distância da egião factível e, como a seleção dos indivíduos favoece a minimização desta distância, podese afima que, eventualmente, uma solução factível seá encontada. Como eistem componentes factíveis, a pobabilidade de a pimeia solução factível se encontada em qualque uma das componentes factíveis é de apoimadamente. A segui, apesenta-se a segunda fase do algoitmo poposto. Nesta fase, a vedadeia otimização é ealizada, ou seja, busca-se de fato o ótimo global do poblema.

106 Capítulo 7: Algoitmo Poposto Fase II: Algoitmo de Otimização com Restições Esta fase enta em eecução quando pelo menos uma solução factível é encontada na fase um. Na fase um, a função de adaptação coespondia ao gau de violação das estições. Nesta fase, a evolução dos indivíduos acontece com base na qualidade do conjunto nãodominado ao qual petencem. Na segunda fase a violação das estições v( ) e a função objetivo oiginal f () devem se minimizadas simultaneamente dento de um espaço de busca modificado ( f - v ) como foi mostado na figua 6.4 do capítulo anteio. O indivíduo factível que possui o melho valo paa a função objetivo f () seá a incumbente atual do espaço de busca, ou seja, amazena-se a melho solução factível do poblema. Nesta fase, o algoitmo poposto utiliza o Algoitmo Genético elitista baseado em um odenamento não-dominado (NSGA-II). Este algoitmo utiliza, paa mante a divesidade dos indivíduos petencentes ao conjunto de soluções não-dominadas um esquema de nicho baseado na utilização da distância Euclidiana nomalizada ente os indivíduos no espaço objetivo ( f - v ) chamado de distância de aglomeação. A metodologia completa do NSGA-II foi apesentada no capítulo 5 deste tabalho, no entanto, pode se encontada também em Deb (004), Peñuela e Ganada (007). Como já apesentado nas seções anteioes, os algoitmos multiobjetivos intoduzem um opeado de dominância, no qual é definido que uma solução () domina () ( () p ()) se acontecem as seguintes condições: O indivíduo () não é pio que () O indivíduo () em todos os objetivos; é estitamente melho que () em pelo menos um dos objetivos. Desta foma, aplicando iteativamente estas egas sobe uma população qualque de indivíduos de um poblema de otimização multiobjetivo, podem-se estabelece quais são as altenativas dominantes, conhecida como conjunto não-dominado. Os indivíduos estantes epesentam o conjunto de indivíduos dominados. Conseguindo estabelece qual é o conjunto de indivíduos não-dominados ou dominantes consideando todo o espaço objetivo ( f - v ) temse a fente ou fonteia Paeto ótima. Assim, a função do Algoitmo Genético é move o

107 Capítulo 7: Algoitmo Poposto 05 conjunto não-dominado paa egiões de melho qualidade (Fonteia de Paeto ótima). Paa o algoitmo poposto que utiliza o NSGA-II foi obtido, paa o poblema G5, a Fonteia de Paeto ótima mostada na figua a segui. f Fente Inicial Região de Inteesse Taget seach egion 000 Initial font 000 Fente Final Final font Figua 7.: Fonteia de Paeto ótima e egião de inteesse paa o poblema G5. Nesta figua, também se destaca a egião de inteesse do poblema G5. Eistem difeentes estatégias paa intensifica a busca nesta egião. No algoitmo poposto utilizou-se o método de dominância guiada cuja idéia foi apesentada no capítulo anteio e também pode se encontada em Deb (004). No método de dominância guiada, escolhendo valoes apopiados paa os elementos a e a uma pacela da fonteia Paeto ótima oiginal pode se pioizada. Neste tabalho, paa eploa a egião de inteesse mostada na figua 7. foam utilizados os seguintes valoes: a = 0 e a =, 33. No capítulo a segui, apesentam-se com detalhes os poblemas testes que foam utilizados paa avalia o desempenho do algoitmo poposto.

108 CAPÍTULO 8 PROBLEMAS TESTES 8. Intodução Neste capítulo são enunciados poblemas testes de otimização estita. Estes poblemas são encontados em (KOZIEL; MICHALEWICZ, 999) e foam utilizados paa ealização de testes que visam constata a qualidade do algoitmo poposto aqui. Além de enunciá-los, apesentam-se as melhoes soluções já encontadas e os gáficos da função objetivo e de suas espectivas estições paa alguns destes poblemas. Obviamente, apenas foi possível faze a ilustação gáfica paa os poblemas que possuem até duas vaiáveis de decisão, visto que, além desta dimensão não é mais possível ealiza uma análise gáfica. Este capítulo foi dividido em tópicos, sendo que, cada tópico epesenta a apesentação de cada um dos poblemas testes. Potanto, temos tópicos que vaia do poblema G ao G.

109 Capítulo 8: Poblemas Testes Poblema G Minimiza G( ) = = = i i i 5 i sujeito a seguintes estições: e as vaiáveis limitadas po: 0, i =, K, 9 i 0 00, i = 0,, i 0 3 O poblema possui 3 vaiáveis e 9 estições lineaes e, neste caso, não foi possível obte sua epesentação gáfica. A função G é quadática com seu mínimo global em * = (,,,,,,,,, 3, 3, 3,) sendo G ( * ) = 5. Seis das nove estições estão ativas no ótimo global, ou seja, todas estão ativas eceto as tês seguintes: , + 0 e

110 Capítulo 8: Poblemas Testes Poblema G Maimiza G( ) = n 4 n cos ( i= i ) cos ( i= i ) n i i= i sujeito às seguintes estições: n = i i n i = i 7, 5 0,75 n e as vaiáveis limitadas po: 0 0, paa i n i A função G é não-linea e seu máimo global é desconhecido. No entanto, paa n = 0 soluções * * no qual G ( ) = 0, foam encontadas. A segui ilustam-se alguns gáficos deste poblema paa n =. Pimeiamente, mosta-se o gáfico da função objetivo G( ) que segue: Figua 8.: Gáfico da função G( ) paa n =.

111 Capítulo 8: Poblemas Testes 09 Analisando a figua 8., pecebe-se que a função G( ) possui váios picos, sendo assim uma função é multimodal. O gáfico foi epesentado com as vaiáveis de decisão, vaiando no intevalo de [ 0,0]. Na figua 8. que segue epesentam-se no mesmo eio as cuvas de nível das estições g (, ) e g (, ) do poblema G, ou seja, g ( ) = 0 e g ( ) 0. = 30 5 g g Figua 8.: Gáfico das cuvas de nível de g, ) e g, ) paa o poblema G. ( ( A egião factível ocupa uma gande pate do espaço de busca e é dada pela egião ente os gáficos de g e g. Obviamente, deve se espeitado o intevalo [ 0,0] paa as vaiáveis e. 8.4 Poblema G3 n n Maimiza G3( ) = ( n). i = i sujeito a seguinte estição: n i = i =

112 Capítulo 8: Poblemas Testes 0 e as vaiáveis limitadas po: 0, paa i n i A função G3 tem seu máimo global em ( ), K, n =, K, e o valo da n n função neste ponto é. A segui mostam-se alguns gáficos deste poblema paa n =. Pimeiamente, ilusta-se o gáfico da função objetivo G3( ) que segue: Figua 8.3: Gáfico da função G3( ) paa n =. Analisando a figua 8.3, pecebe-se que G3( ) é uma função que, difeentemente de G( ), não possui váios picos. O gáfico foi epesentado, paa melho visualização, com as vaiáveis de decisão, vaiando no intevalo de [ 0,0 ], mesmo que, paa este poblema a eigência é que, petença ao intevalo [ 0, ]. Na figua 8.4 que segue é mostado o gáfico da estição h( ) = 0. Esta estição é a única deste poblema e, além disso, epesenta uma estição igualdade.

113 Capítulo 8: Poblemas Testes h Figua 8.4: Gáfico da cuva de nível de h, ) paa o poblema G3. ( A egião factível ocupa apenas uma pequena pate do espaço de busca e é dada, eclusivamente, pela linha que epesenta o gáfico de h( ) = 0. Isto mosta como estições de igualdade estingem altamente o espaço de busca. 8.5 Poblema G4 Minimiza G ( ) = 5, , , , sujeito as tês seguintes duplas desigualdades: 0 85, , , , , , , , , , , , e as vaiáveis limitadas po: paa i = 3,4, 5 i 5

114 Capítulo 8: Poblemas Testes A solução ótima é: * = (78,0; 33,0; 9,995; 45,0; 36,776) * com G 4( ) = 30665, 5. Duas estições (a pimeia desigualdade limitada supeiomente e a teceia desigualdade limitada infeiomente) estão ativas no ponto ótimo. O poblema G4 possui 5 vaiáveis e, neste caso, não é possível faze sua epesentação gáfica. 8.6 Poblema G5 Minimiza 3 0,00000 G 5( ) = 3 + 0, sujeito a seguintes estições: ,55 + 0, sen( 3 0,5) + 000sen( 4 0,5) + 894,8 = 0 000sen( 3 0,5) + 000sen( 3 4 0,5) + 894,8 = 0 000sen( 4 0,5) + 000sen( 4 3 0,5) + 94,8 = 0 e as vaiáveis limitadas po: 0 00 paa i =, i 0,55 0,55 paa i = 3, 4 i A melho solução conhecida é: * = (679,9453;06,067; 0,88764; 0,396336) * e G 5( ) = 56, Este poblema é bastante compleo, já que o conjunto de estições é composto po tês estições de igualdade, ocasionando desta foma a diminuição dástica da

115 Capítulo 8: Poblemas Testes 3 egião factível. Este poblema possui 4 vaiáveis e, desta foma, não é possível faze sua epesentação gáfica. 8.7 Poblema G6 Minimiza G6( ) = ( 3 3 0) + ( 0) sujeito às seguintes estições não-lineaes: ( 5) + ( 5) 00 0 ( 6) + ( 5) + 8,8 0 e as vaiáveis limitadas po: A solução ótima global conhecida é: * = (4,095; 0,8496) * e G 6( ) = 696, 838. Ambas as estições estão ativas no ponto ótimo. O poblema possui duas vaiáveis e, a segui ilustam-se alguns gáficos deste poblema. Pimeiamente, mosta-se o gáfico da função objetivo G6( ) que segue:

116 Capítulo 8: Poblemas Testes Figua 8.5: Gáfico da função G6( ). Analisando a figua 8.5, pecebe-se que G6( ) é uma função que, como G3( ), não possui gandes elevações. O gáfico foi epesentado com as vaiáveis de decisão vaiando no intevalo de [ 3,00] e vaiando no intevalo de [ 0,00]. Na figua 8.6 que segue, epesentam-se no mesmo eio as cuvas de nível das duas estições g (, ) e g (, ) do poblema G6, ou seja, g ( ) 0 e g ( ) 0. = =

117 Capítulo 8: Poblemas Testes 5.5 g g Figua 8.6: Gáfico das cuvas de nível de g, ) e g, ) paa o poblema G6. ( ( Paa se te uma idéia da dificuldade deste poblema a egião factível é bastante pequena e é dada po uma esteita fenda delimitada po acos de cículos que são as cuvas de níveis das estições g ( ) 0 e g ( ) 0. Na figua 8.7, é esboçado, simultaneamente, = = o gáfico da função objetivo G6( ) e a esteita fenda que epesenta a egião factível. Figua 8.7: Repesentação de G6( ) e as estições g, ) e g, ). ( (

118 Capítulo 8: Poblemas Testes Poblema G7 Minimiza G7( ) = ( + 8 ) 4 + ( 6 9 0) + ( 3 + ( 0) 0 7) + 4( ) + ( 5 3) + ( 6 ) + sujeito às seguintes estições: ( 9 8) ( ) 4( 3) ( ) ( 3 6) ( 8) ( 4) e as vaiáveis limitadas po: 0,0 0,0 ; i =, K, 0 i O poblema tem 3 estições lineaes e 5 não-lineaes, a função G7 é quadática e tem seu mínimo global em: * = (,7996;,363683; 8,77396; 5,095984; 0, ;,430574;,3644; 9,8876; 8,8009; 8,37597) * sendo G 7( ) = 4, Seis das oito estições estão ativas no ótimo global, ou seja, todas estão ativas eceto as duas últimas. Novamente este poblema possui mais que duas vaiáveis e, sendo assim, não seá ealizada sua epesentação gáfica.

119 Capítulo 8: Poblemas Testes Poblema G8 Maimiza 3 sen (π ).sen(π G8( ) = 3.( + ) ) sujeito às seguintes estições : ( 4) 0 e as vaiáveis limitadas po: A função G8 apesenta váios ótimos locais e os picos mais altos estão localizados ao longo do eio como, po eemplo, G8 ( ) = (0,0005; 0,05) > 540. No entanto, na egião factível, G8 possui dois valoes de aptidão quase igual a 0,; ou seja, encontou-se o valo G8 ( ) = 0, Este poblema possui duas vaiáveis e, sendo assim, é feita sua epesentação gáfica. Pimeiamente, como foi feito em eemplos anteioes, epesenta-se o gáfico da função objetivo G8( ) que segue:

120 Capítulo 8: Poblemas Testes Figua 8.8: Gáfico da função G8( ). Analisando a Figua 8.8, pecebe-se que G8( ) possui váios picos, o que compova que esta função possui váios ótimos locais. O gáfico foi epesentado, paa melho visualização, com as vaiáveis de decisão, vaiando no intevalo de [ 0,0 ], mesmo que, paa este poblema a eigência é que, petença ao intevalo [ 0,0 ]. Na figua 8.9 que segue, epesentam-se no mesmo eio as cuvas de nível das estições g, ) e g, ) paa o poblema G8. ( (

121 Capítulo 8: Poblemas Testes g g Figua 8.9: Gáfico das Cuvas de nível de g, ) e g, ) paa o poblema G8. ( ( A egião factível ocupa uma pequena poção do espaço de busca e é dada pela egião meno ente os gáficos de g e g. 8.0 Poblema G9 Minimiza G9( ) = ( ) + 5( ) ( 4 ) sujeito as seguintes estições : e as vaiáveis limitadas po: 0,0 0,0 paa i =, K, 7. i 0

122 Capítulo 8: Poblemas Testes 0 O poblema possui 4 estições não-lineaes, a função G9 é não-linea e tem seu mínimo global em: * = (,330449;,9537; - 0,477544; 4,36576; - 0,644870;,0383;,5947) * sendo G 9( ) = 680, Duas das quato estições estão ativas no ótimo global (a pimeia e a última). Este poblema possui 7 vaiáveis e, desta foma, não é feita sua epesentação gáfica. 8. Poblema G0 Minimiza G 0( ) = sujeito às seguintes estições : ,005( 4 + ) 0 0,0( + ) ,005( + ) , , e as vaiáveis limitadas po: paa i =, 3. i paa i = 4, K, 8. i O poblema tem 3 estições lineaes e 3 não-lineaes; a função G0 é linea e tem seu mínimo global em:

123 Capítulo 8: Poblemas Testes * = (579,367;359,943; 50,07;8,074; 95,5985; 7,9799; 86,46; 395,5979) * sendo G 0( ) = 7049, Todas as seis estições estão ativas no ótimo global. Novamente, este poblema possui mais que duas vaiáveis e, potanto, não é feita sua epesentação gáfica. 8. Poblema G Minimiza G( ) = + ( ) sujeito a uma estição não-linea: = 0 e as vaiáveis limitadas po: paa i =,. i * A solução global conhecida é = ( ± 0,707; 0,5), G ( * ) = 0, Este poblema possui vaiáveis e, com isso, é feita sua epesentação gáfica. Pimeiamente, mosta-se o gáfico da função objetivo G( ) que segue:

124 Capítulo 8: Poblemas Testes Figua 8.0: Gáfico da função G( ). Analisando a figua 8.0, pecebe-se que G( ) é uma função que não possui gandes complicações, já que tal função é quadática. O gáfico foi epesentado, paa melho visualização, com as vaiáveis de decisão, vaiando no intevalo de [ 3, 3 ], mesmo que, paa este poblema a eigência é que, petença ao intevalo [, ]. Na figua 8. que segue, epesenta-se o gáfico tidimensional de h( ) = Figua 8.: Gáfico tidimensional de h( ) =.

125 Capítulo 8: Poblemas Testes 3 A estição do poblema G é uma estição não-linea e de igualdade, potanto, isto acentua a dificuldade do poblema. Na figua a segui, epesenta-se o gáfico da estição h( ) = 0. h Figua 8.: Gáfico da cuva de nível de h, ) paa o poblema G. ( A egião factível ocupa apenas uma pequena pate do espaço de busca e é dada, eclusivamente, pela linha que epesenta o gáfico de h( ) = 0. Esta egião pode se visualizada na figua 8.. Na figua 8.3 é mostado, simultaneamente, os gáficos da função objetivo G( ), de h( ) = e a estição h( ) = 0 quando elaada po um valo δ. Figua 8.3: Repesentação de G( ), h( ) = e a estição h( ) = 0 elaada.