Universidade de Aveiro Departamento de Engenharia Civil. Carla Maria Vieira Lopes. Modelação numérica do comportamento assimétrico do betão

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1 Universidade de Aveiro 011 Departamento de Engenharia Civil Carla Maria Vieira Lopes Modelação numéria do omportamento assimétrio do betão

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3 Universidade de Aveiro 011 Departamento de Engenharia Civil Carla Maria Vieira Lopes Modelação numéria do omportamento assimétrio do betão Dissertação apresentada à Universidade de Aveiro para umprimento dos requisitos neessários à obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil, realizada sob a orientação ientífia do Prof. Doutor Rui Pedro Ramos Cardoso, Professor Auxiliar do Departamento de Engenharia Meânia da Universidade de Aveiro e do Prof. Doutor Humberto Salazar Amorim Varum, Professor Assoiado do Departamento de Engenharia Civil da Universidade de Aveiro.

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5 Dedio este trabalho à minha família e aos meus amigos.

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7 Presidente Prof.ª Doutora Margarida João Fernandes de Pinho Lopes Professora Auxiliar do Departamento de Engenharia Civil da Universidade de Aveiro Arguente Prof. Doutor Jorge Tiago Queirós da Silva Pinto Professor Auxiliar do Departamento de Engenharias da Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro Vogal Orientador Prof. Doutor Rui Pedro Ramos Cardoso Professor Auxiliar do Departamento de Engenharia Meânia da Universidade de Aveiro Vogal Co- Orientador Prof. Doutor Humberto Salazar Amorim Varum Professor Assoiado do Departamento de Engenharia Civil da Universidade de Aveiro

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9 Agradeimentos Os meus agradeimentos vão para o Professor Rui Pedro Ramos Cardoso e para o Professor Humberto Salazar Amorim Varum por todo o apoio, dediação, disponibilidade, inentivo e orientação.

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11 Palavras-have Tração/ompressão e omportamento assimétrio, betão, modelação numéria, ritério de edênia, elementos finitos. Resumo Este trabalho desreve um modelo de simulação do omportamento do betão, por analogia a testes tenológios om o magnésio, uma vez que são materiais om omportamento meânio semelhante. O ritério de edênia de Cazau tem sido muito utilizado na modelação numéria de estruturas om ligas de Magnésio, apresentando, do mesmo modo, um omportamento assimétrio para estados de tração e de ompressão. Deste modo, pretende-se implementar o ritério de edênia de Cazau em programa de elementos finitos (através de user subroutines ) e avaliar a apaidade do ritério em reproduzir o omportamento de estruturas em betão. A validação numéria do ritério será primeiro verifiada pela omparação entre os resultados experimentais provenientes de ensaios de tração e ompressão do betão e a simulação numéria de elementos estruturais isolados e estruturas mais omplexas de betão.

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13 Keywords Tensile/ Compression and asymmetri behaviour, onrete, numerial modelling, yield riterion, finite elements. Abstrat This work desribes a model for the simulation of the onrete behaviour using the analogy equivalent studies performed with magnesium, given that goth materials exhibit a similar mehanial behaviour. For the purpose, the Cazau yield riterion was used in the numerial modelling of strutures in magnesium alloys, also presenting a nonsymmetri onstitutive behaviour in tensile or ompression testing. This way, the objetive is to implement a Cazau yield riterion in a Finite element program, as a user defined subroutine and investigate the apaity of the so designed riterion in reproduing the behaviour at the strutures. The numerial validation of this riterion needs a first omparison with experimental data from standard tensile or ompression testing and the numerial simulation of single strutural elements from more omplex onrete strutures.

14 Índie 1 INTRODUÇÃO Objetivos O material betão O material magnésio Estrutura da tese... 8 CRITÉRIOS DE CEDÊNCIA Critério de edênia de von Mises Critério de edênia de Tresa Critério de edênia de Mohr-Coulomb Critério de edênia de Druker-Prager Critério de edênia de Cazau para materiais HCP (Hexagonal Closed-Pak)... 7 SOLICITAÇÃO BIAXIAL DO BETÃO CARACTERIZAÇÃO DOS PARÂMETROS MATERIAIS PARA O MODELO NUMÉRICO DO CRITÉRIO DE CEDÊNCIA DE CAZACU MODELOS E RESULTADOS NUMÉRICOS Método dos Elementos Finitos Validação numéria do modelo implementado Flexão de uma viga em três pontos Ligação viga-pilar Viga-parede CONCLUSÃO PERSPECTIVA DE FUTUROS TRABALHOS... 5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXO - SUBROTINA EM FORTRAN i

15 Lista de Figuras Figura 1 Representação dos ritérios de plastiidade de von Mises e de Tresa para um estado biaxial de tensão (tensão plana) e no plano das tensões prinipais. [11] Figura Representação gráfia da superfíie limite de elastiidade de Tresa e de von Mises no espaço tridimensional das tensões prinipais [11] Figura Critério de plastiidade de Mohr no plano de tensões [11]... Figura 4 Representação geométria da superfíie limite de elastiidade de Mohr- Coulomb e de Druker-Prager no espaço das tensões prinipais [11]... 6 Figura 5 Superfíie de plastiidade isotrópia Figura 6 Superfíie de edênia de Cazau para um material om assimetria de tensões Figura 7 Diferentes relações entre tensão de tração e de ompressão para o ritério de Cazau... 1 Figura 8 Comparação entre diferentes valores de k.... Figura 9 Valor de k positivo e negativo.... Figura 10 Resistênia a estados de tensão biaxiais do betão [1]... 6 Figura 11 Pontos que representam estados de tensão biaxiais do betão Figura 1 Representação do ritério de Cazau apliado ao betão Figura 1 Representação do ensaio de flexão... 4 Figura 14 Representação de ondições de fronteira, arregamentos e número de elementos Figura 15 Distribuição da tensão equivalente de von Mises Figura 16 Distribuição de tensões apliando o ritério de Cazau Figura 17 Condições de fronteira e arregamentos da ligação viga-pilar Figura 18 Representação de ondições de fronteira, arregamentos e número de elementos Figura 19 Distribuição da tensão equivalente de von Mises Figura 0 Distribuição de tensões apliando o ritério de Cazau Figura 1 Distribuição dos arregamentos e ondições de fronteira da vigaparede Figura Representação de ondições de fronteira, arregamentos e número de elementos Figura Distribuição da tensão equivalente de von Mises Figura 4 Distribuição de tensões apliando o ritério de Cazau ii

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17 1 Introdução 1.1 Objetivos O tema deste trabalho é de elevado interesse para o projeto na onstrução ivil na medida em que, nesta indústria, o betão onsidera-se o material mais importante e omo tal, tem uma vasta utilização, nomeadamente em paredes, pavimentos, pórtios, fundações, barragens, reservatórios e outros mais. Torna-se assim neessário efetuar um estudo aprofundado do seu omportamento meânio para que se pereba e preveja om rigor os seus meanismos de deformação e apaidade de resistênia. Ao aprofundar-se o estudo do omportamento do betão, é mais fáil projetar um futuro om mais segurança e aumentar também a sustentabilidade e fiabilidade estrutural na onstrução ivil. Com este trabalho, pretende-se apliar um novo ritério de edênia para o estudo da resistênia meânia do betão. O ritério que se pretende propor o de Cazau et al. [1], que tem vindo a ser utilizado extensivamente na araterização da resistênia meânia de ligas metálias de Magnésio. Estas ligas metálias apresentam um omportamento meânio muito semelhante ao do betão no que diz respeito à assimetria ou diferenial de omportamento meânio a soliitações de tração e de ompressão. As grandes vantagens da utilização do ritério de edênia de Cazau et al. [1] ao betão reside no seguinte: 1) através de um ajuste dos parâmetros materiais do ritério se onseguir desrever o omportamento meânio de vários tipos de betão; ) pelo fato deste ritério ter sido desenvolvido iniialmente para o estudo do omportamento meânio de materiais metálios, implia que o mesmo possa ser failmente estendido e apliado no estudo do omportamento meânio do betão armado, pois pode prever a edênia, quer do betão quer do aço presente na armação. Neste sentido, este trabalho tem omo prinipal objetivo a implementação numéria do ritério de edênia de Cazau et al. [1], orientando-o para a modelação numéria e álulo estrutural do betão. Este modelo numério será implementado numa rotina em fortran, por forma a ser ompilada e integrada no programa omerial de modelação numéria por elementos finitos MSC.Mar []. A partir deste proedimento, torna-se possível efetuar a modelação por elementos 1

18 finitos do omportamento meânio do betão e prever om exatidão a assimetria do seu omportamento à tração e à ompressão. 1. O material betão A Idade Moderna na sua omponente industrial (ompreendida entre os séulos XIX-XX) foi marada pela Revolução Industrial, na qual se verifiou, omo resultado de aumento populaional, o desenvolvimento das idades a todos os níveis, om reflexos importantes na Eologia, ou seja, o surgimento das preoupações ambientais. Isto levou à evolução na oneção estrutural e tenologia apliada, deorrentes essenialmente dos progressos ténios sobre os materiais de onstrução, sobretudo a partir do desenvolvimento e aperfeiçoamento das ténias utilizadas []. O proesso de industrialização que se apliou em alguns materiais, tais omo a alvenaria de pedra, a madeira ou o vidro, não alterou grandemente a sua natureza, poteniando o aesso destes materiais ao merado por uma elevada efiáia de utilização. A resente evolução na utilização do tijolo e depois do imento, usado sob a forma de betão, onduziu a que rapidamente fossem substituídos os materiais tradiionais []. Atualmente, materiais estruturais omo o ferro, aço, betão, betão armado e betão pré-esforçado permitem o desenvolvimento de novas formas de edifiação, que, por sua vez, respondem às neessidades de um mundo em resente evolução/modernização. Estes novos materiais permitiram o desenvolvimento de maquinaria e de novos meios auxiliares à onstrução que revoluionaram os métodos onstrutivos e enurtaram os seus prazos de exeução. Dá-se assim o apareimento de estruturas do tipo, pórtios isostátios e hiperestátios omo por exemplo, pontes e estruturas om grandes vãos venidos om lajes planas em betão []. Antigamente, o betão era onsiderado um material que existia om pressupostos muito araios, utilizado por Assírios, Caldeus, Feníios, Egípios, Etrusos e Gregos. Nessa altura, este material existia sob a forma de aglomerados aéreos [4].

19 Louis Viat, em 181, iniiou os estudos sobre a ozedura onjunta de alário e argila que levaram à riação de um ligante artifiial ujo fabrio viria a ser patenteado por Joseph Aspdin em 184, a que se deu o nome de imento Portland, e a partir daqui riou-se um novo material de onstrução, omposto por uma mistura de pedras (inertes grossos e finos), areias, imento Portland e água, a que se deu o nome de betão [5]. Se a máxima granulometria do inerte for menor ou igual a 4mm, o material denomina-se de argamassa [6]. A partir de 1845 o imento Portland omeçou a ser produzido a uma esala industrial [4]. O betão evoluiu muito nos últimos anos, e a indústria imenteira em Portugal apresentou novos imentos, bem omo aditivos e adjuvantes que ajudam na formação do material que ontribuíram para uma redução signifiativa de água de amassadura, sem om isso oloar em ausa as propriedades meânias []. O aumento da resistênia meânia do betão ontribuiu para que os elementos estruturais reduzissem drastiamente os seus vãos, aumentando assim os níveis de arregamento que onseguem suportar []. A diminuição destas dimensões reflete-se diretamente na redução do volume do betão neessário e, onsequentemente, na redução dos ustos e argas assoiadas ao peso próprio das estruturas. Deste modo, a melhoria das propriedades meânias e reológias dos betões reflete-se num onjunto de vantagens ténio-eonómias onsideráveis, aumentando assim a ompetitividade omo elemento estrutural na onstrução ivil. O betão em estado freso omporta-se omo um material plástio. A sua oloação em obra é extremamente fáil, feita por intermédio de ofragens e é extremamente fáil, adaptando-se failmente à realização de estruturas de diferentes formas, onde a sua presa pode ser realizada ao ar livre ou submerso. Após endureimento, omporta-se omo um material estável e duradouro e om a partiularidade adiional das suas propriedades meânias melhorarem ao longo do tempo. A omposição do betão, no que respeita às dosagens dos seus omponentes, deve ser seleionada de modo a satisfazer os seus ritérios de omportamento, tais omo a onsistênia, densidade, resistênia meânia e durabilidade. A durabilidade não é uma propriedade intrínsea dos materiais, mas sim uma função

20 relaionada om o desempenho do material durante o tempo de vida e sob determinadas ondições ambientais []. As prinipais propriedades meânias que araterizam o betão são a resistênia à ompressão, resistênia à tração e módulo de elastiidade. Estas propriedades são usualmente determinadas a partir de ensaios meânios exeutados em ondições espeífias. Geralmente, os ensaios são realizados para ontrole da qualidade e para verifiar se o material está de aordo om as espeifiações em vigor. Segundo o Euroódigo, o betão é araterizado por ter uma elevada resistênia a esforços de ompressão, om valores ompreendidos de 1 a 90 MPa, ontudo om baixa resistênia a esforços de tração, om valores que vão de 1,1 a,5 MPa. Por sua vez, o módulo de elastiidade tem valores tipiamente ompreendidos entre 7 e 44 GPa [6]. No entanto, elementos estruturais omo lajes, vigas, pilares, soliitados por outros esforços, omo tração, flexão, ompressão e punçoamento, podem ter ultrapassada a resistênia meânia do betão [6]. Por isso, torna-se neessário a adição de um material que resista bem a estes esforços, nomeadamente o aço. A ombinação dos dois materiais, aço e betão, é possível realizar-se om suesso devido a uma série de araterístias que ambos possuem, das quais se destaa a boa aderênia e a dilatação térmia. Este material, que resulta da ombinação do betão e do aço denomina-se por betão armado [6]. O betão armado apresenta muitas vantagens na sua utilização, omo a elevada resistênia meânia, absorção de vibrações e resistênia ao fogo, permitindo adaptar-se a qualquer forma geométria, e aumentando a sua resistênia a esforços apliados ao longo do tempo. No entanto, também apresenta algumas desvantagens, tais omo a difiuldade na moldagem de peças om seções reduzidas e o aumento de mão de obra devido a uma maior neessidade de se utilizar a armadura de aço, o que ontribui para o aumento do usto da edifiação []. A utilização onjunta do aço e do betão em projeto estrutural tem muito suesso quando se dispõe onvenientemente das armaduras na seção onsiderada, proporionado o aumento da resistênia meânia à tração e, a apaidade de arga da estrutura. 4

21 A resistênia à ompressão depende quase exlusivamente da apaidade resistente do betão, enquanto que a resistênia à tração depende essenialmente das armaduras em aço []. O betão armado deve apresentar duas araterístias fundamentais: i) a resistênia à ação dos esforços; ii) a durabilidade. Na exeução de estruturas de betão armado, a qualidade do produto final depende de inúmeros fatores. No entanto, é extremamente suseptível à falha humana. Através do ontrolo de qualidade, os responsáveis pelo proesso onstrutivo verifiam o umprimento dos requisitos previamente espeifiados para uma determinada estrutura. Tal ontrolo é levado a abo através de inspeções e ensaios, utilizando, de preferênia, métodos não destrutivos ou minimamente intrusivos. Existe outro tipo de betão, o pré-esforçado, ujo proesso de pré-esforço onsiste na apliação de forças prévias à estrutura de modo a traionar as armaduras [6]. O termo utilizado (pré-esforço) é utilizado para designar o onjunto dos efeitos permanentes do proesso de pré-esforço que inluem esforços nas seções e deformações na estrutura em questão [6]. Até há pouos anos, em Portugal, as normas e regulamentos para o dimensionamento de estruturas orrentes e para a araterização e ontrole dos materiais de onstrução, nomeadamente o betão, eram as seguintes; o Regulamento de Betões e Ligantes Hidráulios (RBLH), o Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-esforçado (REBAP) e o Regulamento de Estruturas de Aço para Edifíios (REAE). Para a quantifiação e ombinação de ações usava-se o Regulamento de Segurança e Ações para Estruturas de Edifíios e Pontes (RSA). Com o objetivo de unifiar todos os proedimentos de análise e dimensionamento de estruturas nos diversos países da Europa, foram riados os Euroódigos, que vêm substituir os ódigos naionais. Para as estruturas de betão, o REBAP é substituído pelo Euroódigo (EC), Dimensionamento de Estruturas de Betão, ou (norma EN 199). A Pré-Norma Europeia ENV 06 foi revista omo norma de produto, dando origem à Norma Europeia EN 06-1, que relaiona a oloação e ura do betão nas estruturas. A atual Pré-Norma Europeia ENV ontempla, entre outros aspetos, os proedimentos sobre a oloação das armaduras, de aço orrente ou de pré-esforço, e dos elementos pré-fabriados em betão. O Regulamento de Estruturas de Aço para Edifíios foi substituído pelo Euroódigo (EC). 5

22 1. O material magnésio O magnésio foi desoberto em 1755 pelo Esoês Joseph Blak, e apesar da grande variedade de metais existente, a maioria não é empregue ou apliado em estado puro, mas sim omo liga, om propriedades alteradas em relação ao material iniial ou assoiados a outros materiais/metais, tendo omo objetivo prinipal reduzir os ustos de produção [7]. O uso do magnésio entra-se espeialmente em três propriedades fundamentais que o araterizam, que é a tendênia à formação de ompostos intermetálios om outros metais, a sua elevada reatividade e, prinipalmente, a elevada relação rigidez/massa que o torna um metal exeional para apliações estruturais onde se pretende elevada resistênia meânia assoiada ao baixo peso do material [7]. O magnésio tem uma exelente uma exelente relação peso/resistênia meânia e elevada apaidade de amorteimento ao impato. Para além destes atributos, o seu baixo ponto de fusão ontribui para o baixo usto e failidade no proesso de reilagem de materiais [7]. O magnésio é empregue em grande esala, omo elemento de liga om o material alumínio, espeialmente na onstrução de veíulos automóveis, na indústria aeronáutia, na manipulação industrial om robots, na automatização e nas tenologias de omuniação. Na indústria automóvel, as ligas de magnésio tem tido um elevado resimento de utilização na produção de peças que vão desde as aixas de veloidade até às jantes das rodas. Por outro lado, na indústria aeronáutia, as ligas de magnésio são largamente utilizadas por exemplo em omponentes de motores, e na fuselagem e em trens de aterragem. Na indústria bélia tem-se vindo a utilizar-se também om bastante frequênia as ligas de magnésio espeialmente no fabrio de mísseis, exatamente por o magnésio ser um material leve e om bastante rigidez meânia [8]. Outro aspeto que abona a favor da utilização de ligas de magnésio tem a ver om as mudanças na legislação ambiental, pois esta mudança veio revoluionar o tipo de materiais utilizados para onstrução dos veíulos, exigindo para tal que estes se tornassem mais leves, diminuindo assim o onsumo de ombustível e as emissões de gases om efeito estufa [7]. 6

23 Contudo, as ligas de magnésio têm alguns inonvenientes, tais omo o fato de serem ligas que têm forte reatividade om a água do mar, evitando assim a sua utilização por exemplo na onstrução de porta-aviões [7]. Outra importante araterístia importante do magnésio, e que é a prinipal razão de estar a ser onsiderada neste trabalho, é a assimetria de omportamento para soliitações de tração e de ompressão. O magnésio apresenta uma estrutura ristalográfia do tipo HCP (Hexagonal Closed-Pak), que é uma estrutura onde existe muito poua simetria ristalográfia, o que implia que um dos seus prinipais meanismos de deformação seja por twinning, ou por distorção ristalográfia. Este meanismo de twinning é direional, o que explia a assimetria do omportamento à tração e à ompressão. Cazau et al. [1] desenvolveram um ritério marosópio de edênia para materiais om estrutura ristalográfia HCP. Este ritério permite difereniar o omportamento à tração e à ompressão e assim modelar marosopiamente o omportamento meânio do magnésio. É om base neste trabalho de Cazau que se vai adaptar o ritério de edênia para materiais om estrutura ristalográfia HCP ao estudo do betão. O estudo de ligas de magnésio tem também um interesse orientado para outro tipo de apliações, omo o exemplo, o das indústrias que apostam na versatilidade do magnésio tendo em onta a sua baixa densidade, utilizando-o sobretudo no merado automóvel e aeroespaial [7]. Estas indústrias em partiular são responsáveis por onsumir mais de metade do magnésio que é produzido mundialmente [7]. Atualmente, no merado automóvel, existe uma preoupação em se produzir veíulos mais eonómios, mais leves e menos poluidores [7]. Existe também a estratégia de se usar intensivamente materiais om elevada relação rigidez/peso, sem om isso sarifiar os requisitos de onforto e segurança que é fundamental para os veíulos automóveis. Da mesma forma, a utilização de magnésio em aeronaves permite reduzir o seu peso, eonomizar em termos de onsumos e diminuir os níveis de poluição atmosféria [7]. Como prinipais ligas de magnésio podemos destaar a liga de Magnésio- Alumínio, tendo na sua onstituição 85% de Mg e até 10% de alumínio, era de % de zino e menos do que 0,6% de manganês. O alumínio permite melhorar a olabilidade, o zino a dutilidade e o manganês a resistênia à orrosão [8]. Um tipo de liga que também é muito utilizada é a liga Magnésio-Zirónio por ausa da 7

24 sua elevada resistênia meânia. Esta liga é normalmente usada em peças forjadas, estampadas ou perfiladas [8]. Outro exemplo de material que utiliza uma estrutura ristalográfia do tipo HCP são as ligas de titânio. Estas ligas têm uma elevada resistênia à orrosão, sendo esta superior à dos aços inoxidáveis, e é detentora de uma exelente resistênia à fadiga, boa resiliênia, baixa densidade (quando omparada om o alumínio e o aço), uma elevada resistênia meânia à temperatura ambiente e a altas temperaturas (superiores a 600ºC). As ligas de titânio são sobretudo utilizadas em aeronaves, mísseis, partes dos navios expostas à água salgada, implantes em orpo humano, omponentes de tintas om (TiO ) e em biiletas de ompetição. O ritério de Cazau et al. [1] também é muito utilizado na modelação numéria das ligas de titânio [1]. A maior parte dos materiais, espeialmente os metálios, têm iniialmente um omportamento linear elástio, onde as deformações apliadas são lineares e reversíveis, seguido de um omportamento não linear do material (que nos metais é designado por omportamento plástio) onde as deformações são não lineares e irreversíveis. A fronteira entre o estado de tensão uniaxial linear elástio e o estado de tensão uniaxial em regime plástio designa-se por tensão de edênia ou tensão limite de elastiidade. No aso de um estado geral de tensão multi-axial, é neessária a utilização de um ritério de edênia que permite transformar o estado de tensão multi-axial num estado de tensão uniaxial equivalente. É om base neste estado de tensão equivalente que se pode onluir se o ponto do orpo material se enontra em regime elástio ou plástio. O ritério de edênia define na fronteira uma superfíie de edênia que limita o regime elástio no espaço das tensões [9]. 1.4 Estrutura da tese A estrutura da tese foi organizada por apítulos e subapítulos de modo a failitar a ompreensão de todos os passos envolvidos durante o trabalho. O apítulo 1 desreve resumidamente os objetivos do trabalho, bem omo os materiais betão e magnésio. Os vários ritérios de edênia, nomeadamente o de von Mises, Tresa, Mohr- Coulomb, Druker-Prager e Cazau, apresentam-se no apítulo. 8

25 De seguida, o apítulo desreve a soliitação biaxial do betão. O apítulo 4 é onstituído pela araterização dos parâmetros materiais para o modelo numério do ritério de edênia de Cazau. Apresenta-se no apítulo 5 os modelos numérios que se pretende estudar, e este subdivide-se em subapítulos onde se desreve resumidamente o método de elementos finitos e se apresenta a validação numéria dos modelos do betão que se pretende implementar. Por último, no apítulo 6, apresenta-se as prinipais onlusões e no apítulo 7 faz-se sugestões para trabalhos futuros no âmbito do tema desenvolvido. Critérios de edênia Estudar ao pormenor o omportamento de materiais omo o betão tem um elevado interesse industrial, visto ser um material muito utilizado em onstrução ivil, e om esse estudo tem-se o intuito de se pereber, ontrolar, prever e minimizar possíveis problemas assoiados ao seu omportamento e à sua apliação estrutural. Para o betão vai assumir-se que o seu omportamento se arateriza quase ompletamente em regime elástio. Assim, quando o estado de tensão atingir a superfíie de edênia, signifia que o betão entrou em rotura. Por outras palavras, isto signifia que se vai assumir um omportamento frágil para o material. Um aspeto importante para o desenvolvimento dos ritérios de edênia que se seguem diz respeito ao seguinte: experimentalmente verifia-se que o trabalho plástio produzido por um estado de tensão hidrostátio é desprezável, ou mesmo zero, pelo que normalmente não se onsidera este estado de tensão na araterização dos diversos ritérios de edênia que são utilizados no estudo da plastiidade. Assim, é muito omum trabalhar-se om um estado de tensão designado por tensor das tensões de desvio que é failmente obtido retirando-se ao estado de tensão total a omponente hidrostátia do tensor das tensões. Nos últimos anos, muitos têm sido os ritérios de edênia propostos para tentar desrever o omportamento plástio de materiais isotrópios e anisotrópios [9]. O objetivo dos ritérios de edênia passa por obter relações que desrevam 9

26 ondições matemátias ou físias, para as quais se dá o iníio da deformação plástia quando o material está sujeito a uma ou onjunto de argas. Dos vários ritérios de edênia que foram desenvolvidos, destaa-se o de Tresa, o de von Mises, dos mais utilizados para a araterização da edênia em materiais isotrópios e dúteis omo o exemplo do aço, e o de Mohr-Coulomb e Druker- Prager para o estudo de materiais frágeis omo o betão om diferenças no omportamento à tração e à ompressão [10]. Nas seções seguintes, vai-se efetuar uma desrição destes ritérios de edênia, tendo omo prinipal objetivo demonstrar porque têm sido utilizados para o estudo do omportamento meânio de diversos materiais e também menionar as suas prinipais limitações quando apliados ao estudo de um material om omportamento assimétrio omo é o aso do betão. Os ritérios de edênia apresentados têm omo base o livro de Tenologia Meânia de Jorge Rodrigues e Paulo Martins [11]..1 Critério de edênia de von Mises O ritério de von Mises é dos ritérios de edênia que mais tem sido utilizado ao longo do tempo para definir a fronteira entre o regime elástio e o regime plástio em materiais isotrópios omo, por exemplo, o aço. Este ritério permite obter uma tensão equivalente uni-dimensional a partir de um estado de tensão genério que origina a mesma energia de distorção que a do estado de tensão uni-dimensional equivalente apliado ao material. Quando essa tensão equivalente iguala a de edênia do material então o ritério de von Mises define, no espaço das tensões prinipais, uma superfíie designada por superfíie de edênia, que separa a região de estados de tensão elástios (dentro da superfíie) da região de estados de tensão irreversíveis ou plástios (fora da superfíie) [10]. Independentemente do referenial onsiderado para a araterização do tensor das tensões, a edênia deverá ser indiferente a este referenial assim omo o ritério utilizado. Para o efeito, é normal definir-se o ritério de von Mises em função dos invariantes do tensor das tensões de desvio, nomeadamente em função do segundo invariante J já que o primeiro J 1 omo está relaionado om o tensor das tensões hidrostátias é onsiderado nulo. 10

27 O ritério de von Mises surge em 191 e enunia que a deformação plástia surge quando o valor da energia elástia de distorção por unidade de volume, denominada por e w d atinge um valor rítio que é equivalente ao da energia elástia de distorção do estado de tensão de edênia do material. O segundo invariante do tensor das tensões de desvio é obtido a partir da seguinte equação: J 1 1 = ij ij = ( x + y + y ) + τ 1 = 6 xy + τ yz [( ) + ( ) + ( ) ] τ xz (1) O módulo de elastiidade volumétrio, k, permite obter a variação ou dilatação volumétria num orpo quando sujeito a um estado de tensão hidrostátio e representa-se da seguinte forma: E k = ( 1 ν ) () Verifia-se que para materiais inompressíveis, omo por exemplo o aso da borraha, o oefiiente de Poisson ν aproxima-se de 0,5, o que implia que o módulo de elastiidade volumétrio tende para infinito, e se traduz numa dilatação volumétria pratiamente nula. O módulo de elastiidade transversal ou também designado módulo de rigidez ao orte é obtido através da seguinte expressão: E G = ( 1+ ν ) () 11

28 A partir do segundo invariante do tensor das tensões de desvio, do módulo de elastiidade volumétria e transversal e a tensão média m, ou tensão hidrostátia, hega-se a seguinte equação que representa a energia elástia de distorção: w e J = + m G k (4) A energia elástia de distorção pode ser ainda obtida a partir da tensão de orte otaédria, τ ot, da seguinte forma: e m w = τot + (5) 4G k Failmente se pode onluir que: τot = J (6) A equação (5) é onstituída por duas parelas: i) a primeira denomina-se por energia elástia de distorção e está relaionada om o tensor das tensões de desvio, na qual mantém uma relação proporional om o quadrado da tensão de orte otaédria τ ot ; ii) a segunda parela desreve a energia de dilatação ou ontração volumétria e é obtida a partir do tensor hidrostátio de tensão, representado na equação através da tensão média m. Para efeitos relaionados om o estudo da edênia dos materiais onsidera-se normalmente que o valor da energia elástia de deformação é o araterizado apenas pelas suas omponentes de desvio, ou seja: w e d = J G = τ 4G ot w rítio (7) 1

29 A tensão de orte otaédria é obtida através da projeção da tensão resultante em planos de orte otaédrios, ou seja, planos uja normal está igualmente inlinada em relação às direções prinipais de tensão. Assim, a tensão de orte otaédria pode ser failmente deduzida, obtendo-se a seguinte expressão: 1 ( ( τ ot = ( 1 ) + ) + 1 ) (8) O valor rítio da energia elástia de distorção por unidade de volume determina-se onsiderando o iníio da deformação plástia para um estado de tração uniaxial, no qual obedee às seguintes ondições: 1 = e (9) e = = 0 (10) onde e representa a tensão de edênia ou tensão limite de elastiidade do material. Nestas ondições, a energia de distorção elástia rítia por unidade de volume, obtida a partir da relação da tensão de orte otaédria da equação (8), é obtida por substituição do estado de tensão do ensaio de tração uniaxial, ou seja: w rítio 1 1 = e = e 4G (11) 6G A partir das expressões (1) e (7) hega-se à seguinte expressão para o ritério de von Mises: ( ) + ( ) + ( ) = (1) 1 1 e Repare-se a partir da expressão para o ritério de von Mises que um estado de tensão tri-dimensional genério é omparado om uma tensão uniaxial que é a 1

30 tensão de edênia do material. Esta expressão traduz bem o signifiado e a importânia dos ritérios de edênia, que se pode resumir na araterístia do ritério onseguir aferir e omparar um estado de tensão multi-axial om um estado de tensão uniaxial que resulta de um ensaio meânio de tração. Caso o estado da tensão não se enontre definido no sistema de eixos prinipais, mas num sistema de eixos artesianos definido por (x, y, z), então a expressão para o estado de tensão equivalente de von Mises assume um formato mais genério: ( x y ) + ( y z ) + ( z x ) + 6( τ xy + τyz + τ xz ) = e (1). Critério de edênia de Tresa O ritério de edênia de Tresa desenvolvido em 1864, pressupõe que a deformação plástia se iniia quando o valor da tensão de orte máxima instalada, τ máx, for superior a um valor relativo à tensão de orte máxima que se obtém a partir de um ensaio de tração. Este ritério onsidera as tensões prinipais 1 e,, em que se as tensões prinipais estiverem ordenadas, ou seja, 1 então a tensão de orte máxima instalada é igual a metade da diferença entre a maior e a menor tensão prinipal. De seguida apresenta-se a expressão do valor da tensão de orte máxima instalada, τ máx, que onsidera omo limite máximo de omparação um parâmetro k que é dependente do material que se está a utilizar e que é determinado experimentalmente a partir de um ensaio meânio de tração. Através da representação gráfia do írulo de Mohr, failmente se onlui que a tensão de orte máxima instalada se relaiona om esse parâmetro experimental de orte da seguinte forma: 1 τmáx = k (14) Quando o valor da tensão de orte máxima que se aplia for inferior a um valor rítio k, a deformação induzida é puramente elástia. O valor rítio pode ser 14

31 determinado a partir de ensaios uniaxiais (tração ou ompressão) ou torção. Deste modo, substituindo as expressões (9) e (10), que definem o estado de tensão num ensaio universal de tração, na equação (14), é possível obter a relação entre o valor da tensão de orte rítia k e a tensão limite de elastiidade do ensaio de tração uniaxial e, que se representa a partir da seguinte expressão: k = e (15) A análise para um estado de tensão de orte puro pode também ser feita através do ritério de von Mises a partir da equação (1). Neste aso, a tensão limite de elastiidade proveniente do ensaio de tração universal e e a tensão de orte puro máxima k relaionam-se de forma igual à expressa na equação (15). Se o ensaio experimental for de torção, o estado de tensão assoiado é um estado de tensão de orte puro. Para ambos os ritérios, o estado de tensão no espaço das tensões prinipais vem representado da seguinte forma: = k 1 (16) = 0 (17) = k (18) Grafiamente, o ritério de edênia de Tresa no plano de Mohr, onsidera diferentes estados de tensão, que resultam de soliitações à tração, de ompressão e tração-ompressão, quer para regime elástio ou plástio. Para o ritério de von Mises, substituindo as expressões (16), (17) e (18) na equação (1) do ritério de von Mises, obtém-se a seguinte relação entre a tensão equivalente de von Mises e a tensão de orte máxima: 15

32 k = e (19) O ritério de edênia de von Mises onsidera a influênia da tensão intermédia no limite de elastiidade, o mesmo não se verifia om o ritério de Tresa. O ritério de von Mises, no plano de Mohr, tem uma representação bem mais pormenorizada do que o de Tresa. Comparando as equações (8) e (1), respetivamente, a tensão de orte otaédria e o ritério de edênia de von Mises, pode-se verifiar que a deformação plástia, ou a edênia, oorre sempre que a tensão de orte que atua no plano otaédrio atinge um valor rítio. A melhor maneira de se representar grafiamente o ritério de plastiidade de von Mises é a da utilização do plano das tensões prinipais, definidas por j i e. Assim, para um estado plano de tensões, definido por = 0, proede-se à substituição destas ondições na expressão do ritério de von Mises, equação (1), obtendo-se a seguinte expressão: k + = (0) i j i j e A partir deste resultado, é possível onluir que no plano das tensões prinipais a urva de edênia de von Mises é uma elipse, ujo eixo maior e menor têm uma inlinação de 45º em relação aos eixos prinipais onde atuam as tensões prinipais i e j. Se se representar grafiamente o ritério de Tresa a partir da equação (14), onstata-se que ele define um hexágono que fia irunsrito pela elipse que define o ritério de edênia de von Mises. No entanto, ambos os ritérios oinidem para estados de tensão uniaxiais de tração ou ompressão e para estados de tensão biaxiais simétrios, definidos por =. i j 16

33 A figura que se segue ompara grafiamente os ritérios de Tresa e de von Mises no espaço das tensões prinipais. j Tração Tresa ˆ j e ˆ i von Mises Compressão e e i Tração e Compressão Figura 1 Representação dos ritérios de plastiidade de von Mises e de Tresa para um estado biaxial de tensão (tensão plana) e no plano das tensões prinipais. [11] De um modo mais genério, poder-se-á representar grafiamente a superfíie limite de elastiidade de Tresa e de von Mises no espaço tridimensional das tensões prinipais. 17

34 Na figura definem-se ortes da superfíie limite de elastiidade a partir de dois planos diferentes: o plano definido por = 0 e o plano definido por + + = onstante ou o plano das tensões de desvio. i j k k Tresa k von Mises Corte por um plano i + j + k = te = = i j... e j k. Plano de orte e k = 0 i Figura Representação gráfia da superfíie limite de elastiidade de Tresa e de von Mises no espaço tridimensional das tensões prinipais [11]. A grande diferença entre os ritérios de von Mises e de Tresa surge para estados de tensão em que se verifia a seguinte relação entre as tensões prinipais: α = i j 1 = (1) e, para estados de tensão de orte puro onde: α = i j = 1 () Em partiular, para ondições de estado de tensão de orte puro, o ritério de von Mises estabelee a expressão entre a tensão equivalente de von Mises e a tensão de orte puro instalada, e é dada pela expressão (19), ou seja, diferindo estes valores era de 15,5 %. Poder-se-á verifiar grafiamente esta diferença a 18

35 partir do álulo dos eixos maior e menor da elipse de von Mises no plano das tensões prinipais, podendo surgir a partir de uma transformação de oordenadas entre os eixos prinipais, e os eixos i j ˆ, ˆ definidos segundo a direção maior e menor da elipse. Deste modo, pode-se esrever a equação da elipse de von Mises segundo os eixos referidos, representando-a do seguinte modo: i j ˆ i ˆ j + = / e () Neste ontexto, o semi-eixo maior é definido por: e (4) Por outro lado, o semi-eixo menor é obtido por: / e (5) Conforme já foi referido anteriormente, o ritério de plastiidade de von Mises admite que a deformação plástia tem iníio quando a energia elástia de distorção atinge um valor rítio, uja interpretação físia foi desrita por Henky em 194. Este ritério foi originalmente proposto por von Mises tendo em onta o oneito de superfíie limite de elastiidade e pode ser re-esrito de outra forma, em função dos invariantes do tensor das tensões: f (J,J,K) 0, = (6) no qual se india que a deformação plástia se iniia quando o segundo invariante do tensor desviador das tensões J atinge o valor rítio, ou seja: J k = 0 (7) 19

36 De aordo om a análise uidada da equação (7), é possível fazer a interpretação geométria da superfíie limite de elastiidade de von Mises de uma forma mais imediata, pois, de aordo om a equação (7), esta orresponde a um ilindro infinito om eixo na diagonal espaial do plano das tensões prinipais definidas por,,, onde a urva limite de elastiidade se projeta no plano i j k desviador, designado por plano π, e orresponde a uma irunferênia de raio dado pela seguinte expressão: k (8) De seguida apresenta-se outro ritério de edênia que é mais adaptado ao estudo de materiais om assimetrias de omportamento à tração e à ompressão omo é o aso do betão. Esse ritério de edênia é o de Mohr-Coulomb.. Critério de edênia de Mohr-Coulomb O ritério de Mohr é espeialmente interessante para materiais que apresentam resistênias diferentes quando soliitados à tração e à ompressão. Essenialmente por esta razão é que o ritério de Mohr tem sido bastante utilizado no dimensionamento de materiais omo o betão. O ritério de edênia de Mohr surge na sequênia da interpretação físia da lei de fratura de Coulomb em 177 e feita por Mohr em 188. Este ritério aplia-se a materiais om omportamento meânio do tipo frágil, ou seja, materiais em que a fratura é logo atingida após se ultrapassar o limite elástio, sendo a deformação plástia ou irreversível e que orresponde a uma parela muito pequena no ampo de deformação total. Tem-se omo exemplo de materiais om esta araterístia, o betão, o ferro fundido, os materiais erâmios, o vidro, e outros que apareem mais detalhados na referênia. O ritério de Mohr é failmente onstruído a partir da representação do estado de tensão no írulo ou plano de Mohr. Para o efeito, efetua-se um ensaio meânio de um material sujeito a uma tração uniaxial e representa-se esse estado de tensão no írulo de Mohr. Da mesma forma, efetua-se outro ensaio experimental mas om o material sujeito a um estado de ompressão uniaxial e 0

37 representa-se novamente o estado de tensão resultante no írulo de Mohr. O ritério de edênia de Mohr representa-se no plano de Mohr por duas retas tangentes aos dois írulos representativos dos estados uniaxiais de tração e de ompressão, onforme se verifia esquematiamente na figura. Estas urvas são onheidas por urvas intrínseas e definem a fronteira do domínio elástio do ritério de Mohr. Supondo um estado de tensão definido no espaço das tensões prinipais 1, pode-se definir ou alular uma tensão de orte assoiada a esse estado de tensão que define o limite elástio do material segundo o ritério de edênia de Mohr. O estado de tensão apliado e os três írulos de Mohr orrespondentes estão representados grafiamente no plano de Mohr na figura. Para se alular a tensão de orte equivalente, τ P, que define o limite elástio do material segundo o ritério de Mohr, terá que ser alulada a tensão normal, p, que lhe está assoiada, podendo a tensão de orte ser obtida a partir da onstrução gráfia da figura, isto é: τ = k 0 tanφ (9) P p Ao substituir τ P e imposto, resulta a seguinte expressão: p pelas tensões prinipais assoiadas ao estado de tensão ( 1 )osφ = k 0 + senφ tanφ (0) Que pode ser simplifiada, dando assim origem à expressão que estabelee ou define o ritério de edênia de Mohr: ( 1 ) = k 0 osφ (1 + ) senφ (1) 1

38 onde k 0 e φ são variáveis que estão dependentes dos ensaios uniaxiais de tração e ompressão do material a utilizar, e representam-se grafiamente na figura.. P φ τ P. k Ȧ. P e 1 ( 1 + ) / τ O et gφ ot k 0 φ Q Figura Critério de plastiidade de Mohr no plano de tensões [11]. Para o ensaio de tração tem-se as seguintes ondições ou estado de tensão: 1 = et () e = 0 () Onde et signifia a tensão limite de elastiidade proveniente do ensaio uniaxial de tração. Pela onstrução gráfia do ritério de edênia de Mohr da figura, failmente se onlui ou se relaiona as variáveis k 0 e φ om a tensão limite de elastiidade à tração: et 1+ senφ k 0 = (4) osφ

39 Por sua vez, para o ensaio de ompressão tem-se as seguintes ondições para o estado uniaxial de ompressão imposto: 1 = 0 (5) e = e (6) Obtendo-se a seguinte relação entre as variáveis k 0 e φ e a tensão limite de elastiidade à ompressão: k 0 = e senφ 1 osφ (7) Ao igualar as equações (4) e (7), é possível obter o valor de φ : sen = et e φ (8) e + et Podendo-se obter a partir da equação (4) ou (7) o valor da tensão de orte na origem, isto é k 0 : 1 et e k 0 = (9) osφ e et Substituindo as variáveis, expressão final para o ritério de edênia de Mohr: sen φ (8) e k 0 (9), na expressão (1), obtém-se a 1 + et e = 1 (40)

40 O ritério de Mohr pode ser interpretado omo uma generalização do de Tresa. Quando se onsidera φ = 0, as urvas intrínseas do domínio elástio do plano de Mohr passam a ser retas paralelas ao eixo e, por onseguinte, as tensões limites de elastiidade, quer por tração ou ompressão, são iguais. Por outro lado, ao substituir-se as tensões limite de elastiidade à tração e à ompressão por et = e e e = e na equação (40) do ritério de edênia de Mohr, obtém-se o de Tresa a partir da equação (14). É de elevada importânia verifiar que a representação gráfia do ritério de Mohr no plano das tensões prinipais i,, om = 0, apresenta-se sob a forma de um hexágono distorido, isto porque a tensão limite de elastiidade à tração é inferior à tensão limite de elastiidade de ompressão. É importante referir que, em termos teórios, o ritério de Mohr também é utilizado para situações em que a tensão limite à tração é superior à tensão limite de elastiidade à ompressão. j k Na representação gráfia do ritério de edênia de Mohr no espaço das tensões prinipais, resulta uma superfíie limite de elastiidade piramidal, em que a seção em qualquer ponto é um hexágono irregular, onforme se pode verifiar na representação gráfia da figura 4. A geometria piramidal da superfíie limite de elastiidade india que a entrada em domínio plástio não é independente do valor apresentado pela pressão hidrostátia, que é o termo da tensão normal expliitamente definido na equação (9). p Por outro lado, o vértie da pirâmide da superfíie limite de elastiidade fiará sobre a diagonal espaial das tensões prinipais, definida por 1 = =, que orresponde ao estado de tensão em que as tensões de orte em qualquer plano são nulas, podendo a sua loalização ser alulada a partir da equação (1), ou seja: 1 0 = = = k otgφ (41) 4

41 .4 Critério de edênia de Druker-Prager À semelhança do que traduz o ritério de Mohr-Coulomb, o ritério de plastiidade de Druker-Prager (195) tem uma apliação a materiais omo o ferro fundido, o material erâmio, o vidro e o betão. Aplia-se assim a materiais om omportamento meânio do tipo frágil, uja fratura surge no limite elástio ou para pequenas deformações plástias. O ritério de Druker-Prager orresponde a uma alteração do ritério de von Mises, ao qual a influênia das omponentes da tensão hidrostátia serão inseridas através de um termo que depende do primeiro invariante do tensor das tensões I 1 : α I J / = k * (4) onde α e k * são variáveis que dependem do material utilizado e a sua determinação é realizada a partir de ensaios meânios. A superfíie limite de elastiidade, no espaço das tensões prinipais, definida por este ritério, é representada por um one de seção transversal irular, omo se pode visualizar na figura 4. A urva limite de elastiidade resulta da interseção de um plano arbitrário definido por + i j + k = te, podendo a superfíie limite de elastiidade ser onsiderada uma irunferênia nesse plano. A urva formada por esta irunferênia ontém os três vérties mais exteriores do hexágono distorido de Mohr (ver figura 4) quando se verifiam as seguintes relações: α = senφ ( senφ) (4) k * = 6k 0 osφ (44) ( senφ) 5

42 Neste âmbito, as variáveis φ e k 0 dependem do tipo de material a utilizar, ou seja, dos ensaios meânios a realizar e são obtidas por uma metodologia semelhante à que foi definida para o ritério de edênia de Mohr. Por último, é importante referir que o ritério de Druker-Prager oinide om o ritério de von Mises quando o parâmetro α da equação (4) for zero. Para finalizar a apresentação deste último ritério representa-se na figura 4, o espaço das tensões prinipais, as superfíies limites de elastiidade de Mohr- Coulomb e de Druker-Prager. e Mohr-Coulomb = = i j Druker-Prager k k et Corte por um plano i + j + k = te k 0 ot gφ j O i Corte por um plano = 0 k Figura 4 Representação geométria da superfíie limite de elastiidade de Mohr-Coulomb e de Druker-Prager no espaço das tensões prinipais [11]. 6

43 .5 Critério de edênia de Cazau para materiais HCP (Hexagonal Closed- Pak) O ritério de edênia de Cazau onsidera o esoamento marosópio para materiais ortotrópios, e pretende desrever a anisotropia e a assimetria existente entre a tensão limite de elastiidade à ompressão e à tração. Este ritério foi desenvolvido para ligas metálias de estrutura ristalográfia designada por Hexagonal Closed-Pak, ou mais suintamente designada por HCP, omo são os asos das ligas de Magnésio e das ligas metálias de Titânio. Este tipo de materiais apresentam um omportamento meânio onsideravelmente diferente quando soliitados à tração ou à ompressão e esta é a prinipal razão de, neste trabalho, se estudar e implementar o ritério de Cazau para o estudo do omportamento meânio do betão. Ainda, este ritério tem a vantagem de poder ser utilizado em materiais metálios, o que se traduz numa vantagem adiional se se quiser analisar o omportamento meânio por exemplo do betão armado. O ritério de Cazau permite ainda, ou foi também desenvolvido, para o estudo do esoamento plástio de materiais metálios que evideniam anisotropia plástia, isto é, materiais ujas propriedades meânias variam onsoante a direção de apliação das soliitações de arregamento. Isto deve-se ao fato de muitos desses materiais metálios terem sido proessados, ou fabriados, segundo proessos, omo por exemplo o aso da laminagem, onde os grãos ou os ristais adquirem direções prefereniais fazendo om que as propriedades meânias sejam diferentes segundo essas direções e transversais às direções de laminagem. É possível verifiar a desrição do ritério de Cazau que permite estudar o omportamento assimétrio de um material em termos de tensão de tração e ompressão. Este ritério de edênia a ser apliado, neste trabalho ao betão, teve os seus primeiros estudos em 001 por Cazau e em 00, Barlat deu ontinuidade ao trabalho iniiado [1]. Para melhor abordar o ritério proposto por Cazau e Barlat (00), omeça-se por apresentar o ritério isotrópio, tendo omo prinipal objetivo, expliar nesta fase omo é que representa a assimetria entre os estados de tensão de tração e de ompressão. Assim, o ritério isotrópio de edênia de Cazau e Barlat (004) 7

44 é representado pela seguinte equação que define a superfíie limite de elastiidade: f ) J = τ y ( J (45) onde τ y representa o limite para a tensão de elastiidade ao orte. O segundo J e o tereiro J invariantes do tensor desviador das tensões são obtidos a partir do tensor das tensões de desvio que, por sua vez, são obtidas através do produto de um tensor T (que é uma transformação linear) pelo tensor das tensões, ou seja, S = T Para efeitos de implementação numéria do ritério de edênia de Cazau, o tensor das tensões vai ser esrito na forma vetorial: = τ τ τ xx yy zz xy xz yz (46) onde as três primeiras omponentes da tensão são as tensões normais e as últimas três são as de orte. Pelo mesmo motivo, a matriz da transformação linear T tem a seguinte forma: T = (47) na qual permite separar o tensor das tensões hidrostátias do tensor das tensões de desvio. 8

45 O tensor das tensões de desvio S apresenta-se do seguinte modo: S= S S S S S S xx yy zz xy xz yz (48) No seguimento do anteriormente menionado, o segundo J e o tereiro J invariantes do tensor das tensões de desvio são obtidos a partir das expressões que se seguem: J = tr ( S ) (49) e J = tr ( S ) (50) onde tr ( A ) = A kk. Na equação (45), a onstante do material é expressa k = 1 em termos da tensão uniaxial de ompressão e de tração. Ambas as tensões referidas são determinadas a partir de ensaios meânios realizados experimentalmente. De aordo om Cazau [1], a onstante material vem definida da seguinte forma: ( T C ) = (51) ( + ) T C Esta onstante vai ser responsável pela assimetria de omportamento entre os estados de tensão de tração e de ompressão. 9

46 Se as tensões limite de elastiidade à tração e à ompressão forem iguais, então a onstante material =0, o que implia que o ritério de Cazau se transforma no de von Mises. Neste aso, a representação gráfia do ritério de edênia de Cazau dá origem à mesma elipse que se obtém om von Mises e representa-se grafiamente na figura 5. Figura 5 Superfíie de plastiidade isotrópia. Para um estado plano de tensão, o ritério de edênia de Cazau pode ser esrito em função das tensões prinipais da seguinte forma: ( + ) [ + ( + ) ] = τ Y (5) 7 Para um valor da onstante material diferente de zero, a função de edênia de Cazau da equação (5), representa-se grafiamente em forma de triângulo arredondado, omo se pode verifiar através da representação gráfia da figura 6. Esta representação gráfia foi efetuada a título ilustrativo, fazendo variar o oefiiente do material dentro de determinados valores admissíveis, onforme detalhado em Cazau e Barlat (004). 0

47 Conforme se pode observar pela figura 6, a superfíie de edênia de Cazau reproduz efiazmente a assimetria dos estados de tensão de tração e de ompressão, pelo que se poderá dizer que este ritério arateriza efiazmente o omportamento meânio do material betão. Figura 6 Superfíie de edênia de Cazau para um material om assimetria de tensões. A partir da função de edênia de Cazau da equação (5) é possível omparar a tensão de tração e ompressão, podendo-se representar grafiamente três situações distintas na figura 7. T = C T = 1 C T C = Figura 7 Diferentes relações entre tensão de tração e de ompressão para o ritério de Cazau. 1

48 A figura 7 desreve exemplos omparativos que relaionam a tensão de tração e de ompressão. A urva 1 desreve uma relação entre T de. A urva tem uma relação entre a tensão de tração e ompressão igual a 1 (von Mises). Por último a urva representa um quoiente de. Neste trabalho, foi utilizada outra superfíie de edênia de Cazau que, além de onsiderar a assimetria entre os estados de tensão de tração e de ompressão, onsidera também a anisotropia plástia do material. Isto permite uma maior flexibilidade na araterização material do betão, nomeadamente na definição da superfíie de edênia deste material através da utilização do ritério de Cazau. C A expressão matemátia para o ritério de edênia de Cazau tendo em onsideração a anisotropia plástia é a seguinte: a a a ( S 1 ks 1 ) + ( S ks ) + ( S ks ) = F (5) em que k é expresso em termos das relações entre a tensão de tração e de ompressão. Este ritério onsidera que os valores limite para o k variam de -1 a 1. O valor do expoente a no ritério da equação (5) deverá ser um número inteiro e maior ou igual a 1. A partir da expressão (5), é possível desrever várias urvas para diferentes valores de k, onforme se apresenta esquematiamente na figura 8. Os valores de k que a figura seguinte apresenta são onsiderados a título de exemplo e omparativo, os seguintes: 0; 0,; 0,4 e 1. Figura 8 Comparação entre diferentes valores de k.

49 Para as quatro urvas desritas na figura 8, utilizou-se um valor de a=. A partir da mesma figura poder-se-á onluir que à medida que se aumenta o oefiiente k a assimetria entre os estados de tensão e de ompressão é ada vez maior. No seguimento da expliação dos parâmetros que onstituem o ritério de Cazau, representa-se grafiamente na figura 9 um exemplo prátio da diferença na superfíie de edênia entre um k positivo e negativo. Figura 9 Valor de k positivo e negativo. Na equação (5), S 1, S e S pretendem representar os valores das tensões prinipais de desvio. Para o tratamento da anisotropia plástia, o ritério de Cazau onsidera um novo tensor das tensões, designado por, que é obtido por transformação linear do tensor das tensões de desvio da seguinte forma: Σ = C [S ] (54) em que C orresponde a um tensor de transformação linear de quarta ordem onstituído pelos oefiientes materiais de anisotropia. Tendo omo base este novo tensor das tensões, o ritério de edênia de Cazau pode ser representado através da seguinte equação: a a a ( 1 k 1 ) + ( k ) + ( k ) = F (55) onde, 1,, são as tensões prinipais do tensor das tensões.

50 A matriz C om os oefiientes materiais de anisotropia é onstituída pelas seguintes variáveis materiais independentes, C 11, C 1, C 1, C, C, C, C 44, C 55 e C 66 que estão intrinseamente relaionadas om a anisotropia do material. Esta transformação linear é definida da seguinte forma: C= C C C C C C 1 C C C 1 C 44 C 55 C 66 (56) No estado plano de tensão, as omponentes artesianas de tensão onsideradas omo input para o ritério de Cazau são definidas por, e xx yy xy. As omponentes artesianas do tensor das tensões podem ser obtidas diretamente a partir das omponentes artesianas xx, yy e xy e dos oefiientes materiais de anisotropia da seguinte forma: Σ xx = ( C 11 C 1 C 1 ) xx + ( C 11 + C 1 C 1 ) yy (57) Σ yy = ( C 1 C C ) xx + ( C 1 + C C ) yy (58) Σ zz = ( C 1 C C ) xx + ( C 1 + C C ) yy (59) Σ xy = C 66 xy (60) Por sua vez, as tensões prinipais 1,,, são failmente obtidas a partir das omponentes artesianas do tensor das tensões, definidas nas equações anteriores, isto é: ( Σ xx + Σ yy + Σ xx Σ yy + Σ xy ) 1 Σ 1 = ( ) 4 (61) 4

51 ( Σ xx + Σ yy Σ xx Σ yy + Σ xy ) 1 Σ = ( ) 4 (6) Σ = Σ zz (6) Após a substituição das tensões prinipais das equações (61), (6) e (6) na equação (55) é possível definir matematiamente o ritério de edênia de Cazau, onsiderando a assimetria entre estados de tensão de tração e de ompressão assim omo a anisotropia plástia do material. Soliitação biaxial do betão O omportamento do betão tem alguma omplexidade devido heterogeneidade, das propriedades dos materiais que o onstituem. Deste modo, para um estudo o mais próximo da realidade, passa por serem onsideradas as propriedades mais importantes e que melhor representam o omportamento do betão. Um oneito relevante para o betão é o fato de a máxima resistênia à tração orresponder a era de um déimo da resistênia à ompressão no que respeita a ensaios uniaxiais. O betão pode estar sujeito a ações mais omplexas, om tensões a atuar em várias direções denominando-se, por exemplo biaxiais, para o aso de as tensões atuarem em duas direções e triaxiais no aso das tensões a atuarem em três direções [5]. A partir do estudo realizado em [1] é possível verifiar o omportamento meânio do betão quando soliitado om um estado biaxial de tensão. Este estudo servir-nos-á de base para o trabalho que se pretende realizar permitindo a definição e araterização dos parâmetros materiais neessários para o ritério de edênia de Cazau. No estudo representado [1], é possível verifiar a urva de edênia do betão desrita a partir de resultados de ensaios realizados em laboratório. Para estados de ompressão biaxial existe um arésimo da apaidade resistente do betão em relação à apaidade obtida através do ensaio uniaxial. 5

52 A figura 10 representa a urva de edênia do betão para estados de tensão biaxial [1]. Figura 10 Resistênia a estados de tensão biaxiais do betão [1]. Por outro lado, através da figura 10, o valor da resistênia de tração biaxial não é muito diferente para estados uniaxial de tração, embora se observe um ligeiro aumento em relação ao estado uniaxial [5]. f1 f Numa breve expliação da figura 10, para valores de = 0, 18 e = 0, 18, por exemplo, ambos os valores estão fora da superfíie de edênia, deste modo, f1 f o material enontra-se em rotura. Por outro lado se = 0, 1 e = 0, 1, estes ' f ' f ' f ' f f1 valores são onsiderados de tração. Para finalizar, quando 0, = ' f f e 0, = ' f signifia que o material está dentro da superfíie de edênia ou seja em segurança. 6

53 4 Caraterização dos parâmetros materiais para o modelo numério do ritério de edênia de Cazau Numa primeira fase deste trabalho utilizou-se o programa maple, que permitiu efetuar operações matemátias relativas ao ritério de Cazau, de modo a obter uma visualização gráfia da superfíie de edênia e assim aferir os parâmetros numérios para a araterização do material betão. O ponto de partida foi o de utilizar resultados experimentais de ensaios biaxiais do betão por forma a se araterizar os oefiientes do ritério de Cazau que permitem a melhor definição matemátia da superfíie de edênia que se enaixa nos resultados experimentais dos ensaios biaxiais do betão. Depois de obtida a referida araterização dos parâmetros materiais do ritério de Cazau, proedeu-se à implementação de uma subrotina em linguagem de programação fortran, que foi totalmente integrada num programa omerial de análise por elementos finitos, designado por MSC.Mar []. A subrotina fortran que permite ser integrada no programa de álulo MSC.Mar tem a designação de HYPELA. O MSC.Mar ontém uma série de programas de análise numéria por elementos finitos integrados que failitam a análise de inúmeros problemas de Engenharia, sobretudo na área estrutural, transferênia de alor e eletromagnetismo. Este programa permite a integração de modelos materiais desenvolvidos pelo utilizador através de subrotinas em fortran, omo é o aso da subrotina desenvolvida HYPELA, permitindo assim uma flexibilidade enorme de integração dos modelos materiais desenvolvidos om toda a tenologia numéria, proveniente do método dos elementos finitos, já existente no software MSC.Mar. Desta forma, este trabalho onsistiu em desenvolver a subrotina HYPELA om o ritério de edênia de Cazau e utilizá-lo na simulação numéria de estruturas de betão a partir do software omerial MSC.Mar. 7

54 A partir do estudo efetuado em [1], foram retirados os valores experimentais que desrevem a urva de edênia do gráfio da figura 10. Esses pontos experimentais estão representados grafiamente na figura 11. Figura 11 Pontos que representam estados de tensão biaxiais do betão. A urva onstruída na figura 11 tem uma forma assimétria o que está de aordo om a superfíie de edênia que se pretende obter através da apliação do ritério de Cazau. Tendo em onsideração os parâmetros e modo de proeder que estão inerentes ao ritério de Cazau e a partir dos resultados de ensaios realizados em laboratório, nomeadamente o ensaio de resistênia à ompressão, tração e o valor do módulo de elastiidade, proedeu-se à elaboração da urva de edênia para o betão. Apresenta-se na tabela 1 as araterístias de resistênia em termos de valores médios, que se utilizou neste trabalho e serviu de base para a apliação do ritério de Cazau na simulação do omportamento meânio do betão. Estes dados foram registados a partir de ensaios realizados no Departamento e Engenharia Civil da Universidade de Aveiro [1]. Tabela 1 Propriedades meânias dos ensaios [1]. Betão f m (MPa ubos),8 f t (MPa estimativa) 1,6 E (GPa),8 ν (oef. Poisson) 0, 8

55 A urva de edênia do betão anteriormente referida tem omo base as equações apresentadas a partir do apítulo.5 e que traduzem o ritério de Cazau. Às equações que onstituem o ritério de Cazau, omeçou-se por ajustar os parâmetros de anisotropia, nomeadamente os C 11, C 1, C 1, C, C, C, C 44, C 55 e C 66, o expoente a, assim omo os outros parâmetros materiais, o F e k, de modo que estejam de aordo om os valores obtidos pelos ensaios que a tabela 1 apresenta e desrevam uma urva semelhante à da figura 10. Aos parâmetros anteriormente referidos, e tendo omo base de omparação a figura 11, foram obtidos os seguintes valores para os parâmetros de anisotropia, C 11 = -0,1, C 1 = 0,9, C 1 = -0,5, C = -0,05, C = -0,5, C = -0,5 e C 66 = 1,0, e para k= -0,61, F= 50 e a=,0. Estes valores para os parâmetros foram obtidos através de tentativa-erro até se onstruir ou obter o melhor fitting para a urva de edênia experimental do betão. Aos parâmetros de xx e yy que se enontram nas expressões (57), (58), xx = xx e (59) e (60) foram adiionados os seguintes valores, + 4, 9 + 4,0, representando assim uma translação da urva de edênia no yy = yy espaço das tensões prinipais. Este proedimento é, de erta forma, equivalente a se onsiderar um tipo de endureimento inemátio que se pode definir omo um movimento de translação da superfíie de edênia no espaço das tensões prinipais por forma a onsiderar o enruamento do material em regime plástio. Com este proedimento, onseguiu-se araterizar de forma mais exata os parâmetros materiais para o ritério de edênia de Cazau e assim reproduzir de forma mais efetiva o fitting dos valores experimentais que a figura 11 apresenta, ombinado om as propriedades do material apresentadas pela tabela 1. 9

56 O resultado final da araterização dos parâmetros materiais do ritério de edênia de Cazau está desrito grafiamente na figura 1. Figura 1 Representação do ritério de Cazau apliado ao betão. 5 Modelos e resultados numérios 5.1 Método dos Elementos Finitos Foi por volta de 1950 que omeçou a ser apliado o método dos elementos finitos para análise estrutural, apliado sobretudo na indústria aeroespaial e energia nulear, om o objetivo de fazer uma redução dos ustos dos omponentes estruturais, mantendo o bom desempenho meânio, om um elevado fator de segurança nos resultados obtidos. Usualmente, este método aplia-se a problemas de análise em Engenharia e projeto, sobretudo quando é exigido um elevado grau de omplexidade de geometria nos modelos materiais a utilizar [14]. Dos vários métodos de aproximação existentes, o de elementos finitos distingue-se pela elevada exatidão dos resultados obtidos, pelo fáil manuseio, robustez e versatilidade. Este método é uma importante ferramenta omputaional que permite exeutar álulos que, na prátia, seriam muitos difíeis ou mesmo impossíveis de se obter de outro modo. O método dos elementos finitos onsiste, de um modo geral, em resolver problemas físios envolvendo várias estruturas ou omponentes estruturais, sujeitos a um determinado e adequado arregamento e ondições de fronteira. 40

57 Para o suesso da utilização do método de elementos finitos na resolução de problemas matemátios e físios deve ter-se o uidado de esolher os elementos adequados para o problema em análise (por exemplo, elementos do tipo plaa, asa, elementos para estado plano de tensão e de deformação, elementos para estado de tensão D ompleto, et.), a dimensão ou refinamento da malha, os parâmetros de solução, por forma a estarem de aordo om o tipo de problema, estrutura, argas e ondições de fronteira assoiadas, et. Tendo em onta que o método dos elementos finitos é um proedimento numério, é neessário avaliar om muita preisão a solução obtida. No aso de o objetivo não estar a ser atingido poder-se-á, por exemplo, optar pela solução numéria que passa pelo refinamento da malha, de modo a se onseguir um resultado mais fiável. No modelo de elementos finitos é neessário definir as ondições de fronteira que passam por apliar, por exemplo, enastramentos, apoios simples e/ou duplos e definir os arregamentos, podendo estes, a título de exemplo, ser argas pontuais nos nós dos elementos, arregamentos de pressão nas faes dos elementos, tipo forças de unidade de omprimento, et., dependendo da soliitação a que a estrutura esteja sujeita. Cada elemento finito define um volume elementar do orpo em estudo e é onstituído por nós e pontos de integração, geralmente designados por pontos de Gauss [15]. Nos nós ou pontos nodais, alulam-se os desloamentos e nos pontos de integração determinam-se os ampos de deformação e de tensão do elemento, a partir do ampo dos desloamentos previamente obtidos nos pontos nodais do elemento [14]. A partir da teoria da elastiidade ou relações da lei de Hooke, determina-se a energia de deformação armazenada em ada elemento finito, minimizando esse valor em relação aos desloamentos ou graus de liberdade, dos nós dos elementos que são as inógnitas do problema [14]. Atualmente, o método dos elementos finitos é apliado não só ao álulo estrutural, mas também em diversas áreas omo a transferênia de alor, esoamento de fluidos, eletromagnetismo, et []. Neste trabalho, apresentam-se modelos estruturais a três dimensões que tem omo intuito a realização de uma análise estrutural a partir do método de elementos finitos, apliando-se para o efeito o ritério de edênia de Cazau ao betão, om o objetivo de se estudar o omportamento meânio do material, 41

58 nomeadamente no que diz respeito ao estudo da assimetria, bem omo os respetivos pontos rítios da estrutura. Da mesma forma, pretende-se omparar as soluções obtidas para o omportamento meânio do betão utilizando o ritério de edênia de Cazau e omparar as soluções obtidas om o ritério de von Mises. 5. Validação numéria do modelo implementado Como foi anteriormente referido, o prinipal objetivo deste trabalho passa por apliar o ritério de edênia de Cazau ao betão e omparar os resultados obtidos om os resultados provenientes da utilização de von Mises. Para tal, proedeu-se ao estudo de três exemplos prátios de álulo estrutural, tendo-se verifiado a importânia da utilização do ritério de edênia de Cazau para se prever a loalização e magnitude das zonas rítias da estrutura. Após a simulação numéria dos modelos onsiderados, analisou-se ada elemento da malha de elementos finitos quanto à distribuição das tensões, por forma a se poder verifiar a diferença de previsões do omportamento meânio que são indiadas pelos dois ritérios de edênia em análise. Para efeitos de simulação numéria dos três exemplos propostos, onsiderouse o módulo de Young do betão de,8 GPa (alulado experimentalmente) e um oefiiente de Poisson de 0,. Os elementos finitos utilizados neste trabalho foram do tipo asa, onde ada um é onstituído por quatro nós e, em ada nó, existem seis graus de liberdade, nomeadamente três translações e três rotações em torno de um sistema de eixos loal nodal. Assim, ada elemento finito do tipo asa utilizado nesta análise apresenta um total de 4 graus de liberdade. O elemento usado onsta no manual do programa omerial MSC.Mar [] omo sendo o elemento om ódigo interno 140 [16] integração numéria reduzida e om estabilização dos modos de energia nulos. A utilização deste elemento neste trabalho foi mais orientada para exemplos planos, onde houve a neessidade de se restringir os graus de liberdade assoiados ao desloamento transverso e os graus de liberdade assoiados às rotações que induzem deformações de flexão. Pode-se assim dizer que as 4

59 deformações onsideradas om a utilização do elemento 140 [16] nestas ondições são essenialmente deformações de membrana Flexão de uma viga em três pontos O omportamento à flexão de uma viga em betão é avaliado a partir da soliitação da mesma em três pontos distintos. Neste exemplo pretende-se estudar o omportamento à flexão de uma viga em betão em três pontos distintos: uma força apliada a meio vão e dois apoios a uma determinada distânia das extremidades. Para esta simulação vai-se onsiderar apenas metade da viga, apliando-se ondições fronteira de simetria a meio vão. A figura 1 representa a geometria de metade da viga, om as ondições de fronteira apliadas assim omo o arregamento. F [mm] Figura 1 Representação do ensaio de flexão O apoio simples oloado perto da extremidade da viga permite que oorram rotações no plano longitudinal da viga e, ao mesmo tempo, restringe os movimentos vertiais. O movimento longitudinal é restringido pelas ondições de simetria da viga a meio vão. O estudo a efetuar vai permitir obter a máxima resistênia à tração em flexão e omparar as soluções obtidas a partir do ritério de edênia de Cazau apliado ao betão om o de von Mises. A força vertial F apliada à viga tem o valor de 594 N. A área da seção transversal da viga tem a dimensão de 400x400mm. 4

60 A figura 14 representa as ondições de arregamento e de fronteira, bem omo o número de elementos finitos (640) onsiderados na análise. Figura 14 Representação de ondições de fronteira, arregamentos e número de elementos. Novamente, o tipo de elemento finito utilizado nesta análise foi de asa, o 140 do programa MSC.Mar, om integração reduzida e estabilização dos modos de energia nulos [16]. Foram novamente bloqueados os graus de liberdade relativos ao desloamento transversal e às rotações nodais, pelo que a análise efetuada aplia-se a estado plano de tensão om deformações maioritariamente de membrana. Na figura 15 representa-se a distribuição de tensões apliando o ritério de edênia de von Mises. Figura 15 Distribuição da tensão equivalente de von Mises. 44

61 Como se pode verifiar através da análise da figura 15, não existe novamente qualquer tipo de diferença na distribuição da tensão equivalente de von Mises para as fibras da viga à ompressão (fibras superiores) e para as fibras da viga à tração (fibras inferiores). A figura 16 apresenta a distribuição da tensão equivalente utilizando o ritério de Cazau. Conforme se verifia na figura 16, as fibras à tração são as que apresentam valores mais rítios para a tensão equivalente proveniente do ritério de edênia de Cazau, verifiando-se assim a assimetria no omportamento da viga de betão à tração e à ompressão. Figura 16 Distribuição de tensões apliando o ritério de Cazau. À semelhança do estudo realizado no modelo anterior, a tensão equivalente de von Mises tem um valor máximo de 689,10 MPa. Por outro lado, para o aso do ritério de Cazau, o valor máximo de tensão equivalente é de 59,80 MPa. 5.. Ligação viga-pilar As vigas e os pilares deformam-se naturalmente sob ação do peso próprio, das argas permanentes e aidentais a que estão sujeitos, bem omo da retração e deformação lenta do material, que no aso deste trabalho é o betão. A título de uriosidade, o betão admite flehas que podem não omprometer em nada a sua estétia, estabilidade e resistênia. Estas flehas terão que ser ompatíveis om a apaidade de deformação dos omponentes que integram as estruturas das edifiações. 45

62 Nesta parte do trabalho, pretende-se realizar uma análise numéria do omportamento de uma tipologia de ligação entre uma viga e um pilar em betão, omummente designado por nó viga-pilar. Para tal, a figura 17 mostra a representação esquemátia da ligação estrutural onsiderada, om as respetivas dimensões, ondições de fronteira e arregamentos apliados Pilar Viga 1500 Desl.pres F [mm] Figura 17 Condições de fronteira e arregamentos da ligação viga-pilar. A estrutura da figura 17 foi retirada de um estudo realizado pelo Departamento de Engenharia Civil da Universidade de Aveiro [1]. Neste trabalho, a ligação vigapilar refere-se a uma estrutura em betão, sem armadura, onde a zona de ligação (ou nó) é onsiderada rítia em termos de pontos, uma vez que, devido à elevada onentração de tensões, é nessa zona que existe uma maior probabilidade de oorrerem danos signifiativos quando a estrutura está sujeita a diferentes tipos de arregamentos. As dimensões para a seção da viga são de 400x00 mm e as dimensões para o pilar são de 00x00mm. Este modelo é submetido a uma força vertial axial om o valor de 187 N na base do pilar. Este valor da força foi atribuído a partir de resultados de ensaios realizados no Departamento de Engenharia Civil da Universidade de Aveiro [1]. Foi também apliado um desloamento presrito (desloamento lateral na base do pilar) de 0 mm. O modelo numério para o nó viga-pilar ontempla também apoio duplo na parte superior do pilar. De igual modo, a viga está impedida de se desloar na direção vertial em ambas as suas extremidades. 46

63 O objetivo do estudo estrutural apresentado visa avaliar a apaidade de reprodução do ritério de edênia de Cazau ao betão através da ligação estrutural viga-pilar, e representar o omportamento assimétrio para estados de tração e ompressão e respetivos pontos rítios. A figura 18 representa as ondições de fronteira da estrutura viga-pilar, bem omo a respetiva divisão em elementos, apresentando um total de 756 elementos. Figura 18 Representação de ondições de fronteira, arregamentos e número de elementos. A figura 19 apresenta a distribuição da tensão equivalente de von Mises, apliada à ligação viga-pilar. Figura 19 Distribuição da tensão equivalente de von Mises. 47

64 Como se verifia na figura 19, é possível visualizar uma simetria em termos de tensões de tração e ompressão, bem omo os pontos rítios na zona de ligação viga-pilar. Este resultado permite onluir que o ritério de von Mises não onsegue distinguir o diferente omportamento do betão quando soliitado om esforços de tração e de ompressão e, assim sendo, torna-se inadequado para prever e loalizar as zonas rítias da estrutura que apresentam maior riso de fratura. De seguida apresenta-se a mesma ligação viga-pilar, apliando-se agora o ritério de Cazau. Na figura 0 é possível visualizar a assimetria deste material em termos de tensão à tração e ompressão. Conforme se pode onstatar pelos resultados da distribuição da tensão equivalente na figura 0, om a utilização do ritério de edênia de Cazau, as zonas rítias são aquelas que estão sujeitas a estados de tensão de tração, estando assim em sintonia om a assimetria à tração e ompressão que é esperada ao utilizar-se o ritério de Cazau. Na figura 0 representa-se a distribuição de tensões apliando o ritério de edênia de Cazau. Figura 0 Distribuição de tensões apliando o ritério de Cazau. Em relação à análise do estado de tensão equivalente de von Mises, este tem um valor máximo de tensão instalado de,5 MPa e no aso do ritério de Cazau, tem um valor máximo de tensão de 7,67 MPa. De notar que as zonas de maior tensão estão situadas preisamente nos pontos rítios esperados ou seja nas zonas de ligação entre a viga e o pilar. 48

65 5.. Viga-parede Uma viga-parede em betão é onsiderada um elemento estrutural ujo omportamento pode assemelhar-se ao de uma viga, ou seja, tem uma geometria idêntia a uma parede, mas a nível de soliitação de argas vertiais tem um funionamento idêntio ao de uma viga. O objetivo deste exemplo é o de se onsiderar uma apliação estrutural mais omplexa e aferir o omportamento estrutural proveniente da utilização do ritério de edênia de Cazau. A figura 1 representa a distribuição esquemátia das ondições de fronteira e arregamentos apliados à estrutura da viga-parede. A viga parede é soliitada por uma arga distribuída de 1,5 KN/m e é enastrada na parte inferior, omo se pode observar novamente pela figura 1. Esta arga apliada na viga-parede foi atribuída tendo em vista a obtenção de resultados uja interpretação deve ser vista de modo qualitativo, ou seja, om o objetivo de se identifiar os pontos rítios que são previstos pela utilização do ritério de edênia de von Mises e pela utilização do ritério de Cazau. P [mm] Figura 1 Distribuição dos arregamentos e ondições de fronteira da vigaparede. 49

66 A figura representa as ondições de arregamento e fronteira que se onsiderou na estrutura viga-parede e mostra a sua divisão em elementos finitos (6400) do tipo asa (elemento 140 do manual do MSC.Mar). A espessura adotada para a viga-parede é de 00mm. Figura Representação de ondições de fronteira, arregamentos e número de elementos. Apresenta-se, na figura, a distribuição da tensão equivalente de von Mises. Conforme se pode verifiar pela figura, existe uma simetria total para a tensão equivalente, o que era de erta forma esperado já que o ritério de von Mises não diferenia o omportamento à tração do omportamento à ompressão. Figura Distribuição da tensão equivalente de von Mises. É possível obter o valor máximo de tensão (ponto rítio) que orresponde a 0,648 MPa para a tensão equivalente de von Mises. Os pontos rítios enontram- 50