Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 21, no. 3, Setembro, Termodin^amica do Modelo de Hubbard de Dois Atomos

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1 Revista Brasileira e Ensino e Fsia, vol. 1, no. 3, Setembro, Termoin^amia o Moelo e Hubbar e Dois Atomos (Thermoynamis of the Two-Atom Hubbar Moel) Marelo A. Ma^eo e Clauio A. Ma^eo Departamento e Fsia, Universiae Feeral e Sergipe S~ao Cristov~ao, SE, Brasil maeo@sergipe.ufs.br Reebio em 16 e junho, 1998 Um sistema magnetio omposto e ois stios at^omios e ois eletrons e estuao sob a otia o moelo e Hubbar. Os autovalores e energia s~ao obtios por iagonaliza~ao algebria exata o hamiltoniano o moelo. As fun~oes termoin^amias alor espeo, entropia, energia interna, magnetiza~ao e suseptibiliae magnetia s~ao eterminaas a partir o alulo a fun~ao e parti~ao epenente e um ampo magnetio externo h utilizano o metoo o ensemble an^onio. O sistema, representao no formalismo a seguna quantiza~ao, apresenta uma estrutura oneitual e matematia aessvel a alunos ursano o ultimo ano e graua~ao, e os resultaos mostram uma grane riqueza e fen^omenos fsios om etalhes que viabilizam o aprofunamento a ompreens~ao os meanismos qu^antios envolvios nas proprieaes termoin^amias e os metoos empregaos para obt^e-las. A system ompose of two atomi sites an two eletrons is stuie uner the optis of the Hubbar moel. The energy eigenvalues are obtaine from the exat algebrai iagonalization of the Hamiltonian moel. The thermoynami funtions spei heat, entropy, internal energy, magnetization, an magneti suseptibility are etermine from of the alulation of the partition funtion epenent of an external magneti el h utilizing the anonial ensemble metho. The system, represente in the seon quantization formalism, presents a oneptual an mathematial struture aessible to stuents of the last year of uner-grauate ourse, an the results show a rih variety of physis phenomena with etails that make feasible a eeper omprehension of the quantum mehanisms involve in the thermoynamis properties an of the methos employe to obtain suh properties. I Introu~ao No ensino e me^ania estatstia raramente empregase moelos e sistemas magnetios no formalismoe seguna quantiza~ao. As raz~oes prinipais para isso s~ao as iulaes matematias e oneituais envolvias om o formalismo. Neste trabalho, resolve-se o problema o alulo as proprieaes termoin^amias e um sistema magnetio e ois stios at^omios, om ois eletrons, submetio a um ampo magnetio estatio e uniforme, sob a in^amia o moelo e Hubbar [1,], utilizano o metoo o ensemble an^onio. Trata-se e um sistema om solu~ao algebria exata e uma estrutura oneitual e matematia aessvel a alunos ursano o ultimo ano e graua~ao [3]. Os resultaos mostram uma grane riqueza e fen^omenos fsios, om as proprieaes as granezas estuaas expressano etalhes que permitem o aprofunamento o aprenizao os oneitos e iversas fun~oes termoin^amias e e metoos a me^ania estatstia. O moelo e Hubbar para ois stios, o alulo algebrio as autoenergias e a analise o estao funamental o sistema s~ao apresentaos na se~ao II. A se~ao III e eiaa a etermina~ao e analise as fun~oes termoin^amias alor espeo, entropia, energia interna, magnetiza~ao e suseptibiliae magnetia. As onlus~oes s~ao expressas na se~ao IV. II O moelo e o espetro e energias O moelo e Hubbar [1,], em sua vers~ao mais simples, esreve os efeitos e orrela~ao os eletrons em uma ree ristalina onsierano-se uma bana s omo hipotetiamente estreita. O hamiltoniano o moelo onsiste e uas partes esseniais: o termo que expressa a in^amia eletr^onia interstios (\hopping"), arate-

2 3 Marelo A. Ma^eo e Clauio A. Ma^eo rizao pela integral e transfer^enia eletr^onia entre stios vizinhos t, e o termo e repuls~ao oulombiana intrastio, representao pela energia U. Para um sistema e ois stios at^omios, a e b, submetio a um ampo magnetio estatio e uniforme na ire~ao z (H Z ), poemos esrever o hamiltoniano omo H =,t X (a y b + b y a )+U (n a" n a# + n b" n b# ), h X (n a + n b ); (1) one, a y (by )ea (b )s~ao operaores e ria~ao e estrui~ao e eletrons [4], respetivamente, o stio a(b); e onie o spin (+1, -1 ou ", #), n a = a y a (n b = b y b )e o operaor numero para eletrons no stio a (b), e h = B H Z. Devio ao prinpio e exlus~ao e Pauli, ois eletrons e mesmo spin n~ao poem oupar um mesmo stio. Assim, um sistema e ois stios om ois eletrons apresenta seis possveis ongura~oes e spins, onforme est~ao apresentaas na Tabela I. Na Tabela I e no que segue abaixo s~ao apresentaos os vetores e estao ja >; :::; jf >, orresponentes as ongura~oes e spins em termos o estao vazio (vauo), j0 >, enio tal que um operaor e ria~ao agino sobre j0 > ria um eletron nesse stio [(a y j0 >= j1 >); (b y j0 >= j1 >)]; e um operaor e estrui~ao agino sobre o estao vazio estroi o estao [(a j0 >= 0); (b j0 >= 0)]: (a) Estaos om S z = Denino Consierano os valores e S z no que segue, os estaos o sistema s~ao separaos em ois grupos, S z = e S z =0: j 1i = jai e j i = Bi; () e apliano o operaor hamiltoniano, enontra-se Hj 1;i =,t X a y b a y 0by 0j0i,tX b y a a y 0by 0j0i + Ua y " a "a y # a #a y 0by 0j0i + Uby " b "b y # b #a y 0by 0j0i + h X a y a a y 0by 0j0i,hX b y b a y 0by 0j0i: (3) Utilizano as rela~oes e antiomuta~ao para fermions [4] o primeiro termo o lao esquero a Eq. (3) fornee

3 Revista Brasileira e Ensino e Fsia, vol. 1, no. 3, Setembro, ,t X a y b a y 0by 0j0i = tx a y a y 0by b y 0j0i = = t X X a y a y 0(, by 0 0b )j0i = t 0a y a y 0j0i = tay a y j0i =0: Com proeimento analogo enontra-se failmente que o seguno, o tereiro e o quarto termo a Eq. (3) tambem s~ao nulos, e que o quinto e o sexto termo forneem,h X 0 0 a y 0a 0ay b y j0i,h X 0 0 b y 0b 0ay b y j0i =,ha y b y j0i : Assim, Hj 1i =,hj 1i e Hj i = hj i (4) A energia o estao funamental om ampo magnetio nulo e E 6 omo poe ser visto failmente atraves as urvas a Fig. 1. e esse moo, as autoenergias para os estaos om S z = s~ao E 1 =,h e E =h: (b) Estaos om S z =0 Denino j 3i = 1 p (jci,jdi) j 4i = 1 p (jei,jf i) j 5 0i = 1 p (jci + jdi) (5) j 6 0i = 1 p (jei + jf i); enontra-se Figura 1. Autoenergias em fun~ao e U para h =0. Hj 3i = 0 (6) Hj 4i = Uj 4i Hj 5 0i =,tj 6 0i Hj 6 0i =,tj 5 0i + Uj 6 0i: Os estaos j 3i e j 4i t^em autoenergias, respetivamente, E 3 =0eE 4 = U: As emais autoenergias s~ao eterminaas pela solu~ao o sistema eterminao a partir as rela~oes para j 0i 5 e j 60i em (6):,E,t,t U, E = E, EU, 4t =0; (7) que tem solu~oes aas por E 5 = U + p U +16t e:e 6 = U, p U +16t : (8) Com um ampo magnetio apliao, o estao que orrespone a E 1 passa a ompetir om o e E 6,eo estao funamental a uplamente egenerao para valores e h que tornam E 1 = E 6. Estes valores, enotaos por h e referios neste trabalho por ampos rtios, s~ao eterminaos a partir e h =, 1 4 (U, p U +16t ): (9) A Fig. mostra a ompeti~ao entre os estaos orresponentes a E 1 e E 6 para o aso partiular e U=t = 0; 5: Para ampos menores o que h a energia o estao funamental e E 6 e para ampos maiores o que h e E 1. Para h = h o estao funamental e uplamente egenerao.

4 34 Marelo A. Ma^eo e Clauio A. Ma^eo III As fun~oes termoin^amias A fun~ao e parti~ao e aa por Z = Tre, ^H = 6X i=1 e,ei 1 =1+osh(h)+e,U= osh (U +16t ) 1= + e U ; (10) seno =1=k B T: Atraves a fun~ao e parti~ao poe-se eterminar iretamente as fun~oes termoin^amias alor espeo, entropia, energia interna, magnetiza~ao e suseptibiliae magnetia. Calor espeo A apaiae alora e aa por " = k ln Z = B 1 # : (11) Figura. E 1 e E 6 em fun~ao o ampo magnetio h para U=t =0; 5. h =t =0; 883: A Fig. 3 mostra o alor espeo (C =k B ) em fun~ao a temperatura e o ampo magnetio apliao para varios valores e U.Onumero que aparee iviino o valor e C, orrespone ao numero e stios, e apareera tambem em outras granezas. Para h =0eU=t < 4, as urvas o alor espeo apresentam um pio e para U=t 4 ois pios. O primeiro pio, que oorre em baixas temperaturas, e evio ao orenamento antiparalelo e o seguno pio, que surge em altas temperaturas, e evio a transi~ao graual metal-isolante. [5] Quano e apliao o ampo magnetio os spins os eletrons tenem a se alinhar om o ampo (ire~ao z). Este alinhamento quebra o orenamento antiparalelo. No aso e U=t < 4, a quebra o orenamento antiparalelo e vista omo uma iminui~ao o pio (Fig. 3(a)) ate surgir um seguno pio (o menor eles) provoao pelo ampo magnetio. Ao se atingir o ampo rtio, em que os ois pios se sobrep~oem, oorre a transi~ao e orenamento antiparalelo para paralelo, que vai iminuino om o resimento o ampo, ate restar um unio pio (orenamento paralelo). Com o aumento o ampo magnetio, este pio omeara a reser e se formara em regi~oes e temperaturas mais altas. Para U=t 4, o fen^omeno fsio esrito aima oorre, so que se tem tambem a presena o pio orresponente a transi~ao graual metal-isolante (Figs. 3(b) e 3()) que esapareera om ampos aima o rtio. Entropia Aentropia poe ser eterminaa e = k B ln ; (1) em que F =,k 0 T ln Z e a energia livre e Helmholtz. A Fig. 4 mostra o omportamento a entropia em fun~ao a temperatura para U=t = 0,5 e varios valores e h. Poe-se observar que a entropia omea om o valor zero tanto para h menores o que h quanto para h maiores o que h (h =t =0; 883) ou omea om o valor kln para h = h,emt = 0, e tene para kln6

5 Revista Brasileira e Ensino e Fsia, vol. 1, no. 3, Setembro, em altas temperaturas. A raz~ao para isso e que o estao funamental o sistema e n~ao-egenerao para h 6= h e, omo onsequ^enia, S(T = 0) = kln1 = 0: Para h = h o estao funamental e uplamente egenerao e, portanto, S(T = 0) = kln. Com o aumento a temperatura, o efeito a energia termia torna paulatinamente esprezveis as iferenas e energias os emais autoestaos em rela~ao a energia o estao funamental inepenentemente o valor o ampo h. A onsequ^enia isso e uma eleva~ao sistematia a entropia om o aumento a temperatura, onuzino no limite e altas temperaturas a uma ompeti~ao entre toos os seis estaos o sistema e, portanto, a S(T!1)=kln6: Figura 4. Entropia em fun~ao a temperatura para U=t = 0; 5: h =t =0; 883. Os numeros que ientiam as urvas s~ao os valores e h=t. Energia interna A energia interna e enia omo E = hhi = TrHe,H =, : (13) Figura 3. Calor espeo em fun~ao a temperatura. (a) U=t =0; 5; h =t =0; 883: (b) U=t =4; h =t =0; 414: () U=t =9;h =t =0; 1: Os numeros que ientiam as urvas s~ao os valores e h=t. Os graos a Fig. 5 mostram a energia interna em fun~ao a temperatura para alguns valores e U e h. Eles iniam que om o aumento e U, para ampo nulo, oorre um aumento a energia interna, o que e failmente entenio onsierano-se que o termo e repuls~ao oulombiana e positivo no hamiltoniano o moelo. Entretanto, quano o ampo magnetio e apliao, a energia interna ai porque a ontribui~ao o termo evio ao ampo magnetio para o hamiltoniano o moelo tem o sinal negativo.

6 36 Marelo A. Ma^eo e Clauio A. Ma^eo rtio omea em zero para T = 0 pois o estao funamental ene o orenamento antiparalelo os spins (S z = 0), e forma um pio que logo ai om aumento a temperatura. Este pio e evio a ompeti~ao entre os efeitos o ampo magnetio que tene a alinhar o sistema e a temperatura que tene a estruir este alinhamento. Figura 6. Magnetiza~ao em fun~ao a temperatura para U=t =0; 5: h =t =0; 883: Os numeros que ientiam as urvas s~ao os valores e h=t. Figura 5. Energia interna em fun~ao a temperatura. (a) U=t = 0; 5: (b) U=t = 5: Os numeros que ientiam as urvas s~ao os valores e h=t. Magnetiza~ao A magnetiza~ao na ire~ao z e enia omo M z =, i = : (14) A Fig. 6 apresenta os graos a magnetiza~ao na ire~ao z em fun~ao a temperatura para U=t =0; 5e varios valores e h. A magnetiza~ao abaixo o ampo Quano o ampo rtio e alanao, inepenentemente o valor e U, a magnetiza~ao a baixas temperaturas sobe para um valor em torno e 0,5 porque oorre uma egeneres^enia no estao funamental entre estaos e orenamento paralelo (S z = 1) e e orenamento antiparalelo (S z = 0). Depois, a magnetiza~ao omea a air om o aumento a temperatura. Para ampos aima o rtio, o sistema atinge o valor maximoe magnetiza~ao (S z = 1) para baixas temperaturas (ois eletrons alinhaos) e esse valor erese om o aumento a temperatura pois esta tene a estruir o alinhamento em raz~ao a ompeti~ao om os emais estaos provoaa pela exita~ao termia. Suseptibiliae magnetia A suseptibiliae magnetia e enia por zz = j h!0: (15) Utilizano a Eq. (14), enontra-se que

7 Revista Brasileira e Ensino e Fsia, vol. 1, no. 3, Setembro, ,1 1 zz =8 B 3+e,U= osh (U +16t ) 1= + e,u : (16) O grao a suseptibiliae magnetia representao na Fig. 7 exibe os ois pios que apareem no alor espeo. Em temperaturas baixas o pio o alor espeo orrespone ao maximo a suseptibiliae. Na regi~ao e temperaturas altas, em que se enontra o seguno pio o alor espeo, ha uma muana graual a onstante e Curie. Observa-se tambem que quanto maior for U, maior sera o pio a suseptibiliae evio ao fato e que o sistema se torna mais loalizao [5]. O alulo algebrio exato o espetro e autoenergias e e iversas fun~oes termoin^amias o moelo e Hubbar apliao a um sistema e ois stios at^omios submetio a um ampo magnetio estatio e uniforme, apresentao neste trabalho, onstitui-se omo um poeroso material iatio para o aprenizao o formalismo e seguna quantiza~ao e o metoo o ensemble an^onio a me^ania estatstia qu^antia. Alem isso, o material apresentao viabiliza o aprofunamento a ompreens~ao os meanismos qu^antios envolvios nas proprieaes termoin^amias o sistema tratao. Deve ser estaao, tambem, que o estuo algebrio exato e moelos apliaos a pequenos sistemas at^omios (\lusters") e onsierao um laboratorio o fsio teorio, teno em vista a potenialiae o metoo a infer^enia para a busa e solu~oes exatas e sistemas \innitos" e a possibiliae e valia~ao e teorias aproximaas esses mesmos sistemas [6]. Agraeimentos Os autores agraeem a Anre M. C. e Souza e Mario E. e Souza por uteis isuss~oes, e ao CNPq pelo apoio naneiro. Referenes [1] J. Hubbar, J. Eletron Correlations in Narrow Energy Bans. Pro. Roy. So. A, 76, 38 (1963). Figura 7. Suseptibiliae magnetia em fun~ao a temperatura. Os numeros que ientiam as urvas s~ao os valores e U=t. IV Conlus~oes [] E.H. Lieb, The Hubbar Moel: Some Rigorous Results an Open Problems. In Proeeings of the Conferene on Avanes in Dynamial Systems an Quantum Physis: On the Oasion of the 60th Birthay of Gianfausto Dell'Antonio. Singapura, Worl Sienti, 1995, faz uma resenha sobre os resultaos o moelo e Hubbar. [3] N.W. Asroft & N.D. Mermin, Soli State Physis.Fort Worth, Sauners College, 1976, isute o estao funamental o sistema objeto este trabalho, om ampo magnetio nulo. [4] R.M. White, Quantum Theory of Magnetism. Berlim, Spring-Verlag, [5] H. Shiba, & P.A. Pinus, Thermoynami Properties of the One-Dimensional Half-Fille-Ban Hubbar Moel. Phys. Rev. B, 5(5): 1966 (197). [6] J. Callaway, Cluster Simulation of Itinerant Magnetism. Physia B, 149, 17 (1988).