Criptografia, assinaturas digitais e senhas segmentadas

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1 Criptografia, assinaturas igitais e senhas segmentaas Ariele Giareta Biase Universiae Feeral e Uberlânia - Faculae e Matemática Grauana em Matemática - PROMAT arielegbiase@ yahoo. com. br Eson Agustini Universiae Feeral e Uberlânia - Faculae e Matemática Professor Associao I agustini@ ufu. br Resumo: Este trabalho é uma exposição os resultaos básicos envolveno Criptografia RSA. Sua base teórica é encontraa na Teoria os Números, mais precisamente, na manipulação e máximos ivisores comuns, fatorações, congruências e métoos para eterminar números primos. A Criptografia RSA é composta por uas fases: ciframento e eciframento, nas quais utilizamos n = pq, com p e q números primos muito granes. A segurança a Criptografia RSA baseia-se na ificulae e fatorar n para obter p e q, que são números muito granes. Além a Criptografia RSA, os pré-requisitos e Teoria os Números são expostos nesse trabalho, assim como aplicações em senhas segmentaas e assinaturas igitais. 1 Introução Nas últimas écaas a necessiae e se proteger informações, e moo que alguém inesejável não tenha acesso ao seu conteúo, tem sio imperiosa. Uma as maneiras e se criar essa esejaa proteção para mensagens é a criptografia. O uso corrente a criptografia é encontrao, por exemplo, em transações bancárias via Internet ou em compras on-line com cartões e créito. Dessa forma, a criptografia torna-se um agente e segurança em um sistema e comunicações. Criptografia é o estuo e métoos para cifrar (ou moificar) uma mensagem a ser enviaa e tal forma que apenas o receptor legítimo consiga interpretá-la. A base matemática a criptografia moerna é a Teoria os Números, uma vez que o estuo as proprieaes os números inteiros; mais precisamente, a manipulação e máximos ivisores comuns, fatorações, congruências e métoos para eterminar números primos são funamentais para se entener criptografia. O métoo mais conhecio e criptografia é o chamao RSA (Rivest, Shamir, Aleman) [5], ao qual aremos ênfase nesse trabalho. Para implementar esse métoo, precisamos escolher ois números primos muito granes p e q e, na fase e ciframento e uma mensagem, usamos n = pq. Já, para o eciframento a mensagem, precisamos conhecer p e q. A segurança o métoo está justamente na ificulae e fatorar n, que é público, para obter p e q, que são privaos. Há ois granes objetivos nesse trabalho. O primeiro consiste no estuo os principais resultaos e Teoria os Números, principalmente congruências, que são necessários ao estuo e criptografia em geral. O seguno é o estuo o algoritmo a Criptografia RSA, a emonstração e sua funcionaliae e uma aplicação em assinaturas igitais. Além isso, uma aplicação e sistemas lineares e congruências é aborao: as senhas segmentaas que, embora não use criptografia, ilustra o quanto as congruências poem ser úteis no processo e segurança e informações e valores. Em ecorrência o exposto, o trabalho está esquematizao em três granes partes:

2 1 FAMAT em Revista - Principais preliminares a Teoria os Números e algoritmos necessários à compreensão a Criptografia RSA. - Processo e ciframento e eciframento e mensagens utilizano a Criptografia RSA. - Aplicações em assinaturas igitais e senhas segmentaas. Nessa seção, apresentamos alguns conceitos básicos para o entenimento e métoos e criptografia. Começamos com alguns algoritmos (processos para a resolução e um problema escrito passo a passo), que são bastante úteis para a construção e programas computacionais que visam resolver um ao problema. As proposições apresentaas nessa seção são básicas e suas emonstrações poem ser encontraas em livros introutórios e Teoria os Números como, por exemplo, [1], [], [3] e [6]..1 Alguns Teoremas e Algoritmos Importantes O Teorema a Divisão e Inteiros Proposição (Teorema e Euoxius) Daos a e b inteiros com b 0 então a é um múltiplo e b ou se encontra entre ois múltiplos consecutivos e b, isto é, corresponeno a caa par e inteiros a e b 0 existe um inteiro q tal que, para b > 0, qb a < (q + 1)b e para b < 0, qb a < (q 1)b Teorema (a Divisão e Inteiros) Sejam a, b Z, b > 0. Então, existem únicos q, r Z, 0 r < b, tais que a = bq + r. Pelo Teorema e Euoxius, como b > 0, existe q satisfazeno: qb a < (q + 1) b. Assim, e 0 a qb a < qb + b a qb < b. Se efinirmos r = a qb, teremos garantio a existência e q e r. Quanto à uniciae: Vamos supor a existência e outro par q 1 e r 1, em que: com 0 r 1 < b. Temos: a = q 1 b + r 1 qb + r (q 1 b + r 1 ) = 0 qb q 1 b + r r 1 = 0 b(q q 1 ) = r 1 r (1) Introução Universiae Feeral e Uberlânia

3 Criptografia, assinaturas igitais e senhas segmentaas 13 Mas como r 1 < b e r < b temos r 1 r < b. Logo: b q q 1 = r 1 r q q 1 = r 1 r b < 1 q q 1 = 0 q q 1 = 0 q = q 1. De (1) temos: b(q q 1 ) = r 1 r b(q q) = r 1 r 0 = r 1 r r 1 = r. Teorema e Euclies e Algoritmo Eucliiano Definimos o máximo ivisor comum e ois inteiros a e b (a ou b iferente e zero), enotao por mc (a, b), como seno o maior inteiro que ivie a e b. O Algoritmo Eucliiano calcula o mc (máximo ivisor comum) e ois números naturais a e b, a partir a aplicação sucessiva o Teorema e Euclies, enunciao e emonstrao abaixo. Teorema (e Euclies) Se a, b N e q, r N tais que a = bq + r, então mc (a, b) = mc (b, r). Sejam a, b, q, r conforme enunciao. Logo, a = bq + r. Sejam: 1 = mc(a, b) e = mc(b, r). Queremos mostrar que 1 =. Primeiro, provaremos que 1. Como 1 = mc(a, b), então 1 ivie a e 1 ivie b, ou seja, existem inteiros u e v tais que: a = 1 u e b = 1 v. Substituino estas expressões para a e b na relação a = bq + r, obtemos 1 u = 1 vq + r, ou seja: r = 1 u 1 vq = 1 (u vq), ou seja, 1 ivie r. Como 1 também ivie b, então 1 é um ivisor comum e b e r. Mas é o maior ivisor comum entre b e r. Logo, 1. De moo análogo, emonstra-se que 1. Das uas esigulaes, 1 e 1, segue que 1 =, ou seja Algoritmo e Euclies mc (a, b) = mc (b, r). Proceemos a seguinte maneira para calcular o mc os naturais a e b: a = bq 1 + r 1, 0 r 1 < b, b = r 1 q + r, 0 r < r 1, r 1 = r q 3 + r 3, 0 r 3 < r, r = r 3 q 4 + r 4, 0 r 4 < r 3,. r n = r n 1 q n + r n, 0 r n < r n 1, Faculae e Matemática

4 14 FAMAT em Revista Esse processo continua até que obtenhamos um r n = 0. Quano isto acontece, temos: mc(a, b) = mc (b, r 1 ) = mc (r 1, r ) = = mc (r n, r n 1 ) = mc (r n 1, 0) = r n 1, evio ao Teorema e Euclies. Teorema e Euclies Estenio e Algoritmo Eucliiano Estenio Proposição. Se, n Z são tais que n, então n. Temos, pela hipótese, n n = k com k Z e n 0. Logo, n = k n = k n = k. Suponhamos que > n. Logo, = n + p com p N. Assim: = k + p ( k 1) + p = 0. Como ( k 1) 0 temos ( k 1) 0 e p > 0, ou seja, ( k 1) + p > 0, uma contraição. Logo, n. Teorema (e Euclies Estenio) Sejam a, b N e = mc (a, b). Então, existem α, β Z tais que: αa + βb =. Seja B = {na + mb : m, n Z} o conjunto e toas as combinações lineares e a e b. Escolhemos α e β tais que: c = αa + βb seja o menor inteiro positivo pertencente ao conjunto B. Vamos provar que c a e c b. Como as emostrações são análogas, mostremos apenas que c a. Suponhamos que c a. Neste caso pelo Teorema a Divisão e Inteiros, existem q e r tais que a = qc+r com 0 < r < c. Portanto: r = a qc = a q(αa + βb) = a qαa qβb = (1 qα) a + ( qβ) b. Como 1 qα e qβ são inteiros, então r B, o que é uma contraição, uma vez que 0 < r < c e c é o menor elemento positivo e B. Conclusão: c a. De moo similar mostra-se que c b. Como é um ivisor comum e a e b, existem inteiros K 1 e K tais que a = K 1 e b = K. Portanto, c = αa + βb c = α (K 1 ) + β (K ) c = (αk 1 + βk ). Logo c. Da proposição acima, temos que c (ambos positivos) e como < c não é possível, uma vez que é máximo ivisor comum, então c =. Universiae Feeral e Uberlânia

5 Criptografia, assinaturas igitais e senhas segmentaas 15 Concluímos então que = αa + βb. Algoritmo Eucliiano Estenio O algoritmo que fornece, α e β a partir e a e b é enominao Algoritmo Eucliiano Estenio. Primeiramente, vamos calcular o mc(a, b). Utilizano o Algoritmo Eucliiano, obtemos, a seqüência e ivisões abaixo: a = bq 1 + r 1 e r 1 = ax 1 + by 1 b = r 1 q + r e r = ax + by r 1 = r q 3 + r 3 e r 3 = ax 3 + by 3. r n 3 = r n q n 1 + r n 1 e r n 1 = ax n 1 + by n 1 r n = r n 1 q n e r n = 0 Os x 1,..., x n 1 e y 1,..., y n 1 são inteiros a eterminar. Coloquemos os aos obtios acima em uma tabela: restos quocientes x y a x 1 y 1 b x 0 y 0 r 1 q 1 x 1 y 1 r q x y.... r n 1 q n 1 x n 1 y n 1 Tabela 1 Embora a e b não sejam restos, as uas primeiras linhas a tabela são convenientes, pois nos ajuam a esenvolver o algoritmo. Seno assim, iremos chamá-las e linhas 1 e 0. Vamos esenvolver um algoritmo para eterminar as colunas e x e y, utilizano somente uas linhas sucessivas. Para tanto, é necessário imaginar que temos a tabela preenchia até um certo ponto: a j-ésima linha, por exemplo. Nessa linha, temos r j iviio por r j 1, ou seja, r j = r j 1 q j + r j r j = r j r j 1 q j () Analisano as uas linhas anteriores: a (j 1)-ésima linha e (j )-ésima linha, encontramos x j 1, y j 1, x j e y j, seno Substituino (3) em (), temos Logo, poemos tomar r j 1 = ax j 1 + by j 1 e r j = ax j + by j. (3) r j = ax j + by j (ax j 1 + by j 1 )q j r j = a(x j x j 1 q j ) + b(y j y j 1 q j ). x j = x j x j 1 q j e y j = y j y j 1 q j. Temos, portanto, uma fórmula para calcular qualquer x j e y j a tabela, utilizano apenas as uas linhas sucessivas j e j 1 e o quociente a linha j. Para iniciarmos o processo, é necessário ter x j e y j e uas linhas sucessivas e é aqui que utilizamos as uas convenientes primeiras linhas: a = ax 1 + by 1 e b = ax 0 + by 0. Faculae e Matemática

6 16 FAMAT em Revista Nesse caso, os valores triviais para x 1, y 1, x 0 e y 0, são x 1 = 1, y 1 = 0, x 0 = 0 e y 0 = 1. Assim, poemos ar início ao processo e, após executar o algoritmo, teno escoberto o = mc (a, b), ou seja, = r n 1, obtemos = r n 1 = ax n 1 + by n 1, ou seja, α = x n 1 e β = y n 1. Fatoração Proposição (Teorema a Fatoração Única) Dao um inteiro n poemos sempre escrevê-lo e moo único, na forma n = p e pe k k, seno 1 < p 1 < p < p 3 < < p k números primos e e 1, e,..., e k inteiros positivos. Existência a Fatoração. Teno n como entraa, tentamos iviir n por caa um os inteiros e a n 1. Se algum estes inteiros iviir n, então achamos um fator e n. E, além isso, o menor fator p 1 que achamos esta maneira tem que ser primo. De fato, seja p 1 um inteiro tal que p 1 n 1. Suponhamos que p 1 seja o menor fator e n e que p 1 é um fator (maior o que 1) e p 1. Logo, existem inteiros a e b tais que n = p 1 a; p 1 = p 1b. Logo, n = p 1 ab. Portanto, p 1 também é um fator e n. Como supomos que p 1 é o menor fator e n, concluímos que p 1 p 1. Por outro lao, p 1 é fator e p 1 o que só poe acontecer se p 1 p 1. Das uas esigualaes segue que p 1 = p 1. Assim o único fator e p 1 maior que 1 é o próprio p 1. Então, p 1 é primo. Repetimos o proceimento escrito acima em m 1 = n p 1 e encontramos um fator p e m 1. Tomamos m = m 1 p e repetimos o proceimento para m, e assim por iante. Após um certo número i e etapas, encontramos m i = p i. Logo, n = p 1 p... p i. Juntano os p js iguais em uma mesma base, poemos escrever n = p e pe k k, como queríamos. Observações. (1) Pelo Teorema a Fatoração Única, um algoritmo para fatorar n composto consiste em fazer uma busca e fatores e n começano por e não precisamos passar e n 1, pois um número inteiro não poe ter um fator maior que ele próprio. Na verae não precisamos procurar fatores maiores o que n pois o menor fator e n, maior que 1, é sempre menor o que ou igual a n. De fato, seja f > 1 o menor fator e n. Então, existe um inteiro positivo a tal que n = fa. Como f é o menor fator, certamente f a f fa f n, que é equivalente a f n. () A emonstração o Teorema a Fatoração Única permite que elaboremos um algoritmo para encontrar um fator e um número inteiro positivo n: Algoritmo a Fatoração Etapa (1): Informe um inteiro positivo n. Etapa (): Comece com f = ; Universiae Feeral e Uberlânia

7 Criptografia, assinaturas igitais e senhas segmentaas 17 Etapa (3): Se n é inteiro, então f é fator e n. Caso contrário, siga para a Etapa (4). f Etapa (4): Aumente em f uma uniae e siga para a Etapa (5). Etapa (5): Se f > n então n é primo. Caso contrário, volte para o Etapa (3). Mesmo não encontrano um fator f e n, o algoritmo pára. De fato, aumentano f e uma uniae a caa ciclo, f irá superar o número n e, portanto, n será primo. (3) É claro que o algoritmo e fatoração escrito acima é muito ineficiente quano estamos tentano fatorar números muito granes. Abaixo iremos apresentar um algoritmo melhor para o caso e n ser composto por ois fatores primos (mesmo granes) que não estejam muito istantes um o outro. Algoritmo e Fermat Proposição (Teorema e Fermat) Seja n natural ímpar. Então, n = (x + y) (x y) = x y, com x, y números naturais, ou n é primo. Suponhamos que n é composto. Logo, n poe ser fatorao na forma n = ab, seno a b. Vamos obter naturais x e y tais que n = x y. Suponhamos que existam os naturais x e y. Logo: Como x y x + y, isto sugere que tomemos { a = x y b = x + y n = ab = (x + y)(x y) = x y. { b + a = x b a = y x = b + a y = b a Mas n é ímpar, então a e b são ímpares (pois n = ab). Logo, b + a e b a são pares, conseqüentemente b + a e b a são inteiros, ou seja x e y são números naturais. Conclusão: se n for composto, então existem x e y naturais tais que n = x y. O Algoritmo e Fermat é utilizao para encontrar ois fatores a e b e um número natural n ímpar composto. Esse algoritmo será eficiente quano n tiver um fator primo que não seja muito menor que n. Aotemos x, x real positivo, como seno a parte inteira e x. As etapas o algoritmo são: (i) Comece com x = n. Se n = x, então x é fator e n e poemos parar. (ii) Caso contrário, aumente x e uma uniae e calcule y = x n. (iii) Repita a Etapa até encontrar um valor inteiro para y, ou até que x seja igual a n + 1. No primeiro caso, n tem fatores x y e x + y, no seguno, n é primo. Se n = ab é ímpar composto, pelo Teorema e Fermat, existem números naturais. x = b + a e y = b a tais que n = x y. Encontrano esses valores temos: n = x y = (x + y)(x y), Faculae e Matemática

8 18 FAMAT em Revista ou seja, a = x + y e b = x y são fatores e n. Se n é primo, então só poemos ter a = 1 e b = n. Com isto, x = n + 1 algoritmo na Etapa (iii). e isto justifica a paraa o Voltemos ao caso em que n = ab é composto. Se a = b, o algoritmo obtém a resposta esejaa na Etapa (i) pois x = n = aa = a = a e fatoramos n. Se a b, poemos supor que 1 < a < b < n. Veremos que, neste caso, o algoritmo vai parar se forem satisfeitas as esigualaes: Provano a esigualae a ireita: n a + b < n + 1. (4) 1 < b 1 (a 1) < b(a 1) a 1 + b b < ab b a + b (b + 1) < n + 1 (b + 1) a + b < n + 1 a + b Consierano agora a esigualae a esquera: Sabemos que n n. Logo, < n + 1. (b + a) 4 (b a) 4 n = ab = n (b + a) 4 (b + a) 4 n = n a + b (b a) 4 n a + b. (b + a) 4 n 0 No algoritmo, a variável x é iniciaa com o valor n e vai seno aumentaa e uma uniae até encontrar um inteiro y = x n. Assim, (4) nos garante que, se n for composto, chegaremos a a + b (a antes e chegar a n + 1. Quano x = a + b ) + b, então y = ab = b a e o algoritmo pára, e obtemos os fatores a = x + y e b = x y e n. Exemplo Tomemos n = Aplicano o Algoritmo e Fermat temos: Comecemos com x = n = = 530. Mas x = (530) = < Logo, evemos somar em x uma uniae, até encontrarmos um valor para y = x n que seja inteiro, ou até que x seja igual a n + 1. Para isso, vamos construir uma tabela: x y = x n , , , Universiae Feeral e Uberlânia

9 Criptografia, assinaturas igitais e senhas segmentaas 19 Ao esenvolver a quarta linha obtivemos um y inteiro. Portanto, x = 534 e y = 59. Logo, os fatores e n são: a = x + y = 593 e b = x y = 475. Observação. Não basta escolher primos granes para garantir que n seja ifícil e fatorar, pois se escolhermos primos granes e muito próximos um o outro, então n é facilmente fatorao pelo Algorimo e Fermat. De fato, seja n = ab. Se a b, temos y = b a y 0 e x = b + a x a Como n = x y n x n x, ou seja, são necessários poucas etapas para que o Algoritmo e Fermat forneça os fatores e n.. Congruências Aritmética Moular A seguir, elineamos alguns conceitos e aritmética moular, a base para o esenvolvimento a criptografia moerna. Começamos com a noção e relação e equivalência. Uma relação binária sobre um conjunto X não vazio é chamaa relação e equivalência sobre X, quano satisfaz as três seguintes proprieaes: (1) x x; (reflexiva) () Se x y, então y x; (simétrica) (3) Se x y e y z, então x z. (transitiva) Uma relação binária permite compararmos ois elementos e um conjunto seguno uma aa regra. As relações e equivalência são usaas para classificar os elementos e um conjunto em subconjuntos com proprieaes semelhantes enominaos classes e equivalência. A classe e equivalência e um elemento x X é enotaa por x = {y X : y x}. Temos aina que qualquer elemento e uma classe e equivalência é um representante e toa a classe. Destacamos aina ois resultaos muito importantes relacionaos ao conjunto X com a relação e equivalência : (1) X é a união e toas as classes e equivalência. () A intersecção e uas classes e equivalência istintas é vazia. Uma relação e equivalência no conjunto os números inteiros poe ser construía o seguinte moo: ois inteiros a e b, cuja iferença é um múltiplo e um n N, são itos congruentes móulo n se a b é múltiplo e n e são enotaos por a b(mo n). Mostremos que a congruência móulo n é uma relação e equivalência: Sejam a, b, c Z, então: (i) a a(mo n). De fato, a a = 0n. (ii) a b(mo n) = b a(mo n). De fato, a b = kn e b a = (b a) = kn = b a(mo n); k Z. (iii) a b(mo n), b c(mo n) = a c(mo n). Faculae e Matemática

10 0 FAMAT em Revista De fato, a b = k 1 n e b c = k n. Como (a b) + (b c) = a c, temos ou seja, a c(mo n); k 1, k Z. (k 1 n) + (k n) = a c a c = (k 1 + k )n, O conjunto e toas as classes e equivalência a relação e congruência móulo n em Z é enotao por Z n e enominao conjunto os inteiros móulo n. Dessa forma, a classe e equivalência e a é aa por a = {a+kn : k Z}. Se a Z, então poemos ivii-lo por n, obteno q e r inteiros, tais que a = nq + r e 0 r < n. Daí, a r = nq, que é múltiplo e n e, então, a r(mo n). Logo, qualquer inteiro é congruente móulo n a um inteiro entre 0 e n 1. Assim, os elementos o conjunto quociente e Z na relação e congruência móulo n são: 0, 1,..., n 1. Esse conjunto é assim enotao: Z n = {0, 1,..., n 1}. Poemos utilizar congruência para calcular o resto a ivisão e uma potência por um número qualquer. Vejamos um exemplo: calcular o resto a ivisão e por 7. Para efetuar esse calculo, consieremos o Pequeno Teorema e Fermat. Teorema (Pequeno Teorema e Fermat) Se p > 1 é um número primo que não ivie o inteiro a, então: a p 1 1 (mo p). Assim, pelo resultao acima, Como 135 = , temos: (mo 7). Logo, o resto a ivisão e por 7 é (10 6 ) (mo 7). Nem sempre é tão simples fazer esses cálculos, já que é raro encontramos uma potência que seja congruente a 1, no móulo n. Para tanto, lançamos mão e um métoo para o cálculo o resto a ivisão e uma potência por um número. Esse métoo é conhecio como Métoo os Quaraos Repetios e será apresentao aiante. Equações Diofantinas Chamamos e equação iofantina a uma equação polinomial (com qualquer número e incógnitas), com coeficientes inteiros. Em uma equação iofantina, interessa apenas soluções inteiras. Esses tipos e equações foram aboraos pelo matemático grego Diofanto em seu tratao Aritmética, escrito por volta e 50.C. Daí o fato as equações serem chamaas e iofantinas. ( a Proposição. Se mc(a, b) =, então mc, b ) = 1. Pelo Teorema e Euclies Estenio, mc(ta, tb) é o menor valor positivo e mtb+ntb (m e n inteiros), que é igual a t vezes o menor valor positivo e ma + nb = t mc(a, b). Como a e b são ivisíveis por c, temos que c a e c b são inteiros. Basta, então substituir a por c a e b por c, tomano t = c. b Universiae Feeral e Uberlânia

11 Criptografia, assinaturas igitais e senhas segmentaas 1 No que acabamos e escrever c é um ivisor comum e a e b. Se tomarmos c como seno o máximo ivisor comum, teremos o resultao esejao. Proposição. Se a, b, c, m e n são inteiros c a e c b, então c (ma + mb). Se c a, então Se c b, então Somano as equações acima: a = K 1 c am = mk 1 c. b = K c bn = nk c. am + bn = mk 1 c + nk c am + bn = c (mk 1 + nk ). Logo, c (am + bn). Proposição. Se a bc e mc(a, b) = 1, então a c. Como mc(a, b) = 1, pelo Teorema e Euclies Estenio, existem n e m tais que na + mb = 1 n(ac) + m(bc) = c. Como a ac e, pela hipótese, a bc, então a c. Teorema. (Solução geral e equação iofantina linear com uas incógnitas) Sejam a e b inteiros positivos e = mc(a, b). Se c, então a equação iofantina ax + by = c não possui nenhuma solução inteira. Se c ela possui infinitas soluções e se x = x 0 e y = y 0 é uma solução particular, então toas as soluções são aas por: ( ) b ( a x = x 0 + k e y = y 0 k ) com k Z. Se c, então a equação ax + by = c, não possui solução pois, como a e b, everia iviir c, o qual é uma combinação linear e a e b. Suponha que c. Pelo Teorema e Euclies Estenio, existem inteiros n 0 e m 0, tais que: an 0 + bm 0 =. Como c, existe um inteiro k tal que c = k. Se multiplicarmos a equação acima por k, teremos: a(n 0 k) + b(m 0 k) = k = c, então é uma solução e x 0 = (n 0 k) e y 0 = (m 0 k) ax + by = c. Faculae e Matemática

12 FAMAT em Revista A verificação e x e e y é trivial. Se são soluções, temos ax + by = a ( x 0 + x = x 0 + ( ) b ( a k e y = y 0 k ) ( ) ) b ( ( a ) k + b y 0 k = ax 0 + ) ab k + by 0 ab k = ax 0 + by 0 = c. O que acabamos e encontrar é apenas uma solução particular (x 0, y 0 ) e, a partir ela, poemos gerar infinitas soluções. Vamos mostrar agora que toa solução a equação ax + by = c é a forma acima. Suponhamos que (x, y) seja uma solução, ou seja, ax+by = c. Como ax 0 +by 0 = c, então se subtrairmos as uas equações, obtemos: ax + by ax 0 by 0 = a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0, o que implica a(x x 0 ) = b(y 0 y). ( a Pela hipótese = mc(a, b), logo, mc, b ) = 1. Portanto, iviino os ois menbros a última igualae por, temos: Logo, a (x x 0) = b (y 0 y). ( ) b (x x 0 ) e, portanto, existe um inteiro k satisfazeno x x 0 = k ( ) b, ou seja: x = x 0 + ( ) b k Substituino: ( a x 0 + ( ) ) b k x 0 = b (y 0 y) a ( a k = (y 0 y) y = y 0 k. ) Sistema e Equações Diofantinas Lineares Proposição. Se a, b, c e m são inteiros e ac bc (mo m), então a b (mo m) seno = mc (c, m). De ( ac bc(mo m) temos ac bc = c (a c) = km. Se iviirmos os ois membros por, teremos c ( m ) (a c) = k. Logo, ) m (a ) o que implica ( a b mo m ). Proposição. Se a e b são inteiros, então a b(mo m) se, e somente se, existir um inteiro k tal que a = b + km. Universiae Feeral e Uberlânia

13 Criptografia, assinaturas igitais e senhas segmentaas 3 ( ) Se a b (mo m), então m (a b) o que implica na existência e um inteiro k tal que a b = km, isto é, a = b + km. ( ) Se k satisfaz a = b + km, temos ou seja, que m (a b) isto é, km = a b, a b(mo m). ( Proposição. Se a, b, c e m são inteiros e ac bc (mo m), então a b mo m ) seno = mc (c, m) De ( ac bc (mo m) tiramos que ac bc = c(a b) = km. Se iviirmos os ois membros por, temos c ( m ) (a b) = k. Logo ) ( m ) ( c (a b) ) ( m e como ), c = 1, temos ( m ) (a b) o que implica ( a b mo m ). Proposição. Se a b (mo m 1 ), a b (mo m ),..., a b (mo m r ) seno a, b, m 1, m,..., m r são inteiros com m i positivos, i = 1,, 3,..., r, então a b(mo [m 1, m, m 3,..., m r ]), seno [m 1, m, m 3,..., m r ] o mínimo múltiplo comum e m 1, m, m 3,..., m r. Seja p n o maior primo que aparece nas fatorações e m 1, m, m 3,..., m r. Caa m i, i = 1,, 3,..., r poe, então, ser expresso como m i = p α 1i 1 p α i 1... p α ni n. (alguns α ji poem ser nulos). Como m i (a b), i = 1,, 3,..., r, temos p α ji n (a b), i = 1,, 3,..., r e j = 1,, 3,..., r. Logo, se tomarmos α j = max 1 i r {α ji } teremos p α 1 1 pα 1 pαn n (a b). Mas, o que implica p α 1 1 pα 1 pαn n = [m 1, m, m 3,..., m r ], a b(mo [m 1, m, m 3,..., m r ]). Faculae e Matemática

14 4 FAMAT em Revista Proposição. Sejam a, b e m inteiros tais que m > 0 e mc (a, m) =. No caso em que b a congruência ax b (mo m) não possui nenhuma solução e quano b, possui exatamente soluções incogruentes móulo m. Sabemos que o inteiro x é solução e ax b (mo m) se, e somente se, existe um inteiro y tal que ax = b + my, ou, o que é equivalente, ax my = b. Sabemos também que esta equação não possui nenhuma solução caso b, e que se b ela possui infinitas soluções aas por ( m ) ( a x = x 0 k e y = y 0 k, ) seno que (x 0, y 0 ) é uma solução particular( e ax my = b. Logo, a congruência ax b (mo m) m ) possui infinitas soluções aas por x = x 0 k. Como estamos interessaos em saber o número e ( m ) ( m ) soluções incongruentes, vamos tentar escobrir sob que conições x 1 = x 0 k 1 e x = x 0 são congruentes móulo m. Se x 1 e x são congruentes, então ( m ) ( m ) x 0 k 1 x 0 k (mo m). Isto implica ( m ) ( m ) k 1 k (mo m), e como m m, o que nos permite o cancelamento e m, temos k 1 k (mo ). Observemos que m foi substituío por = m m. Isto nos mostra que soluções incongruentes serão obtias ao tomarmos ( m ) x = x 0 k, k one k percorre um sistema completo e resíuos móulo, o que conclui a emonstração. Teorema. (Resto Chinês) Sejam m 1, m, m 3,..., m r números inteiros maiores que zero e tais que mc (m i, m j ) = 1, sempre que i j. Façamos m = m 1 m m 3...m r e sejam b 1, b, b 3,..., b r, respectivamente, soluções as congruências lineares Então o sistema m m j y 1(mo m j ), seno j = 1,, 3,..., r. x a 1 (mo m 1 ) x a (mo m ) x a 3 (mo m 3 ). x a r (mo m r ) possui solução e a solução é única móulo m, seno m = m 1 m m 3...m r. Universiae Feeral e Uberlânia

15 Criptografia, assinaturas igitais e senhas segmentaas 5 Do fato, e mc(1, m i ) = 1, temos que x a i (mo m i ) possui uma única solução que enotaremos por b i. Se efinirmos y i = m seno m = m 1 m m 3...m r, teremos mc (y i, m i ) = 1, uma vez que m i mc (m i, m j ) = 1 para i j. Assim, temos a garantia e que caa uma as conguências y i x 1(mo m i ) possui uma única solução que enotaremos por y i. Logo, Afirmamos que o número x ao por y i y i 1 (mo m i ), i = 1,, 3,..., r. x = b 1 y 1 y 1 + b y y + b 3 y 3 y b r y r y r é uma solução para o sistema e congruências. De fato: x = a i b 1 y 1 y 1 + a i b y y + + a i b r y r y r a i b i y i y i (mo m i ) a i b i c i (mo m i ) uma vez que y j é ivisível por m i, para i j, y i y i 1(mo m i ), e b i é solução e x a i (mo m i ). Quanto à uniciae, temos que esta solução eve ser única, móulo m. Se x é uma outra solução para o nosso sistema, então x a i x(mo m i ) e, seno mc (m i, m j ) = 1, obtemos x x(mo m i ). Logo, m i (x x), i = 1,, 3,..., r. Mas, como mc (m i, m j ) = 1 para i j temos que [m 1, m, m 3,..., m r ] = m 1 m m 3...m r. Portanto, m 1 m m 3...m r (x x), ou seja x x(mo m), o que conclui a emonstração. Algoritmo o Teorema o Resto Chinês. Etapa 1 : Faça m = m 1 m m 3...m r e passe para a etapa seguinte. Etapa : Faça y 1 = m m 1, y = m m, y 3 = m m 3,, y r = m m r e passe para a Etapa 3. Etapa 3 : Para i = 1,, 3,..., r resolva as equações: e chame e y i = x, seno 0 x < m i. Etapa 4 : Faça y i x = 1 (mo m i ) x c 1 y 1 y 1 + c y y + c 3 y 3 y c r y r y r (mo m 1 m m 3...m r )..3 Algoritmos para o Cálculo e a e (mo n) Métoo os Quaraos Repetios Como ito anteriormente, o objetivo esse métoo é calcular a congruência e b r móulo n, seno b, r e n números naturais granes. Para fazer esse cálculo, é necessário convertermos r em número binário. Para tanto, suponhamos seno a j = 0 ou 1. r = k a j j, j=0 Faculae e Matemática

16 6 FAMAT em Revista Algoritmo: Sejam c, e b j ; j = 0,..., k; números naturais (auxiliares). Passo 1) Se a 0 = 1, então faça c = b. Senão, faça c = 1. Passo ) Seja b 0 = b. Passo 3) Para caa j = 1,..., k faça: Calcule b j b j 1 (mo n). Se a j = 1, calcule cb j (mo n) e faça c =. Senão eixe c inalterao. Passo 4) O número c é côngruo a b r móulo n, ou seja, c b r (mo n). P i j=0 Percebemos que na etapa i o Passo 3, temos c b a j j 0 (mo n). Assim, ao término o algoritmo, temos c b r (mo n). Exemplo. Encontremos a tal que a b r (mo n), seno b = 7, r = 106 e n = 451. Solução. Passano r = 106 para a base binária, temos: 106 = = ( ). Logo, k = 6, e a 0 = 0, a 1 = 1, a = 0, a 3 = 1, a 4 = 0, a 5 = 1 e a 6 = 1. Seguino o algoritmo: Passo 1) Como a 0 1, então c = 1. Passo ) b 0 = 7. Passo 3) Para j = 1 b 1 7 (mo 451) b 1 = 115 a 0 1, então 1.115(mo 451) = 115 c = 115 Para j = b 115 (mo 451) b = 146 a = 0 c = 115 Para j = 3 b (mo 451) b 3 = 119 a 3 = 1, então (mo 451) = 0 c = 0 Para j = 4 b (mo 451) b 4 = 180 a 4 = 0 c = 0 Para j = 5 b (mo 451) b 5 = 379 a 0 = (mo 451) = 364 c = 364 Para j = 6 b (mo 451) b 6 = 3 a 6 = (mo 451) = 443 c = 443 Passo 4) Logo, a b r (mo n) (mo 451). Algoritmo a Exponenciação Outro algoritmo com a mesma finaliae o Algoritmo os Quaraos Repetios é o seguinte: Entraa: inteiros a, e e n, seno a, n > 0 e e 0. Saía: P tal que a e P (mo n), seno P na forma reuzia (0 P < n). Etapa 1: Comece com A = a, P = 1 e E = e; Etapa : Se E = 0 então a e P (mo n). Caso contrário, siga para a Etapa 3; Universiae Feeral e Uberlânia

17 Criptografia, assinaturas igitais e senhas segmentaas 7 Etapa 3: Se E for ímpar, então atribua a P o valor o resto a ivisão e AP por n e atribua a E o (E 1) valor e e vá para a Etapa 5. Caso contrário, vá para a Etapa 4; Etapa 4: Se E for par, então, atribua a E o valor E e siga para a Etapa 5; Etapa 5: Substitua o valor atual e A pelo resto a ivisão e A por n e volte para a Etapa. Final: a forma reuzia e a e (mo n). Exemplo. Seja a = 151, e = 17 e n = 44. Etapa 1: A = 151, P = 1 e E = 17. Etapa : E 0. Etapa 3: E é ímpar. Façamos o resto a ivisão e AP por n. Temos 151 = (44.3) + 49 P = 49 e Etapa 5: (151) = ( ) + 97 A = 97. E = 17 1 = 8. Etapa : E 0. Etapa 3: E é par. Passamos para Etapa 4. Etapa 4: E = 8 = 4. Etapa 5: (97) = (44.) Logo, A = 81. Etapa : E 0. Etapa 3: E é par. Passamos para Etapa 4. Etapa 4: E = 4 =. Etapa 5: (81) = (44.15) = 01. Logo, A = 01. Etapa : E 0. Etapa 3: E é par. Passamos para Etapa 4. Etapa 4: E = = 1. Etapa 5: (01) = (44.95) = 11. Logo, A = 11. Etapa :E 0. Etapa 3: E é impar. Façamos o resto a ivisão e AP por n. Temos (11.49) = 3019 = (44.71) + 5 P = 5 e Etapa 5: (11) = (44.4) + 5 A = 5. E = 1 1 = 0. Etapa : E = 0 = mo(44). Faculae e Matemática

18 8 FAMAT em Revista 3 Criptografia RSA 3.1 Pré-Coificação Para usarmos o métoo RSA, [1] e [4], evemos converter uma mensagem em uma seqüência e números. Chamaremos essa etapa e pré-ciframento. Para efeito e exemplificação, tomemos a seguinte tabela e conversão no pré-ciframento: a b c e f g h i s t u v w x y z _ j k l m n o p q r Tabela O espaço entre palavras será substituío pelo n o. 36. Por exemplo, a frase Famat 007 1, é convertia no número A vantagem e se utilizar ígitos para representar uma letra resie no fato e que tal proceimento evita a ocorrência e ambigüiaes. Por exemplo, se a fosse convertio em 1 e b em, teríamos que ab seria 1, mas l também seria 1. Logo, não poeríamos concluir se 1 seria ab ou l. Precisamos eterminar primos istintos, que enotaremos por p e q, que são enominaos parâmetros RSA. Seja n = pq, que é chamao e móulo RSA. A última etapa no pré-ciframento consiste em separar o número acima em blocos cujos valores sejam menores que n. A mensagem cuja conversão foi feita acima poe ser separaa nos seguintes blocos: A maneira e escolher os blocos não é única e não precisa ser homogênea (toos os blocos com o mesmo número e ígitos), mas evemos tomar alguns cuiaos como, por exemplo, não começar um bloco com zero, pois isto traria problemas na hora e montar a seqüência recebia (o zero no início o bloco poe não aparecer!). 3. Ciframento e Deciframento Passemos ao processo e ciframento. Da subseção acima, temos n = pq com p e q primos. Tomemos Φ (n) = (p 1) (q 1). Seja e < Φ (n) inteiro positivo inversível móulo Φ(n), ou seja, mc (e, Φ(n)) = 1. Esse número e é chamao e expoente e ciframento. O par (n, e) é enominao chave pública e ciframento o sistema RSA. Agora, cifremos caa bloco obtio no pré-ciframento (subseção anterior). Após o ciframento, os blocos não poerão ser reunios e moo que não possamos istinguí-los, pois isto tornaria impossível o eciframento a mensagem. 1 Faremos a conversão sem consierar acentos e letras maiúsculas. Criptografia RSA Universiae Feeral e Uberlânia

19 Criptografia, assinaturas igitais e senhas segmentaas 9 O ciframento e um bloco b será enotao por C(b). Temos que C(b) é o resto a ivisão e b e por n, isto é, C(b) b e (mo n). Por exemplo, se p = 9 e q = 67, então n = Logo, Φ(n) = Tomemos e = 701 (observemos que mc (701, 1848) = 1). Assim, o último bloco, 44, a mensagem anterior é cifrao como o resto a ivisão e por Converteno 701 em binário e utilizano o métoo os quaraos repetios, temos (mo 1943). Cifrano toa a mensagem, obtemos a seguinte seqüência e blocos: Para ecifrar uma mensagem cifraa, precisamos e n e o inverso e e móulo Φ(n), que chamaremos e, ou seja e 1 (mo Φ (n)). O par (n, ) é enominao chave privaa e eciframento o sistema RSA. Seja a = C (b) um bloco a mensagem cifraa, então D(a) será o resultao o eciframento. Temos que D(a) é o resto a ivisão e a por n, isto é, D(a) a (mo n). Esperamos que, ecifrano os blocos a mensagem cifraa, possamos encontrar a mensagem original, ou seja, D (C(b)) = b. O estinatário a mensagem não precisa, necessariamente, conhecer p e q para ecifrá-la; basta conhecer n e. É claro que para calcular são necessários p e q, no entanto, o estinatário legítimo a mensagem não precisa conhecê-los. No exemplo que estamos acompanhano, temos n = 1943 e e = 701. Usano o Algoritmo Eucliiano Estenio, temos = 9. Assim, para ecifrar o bloco 1317 recebio, evemos calcular o resto a ivisão e por 1943 (utilizano, por exemplo, o Métoo os Quaraos Repetios), ou seja, 44: Logo, a seqüência ecifraa será (mo 1943) , que correspone, via tabela e conversão, à frase Famat 007. Observação. Poe ocorrer que no cálculo e encontremos um valor negativo. No entanto, é sempre possível tomar um valor positivo e utilizano o teorema a solução geral e uma equação iofantina. Vejamos um exemplo com p = 31 e q = 47. No ciframento: Φ (n) = (p 1) (q 1) = = 1380 n = pq = = 1457 Se tomarmos e = 1001 (pois temos mc(1001, 1380) = 1) e o primeiro bloco a mensagem anterior, cujo o número associao é 15, então o eciframento esta mensagem será o resto a ivisão e por Converteno 1001 em um binário e utilizano o Métoo os Quaraos Repetios, temos: C (b) (mo 1457) (mo 1457) Faculae e Matemática Criptografia RSA

20 30 FAMAT em Revista No eciframento: O par (n, ) é a chave privaa a ecoificação o sistema RSA. Seja a = C (a) a mensagem coificaa, então D(a) será o resultao a ecoificação. Mas temos que D (a) é o resto a ivisão e a por n, ou seja: D (a) a (mo n). Calculemos o valor e a partir o Algoritmo Eucliiano Estenio, pois: 1 = Φ (n) k e. Usano uma tabela: Temos i Restos Quocientes x i y i = y 9 = 619. Mas não nos interessa trabalhar com valores e negativos, para isso temos o algoritmo erivao o teorema a solução geral e uma equação iofantina que encontra um valor positivo para. Algoritmo para reverter valores e negativos Etapa 1) Calcular o valor e normalmente. Etapa ) Se < 0, então faça = + Φ(n)t, para t inteiro, e tal moo que > 0. Etapa 3) Faça =. Logo, para o nosso exemplo anterior: = t, para t = 1 = = 761 = = 761 Deste moo, após encontrar o novo valor e (positivo), então continua-se o eciframento usano o Algoritmo os Quaraos Repetios. Como D (C (b)) = b e, para ecifrar não é necessario conhecer os valores e p e q, então basta conhecer n e. Assim, se n = 1457 e e = 1001, basta resolver a equação: D (a) (mo 1457) no qual evemos obter (mo 1457). No qual era o resultao esperao neste eciframento, que é a mensagem inicial. Criptografia RSA Universiae Feeral e Uberlânia

21 Criptografia, assinaturas igitais e senhas segmentaas Demonstração a Funcionaliae o Sistema e Criptografia RSA Precisamos verificar que se C(b) é um inteiro e 1 b < n, então D (C(b)) = b. Na verae, basta que D (C(b)) b(mo n), pois tanto D (C(b)) quanto b estão no intervalo e 1 a n 1. Logo, b e D (C ()) só serão congruentes móulo n se forem iguais. Por isso, b eve ser menor que n e, mesmo epois e cifraos, os blocos evem se manter separaos. Por efinição e D e C, temos: D (C(b)) (b e ) b e (mo n). Como n = pq, vamos calcular b e (mo p) e b e (mo q). O cálculo para os ois móulos é análogo; logo, façamos apenas um eles. Vejamos o caso e b e (mo p). Como é o inverso e e (mo Φ (n)), temos Daí, e = 1 + kφ(n) = 1 + k(p 1)(q 1). b e b(b p 1 ) k(q 1) (mo p). Usemos o Pequeno Teorema e Fermat, mas para isto, temos que supor que p b. Digamos que isto acontece, então b p 1 1(mo p), ou seja, b e b(mo p). Analisano o caso em que p b, temos que b 0(mo p). Logo, b e b(mo p) para qualquer valor e b. Como b e b(mo p), analogamente, poemos mostrar que b e b(mo q). Daí, temos que b e b é ivisível por p e q. Mas, como p e q são primos istintos, isto é, o mc(p, q) = 1, temos que pq ( b e b ). Portanto, como n = pq, concluímos que b e b(mo n) para qualquer inteiro b. Conclusão: D (C (b)) = b, como queríamos. 3.4 A Segurança o Sistema e Criptografia RSA O métoo RSA é e chave pública, seno p e q parâmetros o sistema e n = pq. A chave e ciframento, o par (n, e), é a chave pública o sistema. Assim seno, toos os usuários terão acesso a ela. Por isso, o RSA só será seguro se for ifícil e encontrar a partir e n e e. Para encontrar, utilizamos Φ(n) e e, mas para obtermos Φ(n), evemos ter p e q, que é a fatoração e n. Logo, para quebrar a cifra, evemos conseguir fatorar n, que é um problema extremamente ifícil se n for grane. Uma observação interessante é que, se acaso conhecermos Φ (n), saberemos quem são p e q. De fato: Mas: Φ(n) = (p 1)(q 1) = pq (p + q) + 1 = n (p + q) + 1 p + q = n Φ(n) + 1. (p + q) 4n = (p + q + pq) 4pq = (p q) p q = (p + q) 4n = (n Φ(n) + 1) 4n Teno p + q e p q, obtemos p e q facilmente, teno assim fatorao n. Finalmente, a possibiliae e achar b, a partir e C (b) b e (mo n) sem tentar achar, é praticamente impossível se n é grane. Na verae, acreita-se que quebrar o RSA e fatorar n são problemas equivalentes. No entanto, evemos tomar alguns cuiaos, pois se p e q forem pequenos, se torna fácil encontrá-los. Ou se, mesmos granes, p q for pequeno se torna fácil achá-los a partir e n, utilizano o Algoritmo e Fermat. Faculae e Matemática Criptografia RSA

22 3 FAMAT em Revista 4 Assinaturas Digitais Uma as aplicações a criptografia são as assinaturas igitais, que possuem um importante papel nas transações bancárias, obteno assim uma maior segurança, tanto para o cliente, quanto para o banco. Suponhamos que uma empresa realiza transações bancárias por computaor. É óbvio que tanto a empresa quanto o banco queiram que a mensagem seja cifraa. Mas, como o RSA é um sistema e criptografia e chave pública, qualquer pessoa poeria enviar uma mensagem para fazer transações bancárias utilizano esse sistema. Por isso, é necessário que a mensagem esteja assinaa eletronicamente. Vejamos como manar uma assinatura pelo RSA. Chamemos e C e e D e as funções e ciframento e eciframento a empresa e C b e D b as mesmas funções, só que o banco. Seno a um bloco e mensagem que a empresa vai enviar ao banco, o ciframento esse bloco seria C b (a). Para que a mensagem vá assinaa, ela eve ser C b (D e (a)). Usamos primeiro a função eciframento a empresa ao bloco a e, epois, cifremos o bloco, usano a função ciframento o banco. O banco, ao receber a mensagem C b (D e (a)), aplica a sua função e eciframento, obteno D e (a), e, na seqüência, aplica a função ciframento a empresa, que é pública, para obter o bloco original a. Somente a empresa conhece a função D e. Portanto, se a mensagem fizer sentio, tem que ter tio origem na empresa, uma vez que a probabiliae e uma pessoa, sem conhecer D e, manar uma mensagem que faça sentio, após ser ecifraa pelo banco, é praticamente nula. Assim, o banco poe estar seguro e que a mensagem é veraeira. 5 Senhas Segmentaas Suponhamos que para abrir o cofre e um eterminao banco é necessário conhecer a senha que é um número s. Queremos partir a senha s entre n funcionários o banco. A caa funcionário o banco vai ser ao um elemento, alguns ígitos a senha s, que forma um conjunto S e n pares e inteiros positivos, e moo que, para um inteiro positivo k n, previamente escolhio temos: (i) qualquer subconjunto e S com k elementos permite eterminar s. (ii) é extremamente ifícil eterminar s conheceno menos e k elementos e S. Para construirmos o conjunto S, vamos ter utilizar o Teorema o Resto Chinês. Comecemos escolheno um conjunto L e n inteiros positivos, ois a ois primos entre si. Determinemos N, o prouto os k menores números e L e M o prouto os k 1 maiores números e L. Definimos que este conjunto tem limiar k quano N < s < M. Observemos que esta conição implica que o prouto e k ou mais elementos e é sempre maior que N e o prouto e menos e k elementos é sempre menor que M. O conjunto S será formao pelos pares a forma (m, s m ) seno m L e s m a forma reuzia e s (mo m). O fato e termos um conjunto com limiar k > 1 implica que s > m, para qualquer m L. Suponhamos que mais e k funcionários se encontram no banco. Isto é igual a izer que são conhecios t entre os pares e S, one t k. Sejam esses pares (m 1, s m1 ), (m, s m ), (m 3, s m3 ),..., (m t, s mt ). Vamos resolver o sistema e congruências: x s m1 (mo m 1 ) x s m (mo m ) x s m3 (mo m 3 ). x s mr (mo m r ) Assinaturas Digitais Universiae Feeral e Uberlânia

23 Criptografia, assinaturas igitais e senhas segmentaas 33 obteno x 0 como solução. De acoro com o Teorema o Resto Chinês, x 0 = s(mo m 1 m... m t ). Sabe-se que, como t k, m 1 m... m t N > s. Então, o sistema acima tem única solução menor que m 1 m... m t. Como s também é solução o sistema e s < m 1 m... m t, temos s = x 0. Mas não é impossível resolver um sistema para o caso em que t < k. O problema é que o prouto e menos e k móulos e L é sempre menor que s. Assim, a solução o sistema é congruente a s, mas não poe ser igual a s. Mas será possível encontrar s fazeno uma busca. De fato, sabemos que M < s < N e que s satisfaz o sistema anterior, com t < k. Se acharmos uma as soluções x 0 o sistema, como x 0 < M < s, não encontramos s. Porém, o sistema será satisfeito por s, logo: s = x 0 + y (m 1 m... m t ), seno y um inteiro positivo. Como: N > s > M > x 0, temos M x 0 m 1 m... m t s x 0 m 1 m... m t N x 0 m 1 m... m t. Isto equivale a izer que precisamos fazer uma busca para acharmos o valor correto e y entre, pelo menos, [ ] N M = m 1 m... m t inteiros. Escolheno os móulos e moo que seja muito grane, fica praticamente impossível encontrar s por meio e uma busca. Porém, é sempre possível escolher um conjunto L satisfazeno a toas estas conições. Na verae os aos iniciais o problema são o número total e funcionários o banco e o número mínimo e funcionários que têm que estar presentes para que o cofre possa ser aberto, isto etermina, respectivamente, a quantiae e elementos o conjnto L e o limiar k e L. Com estes aos, escolhemos um conjunto e L e limiar K. Com isto poemos calcular M e N como acima, escolheno s e maneira aleatória no entervalo entre M e N. Deste moo, teremos toos os aos necessários para calcular S, que nos informa as senhas a serem istribuías. A segurança o sistema se baseia no valor e k. Quanto mais alto o valor e k, melhor. Significa que a senha será compartilhaa por uma quantiae maior e funcionários o banco, o que torna mais seguro a segurança o sistema, pois teremos mais funcionários e prova para abrir o cofre o banco. Vamos ver um exemplo isso: suponha que no banco existam 7 funcionários e que para se ter acesso ao cofre seja necessário, no mínimo, esses funcionários. Logo, o conjunto L eve ter 7 elementos e o limiar eve ser. Fazeno uma escolha, usano apenas primos pequenos, eteminaremos uma possível escolha para L: L = {11, 13, 17, 19, 3, 9, 31}. O prouto os ois menores inteiros no conjunto é N = = 143 e M é o prouto os k 1 maiores elementos e L. Como k =, temos que M é igual ao maior elemento e L, ou seja, M = 31. O valor e s poe ser escolhio como seno qualquer inteiro no intervalo que vai e 31 à 143. Digamos que s = 4. Então: S = {(11, 31), (13, 9), (19, 3), (3, 19), (9, 13), (31, 11), (37, 5)}. Faculae e Matemática Senhas Segmentaas

24 34 FAMAT em Revista Imaginemos que os funcionários que estejam no banco, cuja senha seja (9, 13) e (11, 31), queiram abrir o cofre. Para isto é necessário resolver o sistema: { x 13(mo 9) x 31(mo 11). A solução o sistema é x = k, seno k um inteiro positivo. Isto é, x 4 (mo 319). Assim, eterminamos s, que é o valor correto. 6 Discussão e Conclusões Os moernos sistemas e criptografia consistem a principal aplicação e Teoria os Números, mais especificamente, congruências e números primos. O estuo e números primos é quase tão antigo quanto a própria matemática e teve origem com os antigos gregos. Não obstante, seu estuo aina é extremamente ativo nos ias atuais, principalmente com o uso e recursos computacionais, e muita pesquisa tem sio esenvolvia por brilhantes matemáticos. O fato a segurança e too sistema e troca e informações sigilosas estar baseao na ificulae em se fatorar um número composto é, no mínimo, curioso, uma vez que o conceito e fatoração em números primos é algo o conhecimento geral e qualquer estuante e ensino funamental. Mais curioso aina é o fato e, mesmo com too recurso tecnológico e computacional isponível, não existir um algoritmo e fatoração e números compostos granes que seja pelo menos semi-eficiente. A história o ciframento e eciframento a mensagens é, assim como o estuo e números primos, bastante antiga e, sempre houve momentos em que os criaores e crifras estavam à frente os quebraores e cifras e vice-versa. Mesmo em épocas recentes, como na Seguna Guerra Munial, temos exemplos e cifras que foram quebraas, [7]. No entanto, a partir a écaa e 1970, com o surgimento a Criptografia RSA e os iversos sistemas criptográficos ele erivaos ou nele inspiraos, os cifraores estão à frente os quebraores e cifras. Referências Bibliográficas [1] Coutinho, S. C. Números Inteiros e Criptografia RSA. Rio e Janeiro, RJ: IMPA - SBM. Série e Computação e Matemática [] Domingues, H. H. Álgebra Moerna. São Paulo, SP: Atual Eitora [3] Domingues, H. H. Funamentos e Aritmética. São Paulo, SP: Atual Eitora [4] Mollin, R. A. An Introuction to Cryptography. New York: Chapman & Hall [5] Rivest, M,; Shamir, A. & Aleman, L. A metho for obtaining igital signatures an publickey cryptosystems. Comm. ACM, 1 (1978), [6] Santos, J. P. O. Introução à Teoria os Números. Rio e Janeiro, RJ: Publicação o Inst. e Mat. Pura e Aplicaa (IMPA). Coleção Matemática Universitária [7] Singh, S. O Livro os Cóigos. Rio e Janeiro: Eitora Recor Senhas Segmentaas Universiae Feeral e Uberlânia