Solução para as Equações de Navier-Stokes em domínios

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1 Artigo Original DOI:59/7946X4635 Ciência e Natura, v37 n, 5, jan-abr p 3 44 Revista o Centro e Ciências Naturais e Exatas - UFSM ISSN impressa: -837 ISSN on-line: 79-46X Solução para as Equações e Navier-Stokes em omínios triimensionais finos Solutions for the Navier-Stokes Equations in triimensional thin omains Resumo Solução parafelipe as Equações Crivellaro Minuzzi* e Navier-Stokes, João Paulo Lukaszczykem, omínios A forma clássica o sistema e equações e Navier-Stokes, o qual eriva o princípio e conservação e massa e momento linear, escreve o movimento Acaêmico e um o fluio Mestrao homogêneo em triimensionais Matemática, sujeito auniversiae um campo efeeral forças finos externas e Santa Maria, Neste trabalho, Santa Maria, esenvolve-se Brasil um estuo para encontrar Professor o Associao intervalo maximal o Departamento e existência e Matemática, e soluções Universiae no tempo para Feeral as equações e Santa Maria, e Navier-Stokes Santa Maria, embrasil um omínio triimensional Solutionsfino, for istothe é, Ω Navier-Stokes,, one Equations R e,, inconsierano triimensional combinações e thin iferentes omains conições e fronteira Palavras-chave: Equações e Navier-Stokes, Domínios finos, Existência e solução Abstract The classical form of the Navier-Stokes equations system, Resumo which is erive from the principle of conservation of mass an momentum, escribes the motion of a homogeneous flui subject to a fiel of external forces In this work, we evelop a stuy to fin A forma the maximal clássica o interval sistema of e existence equações of e solutions Navier-Stokes, in time to o qual the Navier-Stokes eriva o princípio equations e conservação in a three imensional e massa e momento thin omain, linear, ie, Ωescreve o movimento,, where e um fluio R e homogêneo,, sujeito consiering a um ifferent campo ecombinations forças externas of bounary Neste trabalho, conitions esenvolve-se um estuo Keywors: para encontrar Navier-Stokes o intervalo equations; maximal e Thin existência omains; e Existence soluções no tempo para as equações e Navier-Stokes em um omínio triimensional fino, isto é, Ω,, one R of solutions e,, consierano combinações e iferentes conições e fronteira Palavras-chave: Equações e Navier-Stokes, Domínios finos, Existência e solução Abstract The classical form of the Navier-Stokes equations system, which is erive from the principle of conservation of mass an momentum, escribes the motion of a homogeneous flui subject to a fiel of external forces In this work, we evelop a stuy to fin the maximal interval of existence of solutions in time to the Navier-Stokes equations in a three imensional thin omain, ie, Ω,, where R e,, consiering ifferent combinations of bounary conitions Keywors: Navier-Stokes equations; Thin omains; Existence of solutions Recebio: 3/6/4 Aceito: //4 * feminuzzi@hotmailcom

2 Ciência e Natura v37 n, 5, p Introução Introução P Por volta os séculos XVIII e XIX, os matemáticos or volta os séculos XVIII XIX, os matemáticos Leonhar Paul Euler , Claue Louis Marie Leonhar Paul Euler , Claue Louis Henri Marie Navier Henri 785 Navier e George Gabriel e George Stokes Gabriel 89 -Stokes fizeram- 93 granes fizeram avanços granes no campo avanços ano mecânica campo a osmecânica fluios Oos primeiro fluios foi O responsável primeiro foi pela responsável eução pela o movimento eução o emovimento fluios quano e fluios estes não quano são viscosos, são enquanto viscosos, enquanto outros ois os outros consieraram ois consieraram o efeito a estes não o viscosiae efeito viscosiae O resultaoo e resultao seus trabalhos e seus são trabalhos o que são hojeo chamamos que hoje chamamos e Equações e e Equações Euler e e Equações Euler e e Equações Naviere Stokes, Navier-Stokes, esta, objeto esta, e estuo objeto este estuo trabalho este trabalho As equações e Navier-Stokes escrevem o movimento e um fluio homogêneo, sujeito a um campo e forças externos, e são euzias a partir a a Lei e Newton, o Princípio e Conservação a Massa e e Momento Linear, como poe ser visto em Melo e Neto 99, Chorin e Marsen 99, Fox e McDonal 988 e Kreiss e Lorenz 989 Sua importância não atinge apenas a Matemática, mas campos como Física, Dinâmica os Fluios, Meteorologia, e, mais específicos, Dinâmica os Oceanos, Geofísica, Mecânica os Sólios e Fisiologia, entre outros Apesar e muito usaa, quano falamos em existência e soluções clássicas em R 3 [,, este aina é um problema em aberto a Matemática, conhecio por ser um os Millenium Problems o Clay Mathematical Institute, que premia milhão e ólares a quem resolvê-lo O trabalho a matemática russa Olga Layzhenskaya foi o primeiro que provou e maneira rigorosa a convergência e um métoo e iferenças finitas para as equações e Navier-Sokes Hoje em ia, são conhecios resultaos e existência e uniciae para solução fraca em espaços e Sobolev, como poe ser encontrao em Lions 969 e Temam 984, os quais usam o métoo e Galerkin Recentemente, em janeiro e 4, o matemático cazáque Muchtarbai Otelbajew publicou um artigo afirmano ter encontrao solução clássica para as equações e Navier- Stokes Tal trabalho aina está em análise pela comissão examinaora o Clay Mathematical Institute A forma vetorial as equações e Navier-Stokes é aas por { ut + u u u + p f, em Ω, iv u, em Ω, one Ω é um omínio suave em R 3 O objetivo este trabalho é estuar o intervalo maximal e existência no tempo e solução para o sistema acima em omínios triimensionais finos, isto é, quano uma imensão é pequena quano comparaa as emais Em outras palavras, consieraremos um omínio o tipo Ω, R 3, seno R um omíno regular e < < O estuo e solução global no tempo para omínios finos foi iniciao por Raugel e Sell 989, os quais consieraram uma ilatação no omínio para encontrar as equações e Navier-Stokes efinias em, fixo Diferentemente, o artigo e Temam e Ziane 996, não usa a ilatação e sim, trabalha iretamente em Ω Além isso, consieramos combinações entre conições e fronteira, as quais influenciam fortemente no comportamento as soluções Nosso trabalho está estruturao em uas seções principais; na primeira seção, euzimos uma formulação matemática específica para omínios finos, como as combinações entre as conições e fronteira e Dirichlet, perióica e livre, e a interferência essas na efinição os espaços funcionais H e V Outra importante ferramenta usaa nesta seção é o operaor méia integral na ireção fina, efinio e acoro com a conição e fronteira a ser utilizao Por fim, apresentamos algumas esigualaes clássicas, como a e Poincaré, além e outras essencialmente importantes Na seguna seção, é feita uma formulação fraca para as equações e Navier-Stokes, baseano-se no operaor méia integral, além e estimativas a priori para o mesmo Tais estimativas tornam-se uma importante ferramenta para os resultaos acerca o intervalo maximal e existência e solução no tempo, estes epeneno a conição e fronteira consieraa Introução ao estuo em omínios finos No esenvolver este trabalho, usamos notações e resultaos usuais no estuo e equações iferenciais parciais e em análise funcional, baseano-se principalmente em Evans, Aams e Fournier 3, Brezis 983 e Ruin 986 No que segue, Ω é um aberto itao o R 3 e L p Ω, p <, é o espaço as funções mensuráveis g : Ω R tais que /p g L p Ω gx x p < Ω e H Ω é o espaço e Sobolev no qual toas as erivaas parciais e primeira orem, com relação a toas variáveis, pertencem à L Ω Consiera-se também os espaços funcionais: Λ {u C c Ω; ivu }; H é o fecho e Λ em L Ω, munio a norma / u u x Ω 3 V é o fecho e Λ em H Ω, munio a norma u u u x Ω /

3 5 Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação e Navier-stokes em omínios triimensionais finos 3 Autores: Título curto o artigo Os proutos internos e H e V são enotaos por, e,, respectivamente A fórmula trilinear b é aa por b u, v, w u v, w 3 v j u i w i,j Ω x j x, i one u, v, w H Ω Aina, faz-se o uso o Operaor e Stokes: Definição Seja P : L Ω H o operaor projeção Define-se o operaor e Stokes, enotao por A, por A : V H Ω H H u A u P u Bastante utilizao são as potências o Operaor e Stokes, em particular, A / Quano usamos esta potência, o omínio o operaor coincie com V, ou seja, DA V Seno assim, se u V, então u u A / Para mais etalhes sobre este operaor, veja Foias et al Seja Ω um omínio fino, isto é, Ω,, one < < e R é suave O objetivo este trabalho é estuar o intervalo maximal e existência e soluções ux, t no tempo o sistema one u t + u u u + p f, em Ω, iv u, em Ω, ux,u x, em x Ω, i ux,t u x, t, u x, t, u 3 x, t é o campo e velociaes no ponto x x, x, x 3 e no instante t; ii p : Ω, T R, T >, é a pressão; iii > é a viscosiae o sistema e; iv u x u x, u x, u3 x é a velociae inicial aa Neste trabalho, supõe-se que u H ou V e f L, +, H Para isso, serão necessárias algumas efinições iniciais com relação a fronteira e Ω e aos espaços V e H, os quais serão efinios e acoro com a conição e fronteira em questão Conições e Fronteira No que segue, a fronteira Ω e Ω será enotaa por Ω Γ t Γ b Γ l, one Γ t {}, Γ b {}, e Γ l, Para a formulação o problema, faz-se algumas combinações entre certas conições para Ω, a saber, as conições e Dirichlet, perióica e e fronteira livre Mais precisamente, as combinações usaas são: A conição e fronteira livre em Γ t Γ b e perióica em Γ l, enotaa por FP Consiera-se, neste caso,, l, l, l, l >, u 3 e u u em Γ t Γ b, e u i é perióica nas ireções x e x com períoo l e l, respectivamente, para i,,3 Além isso, Ω u j x x Ω f j x, t x, j, A conição e fronteira livre em Ω, enotaa por FF Neste caso, se n é o vetor normal apontao para fora e Ω, então u n, rotu n em Ω A primeira relação acima inica que a velociae é sempre perpenicular ao vetor normal, isto é, acompanha a superfície a fronteira 3 A conição e Dirichlet em Ω, enotaa por DD, ou seja, ux, t em Ω 4 A conição e Dirichlet em Γ t Γ b e perióica em Γ l, enotaa por DP Neste caso, ux, t em Γ t Γ b e u é perióica em Γ l Além isso, Ω u 3 x Ω f 3 x, t x Observe que os espaços H e V são influenciaos por estas conições e fronteiras Seno assim, quano não houver iferença nas emonstrações, utilizaremos a notação para estes espaços por H e V Os operaores M e Ñ Seja φ L Ω uma função escalar O operaor méia integral na ireção fina é efinio por: M : L Ω L Ω

4 Ciência e Natura v37 n, 5, p Ciência e Natura 4 φ M φ φx, x, s s Note que apesar e φ ser uma função e três variáveis, M possui apenas uas, a saber, x e x, visto que a integral em epene apenas a terceira componente e φ Define-se, também, o operaor N por Portanto, N φx, x, x 3 φx, x, x 3 M φx, x N + M I L Ω O operaor M é efinio para funções u u, u, u 3 L Ω, isto é, M : L Ω L Ω u M u M u, M u, M u 3 Depeneno a conição e fronteira, efine-se: i Para FF e FP, M u M u, M u, ii Para DD e DP, M u Analogamente, efine-se o operaor Ñ por Ñ u u M u, ou seja, Ñ + M I L Ω Um fato interessante sobre os operaores efinios acima é que toos são projeções, isto é, M M, N N, M M, Ñ Ñ De fato, seja φ L Ω Então, Assim, Para N, tem-se M φ M M φ M M φ M M φ M φx, x x 3 M φx, x M φx, x N φ N N φ N φ M φ N φ N M φ x 3 φ M φ M φ M M φ φ M φ M φ M φ φ M φ N φ, com φ L Ω Analogamente mostra-se para M e Ñ Além isso, é pertinente observar que, inepenente a conição e fronteira, caa componente e Ñ u satisfaz uma as seguintes situações: N u j em Γ t Γ b ou N u j x 3, para j,,3 O seguinte resultao reúne algumas proprieaes para os operaores M, N, M, Ñ, as quais serão úteis na emonstração o lema Proposição Vale que: i M é a projeção ortogonal e L Ω em L ii M N e M Ñ iii M M, Ñ N iv Se φ H k Ω então M φ H k e N φ H k Ω, k v A conição e fronteira para M em é a mesma e u L Ω em, vi Os operaores M e Ñ são auto-ajuntos Demonstração: i Dao φ L Ω tem-se, para too θ L, φ M φ, θ L Ω [φ M φ]θ x Ω φθ M φθ x Ω φθ x M φθ x3 Ω Ω Resolveno a primeira integral e 3, obtêm-se φθ x Ω Da seguna integral e 3, M φθ x Ω Comparano 4 e 5, segue que θm φ x 4 φ M φ, θ L Ω, θm φ x 5 ou seja, M é a projeção ortogonal e L Ω em L ii Tem-se, para φ L Ω, M N M N φ M φ M φ M φ M M φ M φ M φ Para M Ñ a emonstração é análoga iii Seja φ L Ω Então, M M φ M φ x, φ M φ x, x, M φ x,

5 7 Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação e Navier-stokes em omínios triimensionais finos 5 Autores: Título curto o artigo Pelo Teorema a Convergência Dominaa, poe-se inverter a integração pela erivação em caa coorenaa o último vetor a expressão acima Assim, φ M x, M φ x x M φ,, x M φ, M φ Logo, M φ M φ Para Ñ, tem-se Ñ φ Ñ φ φñ, φ, x x φ φ N, N, x x φ φ M, φ φ M, x x x x Novamente, pelo Teorema a Convergência ominaa, φ φ M, φ φ M, x x x x N φ, N φ, x x Logo, Ñ φ N φ N φ iv Seja φ H k Ω Para k, tem-se M φx, x x x φx, x, s s x x 6 Mas, pela Desigualae e Höler, para p q, Logo, φ s / / s φ s φ s φ s 7 De 6 e 7, obtem-se φ s x x φ s x x φ s x x φ L Ω Assim, M φ L φ L Ω Como φ Hk Ω, segue que M φ L é finito e portanto M φ H k Além isso, já que M φ H k e φ H k Ω, segue que N φ φ M φ H k Ω v Suponha que u satisfaz DD Então, u em Γ l, isto é, u i para i,, 3 em, Assim, como M u M u, M u, M u 3, tem-se que M u i para i,, 3, ou seja, M u em Se u satisfaz FP, u é perióica nas ireções x e x com períoo l, l >, ou seja, para too i,, 3, temse u i x + l, x + l, x 3 u i x, x, x 3 Assim, para too i,, 3, M u i x + l, x + l u i x + l, x + l, s s u i x, x, s s M u i x, x, isto é, M u é perióica nas ireções x e x A conição FF implica que u n e rotu n em Ω Logo, Assim, M ux, x M u, M u, M u 3 u s, u s, u 3 s u, u, u 3 s M u n u, u, u 3 n s Além isso, M u n M u n e rot M u n rot M u n M rotu n, quano x, x e x 3, Portanto, M u satisfaz FF vi Sejam u, v L Ω Então, M u, v M u v x Ω M u v x x x 3 [ ] M u v x 3 x x [ ] u s v x 3 x x [ ] u s M v x x u M v x u, M v Ω Aina, Ñ u, v u M u, v

6 Ciência e Natura v37 n, 5, p Ciência e Natura 6 u, v M u, v u, v u, M v u, v M v u, Ñ v Os resultaos o lema a seguir inepenem a conição e fronteira escolhia e por isso estas serão omitias Lema Sejam u, v H Ω Então: i Ñ u M v x Ω ii u M u + Ñ u e u M u + Ñ u iii Se v V então M v V e Ñ v V iv b u, u, M vb M u, M u, M v + b Ñ u, Ñ u, M v e b u, u, Ñ vb Ñ u, M u, Ñ v + b M u, Ñ u, Ñ v+b Ñ u, Ñ u, Ñ v, one u,v V v Para too u DA, tem-se Ñ u Ñ u e M u M u Demonstração: i Sejam u, v H Ω Tem-se Ω Ñ u M v x Ω N u M v + N u M v + + N u 3 M v 3 x Note que a expressão acima é igual a Ω N u M v + N u M v + N u M v + N u M v + + N u 3 M v N u 3 M v 3 x 8 Como M v i não epenem e x 3, pois N u i epene e x 3, segue que M v i, para i,, 3 e, além isso, pela proprieae iii a proposição anterior, N u i M v i Ñ u i M v i, i,, 3 Logo, 8 é igual à Ñ u M v + Ñ u M v + Ω Ñ u 3 M v 3 x 9 Observe que o conjunto { } A φx, x, s s, φ L Ω L é fechao De fato, tomano uma sequência e funções φ n A tal que φ n φ, one φ L, basta escolher θx, x, x 3 L Ω e moo que φ θ s e assim φ A Portanto, pela proprieae i a proposição anterior, poe-se ecompor L Ω como a soma ireta e M L Ω e N L Ω a mesma maneira que L Ω é soma ireta e M L Ω e Ñ L Ω Logo, Ñ u i M v i x, Ω para too i,, 3 e a integral em 9 é nula, ou seja, Ω Ñ u M v x ii No item anterior, foi provao que o conjunto A é fechao e portanto, poe-se escrever u L Ω como a soma os vetores ortogonais M u e Ñ u Assim, u u x M u + Ñ u x Ω Ω M u + Ñ u M u + Ñ u x Ω Logo, M u + Ñ u + Ω M u Ñ u x } {{ } pois M u Ñ u u M u + Ñ u Além isso, vale que u u x M u + Ñ u x Ω Ω M u + Ñ u M u + Ñ u x Ω Logo, M u + Ñ u + + M u Ñ u x Ω } {{ } por u M u + Ñ u iii Seja v V Então, para qualquer conição e fronteira consieraa, v H Ω Pelo item iv a proposição anterior, conclui-se que M v H Mas, M v L Ω Ω M vx, x, x 3 x

7 9 Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação e Navier-stokes em omínios triimensionais finos 7 Autores: Título curto o artigo M vx, x, x 3 x x x 3 M v L x 3 M v L M v L x 3 Logo, como M v H, tem-se que M v L é finita e portanto M v L Ω Analogamente, para M v, i,, 3, seno que M v Além isso, x i pelo item v a proposição anterior, M v satisfaz a mesma conição e fronteira e v Para concluir que M v V, resta verificar se iv M v De fato, para as conições DD e DP, como M v, segue que iv M v Para as emais conições, temse que ivv, isto é, Assim, x ivv v x + v x + v 3 v x 3 + x v x 3 + x v x 3 + x v x 3 + ivv x 3 v 3 x 3 v 3 x 3, isto é, M v x + v M v 3 x 3 x Mas, pelo Teorema Funamental o Cálculo, v 3 x 3 v 3x, x, v 3x, x,, pois, para FP, v 3 x, x, v 3 x, x,, para PP, tomano como períoo, v 3 x, x, v 3 x, x, e, para FF, como M v M v, M v,, tem-se que M v 3, ou seja, Portanto, e, v 3 x 3 Isto implica que v 3 x 3 v 3 x 3 M v x + M v, x e, já que M v 3 pois M v 3 não epene e x 3, iv M v, isto é, M v V Além isso, Ñ v V pois Ñ v v M v e v, M v V iv Sejam u, v V Tem-se que b u, u, M v b M u + Ñ u, M u + Ñ u, M v b M u, M u, M v + b M u, Ñ u, M v + b Ñ u, M u, M v + b Ñ u, Ñ u, M v Note que b Ñ u, M u, M v, pois b Ñ u, M u, M v 3 i,j 3 M u j N u i M v i,j Ω x j x i 3 i,j N u i M u j x i M v j x N u i x 3 M u j x i M v j x x Mas, pela proprieae ii a proposição anterior, N u i x 3 N u i x 3 M N u i M N u i, ou seja, a integral em é nula Além isso, e, portanto, b M u, Ñ u, M v b u, u, M vb M u, M u, M v + b Ñ u, Ñ u, M v Analogamente, vale que b u, u, Ñ v b M u, M u, Ñ v + b Ñ u, M u, Ñ v + b M u, Ñ u, Ñ v + b Ñ u, Ñ u, Ñ v Mas b M u, M u, Ñ v, já que b M u, M u, Ñ v Logo, 3 i,j N v j x 3 } {{ } 3 M u j M u i N v i,j Ω x j x i M u i M u j x i x x b u, u, Ñ v b Ñ u, M u, Ñ v + b M u, Ñ u, Ñ v + b Ñ u, Ñ u, Ñ v v Para as conições e fronteira DP ou DD, temse M u, para u DA Neste caso, M u,

8 Ciência e Natura v37 n, 5, p Ciência e Natura 8 e M u M u, u, u 3, visto que, como u DA, então u H Ω e assim u L Ω Portanto, M u M u Aina, tem-se que Ñ u u M u u u, isto é, Ñ u u Por outro lao, Ñ u u M u u u Logo, Ñ u Ñ u Para as conições e fronteira FP, FF, sejam v C C e u DA Como M u M u, M u,, tem-se M u v x x M u, M u, v, v, x x M u i v i x x i Usano a fórmula e Green, então M u i v i x x i M u i v i x x + i v i i n M u i S M u i v i x x, i pois v em e n é a normal e Assim, pela proprieae iii a proposição anterior, i M u i v i x x i M u i v i x x i u i x 3 v i x x Novamente, pela fórmula e Green, u i v i x 3 i Ω u i v i x i Ω Note que v i u i x i Ω u v i i Ω n S u v i i Γ t + u v i i i Ω n Γ b v i u i n n S + S 4 Γ l v i u i n S S 5 A seguna integral epois a igualae e 5 é nula, pois se x Γ l, então x, x e v i x, x, já que v i C Agora, quano x Γ t ou x Γ b, tem-se que n ±e 3,, e assim u i n u i ou u i n u i e, e acoro com a conição FP, eve-se ter u i para i, Já para a conição e fronteira FF, observa-se que u3 rotu u, u u 3, u u x x x x e n,, em Γ t e Γ b, logo, u rotu n u 3, u u 3,, x x ou seja, u u 3 x e u u 3 x Mas u n em Γ t e Γ b, isto é, u 3 e u 3 x Assim, u u Como o somatório em 3 só compreene i,, segue que a primeira e a terceira integral epois a igualae e 5 são nulas e portanto Ω v i u i n Substituino em 4, tem-se i i S v i u i x i Ω v i u i x u i v i x Ω v i u i x i v i M u i x x i v, v M u, M u x x } {{ } M u

9 3 Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação e Navier-stokes em omínios triimensionais finos 9 Autores: Título curto o artigo Conclui-se que ou seja, M u v x x M u v x x M u v x x, M u M u v x x Assim, M u M u qs em Além isso, u M u + Ñ u M u+ Ñ u Mas por outro lao, Ñ u u M u u M u+ñ u Portanto, Ñ u Ñ u Além estes resultaos, os operaores M e Ñ também comutam-se com o operaor e Stokes A, isto é, A M u M A u e A Ñ u Ñ A u, one u DA Para as conições FF e FP, aina temos o seguinte resultao: Lema Se u DA satisfaz FF e FP, então b M u, M u, A M u, 3 Desigualaes Funamentais em Domínios Finos Nesta seção, serão enunciaos resultaos para esigualaes clássicas em omínios finos Tal ferramenta torna-se importante para conhecer a exata epenência as constantes que aparecem em esigualaes o tipo Sobolev com relação à espessura o omínio Algumas serão apenas enunciaas, pelo fato e suas emonstrações serem extensas e fugirem o escopo principal este trabalho A primeira esigualae aqui enunciaa é a e Poincaré, cuja emonstração poe ser encontraa em Temam e Ziane 996 Proposição Desigualae e Poincaré Seja u H Ω satisfazeno: Vale notar que a esigualae acima vale para qualquer conição e fronteira a ser consieraa Como visto no lema, se u V então Ñ u V e portanto, tem-se o seguinte resultao Corolário Para qualquer u V, vale que Ñ u Ñ u Corolário Sob as mesmas hipóteses a proposição, tem-se u u Demonstração: De fato, basta notar que u u u x 3 x 3 u x + u x + u x 3 u Corolário 3 Sob as mesmas hipóteses a proposição, tem-se u A u Demonstração: Da efinição o operaor e Stokes, A é efinio positivo, isto é, vale A u, u u > Mas, pela esigualae e Holer, tomano p q, tem-se Logo, A u, u A u u u A u u Usano o corolário anterior, Portanto, u A u u A u u u A u Então, { u em Γt Γ b ux, x, x 3 x 3 qs em u u 6 Uma outra esigualae importante é a e Agmon, a qual será apresentaa aqui na sua forma específica para omínios finos A emonstração poe ser encontraa em Temam e Ziane 996

10 Ciência e Natura v37 n, 5, p Ciência e Natura Corolário 4 Desigualae Anisotrópica e Agmon para Domínios Finos Existe uma constante positiva c, que não epene e, tal que, para toa u H Ω, u L Ω c u /4 u x3 + u x 3 L Ω + /4 u L Ω u x i j i x j u /4 + + u x j Corolário 5 Suponha que u DA Então, para qualquer conição e fronteira, vale N u j N u j x, para i,j,, 3 7 i x i Demonstração: Observe que, para i,, evio à, tem-se N u j x i em Γ t Γ b e N u j x i x 3, com j,,3 Seno assim, N u j x satisfaz 6 Logo, i pela Desigualae e Poincaré, N u j N u j x i x i Agora, para a imensão espacial x 3, eve-se ter um pouco mais e cuiao, visto que não é possível passar a erivaa com relação à x 3 para entro a integral em Portanto, usano integração por partes em x 3, temos Ω N u j N u j x 3 x Ω N u j x Assim, N u j N u j x N u Ω x j 3 Ω x3 x N u j N u j Ω x3 x N u L N u j j Ω x3 N u j x N N u u j j 3 x3 N pelo Corol u j N u j, ou seja, N u j N u j x 3 x 3 L Ω Combinano os corolários e 4, resulta o que segue Corolário 6 Existe uma constante positiva c, que não epene e, tal que, para toa u DA, Ñ u L Ω c Ñ u /4 3 i,j Ñ u x i x j 3/4 Corolário 7 Existe uma constante positiva c, inepenente e, tal que Ñ u L 6 Ω c Ñ u A partir o corolário acima e a proposição, obtem-se o seguinte lema Lema 3 Para q 6, existe uma constante positiva cq, inepenente e tal que, para too u V, Ñ u L q Ω cq 6 q q Ñ u Teorema Sob qualquer uma as conições e fronteira consieraas, existe uma constante c, inepenente e, tal que, para too u DA, 3 i,j u x i x j c A u Por fim, o próximo resultao está relacionao com esigualaes para a forma trilinear b Lema 4 Seja < q < Existe uma constante positiva c 4 q, que não epene e, tal que, para qualquer conição e fronteira consieraa, tem-se i b M u, Ñ u, w c 4 q M u A Ñ u w, u DA ew L Ω ii b Ñ u, M u, w c 4 / M u A Ñ u w, u DA ew L Ω iii b Ñ u, Ñ u, w c 4 Ñ u 3/ A Ñ u / w c 4 / Ñ u A Ñ u w, u DA ew L Ω A emonstração o lema acima poe ser encontrao em Temam e Ziane Solução Fraca em Domínios Finos Com relação a existência e solução as equações e Navier-Stokes em omínios gerais, o seguinte resultao é conhecio em iversas bibliografias, tais como Temam Temam 984, Temam 995 e Lions Lions 969 Ambos usam o métoo e Galerkin para encontrar solução fraca em espaços e Sobolev Mais precisamente, tem-se

11 33 Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação e Navier-stokes em omínios triimensionais finos Autores: Título curto o artigo Teorema 3 Sejam u H e f L, T, V Então existe u L, T, V L, T, H para too T >, solução as equações e Navier-Stokes Se u V então existe T TΩ,, u, f > tal que u L, T, DA L, T, V é a única solução as equações e Navier-Stokes No que segue, a solução única aa pelo teorema acima é chamaa e solução forte 3 Estimativas para M e Ñ As esigualaes apresentaas na última seção motivam algumas estimativas a priori para os operaores M e Ñ, as quais formam o principal mecanismo para o estuo o tempo máximo e existência as soluções Primeiramente, a partir as equações e Navier-Stokes, faz-se a formulação fraca para M e Ñ Antes e emonstrar a formulação fraca, observe que como u, v DA / A/ u, A / v, segue que A / M u, A / M v M u, M v DA / M u, M v Note que faz sentio tomar o prouto interno com relação a M u e M v, pois, como u,v DA / V, tem-se pelo lema que M u, M v V Proposição 3 Formulação fraca para M e Ñ Sejam v V eu H Então, i M u, M v A t + / M u, A / M v + b M u, M u, M v Observe que M u t M u t e M u M u Aina, p M p M, p, p x x p p p M, M, M x x M p, M p, M p x x x } 3 {{ } M p Multiplicano 8 por M v e integrano em Ω tem-se M u t, M v + M u u, M v M u, M v + M p, M v M f, M v 9 Agora, note que M u, M v M t u t, M v + M u, M v t, e, como v V, não epene e t, one M u, M v t Logo, M u, M v t M u t, M v Como M é auto-ajunto e M M, segue que M u u, M v u u, M M v u u, M v b u, u, M v ii t + b Ñ u, Ñ u, M v M f, M v, Ñ u, Ñ v A + / Ñ u, A / Ñ v +b M u, Ñ u, Ñ v + b Ñ u, M u, Ñ v Usano o item iv o lema, M u u, M v b M u, M u, M v Aina, + b Ñ u, Ñ u, M v + b Ñ u, Ñ u, Ñ v Ñ f, Ñ v Demonstração: Consiere a forma vetorial as equações e Navier-Stokes, u t + u u u + p f Aplicano o operaor M em caa componente a equação acima, tem-se M u t + M u u M u + M p M f 8 M u, M v M u, M v A / M u, A / M v Além isso, M p, M v 3 Substituino,, e 3 em 9, obtem-se a seguinte formulação fraca para M M u, M v A t + / M u, A / M v +

12 Ciência e Natura v37 n, 5, p Ciência e Natura b M u, M u, M v + b Ñ u, Ñ u, M v M f, M v Para o operaor Ñ, procee-se analogamente, aplicano Ñ à forma vetorial as equações e Navier- Stokes, multiplicano por Ñ v e integrano em Ω Deste moo, ao aplicar o item iv o lema, temse que Ñ u u, Ñ v u u, Ñ v b u, u, Ñ v b Ñ u, M u, Ñ v + b M u, Ñ u, Ñ v + b Ñ u, Ñ u, Ñ v Assim, conclui-se a formulação fraca para o operaor Ñ aa por Ñ u, Ñ v A t + / Ñ u, A / Ñ v + b M u, Ñ u, Ñ v + b Ñ u, M u, Ñ v + b Ñ u, Ñ u, Ñ v Ñ f, Ñ v Para facilitar as expressões calculaas nas estimativas, utiliza-se, no que segue, as seguintes notações: i a A / M u ; e ii b A / iii α M f ; iv β Ñ f ; Ñ u ; v R a +b +α +β Observe que, e acoro com ii o lema, u DA / A / u M A / u + Ñ A / u A / M u + A / Ñ u a +b, f M f + Ñ f α +β, Agora, ao σ >, como consequência o teorema 3, tem-se que existe T σ > tal que, para too t [, T σ, A / ut σr 5 Aqui, [, T σ é o intervalo máximo one a esigualae acima correspone Vale notar que se T σ <, então A / ut σ σr 6 Com efeito, caso não valesse a igualae, teria uma contraição com o fato e T σ ser o tempo máximo Apresentamos agora ois lemas com as estimativas para os operaores Ñ e M, funamentais para prova os teoremas e existência O resultao a seguir inepene a conição e fronteira consieraa Lema 3 Estimativas para Ñ u Suponha que < q < e A q / u + f Então, existe > tal que para too, <, existem T σ > e uma constante positiva c 5, inepenente e, e moo que para, < e < t < T σ, tem-se: i ii A / t Ñ ut b e t + β ; A Ñ us s b + tβ ; t iii A / Ñ us 3 A Ñ us s c 5 b + β b +tβ Demonstração: Da formulação fraca para Ñ, substituino v por A u, tem-se Ñ u, Ñ A u A t + / Ñ u, A / Ñ A u + b M u, Ñ u, Ñ A u + b Ñ u, M u, Ñ A u + b Ñ u, Ñ u, Ñ A u Ñ f, Ñ A u Observe que, pela comutativiae o operaor e Stokes com Ñ, Ñ u, Ñ A u Ñ u, A Ñ u Ñ u, Ñ u A / Ñ u, A / Ñ u A / Ñ u, ou seja, R A / u + f 4 Logo, Ñ u, Ñ A u t t A / Ñ u 7

13 35 Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação e Navier-stokes em omínios triimensionais finos 3 Autores: Título curto o artigo Mas t Ñu, Ñ A u t Ñu, Ñ A u t Ñu, Ñ A u + t Ñu, Ñ A u Assim, e 7, t Ñu, Ñ A u Também, A / A / Ñ u, A / Ñ u, Ñ A u t + Ñ u, t ÑA u + Ñ u, t A Ñu Ñ u, A t Ñu + A Ñ u, t Ñu t Ñu, Ñ A u Ñ u, Ñ A u t t Ñ A u Ñ u, A / A Ñ u A / Ñ u A Ñ u, A Ñ u A Ñ u Além isso, pela esigualae e Cauchy-Schwarz, Ñ f, Ñ A u Ñ f, A Ñ u Ñ f A Ñ u δ Ñ f + δ A Ñ u A última esigualae acima vem e ab a + b, tomano a δ Ñ f e b δ A Ñ u, one δ > é um número real Escolheno δ, tem-se δ Daí, Ñ f, Ñ A u Ñ f + A Ñ u Pelas estimativas o Lema 4, b M u, Ñ u, Ñ A u + b Ñ u, M u, Ñ A u + b Ñ u, Ñ u, Ñ A u c 4 q M u A Ñ u A Ñ u + c 4 / M u A Ñ u A Ñ u + c 4 / Ñ u A Ñ u A Ñ u c 4 q M u A Ñ u + c 4 / M u A Ñ u + c 4 / Ñ u A Ñ u Note que M u M u, M u A M u, M u A / M u, A / M u A / M u, ou seja, M u A / Analogamente, Ñ u e, com isso, A / M u Ñ u, 8 b M u, Ñ u, Ñ A u + b Ñ u, M u, Ñ A u + b Ñ u, Ñ u, Ñ A u c 4 q A / M u A Ñ u + c 4 / A / M u + A / A Ñ u Ñ u Temos, portanto, a seguinte estimativa c 4 / A / t Ñ u + A Ñ u Ñ f + A Ñ u + A / [ c 4 q A / M u A Ñ u + M u + A / A Ñ u Ñ u ] Como < < e < q <, poe-se afirmar que / < q Assim, somano c 4 q A / Ñ u A Ñ u, o qual é um valor positivo, na última expressão acima, obtem-se A / Ñ u [ + 4c t 4 q A / M u ] + A / Ñ u A Ñ u Ñ f Observe que, o item ii o Lema, A / ut M A / ut + Ñ A / ut A / M ut + A / Ñ ut, para t [, T σ e, além isso, A / M ut + A / Ñ ut A / ut

14 Ciência e Natura v37 n, 5, p Ciência e Natura 4 Mas, e 5, temos A / M ut + Assim, isto é, t 4c 4 q A / A / A / Ñ ut σr M u + A / Ñ u 4c 4 q σr, Ñ u [ + 4c 4 q σr ] A Ñ u Ñ f 9 A partir este momento, usano a hipótese A q / u + f q R, poe-se afirmar que 4c 4 q σr >, ou seja, existe um > tal que para too < <, Substituino em 9, t A / 4c 4 q σr Ñ u + A Ñ u Ñ f, 3 para too < < e t < T σ Pela esigualae e Cauchy-Schwarz, tem-se e portanto, t A / A / Ñ u A Ñ u, Ñ u + A / Ñ u Ñ f 3 Agora, aplicano a esigualae e Gronwall, obtem-se A / Ñ u t e t b +e t β s t e t b +e tβ 3 Para algum t, com t e t, vale que e t tβ β, e, substituino em 3, A / Ñ u b e t + β, 33 o que prova o item i o lema Integrano e à t a expressão em 3, tem-se Como A / obtem-se ou seja, t A / Ñ ut + t A / t A / t A / Ñ us t A / Ñ us s b + tβ Ñ us s A / Ñ ut + Ñ us s, Ñ us s b + tβ, para too < e< t < T σ Agora, integrano 3 e à t, Daí, ou seja, A / t Ñ ut + t s b + tβ, 34 t A Ñ us s b + tβ A Ñ us s b + tβ, A Ñ us s b + tβ, 35 para too < e < t < T σ, provano assim o item ii o lema Aplicano a esigualae e Höler com p q para as funções u A / Ñ u 3 e v A Ñ u, temos t A / Ñ us 3 A Ñ us s } {{ } Ψ A Ñ us / s t A / Ñ us 6 / t s

15 37 Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação e Navier-stokes em omínios triimensionais finos 5 Autores: Título curto o artigo Observe que sup A / st Portanto, Ψ sup t t Ñ us A / st A / A / t Ñ us t A Ñ us s Ñ us 6 / s Ñ us / s A / / Ñ us / s Note que é possível tomar o supremo a função A / Ñ u 4, pois vale 33 Substituino as estimativas encontraas em 33, 34 e 35 na expressão acima, obtem-se Ψ 4 b + β b + tβ Fazeno conclui-se que c 5 [ max,, ], Ψ c 5 b + β b +tβ, o que prova o item iii e, portanto, o lema está emonstrao Lema 3 Estimativas para M u Consierano as conições FF e FP, suponha que < q < e A q / u + f Então, existe >, tal que para too, com <, existem T σ > e uma constante positiva c, inepenente e, a partir os quais vale: i M ut a e λ t + α λ 3 + c 6 R 4 n + t; t ii A / M us s a + α t λ λ + c 6 R 4 n + t; iii A / M ut a e λ t + α + λ c 8 R 4 n + t; iv t A M us s a t + c 8 R 4 n + t Demonstração: Da formulação fraca para M, substituino v por u, tem-se t M u, M u + A / M u, A / M u b M u, M u, M u + b Ñ u, Ñ u, M u M f, M u É possível afirmar veja Temam 984, Lema 3, pág 6 que b M u, M u, M u, e, pela esigualae e Cauchy-Schwarz, M f, M u M f M u Assim como foi feito no lema anterior para Ñ,o termo com a erivaa em relação ao tempo é tal que, antes e substituir, M u, M v t t M u, M v pois v V e não epene e t Mas, M u, M u t t M u, M u + M u, t M u t M u, M u ou seja, M u, M u t t M u, M u M u, M u t M u t Aina, Logo, A / M u, A / M u A /, M u M u t + A / M u + b Ñ u, Ñ u, M u M f M u 36 Do lema 4, obtem-se b Ñ u, Ñ u, M u c 4 Ñ u 3/ A Ñ u / M u A / c 4 Ñ u 3/ A Ñ u / M u +,

16 Ciência e Natura v37 n, 5, p Ciência e Natura 6 one a última igualae acima vem e 8 Substituino em 36, M u t + A / c 4 A / M u M f M u + Ñ u 3/ A Ñ u / M u A esigualae e Poincarè, neste contexto, afirma que M u A / M u, 37 λ one λ é o primeiro autovalor o menor o operaor e Stokes Assim, c 4 A / Ñ u λ Para δ >, e, Logo, δλ isto é, δ A / c 4 A / Ñ u λ 4δ c4 M u t + A / M f A / λ 3/ A Ñ u / A / M f A / λ M u M u + M δλ f, 3/ A / λ A Ñ u / Ñ u M u + A / t M f + c4 4δ t δλ 3/ A / M u M u + M u M u A Ñ u / δ A / M u + M u A δ / M u + A / Ñ u 3/ A Ñ u / + λ δ A / M u, M u + δ δ A / M f + c 4 δλ A / 3 M u Ñ u A Ñ u Seja δ e forma que 4δ, ou seja, δ 4 Daí, M u t + A / M u λ M f + De 37, M u t + λ c 4 λ A / Ñ u A Ñ u 38 3 M u c 4 λ A / 3 λ M f + Ñ u A Ñ u 39 Aplicano a esigualae e Gronwall, obtemos c 4 λ Seja M ut a e λt + α λ 3 + c t 4 Ñ u A Ñ u s 4 λ A / 3 Do item iii o lema 3, M ut a e λt + α λ c 5 b + β b +tβ R n maxb, β Tem-se b + β b +tβ maxb, β tβ + b R n tr n+r n R 4 n + t 4 Pono c 6 4c 4 λ c 5 e substituino em 4, M ut a e λt + α λ 3 + c 6 R 4 n + t, o que prova o item i o lema Integrano e à t a expressão em 38, Segue que M ut t + c t 4 λ A / t A / A / M us s M u + M f t 3 λ Ñ u A Ñ u s + M us s M u +

17 39 Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação e Navier-stokes em omínios triimensionais finos 7 Autores: Título curto o artigo A partir e 37, t A / α t λ + c 6 R 4 n + t M us s a + α t λ λ + c 6 R 4 n + t, provano, assim, o item ii o lema Agora, para encontrar estimativas em H para M, substituino v por A u na formulação fraca e M, obtem-se t M u, M A u + A / M u, A / M A u b M u, M u, M A u + b Ñ u, Ñ u, M A u M f, M A u Proceeno analogamente aos cálculos iniciais feitos no lema 3, mas essa vez para M, encontra-se as seguintes relações: i M u, M A u t A / M u t ; ii A / M u, A / M A u A M u Logo, A / M u t + A M u M f, M A u b M u, M u, M A u + b Ñ u, Ñ u, M A u 43 Usano o lema, A / M u t + A M u M f, M A u b Ñ u, Ñ u, M A u 44 Aplicano o item iii o lema 4 à forma trilinear acima, temos b Ñ u, Ñ u, M A u c 4 Ñ u 3/ A Ñ u / A M u A / c 4 Ñ u 3/ A Ñ u / A M u c 4 A / Ñ u 3/ A Ñ u / k A k M u k c 4 A / Ñ u 3/ A Ñ u / + k A M u, one a última esigualae acima foi obtia pela esigualae e Young A partir aí, seja k, isto é, Então, k b Ñ u, Ñ u, M A u c 4 A / Ñ u A Ñ u 3 Aina, + A M u 45 M f, M A u M f M A u k M f M A u k k M f + k M A u M f + M A u 46 Novamente, usa-se aqui a esigualae e Young e k, isto é, k Substituino 45 e 46 em 44, A / M u t + A M u M f + c 7 A / Ñ u 3 A Ñ u, 47 one c 7 c 4 Usano A / M u no lugar e M u em 37, obtem-se A / M u A / A / M u, λ ou seja, Logo, e 47, A / M u λ A M u A / M u t + λ A / M u M f + c 7 A / Ñ u 3 A Ñ u Com base na esigualae e Gronwall, e proceeno analogamente aos cálculos que levam a esigualae em 4, tem-se A / M u a e λ t + α λ + c 8 R 4 n + t, provano, assim, o item iii o lema Integrano e à t a expressão em 47, prova-se o item iv 3 Comportamento e T σ A partir e agora, emonstramos o resultao principal este trabalho, isto é, o intervalo maximal e existência a solução forte as equações triimensionais e Navier-Stokes, quano o omínio é consierao fino Na seção anterior, foram emonstraos ois lemas com relação as estimativas para M e Ñ O lema 3 vale

18 Ciência e Natura v37 n, 5, p Ciência e Natura 8 para qualquer conição e fronteira a ser consieraa Entretanto, o lema 3 faz referência apenas para as conições FF e FP Esta istinção nas estimativas para M ecorre a efinição a mesma; por exemplo, sabese que M u para DD e DP, isto é, não faz sentio calcular estimativas neste caso O primeiro resultao iz respeito as conições e fronteira DD e DP Teorema 3 Suponha que A / u + f Então, existe tal que para < <, a solução forte u e u t + u u u + p f, em Ω, iv u, em Ω, ux,u x, em x Ω, com as conições e fronteira DD e DP existe para too tempo, isto é, T e para too T > u C [, ; V L, T, DA, Demonstração: Como efinio inicialmente para as conições e fronteira DD e DP, tem-se que M u Deste moo, Ñ u u, one u L Ω e, portanto, as estimativas encontraas no lema 3 valem também para u Aplicano o item i o referio lema para a função u, obtem-se que A / ut A / u t e + f 48 Suponha que T σ < Para <, vale que A / u pois e t t e Daí, A / + f A / Observe que, e 5 e 6, u + f, ut A / u + f 49 sup A / tt σ ut σr Mas, por 49, A / u + f é uma cota superior para a função ut Logo, A / σr A / u + f, para < Como, e 4 R A / u + f, a esigualae acima implica que σ, o que contraiz a suposição inicial e que σ > Portanto, quano < min, para < < T σ +,, one satisfaz 4c 4 / σr, Vale salientar que, para t > em 48, fazeno tener a zero, tem-se que A / u t ou seja, t >, A / A / u t e u t a partir o qual se conclui que + f A / u, u t,, isto é, a norma em H a solução u converge para zero quano tene a zero, ese que t > Com relação as conições FF e FP, emonstra-se que T σ em ois passos Primeiro, tem-se o seguinte resultao: Proposição 3 Consiere as conições e fronteira FF e FP e suponha que A q / u + f, 5 para algum < q < Então, q T σ Demonstração: Dos lemas 3 e 3, tem-se i A / Ñ ut b para t < T σ e e t + β ii A / M ut a e λ t + α λ + c 8 R 4 n + t

19 4 Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação e Navier-stokes em omínios triimensionais finos 9 Autores: Título curto o artigo Somano as uas expressões acima e usano o item ii o lema, temos A / ut b t e + β +a e λ t + α λ + c 6 R 4 n + t 5 Fixano σ e moo que σ 4 max e, com isso, observe que b e t } {{ } <, + β + a e λ t } {{ }, λ 3, 5 < + α λ 3 b σ 4 + β σ 4 + a σ 4 + α σ 4 R σ 4 Substituino em 5, ut R σ 4 + c 6R 4 n + t A / Note aina que, como R n maxb, β, temse R n R R4 n R 4, a partir o qual A / ut R σ 4 + c 6R 4 n + t R σ 4 + c 6R 4 + t R σ 4 + c 6 q R q R + t, 53 para t < T σ Agora, suponha que T σ < Logo, e 6 A / e, substituino em 53, ut σ σr, 3σ 4 R c 6 q R q R + T σ 54 Não é ifícil ver que R De fato, se esta não fosse vália, isto é, se R, e 4 A / u e f Assim, f e A / u qs em Ω Daí u qs o que implicaria ut, uma solução trivial a qual não interessa Logo, R e, portanto, e 54, 3σ 4 c 6 q R q + T σ 55 Afirma-se que q T σ 56 Suponha que a expressão acima não seja verae, ou seja, existe uma constante L > tal que para too δ >, tem-se > com < < δ e q T σ L Seno assim, tome δ, n Então, existe uma n sequência n n com n n, pois < < n e q n T σ n L, isto é, T σ n L q n Voltano na expressão 55, 3σ 4, n c 6 nr q n n q + L q n Mas < q < e n <, aí, q > e n q < Logo, 3σ c 6 nr q 4 n + L 3σ L nr q 4 n, 57 one L L c 6 + L Fazeno n tener ao infinito e usano a hipótese 5, o lao ireito a expressão 57 tene a zero e, portanto, σ, uma contraição com a escolha e σ em 5 Logo, vale 56 e a proposição está emonstraa Agora, mostra-se que o intervalo maximal e existência a solução forte as equações e Navier-Stokes é infinito, quano o omínio é fino Mais precisamente, Teorema 33 Suponha que q A / u + f, 58 para algum < q < Então, existe, q, tal que para < <, a solução forte u e u t + u u u + p f, em Ω, iv u, em Ω, ux,u x, em x Ω, com as conições e fronteira FF e FP existe para too tempo, isto é, T e para too T > u C [, ; V L, T, DA,

20 Ciência e Natura v37 n, 5, p Ciência e Natura one Demonstração: Seja K A / M u + 8 M f λ + B, B A / Ñ u + Ñ f Observe que, substituino a expressão acima em K, aplicano o item ii o lema e a hipótese 58 temos A q K q / u + f 59 Agora, escolhe-se, λ, q satisfazeno i < < 4 ; ii Para <, q K ; iii 8, e 6c 4 max λ q, 3 4 e q 4 ; iv Para <, q T σ > 4 Note que o item ii ecorre e 59 e, no item iii, o lao esquero as esigualaes tenem a zero a meia que se aproxima e zero Pela proposição 3, o lao esquero a expressão em iv tene ao infinito, tornano válio tal item Seno assim, está bem efinio este Lembrano o item iii o lema 3, poe-se reescrever tal estimativa com os aos acima, isto é, t A / Ñ us 3 A Ñ us s c 5 b + β b +tβ c 5 B + B tb + B c 5 B 4 4 max Defina, para <, Do lema 3, item i, A / e como e t A / Ñ ut, + 3 t q + t B 4 + t b t e + β, 6 e t, one t t < t, vale que Ñ ut b e t + β, one t t < t Assim, usano as conições satisfeitas por, ou seja, A / Ñ ut A / b b B 4 B, 4 + β B 8 + β 8 Ñ ut 4 B, 6 para t t < t Agora, usano o item iii o lema 3, isto é, A / M ut a e λ t + α λ + c 8 R 4 n + t, 6 e recorano que R n maxb, β, obtem-se A / + c M ut q B a e λ t + α λ B q + t, 63 para t t < t, one c 6c 4 Usano as conições satisfeitas por, tem-se a e λ t 4 K e max, 3 α λ 8 K 4 K 64 Além isso, observe que q B q K e portanto, c q B B q + t 3 4 B 65 Substituino 65 e 64 em 63, A / M ut 5 4 K, 66 para t t < t Somano as expressões 66 e 6, novamente aplicano o item ii o lema, A / ut 3 K Sabe-se que a norma e uma aplicação é uma função contínua Isto vale também para a norma Posto isso, calculano o ite quano t tene à t, para a função ut, tem-se A / A / ut t t t t ut

21 43 Minuzzi e Lukaszczyk: Solução para equação e Navier-stokes em omínios triimensionais finos Autores: Título curto o artigo e como segue que A / ut t t A / ut ut A / ut, 3 K, 3 K O objetivo agora é usar inução Suponha que existe um tempo t satisfazeno A / Ñ ut B e A / M ut K 67 A esigualae e Gronwall para o intervalo t t < T σ faz com que as expressões 6 e 6 sofram alguma muança Seno assim, temos A / e, por 67, A / Ñ ut Ñ ut com t t < T σ Também A / M ut De 67, A / t t e A / Ñ ut + β, t t B e e λ t t A / + β, M ut + α λ + c 8 R 4 n + t t M ut K e λ t t + α λ + c 8 q B B q + t t, com t t < T σ Tome, portanto, t q Assim como feito em 66 e 6, obtêm-se A / Ñ ut 8 B + 8 B e A / M ut 4 B, 8 K + 8 K + 4 K K, para q t < 3 q Logo, A ut A / Ñ ut + A / M ut 4 B + K 4 K + K 3 4 K, para q t < 3 q, o que implica T σ > 3 q Analogamente, para t 3 q, tem-se A ut 3 4 K, para 3 q t < 4 q, a partir o qual T σ > 4 q Repetino este argumento n vezes, concluí-se que T σ > n q, n Portanto, T σ + para <, ou seja, o intervalo maximal e existência a solução forte para o sistema e equações e Navier-Stokes em omínios triimenisonais fino é infinito 4 Conclusões O estuo sobre as equações e Navier-Stokes é importante para a matemática não somente pelo seu amplo campo e aplicações, mas para melhor entenimento e esenvolvimento e teorias no campo as equações iferenciais parciais Este trabalho teve como objetivo compilar resultaos que levaram ao estuo o intervalo maximal e existência a solução as equações e Navier-Stokes em omínios triimensionais finos o tipo Ω,, com R e, O principal resultao obtio neste artigo epene o teorema clássico e existência e soluções para omínios itaos quaisquer, o qual garante, com certas hipóteses, a existência e solução fraca Restringino os aos iniciais, tal teorema garante também a existência e uma solução única, enominaa solução forte, para um tempo T > que epene o omínio, os aos iniciais e a viscosiae Com isso, poemos concluir que em omínios finos, epeneno e uma relação entre os aos iniciais, este tempo T é infinito, ou seja, o intervalo maximal e existência e solução forte para as equações e Navier-Stokes é infinito

22 Ciência e Natura v37 n, 5, p Ciência e Natura Referências Aams, R A, Fournier, J J 3 Sobolev spaces, vol 4 Acaemic press Brezis, H 983 Analyse fonctionelle, vol 5 Masson Chorin, A J, Marsen, J E 99 A mathematical introuction to flui mechanics, vol Springer New York Evans, L Partial Differential Equations Grauate stuies in mathematics, American Mathematical Society Foias, C, Manley, I, Rosa, R, Temam, R, Mayer, M E Navier-Stokes equations an turbulence, vol 55 Taylor & Francis Fox, R, McDonal, A 988 Introução a mecânica os fluios 3 a E Rio e Janeiro: E Guanabara Kreiss, H O, Lorenz, J 989 Initial-bounary value problems an the Navier-Stokes equations, vol 36 Access Online via Elsevier Lions, J L 969 Quelques méthoes e résolution es problemes aux ites non linéaires, vol 3 Duno Paris Melo, S T, Neto, F M 99 Mecânica os fluios e equaçoes iferenciais IMPA Raugel, G, Sell, G R 989 Equations e navier-stokes ans es omaines minces en imension trois: régularité globale Comptes renus e l Acaémie es sciences Série, Mathématique, 396, Ruin, W 986 Real an complex analysis 3r New York: McGraw-Hill Inc Temam, R 984 Navier Stokes Equations American Mathematical Soc Temam, R 995 Navier-Stokes equations an nonlinear functional analysis, vol 66 Siam Temam, R, Ziane, M 996 Navier-stokes equations in three-imensional thin omains with various bounary conitions Avances in Differential Equations, 4,

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