Física Estatística Computacional
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- Cássio Lancastre Mendes
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1 Física Estatística Computacional Tereza Mendes IFSC USP
2 Física Estatística Computacional Vamos trabalhar com sistemas estocásticos, em que um grande número de integrantes estará em um estado ou outro aleatoriamente, de acordo com uma distribuição de probabilidades. Em geral não será possível fazer as contas de forma analítica, portanto usaremos simulação numérica. A evolução do sistema será implementada no computador, com regras (aleatórias) para a escolha das variáveis de um sítio (em relação aos sítios vizinhos). Vale tanto para bactérias quanto para quarks!!
3 Plano do Curso Introdução (Aula 1) Problema do Bêbado (Aula 2) Aglomerados (Aula 3) Autômatos Celulares (Aula 4) Monte Carlo (Aula 5)
4 Plano do Curso Introdução (Aula 1) sistemas estocásticos simulação numérica números pseudo-aleatórios Problema do Bêbado (Aula 2) Aglomerados (Aula 3) Autômatos Celulares (Aula 4) Monte Carlo (Aula 5)
5 Plano do Curso Introdução (Aula 1) Problema do Bêbado (Aula 2) caminho aleatório aplicação ao fenômeno de difusão verificação da segunda lei da termodinâmica Aglomerados (Aula 3) Autômatos Celulares (Aula 4) Monte Carlo (Aula 5)
6 Plano do Curso Introdução (Aula 1) Problema do Bêbado (Aula 2) Aglomerados (Aula 3) modelos de crescimento (e.g. modelo de Eden e de difusão limitada por agregação) cálculo da dimensão fractal de aglomerados percolação Autômatos Celulares (Aula 4) Monte Carlo (Aula 5)
7 Plano do Curso Introdução (Aula 1) Problema do Bêbado (Aula 2) Aglomerados (Aula 3) Autômatos Celulares (Aula 4) autômatos unidimensionais: regras de Wolfram autômatos bidimensionais (e.g. jogo da vida e modelo da pilha de areia) Monte Carlo (Aula 5)
8 Plano do Curso Introdução (Aula 1) Problema do Bêbado (Aula 2) Aglomerados (Aula 3) Autômatos Celulares (Aula 4) Monte Carlo (Aula 5) introdução ao método de Monte Carlo aplicação ao estudo do modelo de spins de Ising
9 Bibliografia Nicholas J. Giordano e Hisao Nakanishi, Computational Physics, 2 a edição, Benjamin Cummings, Willian H. Press et al., Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3 a edição, Cambridge University Press, Material no site
10 Aula 1: INTRODUÇÃO
11 Mecânica Estatística Em vez de descrever a evolução temporal de N partículas. Calcula observáveis termodinâmicos em termos da distribuição de probabilidades das possíveis configurações do sistema Entropia S = k lnw W(E) = Wahrscheinlichkeit é o número de maneiras de obter um estado macroscópico com certa energia E
12 Gás Ideal Moléculas não interagentes (só colisões). Gás inicialmente em metade do volume, abre portinha. Qual a probabilidade de encontrar todas as partículas do lado esquerdo (i.e. no volume inicial)? 2 moléculas = 1/4 10 moléculas = 1/ (1 segundo a cada 17 minutos) 50 moléculas = 1/2 50? Como calcular S? S = k [ lnv N ln(2v) N] = Nkln2 para N grande as medidas convergem para uma média. Transições com S < 0 são proibidas (segunda lei da termodinâmica)
13 Formulação Canônica Probabilidade de uma configuração σ para um sistema em equilíbrio à temperatura T é dada (no ensemble canônico) em termos de sua hamiltoniana H(σ) pela distribuição de Boltzmann P(σ) = e βh(σ) Z ; Z = dσe βh(σ) ; β = 1/KT Média termodinâmica do observável A dada por < A >= dσa(σ)p(σ) e.g. energia: E = < H(σ) > Integral (multi-dimensional) muito complicada!
14 Sistema Estocástico Portanto, o comportamento dos integrantes de um sistema com muitas partículas pode ser visto como aleatório, mesmo no caso de dinâmica bem definida (determinística) para cada partícula, na mecânica estatística de equilíbrio. Note: no método de Monte Carlo será re-introduzida uma evolução temporal. Ao mesmo tempo, discussão em comum com sistemas definidos por regras estocásticas (ou mesmo determinísticas) simples, em que cada ponto (sítio) do sistema decide o que fazer no instante de tempo seguinte com base na configuração dos sítios vizinhos. Sistemas Complexos
15 O que é a Simulação Computacional?
16 O que é a Simulação Computacional? Experimento Virtual (Teórico!)
17 O que é a Simulação Computacional? Experimento Virtual (Teórico!) E para que serve?
18 O que é a Simulação Computacional? Experimento Virtual (Teórico!) E para que serve? Importância para pesquisa aplicada
19 O que é a Simulação Computacional? Experimento Virtual (Teórico!) E para que serve? Importância para pesquisa aplicada Modelagem de sistemas
20 O que é a Simulação Computacional? Experimento Virtual (Teórico!) E para que serve? Importância para pesquisa aplicada Modelagem de sistemas Crucial para o entendimento das interações entre quarks!
21 Simulação Computacional A simulação é um processo de projetar um modelo computacional de um sistema real e conduzir experimentos com este modelo com o propósito de entender seu comportamento e/ou avaliar estratégias para sua operação. D. Pegden (1990)
22 Simulação Computacional A simulação é um processo de projetar um modelo computacional de um sistema real e conduzir experimentos com este modelo com o propósito de entender seu comportamento e/ou avaliar estratégias para sua operação. Usos D. Pegden (1990) experimentos que não podemos/não queremos realizar (projeto de aviões, guerra nuclear, evolução) reconstrução para melhor compreensão de eventos ocorridos (e.g. acidentes)
23 Simulação Computacional A simulação é um processo de projetar um modelo computacional de um sistema real e conduzir experimentos com este modelo com o propósito de entender seu comportamento e/ou avaliar estratégias para sua operação. Usos D. Pegden (1990) experimentos que não podemos/não queremos realizar (projeto de aviões, guerra nuclear, evolução) reconstrução para melhor compreensão de eventos ocorridos (e.g. acidentes) modelagem de sistemas (e.g. bactérias)
24 Simulação Computacional A simulação é um processo de projetar um modelo computacional de um sistema real e conduzir experimentos com este modelo com o propósito de entender seu comportamento e/ou avaliar estratégias para sua operação. Usos D. Pegden (1990) experimentos que não podemos/não queremos realizar (projeto de aviões, guerra nuclear, evolução) reconstrução para melhor compreensão de eventos ocorridos (e.g. acidentes) modelagem de sistemas (e.g. bactérias) estudo de problemas sem solução analítica (e.g. QCD)
25 Simulação: Outros Exemplos... House s Head, Episódio 15 da quarta temporada.
26 Evolução Temporal (Dinâmica) É o que caracteriza uma simulação. Sistema evolui no tempo, tem vida própria! Realizamos medidas, analisamos dados
27 Evolução Temporal (Dinâmica) É o que caracteriza uma simulação. Sistema evolui no tempo, tem vida própria! Realizamos medidas, analisamos dados Regra de evolução (dinâmica) pode ser clássica ou mesmo quântica. Sistema real, com dinâmica conhecida, em condições fictícias (exemplos: dinâmica molecular, Gedankenexperiment)
28 Evolução Temporal (Dinâmica) É o que caracteriza uma simulação. Sistema evolui no tempo, tem vida própria! Realizamos medidas, analisamos dados Regra de evolução (dinâmica) pode ser clássica ou mesmo quântica. Sistema real, com dinâmica conhecida, em condições fictícias (exemplos: dinâmica molecular, Gedankenexperiment) Casos em que não há formulação física: Sistema fictício modelagem (in silico)
29 Evolução Temporal (Dinâmica) É o que caracteriza uma simulação. Sistema evolui no tempo, tem vida própria! Realizamos medidas, analisamos dados Regra de evolução (dinâmica) pode ser clássica ou mesmo quântica. Sistema real, com dinâmica conhecida, em condições fictícias (exemplos: dinâmica molecular, Gedankenexperiment) Casos em que não há formulação física: Sistema fictício modelagem (in silico) Ou: sistema real, dinâmica fictícia (truque!)
30 Autômato Celular Células assumem valores finitos a cada instante de tempo. Regras locais de transição comportamento emergente, solução numérica de equações diferenciais, geração de padrões visuais interessantes, e.g. agregação limitada por difusão
31 O Jogo da Vida Autômatos determinísticos, com regras simples, ilustram o comportamento de diversos sistemas físicos (e.g. autômatos unidimensionais de Wolfram) Jogo da Vida, proposto em 1970 por J. Conway, pode modelar a dinâmica populacional de formas simples de vida (e.g. colônias de bactérias). Tabuleiro de células, com as regras: células com menos de 2 ou mais de 3 vizinhos morrem células com 2 ou 3 vizinhos vivos sobrevivem indivíduos nascem em células vazias com 3 vizinhos
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33 Método de Monte Carlo Sistemas estocásticos são simulados no computador usando um gerador de números aleatórios tratamento teórico, com aspectos experimentais: dados, erros medidas no tempo
34 Gerador de Números Aleatórios Anyone who considers arithmetical methods of producing random digits is, of course, in a state of sin. John Von Neumann (1951) gerador = prescrição algébrica que produz sequência de números r i com distribuição desejada (em geral uniforme em [0,1]) dada uma semente. Nota: esta sequência é determinística, a operação repetida a partir do mesmo ponto inicial gera a mesma sequência números pseudo-aleatórios.
35 Exemplo: rand()! inicializacao iseed = 2012 call srand(iseed)! numero aleatorio r = rand() semente: número inteiro a cada passo um novo inteiro é produzido e usado como semente para o passo sucessivo inteiros são convertidos em reais em [0,1] número aleatório em [a, b]: a + rand() * (b-a)
36 Método Congruencial Linear i n+1 = (ai n +c) mod m r n+1 = dble(i n+1) dble(m) onde a,c e m são números inteiros fixos. Para um gerador com período longo é necessário m muito grande. Nota: m pode ser maior do que o maior inteiro que pode ser armazenado no computador. Nestes casos resolve-se o problema fatorizando m.
37 Características de um bom gerador distribuição dos r i é uniforme testes período muito maior do que o comprimento da sequência usada na simulação possível armazenar a cada momento a semente associada a um número da sequência sequência produzida a partir de uma semente é a mesma em computadores diferentes tempo para geração dos r i é o menor possível
38 Exercícios Como sortear uma variável que assume dois valores com igual probabilidade (cara ou coroa)? E um número q de valores discretos entre 0 e 1? Pintar um quadrado com coordenadas x, y tomando valores entre -1 e +1 Consegue pintar um círculo?
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