tica Matemática Fractais Objetivo: e na Natureza

Transcrição

1 Origem Física e Matemática tica das Estruturas Geométricas Fractais Objetivo: Apresentar a origem dos fractais na Matemática tica na Física e na Natureza 1

2 Indices de Assuntos Mecânica - 1a, 2a, e 3a Leis de Newton Mecânica do Continuo - Equação de Movimento e Relações Contituivas - Diagramas Tensào X Deformação - Espaço dual e Grandezas Complementares Termodinâmica - 1a, 2a, 3a Leis - Teorema de Euler - Equação de Euler - Equação de Gibbs-Duheim - Funções e Potenciais Termodinâmicos Mecânica Estatistica - Leis da Mecânica das Partículas - Peso Estatistico - Espaço de Fase e Fractais - Contagem de Estados - Relação de Boltzmman - Contagem de Gibbs - Transformada de Laplace das Funções e Potenciais Termodinâmicos - MultiFractais A Fisica dos Fractais e a Teoria da Dissipação - Função de Dissipação - Padrões Geométricos formados em Fenômenos Dissipativos - Fractais Geométricos, Dinâmicos, e Termodinâmicos Teoria Fractal - Caracterização Fractal Proposta da Modelagem Fractal Ossea 2

3 MECÂNICA CLÁSSICA Mecânica das Partículas (Discreto) 1a Lei de Newton N p mv p miv i i1 2a Lei de Newton 3a Lei de Newton F N dp dp i F F dt açao F i1 reação dt 3

4 MECÂNICA DO CONTíNUO NUO Mecânica dos Sólidos e Fluidos Equação de Movimento f. P d v dt Leis Constitutivas : Sólido e Fluido.v v 4

5 Diagramas de Tensão Deformação Comportamento: Elástico (Lei de Hooke), Plástico e Viscoso 5

6 Espaço Dual e Grandezas Complementares Tensao X Deformação U 1 1 E 2 2 Deformação X Tensão ???? 6

7 TERMODINÂMICA 1a Lei: Balanço de Energia Q W du 2a Lei: Entropia Q T 0 ds 0 Total 3a Lei: Calor Específico dq lim 0 T 0 dt 7

8 Grandezas Termodinâmicas Extensivas: dependem do tamanho ou extensão do sistema Ex: Energia, Entropia, Numero de Partículas Intensivas: Não dependem do tamanho ou extensão do sistema Ex: Temperatura, Pressão, Potencial Químico U, S, V, N T, P, 8

9 Teorema de Euler para as Funções Homogêneas em Escala l o df X k n F X k1 k dx k L o l o l o L o L o Condição de Homogeneidade F n n F X k X k k 1 X k F F dm M du U ~ ; X X dv V dv V k x 9

10 Equação de Euler e Equação Gibbs-Duheim Formalismo da Energia U ( S, V, N) TS PV N Formalismo da Entropia 1 P S( U, V, N) U V N T T T Equação de Gibbs- Duheim SdT VdP Nd 0 10

11 Espaço Dual e Grandezas Complementares Formalismo da Energia Formalismo da Energia S U T F U TS 11

12 Motivação para o Surgimento dos Potenciais Termodinâmicos Ciclo de Carnot: Maximização da Eficiência Duas Isotermas e Duas Adiabáticas no Diagrama PV Maximização do Trabalho Energia Útil 12

13 Potenciais Termodinâmicos ou Energias Livres de: Helmholtz Entalpia Gibbs F U TS PV N H U PV TS N G U TS PV N G H TS 13

14 Transformada de Legendre Descreve os Fenômenos utilizando as derivadas das Funçõe Extensivas o que equivale as Grandezas Intensivas U S T ; V P S U V 14

15 Grandezas Uteis na Descrição de Processos Termodinâmicos Helmholtz: Processo Isotérmico Entalpia: Processo Isobárico Gibbs: Isotérmico e Isobárico Mudanças de Estado U F U S S U H U V V U U G U S V S V 15

16 MECÂNICA ESTATÍSTICA STICA N p mv p mivi i1 F N dp F dt ~ N i1 dp dt particulas i 16

17 Mecânica das Particulas X Termodinâmica Como relacionar as Grandezas Termodinâmicas com as Leis Fundamentais da Mecânica das Particulas? Discreto X Contínuo 17

18 Micro e o Macro Cosmo Densidade de Estados X Entropia 18

19 Entropia X Densidade de Estados Relação de Boltzmann-Planck 19

20 Microscópico para Macroscópico Termodinâmica : Transformada de Legendre U U F U S H U V S V Mecânica Estatistica Transformada de Laplace E / KT p e S k ln Z F / KT E / KT Z e ou U Ee d 20

21 Espaço de Fase Uma Partícula Sistema de Partículas 21

22 Espaço de Fase Uma particula Sistema de Partículas 22

23 Fractais Matemáticos ticos no Espaço das Fases 23

24 Definição de Fractais FRACTAIS: são objetos geométricos autoinvariantes por transformação de escala que possuem dimensão fracionária Invariância por Transformação de Escala - (partes semelhantes ao todo). = l o /L o (fator de escala) que pode ser por: AUTO-SIMILARIDADE ou AUTO-AFINIDADE. (Ex. um Pinheiro) (Ex. uma Trinca) A Extensão do Objeto, M d, depende do tamanho da régua de medida utilizada, L o, isto é, M d () = M do d-d se D = d M d () = M do. 24

25 Invariância por Transformação de Def: Partes Semelhantes ao Todo Exemplo: Pinus Escala Outros Exemplos: Nuvens, Trincas, Cristais de Gelo, Rochas, Rios, Cidades, etc (Niveis Hierárquicos de Estruturas) 25

26 Estrutura Fractal Caracteristicas: Apresenta vazios na Estrutura Dimensão Fracionária Invariância por Transformação de Escala 26

27 Comparação entre Geometrias Euclidiana de Formas Regular Fractal de Formas Irregulares 27

28 Dimensões de Excesso e de Falta Excede a um Ponto mas não é uma Reta Excede a uma Reta mas não é um Plano Excede a um Plano mas não é um Sólido d D d 1 Perspectivas de Visualização falta D D ( d 1) excesso D D d 28

29 Para que servem na Prática? Servem para se Descrever Matematicamente Estruturas Irregulares, que a Geometria Euclidiana dos Elementos Básicos: Ponto, Reta, Plano e Espaço não é capaz Modelagem Geométrica Geometria Regular Geometria Irregular 29

30 Fenômenos Fractais 30

31 Relaçõe Matemáticas ticas Fractais Tudo sai da Modelagem Geométrica da Estrutura Fractal Probabilidade local ou peso estatístico Função de Partição p e q q e q Expoente de Massa Fractal q f q 31

32 Relação Fractais e Termodinâmica Termodinâmica Fractal Termodinâmica Clássica Funções Geométricas Fractais Funções e Potenciais Termodinâmicas 32

33 Padrões de Dissipação Encontrados na Natureza Geometrias Otimizadas para os Processos de Dissipação 33

34 Fractais Naturais 34

35 Conclusão Visto que há uma relação direta entre as Grandezas Fractais e os Potencias Termodinâmicos. Portanto, a modelagem e a caracterização geométrica fractal podem fornecem informações importantes a serem utilizados nos modelos de Remodelação Óssea, Osseointegração, Fratura Óssea, etc. Todas as grandezas Extensivas e Intensivas que dependem da geometria Óssea podem utilizar a relação de Volume Ósseo nos Modelos Fenômenos de Evolução DInâmica podem utilizar a Derivada do Volume no tempo 35

36 Agradecimentos Muito Obrigado a Todos! Vamos Trabalhar e Trabalhar Medir, Calcular, Modelar para para Publicar Tem muito pano para Manga 36

37 Referências Bibliográficas 37