Capítulo II: MECÂNICA DO CAMPO CONTÍNUO DE POTENCIAIS GENERALIZADOS SEM IRREGULARIDADES. Capítulo II

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1 Capítulo II MECÂNICA DO CAMPO CONTÍNUO DE POTENCIAIS SUMÁRIO MECÂNICA DO CAMPO CONTÍNUO DE POTENCIAIS GENERALIZADOS SEM IRREGULARIDADES... 1 MECÂNICA DO CAMPO CONTÍNUO DE POTENCIAIS GENERALIZADOS SEM IRREGULARIDADES Objetivos do Capítulo Introdução As Leis de Newton para o Meio Discreto (Partículas e Sistema de Partículas) ª Lei de Newton ª Lei de Newton ª Lei de Newton A Hipótese do Contínuo Transformação do Discreto para o Contínuo i) Massa (Lei de Conservação da Massa) ii) Momento Linear (1ª Lei de Newton para o Meio Contínuo) iii) Força (2ª Lei de Newton para o Meio Contínuo) iv) Forças de Ação e Reação (3ª Lei de Newton para o Meio Contínuo) Grandezas, Densidades ou Potenciais Generalizados Densidades ou Potenciais Generalizados (em termos da Geometria Euclidiana) Densidade ou Potencial Generalizado para o Potencial Escalar: O Calor Densidade ou Potencial Generalizado para o Potencial Vetorial: A Deformação Elástica Densidade ou Potencial Generalizado para o Potencial Vetorial: A Massa Fluida Taxas Generalizadas (em termos da Geometria Euclidiana) Conservação de uma Grandeza Generalizada e a sua Derivada Material Fluxos Generalizados (em termos da Geometria Euclidiana)

2 2.8.1 Fluxo Generalizado de Massa Equações Diferenciais e Integrais Básicas da Mecânica dos Meios Contínuos Teorema de Gauss e Teorema do Transporte de Reynolds para o Fluxo de uma Grandeza G Teorema da Divergência O Teorema da Divergência a partir da Derivada Material de uma Grandeza O Teorema da Divergência Generalizado O Divergente e os Teoremas Correlatos Leis Fundamentais Básicas da Mecânica dos Meios Contínuos Equação da Continuidade para o Potencial Generalizado Equação da Continuidade e Conservação da Massa Equação do Movimento Generalizada para a Mecânica dos Meios Contínuos Equações da Quantidade de Movimento Equação Constitutivas dos Potenciais Generalizados em termos da Geometria Euclidiana Fenomenologias da Mecânica do Contínuo descritas no Espaço Euclidiano O Fluxo de Generalizado,, através de uma Superfície A Equação de Distribuição do Potencial Escalar Generalizado e a Densidade Volumétrica Associada Equação do Potencial Generalizado em termos da Geometria Euclidiana Equação Constitutiva para o Fluxo do Potencial Escalar (Fluxo de Calor nos Sólidos Lei de Fourier) Equação de Distribuição do Potencial Escalar Generalizado para a Teoria do Calor Exercicicos e Problemas Referências Bibliográficas

3 Capítulo II MECÂNICA DO CAMPO CONTÍNUO DE POTENCIAIS RESUMO Neste capítulo será visto a fundamentação matemática básica da teoria do campo escalar, vetorial e tensorial em um meio material regular, onde desenvolvemos o cálculo analítico das equações dos fluxos em termos dos volumes, das superfícies e dos contornos sem a presença da irregularidades no contorno e da porosidade no domínio geométrico do problema Objetivos do Capítulo i) Apresentar a transição da Mecânica de Newton do Discreto para a Mecânica do Contínuo. ii) Estabelecer a conexão entre o Meio Discreto e o Contínuo. iii) Estabelecer as transformações das equações do meio discreto para o contínuo iv) Descrever a Mecânica do Continuo Clássica apresentando os conceitos e os teoremas fundamentais, as principais equações diferenciais e integrais básicas de potencial, fluxo e continuidade. v) Obter a partir das leis de Newton da Mecânica a Equação de Movimento de um Meio Contínuo sem irregularidades. vi) Fundamentar os resultados desta teoria para se fazer uma ampliação dos conceitos utilizados neste capítulo com a presença de porosidade do volume e rugosidade das superfícies. 3

4 2. 2 Introdução Embora os primórdios de um estudo da mecânica dos corpos e das partículas datam desde a Grécia antiga com os trabalhos de Aristóteles, uma descrição consistente de uma equação de movimento para partículas e corpos sólidos iniciou-se com os trabalhos de Galileu, seguido por Newton, seguido por Leibnitz e Lê Chatelier. Após inúmeros desenvolvimentos matemáticos que levaram em conta o sistema de coordenadas utilizados na descrição de um movimento, D Alambert, Euler e Lagrange também obtiveram as mesma equações de Newton, na sua forma generalizada, utilizando princípios variacionais. Estas equações passaram a se chamar de equações de Euler-Lagrange. O desenvolvimento matemático realizado até então, demonstrou que determinados princípios gerais estão subtendidos no movimento de corpos e partículas, entre eles o princípio da mínima ação. Gibbs e Onsager estenderam as generalizações da mecânica de Euler-Lagrange para leis de fluxos na termodinâmica de processo irreversíveis incluindo a formulação do contínuo. A transição da Mecânica Clássica para a Mecânica do Contínuo se deu graças ao estudo dos corpos deformáveis onde se aplicou os princípios utilizados na Mecânica das Partículas Discretas extendo-as para o Campo Contínuo. Uma generalização análoga as equações de Euler-Lagrange foi feita por Elsheby na qual o tensor de Elsheby-Rice foi pela primeira vez obtido. Para se iniciar uma descrição matemática do problema do movimento de uma partícula, pode-se optar pela linha histórica ou cronológica dos desenvolvimentos que se seguiram desde Aristóteles até a idade moderna com Laplace, Poincaré, Lorenz, etc, ou optar pela linha de descrição conceitual que se inicia com o conceito de momento linear, energia, ação, etc. Contudo, o surgimento desses conceitos mais fundamentais como o de ação, momento linear, energia, e de lagrangeano só apareceram muito tempo depois do desenvolvimento inicial dado por Newton. Desta forma, tanto a linha histórica e cronológica do desenvolvimento da mecânica parecem ter suas vantagens e desvantagens. Portanto, vamos procurar mesclar as duas linhas de descrição de forma a se obter uma ascendência linear no desenvolvimento do raciocínio lógico que deu origem a mecânica. 4

5 2. 3 As Leis de Newton para o Meio Discreto (Partículas e Sistema de Partículas) Vamos iniciar esta secção apresentando a descrição do movimento de uma partícula a partir da postulação das três Leis de Newton, mas sem fazer quaisquer considerações sobre a sua origem matemática ou histórica. Em resumo as três leis de Newton se baseiam na conservação das grandezas: massa, momento e energia e podem ser formalizadas nas seguintes expressões matemáticas para o caso do movimento discreto de um sistema de partículas ou do centro de massa de um corpo rígido, conforme mostra a Figura ª Lei de Newton A primeira lei está relacionada com o estado de movimento (massa e velocidade) e estabelece um princípio de inércia a partir do qual nenhum corpo inicia ou cessa seu estado de movimento sem que sobre ele atue uma força. Observe que para enunciar este principio recorreu-se ao conceito de estado de movimento, o qual pode ser representado pela seguinte expressão: p mv (2. 1) Nesta equação (2. 1) a letra p representa o momento linear da partícula, e m a massa e v a sua velocidade. Também devemos observar que o princípio da inércia admite também a existência de um outro conceito, o de força, cuja relação com o momento linear é dado pela chamada 2ª lei de Newton: ª Lei de Newton A segunda lei proposta por Newton está relacionada a conservação do momento linear e essa proposição feita por Newton estabelece-se que a força resultante que atua sobre um determinado corpo ou partícula possui um valor dado pela derivada temporal do momento linear resultante do sistema, de acordo com a seguinte expressão: dp F (2. 2) Esta expressão constitui-se de fato em uma equação de movimento, considerando-se os 5

6 conceitos anteriormente estabelecidos ª Lei de Newton A terceira está relacionada a conservação da quantidade de movimento e esta última proposição considera-se que as forças atuantes sobre os corpos possuem sua origem nos campos (como o campo gravitacional, elétrico, magnético, etc) e nos contatos entre superfícies (forças de pressão, choques ou colisões, etc). Neste sentido a complementaridade das forças que atuam a partir de um mesma linha de ação, segue o seguinte postulado: Quando corpos são submetidos a forças, estas possuem ação e reação iguais e opostas e de mesma intensidade que não se anulam entre-si, porque atuam em corpos diferentes, ou seja: F ação F reação (2. 3) Esta proposição também está relacionada com a interação entre corpos que pode se dar por campo ou por contatos. Esta distinção ficará mais clara e útil no contexto da mecânica do contínuo quando se utilizar o Princípio de Pascal. Neste ponto é preciso ressaltar a diferença da natureza desses dois tipos de interação que dão origem as forças de campo e de superfície (geradas pelo contato, pressão, colisão, etc). Portanto, para uma descrição mais acurada do movimento de um corpo ou partícula, deve-se distinguir na equação (2. 2) a natureza das força de campo e de superfícies da seguinte forma: dp Fc Fs (2. 4) Esta distinção ficará mais clara e útil no contexto da mecânica do contínuo quando se utilizar o Princípio de Pascal. A aplicação das leis de Newton ganhou grande abrangência na física e na engenharia pela sua capacidade de explicar uma variedade enorme de fenômenos mecânicos que vão desde o movimento de partículas, corpos celestes até sólidos e fluidos. Neste último contexto essas leis obtiveram uma nova roupagem matemática que se iniciou com a hipótese do contínuo. 6

7 Figura Movimento descrito pelas Leis de Newton para o caso discreto a) um sistema de partículas; b) o centro de massa de um corpo rígido A Hipótese do Contínuo 7

8 A hipótese do contínuo assume que os materiais, sólidos e fluidos (que podem ser líquidos ou gases), são distribuídos continuamente pela região de interesse do espaço, isto é, tanto um quanto o outro, no caso sólido ou fluido, por exemplo, são tratados como um meio contínuo sem recorrer a uma descrição atomística discreta. Consideremos um material sólido formado por átomos como um metal, por exemplo. O espaço percorrido por um elétron entre duas colisões consecutivas com o núcleo dos átomos é chamado de caminho livre médio, l, (Figura ). Figura Caminho livre médio, l, entre duas colisões consecutivas de um elétron com os núcleos de um sólido atômico. Consideremos o caso onde o caminho livre médio, l, é da mesma ordem de grandeza do volume de controle, L, isto é, L l. Neste caso, os fenômenos físicos existentes não fazem parte do âmbito da Mecânica do Contínuo ( 1 ) e sim da Mecânica Estatística. Contudo, se o caminho livre médio( 2 ), l, entre duas colisões consecutivas for muito menor do que a extensão física do volume de controle considerado, L, ou seja, quando L >> l, a ciência capaz de tratar os fenômenos envolvidos neste volume de observação é a Mecânica do Contínuo. Por exemplo, para os gases, o caminho livre médio é aproximadamente 10-7 mm. Logo, qualquer volume de controle da ordem de milímetros está dentro do intervalo de conceituação dada pela Mecânica do Contínuo. Portanto, a propriedade usada para determinar se a idéia de contínuo é apropriada, ou não, é a massa específica, ou densidade,, definida por: 1 Teoria do Calor, Mecânica dos Sólidos ou Fluidos 2 alguns livros trazem os termos livre caminho médio, caminho médio livre de colisões, que são todo equivalentes 8

9 m lim (2. 5) V V 0 Onde, m, é a massa incremental contida no volume, incremental, V. Isto significa que a densidade do sólido contido neste volume sofre flutuações desprezíveis para a descrição matemática da Mecânica do Contínuo de tal forma que esta pode ser calculada pela equação (2. 5). Figura Hipótese do contínuo para o limite infinitesimal do volume de controle de um fluido. a) Medida da densidade em um ponto. b) Variação desta medida com o volume considerado. Fisicamente não se pode fazer V 0, já que, quando V fica extremamente pequeno a massa contida nele varia descontinuamente de pendendo do número de átomos em V. Na prática, existe um volume pequeno abaixo do qual a idéia de contínuo falha, como pode-se ver na Figura , pois abaixo desse volume,, tem-se um valor no qual as distâncias lineares são da ordem do livre caminho percorrido pelas moléculas. Sendo assim, a hipótese do contínuo é válida quando tem-se, L 9 l, ou seja, a distância linear (L) é maior que o livre caminho médio ( l ) como já foi dito anteriormente, e não é válida para L l. Conforme o gráfico da Figura , a partir do ponto A entramos na região de domínio da Mecânica do Contínuo, onde não depende mais da escala de observação do volume de controle, ou seja, esta é a condição de continuidade da matéria. Nesta figura mostra-se como uma medida é aceitável dentro da hipótese do contínuo. Termodinamicamente falando este volume equivale àquele que contém um mínimo de partículas, pois coincide com o limite termodinâmico, veja por exemplo, a representação mostrada na Figura a. O limite superior da hipótese do contínuo, para acima do qual não é válida, é o

10 tamanho do próprio sistema que está sendo analisado, pois se analisarmos uma grandeza com dimensões maiores que o tamanho do sistema este se torna insignificante. Por exemplo, assumindo-se um rio como um sistema fluido, se for tomado um volume suficientemente pequeno, abaixo de, teremos L l e assim, a hipótese do contínuo não é válida. Porém, se tomarmos um volume muito grande para analisar o sistema fluido rio, como o planeta terra, por exemplo, como se estivéssemos sobrevoando-o em um avião a grande altitude, observando a terra, o rio será considerado e visto como uma linha e não como um fluido em movimento Transformação do Discreto para o Contínuo 10

11 A transformação da descrição matemática da Mecânica das Partículas para a Mecânica do Contínuo, se dá quase que naturalmente com o surgimento do conceito de densidade generalizada ou grandeza específica. Esse conceito é dado pela quantidade de uma determinada grandeza contida em um volume infinitesimal do contínuo, ou seja, para o caso de um meio onde vale a hipótese do contínuo, precisamos transformar as grandezas de partículas discretas em densidades que serão, nada mais nada menos, que suas respectivas grandezas por unidade de volume. A transição da forma matemática das leis de Newton do caso discreto para o contínuo é feito por meio das seguintes transformações matemáticas, de massa, momento linear, força, etc: m dm p dp p F df. (2. 6) : d onde utiliza-se as respectivas densidades generalizadas. F dm m : massa dp p p : momento df F F f : força. : d : outras (2. 7) De forma análoga a transformação matemática da massa em densidade de massa, a transformação do momento linear segue o mesmo raciocínio dessa transformação, ou seja, a densidade de momento corresponde a quantidade de momento contida em um volume infinitesimal do contínuo. Por último, a equação de movimento segue das transformações anteriores em que a densidade de forças é dada pela variação temporal da densidade dos momentos lineares. A escala necessária para que essa transição seja válida é mostrada esquematicamente na Figura

12 i) Massa (Lei de Conservação da Massa) Logo a transformação matemática destas grandezas fica estabelecida como: dm m. (2. 8) onde, ii) Momento Linear (1ª Lei de Newton para o Meio Contínuo) De forma análoga a transformação do momento linear segue o mesmo raciocínio da transformação da massa, ou seja, a densidade de momento corresponde a quantidade de momento contida em um volume infinitesimal do contínuo, ou seja: dp p m mv. (2. 9) iii) Força (2ª Lei de Newton para o Meio Contínuo) Por último a equação de movimento segue das transformações anteriores em que a densidade de forças é dada pela variação temporal da densidade dos momentos lineares. F R dp df fr. (2. 10) onde Logo d dp d dp. (2. 11) f d v. (2. 12) R iv) Forças de Ação e Reação (3ª Lei de Newton para o Meio Contínuo) Naturalmente tem-se que a densidade de força de ação ( f ij ) possui mesma 12

13 intensidade e sinal oposto a força de reação ( F ij ji ij f ji ), da seguinte forma: F f f. (2. 13) ji ou f ação f reação. (2. 14) 23 Figura Relação entre tamanho de um corpo continuo com 10 átomos e uma partícula do continuo no interior do corpo com átomos resultando em uma escala de 1:10 do corpo Grandezas, Densidades ou Potenciais Generalizados 13

14 Na secção anterior vimos a definição de várias densidades as quais serão chamadas de densidades generalizadas : densidade de massa : densidade de momento (2. 15) f : densidade de força ρ : outras densidades e podem ser generalizadas da seguinte forma: Como conseqüência da hipótese do contínuo, nós devemos transformar as grandezas da Mecânica Clássica e da Mecânica dos Sólidos, etc. em densidades generalizadas, fazendo as grandezas originais se tornarem em grandezas por unidade de volume. Desta forma, uma grandeza m, p, F, U, etc qualquer tipo de grandeza ( 3 ) que deverá ser transformada na sua respectiva densidade da seguinte forma: lim. (2. 16) V 0 V esta densidade pode ser utilizada para definir uma densidade generalizada. Logo podemos escrever: d d dm d. (2. 17) dm dm Observe que de forma geral a densidade generalizada depende da densidade de massa do meio e da relação da grandeza com a massa do elemento de infinitesimal de volume que a contém. 3 Essa grandeza possui uma natureza geral que podem ser número de partículas, N, massa, m, momento linear, p, carga elétrica, q, Força, F, Energia, U, calor, Q, U entropia S, Potencia, P, etc) respectivamente, que podem ser grandezas escalares, vetoriais, tensoriais, como os tensores de tensão, Polarização P, etc. ou seja qualquer outro tipo de grandeza matematizável. 14

15 Densidades ou Potenciais Generalizados (em termos da Geometria Euclidiana) Para a descrição das grandezas físicas as quais foram historicamente generalizadas no contexto da Mecânica do Continuo e da Termodinâmica, vamos utilizar como base a geometria euclidiana. Dentro desta geometria o sistema de coordenadas adotado será o sistema cartesiano, podendo ser utilizado o sistema de coordenadas curvilíneo que se fizer necessário e adequado à descrições que se seguirem. Dentro da Mecânica do Contínuo define-se uma densidade generalizada de uma grandeza, em termos da geometria euclidiana, associada ao meio e a essa grandeza, como sendo: Onde é a densidade generalizada pode ser rescrita como: d ρ o. (2. 18) o ρ o d d dm. (2. 19) dm o o logo ρ o d Mo. (2. 20) dm onde M é a densidade de massa ou a massa especifica. O uso de densidades generalizadas ficará claro quando invocarmos a equação da continuidade. Para título de ilustração exemplificaremos o cálculo da densidade generalizada para o fluxo de calor, para o fluxo de deformações elásticas e para o fluxo de massa fluida. 15

16 2.6.2 Densidade ou Potencial Generalizado para o Potencial Escalar: O Calor temos: Definindo a densidade volumétrica de calor em termos da geometria euclidiana onde esta densidade generalizada para o calor é dada por: ou onde é a densidade de massa ou a massa especifica. dq Qo. (2. 21) o o dq dq dm Qo. (2. 22) dm o dq Qo mo. (2. 23) dm Para calcular o termo que falta, podemos determiná-lo pela definição do calor específico, de onde sabemos que: Q mct (2. 24) e m é a massa do corpo c é o calor específico a pressão constante. Logo Retornando (2. 25) em (2. 23) temos: dq ct. (2. 25) dm T. (2. 26) Q mo c Observe que a densidade generalizada do fluxo de calor é uma grandeza escalar e possui dimensão de unidade de energia por unidade de volume. 16

17 2.6.3 Densidade ou Potencial Generalizado para o Potencial Vetorial: A Deformação Elástica A densidade volumétrica generalizada de energia sob a forma de deformação é dada pela transferência de momento na deformação elástica cuja densidade generalizada termos da geometria euclidiana é pode ser expressa como: du uo. (2. 27) o ou ou du du dm uo. (2. 28) dm o o du uo mo. (2. 29) dm onde é a densidade de massa ou a massa especifica. Sendo a quantidade de momento linear transmitido pelas deformações dadas por: du U mc (2. 30) e m é a massa da deformação do corpo c é uma constante de acoplamento elástico. Mas a taxa de deformação pode ser escrita como: logo, substituindo (2. 31) em (2. 29) temos: considerando a constante c 1 temos: du du c (2. 31) dm du uo mo c. (2. 32). (2. 33) uo mo u A densidade generalizada de energia de deformação 17 uo possui caráter vetorial e

18 sua dimensão é dada em momento linear por unidade de volume Densidade ou Potencial Generalizado para o Potencial Vetorial: A Massa Fluida temos: Definindo a densidade volumétrica de momento em termos da geometria euclidiana dp po. (2. 34) o onde esta densidade generalizada para fluido. A densidade de energia sob a forma de taxa de deformação é dada pela transferência de momento na deformação do fluido cuja densidade generalizada é dada por: dp dp dm po m dm. (2. 35) o o ou dp po mo. (2. 36) dm onde mo é a densidade de massa ou a massa especifica do fluido. Para calcular o termo que falta podemos determiná-lo pela definição do momento de uma partícula. p mv (2. 37) e m é a massa do corpo. Logo dp v. (2. 38) dm Retornando (2. 38) em (2. 36) temos:. (2. 39) po m v Esta densidade generalizada de momento linear possui caráter vetorial de forma semelhante a densidade volumétrica de força que é uma grandeza de força bem conhecida da Mecânica do Contínuo. 18

19 2. 7 Taxas Generalizadas (em termos da Geometria Euclidiana) Na natureza algumas grandezas dinâmicas podem ser representadas por meio de taxas e fluxos generalizados. Entre eles está a taxa e o fluxo de massa, o fluxo de calor, o fluxo de momento linear, etc., que atravessa um corpo, por exemplo. Definimos a taxa de uma determinada grandeza como sendo: d. (2. 40) a derivada temporal de uma grandeza define uma grandeza chamada de derivada material no contínuo a qual é descrita a seguir: Conservação de uma Grandeza Generalizada e a sua Derivada Material A quantificação de uma grandeza, G, de um meio contínuo deve levar em conta o volume na qual esta grandeza se encontra sob controle. Normalmente ao se deslocar de um ponto a outro um meio contínuo pode-se sofrer variação de volume, mas a grandeza G como um todo pode permanecer constante, se o sistema não for dissipativo. Contudo, em relação a uma região delimitada do espaço, denominada volume de controle, esta grandeza G pode está variando e por isso torna-se necessário equacioná-la de forma a saber quanta dessa grandeza atravessa (chega e sai) por unidade de tempo, conforme mostra a Figura Logo, de uma forma geral, se G G x, y, z, t temos: dg ( x, y, z) G x G y G z G x t y t z t t (2. 41) ou dg G G G G v v v x y z t x y z (2. 42) Simplificando temos: dg G v. G t (2. 43) Transpote Local Portanto, vamos considerar a derivada material de qualquer grandeza generalizada, 19

20 denominada, Capítulo II: MECÂNICA DO CAMPO CONTÍNUO DE POTENCIAIS G. Esta expressão é absolutamente geral para as grandezas G = Q (calor), q (carga elétrica), C (concentração), p (momento), etc. e suas respectivas densidades,, de, calor, carga elétrica, concentração, momento, etc. Figura Volume e superfície de controle na qual atravessa uma massa fluida, dm =, em um intervalo infinitesimal de tempo,, com velocidade, v. De forma análoga, vamos considerar a derivada material de qualquer grandeza generalizada, denominada, G, como sendo dada por: dg G v. G t (2. 44) Definido-se a grandeza G como sendo da por meio de uma densidade generalizada,, temos: G ρ (2. 45) V A equação (2. 43) torna-se: d V ρ v. G t ρ V (2. 46) Esta expressão é absolutamente geral para as grandezas G = Q (calor), q (carga elétrica), C (concentração), p (momento), etc. e suas respectivas densidades,, de, calor, carga elétrica, concentração, momento, etc. 20

21 2. 8 Fluxos Generalizados (em termos da Geometria Euclidiana) infinitesimal, De forma geral o fluxo de uma grandeza generalizada que atravessa uma área da o, em um intervalo infinitesimal de tempo,, é definido como: o d d d. (2. 47) da da o O sobrescrito o indica que a geometria considerada é a geometria euclidiana regular. o Esta grandeza,, é de natureza geral e pode ser um escalar (massa M, carga elétrica q, calor Q, energia U entropia S, etc ) ou um vetor (momento p, velocidade v, etc.) ou um tensor (tensão, Polarização P, etc.). O sobrescrito o indica que a geometria considerada é a geometria euclidiana regular. Seja euclidiana sem rugosidade, onde o o fluxo generalizado da grandeza que atravessa uma superfície A o é a área de projeção euclidiana que o fluxo o atravessa. Mantendo-se a relação entre as taxas temporais da grandeza inalterada, a equação (2. 47) pode ser reescrita como: d o da o. (6. 1) Tomando a derivada volumétrica dos dois lados da equação (2. 92) temos: d d d d o A o. (6. 2) dependendo da natureza da grandeza temos a seguinte consideração geral a fazer. Pode-se definir de forma absolutamente geral que, o lado direito da equação (2. 93) corresponde a uma operação sobre o fluxo o. Como este fluxo é de natureza tensorial generalizada e ele pode ser também uma grandeza escalar, ou um vetor, vale ressaltar que: ou x i d odao (6. 3) o 21

22 ijk... x i d S ijk... n da i (6. 4) observe que a operação do lado esquerdo de (2. 94) envolve uma somatória (índices repetidos notação de Einstein) que pode ser representado de forma mais direta pelo operador nabla. A natureza da operação de nabla sobre o campo d. o odao (6. 5) o dependerá da sua natureza tensorial. Pois se este pode ser um escalar (tensor de ordem zero), um vetor (tensor de ordem um) ou um tensor como usualmente conhecemos. Logo, teremos: div div o d d o da o ( o odao ( o : Tensor Vetor) o : Vetor Escalar). (6. 6) Aqui é importante observar como o Teorema de Gauss pode ser escrito a partir de (2. 92) em termos de volumes, como: ijk... V x i S ijk... n da i (6. 7) onde i,j,k,...= 1,2,3.. Definindo-se o divergente como sendo a seguinte operação matemática aplicada a grandeza escalar, : d d. o. (6. 8) o Aqui é importante observar como o teorema da divergência pode ser escrito a partir de (2. 92) em termos de volumes, como: e conseqüentemente o teorema da divergência. o d. o odao. (6. 9) 22

23 o da o.. (6. 10) o o Substituindo (6. 10) em (2. 92) temos: d. o o. (6. 11) Trocando a ordem das derivadas (6. 8) podemos escrever: d d. o. (6. 12) o Retornando a equação (6. 12) temos a equação da continuidade definida para várias fenomenologias nas geometrias euclidiana regular: d. o o. (6. 13) Note que para esse caso particular de ser uma grandeza escalar chegamos ao resultado (6. 13). Contudo, se quisermos generalizar o resultado podemos escrever: dρ. o o (6. 14) A conclusão que podemos tirar deste resultado é que para cada fluxo existe um potencial ou densidade generalizada associado por uma operação diferencial no sistema de coordenadas no qual as grandezas são descritas Fluxo Generalizado de Massa O primeiro fluxo a ser considerado é o fluxo de massa a partir de (2. 47) usando a regra da cadeia podemos escrever: ou m dm d dm. (2. 48) da da o 0 m da 0 0 o d dm. (2. 49) 23

24 d. (2. 50) 0 m 0 da o onde / é uma espécie de vazão. Logo, d d. (2. 51) m da o dao como a densidade não depende da área temos: então mas 0 da. dx o d 0. (2. 52) da o d. (2. 53) 0 m da o Figura Fluxo de massa atravessando uma região infinitesimal do espaço com volume e área superficial da. Logo, m. d dao dx. (2. 54) da o de forma óbvia, temos que: 24

25 m dx. (2. 55) ou finalmente v. (2. 56) m m observe que o fluxo de massa é igual ao escoamento ou a densidade de momento definidos anteriormente. Fluxo Generalizado Densidade Associada. Velocidade Associada. (2. 57) Concluímos que para alguns casos o fluxo de massa equivale a densidade de momento ou a taxa de escoamento. Observe que sempre haverá uma relação entre fluxos de uma grandeza com a densidade associada. 25

26 2. 9 Equações Diferenciais e Integrais Básicas da Mecânica dos Meios Contínuos Teorema de Gauss e Teorema do Transporte de Reynolds para o Fluxo de uma Grandeza G Para derivar as equações que governam o escoamento de um meio contínuo compressível, nós precisamos considerar integrais de qualquer função de posição e tempo ( r, t) sobre um volume de meio contínuo. Este volume se moverá com o meio contínuo mas consiste das mesmas partículas. Tal volume é chamado de um volume material e será denotado por V (t). Logo, considerando-se a grandeza G como sendo da por meio de uma densidade generalizada,, temos: G ( t) ρ r, t V ( t ) (2. 58) A qual define a função de t. O teorema de transporte de Reynolds s nos diz como calcular a derivada de G ( t ) em relação ao tempo. dg t d V ( t ) r, t (2. 59) Note que por causa do volume V(t) variar com o tempo e mover-se com o meio contínuo, não é possível tomar a derivada sob o sinal de integração, Contudo, é necessário usar a derivada material de G ( t ). Portanto o teorema pode ser escrito como: d ρ v. ρ ρ t V V V (2. 60) A equação (2. 43) torna-se: d ρ ρ r, t vρ t V ( t ) V ( t ) (2. 61) Onde v é a velocidade da partícula fluida. Retornando a derivada material dada em (2. 43) podemos escrever a versão integral desta equação. Para realizarmos este cálculo devemos considerar o fato que sendo 26

27 dg ρ, onde ρ é a densidade associada a grandeza, logo: Tomando o primeiro termo do lado direito de (2. 60) temos: v. G ρ. v V (2. 62) Passando o operador gradiente para dentro da integral, temos: v. G v v v. ρ ρ ρ V V (2. 63) Mas = dxdydz, logo: v. G ρ v ρ v ρ v x x x V (2. 64) Então v. G ρ v dydz ρ v dxdz ρ v dxdz V (2. 65) Logo v. G. ˆ. ˆ. ˆ ρ v nxdydz ρ v nydxdz ρ v nzdxdy S (2. 66) Ou Portanto v. G.. ˆ.. ˆ. ˆ ρ v nxdax ρ v nyday ρ v nzdaz S v. G ρ v. da S (2. 67) (2. 68) Por outro lado, tomando o segundo termo do lado direito de (2. 43) ou (2. 60) temos que a taxa de variação temporal de G é: G ρ t t t V ρ (2. 69) V Substituindo de volta (2. 68) e (2. 69) em (2. 43) temos que: 27

28 dg S ρ v. da V ρ t (2. 70) Aplicando o teorema (2. 68) a equação (2. 61) ou substituindo de volta (2. 58), (2. 68) e (2. 69) em (2. 43) nós obtemos a seguinte forma equivalente do teorema de transporte: d ρ, ρ. ρ r t v nda V ( t) S ( t ) V ( t ) t (2. 71) Onde S (t) é a superfície de V (t) e nˆ é o vetor unitário normal dirigido para fóra de S (t). Fisicamente, a equação (2. 71) estabelece que a taxa de variação da integral de ρ r, t ρ r, t sobre uma região fixada mais a é igual a integral da taxa de variação de resultante do fluxo de através da superfície S (t). O resultado permanece para qualquer função escalar, vetorial ou tensorial. Chamando de ρ v ao fluxo de massa que atravessa a superfície do volume de controle temos o seguinte resultado geral: dg S. da V ρ t (2. 72) Figura Volume e superfície de controle nos quais atravessam um fluxo,, de uma grandeza G, compressível, em um intervalo infinitesimal de tempo,, com velocidade, v. Para o caso em que a grandeza total se conserva, ou quando o volume de controle não envolve a fonte de massa, temos que dg / 0, logo S ρ. da 0 t V (2. 73) 28

29 Esta equação diz que quando a massa é constante, o que o fluxo de uma grandeza, G que atravessa a superfície é igual a variação de massa no seu volume de controle Teorema da Divergência Vamos agora definir, assim como o gradiente, um novo operador diferencial que ajudará muito na solução de problemas de fluxo de massa e energia. Na verdade, a interpretação física deste operador é que ele determina qual é a fonte do campo, isto, se o volume de controle inclui essa fonte nos cálculos. Portanto, a partir de (2. 68) vamos tomar a derivada em relação ao volume desta grandeza de tal forma que: d( v. G ) d ρ S v. da (grandeza intensiva) (2. 74) A qual chamaremos de divergente da grandeza escalar (x,y,z,t) definida por: v. G ρ v. da (vazão) S (2. 75) Como ρ (fluxo) (2. 76) v Logo (x,y,z,t) pode ser escrito como: S. da (2. 77) Podemos chamar de divergente de logo a equação: d. lim (2. 78) V 0 V d.. da S (2. 79) Do qual podemos escolher o volume do cálculo do divergente coincidente com o volume de controle da área utilizada no cálculo da vazão, e escrever: 29

30 . d. da S (2. 80) ou integrando no volume: Finalmente temos:. d. da V V S V.. da S (2. 81) (2. 82) Desde que a superfície de controle, S, contenha o volume de controle, V. Este teorema da divergência, de uma forma geral, relaciona integral de volume com a integral de superfície O Teorema da Divergência a partir da Derivada Material de uma Grandeza Ainda podemos desenvolver a equação (6. 14) utilizando o conceito de derivada material visto na secção o qual veremos a seguir: dρ o ρ v. ρ o t o (2. 83) substituindo (2. 83) em (6. 14) temos: ρ o. o v. ρ o t (2. 84) integrando em relação ao volume temos: a partir de (2. 68) temos que: o ρ o ρ o. v. t V V V V v. ρ ρ v.ˆ nda o S o (2. 85) (2. 86) logo 30

31 ˆ o o ρ o. ρ v. nda (2. 87) t V S V sendo ρ (2. 88) o o v temos: para a situação estacionária temos: ˆ o o ρ o.. nda (2. 89) t V S V ρ t o 0 (2. 90) Portanto, V ˆ. o o. nda (2. 91) Esta é a expressão do teorema da divergência da forma como é comumente conhecido S O Teorema da Divergência Generalizado Seja o o fluxo generalizado da grandeza que atravessa uma superfície euclidiana sem rugosidade, onde A o é a área de projeção euclidiana que o fluxo o atravessa. Mantendo-se a relação entre as taxas temporais da grandeza inalterada, a equação (2. 47) pode ser reescrita como: d o da o. (2. 92) Tomando a derivada volumétrica dos dois lados da equação (2. 92) temos: d d d d o A o. (2. 93) dependendo da natureza da grandeza temos a seguinte consideração geral a fazer. Pode-se definir de forma absolutamente geral que, o lado direito da equação (2. 93) corresponde a uma 31

32 operação sobre o fluxo o. Como este fluxo é de natureza tensorial generalizada e ele pode ser também uma grandeza escalar, ou um vetor, vale ressaltar que: ou x i d odao (2. 94) o ijk... x i d S ijk... n da i (2. 95) observe que a operação do lado esquerdo de (2. 94) envolve uma somatória (índices repetidos notação de Einstein) que pode ser representado de forma mais direta pelo operador nabla. d. o odao (2. 96) A natureza da operação de nabla sobre o campo o dependerá da sua natureza tensorial. Pois se este pode ser um escalar (tensor de ordem zero), um vetor (tensor de ordem um) ou um tensor como usualmente conhecemos. Logo, teremos: d div o odao ( o : Vetor Escalar ). d (2. 97) div o dao ( : Tensor Vetor) o o Aqui é importante observar como o Teorema de Gauss pode ser escrito a partir de (2. 92) em termos de volumes, como: ijk... ijk... ni da ( ijk... : Tensor ordem n ordem n1) x (2. 98) V i S onde i, j, k,... 1,2,3, O Divergente e os Teoremas Correlatos Se acontecer que: d ˆ é Escalar nda ( gradiente de um escalar) (2. 99) S ( t ) 32

33 e d ˆ nda ( gradiente de um vetor) S ( t ) d ˆ é um vetor nda ( divergente de um vetor) S ( t ) d ˆ nda ( rotacional de um vetor) S ( t) (2. 100) e d ˆ nda ( gradiente de um tensor) S ( t ) d.. ˆ é um tensor nda ( divergente de um tensor) S ( t ) d ˆ nda ( rotacional de um tensor ) S ( t ) (2. 101) Observe que estas definições dão origem aos principais teoremas integrais do contínuo: é Escalar nda ˆ ( Teorema do gradiente de um escalar) V S ( t ) (2. 102) e ˆ nda ( Teorema do gradiente de um vetor V S ( t ) ˆ nda ( Teorema do divergente de um vetor é um vetor V S ( t ) (2. 103) ˆ nda ( Teorema do rotacional de um vet V S ( t ) ( Teorema de Stokes) e 33

34 ˆ nda ( gradiente de um tensor) V S ( t ).. ˆ é um tensor nda ( divergente de um tensor) V S ( t ) ˆ nda ( rotacional de um tensor ) V S ( t ) (2. 104) 34

35 2. 10 Leis Fundamentais Básicas da Mecânica dos Meios Contínuos A equação que agora vamos deduzir é chamada de equação da continuidade e na sua forma generalizada, pode servir como equação de massa, energia, entropia, momento, etc Equação da Continuidade para o Potencial Generalizado Equações de potencias e fluxos que atravessam superfícies euclidianas lisas ou nãorugosas podem ser escritas em termos da geometria euclidiana. Vejamos agora a utilidade do teorema da divergência para transformar a equação integral dada em (2. 72) em uma equação diferencial. Portanto substituindo (2. 82) em (2. 72) temos que: dg ρ. (2. 105) t V V fluxo temos que: Tomando-se os mesmo volume de controle tanto para o divergente como para o Ou trocando a ordem das derivadas totais temos: Substituindo (2. 58) em (2. 107) temos: d dg ( ). ρ (2. 106) t d dg ( ). ρ (2. 107) t ρ dρ. (2. 108) t Essa é a forma da equação da continuidade. Ela retrata um balanço espaço-temporal da grandezagenralizada em ρ onde essa é a densidade volumétrica associada a grandeza. Neste conjunto de fenomenologias que seguem a equação da continuidade estão os fenômenos, da difusão, transferência de calor, escoamento viscoso, deformação de sólidos, mecânica da fratura, eletromagnetismo, etc. A título de laboratório teórico e para os propósitos deste trabalho vamos formular os fenômenos de potencial escalar como a temperatura, e nos 35

36 fenômenos de potencial vetorial como a teoria da elasticidade e a mecânica da fratura. Sendo o uma grandeza que se conserva absolutamente no tempo, ela estará sujeito a uma lei de conservação do tipo:. 0 t. (2. 109) Esta é a forma da equação da continuidade, para a maioria dos sistemas. Para a situação de fluxo generalizado,, temos: ( ). 0 t (2. 110) Explicitando,, temos: ( ).( v ) 0 (2. 111) t Usando a identidade diferencial temos:.( v) (. v) v. (2. 112) Logo ( ) (. v) v. 0 t (2. 113) Esta equação explicita a equação da continuidade em termos da densidade generalizada,, e da velocidade, v. Considerando o caso em que a massa total se conserva (d/ = 0) temos: ρ 0 (escoamento "incompressível" e permanente) ρ t. 0 t ρ 0 (escoamento "compressível" não permanente) t (2. 114) Esta equação diz a mesma coisa que a equação (2. 105), porém em uma linguagem diferencial, ou seja, quando a massa é constante, o que variação volumétrica do fluxo de massa que atravessa a superfície é igual a variação temporal da massa no seu volume de controle. Esta equação decide se o escoamento é incompressível ou não. 36

37 Equação da Continuidade e Conservação da Massa A densidade é definida como: dm (2. 115) Como o volume V em geometria cartesianas é dado por: V L dr dx i d d d (2. 116) onde d é a dimensão topológica do espaço euclidiano. Logo, d d M d d M d (2. 117) dr dx Considerando a massa total do sistema constante temos: d i dm 0 (2. 118) donde, derivada material temos: dm sendo M vm t (2. 119) M (2. 120) nos leva a: d v t (2. 121) Como não há criação de massa d 0 (2. 122) logo t v 0 (2. 123) Como 37

38 m v (2. 124) fica mi. m xi (2. 125) Então. m 0 t (2. 126) 38

39 2. 11 Equação do Movimento Generalizada para a Mecânica dos Meios Contínuos A partir das transformações matemáticas feitas anteriormente podemos iniciar a descrição da Mecânica do Contínuo, a qual pode ser aplicada aos fenômenos de calor, elasticidade, viscosidade, fratura, etc., em sólidos e fluidos Equações da Quantidade de Movimento A 2ª Lei de Newton estabelece que: F R dp (2. 127) Neste ponto, a fim de se obter uma descrição mais acurada do movimento de um corpo deformável, deve-se obter uma versão da equação (2. 2), para o caso do contínuo. E a força resultante é dada pela somatória das forças externas aplicadas ao corpo contínuo. A força externa total é dada pelo Princípio de Pascal por: F F F F R ext C S (2. 128) Na mecânica do contínuo precisamos observar o Principio de Pascal ( 4 ) para separar somatória das forças sobre o corpo em dois tipos principais. Logo, neste ponto, é preciso ressaltar a diferença da natureza desses dois tipos de força de interação que dão origem as forças de campo. Estas são de campo (gravitacional, campo elétrico, etc,) e de superfície (geradas pelo contato, pressão, colisão, etc) as quais compõem a força resultante sobre um corpo contínuo da seguinte forma: dp FR FC FS (2. 129) As forças externas que atuam sobre V incluem ambas as forças de massa (devido a gravidade) e as de superfície (devido as tensões). A força de massa total, f, é dada por: 4 O Principio de Pascal establece que as que as forças de volume e de superfícies se comunicam através do meio contínuo 39

40 FC ( r, t) g V ( t ) (2. 130) Onde g é a força total por unidade de massa. Usualmente g é devido a efeitos gravitacionais. Derivando a equação (2. 129) em relação ao volume temos: Como f df / C C dfc dfs d dp (2. 131) e f df /, então, de forma mais sintética podemos escrever: S f S d dp C fs (2. 132) considerando as derivadas no volume e no tempo são contínuas, podemos pela regra de Schwartz trocar os suas ordem de operação obtendo: f d dp C fs (2. 133) Portanto se quisermos utilizar a 2 a Lei de Newton para analisar o estado geral de movimento em um meio contínuo devemos conhecer todas as forças de corpo ou de volume e as forças superficiais encontradas no mesmo. A partir de (2. 9) temos: f sendo p dado por (2. 1) temos que: C f S d (2. 134) dp d mv m (2. 135) onde dm dvm vm m (2. 136) considerando que a velocidade média v m dentro de um elemento infinitesimal de volume é dv uniforme, isto é m 0 para o volume infinitesimal considerado, podemos escrever: m v m (2. 137) 40

41 A conservação do momento requer que a taxa de variação do momento de uma partícula em um meio continuo no tempo em um volume material, V (t) dever ser igual a soma das forças externas que atuam sobre V (t). d Fext ( r, t) v (2. 138) V ( t) Portanto, a expressão geral da 2ª lei de Newton para o contínuo é dada substituindo (2. 137) em (2. 134): d f f v C S m (2. 139) O termo v m pode ser chamado de escoamento; f c é a densidade de forças de corpo; densidade de forças de superfície. logo (2. 139) fica A densidade de força externa total é dada pelo Princípio de Pascal por: f f f f R ext C S (2. 140) f s é a d f f v C S m (2. 141) A equação (2. 141) é a equação fundamental para o movimento de uma partícula no contínuo, chamada de Equação de Movimento de Cauchy. Ela será a base das equações de movimento que se seguirão na descrição dos diferentes fenômenos a serem abordados neste trabalho. Uma das generalizações das leis de Newton para o contínuo pode ser feita de forma mais rigorosa usando-se o teorema do transporte de Reynolds, o qual é descrito na secção Um dos objetivos deste capítulo é criar subsídios para uma teoria do contínuo que envolva a rugosidade da superfície de contorno e a porosidade do interior do volume do corpo. De forma mais sintética podemos escrever: d f f v C S m m (2. 142) Observe que a expressão da lei de Newton para o contínuo é geral e não envolve a descrição matemática da rugosidade, a qual será incluída na equação constitutiva. Porque ela será considerada uma característica para cada material e que será descrita no Capitulo III. Vamos agora analisar as forças de superfícies e as forças internas. 41

42 Figura Elemento de volume infinitesimal sobre o qual se aplica uma força superficial sobre uma área infinitesimal da. Sabendo que o tensor das tensões σ é definido como: df [ ] ( tensor ). (2. 143) da A força superficial devido as tensões que atuam sobre o elemento da, do contorno da superfície de V(t) é dada por: T [σ]. nˆ (2. 144) Onde T é o vetor tensão. A força de tensão total, F S, portanto dada por: F S S ( t) TdA (2. 145) Tanto a força de superfície F S S ( t) F S como as forças internas são definidas como: [σ].ˆ nda. 42 (2. 146) Onde S(t) é a superfície de contorno de V(t), é o tensor das tensões e nˆ é o vetor normal unitário apontado na direção de S(t). Isto porque depende da relação entre o tensor das tensões σ e o elemento de área da se este é interno ou na superfície. Logo neste caso a densidade de forças de superfícies f S pode ser escrita como:

43 f S dfs d.ˆ nda σ. (2. 147) S t e pode ser relacionada com a variação temporal do momento linear como: F S dp ~. (2. 148) e de uma forma geral temos que essas forças são responsáveis pelo escoamento do material, ou seja: f V dfv dfs d dp fs ~. (2. 149) trocando a ordem das derivadas temos, uma relação da densidades das forças com a densidade de momento linear ou o fluxo de massa, dado por: f V d dp fs ~. (2. 150) observe que essa densidade de força geral está relacionada a derivada temporal do fluxo de massa ou a densidade de momento, ou seja: usando (2. 9) em (2. 151) temos: f V f S d m. (2. 151) d fv fs v. (2. 152) Se existe uma força superficial ou interna então existe uma tensão superficial ou interna definida por (2. 143). Como as tensões internas representam um fluxo de momento para dentro do corpo, usando (2. 148) em (2. 143) temos: [ ] ~ d dp. (2. 153) da logo a tensão está relacionada na verdade com um fluxo de momento, ou seja: concluímos que: [ ] ~ p. (2. 154) 43

44 Tensão ~ Fluxo de Momento. (2. 155) Concluímos, portanto a partir de (2. 147), que existe estreitas relações entre: Tensão ~ Fluxo ~ Densidade. (2. 156) Retornando a 2ª lei de Newton para o contínuo dada em (2. 139) temos: d f f v C S m (2. 157) ou f C dfs d v m (2. 158) a partir de (2. 146) temos: F S S ( t) [σ].ˆ nda com da nda ˆ. Substituindo (2. 159) em (2. 158) temos: d d fc [ ].ˆ nda v σ S ( t ) m (2. 159) (2. 160) Observe que a 2ª lei de Newton é uma espécie de lei de fluxo. A partir do segundo termos da equação (2. 160) e de (2. 149) temos: f S dfs d d dp [ ]. ˆ F nda ~ S σ S ( t) fluxo densidade taxa (2. 161) que é definido por: Observe que a densidade de forças superficiais é também o divergente das tensões: f.[ ]. (2. 162) S F d.[ σ] [ ].ˆ nda σ (2. 163) S ( t ) Aplicando o teorema da divergência nós obtemos: 44

45 F S V ( t) (. σ) (2. 164) logo f.[ σ] S (2. 165) e ainda temos como conseqüência o teorema da divergência: V f S. [ σ].ˆ nda S ( t) (2. 166) Esta é a expressão do teorema da divergência para um campo de tensão produzido por forças superficiais. por: A partir das equações (2. 130) e (2. 164) a força externa total em (2. 128) é dada F ext V ( t) Substituindo este resultado em (2. 138) d V ( t) ( r, t) g (. σ) V ( t) (2. 167) ( r, t) v ( r, t) g (. σ) (2. 168) V ( t) Aplicando o teorema do transporte de Reynolds (2. 61) na equação (2. 168) acima nós obtemos: V ( t) v r t r t g t r, t.,,. σ V ( t ) V ( t ) V ( t) (2. 169) para o caso particular em que, r t v e desde que V(t) é arbitrário, nós temos depois de rearranjado os termos e eliminando a integral no volume temos que: d v g.[ σ] (2. 170) Esta equação é chamada de equação do momento. Portanto, usando-se a definição de derivada material a equação de movimento de um meio contínuo é dada por: 45

46 ( v) ( r, t) g. v σ t (2. 171) Como conseqüência da generalização do teorema da divergência mostrada na secção , veja que, de uma forma geral, podemos definir uma operação sobre conforme for a ordem do tensor σ ou a natureza dessa grandeza, ou seja, é escalar, vetor ou tensor, temos: d nda ˆ (2. 172) S ( t ) O símbolo representa uma operação do operador nabla sobre a grandeza generalizada Reescrevendo a 2ª lei de Newton para o contínuo temos: d fc vm (2. 173) Esta é uma equação geral para o contínuo que não depende do material, e é independente da ordem do tensor. 46

47 2. 12 Equação Constitutivas dos Potenciais Generalizados em termos da Geometria Euclidiana Vários fenômenos de transporte em meios contínuos podem ser unificados em equações de potenciais (escalares ou vetoriais) e de fluxos. Entre eles se encontram a Mecânica dos Sólidos, dos Fluidos e do Calor, Mecânica da Fratura, etc. Essa generalização é devida a. W. Gibbs, pois ele identificou que vários problemas de transporte podem ser escritos em termos do gradiente de grandezas escalares ou vetoriais juntos com a equação da continuidade. Essa unificação deu avanço a chamada Mecânica do Contínuo e a Termodinâmica dos Processos Irreversíveis. Até agora as deduções feitas não envolveram nenhum tipo de material. Para descrever o comportamento particular de um tipo de material é preciso utilizar um tipo de equação característica chamada de equação de consistência ou constitutiva. Vamos exemplificar o uso de uma equação constitutiva para o problema do calor e da elasticidade Fenomenologias da Mecânica do Contínuo descritas no Espaço Euclidiano A Mecânica do Contínuo considera, ao invés de partículas, uma nova roupagem para a 2ª Lei de Newton em termos de volumes distribuído no espaço. Nesta situação as massas são substituídas por densidades generalizadas, as forças são substituídas por fluxos generalizados. A equação de movimento aparece na forma da equação da continuidade. Desta forma, diferentes fenomenologias de fluxos apresentam a mesma estrutura matemática a qual está resumida na equação (2. 174) cujas leis fenomenológicas de fluxos são proporcionais aos gradientes de suas respectivas grandezas 47

48 d d dm d dm dm Leis de Fluxo Fick P Stevin v Newton cte. T Fourier k E Pol. Elétrica B Pol. Magnética etc.. (2. 174) d d da v Uma mesma equação, chamada de equação da continuidade, dada por d.. (2. 175) t quando aplicada sob a visão de cada uma das equações fenomenológicas listadas na (2. 174) gera diferentes equações de movimento para as fenomenologias contidas no mesmo grupo estrutural de equações matemáticas. Portanto, um dos objetivos deste capítulo é mostrar o uso de equações e teoremas da Mecânica do Contínuo de forma generalizar essas equações para abordar fenomenologias mais complexas envolvendo rugosidade de superfícies. Portanto, vamos mostrar a seguir como diferentes fenomenologias que podem ser descritas a partir de uma única estrutura matemática de densidades, leis de fluxos e potenciais generalizados O Fluxo de Generalizado,, através de uma Superfície Vamos a partir de agora definir o fluxo generalizado,, das grandezas generalizadas, M, consideradas anteriormente, como sendo: d d (2. 176) da Desde que d/ é uma derivada material para as grandezas = Q (calor), q (carga elétrica), C (concentração), p (momento), etc. O fluxos correspondentes podem ser 48