Modelo de Ising. 1 Introdução. Caroline Garcia Forlim e Paulo Matias. 18 de dezembro de O método de Monte Carlo

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1 Modelo de Ising Caroline Garcia Forlim e Paulo Matias 18 de dezembro de 2011 Resumo Neste trabalho simulamos o modelo de Ising bidimensional usando dois métodos: Metropolis e Banho Térmico. Aprendemos sobre fenômenos críticos em sistemas magnéticos, analisando comportamento da energia, magnetização, calor especíco e susceptibilidade magnética na transição de fase de um material ferromagnético para paramagnético. Por m, aplicamos a técnica de Finite Size Scaling para determinar os expoentes críticos do sistema. 1 Introdução 1.1 O método de Monte Carlo O método de Monte Carlo, que consiste na realização de experimentos com números pseudoaleatórios em um computador, fornece soluções aproximadas para uma grande variedade de problemas matemáticos. O método é aplicável a problemas tanto estocásticos quanto determinísticos. Para o cálculo de integrais multidimensionais, como é o caso de médias termodinâmicas em mecânica estatística, e.g. E =< H(ψ) >, dadas por: ˆ A = A(ψ) P (ψ) dψ (1) onde P (ψ) = e βh(ψ) Z ; Z = e βh(ψ) dψ; β = 1 k B T, o método de Monte Carlo torna-se indispensável devido ao grande número de estados ψ possíveis do sistema. Para calcular uma integral numericamente, deve-se estimá-la através de variáveis aleatórias independentes e com distribuição uniforme no intervalo de integração. f(x i ) I f = ˆ1 0 f(x)dx I com x i distribuída uniformemente em [0, 1]. O erro é da ordem de i 1 N N, (2) para N grande, onde N é a quantidade de sorteios aleatórios utilizados. Como não é possível calcular a integral (1) por amostragem direta de grupos de variáveis independentes para a distribuição de Boltzmann, deve-se encontrar uma maneira de amostrar as variáveis x segundo um w(x) que seja viável nesse caso. ˆ A = A(x) w(x) dx, (3) w(x) = e βh(x) Z A solução é utilizar o método de Monte Carlo dinâmico baseado na evolução temporal de cadeias de Markov. Toma-se uma cadeia de Markov, por exemplo um processo estocástico X o, X 1,..., X t com história determinada pela distribuição de probabilidade inicial P (X o ) e pela probabilidade de transição P (X t+1 x 0...x t ) = P (X t+1 x t ), de modo que seja necessário conhecer apenas a probabilidade de ir de um estado x a outro estado y em um passo temporal, dada pelos elementos p xy da matriz de transição. Pode-se demonstrar que caso exista uma distribuição w(x) tal que x w(x)p xy = w(y) para todo y, então o processo converge para a distribuição estacionária w(x), independentemente de P (X o ). Para que a cadeia de Markov convirja para a distribuição w(x) a tempos longos, a dinâmica de p xy deve ser: 1

2 (A) irredutível (B) satisfazer x w(x)p xy = w(y) Exercício 1: Ao invés de (B) acima podemos impor a condição suciente (B') balanço detalhado : w(x)p xy = w(y)p yx. Mostre que (B') (B). Pelo balanço detalhado, podemos reescrever (B) como: w(y)p yx = w(y) x x mas x p yx = 1, então w(y) x p yx = w(y). p yx A evolução temporal das congurações do sistema (ψ ou x) é feita utilizando-se um método local em que as variáveis estão xas em todos os pontos do sistema exceto em um dado ponto escolhido, que será atualizado com a distribuição de probabilidade condicional resultante. Nesse trabalho, adotamos duas formas distintas de atualizar a distribuição condicional em um ponto: o método do banho térmico e o método de Metropolis. No banho térmico, temos uma amostragem local exata da distribuição de probabilidade. Já o método de Metropolis propõe a mudança da variável atual x para uma nova y, que é aceita ou não de acordo com a seguinte regra: ˆ ˆ aceita se w(y) w(x) 1; do contrário, aceita com probabilidade w(y) w(x) { = min 1, w(y) w(x) }. A matriz de transição é então tomada como: A probabilidade de aceitação resultante é A xy p xy = T xy A xy, onde T xy = T yx é a probabilidade de propor y como o novo valor da variável a ser atualizada. Exercício 2: mostre que a escolha acima satisfaz o balanço detalhado. Se a escolha acima satiszesse o balanço detalhado, então teríamos: w(x)p xy = w(y)p yx = w(x)t xy A xy (a) = w(y)t yx A yx (b) (a) { w(x)txy se w(y) x(x) w(x)t xy A xy = w(x). w(y) w(x) T xy = w(y)t xy se w(y) x(x) (b) { w(y)tyx se w(x) x(y) w(y)t yx A yx = w(y). w(x) w(y) T yx = w(x)t yx se w(x) x(y) (4) (5) 2 Metodologia 2.1 Aplicação ao Modelo de Ising como T xy = T yx temos então que (4)=(5) Um exemplo de aplicação do método de Monte Carlo é a simulação do modelo de Ising em duas dimensões. Os spins S i da rede interagem entre si e com o campo magnético externo de acordo com a hamiltoniana abaixo, onde a soma em i, j é tomada sobre pares de primeiros vizinhos, contando somente uma vez cada par. H = J i,j S i S j H i S i (6) Durante todo este trabalho, adotaremos J = 1 para a constante de acoplamento. Por meio da conguração dos spins S i, é possível calcular diversas grandezas físicas relacionadas ao sistema, tais como a energia E = H, a magnetização M = [ i S i, a susceptibilidade magnética χ = 1 M M V H = β 2 V M 2], e o calor especíco [ c v = 1 E E V T = β 2 V T E 2]. 2

3 2.1.1 Demonstração da expressão para a susceptibilidade magnética A expressão para a susceptibilidade magnética, citada acima, pode ser facilmente deduzida. A fórmula para o calor especíco pode ser obtida de forma similar. Dada a função de partição canônica: Z = exp β J S i S j + β H {S i} i,j i S i A média de um observável A é denida como: A = Z 1 A exp β J S i S j + β H {S i} i,j i S i A primeira e a segunda derivadas de Z com relação a H podem ser expressas da seguinte forma: Z H = β M exp β J S i S j + β H S i = Z β M {S i} i,j i 2 Z H 2 = β 2 M 2 exp β J S i S j + β H S i = Z β 2 M 2 {S i} i,j i A susceptibilidade magnética é dada por: χ = 1 V M H = 1 V { Z 1 H Expressando em termos das derivadas calculadas acima: 1 β } { Z = 1 H V Z 2 Z 1 2 Z 1 ( ) } 2 Z β H ² β H χ = 1 V M H = β V [ M 2 M 2] 2.2 Fenômenos Críticos e Finite Size Scaling O Modelo de Ising apresenta uma transição de fase de segunda ordem em duas dimensões. O parâmetro de ordem do modelo de Ising é a magnetização. Para uma temperatura próxima de zero, os spins da rede tendem a alinhar-se, de forma similar a um ferromagneto, mesmo quando o campo H tende a zero. No entanto, após um certo valor de temperatura (denominada temperatura crítica, ou T c ), os spins perdem este auto-alinhamento. A campo nulo, o parâmetro crítico do Modelo de Ising tem solução exata (obtida por Onsager) dada por: 0, T > T c M = [1-(sinh (2βJ)) 4] 1 8 (7), T < Tc Na região crítica, ou seja, com T T c, observam-se singularidades: a magnetização vai a zero e a susceptibilidade magnética e o calor especíco divergem com um comportamento de lei de potência. A cada grandeza pode ser associado seu denominado expoente crítico: M T T c T c χ T T c T c ν ξ T T c T c β γ (8) (9) (10) 3

4 As denições acima são para o caso de um volume innito. Entretanto, quando simulamos o modelo de Ising, nosso sistema tem volume nito V = L d. Quando o comprimento de correlação ξ L, o sistema já se torna efetivamente ordenado. Podemos argumentar, então, que o sistema tem um pseudo ponto crítico quando: [β c ( ) β c (V )] ν L = β c (V ) = β c ( ) const. L 1/ν (11) Mas não conhecemos ν nem β c ( ). Se considerarmos a divergência para volume innito expressa na equação (9), podemos argumentar que para volume nito há um máximo de χ no pseudo ponto crítico β c (V ). χ max [β c ( ) β c (V )] γ L γ/ν (12) Podemos estimar ν e β c realizando simulações com diferentes volumes V, localizando os máximos χ max, e fazendo um ajuste da posição β max desses máximos com β max = β c c 1 L x, onde x deve ser igual a 1 ν. O expoente γ ν, por sua vez, pode ser estimado do valor dos máximos, pela expressão χ max L γ/ν. Para o cálculo do expoente β (equação 8), denimos m rms = m 2 = x,y s xs y /V 2. Na temperatura crítica T c real (a que ocorreria em volume innito), podemos aproximar o comportamento da função correlação no volume nito como x,y s xs y L 2 η, de forma que: m T =Tc rms L 2 d η L β ν (13) 2.3 Reweighting As simulações de Monte Carlo fornecem uma série de congurações φ 1, φ 2... φ N, sobre as quais são efetuadas medidas de observáveis O i = O(φ i ). O reweighting é um método que permite expandir os resultados da simulação original, interpolando uma curva ao redor de um ponto sobre o qual esta foi realizada. A forma mais simples de reweighting baseia-se no fato que a probabilidade canônica da conguração φ em β pode ser facilmente relacionada com outra temperatura β : O e (β β)e β i O β = = O ie (β β)e i (14) i e (β β)e i e (β β)e β Então o valor esperado de qualquer observável em β pode ser obtido em termos do valor esperado calculado em β. O método é facilmente adaptável para avaliar observáveis quando o campo externo H toma valores próximos do campo H da simulação original: O e β (H H ) M O H = i = e β (H H ) M HH O ie β (Hi H i ) Mi i e β (Hi H i ) (15) Mi Como em simulações computacionais o sistema nunca haverá visitado todas as congurações possíveis, uma quantidade nita de estatística estará disponível. Por esse motivo, é impossível obter todos os valores de observáveis (para qualquer β ) a partir de uma única simulação (para apenas um β). 2.4 Jack-kning O método jack-kning foi utilizado para estimar os erros apresentados neste trabalho. Cada conjunto de dados resultante de simulação é separado em K blocos, sempre de comprimento muito maior que o tempo de autocorrelação das medidas envolvidas. Calcula-se K valores ρ k da grandeza ρ, cada vez excluindo do conjunto de dados um dos K blocos. O erro δρ pode ser estimado, então, pela seguinte expressão: δρ = K 1 K (ρ k ρ) 2 (16) K k=1 4

5 1.2 Banho térmico Metropolis Autocorrelação da energia (norm.) Distância entre iterações sobre a rede Figura 1: No caso especial do modelo de Ising em duas dimensões, observa-se que o método de Metropolis apresenta maior desempenho que o método de Banho Térmico, pois além de consumir menor tempo computacional para cada iteração sobre a rede, resulta em menor correlação temporal entre congurações da rede. 3 Resultados 3.1 Comparação entre o método de Metropolis e o de Banho Térmico Primeiramente, comparamos o método de Metropolis com o método de Banho Térmico. Ambos os métodos geraram os mesmos resultados para as grandezas físicas calculadas a partir das congurações da rede, entretanto o método de Metropolis, surpreendentemente, apresentou maior desempenho que o método de Banho Térmico. Relata-se (Monte Carlo simulaatiomenetelmät, notas de aula de Kari Rummukainen, pg. 55) que o método de Banho Térmico costuma fornecer uma menor autocorrelação das grandezas ao longo das iterações sobre a rede, o que pode resultar em um maior desempenho dependendo do problema (deve-se avaliar também o custo computacional de cada iteração utilizando cada um dos métodos). Entretanto, o modelo de Ising bidimensional é uma exceção a essa regra, apresentando menor autocorrelação da energia e da magnetização quando utilizado o método de Metropolis, como ilustrado na Figura 1, além de um menor custo computacional por iteração. No restante desse trabalho será utilizado, portanto, o método de Metropolis. 3.2 Inuência das condições iniciais Vericou-se que uma condição inicial de rede fria (todos os spins alinhados) resultava, na maioria dos casos, em uma termalização mais rápida do sistema que uma condição inicial de rede quente (spins ordenados aleatoriamente). A Figura 2 ilustra a evolução da magnetização do sistema em cada uma dessas condições iniciais. Além disso, conrmou-se que, para ocorrer a termalização, era sempre suciente a espera de um número de iterações 6 τ int, onde τ int = C (i), e C (i) é a autocorrelação da magnetização. i=1 3.3 Fatores que inuenciam no erro das medidas Vericou-se que, para manter os erros dentro de uma faixa aceitável, era necessária uma quantidade bem maior de iterações do algoritmo quando a simulação era efetuada próxima ao ponto crítico. Em geral, percebe-se que o erro é proporcional a (τ int /N) 1/2 (ξ/l) d/2, ou seja, aumenta com a presença de correlações temporais ou espaciais, e pode ser reduzido aumentando o número de iterações do algoritmo ou o tamanho da rede. Entretanto, aumentar o tamanho L da rede, após um certo limite, resulta em um impacto bastante grande sobre a performance do programa. 5

6 1.2 Condição inicial quente Condição inicial fria Magnetização (norm.) Iterações sobre a rede Figura 2: Magnetização do sistema em duas simulações com condições iniciais distintas. Na condição quente, a conguração inicial dos spins é escolhida de forma aleatória. Na condição fria, todos os spins são inicialmente virados para cima. 3.4 Determinação de grandezas físicas Uma rede de volume V = e condição inicial fria foi utilizada para determinar uma série de grandezas físicas. Primeiramente, xou-se campo externo nulo (H = 0), variando-se apenas a temperatura T de 1 a 4, de forma a atravessar a região na qual ocorre comportamento crítico (por volta de T c 2.269). O erro foi estimado utilizando o método jack-kning, separando o conjunto de dados em K blocos de comprimento pelo menos 20 vezes maior que o tempo de correlação τ int. Os resultados são apresentados na Figura 3. A Figura 4 mostra, com maior detalhe, o gráco de magnetização, sobreposto agora à solução teórica formulada por Onsager para o modelo de Ising bidimensional. É importante notar, entretanto, que o modelo de Onsager é solução para uma rede innita, e não para uma rede nita como a que foi simulada. As Figuras 5, 6 e 7 mostram o comportamento das grandezas físicas quando o campo externo H é variado, em diferentes regimes do sistema (T < T c, T T c e T > T c, respectivamente). É possível identicar os comportamentos típicos de ferromagneto ou paramagneto em cada caso. 6

7 Energia (norm.) Calor específico Temperatura (β 1 ) Magnetização (norm.) Susceptibilidade magnética Temperatura (β 1 ) Figura 3: Diversas grandezas físicas medidas em um sistema com campo externo nulo ( H = 0), variando-se a temperatura. Cada ponto vermelho foi calculado por uma simulação distinta. A curva em verde corresponde ao reweighting dos dados. Rede V =128 2 Rede infinita (Onsager) Magnetização (norm.) Temperatura (β 1 ) Figura 4: Magnetização obtida na simulação da rede nita (V = ) comparada com a magnetização teórica prevista por Onsager para uma rede innita. 7

8 Energia (norm.) Calor específico Campo externo H Susceptibilidade magnética Magnetização (norm.) Campo externo H 0.5 Figura 5: Diversas grandezas físicas medidas em um sistema com campo externo não-nulo, xado em uma temperatura abaixo da temperatura crítica (T = < T c ). No equilíbrio, depois de um tempo longo, o sistema tende a alinhar seus spins com o campo externo. Energia (norm.) Calor específico Campo externo H Magnetização (norm.) Susceptibilidade magnética Campo externo H 0.5 Figura 6: Diversas grandezas físicas medidas em um sistema com campo externo não-nulo, xado em uma temperatura próxima da temperatura crítica (T = 2.3 T c ). Percebe-se que o sistema consegue recuperar um comportamento um pouco próximo da fase ordenada quando o campo externo é sucientemente grande. 8

9 Energia (norm.) Calor específico Campo externo H Magnetização (norm.) Susceptibilidade magnética Campo externo H Figura 7: Diversas grandezas físicas medidas em um sistema com campo externo não-nulo, xado em uma temperatura acima da temperatura crítica (T = 3.6 > T c ). O sistema apresenta comportamento similar ao de um paramagneto. 3.5 Obtenção dos expoentes críticos O primeiro expoente crítico a ser determinado é o γ, que pode ser obtido do mesmo conjunto de medidas do qual será obtido também o expoente ν. Para isso, são localizados os máximos da susceptibilidade (χ max ) e o inverso da temperatura (β max ) na qual esses máximos ocorrem. Para o cálculo de χ, será utilizado, a partir de agora, o módulo da magnetização ( M ) em vez da magnetização (M) em si, pois próximo ao ponto crítico é inevitável que esta oscile constantemente entre valores positivos e negativos, originando às vezes um efeito conhecido como tunelamento, que causaria problemas numéricos na determinação dos expoentes. O módulo da magnetização é um bom parâmetro de ordem, pois é não-nulo na fase ordenada e muito próximo de zero fora da mesma. Os expoentes críticos associados a M e às grandezas calculadas com base em M (tais como χ) são exatamente os mesmos que os associados a M. A Figura 8 ilustra a forma como os valores χ max e β max são obtidos a partir de uma única simulação próxima do ponto crítico para cada valor de V. Utiliza-se reweighting para traçar uma curva na região próxima ao ponto crítico, a partir da qual é determinado o máximo de χ. Computacionalmente, foi implementada uma rotina de renamento iterativo para obter o máximo com uma precisão mínima de 10 6 em β. Os dados utilizados para reweighting foram divididos em blocos de jack-kning, permitindo estimar os erros de χ max e β max a partir dos resultados de diversos renamentos iterativos. Nota-se que a barra de erro para o volume V = é signicativamente maior que as outras. Isso ocorre pois, apesar de um maior volume geralmente ajudar a reduzir os erros de uma simulação, o desempenho tornou-se signicativamente reduzido para esse valor de V, o que impediu que fossem coletados dados de uma quantidade grande de iterações do algoritmo. 9

10 Susceptibilidade magnética V =32 2 V =64 2 V =128 2 V =256 2 V = Inverso da temperatura (β) Figura 8: Susceptibilidade magnética próxima ao ponto crítico, utilizando-se uma única simulação para cada valor de volume V. Os pontos situados na extremidade direita das curvas são calculados diretamente a partir dos dados de cada simulação. As curvas são traçadas por reweighting ao redor desses pontos, e utilizadas para obter o máximo de χ para cada valor de V, que também é representado como um ponto com barras de erro. Todos os erros são estimados com jack-kning. Uma vez determinados χ max e β max em função de L = V 1 2, é possível realizar ajustes de curva em cada um deles para obter expoentes críticos. O primeiro ajuste é com base na equação (11), e permite determinar a temperatura crítica a volume innito β c ( ) e o expoente ν. O gráco correspondente é mostrado na Figura 9. β c ( ) = (4078 ± 0005) ν = (13 ± 09) Os erros foram estimados realizando o ajuste com permutações aleatórias de valores permitidos de β max para cada L, distribuídos de acordo com a mesma estatística dos blocos utilizados para jack-kning. Apesar disso, a estimativa de erro para esses dois valores não foi muito boa - ambos estão desviados mais de um σ do valor teórico. Os valores esperados eram β c ( ) = 4069 e ν = 1. 10

11 β max /L Figura 9: Ajuste com base na equação (11). Permite determinar os valores de β c ( ) e de ν. Em seguida, foi realizado o ajuste de χ max em função de L com base na equação (12). Desta forma, foi obtido o expoente γ (admitindo-se ν = 1). O gráco correspondente é mostrado na Figura 10. γ = γ ν = (1.73 ± 3) O valor acima está condizente com o valor teórico γ = χ max L Figura 10: Ajuste com base na equação (12). Permite determinar o valor de γ /ν. 11

12 Por m, foi realizado o ajuste de m T rms =Tc em função de L com base na equação (13). Desta forma, foi obtido o expoente β (admitindo-se ν = 1). O gráco correspondente é mostrado na Figura 11. β = β ν = (0.124 ± 03) O valor acima está condizente com o valor teórico β = m em T =T c L Figura 11: Ajuste com base na equação (13). Permite determinar o valor de β /ν. Vale observar que, para a obtenção de m T rms =Tc sobre o ponto crítico T c a volume innito, foi necessário utilizar reweighting, pois a simulação tornava-se extremamente instável quando fornecido exatamente T = T c. Portanto, foi fornecido um T T c ao programa, sendo a simulação resultante interpolada por reweighting e os erros estimados, novamente, por jack-kning. 4 Conclusão Simulamos o modelo de Ising com Monte Carlo e usamos dois métodos para atualizar a distribuição dos spins: Metropolis e Banho Térmico. Vericamos que, para o caso especíco do modelo de Ising bidimensional, o método de Metropolis é mais eciente, apesar de o Banho Térmico ser mais eciente para uma ampla gama de outros problemas da Física. Estudando o sistema próximo ao ponto de transição de fase, pudemos observar os comportamentos que magnetização, calor especíco e susceptibilidade magnética apresentam na região crítica. A magnetização vai a zero, e a susceptibilidade e o calor especíco divergem. Notamos também que esses observáveis assumem um comportamento como lei de potência, e estimamos os valores dos expoentes críticos β, γ e ν, utilizando Finite Size Scaling fortemente apoiado pela técnica de reweighting. 12