MAT140 - Cálculo I - Máximos e Mínimos Locais e Globais, Pontos Críticos e o Teste da Derivada Primeira

Transcrição

1 MAT140 - Cálculo I - Máximos e Mínimos Locais e Globais, Pontos Críticos e o Teste da Derivada Primeira 4 de novembro de 2015

2 Vimos que a derivada de uma função em um ponto é a inclinação da reta tangente ao gráfico da função neste ponto. Usaremos agora a derivada como ferramenta para auxiliar no esboço de gráficos. Para isso, precisaremos de algumas definições e teoremas.

3 Definição A função f terá um valor máximo relativo em c se existir um intervalo aberto contendo c, no qual f (x) esteja definida, tal que f (c) f (x) para todo x no intervalo. Neste caso, dizemos que f (c) é valor máximo relativo de f. Exemplo

4 Exemplo Seja f (x) = x 3 3 x. f terá um máximo relativo em 1. Pois, 1 ( 1.5, 0.5) e f ( 1) f (x), x ( 1.5, 0.5).

5 Definição A função f terá um valor mínimo relativo em c se existir um intervalo aberto contendo c, no qual f (x) esteja definida, tal que f (c) f (x) para todo x no intervalo. Neste caso, dizemos que f (c) é valor mínimo relativo de f Exemplo

6 Exemplo Seja f (x) = x 3 3 x. f terá um mínimo relativo em 1. Pois, 1 (0.8, 1.2) e f (1) f (x), x (0.8, 1.2)).

7 Teorema Se f (x) foi definida para todos os valores x no intervalo aberto (a, b) e se f tiver um extremo relativo em c, onde a < c < b, então f (c) = 0 se f (c) existir. Observação A interpretação geométrica deste teorema é que se f tiver um extremo relativo em c, e se f (c) existir, então o gráfico de f precisará ter uma reta tangente horizontal no ponto onde x = c.

8 Exemplo Considere a função definida por f (x) = (x 3) 3. f (x) = 3(x 3) 2 e assim f (3) = 0, mas f (x) < 0 para x < 3 e f (x) > 0 para x > 3. Logo, f não tem um extremo relativo em x = 3.

9 Exemplo Considere a função f (x) = (x 3) 2. f (x) = 2(x 3) e assim, f (3) = 0. Como f (x) > f (3) = 0 para x R, então f tem um mínimo relativo em 3.

10 Definição Se c for um número no domínio da função f e se f (c) = 0 ou f (c) não existir, então c será chamado de número crítico de f e o ponto (c, f (c)) será chamado de ponto crítico de f. Exemplo Encontre os números críticos da função f (x) = x x 1 3. f (x) = 4 3 x x 2 3 = 4 3 x 2 3 (x 1) = 4(x 1) 3(x 2 3 ) Quando f ( 1) = 0 e f (x) não existe para x = 0. Logo, 1 e 0 são os números críticos da função f.

11 Definição A função f terá um valor máximo absoluto num intervalo, se existir algum número c neste intervalo, tal que f (c) f (x) para todo x no intervalo. Em tal caso, f (c) será o valor máximo absoluto de f no intervalo. Definição A função f terá um valor mínimo absoluto num intervalo, se existir algum número c neste intervalo, tal que f (c) f (x) para todo x no intervalo. Em tal caso, f (c) será o valor mínimo absoluto de f no intervalo.

12 Exemplo Seja f (x) = 2x definida no intervalo [ 1, 4).

13 Não há valor máximo absoluto em [ 1, 4) pois lim x 4 f (x) = 8, mas f (x) é sempre menor que 8 no intervalo. A função tem um valor mínimo absoluto em 2.

14 Exemplo A função f definida por f (x) = x 1 x não possui valor máximo absoluto e 2 nem valor mínimo absoluto em ( 1, 1). Observe que lim x 1 f (x) = e lim x 1 +f (x) =

15 Podemos falar de um valor extremo absoluto de uma função mesmo que não seja especificado um intervalo. Em tal caso, estaremos nos referindo ao extremo absoluto da função em todo o seu domínio. Definição f (c) será o valor máximo absoluto da função f se c estiver no domínio de f e se f (c) f (x) para todos os valores de x no domínio de f. Definição f (c) será o valor mínimo absoluto da função f se c estiver no domínio de f e se f (c) f (x) para todos os valores de x no domínio de f.

16 Exemplo Considere a função f (x) = x 2 2x 8. O gráfico de f (x) é dado por Como f (x) f ( 1) = 7, x R a função f têm um valor máximo absoluto em f ( 1) = 7.

17 Teorema (Teorema do Valor Extremo) Se a função f for contínua no intervalo fechado [a, b], então f terá um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em [a, b]. O valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto de uma função contínua em um intervalo [a, b] podem ser encontrados através do seguinte procedimento:

18 1-Ache os valores da função nos números críticos de f em (a, b). 2-Ache os valores de f (a) e f (b). 3-O maior dentre os valores das etapas 1 e 2 será o valor máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.

19 Exemplo Vamos determinar os extremos absolutos (máximos e mínimos absolutos) da função f (x) = (x 2) 2 3 no intervalo [1, 5]. Como f é contínua, o teorema do valor extremo pode ser aplicado. Como f 2 (x) = 3(x 2) 1 3 e f (x) 0, para todo x real, e f (x) não existe para x = 2, concluímos que o 2 é o único número crítico de f. Assim, os extremos absolutos da função ocorrem em x = 2 ou nos extremos do intervalo. Como f (1) = 1, f (2) = 0 e f (5) = 3 9, podemos concluir que f (2) = 0 é o valor mínimo absoluto e f (5) = 3 9 é o valor máximo absoluto de f.

20 Definição Uma função f definida em um intervalo será crescente naquele intervalo se, e somente se, f (x 1 ) < f (x 2 ) sempre que x 1 < x 2, onde x 1 e x 2 são quaisquer números no intervalo. Definição Uma função f definida em um intervalo será decrescente naquele intervalo se, e somente se, f (x 1 ) > f (x 2 ) sempre que x 1 < x 2, onde x 1 e x 2 são quaisquer números no intervalo.

21 Analisando a função acima no intervalo [x 1, x 4 ], podemos concluir que função é crescente nos intervalos [x 1, x 2 ], [x 3, x 4 ] é decrescente no intervalo [x 2, x 3 ].

22 Teorema Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b): 1. Se f (x) > 0 para todo x (a, b), então f será crescente em [a, b]. 2. Se f (x) < 0 para todo x (a, b), então f será decrescente em [a, b].

23 Exemplo Determine os intervalos onde f (x) = x 3 12x 5 é crescente e f é decrescente. A função f é contínua e derivável em qualquer ponto. A primeira derivada é dada por f (x) = 3x 2 12 = 3(x 2 4) = 3(x 2)(x + 2)

24 Assim, f (x) > 0 nos intervalos (, 2), (2, ) e f (x) < 0 no intervalo ( 2, 2). Pelo teorema acima, f é crescente nos intervalos (, 2], [2, )

25 Teorema (Teste da Derivada Primeira) Seja f uma função contínua em todos os pontos do intervalo aberto (a, b), contendo o número c e suponha que f exista em todos os pontos do intervalo (a, b) exceto possivelmente em c. 1. Se f (x) > 0 para todos os valores de x em algum intervalo aberto tendo c como extremo direito e se f (x) < 0 para todos os valores de x em algum intervalo aberto tendo c como extremo esquerdo, então f terá um valor máximo relativo em c. 2. Se f (x) < 0 para todos os valores de x em algum intervalo aberto tendo c como extremo direito e se f (x) > 0 para todos os valores de x em algum intervalo aberto tendo c como extremo esquerdo, então f terá um valor mínimo relativo em c.

26 Prova: (Para consulta) Seja (d, c) o intervalo para o qual f (x) > 0. Pelo teorema 3.3, f é crescente em [d, c]. Agora, seja (c, e) o intervalo para o qual f (x) < 0. Pelo teorema 3.3, f é decrescente em [c, e]. Como f é crescente em [d, c), para x 1 em [d, c] e x 1 c, temos f (x 1 ) < f (c). Analogamente, Como f é decrescente em [c, e], para x 2 em [d, c] e x 2 c, temos f (x 2 ) > f (c). Logo f tem um valor máximo relativo em c. A demostração do ítem (2) é análoga.

27 Exemplo Dada a função f (x) = x 1 3 (x 4), vamos determinar os pontos críticos, identificar os intervalos onde a função é crescente e decrescente e determinar os extremos locais e abolutos, caso existam. Primeiramente, observe que f (x) = x 4 3 4x 1 3 f (x) = 4 3 x x 2 3 = 4 3 x 2 3 (x 1) = 4(x 1) 3x 2 3

28 Exemplo (Continuação) Logo, f (x) = 0 para x = 1 e f (x) não existe para x = 0. Portanto, os números críticos de f são x = 0 e x = 1. Como f (0) = 0 e f (1) = 3, os pontos críticos de f são (0, 0) e (1, 3). Iremos agora determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Como 3x 2 3 > 0 para todo x 0 o sinal de f dependera apenas da expressão 4(x 1). Como 4(x 1) > 0 para x > 1 e. 4(x 1) < 0 para x < 1

29 Exemplo (continuação) Portanto, f (x) > 0 para x > 1 e f (x)) < 0 para x < 1. Pelo teste da derivada primeira, f não apresenta um valor extremo em x = 0 (f não muda de sinal) e f apresenta um mínimo local em f (1) = 3. Observe também que f é decrescente em (, 1] e crescente em [1, ). Portanto, f (x) > f (1), x R. Logo, f (1) = 3 também é mínimo absoluto.

30 Exemplo Dada a função f (x) = (x 2 3)e x, vamos determinar os pontos críticos, identificar os intervalos onde a função é crescente e decrescente e determinar os extremos locais caso exitam. Podemos notar que a função é contínua e derivável. Logo, f (x) = (x 2 3) e x + (x 2 3)(e x ) = 2xe x + (x 2 3)(e x ) = (x 2 + 2x 3)e x

31 Exemplo (Continuação) Como e x 0, x R, f (x) = 0 (x 2 + 2x 3) = 0 Como (x 2 + 2x 3) = (x + 3)(x 1), (x 2 + 2x 3) = 0 x = 3 ou x = 1. Logo, os números críticos de f são x = 3 e x = 1 e os pontos críticos são ( 3, 6e 3 ) e (1, 2e).

32 Exemplo (Continuação) Observe o gráfico da função f (x).

33 Exemplo (Continuação) Logo, f (x) > 0 nos intervalos (, 3) e (1, ) e f (x) < 0 no intervalo ( 3, 1). f é crescente no intervalo (, 3] e no intervalo [1, ) e é decrescente no intervalo ( 3, 1). Pelo Teste da Derivada Primeira, ( 3, 6e 3 ) é um mínimo local e (1, 2e) é um máximo local.