6.1 Equação de movimento

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1 Capítulo VI Dinâmica Relativística Este capítulo trata da dinâmica de uma partícula clássica relativística utilizando os recursos do formalismo tensorial do espaço-tempo de Minkowski. Trata-se de obter a generalização relativística da segunda lei de Newton, que no limite newtoniano de pequenas velocidades em relação à velocidade da luz se reduza exatamente à segunda lei de Newton. A equação deve ser invariante na forma pelas transformações gerais de Lorentz, uma propriedade que aparece explícitamente no formalismo tensorial. 6. Equação de movimento A segunda lei de Newton, =, relaciona a taxa de variação no tempo do momento linear = devido a agente externo atuando sobre a partícula através da força F. Para procurar a equação relativística equivalente, define-se o quadrivetor de momento (quadrimomento) onde é identificado como a massa de repouso da partícula. Uma equação covariante análoga à segunda lei de Newton é =, (6.) = = =, (6.2) desde que a ação externa sobre a partícula possa ser representada por um quadrivetor,, o quadrivetor força. Para identificar o significado físico dessas grandezas, deve-se relacionar às grandezas tradicionais como a massa, o momento linear e a força. Se não houver nenhuma força externa atuando sobre a partícula, = 0 = = 0 = 0, (6.3) que implica na conservação do quadrimomento. As componentes temporal e espaciais do quadrimomento são e respectivamente, onde =, (6.4) = = (6.5) = =, (6.6) 56

2 são as componentes da velocidade e = = para = + +. / Define-se a massa relativística da partícula, dependente da velocidade, de modo que o quadri-momento fica =, (6.7) = (, ). (6.8) A equação (6.2) pode ser reformulada para que a derivada seja em relação ao tempo do laboratório, usando =, ou seja, = =, (6.9) =, = (, ). Essa equação, embora não seja explicitamente covariante, é expressa em termos de grandezas físicas usuais. Em particular, a parte espacial é exatamente a equação de força da segunda lei de Newton Para identificar a componente, considere a invariante cuja derivada em relação ao tempo próprio é = = = 0, indicando que o quadrivetor força deve satisfazer à identidade ou seja, =. (6.0) = 0, (6.) = 0. (6.2), Essa equação relaciona a componente temporal da quadriforça com a potência =, (6.3) 57

3 de modo que e =, (6.4) =, =, (6.5) ou, mais explicitamente, 6.2 Massa e energia = e =. (6.6) O ganho de energia cinética de uma partícula, inicialmente em repouso, ao se locomover de uma posição para outra é dado pelo trabalho realizado pela força nesse percurso, Utilizando as equações (6.8) e (6.0), =. =. = (). e, fazendo uma nova mudança na variável de integração, =. () Da massa relativística (6.7) resulta =. + = sendo conveniente fazer a substituição que leva a =. + ₀ ( / ) /, = ( ) =. (6.7) = () =. + = ( ). (6.8) Esse resultado associa a energia cinética à variação da massa relativística, e a variação da energia cinética entre dois pontos quaisquer e fica = = ( ). (6.9) No limite não relativístico ( ), usando a aproximação. 58

4 = + 2 = 2, a expressão relativística da energia cinética assume a forma usual da mecânica newtoniana, onde = ( ) = ( ) = 2. (6.20) O resultado (6.8) sugere a definição da energia total da partícula livre como = + = (6.2) = (6.22) define a energia de repouso. Pela equação (6.2) a variação da energia leva à variação da massa, =, (6.23) mostrando a equivalência entre essas duas grandezas a menos de um fator de conversão da unidade de massa para a unidade de energia. Com esses resultados, ficam definidos os componentes do quadrivetor de energia e momento, e a equação (6.5), nessas variáveis, fica Do produto escalar = (, ) = (, ) =,, (6.24) =, =,. (6.25) =, invariante relativística, cujo valor no referencial de repouso (onde = 0) é = =, resulta uma da relações fundamentais da Relatividade Restrita, =. (6.26) Para uma partícula com massa de repouso nula, ( = 0), como o fóton, por exemplo, resulta e, em módulo, = 0, (6.27) =. (6.28) 59

5 Como a energia = = / deve ser finita, a velocidade de uma partícula sem massa deve ser igual à velocidade da luz. A energia quântica associada ao fóton e a outras partículas de massa nula é dada pela relação de Planck que, juntamente com a relação de De Broglie leva à relação da física ondulatória. 6.3 Transformações de Lorentz = ħ (6.29) = ħ (6.30) = As grandezas quadrivetoriais, por definição, transformam-se da mesma maneira que as coordenadas. Assim, para a transformação geral de Lorentz = Λ, (6.3) os quadrivetores de energia e momento e de força, definidos pelas equações (6.) e (6.2), respectivamente, transformam-se exatamente da mesma forma, = Λ = Λ (6.32) Em especial, para uma transformação de Lorentz especial entre referenciais e com movimento relativo uniforme ao longo do eixo comum, = ( ) = ( ) = = a transformação da energia-momento fica = ( ) = ( ) = =, (6.33) = ₀ = (, ) = (, ) (6.34) = ( ) = ( / ) = ( / ) = = e a transformação da força, obtida a partir do quadrivetor, (6.35) 60

6 resulta. =,,. = = Na primeira das equações (6.35), = = ( / ) (. ) ( / ). ( / ) ( / ), (6.36) = ²/² e = ²/², (6.37) onde e são as velocidades nos referenciais e, respectivamente. 6.4 Força e aceleração Muitas vezes, para uma melhor visão dos processos físicos e das relações entre as grandezas envolvidas, torna-se necessária ou preferível trabalhar com as grandezas físicas usuais em vez das equivalentes quadrivetoriais. A equação quadrivetorial (6.2) fica mais intuitiva detalhada nas componentes temporal e espacial, equação (6.25), que contém as equações da força e da potência e = (6.38) = =. (6.39) respectivamente. Resolver essas equações significa determinar a trajetória da partícula movendo-se sob a ação de uma força externa F. Pela definição do momento linear relativístico e, considerando a dependência da massa relativística com a velocidade, resulta Como = () = + =. (6.40) 6

7 ou seja, () = = = +,. (6.4) Essa equação mostra que na Relatividade Restrita força e aceleração em geral não tem a mesma direção nem resulta numa equação diferencial linear, o que pode dificultar muito a sua integração. No entanto, há dois casos em que a equação de movimento é facilmente integrada, respectivamente força e velocidade paralelas e força e velocidade perpendiculares, para forças constantes em módulo, que serão tratados na sequência Força constante: movimento hiperbólico Talvez esse seja o sistema relativístico mais simples, uma partícula sujeita a uma força constante. Se a força for aplicada na mesma direção da velocidade, a aceleração também resultará na mesma direção, e o movimento resultante será unidimensional. Com efeito, = ou, para = /, constante, = =, (6.42) ( / ) / =, uma equação diferencial facilmente integrável. Porém, para um movimento unidimensional, há uma maneira mais simples de integrar a equação de movimento. A equação (6.38) fica, nesse caso, ou seja, () = (6.43) ( ) =, (6.44) cuja integração é imediata. Dada a velocidade no instante, resulta onde = ( ), (6.45) = e = / Para isolar a velocidade, pode-se quadrar o resultado acima, / = () = + ( ),. (6.46) / 62

8 e resolver, primeiro, para, () = () Supondo a velocidade = 0 no instante = 0, resulta () = + (). (6.47) + ( /) = (6.48) + (/ ) e = / = + ( /) (6.49) Figura 6. Gráfico da velocidade em função do tempo no movimento hiperbólico. ( < < ) As expressões da velocidade, equação (6.48), mostram que, para tempos pequenos, a velocidade tende à expressão não relativística () = e, para tempos grandes, em especial no limite, lim () =, que define o limite superior da velocidade. Figura 6.2 Gráfico da aceleração em função do tempo no movimento hiperbólico. ( < < ) 63

9 A figura 6. ilustra a evolução da velocidade (em unidades de ) em função do tempo (em ), vindo do infinito com velocidade ( ) = aproximando-se em direção à origem até atingir a velocidade mínima (em módulo) ( = 0) = 0 e retornando ao infinito com velocidade crescente ( ) =. No caso relativístico uma força constante não resulta numa aceleração constante, e nem poderia ser, uma vez que existe uma velocidade limite definida pela velocidade da luz. A aceleração é dada por () = = + ( /) / =, (6.50) que tende a zero à medida que a velocidade tende ao limite c (em = ± ). A figura 6.2 ilustra a evolução temporal da aceleração. A aceleração decrescente com a velocidade para uma força aplicada constante está de acordo com a existência de uma velocidade limite c. Essa compensação ocorre devido à massa relativística = / = + ( /), (6.5) crescente com o módulo da velocidade. Na medida em que a massa inercial tende ao infinito quando a velocidade se aproxima de c, nenhuma força externa será suficiente para aumentar a velocidade acima de c. A figura 3 mostra a dependência temporal da massa relativística de um corpo em movimento hiperbólico. Figura 6.3 Massa relativística (/ ) em função do tempo, no movimento hiperbólico. ( < < ) A trajetória da partícula, () = + (), considerando a condição inicial = 0 em = 0 fica 64

10 () = +, (6.52) ilustrada na figura 6.4. A equação da trajetória pode ser rearranjada na forma + 2 = 0, (6.53) equação de uma hipérbole no plano que dá nome ao movimento hiperbólico. Figura 6.4 Trajetória hiperbólica de uma partícula sujeita a uma força constante com condição inicial ( = 0) = 0. ( < < ) Na dinâmica relativística, uma força constante aplicada num corpo não resulta numa aceleração constante, uma vez que a velocidade é limitada pela velocidade da luz. No entanto, nos referenciais onde o corpo está instantaneamente em repouso, a aceleração a₀, constante, é dada por = ( / ) /, (6.54) idêntica à equação (6.35), onde () e () são a aceleração e a velocidade no referencial de laboratório. No referencial próprio ₀ da partícula, não inercial, a aceleração é nula, mas há um campo de aceleração equivalente a um campo gravitacional uniforme, como rege o Princípio da Equivalência de Einstein entre gravitação e aceleração. Desse modo um observador num referencial inercial em queda livre num campo gravitacional uniforme verá um corpo em repouso no referencial de laboratório como executando um movimento hiperbólico. Se integrar a relação diferencial entre o tempo próprio τ e o tempo de laboratório t, =, o fator dado em (6.42), considerando a condição = 0 quando = 0, resulta cuja relação inversa é = = + ( /) 65 = h

11 = h. As coordenadas no espaço-tempo de uma partícula executando movimento hiperbólico, com a condição ( = 0) = ²/₀ são = h = h, (6.55) equações paramétricas correspondentes ao ramo superior da equação da hipérbole no plano (Veja a figura 6.5). Figura 6.5 Trajetória hiperbólica de uma partícula sujeita a uma força constante com condição inicial ( = 0) = ²/₀ (no ramo superior). ( < < ) Carga num campo magnético uniforme Um campo magnético exerce uma força sobre uma partícula com carga elétrica dada por = que, sendo perpendicular à velocidade, resulta = 0 e, portanto, = (²) = 0, mostrando que a energia é conservada e a massa relativística permanece constante. Força e aceleração resultam paralelas, = = (6.56) / e, consequentemente, aceleração perpendicular à velocidade, típica de um movimento circular. A equação de movimento (6.4) fica 66

12 = =. (6.57) Para um campo magnético uniforme orientado na direção do eixo, =, e perpendicular à velocidade, de modo que = +, = =, resultando num sistema de equações diferenciais acopladas = para = = 0. (6.58) Derivando uma vez em relação ao tempo, resulta no par de equações desacopladas + = 0 + = 0 = (6.59). (6.60) Não é necessário considerar a componente do movimento, que pode contribuir com uma velocidade constante que pode ser tomada como nula sem perda de generalidade. No caso de uma partícula carregada que penetra numa região de campo magnético uniforme com uma velocidade perpendicular ao campo, por exemplo, ao longo do eixo, que corresponde à condição inicial ( = 0) = (, 0,0), as componentes e da velocidade ficam () = cos () =. (6.6) Integrando, resultam as coordenadas da trajetória, que descrevem um movimento circular uniforme no plano, () = () =, (6.62) cos 67

13 de raio + =, = = = conhecido como o raio de giro ou raio giromagnético de Larmor. A aceleração centrípeta é a frequência angular dada pela equação (6.60) Raios cósmicos a = = (6.63), (6.64) Excetuando os provenientes do Sol, os raios cósmicos, essencialmente prótons e outros núcleos leves, tem origem no espaço exterior. A maioria é de origem galáctica (da nossa Via Láctea), outros são extra galácticos. De onde quer que venham, uma vez aceleradas e lançadas ao espaço, devem ter seguido uma longa jornada até, eventualmente, penetrarem na atmosfera terrestre. No interior das galáxias as partículas carregadas estão sujeitas à ação do campo magnético que permeia o meio galáctico, da ordem de = 0 ⁶ (o campo magnético da Terra na superfície é da ordem de 0,3 ). Uma partícula com carga e energia, numa região de campo magnético uniforme, executará uma órbita circular definida pelo raio de Larmor (6.63), =. (6.65) Para um próton com energia de 0 ( =,602 0 ) num campo de 3 corresponde um raio de giro de aproximadamente 300, que é da ordem da espessura do disco galáctico. Assim, raios cósmicos acima 0 tendem a ser excluídos do plano galáctico, sendo, portanto, um limitante para a energia dos raios cósmicos de origem galáctica. O (), abreviatura de paralax per second, corresponde à distância de uma estrela fixa tal que um observador na Terra, ao ocupar as posições opostas durante a sua translação em torno do Sol, vê a posição dessa estrela deslocada de um segundo de arco. Equivale a 3,262, um sendo a distância percorrida pela luz no vácuo durante um ano, 9,46 0. Ocorrem eventos raros, conhecidos como raios cósmicos ultra energéticos, com energias acima da ordem 0, reconhecidos como de origem extragaláctica. Suas trajetórias são pouco afetadas por campos magnéticos da ordem de grandeza dos campos galácticos e extra galácticos, de modo que a direção de entrada na atmosfera de uma partícula cósmica ultra energética deve apontar diretamente para a sua fonte. No entanto, o espaço cósmico é permeado pela radiação cósmica de fundo que, embora não tenha energia 68

14 suficiente para afetar partículas cósmicas com energias abaixo da ordem de 0, pode-se mostrar que interage fortemente com os raios cósmicos de ultra alta energia, com energias acima da ordem de 0, causando uma rápida perda de energia absorvida na criação de pares partícula-antipartícula como os píons. 6.4 Colisões Efeitos relativísticos são particularmente importantes no universo das partículas elementares, que podem alcançar velocidades próximas à da luz. Informações acerca da natureza dessas partículas e o tipo de interações a que estão sujeitas são, em geral, obtidas em processos de colisões como as dos raios cósmicos ao incidirem sobre os núcleos dos gases atmosféricos ou em experimentos realizados nos aceleradores de partículas. Como o tempo de interação é extremamente curto nesses processos, os experimentos se reduzem às observações dos estados inicial e final do sistema, as leis de conservação sendo fundamentais na análise dos dados coletados. Para a energia e momento, as leis de conservação garantem que o momento linear total e a energia total do sistema antes e depois do processo sejam iguais, = e =. Os índices e referem-se aos estados inicial e final, respectivamente. Considere, por exemplo, uma colisão e espalhamento entre duas partículas, e, resultando em duas outras, e, + +. A equação de conservação do momento linear total fica + = + (6.66) e a equação de conservação da energia, com a equivalente lei de conservação da massa relativística, + = +. (6.67) + = +. (6.68) Na linguagem dos quadrivetores, resume-se na equação de conservação da energiamomento total do sistema, + = + }. (6.69) As colisões podem ser elásticas ou inelásticas. Nas colisões elásticas, a energia cinética total do sistema é conservada e nas inelásticas, parte da energia cinética é absorvida pelo sistema Colisões elásticas Diz-se que uma colisão é elástica quando a energia cinética total do sistema é conservada, 69

15 + = +. (6.70) Como a energia cinética relativística de uma partícula de massa e velocidade é definida como = ( )², a conservação da energia cinética aliada à conservação da massa relativística implica na conservação da massa de repouso das partículas, + = +. (6.7) Como exemplo de uma colisão elástica, considere uma partícula incidente de massa, momento e energia colidindo com uma outra partícula idêntica, em repouso e, após o colisão, as partículas emergem espalhadas simetricamente de um ângulo em relação ao eixo de incidência. Pela conservação de energia e momento, = + 0 = =, (6.72) de onde resulta e, portanto, de modo que = = = = = 2 = 2, (6.73) = 2 = 2 =. 2 /4 Utilizando a relação entre energia e momento, a equação anterior fica, = 4 = ( + )( ) ( + 2 )( ) = +, (6.74) + 3 que define o ângulo de espalhamento em função da energia inicial da partícula incidente e da massa das partículas Colisões inelásticas Uma colisão é inelástica quando a energia cinética, e consequentemente, a massa de repouso não são conservadas, + +. (6.75) 70

16 e + +. (6.76) Numa colisão inelástica, pode ocorrer reações tal que + < +, que caracteriza uma colisão com absorção de energia cinética, ou + > +, que caracteriza uma colisão explosiva, com liberação de energia cinética. Como caso extremo, há as colisões completamente inelásticas, quando as partículas emergentes após a colisão se agregam, formando um corpo único; nesse caso, há a absorção máxima da energia cinética. O exemplo a seguir mostra um típico processo completamente inelástico: a colisão frontal de duas partículas de massas iguais movendo-se com velocidades iguais em módulo e sentidos opostos, após a colisão emergindo uma única partícula de massa de repouso. Da conservação da energia e momento, 2 =, o momento inicial e o final nulos, de modo que a partícula resultante deve estar em repouso. A energia cinética inicial do sistema é = 2 2, de modo que a relação entre as massas antes e depois do evento fica = 2 = 2 / = 2 +, (6.77) onde é a energia cinética totalmennte absorvida e incorporada à massa de repouso do sistema resultante. Em sistemas macroscópicos, a energia pode ser absorvida como energia de ligação do sistema assim como ser parcial ou totalmente convertida em energia térmica, por exemplo. Significa que qualquer tipo de energia contribui para a massa total do sistema, sendo que, do ponto de vista relativístico, massa e energia podem ser tomadas como sinônimos, diferindo apenas, por conveniência, das unidades de medida. Em processos explosivos, o sistema libera energia em forma de energia cinética, como nos decaimentos espontâneos e criação e aniquilação de pares. Suponha uma partícula de massa, inicialmente em repouso, fragmentando-se em duas outras de igual massa de repouso. Nessa reação, = 2, o momento final permanecendo nulo, de modo que as duas partículas devem ser lançadas em direções opostas, com a mesma velocidade em módulo, o momento linear de cada partícula, em módulo, sendo =. A relação entre as massas fica = 2 +, 7

17 onde é a energia cinética liberada, mostrando que a reação somente pode ocorrer se >. Em sistemas de partículas elementares, colisões, aniquilações e produções de pares são fenômenos comuns. Na colisão e aniquilação de um par elétron-pósitron, deve resultar no mínimo dois fótons para que o momento linear seja conservado, pois os fótons, embora de massa nula, transportam energia e momento diferentes de zero relacionados por =. Se o momento inicial do sistema elétron-pósitron for nulo, o momento final também deve permanecer nulo, o que é impossível com a produção de apenas um fóton. Dois fótons também podem dar origem a um par elétron-pósitron desde que a energia dos fótons seja suficiente para, no mínimo, fornecer as energias de repouso do elétron e do pósitron. 6.5 Referencial de Centro de Massa Considere um sistema de partículas cujo momento linear total é = Define-se o referencial do Centro de Massa como o referencial onde o momento linear total é nulo, = 0. Considerando a energia e o momento totais, as transformações relativísticas, equação (6.35), entre os referenciais e (em movimento relativo uniforme ao longo do eixo ) resultam = ( ) = = =.. (6.78) Se o eixo for escolhido tal que = e = = 0, a condição de nulidade, = 0 do momento linear total em leva a = ( ) =. = 0 Desse modo, = (6.79) define a velocidade do referencial do centro de massa em relação ao referencial de e = /, (6.80) para = e = define a relação entre a massa relativística total do sistema e a massa no referencial de Centro de Massa, 72

18 = /. (6.8) Para um sistema de partículas que não interagem entre si, a posição do Centro de Massa pode ser definida pela fórmula usual =. (6.82) Como as massas relativísticas das partículas assim como a massa relativística total do sistema são constantes, = = = (6.83) resulta na velocidade uniforme do Centro de Massa, já definida pela equação (6.79). O referencial do Centro de Massa é o referencial de repouso do sistema como um todo. Neste sentido, verifica-se, também, a relação relativística entre a energia e o momento do sistema, =. (6.84) É como se uma única partícula com massa de repouso estivesse localizada nas coordenadas do Centro de Massa do sistema, movendo-se com velocidade uniforme, aproximação usada quando os graus de liberdade internos do sistema não são perceptíveis. Exercícios. Para um quadrivetor o produto escalar é uma invariante relativística. Determine essas invariantes para os quadrivetores de posição e de momento. 2. Demonstre que, assim como = / define a massa relativística de uma partícula de massa de repouso e velocidade num referencial, num outro referencial em movimento uniforme com velocidade em relação a, ao longo do eixo comum, a massa relativística será = /. 3. Como variam no tempo a massa e a energia de uma partícula submetida a uma força constante? Esboce gráficos dessas variações em função da velocidade e do tempo. 4. Obtenha o movimento de uma partícula sujeita a uma força constante, integrando a equação de movimento diretamente na sua forma tensorial. 5. As estrelas obtêm parte da energia pela fusão de três partículas, ou, formando um núcleo de Carbono,. Quanta energia é liberada nessa reação? 73

19 Dados: massas em unidade de massa atômica,... =,66 0 ²⁷ = 93,: 6. Considere a reação nêutron, próton, α 4, , a) Supondo que toda a energia excedente dessa reação transforme-se em energia térmica, qual é o ganho em temperatura após a reação? b) Qual é a energia cinética ganha por cada molécula de hélio, considerando que um mol contém ²³ moléculas? Os pesos de um mol de cada uma das substâncias abaixo são: Bibliografia (deutério) 2,0402g (lítio) 6,0526g (hélio) 4,002603g. H. A. Lorentz, A. Einstein e H. Minkowski, Textos Fundamentais da Física Moderna, I volume - O Princípio da Relatividade (3ª edição), Editora da Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa (958). 2. Richard A. Mould, Basic Relativity, Springer, NY, C. Moller, The Theory of relativity (second edition), Oxford University Press (972). 4. L. Landau and E. L. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Pergamon Press, Oxford (976). 5. P. G. Bergmann, Introduction to the Theory of Relativity, Dover Publications, NY, (976). 6. David Griffiths, Introduction to Elementary Particles, John Wiley & Sons, NY, Thomas K. Gaisser, Cosmic Ray and Particle Physics, Cambridge University Press, Bradley W. Carrol e Dale A. Ostlie, An Introduction to Modern Astrophysics, Addison- Wesley, Reading, Andrew Liddle, An Introduction to Modern Cosmology (second edition), John Wiley & Sons, John F. Hawley e Katherine A. Holcomb, Foundations of Modern Cosmology (second edition), Oxford University Press, Hélio Schechter e Carlos A. Bertulani, Introdução à Física Nuclear, editora da UFRJ (2007). 74