Universidade do Estado do Rio de Janeiro Centro de Tecnologia e Ciências Instituto de Física Armando Dias Tavares. Katharine Ivette Cuba Quispe

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1 Universidade do Estado do Rio de Janeiro Centro de Tecnologia e Ciências Instituto de Física Armando Dias Tavares Katharine Ivette Cuba Quispe Análise do movimento de partículas numa solução de buraco negro regular Rio de Janeiro 2017

2 Katharine Ivette Cuba Quispe Análise do movimento de partículas numa solução de buraco negro regular Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós-Graduação em Física, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Orientador: Prof. Dr. Santiago E. Perez Bergliaffa Rio de Janeiro 2017

3 CATALOGAÇÃO NA FONTE UERJ/ REDE SIRIUS / BIBLIOTECA CTC/D C 962 Cuba Quispe, Katharine Ivette. Análise do movimento de partículas numa solução de buraco negro regular / Katharine Ivette Cuba Quispe f. : il. Orientador : Santiago Esteban Perez Bergliaffa. Dissertação (mestrado) - Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Física Armando Dias Tavares. 1. Buracos negros (Astronomia) -Teses. 2. Gravitação - Teses. 3. Partículas (Física Nucelar) -Teses. I. Perez Bergliaffa, Santiago Esteban. II. Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Instituto de Física Armando Dias Tavares.. Título. CDU Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação, desde que citada a fonte.

4 Katharine Ivette Cuba Quispe Análise do movimento de partículas numa solução de buraco negro regular Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós-Graduação em Física, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Aprovada em 27 de Março de Banca Examinadora: Prof. Dr. Santiago E. Perez Bergliaffa (Orientador) Instituto de Física Armando Dias Tavares UERJ Prof. Dr. Rodrigo Maier Instituto de Física Armando Dias Tavares-UERJ Prof. Dr. Eduardo Rodrigues Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro Prof ạ Dr ạ Maria Emilia Guimarães Universidade Federal Fluminense Prof ạ Dr ạ Maria de Fátima Alves da Silva. Instituto de Física Armando Dias Tavares-UERJ Rio de Janeiro 2017

5 DEDICATÓRIA Aos meus pais María e Alfonso,irmãs, minha querida madrinha Ana Di Donnato,e a todos os amigos que, com muito carinho e apoio, não mediram esforços para que eu chegasse até essa etapa de minha vida.

6 AGRADECIMENTOS A todos que colaboraram na elaboração deste trabalho. Ao meu orientador, pela dedicação e disponibilidade. Aos meus pais e familiares, pelo apoio incondicional. Ao Alex G., pela ajuda oferecida durante tudo o tempo de conhece-o. A minha querida madrinha Ana, por me ensinar uma das lições mais importantes de minha vida. Aos amigos que conheci neste maravilhoso pais, e que me ajudarem incondicionalmente quando precise de ajuda.

7 Saber muito não lhe torna inteligente. A inteligência se traduz na forma que você recolhe, julga, maneja e, sobretudo, onde e como aplica esta informação. Carl Sagan

8 RESUMO CUBA QUISPE, K.I. Análise do movimento de partículas numa solução de buraco negro regular f. Dissertação (Mestrado em Física) Instituto de Física Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, O objetivo principal desta dissertação é analisar o movimento de diferentes tipos de partículas numa solução de buraco negro regular obtida por Bronnikov em As trajetórias são obtidas via integração numérica das equações das órbitas (utilizando o programa Maple), após a análise do potencial efetivo de cada caso. Os resultados são comparados com aqueles do buraco negro de Reissner-Nordstrom. Palavras-chave: Buraco negro de Bronnikov. Solução Regular. Movimento de partículas.

9 ABSTRACT CUBA QUISPE, K.I.Análise do movimento de partículas numa solução de buraco negro regular f. Dissertação (Mestrado em Física) Instituto de Física Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, The main goal of this dissertation is to analyze the motion of different types of particles in a regular black hole solution obtained by Bronnikov in The trajectories are obtained through numerical integration of the equations of the orbits (using the program Maple), after the analysis of the effective potential Of each case. The results are compared to those of the Reissner-Nordstrom black hole. Keywords: Bronnikov s black hole. Regular solution. Motion of particles.

10 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1 - Solução de Schwarszchild com coordenadas de Schwarszchild Figura 2 - Potencial efetivo de Schwarzschild para partículas com massa não nula para diferentes valores de β = L M Figura 3 - Extremos do potencial efetivo de Schwarzschild em função de β = L /M Figura 4 - Potencial efetivo de Schwarzschild para partículas sem masa Figura 5 - Órbitas das partículas massivas no buraco negro de Schwarzschild Figura 6 - Órbitas das partículas sem massa no buraco negro de Schwarzschild.. 22 Figura 7 - Horizonte externo da solução de Reissner-Nordstrom Figura Figura 8 - Pontos máximos e mínimos que toma o potencial efetivo para partículas com massa e sem carga de Reissner-Nordstrom, em função dos parâmetros l 2 e λ Potencial efetivo de Reissner-Nordstrom para partículas com massa e sem carga para diferentes valores de l Figura 10 - Potencial efetivo de Reissner-Nordstrom V ± (R) para partículas com carga e com massa Figura 11 - Potencial efetivo de Reissner-Nordstrom para partículas sem massa para diferentes valores de L Figura 12 - Órbitas das partículas com massa e sem carga no buraco negro de Reissner-Nordstrom Figura 13 - Órbitas de partículas com massa e sem carga no buraco negro de Reissner-Nordstrom para diferentes valores de λ Figura 14 - Órbitas descritas pelas partículas com massa e com carga no buraco negro de Reissner-Nordstrom Figura 15 - Órbitas descritas por partículas com massa e com carga no buraco negro de Reissner-Nordstrom para diferentes valores do parâmetro λ Figura 16 - Órbitas descritas por partículas sem massa no buraco negro de Reissner- Nordstrom Figura 17 - Horizontes de eventos dos buracos negros de Bronikov e de Reissner- Nordstrom Figura 18 - Extremos e potencial efetivo para partículas com massa e sem carga na solução de Bronnikov Figura 19 - Funções potencial V Br± (R) e potencial efetivo BBr 2 (R) para diferentes valores do momento angular Figura 20 - Órbitas descritas por particulas com massa e com carga para diferentes valores de ξ

11 Figura 21 - Órbitas descritas pelas particulas con massa e sem carga num buraco negro de Bronnikov Figura 22 - Comparação entre as órbitas de partículas com carga e massa com as de uma partícula massiva neutra Figura 23 - Órbitas descritas pelas partículas sem massa (a exceção dos fótons) num buraco negro Figura 24 - Órbitas das partículas sem massa nos buracos negros de Bronnikov (a exceção dos fótons) e de Reissner-Nordstrom Figura 25 - Órbitas seguidas pelas partículas com massa nos buracos negros de Reissner-Nordstrom e Bronnikov Figura 26 - Órbitas descritas por partículas com massa e com carga nos buracos negros de Reissner-Nordstrom e Bronnikov

12 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS EMNL RN BN RG Electromagnetismo não lineal Reissner-Nordstrom Buraco Negro Relatividade Geral

13 SUMÁRIO INTRODUÇÃO A SOLUÇÃO DE SCHWARZSCHILD Equação da órbita para uma partícula de massa não nula no espaço-tempo de Schwarzschild Equação da órbita para partículas sem massa no buraco negro de Schwarzschild BURACOS NEGROS CARREGADOS Relatividade Geral com uma fonte eletromagnética O buraco negro de Reissner-Nordstrom Movimento de partículas na métrica de Reissner-Nordstrom Equação da órbita para partículas massivas na solução de Reissner-Nordstrom Equação da órbita para partículas com carga q e massa m na solução de RN Órbitas de partículas sem massa no buraco negro de Reissner-Nordstrom Buracos negros regulares O buraco negro de Bronnikov Órbitas de partículas com carga q e massa m no buraco negro de Bronnikov Órbitas de partículas com m 0 e q = 0 no buraco negro de Bronnikov Órbitas das partículas sem massa (exceto fótons) no buraco negro de Bronnikov COMPARAÇÃO ENTRE O MOVIMENTO DE PARTíCULAS NAS SOLUÇÕES DE REISSNER-NORDSTROM E DE BRON- NIKOV Partículas sem massa nos buracos negros de Reissner-Nordstrom e Bronnikov Partículas com massa nos buracos negros de Reissner-Nordstrom e Bronnikov Partículas com carga e com massa nos buracos negros de Reissner- Nordstrom e Bronnikov CONCLUSÕES REFÊRENCIAS APÊNDICE A Solução das equações (35) e (36) APÊNDICE B Método Variacional para geodésicas APÊNDICE C Tensor de Ricci e tensor de Einstein APÊNDICE D Modelo de programação no Maple

14 12 INTRODUÇÃO Os buracos negros (BNs) são soluções de uma teoria da gravitação dada que possuem pelo menos um horizonte (isto é, uma superfície que delimita um volume cujos pontos não estão conectados causalmente com o exterior). Tais soluções têm importância tanto do ponto de vista puramente teórico (como por exemplo na questão da sua entropia e os graus de liberdade microscópicos associados), veja por exemplo Damour (2004), quanto do ponto de vista observacional, como na recente deteção de ondas gravitacionais (Abbott et al., 2016). Uma característica importante das primeiras soluções de BN encontradas no âmbito da Relatividade Geral (RG) (isto é, a soluçao de Schwarzschild (1916), a de Reissner- Nordstrom (Reissner, 1916; Nordstrom, 1918) e a de Kerr (1963)) é a presença de singularidades, cujo tipo depende da simetria da solução. As singularidades são um problema da teoria, já que limitam o seu domínio de validade (veja por exemplo Earman (1995)). Dado que o problema das singularidades na RG se manifesta em soluções de BN mas também em soluções cosmológicas (REF), há um grande interesse em soluções regulares (soluções sem singularidades) 1. Em particular, como veremos mais adiante, há na literatura um bom número de soluções regulares de BN usando como fonte das equações de Einstein teorias de eletromagnetismo não linear (EMNL), definidas por um lagrangiano invariante de calibre L(F ), onde F = F µν F µν. Tais teorias tem sido intensamente estudadas desde a publicação da teoria de Born e Infeld (1934), que evita no contexto clássico a singularidade associada ao campo elétrico de uma carga pontual. Mais um exemplo paradigmático de tais teorias vém dado pelo lagrangiano de Euler-Heisenberg (Heisenberg e Euler, 1936) que tem a sua origem na eletrodinâmica quântica. A primeira solução regular descrevendo um BN na RG com uma teoria de EMNL como fonte, foi apresentada por Barden (1968). Recentemente, novas soluções com diferentes teorias de EMNL foram obtidas por Ayon-Beato e Garcia (1998) 2, Ayón-Beato e García (1999; 2005), Cataldo e Garcia (2000) e Dymnikova (2004). Algumas destas soluções foram generalizadas ao caso com rotação (Bambi, Modestto, 2013; Toshmatov, 2010). Uma revisão de vários modelos pode ser encontrada em (Ansoldi, 2008). Outras características de essas soluções, tais como as suas propriedades termodinâmicas (SooMyung, Kim e Park 1 Em particular, soluções regulares de BN em gravitação quântica de laços, que têm sido estudadas por (Gambini, Olmedo e Pulli, 2014). 2 É importante salientar que esta solução presenta uma superfície Cataldo e Garcia (2000) e sin e ular com raio maior que o do horizonte externo, veja Bronnikov (2001) e Novello, Perez Bergliaffa e Salim (2000)

15 13, 2007), a estabilidade (Moreno e Sarbach, 2003; Breton e Perez Bergliaffa, 2015; Bretone e Perez Bergliaffa, 2014), os modos quasinormais e existência de órbitas circulares (Flachi e Lemos, 2013; Stuchlík e Schee, 2015). É importante salientar que existe um teorema no-go para a existência de BNs regulares, estáticos com simetria esférica com EDNL como fonte (Bronnikov et al., 1979). Tal teorema estabelece que no caso de lagrangianas L(F ) dependentes somente do invariante F, que têm o limite de Maxwell para campos fracos, não há soluções regulares com carga elétrica, mas sim com carga magnética. Um exemplo explícito de uma teoria de EMNL com tais propriedades foi apresentado por Bronnikov (2001) 3. No presente trabalho, estudaremos o movimento de diferentes tipos de partículas (carregadas, com massa e sem massa) na solução de buraco negro obtida por (Bronnikov, 2001), e faremos uma comparação dos resultados com aqueles obtidos para a solução de Reissner-Nordstrom (RN). O estudo do movimento começará com a análise do potencial efetivo para cada tipo de partícula, seguido da integração numérica da equação da órbita para os casos de interesse (escolhidos como resultado da análise do potencial). Começaremos com uma breve revisão da solução de Schwarzschild, incluindo a análise do movimento de partículas na mesma. Seguidamente apresentaremos as caracteristicas básicas da solução de RN, bem como as trajetórias de diferentes tipos de partículas, obtidas integrando seja a equação das geodésicas, seja a equação das trajetórias aceleradas. Depois deste estudo de duas soluções singulares, veremos na seção 2.3 as generalidades das equações de Einstein com uma teoria de EMNL acoplado como fonte. Em particular, apresentaremos os cálculos que levam à solução de BN obtida por Bronnikov (2001), e analisaremos qualitativa e quantitativamente o movimento de diferentes tipos de partículas neste espaço-tempo. No capítulo 3 faremos uma comparação de algumas características das soluções de RN e Bronnikov, incluindo movimento de partículas em cada uma delas, e o efeito da carga do buraco negro sobre o movimento. No capítulo 3.3 apresentamos um resumo dos resultados, e as perspectivas para trabalhos futuros. 3 Não é excluída pelo teorema a possibilidade de soluções regulares correspondentes a lagrangianas dependendo de ambos os invariantes do campo eletromagnético, L(F, Q), F = F µν F µν, Q = F µν F µν, onde F µν é o dual de F µν

16 14 1 A SOLUÇÃO DE SCHWARZSCHILD. A solução das equações de Einstein para o caso de um espaço-tempo estático com simetria esférica em ausência de matéria, foi obtida por Schwarzschild (1916). Veremos que ela representa um buraco negro, cuja métrica tem a forma seguinte: ( ds 2 = 1 2M r ) ( dt M r ) 1 dr 2 + r 2 ( dθ 2 + sin 2 θdφ 2), (1) onde M é a massa do BN 4. A métrica dada na Equação (1) tem duas características importantes. A primeira é que para r muito grande, ela se reduz à métrica do espaço-tempo de Minkowski em coordenadas esféricas: ds 2 = dt 2 + dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ). (2) A segunda é que a métrica é singular para r = 0 e r = 2M. A natureza da singularidade em cada caso é diferente: enquanto para r = 0 há uma singularidade física (definida, por exemplo, pelo critério de que as componentes do tensor de Riemann em tetradas divergem em r = 0 (Schutz, 2009, p )), em r = 2M nenhuma quantidade física diverge. A esfera com raio r = 2M (o raio de Schwarszchild) é o horizonte do BN, como segue do diagrama das geodésicas nulas (ver Figura 1), onde vemos a singularidade em r = 0 e o horizonte em r = 2M. Veremos a seguir outras características importantes da métrica dada na equação (1). Se derivamos as componentes do tensor métrico da equação (1) com relação ao tempo, vemos que g αβ = 0, com x µ = (x 0, x 1, x 2, x 3 ) = (t, r, θ, φ). Este resultado é consequência x 0 da existência de um vetor de Killing 5 tipo tempo da métrica (1), de forma tal que ela é estacionaria. Vemos ainda que há simetria sob a reflexão temporal t t = t), o que implica que a solução é estática. (D Inverno, 1992, p ). A geometria de BN de Schwarzschild apresenta ainda simetria rotacional, sendo então esfericamente simetrica. Schwarzchild. A seguir estudaremos o movimento de uma partícula de prova na métrica de Para obter as equações diferencias que governam o movimento, usaremos quantidades conservadas, método este que é mais simples que a integração ditera das 4 Nesse trabalho estamos usando unidades geometrizadas, definidas por c = 1, e G = 1, de forma tal que a massa tem unidades de comprimento. 5 Os vetores de Killing são os geradores dos grupos de simetria de uma geometria dada, veja por exemplo Weinberg (1972)

17 15 Figura 1 - Solução de Schwarszchild com coordenadas de Schwarszchild Fonte: D Inverno, 1992, p.220. equações (de segundo ordem) das geodésicas. A lagrangiana associada ao movimento de uma partícula teste num espaço-tempo com métrica g µν vé dada por L = 1 2 g µνẋ µ ẋ ν, onde o ponto designa a derivada com relação ao parámetro afim α. No caso da métrica de Schwarzschild temos (Ver Apêndice B). L = 1 2 [ ( 1 2M r ) ( ṫ M r ) 1ṙ 2 + r 2 θ2 + r 2 sin 2 θ φ 2 ], (3) Como t e φ são coordenadas cíclicas, seus respectivos momentos canônicos p t e p φ são constantes do movimento, as quais ficam expressos como: p t = L ( ṫ = 1 2M r e ) ṫ, (4) p φ = L φ = r2 sin 2 θ φ, (5) onde o ponto acima da coordenada indica a derivada com respeito ao tempo próprio τ, e foi usada a relação τ = mα. Essas constantes de movimento podem ser interpretadas da seguinte maneira: p φ é o momento angular da partícula por unidade de massa, e p t é a energia da partícula por unidade de massa medida por um observador no infinito (Schutz, 2009, p. 283). Para encontrar a equação da órbita que seguem as partículas de massa m utiliza-

18 16 remos a normalização do 4-momento: g µν ẋ µ ẋ ν = m 2, (6) onde m é a massa da particula. Desenvolvendo a equação (6) temos que g(r)ṫ 2 + g(r) 1 ṙ 2 + r 2 θ2 + r 2 sin 2 θ φ 2 = m 2, onde g(r) = 1 2M. A simetria esférica do buraco negro de Schwarzschild permite escolher r θ = π, o qual não provoca perda de generalidade, uma vez que não existe uma direção 2 privilegiada num espaço-tempo esfericamente simétrico. Assim, vamos orientar o sistema de coordenadas de modo que a projeção radial da orbita coincida com o equador, das coordenadas polares. Neste caso, a equação anterior se transforma na equação g(r)ṫ 2 + [g(r)] 1 ṙ 2 + r 2 φ2 = m 2. (7) Para o caso de partículas massivas, as equações (4) e (5) podem ser reescritas da forma: ṫ = me ( 1 2M r e ) 1, (8) φ = m L r 2, (9) onde E = E/m, e L = L/m. Substituindo as equações (8) e (9) na equação (7) e escrevendo o parâmetro afim como λ = τ/m, onde τ é o tempo próprio, obtemos finalmente a equação da orbita para partículas com massa m: ( ) 2 ( dr = E 2 1 2M dτ r ) ( ) L 2 r + 1. (10) 2 A equação (10) é uma equação diferencial de primeira ordem para r(λ), onde λ é um parâmetro afim. forma seguinte : Para facilitar a sua interpretação, tal equação pode ser reescrita da ṙ 2 = E 2 V 2 (r), (11) onde V 2 (r) = ( ) 1 2M r ( L 2 + 1), é o potencial efetivo para partículas massivas na métrica r 2 de Schwarzschild. Tal potencial é muito importante para realizar a análise qualitativa do movimento das partículas, e decidir quais trajetórias são interessantes para o estudo numérico.

19 17 Figura 2 - Potencial efetivo de Schwarzschild para partículas com massa não nula para diferentes valores de β = L M. (a) (b) Legenda: A figura da direita mostra o detalhe do ponto de inflexão, a partir do qual o potencial efetivo possui dois extremos. O horizonte aqui se encontra em R = 1. Fonte: A autora, Introduzindo a coordenada R = partículas massivas toma a forma: r, o potencial efetivo de Schwarzschild para 2M ( V 2 (R) = 1 1 ) ( ) L 2 R 4M 2 R + 1, (12) 2 com β = L adimensional. É fácil ver desta equação que os extremos da função potencial M ( estão em R 1 = β β ) ( β , e R 2 = β β + ) β , No ponto R 1 o potencial tem um mínimo, enquanto que R 2 é um ponto de máximo. Cada um desses valores de R corresponde a uma órbita circular (estável para R = R 1 e instável para R = R 2 ). Na figura 2 vemos o gráfico do potencial efetivo para partículas massivas em função de R. A figura mostra que existem pontos de retorno, dados por E 2 = V 2 (isto é, dr dτ = 0), sempre que E 2 < V 2 max. Outro aspecto importante a ser observado na figura 2 é que as órbitas circulares estáveis são possíveis sempre que os valores de β sejam maiores que 2 3, como segue da expressão de R 2. Há ainda órbitas finitas ou infinitas, dependendo do valor da energia e do momento angular 6. A variação dos extremos com β é mostrada na figura 3. Vemos que há um extremo (a rigor, ponto de inflexão) para β = 2 3, e dois extremos para β > Outras características do potencial efetivo podem ser encontradas em (Misner, Thorne e Wheeler, 1972, p. 639, ).

20 18 Figura 3 - Extremos do potencial efetivo de Schwarzschild em função de β = L /M. Legenda: A figura mostra que há um valor critico, dado por β c = 2 3 o potencial tem dois extremos. Fonte: A autora, De forma análoga ao que foi feito no caso de partículas com massa não nula, vamos obter a equação de ṙ para o caso de partículas sem massa 7. A partir da expressão do intervalo, neste caso ds 2 = 0, temos que: g µν ẋ µ ẋ ν = 0. (13) Fixando θ = π/2, expressando a derivada em função do tempo próprio τ = mα e desenvolvendo a equação (13), temos ( 1 2M r ) ( ṫ M r ) 1 ṙ 2 + r 2 φ2 = 0, (14) Para as quantidades conservadas no caso de partículas com massa nula temos que: ( 1 2M r ) ( ṫ = E ṫ = E 1 2M r ) 1, (15) 7 Neste caso o ponto denota a derivada com relação ao parâmetro afim.

21 19 Figura 4 - Potencial efetivo de Schwarzschild para partículas sem masa. Legenda: A figura mostra o potencial efetivo para partículas com m = 0 e diferentes valores do momento angular L = L 2M na métrica de Schwarzchild. O horizonte se encontra em R = 1. Fonte: A autora, r 2 φ = L φ = L r 2, Substituindo as equações (15) e (9) na equação (14) obtemos ṙ 2 = E 2 ( 1 2M r ) L 2 r 2. (16) (17) Essa equação diferencial determina a variação de r em termos do parâmetro afim. Introduzindo a coordenada R = r/2m, podemos definir o potencial efetivo da métrica de Schwarzschild para partículas sem massa como segue: B 2 (R) = ( 1 1 ) L2 R R, 2 onde L = L. O gráfico do potencial efetivo para partículas sem massa no buraco negro 2M de Schwarzschild é apresentado na figura 4. Ele possui um único extremo, situado em R = 3/2, que corresponde a uma órbita circular instável. Há pontos de retorno sempre que E < B max, e não há órbitas finitas. Até aqui temos discutido algumas características do movimento radial das partículas na métrica de Schwarzschild. A seguir incorporaremos a parte angular do movimento, utilizando a equação da órbita. (18)

22 Equação da órbita para uma partícula de massa não nula no espaço-tempo de Schwarzschild Para obter a equação da órbita usamos a relação da equação (9) como segue: dr dτ = dr dφ dφ dτ = dr L dφ r. 2 (19) Podemos agora reescrever a equação ( ) 2 dr = E 2 V 2 (r) (20) dτ da forma ( ) 2 [ ( dr = r4 E 2 dφ L 2 1 2M r ) ( )] L 2 r + 1. (21) 2 Em função da coordenada R, ( ) 2 [ ( dr = 4R4 E 2 dφ β ) ( )] β 2 R 4R + 1. (22) 2 φ(r) = ± Integrando a equação (22) obtemos R [ 4R 4 β 2 [ ( E ) ( )]] β 2 1 R 4R dr, (23) 2 esta é a equação que integraremos numericamente para encontrar as trajetórias de partículas com massa não nula em torno do buraco negro de Schwarzschild. O R no extremo inferior da integração indica o valor de R correspondente ao ponto de retorno da partícula ou, caso a particula tenha a energia suficiente para cair dentro do buraco negro, o horizonte. Exemplos de valores de R são dados por pontos de cor laranja na figura 5 (a). A integração numérica foi feita usando a folha de Mapleincluida no apêndice D. Os parâmetros para tal integração foram escolhidos utilizando o potencial efetivo, como apresentado na figura (5), ou seja foram escolhidos valores de E 2 caracterizando três comportamentos: (a) órbitas abertas que não se fecham em torno do BN (1.10 E , trajetórias de cor dourada na figura), (b) órbitas que dão uma volta (ou mais) em torno do BN (E 2 = 1.30, valor muito próximo do extremo do potencial, curva de cor vermelha na figura), e (c) trajetórias que atravessam o horizonte do BN (E , curvas de cor azul na figura) 8. As trajetórias correspondentes a cada caso são mostradas em (5)-(b). 8 Há ainda órbitas fechadas, na região do mínimo do potencial efetivo (em R 0.96).

23 21 Figura 5 - Órbitas das partículas massivas no buraco negro de Schwarzschild. (a) (b) Legenda: A figura mostra as órbitas percorridas por partículas de massa não nula na métrica de Schwarzschild. Em (a) vemos os valores da energia E 2 utilizados para fazer o gráfico (em coordenadas cartesianas) das órbitas na figura (b). O valor de β = L M = 5. Fonte: A autora, Equação da órbita para partículas sem massa no buraco negro de Schwarzschild Da equação (17) para r = 2MR obtemos: Ṙ 2 = Ẽ2 ( 1 1 ) L2 R R, 2 (24) onde Ẽ = E/(2M), e L = L/(4M 2 ). Analogamente ao caso anterior, obtemos para a equação das órbitas a expressão: φ(r) = ± [ R 4 R b 2 ( 1 1 ) ] 1 R 2 2 dr, (25) R sendo b o parâmetro de impacto, dado por b = LẼ. e R com o mesmo significado que no caso de partículas com massa não nula. Na figura 6 (a) os pontos de cor laranja são exemplos de valores de R.

24 22 Figura 6 - Órbitas das partículas sem massa no buraco negro de Schwarzschild. (a) (b) Legenda: A figura mostra as órbitas descritas por uma partícula sem massa (a exceção dos fótons) com momento angular L = 3. Em (a) vemos os valores de Ẽ2 que foram usados para fazer o gráfico das órbitas na figura (b) (em coordenadas cartesianas). O horizonte vem dado por R = 1. Fonte: A autora, Na figura 6, assim como no caso anterior apresentamos, se mostra o gráfico das órbitas descritas pelas partículas sem massa com seus respetivos valores de energia. As órbitas de cor verde, forem feitas usando valores de energia entre 0.5 Ẽ 1.1, a orbita de cor violeta tem uma energía de Ẽ = 1.3 e para as órbitas de cor laranja usamos energias Ẽ 1.5. As geodésicas nulas da figura foram obtidas através da integração numérica da equação 25, utilizando o formato da folha de Maple incluida no apêndice D, adaptada para nosso caso. Há três tipos de órbitas qualitativamente diferentes. Aquelas com Ẽ2 < V 2 max têm um ponto de retorno (curvas de cor verde em 6). Aquelas com Ẽ2 V 2 max podem dar uma ou mais voltas em torno do BN (dependendo da diferença entre a energia e o máximo do potencial), antes de voltar ao infinito 9 (curva de cor violeta). Finalmente, 9 Tais trajetórias são de fundamental importância no lensing forte no qual os fótons com energia próxima ao máximo do potencial formam um número infinito de imagens. Ver (Virbhadra, K. e George, F., 2000).

25 23 para Ẽ2 > V 2 max, as partículas caem no BN (curvas de cor laranja). No capítulo seguinte, estudaremos as trajetórias de diferentes tipos de partículas em dois BN com carga: o de Reissner-Nordstrom e o de Bronnikov.

26 24 2 BURACOS NEGROS CARREGADOS Neste capítulo apresentaremos as trajetórias de partículas com e sem carga em dois tipos de buracos negros com carga: o buraco negro de Reissner-Nordstrom e o buraco negro de Bronnikov. Há duas diferenças importantes entre estas duas geometrias: 1) enquanto o BN de RN é singular, o de Bronnikov é regular, e 2) a geometria de RN é solução da Relatividade Geral acoplada com o eletromagnetismo de Maxwell (que é linear); já a geometria de Bronnikov é solução da Relatividade Geral acoplada com uma teoria não linear do Eletromagnetismo. Veremos a seguir as generalidades da teoria de Einstein com uma teoria eletromagnética arbitrária como fonte. 2.1 Relatividade Geral com uma fonte eletromagnética. S = 1 16π A ação da RG acoplada com uma teoria eletromagnética arbitrária é dada por d 4 x g[r L(F )], (26) onde R é o escalar de Ricci F µν = µ A ν ν A µ é o tensor do campo electromagnetico, A µ é o cuadripotencial, F = F µν F µν e L é uma função arbitraria tal que L(F ) F quando F O tensor F µν obedece as equações dinâmicas e a identidade de Bianchi: µ (L F F µν ) = 0, µ F µν = 0. (27) Nestas equações, F µν = ɛ µνσλ F σλ, e L F dl df. As únicas componentes não nulas do tensor F µν compatíveis com a simetria esférica são F 01 = F 10 e F 23 = F 32, correspondentes ao campo elétrico e ao campo magnético radial. A forma matricial do tensor electromagnético F µν para este caso é: 0 F F µν = F F 23. (28) 0 0 F Lagrangianas mais gerais, dadas por L(F, G), onde G é o dual de F, não tem sido muito exploradas na literatura no que tem a ver com soluções exatas da RG.

27 25 O tensor de energia-momento segue da equação T µν = δs EM δg µν, (29) onde S EM é a ação do campo EM, e é dado por T ν µ = 2L F F µα F να 1 2 δν µl. (30) Definindo as quantidades f e = 2F 01 F 10, (31) e f m = 2F 23 F 32, (32) o tensor de energia-momento toma a forma T µ ν = 1 2 diag[2f el F + L, 2f e L F + L, 2f m L F + L, 2f m L F + L] (33) O elemento de linha correspondente a um espaço-tempo estático e esfericamente simétrico pode ser escrito na forma geral: ds 2 = e 2γ(r) dt 2 + e 2α(r) dr 2 + r 2 dω 2, (34) onde dω 2 = dθ 2 +sin 2 θdφ 2, e r é a coordenada radial (Weinberg, 1972). Com as definições anteriores, podemos encontrar uma integral primeira para as equações (27) (ver Apêndice A): r 2 e α(r)+γ(r) L F F 10 = Q e, (35) e F 23 = Q m sin θ, (36) onde Q e (Q m ) é a carga elétrica (magnética). Substituindo as equações (31) e (32) nas equações (35) e (36) temos f e = 2Q 2 er 4 L 2 F, (37)

28 26 e f m = 2Q 2 mr 4. (38) Para obter as soluções das equações de Einstein, dadas por G µ ν = T µ ν precisamos da forma explícita do tensor de Einstein G µ ν, que è dado por (ver Apêndice C): G 0 0 = e 2α r 2 ( 2rα e 2α + 1 ), (39) G 1 1 = e 2α r 2 ( 2rγ + e 2α 1 ), (40) G 2 2 = e 2α r [ rγ r(γ 2 ) + rα γ γ + α ], (41) e G 3 3 = G 2 2, e a denota a derivada com relação à coordenada r. Por outro lado, da equação (33) temos que: T 0 0 = T 1 1, T 2 2 = T 3 3 (42) Como consequência primeira igualdade, ao substrair as componentes 00 e 11 das equações de Einstein obtemos α + γ = 0, ou α + γ =cte. No limite r, α + γ 0, o que leva a γ(r) = α(r). Da componente 00 das equações de Einstein temos que T 0 0 = e 2α r 2 ( 2rα + e 2α 1 ), (43) que podemos reescrever como segue: T 0 0r 2 = d dr [ r ( 1 e 2α )]. (44) Integrando: T 0 0 r 2 dr = r ( 1 e 2α) + k, (45) onde k é uma constante de integração. Para simplificar a equação anterior definiremos a função M(r) da forma seguinte: e 2α(r) = 1 2M(r), r (46)

29 27 de forma tal que M(r) = r 2 (1 e 2α(r) ), (47) e a partir da equação (45), M(r) = 1 r 2 T0 0 dr + k. 2 (48) Utilizando esta expressão na equação (34), a solução das equações de Einstein com o tensor de energia-momento para uma teoria eletromagnética dada por L = L(F ) tem a forma ( ds 2 = 1 2M(r) ) ( dt M(r) ) 1 dr 2 + r 2 dω 2, (49) r r onde a função M(r) depende do T 0 0 através da equação (48) 11. É importante notar que a geometria descrita pela equação (49) deve se reduzir à solução de Schwarzschild no limite T 0 0 = 0. A partir da expressão para M(r), equação (48), vemos que a constante k corresponde à massa gravitacional do BN. Utilizando as equações obtidas nesta seção, analisaremos a seguir as soluções de buraco negro de Reissner-Nordstrom e do Bronnikov. 2.2 O buraco negro de Reissner-Nordstrom A geometria do buraco negro de Reissner-Nordstrom é solução das equações da RG com o electromagnetismo de Maxwell como fonte. Neste caso, L(F ) = F, L F = 1 e F = F µν F µν = 2Q2 e r 4. Temos então que a primeira componente T 0 0 da equação (33) T 0 0 = 2Q 2 e/r 4, (50) e usado a definição de M(r), M(r) = Q2 e 2r + M (51) 11 É importante notar que a função M(r) coincide com a definição da massa num volume de raio r numa geometria estática e assintoticamente plana, cujo conteúdo de matéria é tal que a traza do tensor energia-momento é nula (Wald, 1984).

30 28 Substituindo na equação (49) obtemos a métrica de Reissner-Nordstrom: ds 2 = g RN (r)dt 2 + g 1 RN (r)dr2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ), (52) onde g RN (r) = ( 1 2M r ) + Q2 e r 2 A equação g RN (r) = 0 define os valores do raio correspondentes aos horizontes da solução de RN, dados por r ± = M ± M 2 Q 2 e, sendo r + o horizonte externo e r o horizonte interno. Dividindo r ± entre 2M, obtemos R ± = 1 2 ± 1 4 λ2, (53) onde R ± = r ±, e λ = Qe. A figura (7) mostra o horizonte externo R 2M 2M + = r + 12 em função 2M da carga λ = Qe (ambas quantidades adimensionalizadas com a massa do buraco negro). 2M Da figura vemos que o valor máximo de R + é o raio de Schwarzschild, e que R + disminui com λ, e toma seu valor mínimo para λ = 0.5 (Q e = M), valores que corresponde ao BN de RN extremo Movimento de partículas na métrica de Reissner-Nordstrom Obteremos a seguir as equações que governam o movimento de uma partícula de prova de carga q, massa m e quadrivelocidade ẋ α num espaço-tempo curvo onde há um campo eletromagnético. Destas equações gerais obteremos aquelas que correspondem ao caso de RN. O movimento de uma partícula num campo eletromagnético descrito pela lagrangiana L (F ) é dado pela seguinte lagrangiana: L = 1 2 g dx µ dx ν µν dα dα + q m A dx α α dα, (54) onde α é um parâmetro afim, A µ = (Φ, A), A é o potencial magnético, Φ = Q e r é o 12 O horizonte interno da solução de RN é na verdade um horizonte de Cauchy, dentro do qual dados iniciais para um campo sobre uma superfície tipo espaço não determinam a evolução do mesmo. (Ver Wald (1984))

31 29 Figura 7 - Horizonte externo da solução de Reissner-Nordstrom Legenda: A figura mostra o raio adimensionalizado do horizonte externo da solução de RN em função de λ = Q 2M. Fonte: A autora, potencial elétrico. Substituindo a equação (54) na equação de Lagrange, dada por: d ( L ) dλ (dx µ /dα) L x µ = 0 e definindo ɛ = q m, obtemos ẋ β β ẋ ρ = ɛf ρ x α, α (55) em que o ponto significa a derivada com respeito ao tempo próprio e esta relacionado com o parâmetro afim por: τ = mα e β ẋ ρ = [ ẋ ρ + Γ ρ x β βαẋα] é a derivada covariante de ẋ ρ. A equação (55) descreve o movimento de uma partícula carregada numa métrica arbitraria em presença de um campo electromagnético descrito pelo tensor F µν. Devido ao fato que a solução de RN é estática e possui simetria esférica 13, existem duas quantidades conservadas: p t = L ṫ ( = g RN (r)ṫ + ɛ Q ) e = E r m (56) 13 Ver D Inverno (1992, p. 240).

32 30 p φ = L φ = r2 sin 2 θ φ = L m (57) Utilizando novamente a equação (6) para obter a equação da órbita para este tipo de partícula (com massa m e carga q) e usando também a métrica da equação (52) no plano equatorial θ = π obtemos: 2 g RN (r)ṫ 2 + g RN (r) 1 ṙ 2 + r 2 φ2 = 1, (58) [ ṫ 2 = Das equações (56) e (57) temos: 1 g RN (r) ( )] 2 E m ɛq e r ), (59) φ 2 = ( ) 2 L. m 2 r 2 (60) Substituindo essas equações na equação (58) e escrevendo o parâmetro afim como α = τ/m (sendo τ o tempo próprio), obtemos finalmente a equação diferencial para a coordenada r em função do tempo próprio: ṙ 2 = 1 [ E + q Q ] 2 ) e g RN(r) (1 + L2. (61) m 2 r m 2 r 2 A equação (61) se reduz à equação correspondente ao caso de Schwarzschild quando q = 0. A partir dela, definimos o potencial efetivo para o caso de partículas com massa e sem carga (q = 0) como segue: V 2 (r) = ( 1 2M r ) ) + Q2 e (1 + L2. (62) r 2 m 2 r 2 Como para o caso de Schwarzschild, vamos a usar R = V 2 (R) = (1 r, com o qual obtemos: 2M ) ) 1R λ2 + (1 + l2. (63) R 2 R 2 Na figura 8 (a) são mostrados os máximos e mínimos do potencial efetivo de Reissner- Nordstrom para partículas com massa e sem carga em função do momento angular l 2 e o parâmetro λ 2. Vemos que a curva para λ = 0 é aquela obtida para o caso de Schwarzschild (Figura 2). A medida que a carga aumenta, o ponto de inflexão que marca o começo da existência de dois extremos se desloca para valores menores de l 2. Na figura 8 (b),

33 31 Figura 8 - Pontos máximos e mínimos que toma o potencial efetivo para partículas com massa e sem carga de Reissner-Nordstrom, em função dos parâmetros l 2 e λ 2. (a) Vista 3D do potencial evaluado em seus pontos máximos R 1 e mínimos R 2. (b) Variação do ponto de inflexão do potencial de RN. Legenda: A figura mostra a variação dos extremos do potencial efetivo de RN para partículas com massa e sem carga em função do momento angular l 2 e o parametro λ 2. Fonte: A autora, vemos alguns exemplos com os pontos críticos do potencial efetivo, valores estes que dependem de λ e l. A figura ilustra o fato de que quando λ 2 aumenta desde 0 até 0.25, a existência do ponto de inflexão varia com o momento angular, aumentando desde 2 até 3. O gráfico do potencial efetivo de RN para partículas com massa e sem carga com λ 2 = 0.16 e para diferentes valores do momento angular é exibido na figura 9. Vemos nela os pontos máximos e mínimos, nos quais há órbitas circulares instáveis e estáveis respectivamente. O horizonte externo está situado em R = 0.8. Veremos a seguir o caso de partículas com carga, para o qual é possível utilizar a ideia de potencial efetivo reescrevendo a equação (61) na forma ṙ 2 = k(e V + )(E V ) (k = 1, constante), de tal modo que m V ± (r) = qq e r ± m g RN (r) ( ) L 2 m 2 r + 1, (64) 2 Da condição ṙ 2 0 segue que o movimento terá lugar para aqueles valores da coordenada r tais que E V + (r) e E V (r), ou E V + (r) e E V (r).

34 32 Figura 9 - Potencial efetivo de Reissner-Nordstrom para partículas com massa e sem carga para diferentes valores de l. Legenda: A figura da esquerda mostra os máximos do potencial efetivo de Reissner-Nordstrom para partículas com massa e sem carga para λ 2 = 0.16 e diferentes valores do momento angular. Na figura da direita vemos os mínimos correspondentes aos casos plotados na primeira figura. O horizonte está situado em R = 0.8 Fonte: A autora, Utilizando a coordenada R = r obtemos 2M V ± (R) = V ±(r) m ( = λɛ R ± 1 1 ) ( ) R + λ2 l 2 R 2 R + 1, (65) 2 com ɛ = q m. É importante notar que as funções potencial dependem do produto qq e, o que reduz o número de casos a serem considerados. A figura 10 mostra as funções V + (R) e V para uma partícula carregada com ɛ = q = 2 e m λ2 = 1. O raio do horizonte externo é R Vemos ainda da figura que V + V para todo valor de r, desigualdade esta que é válida independentemente dos valores dos parâmetros. Temos então que o movimento é em princípio possível para aqueles valores de r tais que E V + (r) ou E V (r) 14. Para as partículas sem massa, realizamos o mesmo procedimento que aquele feito no caso da geometria de Schwarzschild (equações (13)-(17)). A equação de movimento 14 Uma outra característica interessante que segue da figura 10 é que, em analogia ao caso do BN de Kerr (Hobson, 2006), é possível o movimento de partículas com E < 0, o que possibilita a extração de energia eletromagnética do BN de RN, ver Denardo e Ruffini (1973).

35 33 Figura 10 - Potencial efetivo de Reissner-Nordstrom V ± (R) para partículas com carga e com massa. Legenda: A figura mostra as funções potencial de Reissner-Nordstrom V ± (R) para uma partícula com carga q e com massa m, onde ɛ = q m = 2, λ2 = 1 16 e diferentes valores do momento angular l. Fonte: A autora, para este caso é o seguinte: ṙ 2 = E 2 g RN (r) L2 r 2, (66) e o potencial efetivo para o caso de partículas sem massa vem dado por B 2 RN(r) = g RN (r) L2 r 2, (67) Usando a variável R = r, obtemos 2M BRN(R) 2 = (1 ) 1R λ2 L2 + R 2 R, (68) 2 onde L = L. 4M 2 Na figura 11 vemos o gráfico do potencial efetivo de Reissner-Nordstrom para partículas sem massa, para quatro valores diferentes do momento angular, com λ 2 = O horizonte externo se encontra em R = 0.8. Nesse caso, o momento angular é somente um fator de escala, como segue da equação (68).

36 34 Figura 11 - Potencial efetivo de Reissner-Nordstrom para partículas sem massa para diferentes valores de L Legenda: A figura mostra o potencial efetivo de Reissner-Nordstrom para partículas sem massa com diferentes valores do momento angular L e com λ 2 = 0.16, os puntos amarelos representam os máximos da função. O horizonte externo se encontra em R = 0.8 Fonte: A autora, Equação da órbita para partículas massivas na solução de Reissner-Nordstrom Assim como no caso de Schwarzschild, vamos a obter a equação da órbita para este caso, partindo da equação (61) com q = 0, r = 2MR e considerando que a derivada é com respeito ao parametro afim σ = τ 2M, obtendo-se: ( ) 2 dr = E 2 (1 dσ ) ) 1R λ2 + (1 + l2 R 2 R 2 Sendo E 2 = E2 m 2, λ 2 = Q2 4M 2 e l 2 = L2 4m 2 M 2. Novamente utilizando a quantidade conservada da equação (60), mas expressando a derivada em função do parâmetro afim σ, temos que dφ = l dσ R 2 anterior obtemos ( ) 2 dr = E2 R 4 (1 dφ l 2 (69) e substituindo na equação ) ) 1R λ2 + (1 + l2. (70) R 2 R 2 Segue desta a equação da órbita para uma partícula com massa m e q = 0, dada por φ i (R) = [ E 2 R 4 R l 2 (1 ) )] 1 1R λ2 + (1 + l2 2 dr. (71) R 2 R 2

37 35 Figura 12 - Órbitas das partículas com massa e sem carga no buraco negro de Reissner-Nordstrom. (a) (b) Legenda: A figura mostra as órbitas descritas por uma partícula com massa e sem carga no buraco negro de Reissner- Nordstrom, com l = 2 e λ 2 = Em (a) temos o potencial efetivo para o presente caso e os diferentes valores de energia E 2 que utilizamos para fazer as trajetórias das partículas desenhadas em (b) (em coordenadas cartesianas). As órbitas de cor violeta são as correspondentes aos valores de energía 1.0 E , a orbita de cor salmão têm E = 1.11, e as órbitas de cor azul claro têm valores de energía E O horizonte está em R = 0.8. Fonte: A autora, R na integral, como para o casso de Schwartzchild, indica o ponto de retorno da partícula ou o valor onde fica o horizonte. Na figura 12 (a) os pontos de cor laranja são exemplos dos valores de R. Na mesma figura vemos o gráfico das trajetórias de partículas com massa e sem carga no buraco negro de Reissner-Nordstrom, que foram obtidas integrando a equação (71) e usando o programa no Apêndice D com as variáveis do presente caso. Em 12 (a), temos o gráfico do potencial efetivo e alguns valores de E 2 (dados pelas linhas horizontais). As órbitas são mostradas na figura 12 (b). As partículas com E caem dentro do buraco negro. Para conseguir visualizar com mais facilidade as órbitas que entram no horizonte externo do buraco (órbitas de cor celeste), utilizamos valores de energìa E Os parâmetros usados para esse caso são: l = 2 e λ 2 = Na figura 13, são apresentadas as trajetórias das partículas com massa e sem

38 36 Figura 13 - Órbitas de partículas com massa e sem carga no buraco negro de Reissner-Nordstrom para diferentes valores de λ. (a) (b) Legenda: A figura mostra as órbitas descritas por uma partícula com massa e sem carga no buraco negro de Reissner- Nordstrom, com l = 4 e diferentes valores de λ. Em (a) vemos os potenciais efetivos V 2 (R) nos quatro casos vistos para os diferentes valoreis de λ cujas órbitas foram desenhadas em (b) (em coordenadas cartesianas), as quatro trajetórias tem um valor de energia E (R) Fonte: A autora, carga, com diferentes valores de λ 2, e E (R) Como segue da figura 13 (a), este valor está muito perto do ponto máximo do potencial para λ = 0 (correspondente ao buraco negro de Schwarzschild). Consequentemente, em 13 (b) vemos que a órbita faz uma trajetória fechada em torno do BN. Os outros três casos correspondem a diferentes valores da carga do BN, com Q M. Vemos que as trajetórias ficam mais abertas quando a carga aumenta. As órbitas também foram obtidas integrando a equação (71) e usando o programa no Apêndice D Equação da órbita para partículas com carga q e massa m na solução de RN Novamente partindo da equação (61), mas dessa vez para q 0, m 0, r = 2MR e expressando a derivada com relação ao parâmetro afim σ = τ, obtemos que esta equação 2M se transforma em: ( ) 2 ( dr = E ɛλ ) 2 (1 dσ R ) ) 1R λ2 + (1 + l2, (72) R 2 R 2

39 37 onde E = E. Fazendo as mesmas transformações que no caso anterior, chegamos a obter m a equação da órbita para partículas com carga q e com massa m, que é a seguinte: φ l (R) = [ (R 2 R b R a ) 2 (1 ) ) 1R λ2 + (R ] R4 2 dr, (73) R 2 l 2 onde b = l E e a = l. Com esta equação, como nos casos anteriores, vamos a estudar as ɛλ trajetórias das partículas com carga e com massa ao redor da solução de RN. Na figura 14 (a) os pontos de cor azul são exemplos de valores de R. As trajetórias de partículas com massa e com carga em um buraco negro de Reissner-Nordstrom com momento angular l = 3 e λ 2 = 1 são mostradas na figura Como nos casos anteriores, na figura 14 (a) temos os valores da energia usadas e as órbitas correspondentes na figura 14 (b), sendo assim que para valores de energia entre 1.00 E 1.02 as partículas seguem as órbitas de cor azul claro, para quando E = a partícula segue a órbita azul; a quál faz uma órbita completa ao redor do buraco negro; e quando a energia é E 1.06 temos as trajétorias de cor laranja que caem dentro do buraco. As curvas foram obtidas integrando a equação (73). As figuras 14 (c) e (d) exibem o efeito da carga das partículas em suas trajetórias. Em (c) vemos as curvas do potencial efetivo para partículas com massa e sem carga V 2 (R) e da função potencial para partículas com massa e com carga V + (R), ambas para um momento angular l = 3 e λ = 1. As linhas azul e vermelho indicam os valores de energia 4 usados para fazer as órbitas em (d) de onde vemos que partículas com q 0 tende a ter muito mais proximidade do buraco negro que quando não apresenta carga, ou seja, uma partícula carregada precisa de menos quantidade de energia que uma partícula não carregada para ser atraído pelo buraco negro de Reissner-Nordstrom. As órbitas con linhas cheias são as correspondentes às partículas com carga e com massa, e as órbitas tracejadas são as correspondentes às partículas com massa. A figura 15, a diferença da figura anterior (a qual mostra as trajetorias das partículas para diferentes valoreis de energia), mostra o caso das trajetórias das partículas com diferentes valores de λ 2, com E = 1.65 e l = 5. Vemos quanto menor Q 2, mais abertas são as órbitas. Esse gráfico também foi obtido integrando a equação (73) para os valores de λ 2 que se mostram na figura.

40 38 Figura 14 - Órbitas descritas pelas partículas com massa e com carga no buraco negro de Reissner-Nordstrom. (a) (b) (c) (d) Legenda: A figura mostra as órbitas descritas por uma partícula com massa e com carga no buraco negro de Reissner- Nordstrom para l = 3. Em (a) vemos os intervalos de energia E usados para realizar as trajetórias em (b). O horizonte neste caso se encontra em R 0.93, λ 2 = 1 16 e ɛ = 2 Fonte: A autora, 2017.

41 39 Figura 15 - Órbitas descritas por partículas com massa e com carga no buraco negro de Reissner-Nordstrom para diferentes valores do parâmetro λ. (a) (b) Legenda: A figura mostra as órbitas descritas por uma partícula com massa e com carga no buraco negro de Reissner- Nordstrom para diferentes valoreis de λ. Em (a) vemos os potenciais efetivos V + (R) usados para realizar as trajetórias dos quatro valoreis de λ vistos, cujas trajetorias se mostram em (b). O valor de energía utilizado é E = 1.65, em quanto ɛ = q m = 2 e l = 5. Fonte: A autora, Órbitas de partículas sem massa no buraco negro de Reissner-Nordstrom Da equação (66), usando r = 2MR temos que: ( ) 2 dr = dτ Ẽ2 (1 1R + λr ) L2 2 R, (74) 2 com Ẽ = E e L = L. Para obter a equação da órbita, seguimos o mesmo procedimento 2M 2M que nos casos anteriores, obtendo-se o seguinte: φ f (R) = [ R 4 R b 2 (1 1R + λr 2 ) R 2 ] 1 2 dr, (75) onde b 2 = L 2 Ẽ 2. O límite R na integral indica o ponto de retorno da partícula. Na figura 16 (a) os pontos de cor azul são exemplos desses valores. Na figura 16 vemos as trajetórias das partículas sem massa no buraco negro de Reissner-Nordstrom, obtidas integrando a equação (75) e graficadas com o programa em Maple do Apêndice D, com L = 5 e λ 2 = A figura nos permite ver que a atracão que exerce o buraco nas partículas é muito menor que para o caso de partículas massivas

42 40 Figura 16 - Órbitas descritas por partículas sem massa no buraco negro de Reissner-Nordstrom. (a) (b) Legenda: A figura mostra as órbitas descritas por uma partícula sem massa no buraco negro de Reissner- Nordstrom para diferentes valoreis de λ. Em (a) vemos os valores de energía E 2 que se usarem para realizar as trajetórias que se mostram em (b) (em coordenadas cartesianas). O valor do parâmetro utilizado é λ 2 = 0.16 e o horizonte externo se encontra em R = 0.8 Fonte: A autora, e partículas com carga e com massa. 2.3 Buracos negros regulares Como discutido na Introdução, os buracos negros regulares apresentam uma série de características interessantes, e tem sido bastante estudados na literatura. A seguir veremos o detalhe de uma geometria de BN regular apresentada em Bronnikov (2001). Tal geometria é solução estática, com simetria esférica, e com uma teoria eletromagnética não linear como fonte, das equações da Einstein, O buraco negro de Bronnikov As condições necessárias e suficientes para a existência de soluções de BH estáticas e com simetria esférica das equações de Einstein com uma uma teoria EM não linear como fonte (com limite maxwelliano para campo fraco) foram discutidas em Bronnikov (2001). O resultado é que o único caso em que pode-se obter uma solução regular é Q e = 0 e