Análise Matemática 2 - Semana 2: 8 de Março, 2010

Transcrição

1 Análise Matemática 2 - Semana 2: 8 de Março, 200 Superfícies Identifique os seguintes conjuntos: (a) V = {(x,y,z) R 3 : x 2 + 2x + + (y ) 2 + z 2 = } Res: (x + ) 2 + (y ) 2 + z 2 = é a equação de uma esfera de raio r =, centrada no ponto (,, 0). O conjunto V é formado pelos pontos na superfície dessa esfera. (b) V = {(x,y,z) R 3 : x y } Res: O facto de z não figurar na expressão simplica a situação. Resolve-se o problema como fosse só em duas dimensões e, uma vez obtido o conjunto de pontos-solução no plano XoY, aplica-se à 3 dimensão (= z). Em R 2 resolve-se primeiramente forçando a igualdade e de seguida procura-se os pontos que satisfazem a inegualdade imposta. A igualdade x y = é satisfeita por pontos na recta y = x, com declive, e que intercepta o eixo dos yy no ponto (0, ) e o eixo dos xx no ponto (, 0). Os pontos da recta têm a forma (x, x, 0), para qualquer x. Quais são os pontos fora da recta que satisfazem a inegualdade, into é, para que pontos em R 2 temos x y >? Para saber isso, uma técnica básica em R 2, quando lidando com funções do tipo y = f(x), é escolher um ponto na fronteira (no nosso caso, um ponto na recta) e depois desviar-nos um tanto para cima (y +δy) ou para baixo (y δy) são duas possibilidades. Escolhe-se uma delas e testa-se a inegualdade. Se ela é satisfeita nesse ponto, conclui-se que o ponto pertence ao conjunto e o mesmo se diz de todos os pontos gerados desse modo. Caso contrário, o ponto não pertence ao conjunto e o mesmo se diz dos outros pontos semelhantes. Seja (0, ) o ponto na fronteira escolhido e δ uma quantia positiva. Escolhendo a segunda opção, deslocamonos para o novo ponto (0, δ) e testamos: x y > aí? 0 ( δ) >? Sim, pois esta inegualdade é δ > 0, o que é verdade por construção. Ora variando δ, sempre positivo, e cobrindo todos os pontos da recta, somos capazes de alcançar todos os pontos em R 2 por debaixo da recta. Conclusão: V consiste da recta e de todos os pontos por debaixo dela. Se projectarmos a recta na 3 dimensão, é obtido um plano infinito, que divide R 3 em duas metades. V = {(x, y, z)} R 3 : (x, x δ, z), δ 0} (c) V = {(x,y,z) R 3 : z = x 2 + y 2 } Res: É um objecto em R3. Um ponto de partida é z 2 = x 2 +y 2. Para z=±k fixo temos a equação de um círculo com raio k. For exemplo, para z = 2, resulta 2 2 = x 2 + y 2. Para z = 2, resulta ( 2) 2 = x 2 + y 2, que é a mesma expressão. Portanto, a expressão z 2 = x 2 +y 2 dá origem a dois cones idênticos, um deles invertido, com vértices na origem e alinhados com o eixo dos zz. Isto vê-se de z = ± x 2 + y 2. Mas no nosso caso só temos a raíz positiva. Conclui-se que é um cone invertido, com simetria à volta do eixo dos zz e com vértice na origem. (d) V = {(x,y,z) R 3 : z 2 = x 2 + (y ) 2 } Res: É um objecto em R 3. A expressão dada equivale a z = ± x 2 + (y ) 2 +. Para valores grandes de x e y o radical pode ser aproximado por z = ± x 2 + (y ) 2, que são dois cones com vértices a (0,, 0), com eixos paralelos ao eixo dos zz. O facto de termos o termo constante no radical, muda a posição do vértice do cone invertido (=o dos zz positivos) para (0,, ) e o outro para (0,, ). Esta deformação vai diminuindo conforme nos afastamos dos vértices. Conclui-se que, assimptoticamente, são dois cones. O ö está virado para baixo, tem o vértice a (0,, ). O 2ö, com vértice a (0,, ), está orientado correctamente. (e) V = {(x,y,z) R 3 : z = x 2 + y 2 } Res: É um objecto em R 3. A expressão dada só faz sentido para z 0. Se y = 0 e x 0, é uma parábola. Se x = 0 e y 0, é também uma parábola. Conclui-se que é uma parabolóide com vértice na origem, para z 0. (f) V = {(x,y,z) R 3 : z 2 2z + + y 2.

2 Res: A expressão (z ) 2 + y 2 é independente de x. No plano Y oz representa uma circunferência com centro a (0, 0, ), de raio r =, assim como o seu interior. Para qualquer outro plano paralelo ao primeiro obtemos o mesmo resultado. Conclui-se que é um cilindro infinito, que inclui o seu interior, de raio r = e eixo (x, 0, ), x R. (g) V = {(x,y,z) R 3 : x2 + y2 9, x2 + y 2.} Res: A expressão x2 + y2 9 é uma parabolóide e o seu interior, que intercepta os eixos a x = ±2, y = ±2 e z = ±3. A expressão x 2 + y 2 é independente de z. No plano XoY representa uma circunferência, assim como seu interior, com centro na origem, de raio r = 2. Para qualquer outro plano paralelo ao primeiro obtemos o mesmo resultado. Conclui-se que é um cilindro infinito, de raio r = 2 e eixo (0, 0, z), z R. O conjunto V é a intercepção dos dois objectos. (h) V = {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2, z 2 x 2 + y 2 } Res: A expressão é uma esfera, incluindo o seu interior, centrada na origem e com raio r =. A 2 expressão representa os dois cones da alínea (c) assim como o espaço exterior. O conjunto V é a intersecção dos dois conjuntos. (i) V = {(x,y,z) R 3 : y 2 + z 2 x 2, x [0, 2]} V 2 = {(x,y,z) R 3 : (x 2) 2 + y 2 + z 2, x [2, 3]} V = V V 2 Res: V é um cone e o seu interior, com simetria à volta do eixo dos xx, com vértice na origem e base no plano (2, y, z). Se V 2 não tivesse limitações impostas nos xx, seria uma esfera e o seu interior, de raio r =, centrada no ponto (2, 0, 0). A limitação imposta nos xx elimina a metade esquerda da esfera. O conjunto V, sendo a união de V e V 2, é um cone com meia esfera no topo. (A meia-bola não cobre a base do cone.) É um cone, com uma bola de sorvete, alinhado com o eixo dos xx. (j) V = {(x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 z 2, z [0, a]} V 2 = {(x,y,z) R 3 : x 2 +y 2 +(z a) 2, z [a, a+]} V = V V 2 Res: V é um cone e seu interior, com simetria à volta do eixo dos zz, com vértice na origem e base no plano (x, y, a). Se V 2 não tivesse limitações impostas nos zz, seria uma esfera e seu interior, de raio r =, centrada no ponto (0, 0, a). A limitação imposta nos zz corta a metade inferior da esfera. O conjunto V, sendo a união de V e V 2, é um cone com meia esfera no topo. É um cone, com uma bola de sorvete, alinhado com o eixo dos zz. Se a =, a junção entre o cone e a meia-esfera é perfeita. Noções Básicas de FRVV 2 Calcule o domínio das seguintes funções: a f(x,y) = x y Res: O domínio da função é R 2 \{(x, y) : x = y} b f(x, y, z) = ln( x 2 y2 z2 ) Res: ln( x 2 y2 z2 ) = ln( (x2 + y2 )) Para se manter real, o argumento do logarítmo tem de ser > 0; não pode ser nem zero nem negativo. Quando é que é negativo ou zero? É quando x2 + y2. É equivalente a dizer: os pontos que estão na elipsóide e no seu exterior não podem ser admitidos no domínio de f(x, y, z). Vem que o domínio de f(x, y, z) é o interior da elipsóide. São todos os pontos em R 3 para os quais > x 2 + y2. D f = {(x,y,z) R 3 : x 2 + y2 < } c f(x,y) = y x 2 Res: Neste caso, o argumento da raíz quadrada não pode ser negativo. O domínio da função é então constituido pelos pontos (x, y) para os quais y x 2. Quais são esses pontos? Usa-se a técnica pormenorizada na alínea 2

3 -(b). Para os pontos na parábola y = x 2, o argumento da raíz quadrada é zero. Vem que, eles fazem parte do domínio. E fora da parábola? Se (x 0, y 0 ) é um ponto na parábola, o ponto (x 0, y 0 + δ), δ > 0, fica para cima da curva. Para esse ponto y x 2 = y 0 + δ x 2 0 = δ > 0 pois y 0 = x 2 0. Então, o domínio de f são os pontos na curva y = x 2 e todos os que estão por cima: D f = {(x,y) R 2 : x 2 y} d f(x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 Res: O domínio são todos os pontos em R 3 excepto a origem (0,0,0). D f = R 3 \(0, 0, 0) e f(x, y) = x 2 y 2 x 2 + y 2 Res: A função é a diferença de duas funções (=duas raízes quadradas). Uma abordagem a tomar é determinar o conjunto de pontos que não pertencem ao domínio de cada raíz quadrada. x 2 y 2 = x + y A Norte x y As rectas y = x e y = x dividem o plano em quatro áreas, que chamaremos A Norte, A Sul, A Leste e A Oeste. Qualquer ponto nas duas rectas que delimitam as regiões faz parte do domínio de x 2 y 2. Qualquer ponto na região A Norte e A Sul não faz parte do domínio de x 2 y 2. y = x Vem que o domínio desta raíz quadrada são todos os pontos nas regiões A Oeste e A Leste, que são aqueles para os quais x y. E qual é o domínio de x 2 + y 2? A expressão x 2 + y 2 = representa uma circunferência com raio r =, centrada na origem. Os pontos na circunferência fazem parte do domínio, assim como os pontos exteriores. (Porquê?) Conclusão: O domínio de f(x,y) é formado pela intersecção das regiões A Oeste e A Leste com a circunferência e o seu exterior: D f = {(x,y) R 2 : x y x 2 + y 2 } f f(x,y,z) = x y Res: Na alínea (a) trabalhamos em R 2 mas agora é em R 3. Aplicando aquele resultado ao caso presente, o domínio desta função em R 3 são todos os pontos excepto aqueles que estão no plano constituido pelos pontos (x,y,z) com x = y e para qualquer z: (x,x,z). g f(x,y,z) = x 2 + y2 Res: O argumento da raíz quadrada é uma elipsóide cuja superfície intercepta os eixos a x = ±, y = ±2 e z = ±2. O domínio da função são os pontos na superfície e no exterior da elipsóide. h f(x,y,z) = x 2 y 2 ln( x 2 y 2 z 2 ) Res: Em 3 dimensões, o argumento da raíz quadrada é um cilindro de raio r =, centrado no eixo dos zz. (Em duas dimensões é uma circunferência, mas agora estamos a trabalhar em 3 dimensões.) Como o argumento não pode ser negativo, o domínio desta componente de f(x,y,z) é a superfície do cilindro e o seu interior. V = {(x,y,z) : x 2 + y 2 } O argumento do ln() é uma esfera centrada na origem com raio r = 2. Tendo em conta que o argumento não pode ser nem zero nem negativo, os pontos na esfera e no seu exterior não podem fazer parte do domínio desta 2 componente de f(x,y,z). V 2 = {(x,y,z) : x 2 + y 2 + z 2 < 2 2 } O domínio de f(x,y,z) é a intercepção de V e V 2. A Oeste 3 Esboce as curvas de nível das funções tendo em atenção o domínio de cada uma. a f(x,y) = x y x+y Res: D f = R 2 \{(x,y) : y = x} A curva de nível N c consiste dos pontos para os quais f(x,y) = c Resolvendo, vem x y x+y = c x y = cx + cy ( + c)y = ( c)x A Sul y = x r = A Leste 3

4 As curvas de nível são rectas cujos declives dependem de c. A origem não faz parte das curvas de nível. Alguns exemplos: c = 0: y = x; c = : 2y = 0; c = : y = 3 5x As respectivas curvas de nível (neste caso, são rectas) aparecem na figura. N indica que é a curva de nível para c =. A recta L, a tracejado, consiste dos pontos que não pertencem ao domínio de f(x,y). y N N 0 N L x b f(x,y) = y 2 x 2 Res: D f = R 2 A curva de nível N c consiste dos pontos para os quais f(x,y) = c. Para qualquer c > 0 temos a equação de uma hipérbola, orientada Norte-Sul, como se verá mais à frente. O gráfico à direita mostra a figura tri-dimensional, obtida se interpretarmos a expressão como z = f(x,y) = y 2 x 2. (Foi criada usando um programa Matlab, instalado no CICA, em apps.fe.up.pt.) A figura ajuda a melhor ver as curvas de nível. Se cortarmos o objecto tri-dimensional por um plano ao nível z = c, qual é o perfil que se obtém? Observando as cores da figura, vê-se que será uma hipérbola orientada segundo o eixo dos yy, se c > 0, e segundo o eixo dos xx, para c < 0. Esta figura foi obtida do site wikipédia. Mostra a orientação da hipérbola segundo a expressão. Neste caso, os níveis são c = e c =. Se o nível for c = 2, qual é a intercepção com os eixos? Deve-se substituir alternadamente x = 0 e y = 0 em y 2 x 2 = 2 e resolver. Para x = 0, obtém-se y = ± 2 ; para y = 0, não existe solução real. Isto mostra que para c > 0 a hipérbola está orientada Norte-Sul. Facilmente se deduz que terá a outra orientação se c < 0. E se c = 0? É o ponto (0, 0). Para c = k, k > 0 os vértices são y = ± k; para c = k, k > 0 os vértices são x = ± k Neste caso, as assímptotas são y = ±x. Se tivéssemos constantes positivas a dividir y 2 e x 2, as assímptotas formariam um ângulo com os eixos diferente de 5 o. c f(x,y) = x 2 y2 Res: D f = R 2 \{(x,y) : x 2 + y2 = }

5 c f(x,y) = x 2 y2 Res: D f = R 2 \{(x,y) : x 2 + y2 = } O gráfico à direita mostra a figura tri-dimensional, obtida se interpretarmos a expressão como z = f(x,y) = (Programa x 2 y2 Matlab, instalado no CICA, em apps.fe.up.pt.) A figura ajuda a melhor ver as curvas de nível. Se cortarmos o objecto tri-dimensional por um plano ao nível z = c, qual é o perfil que se obtém? Para valores um pouco acima de, à volta da origem obtemos uma elipse. As curvas de nível são determinadas de seguida. Seja c 0 o nível em questão: c = x 2 y2 x 2 y2 = c x2 + y2 = c c Desta expressão vem que o c não pode tomar valores na gama 0 c <. Por exemplo, para c = 2, c c =, o que é não é aceitável pois é a soma de duas quantias 0. E c? Tal curva de nível é uma elipse. Exemplo: c = x 2 + y2 = 3 x2 3 + y2 3 =. E para valores negativos? Eles são todos admitidos, pois c c > 0 para tais valores. São elipses também. Observação: O denominador de f(x,y) é nulo nos pontos que formam a elipse = x 2 + y2. Nesses pontos o gráfico dado acima tende para infinito. Mas uma vez que estejamos no exterior da elipse, cada vez mais longe da origem, o denominador passa a ser cada vez mais negativo, seguindo para -infinito, e a função tendo para zero. d f(x,y) = x 2 + y 2 + z 2 + 2x y + 5 Res: D f = R 3. f(x,y) = x 2 + 2x + + y 2 y + + z (x + ) 2 + (y 2) 2 + z 2 As curvas de nível para c 0 são esferas com raio c centradas a (, 2, 0). Para c < 0 não há curvas de nível. Determine o gráfico das funções a f(x,y) = x 2 + y 2 Res: D f = R 2. f(x,y) = x 2 + y 2 tem simetrias em x e y. Por exemplo, f(x, y) = f(x,y). Uma possível interpretação para o gráfico f(x,y) é criar um objecto em três dimensões: a qualquer ponto (x,y) corresponde um valor, que se interpreta como sendo a terceira dimensão. Mas também se pode interpretar a função como dando/descrevendo a intensidade da cor num plano. Assim, na origem a cor é zero e conforme nos afastamos, a intensidade aumenta radialmente. 5

6 são circunferências, centradas na origem. Quanto ao gráfico, se for cortado por um plano vertical que inclua o eixo dos zz, obtemos uma parábola. O gráfico representa um parabolóide. b f(x,y) = x 2 + y 2 + Res: D f = R 2. f(x,y) = x 2 + y 2 + tem simetrias em x e y. Para pontos (x,y) perto da origem (por exemplo, para (, )) o termo constante (=o ) tem muita influência. Conforme nos afastamos (=distâncias radiais ), o termo constante perde influência. Por exemplo, para (00, 00), Isto diz que o radical pode ser simplificado. Sunsbtituindo x 2 +y 2 por r 2, para distâncias radiais suficientemente grandes f(x,y) pode ser aproximada por f(x,y) = x 2 + y 2 = r e conclui-se que é a expressão de um cone. As duas figuras mostram esse efeito. A da esquerda é para valores próximos da origem. A outra cobre uma área maior e o efeito assimptótico (=o gráfico tende para um cone) começa a ser notado. c f(x,y) = x 2 y 2 Res: D f = R 2. f(x,y) tem simetrias em x e y. Esta função está relacionada com a da alínea a. Neste caso, temos um parabolóide invertido e com vértice a (0, 0, ). são circunferências, centradas na origem e só existem para c. d f(x,y) = x 2 + y 2 6

7 Res: D f = R 2. f(x,y) = x 2 + y 2 tem simetrias em x e y. Esta função está relacionada com a da alínea b. Como neste caso o radical não inclui termo constante, verifica-se de imediato que é um cone invertido, com vértice no ponto a (0, 0, ).. são circunferências, centradas na origem e só existem para c. e f(x,y) = x 2 + y 2 Res: D f = R 2 \{(x,y) : x 2 + y 2 < }. f(x,y) tem simetrias em x e em y à volta da origem. Esta função é semelhante à da alínea b excepto que alí não havia problemas de domínio. No caso presente, temos de excluir todos os pontos interiores à circunferência de raio r =. para valores à volta da origem. Também aqui se nota o comportamento assimptótico da função. Para ponto longe da origem, o efeito da constante no radical desaparece e aproxima-se cada vez mais de um cone. f f(x,y) = (x ) 2 + (y ) 2 Res: D f = R 2. f(x,y) tem simetrias em x à volta de e em y à volta de. Esta função é a mesma da alínea a só que agora não está na origem mas sim no ponto (,, 0). são circunferências, centradas no ponto (, ) e só existem para c 0. JJCosta, Março 200 7