Números Complexos. Cálculo Diferencial e Integral III WELLINGTON JOSÉ CORRÊA. Campo Mourão, Paraná. Brasil. Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Transcrição

1 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná ampus ampo Mourão Números omplexos álculo Diferencial e Integral III WELLINGTON JOSÉ ORRÊA ampo Mourão, Paraná Brasil

2 Sumário

3 Wellington José orrêa 3 Números omplexos Desde que algumas equações algébricas, tais como x + 1 = 0, não tem solução em R, os primeiros matemáticos foram obrigados a considerar soluções puramente formais, envolvendo raízes quadradas dos números negativos. Assim, Heron (Alexandria, 100 a..) obteve a solução de 63, Girolano árdan (1545) escreveu 40 = (5 + 15) (5 15). Esses números foram considerados sem utilidade e o termo imaginário foi aplicado a eles. Se i é definido solução da equação x + 1 = 0, os números da forma a + i b, a, b R são chamados Números omplexos. O desenvolvimento moderno dos números complexos começou com a descoberta por meio da interpretação geométrica deles. Iniciada por John Wallis (1685), formalizada por aspar Wessel (1799) e estabelecida e reconhecida a partir de 1806 com Jean Robert Argant e, finalmente, formalmente estudada por arl Friedrich Gauss (1831). ertamente, o seu primeiro contato com os números complexos foi por meio da obtenção das raízes de uma equação do ō grau a + bx + c = 0 dada pela fórmula x = b ± b 4ac a Quando o discriminante for negativo, sabemos que a fórmula acima não leva a nenhuma raiz real. No entanto, os números complexos entraram na Matemática pela equação do 3 ō grau e não do ō. Definição 1. Definimos o conjunto (chamado de conjunto dos números complexos) como sendo o conjunto dos pares ordenados (a, b) com a, b R com as operações: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). Identificações: Denotamos (a, 0) = a (0, 1) = i. Observações: Temos que 1. Dado z, z = (a, b), chamamos a = Re(z) como parte real de z e b = Im(z) de parte imaginária de z.. O par (0, 0) é o elemento nulo para a operação soma. 3. O par (1, 0) é o elemento nulo para a operação multiplicação.

4 Wellington José orrêa 4 4. Temos que (a, b) = (c, d) a = c, b = d. Munidos dos conceitos apresentados acima, podemos obter o plano complexo, que é o conjunto de representações de todos os números complexos z = x + iy pelos pontos P = (x, y) do plano. A representação dos números complexos por pontos do plano é muito útil e de uso frequente. Por meio dela, o número complexo z = x + iy é identificado com o ponto (x, y), ou com o vetor Oz de componentes x e y. Figura 1: Representação dos números complexos Proposição 1. Dados os números complexos z 1, z, z 3, valem as propriedades: 1. Associativa: (z 1 + z ) + z 3 = z 1 + (z + z 3 ).. omutativa: z 1 + z = z + z Distributiva: z 1 (z + z 3 ) = z 1 z + z 1 z 3. Usando a 1 ā definição e as identificações, temos: 1. (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1, ou i i = 1, o que nos mostra que i = 1.. Adição 3. Subtração 4. Multiplicação (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d). (a + ib) (c + id) = (a c) + i(b d). (a + ib) (c + id) = (ac bd) + i(ad + bc). 5. Divisão a + ib c + id = a + ib c + id c id c id ac + bd + i(bc ad) = c + d ac + bd ad = + ibc c + d c + d.

5 Wellington José orrêa 5 Exemplo 1. Sejam z 1 = 1 i e z = i. alcule z 1 + z, z 1 z, z 1 z, z 1 /z e represente-os geometricamente. O número complexo c id é chamado conjugado do número complexo c+id. De modo geral, dado z = a + ib, denotamos por z = a ib como sendo o conjugado de z. Observação: Ao contrário do que acontece no conjunto dos números reais, o conjunto não se sabe quem é o maior, ou seja, o conjunto dos números complexos não é ordenado. Definição. (Valor Absoluto) Seja z = a + ib um número complexo. Definimos z = a + b como sendo o valor absoluto de z. Propriedades de conjugação e valor absoluto. 1. z 1 ± z = z 1 ± z.. z 1 z = z 1 z. ( ) z1 3. = z 1. z z 4. Se z = Re z z = z. 5. Se z = Im(z) z = z. 6. Se z 1 = a 1 + b 1 i e z = a + b i então z 1 z = (a 1 a ) + (b 1 b ) é a distância entre z 1 e z. 7. z z = z. 8. z = z. 10. z 1 z = z 1 z, z z 1 + z z 1 + z 9. z 1 z = z 1 z 1. z 1 z z 1 z Exemplo. Esboce os conjuntos de pontos dados. 1. z = 1. z < 1 3. z > 1 4. z = 1 5. z i = 4 Exercícios: 1. Reduza à forma z = a + ib cada uma das expressões dadas nos ítens a seguir.

6 Wellington José orrêa 6 (a) (3 + 5i) + ( + i) (b) ( 3 + 4i) (1 i) (c) (3 5i) ( 4i) (d) (1 + i) 3 (e) 1 + 3i (f) 1 i 1 + i ( 1 i (g) 1 + i ) 30 (h) ( 3 i) i[ i( 3 + 4)] Resp.:(a) 1 + 6i, (b) 4 + 6i, (c) 6 i, (d) + i, (e) 13 3 i, (f) -1, (g) -1, (h) 4 4 i. 13 k. Mostre que i n = 1, 1 + i, i ou zero, conforme o resto da divisão de k por 4 seja zero, 1, n=0 ou 3, respectivamente. 3. Represente graficamente os números complexos z 1, z, z 1 z e z 1 /z de modo que z 1 = 3 i, z = 3 i. 4. Mostre que (a) z = z (b) Re(z) = z + z (c) Im(z) = z z i 5. Dados dois números complexos α e β, prove que α + β + α β = α + β. Faça um gráfico e obtenha a seguinte interpretação geométrica: a soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo é igual a soma dos quadrados das diagonais. 6. Prove que se z 1 = z = z 3 = 1 e z 1 + z + z 3 = 0, então z 1, z e z 3 são vértices de um triângulo equilátero inscrito no círculo unitário de centro na origem. Faça um gráfico. Representação Polar onsiderando a representação geométrica de um número complexo z 0, chama-se argumento de z o ângulo θ formado pelo eixo Ox e o vetor Oz. omo em trigonometria, os ângulos são aqui orientados: consideramos positivo o sentido de percurso oposto ao dos ponteiros do relógio.

7 Wellington José orrêa 7 O argumento de z pode ser definido quando z 0; mesmo nesta hipótese, o argumento só fica determinado a menos de múltiplos inteiros de π, isto é, θ pode ser trocado por θ + kπ, k = 1,,... omo a = z cos θ e b = z sen θ, temos a seguinte representação polar ou representação trigonométrica: z = r (cos θ + isenθ), r = z ; (1) de modo que r e θ são designados as coordenadas polares de z. Figura : Forma Polar do número complexo z = a + ib Exemplo 3. Encontre o argumento e escreva os seguintes números na forma polar 1. z = 1 i. z = i 3. z = 5 + i Fórmulas do Produto e do quociente De posse da representação polar, vamos deduzir uma regra conveniente para a multiplicação. Sejam z 1 = r 1 (cos θ 1 + isenθ 1 ) e z = r (cos θ + isenθ ) dois números complexos quaisquer. Então z 1 z = r 1 r (cos θ 1 + isenθ 1 ) (cos θ + isenθ ) = r 1 r [(cos θ 1 cos θ senθ 1 senθ ) + i(senθ 1 cos θ + cos θ 1 senθ )] = r 1 r [cos(θ 1 + θ ) + isen(θ 1 + θ )]. Vamos deduzir um resultado análogo para a divisão, no entanto, note que temos: 1 cos θ + isenθ = cos θ isenθ (cos θ + isenθ)(cos θ isenθ) = cos θ isenθ, z 1 z = r 1 r cos θ 1 + isenθ 1 cos θ + isenθ = r 1 r (cos θ 1 + isenθ 1 )(cos θ isenθ ) = r 1 r [(cos θ 1 cos θ + senθ 1 senθ ) + i(senθ 1 cos θ cos θ 1 senθ )] = r 1 r [cos(θ 1 θ ) + isen(θ 1 θ )].

8 Wellington José orrêa 8 Exemplo 4. alcule z 1 z e z 1 z na forma polar onde z 1 = 1 + i e z = 3 i. Fórmula De Moivre A fórmula da multiplicação estende-se para um número qualquer de fatores, isto é, de demonstração simples, podemos obter z 1 z... z n = r 1 r... r n [cos(θ 1 + θ +... θ n ) + isen(θ 1 + θ +... θ n )]. Quando todos os fatores são iguais e de módulo unitário, obtemos a fórmula De Moivre: (cos θ + isenθ) n = cos nθ + isen nθ. Esta fórmula também é válida também para expoentes negativos. De fato, (cos θ + isenθ) n = 1 (cos θ + isenθ) = 1 n cos nθ + isen nθ = cos nθ isen nθ = cos( nθ) + isen( nθ). Exemplo 5. alcule (1 + i) 10 e (1 + i) 5.

9 Wellington José orrêa 9 Exercícios: 1. Determine o argumento dos números complexos dados, escreva esses números na forma polar e represente-os geometricamente. (a) z = + i (b) 1 + i 3 (c) z = ( i ) 5 (d) z = 1 + i 1 + i Resp.: (a) z = (cos(3 π/4) + isen(3 π/4), (b) z = (cos(π/3) + isen(π/3), (c) z = /8 (cos(3 π/4) isen(3 π/4), (d) z = 5(cos(arctg) + isen(arctg)). Prove que cos 3θ = cos 3 θ 3 cos θ sen θ e sen 3θ = sen 3 θ + 3 cos θ sen θ Dica: Desenvolva (cos θ + i sen θ) 3 pela fórmula do binômio e pela fórmula de Moivre. Raízes n-ésimas Diz-se que um número z é raiz n-ésima de um dado número complexo a, se z n = a. omo veremos logo a seguir, um número complexo não-nulo possui n raízes distintas. Para isso, consideremos o número dado a 0 em sua forma polar, bem como, a raiz que desejamos encontrar na sua forma polar, ou seja, a = r(cos θ + isenθ) e z = ρ(cos ϕ + isenϕ). Utilizando com deleite a fórmula De Moivre, a equação z n = a assume a seguinte forma: ρ n (cos nϕ + isen nϕ) = r(cos θ + isenθ). omo a igualdade de números complexos requer a igualdade das partes reais e das partes imaginárias, separadamente, devemos ter ρ n cos nϕ = r cos θ e ρ n sen nϕ = rsenθ. Estas equações, por sua vez, equivalem a ρ n = r e nϕ = θ + kπ, onde k é um inteiro. Daqui segue-se que se ρ é a raiz n-ésima positiva de r, donde [ ( ) ( )] z = n a = n θ + kπ θ + kπ r cos + isen. () n n Esta fórmula produz n raízes distintas, quando k se atribuem os valores de k = 0, 1,..., n 1.

10 Wellington José orrêa 10 Exemplo 6. Determine as raízes cúbicas do número a = 8, isto é, devemos resolver a equação z 3 = 8. No caso particular quando a = 1, temos que θ = 0 e a fórmula (??) se reduz a ( ) ( ) kπ kπ z = cos + isen n n (3) que são chamadas raízes n-ésimas da unidade. Exemplo 7. alcule as raízes de z 4 = 1 e esboce tais raízes no plano complexo. Exercícios: 1. alcule as raízes dos números complexos e faça a representação gráfica correspondente somente dos ítens (a) - (d). (a) 3 1 (c) i (e) 7 4i (b) i (d) i 3 Respostas: 1. (a) 1, 1 (1 + i 3), 1 (1 i 3) (b) 1 + i (c) 1 i (d) ± 3 + i, i (e) ± (3 4i) Funções omplexas Estudaremos funções definidas em subconjuntos de e que tomam valores em. Se f é uma função desse tipo, então: f(z) = u(z) + iv(z) onde tanto u como v são funções a valores reais. Se z = x + iy, podemos escrever: f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y).

11 Wellington José orrêa 11 Logo, duas duas funções arbitrárias u = Re(f(z)) : R R e v = Im(f(z)) : R R definem uma função complexa. Em outras palavras, uma função complexa é simplesmente uma função com domínio em R. Exercício: Nas funções de variável complexa definidas abaixo, identifique a parte real u(x, y), a parte imaginária v(x, y). 1. f(z) = z. f(z) = 3z + 3. w = z + z w = z 5z w = 1 z 6. w = 3 z 5 A primeira função f : será definida a seguir. A Função Exponencial omplexa admitimos que leitor, com sua vívida e prazerosa familiaridade com as funções trigonométricas, a constante de Euler e e a função exponencial e x, conceitos estes que são estudados nos cursos de álculo. Lembramos, em particular, os desenvolvimentos dessas funções em séries de MacLaurin, válidos para todos os valores reais da variávei x: e x = + n=0 x n n! = 1 + x + x! + x3 3! +... ; (4) cos x = + n=0 ( 1) n x n (n)! = 1 x! + x4 4! x6 6! +... ; (5) senx = + n=0 ( 1) n x n+1 (n + 1)! = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... (6) Vamos tomar o desenvolvimento (??) como base para definir e z com z complexo. Formalmente, assuma que este desenvolvimento seja válido para nossos propósitos e que e z para z complexo, então para y real, tem-se: e iy = 1 + iy + (iy)! + (iy)3 3! + (iy)4 4! + (iy)5 5! + (iy)6 6! = 1 + iy y! iy3 3! + y4 4! + iy5 5! y6 6! iy7 7! (iy)7 7! +...

12 Wellington José orrêa 1 Ou ainda, e iy = ou seja, em vista de (??) e (??), obtemos: ) ) (1 y! + y4 4! y6 6! i (y y3 3! + y5 5! y7 7! +..., e iy = cos y + iseny. Por outro lado, da definição da exponencial no caso de um expoente qualquer z = x + iy temos doravante, e z = e x+iy = e x e iy, e z = e x+iy = e x (cos y + iseny). (7) Propriedades: 1. e z 1+z = e z 1 e z ;. e z = 1/e z ; 3. (e z ) n = e nz, n inteiro; 4. e z 0 para todo z; 5. e z = e Re(z) ; 6. e z = 1 z = kπi, k inteiro. Observação: Se z = r (cos θ + isenθ), então e iθ = e 0 (cos θ + isenθ) = (cos θ + isenθ), portanto, z = re iθ. Exemplo 8. Escreva os números abaixo na forma r e i θ. 1. i i Exemplo 9. alcule i i usando a equação e i π + 1 = 0.

13 Wellington José orrêa 13 Exercícios: 1. Reduza à forma re iθ cada um dos números complexos dados a seguir. (a) 1 + i (b) 1 i (c) 1 3i (d) i 1 + i Resp.: (a) e iπ 4, (b) e iπ 4, (c) e iπ 3, (d) e iπ 4. É costume também denotar e z por exp(z). Sendo assim, mostre que exp(3 + 7π i) = e 3. Funções Trigonométricas omo vimos na seção anterior logo é natural definir e iy = cos y + iseny e e iy = cos y iseny, cos z := eiz + e iz (8) senz := eiz e iz i tgz := senz cos z cotgz := cos z 1 1, sec z :=, cossecz := senz cos z senz (9) (10) (11) Propriedades: 1. sen z + cos z = 1.. cos z = cos x cosh y + isenx senhy. 3. senz = senx cosh y + i cos x senhy. 4. sen(z + π) = cos z, cos(z + π) = senz e tg(z + π) = tgz.

14 Wellington José orrêa senz = sen x + senh y e cos z = cos x + senh y. 6. sen(z 1 ± z ) = senz 1 cos z ± cos z 1 senz e cos(z 1 ± z ) = cos z 1 cos z senz 1 senz. 7. sen( z) = senz e cos( z) = cos z. senz = 0 z = 0 ou z = ± nπ 8. (n 1)π cos z = 0 z = ± As funções hiperbólicas seno e cosseno, são definidas, como no caso de variáveis reais, pelas seguintes expressões: Exemplo 10. alcule senhz = ez e z, cosh z = ez + e z. 1. sen i. cos(1 + i) A Função Logaritmo Natural de z O logaritmo de um número complexo z = re iθ 0, é definido assim: ln z = ln r + iθ, onde r denota o logaritmo real do número r > 0. O logaritmo está definido para todo número complexo z 0, e se reduz ao logaritmo real quando θ = 0. Na realidade, a fórmula acima permite atribuir ao logaritmo vários valores distintos, dependendo do argumento usado para o número z. Por causa disso, costuma-se dizer que o logaritmo é uma função multivalente. O ponto z = 0 é chamado ponto de ramificação de ln z, justamente porque, descreve um círculo centrado na origem e volta ao ponto inicial, a função ln z retorna aumentada de π i. É claro que o valor de uma função tem de ser determinado univocamente. Para tanto, se considerarmos ln z = ln r + iθ, π θ < π, teremos uma função univalente.

15 Wellington José orrêa 15 Observação: Pode-se mostrar que com o logaritmo definido acima, a função exponencial e a função logaritmo são funções inversas. Propriedades: Dados z 1, z, temos: 1. ln(z 1 z ) = ln z 1 + ln z.. ln z1 n = n ln z 1. Observação: Podemos dar uma definição ao número complexo z α com z, α. Seja z 0, então definimos z α pela equação z α = e α ln z. Exercícios: 1. Determine todos os valores de z tais que (a) exp(z) = (b) exp(z) = 1 + i 3. Resp.: (a) ln + i π, (b) ln + i π 3. alcule (a) ln( 1) (c) ln( i) (e) (1 + i) i (b) ln(i) (d) ln(1 i) Resp.: (a) i π, (b) i π, (c) i π 4, (d) 1 ln i π 4, (e) e π 4 (f) i i [ ( ) ( )] 1 1 cos ln + i sen ln, (f) e π Limite e ontinuidade A definição de limite e continuidade que daremos agora é formalmente a mesma dos cursos de álculo. Definição 3. Seja z 0 um ponto de acumulação do domínio D de uma função f. Diz-se que f tem limite L com z tendendo a z 0 se dado qualquer ε > 0 existe δ > 0 tal que z D, 0 < z z 0 < δ f(z) L < ε > 0. Escreve-se lim z z0 f(z) = L.

16 Wellington José orrêa 16 Quando o ponto z 0 pertence ao domínio de f e L = f(z 0 ), dizemos que f é contínua no ponto z 0 e escrevemos: lim f(z) = f(z 0 ). z z 0 De maneira análoga, as propriedades de limites e de continuidade de números reais podem ser estendidas aos números complexos. Exemplo 11. alcule os seguintes limites: 1. lim z i (z + 3z) ( ) 5z. lim z 4i z 8i 3. lim z 3i ( ) 3iz + 5 z i Exemplo 1. Mostre que a função f(z) = z + 3i é contínua no ponto z 0 = i. Exercícios: 1. alcule os limites abaixo: (a) lim z 3i (z 5z) 7 (b) lim z i z + 1 (c) z 1 lim z z 3 (d) lim z z 1 z Resp.: (a) 9 + i 15, (b), (c), (d) 1. Função Analítica A definição de derivada de uma função de variável complexa é formalmente a mesma que no caso de uma função de variável real. Seja f uma função cujo domínio é uma região R e seja um ponto z R. Diz-se que f é derivável no ponto z se existe o limite ou equivalente, se existe lim z 0 f(z + z) f(z), z f(w) f(z) lim. w z w z Quando esse limite existe, ele define uma nova função de z, a derivada de f, denotada por f. Assim, f (z) = lim z 0 f(z + z) f(z). z

17 Wellington José orrêa 17 Definição 4. Diz-se que uma função f é analítica numa região R se ela é derivável em cada ponto de R. Exemplo 13. Note que, (z + )(3z 1) 1. f(z) = é analítica exceto, nos pontos z = 0, 3 i. Em tais pontos onde a z(z 3)(z + i) função não é analítica, daremos por abuso de notação, o nome de singularidades.. Os polinômios f(z) = a 0 + a 1 z + a z a n z n são funções analíticas em todo o plano. Neste caso, chamamos as funções analíticas em todo o plano de funções inteira. 3. A função exp(z) é inteira. Observação: Todas as funções com que o leitor se familiarizou em seu curso de álculo são analíticas, quando convenientemente estendidas ao plano complexo. Assim, Uma função constante é analítica e sua derivada é zero. A função f(z) = z n, z Z é analítica e sua derivada é f (z) = nz n 1. Se f e g são analíticas, as funções a seguir são analítcas e calcula-se com as conhecidas regras: d dz (f(z) + g(z)) = f (z) + g (z) d dz (f(z) g(z)) = f (z)g(z) + f(z)g (z) ( ) d f(z) = g(z)f (z) f (z)g(z) dz g(z) [g(z)] d dz (f(g(z))) = f (g(z))g (z) d dz (ez ) = e z d (cos z) = sen z. dz d (sen z) = cos z. dz d dz (ln z) = 1 z. Exercícios: 1. alcule as derivadas abaixo: (a) f(z) = 3z z + 4 (b) f(z) = (1 4z ) 3 (c) f(z) = z 1 z + 1 (d) g(z) = e z (e) w = z ln(z 4 + 3z + i) (f) w = sen(z 3 + i) z cos(iz)

18 Wellington José orrêa 18 As Equações de auchy-riemann As Equações de auchy-riemann nos fornecem informações sobre a derivabilidade e a analiticidade de uma função complexa f(z) em um dado ponto z do plano complexo. Estas informações são apresentadas nos seguinte teorema: Teorema 1. A função f é analítica em um ponto z, se e somente se, f(z) = u(x, y) + iv(x, y) que satisfaz u x = v y e u y = v x. (1) Exemplo 14. Verifique se f (z) existe em todos os pontos onde 1. f(z) = (1 + i)z w = e y (cos x + isenx). Exercícios: 1. Use as equações de auchy-riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas a seguir, qual é analítica e em caso positivo, calcule a derivada f (z). (a) w = z 3 (b) w = z (c) w = z z (d) w = e x (cos y i seny). Se as derivadas parciais de ā ordem de u com relação à x e y existem, então denotamos o Laplaciano de u como Quando u = u x + u y. u = u x + u y = 0, chamamos a função u de harmônica. Assim, mostre que as funções abaixo são harmônicas. (a) u(x, y) = x y (b) u(x, y) = e x (x seny y cos y).

19 Wellington José orrêa 19 Integração omplexa De modo análogo ao caso real, podemos definir a integral de linha complexa f(z) dz ou f(z) dz é a integral de f(z) ao longo da curva. Tal integral pode ser ser definida e representada em termos das integrais reais, ou seja, fazendose obtemos f(z) dz = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) e dz = dx + i dy, (u(x, y)dx v(x, y)dy) + i (u(x, y)dy + v(x, y)dx), desde que existam as integrais reais do lado direito da equação acima. O caminho pode ser aberto ou fechado, mas devemos especificar a direção de integração, pois uma mudança de direção resulta em mudança no sinal da integral. As integrais complexas são, portanto, redutíveis a integrais reais curvilíneas e possuem as seguintes propriedades. Exemplo 15. onsidere 1. a integral z dz onde onde o caminho que une -1 até 1 é a semicircunferência inferior de raio 1 centrada na origem.. Idêntico ao item anterior, onde agora é um segmento horizontal unindo -1 até 1. Note que o valor da integral z dz depende do caminho escolhido. Além disto, devemos observar que f(z) = z não é uma função analítica. Vamos então, fazer o mesmo para uma função analítica, por exemplo, f(z) = z. Exemplo 16. onsidere 1. a integral z dz. onde o caminho que une -1 até 1 é a semicircunferência inferior de raio 1 centrada na origem.. Idêntico ao exemplo anterior, onde agora é um segmento horizontal unindo -1 até 1. Devemos observar agora que o valor da integral z dz é o mesmo, independente do caminho escolhido. Resulta a seguinte pergunta, cuja resposta será dada na próxima seção: Escolhendo-se outros caminhos entre -1 e 1, o valor desta integral continuará sendo o mesmo?

20 Wellington José orrêa 0 Teorema Integral de auchy As integrais de funções analíticas possuem algumas propriedades muito importantes. Provavelmente a mais importante delas seja descrita pelo teorema integral de auchy. Para apresentar este teorema precisamos do conceito de conjunto simplesmente conexo. Um conjunto D é dito conexo se quaisquer dois de seus pontos podem ser unidos por uma linha totalmente pertencente a D. Um conjunto D é dito simplesmente conexo se qualquer curva simples fechada contida em D, pode ser deformada, sempre totalmente contida em D, até se tornar um ponto. A figura abaixo ilustra duas regiões conexas A e B, dos quais A é simplesmente conexa, mas B não é, pois esta possui um buraco. Teorema. (Teorema Integral de auchy) Seja f(z) uma função analítica num domínio simplesmente conexo D. Se é um caminho fechado simples de D, então f(z) dz = 0. Exemplo 17. Seja a circunferência unitária, centrada na origem, orientada positivamente. 1. e z dz = 0, pois f(z) = e z é uma função analítica, para todo z complexo.. 1 z dz = π i 0. Mas, isto não contradiz o teorema de auchy, pois f(z) = z 1 não é analítica na origem, a qual pertence a região R interior ao caminho.

21 Wellington José orrêa 1 Teorema 3. Se f(z) é analítica em um domínio simplesmente conexo D e, se F (z) for uma integral indefinida de f(z), ou seja, F (z) = f(z), então para todos os caminhos situados em D que ligam dois pontos a e b em D, têm-se que b a f(z) dz = F (b) F (a). Este teorema permite o cálculo das integrais de linha de funções complexas através de uma integral indefinida. om isto, podemos chegar aos seguintes resultados, donde é uma constante arbitrária: 1. z n dz = zn+1 +, n 1 n dz = ln z + z 3. e z dz = e z + 4. a z dz = az ln a sen z dz = cos z + cos z dz = sen z + sec z dz = tgz + Exemplo 18. alcule i i z dz.. π i cos z dz A consequência mais importante do teorema de auchy é a fórmula integral de auchy. Esta fórmula é dada pelo teorema abaixo. Teorema 4. (Fórmula Integral de auchy) Seja f(z) uma função analítica no interior e sobre um caminho fechado. Se z 0 é um ponto qualquer no interior de, então: f(z 0 ) = 1 π i onde a integração é efetuada no sentido positivo ao longo de. f(ζ) ζ z 0 dζ, (13) A fórmula integral de auchy, mostra que o valor de uma função analítica numa região é determinado em toda a região por seus valores na fronteira. A demonstração deste teorema é omitida. Devemos observar também que a fórmula integral de auchy nos permite calcular uma

22 Wellington José orrêa integral de linha desde que a função a ser integrada tenha uma única singularidade no interior do caminho. Exemplo 19. Encontre o valor das integrais abaixo, calculadas no sentido anti- horário: z + 1 I = dz, onde: z 1 1. é uma circunferência de raio 1 e centro é uma circunferência de raio 1 e centro i.. é uma circunferência de raio 1 e centro é uma circunferência de raio e centro 0. Derivadas de Todas as Ordens: omo importante conseqüência da fórmula de auchy, enunciaremos um resultado que diz que uma função analítica possui derivadas de todas as ordens. Teorema 5. Uma função analítica numa região D possui derivadas de todas as ordens, as quais, por sua vez, são também analíticas em D e onde n é um inteiro positivo qualquer. f (n) (z) = n! π i f(ζ) dζ, (ζ z) n+1 Exemplo 0. Sendo a circunferência z i = 3, positivamente orientada, calcule as seguintes integrais de linha: 1. z 4 (z i) 4 dz. z dz 3. (z + 1) z (z 1) (z 4z + 3) dz Demonstrando-se alguns resultados por meio do uso do Teorema de auchy, obtém-se o Teorema 6. (Teorema Fundamental da Álgebra) Todo polinômio P (z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 de grau n 1 e coeficientes a n s complexos possui ao menos uma raiz. Exemplo 1. onsidere o polinômio p(x) = x + 1. É notório que que p não possui raiz real. No entanto, ao considerarmos p(z) = z + 1, donde os coeficientes são complexos, o Teorema Fundamental da Álgebra nos diz que este polinômio possui ao menos uma raiz. omo se pode ver, tal polinômio possui duas raízes, a saber i e i.

23 Wellington José orrêa 3 Exercícios: 1. Use a fórmula integral de auchy ou a fórmula integral da derivada f (n) para calcular as integrais descritas a seguir. (a) (b) (c) (d) (e) (j) Respostas: z 1 = z+1 = z i = z = z 1 = z z dz z z + dz sen z z i dz z cos z dz z i e iz z + i dz (f) (g) (h) (i) z =1 z 1 = z 1 = z =1 i z 1 z dz e iz π z dz e z z 4 dz z + z + i (4z i) 3 dz dz, onde é o quadrado de vértices zero, i e ± 1 + i. z (a) 4 π i (b) 4 π i (c) π(1 e ) e (d) π(e + 1) e (e) π e (f) π (g) π (h) i π e (i) π i 3 (j) π