Capítulo 4. Equação da difusão. τ τ τ τ τ i. t 2. ( z) A solução exata da equação de difusão (o lado esquerdo de 4.1) com o K igual a uma

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Isadora Carvalho
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1 Capítulo 4 Equação da difusão Nesse capítulo, será apresentada a resolução numérica da equação da difusão através de diferenças finitas.. Equação da difusão e fluxo em escala subgrade A equação da difusão pode ser expressa como o produto de um coeficiente de troca e do gradiente de uma variável dependente apropriada. Essa relação pode ser escrita como: + φ φ φ φ φ φ φ φ t z K i i i+ i i = = K K z t i+ ( z) i ( z) i (4.) onde z = z(i+) z(i) = z(i) z(i-) e φ representam qualquer uma das variáveis dependentes. Para estudar a estabilidade linear deste esquema, o coeficiente de troca é assumido constante (K i+/ = K i-/ = K), e (4.) é escrita como: + t φ = φ + K φ φ + φ ( z) ( + ) i i i i i (4.) A solução exata da equação de difusão (o lado esquerdo de 4.) com o K igual a uma constante, i.e., φ t φ = K z pode ser determinado se for assumido φ = φ e = φ e e i( kzωt) ϖit i( krz+ ωrt) 0 0 onde não é permitido amortecimento na direção z (i.e., k i 0). Substituindo esta expressão dentro da equação de difusão linearizada e simplificando, têm-se: i ω r ω i = -K k Projeto PAE Bolsista Simone E. Teleginski Ferraz

2 sendo que, o subscrito r em k do ser eliminado para simplificar a notação. Igualando a parte real e imaginária, têm-se que ω r 0, de modo que a solução exata pode ser escrita como: φ = φ e 0 Kk t Expressando as variáveis dependentes como função da freqüência e do número de onda, (4.) pode ser rescrita como: Ψ =+ γ(ψ - + Ψ - ) = + γ(cos (k) z -) onde γ = K t/( z) e Ψ + Ψ - = cos (k) z. O parâmetro γ não-dimensional é chamado número do Fourier. Igualando a parte real e imaginária têm-se: λ cos(ω r ) t = + λ(cos (k) z - ), λ sen(ω r ) t = 0. Desde que, sen(ω r ) t pode ser identicamente igual a zero, ω r t e, deste modo a velocidade de fase também são iguais a zero. Deste modo, a solução para 4. não se propaga como onda, mas pode amplificar ou decair no local. Desde que, cos(ω r ) t=, a e ikz parte real pode ser dividida em solução analítica, λ a = e = e ( π) γ Kk t n e rescrita como: λ λ a γ k z = + (cos ) e γ( π) n sendo n o número de pontos de grade por comprimento de onda. Para ondas muito longas λ a = e λ = (n ), desde que cos(k) z = cos(π/) z =, e, portanto, nenhum amortecimento ou amplificação ocorre. Para ondas mais curtas, que podem ser resolvidas (L = z ; n = ), λ = 4 γ. Para assegurar que a grandeza de λ é menor que unidade e, portanto, computacionalmente estável, 4γ deve ser menor ou igual a ou γ / A condição γ = /, todavia, causas mudanças no λ entre + e para cada aplicação de (4.), mas a solução analítica é λ a = e 9.9 = Esta resposta não realista de aspectos de comprimento de onda z podem causar problemas computacionais em modelos não- Projeto PAE Bolsista Simone E. Teleginski Ferraz

3 lineares. Para eliminar ondas de comprimento z de cada aplicação de (4.), λ pode ser definido como zero para cada onda z resultante em λ=/4. Deste modo, a padronização requerida nesse esquema é γ = K t/( x) /4 com a expectativa que γ = ¼ minimize a presença de ondas z. Até este ponto, a aproximação dos termos advectivos e de fluxos de escala subgrade têm sempre sido definidos no passo de tempo corrente (i.e.,φ i ). A variável dependente prevista φ i somente entra no termo de tendência. Tais esquemas são referidos como explícitos e podem ser escritos, em geral como: φ = f( φ) ~ onde a função f, pode incluir derivadas espaciais de φ, assim como a sua própria variação. O (~)indica que φ + foi especificado em um ponto, e pode ser dependente de valores de φ em outros pontos de grade. Em contraste, um esquema implícito usa informação do passo do tempo de futuro, assim como valores presentes. Para este caso φ = φ φ f, ~ ~ Em general o uso de uma representação implícita permite maiores passos de tempo que a forma explícita, sem causar instabilidade linear. Uma forma implícita do lado esquerdo da equação (4.) para a variável z pode ser escrita como (e.g., Paegle et al., 976): φ φ t = z j K K j+ ( j+ j) + ( j+ j ) β φ φ β φ φ j ( j j ) + ( j j ) β φ φ β φ φ z j+ z ~ j (4.3) sendo β +β + =, z j = z j+/ - z j-/, z j+ = z j+ z j e z j- = z j z j-. Nota-se que quando β + = 0 e z j+ = z j- = z, o esquema retorna para o esquema explícito dado pelo lado direito de (4.). Lineariza-se (4.3) fazendo K j+/ e K j-/ iguais a uma constante, Projeto PAE Bolsista Simone E. Teleginski Ferraz 3

4 usando uma grade constante de intervalo z, e representando a variável dependente em termos de número de onda e freqüência resultando em: [ ( ) ( ) ] ψ = + γ β ψ + ψ + β ψ ψ + ψ sendo que, com o esquema explícito, γ= K t/( z). Desde que: ou ψ = ψ ψ, e ψ = ψ ψ [( ) ( ) ] ψ = + γβ ψ + ψ + γβ ψ ψ + ψ ψ [( )] ( ) + γβ ψ ψ = γβ ψ ψ [ ] ( cosk z ) ( cosk z ) + γβ = γβ Valores da razão de aproximação computacional pelo amortecimento analítico λ/λ a são apresentados na tabela 4. como uma função do comprimento de onda e β. As soluções tornam-se mais precisas quando γ torna-se menor, e a representação implícita dá resultados razoáveis para grandes comprimentos de onda, até mesmo quando a forma explícita é linearmente instável para todas as escalas espaciais. Projeto PAE Bolsista Simone E. Teleginski Ferraz 4

5 Esquema Comprimento de onda γ adiantado no tempo centrado no espaço Explícito z <-00 β = 4 z z z λ > para ondas x Implícito β =0.7 z <-00 <-00 <-00 <-00 <-00 4 z z z.000, z <-00 <-00 <-00 <-00 β =0.5 4 z z z z <00 <00 β =0.3 4 z z z z >00 >00 >00 >00 >00 β =0. 4 z z z Tabela 4. : valores da razão computacional do amortecimento analítico em função do comprimento de onda para diferentes formas de aproximação adiantado no tempo e centrada no espaço, para a equação de difusão. Projeto PAE Bolsista Simone E. Teleginski Ferraz 5

6 Referências: Paegle,J., Zdunkowski, W. G. and Welch, R. M.,976: Implicit differencing of predictive equations of the boudary layer. Mon. Weather Review. 04, Pielke, R. A., 984: Mesoscale Meteorological Modeling. Academic Press, 6p. Projeto PAE Bolsista Simone E. Teleginski Ferraz 6

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