EDP: Método das Características

Transcrição

1 EDP: Método das Características Lucio S. Fassarella DMA/CEUNES/UFES August 27, 2018 Contents 0 Introdução Denições, Terminologia e Notação Método das Características para EDPs Semi-lineares 3 2 Método das Características para EDPs Quase-lineares 4 3 Exemplos EDP com coecientes constantes homogênea (geral) EDP semi-linear Caso: EDP Quase-Linear Problemas 8 Abstract Notas sobre o Método das Características para Equações Diferenciais Parciais Quase-Lineares de Primeira Ordem. 0 Introdução O Método das Características é um método para resolução de EDPs quase-lineares pela estratégia de reduzílas a EDOs mediante uma mudança de variáveis conveniente. No caso das equações semi-lineares, a mudança de variáveis é denida pelas curvas integrais do campo vetorial determinado pelos coecientes principais da equação. 1

2 0.1 Denições, Terminologia e Notação Denições restritas à EDPs de 1 a ordem. Denição 0.1 (EDPs Quase-Lineares, Semi-Lineares e Lineares) EDP Quase-Linear. Uma EDP quase-linear com n 2 variáveis é uma EDP da forma: k=1,..,n a k (x 1,..., x n, u) k = f (x 1,..., x n, u), (1) onde f = f (x 1,..., x n, z) e a k Ω R n+1. = a k (x 1,..., x n, z) (k = 1,..., n) são funções dendas num domínio Terminologia: Parte principal : k=1,..,n a k (x 1,..., x n, u) k ; Coecientes principais : a 1 (x 1,..., x n, u),..., a n (x 1,..., x n, u) ; Termo não-homogêneo : f (x 1,..., x n, u). EDP Semi-Linear. Uma EDP semi-linear é uma EDP quase-linear cujos coecientes principais não dependem da variável incógnita: k=1,..,n a k (x 1,..., x n ) k = f (x 1,..., x n, u). (2) EDP Linear. Uma EDP linear é uma EDP linear na sua incógnita: 1 k=1,..,n a k (x 1,..., x n ) k + b (x 1,..., x n ) u = c (x 1,..., x n ). (3) Explicitamente, o termo não-homogêneo de uma EDP linear é da forma: f (x 1,..., x n, u) = c (x 1,..., x n ) b (x 1,..., x n ) u. 1 Equivalentemente, uma EDP linear é uma EDP semi-linear cujo termo não-homogêneo é linear na variável incógnita. 2

3 1 Método das Características para EDPs Semi-lineares Descrição restrita às EDPs de 1 a ordem com duas variáveis. Considere a EDP semi-linear com condições iniciais: { a (x, y) + b (x, y) = c (x, y, u) ; u (f (s), g (s))) = h (s). (4) a = a (x, y), b = b (x, y) são funções dendas num domínio U R 2 e c = c (x, y, z) é uma função denida num domínio Ω R 3 ; f = f (s), g = (s), h = h (s) são funções denidas num intervalo I R tais que (f (s), g (s), h (s)) Ω s I. Aqui, buscamos determinar soluções clássicas da Equação 4, i.e., funções u = u (x, y) : U R diferenciáveis num subdomínio U R 2 que satisfaçam o PVI, bem como a condição (x, y, u (x, y)) Ω, (x, y) U. Denição 1.1 (Curva Característica de uma EDP semi-linear) As curvas características da EDP semi-linear (4) correspondem às curvas integrais do campo vetorial v (x, y) = (a (x, y), b (x, y)). Explicitamente, as curvas características são as soluções da EDO: d γ dt = v (γ (t)). Para γ (t) = (x (t), y (t)), essa equação vetorial é equivalente ao sistema { dx dt dy dt = a (x (t), y (t)), = b (x (t), y (t)). Método das Características para EDPs semi-lineares: i. Determinar as curvas características da equação, resolvendo o sistema de equações diferenciais ordinárias com condições iniciais: { (s, t) = a (x, y), x (s, 0) = f (s) ; (s, t) = b (x, y), y (s, 0) = g (s). ii. Resolver a equação diferencial ordinária com condição inicial para a variável dependente auxiliar w = w (s, t): w (s, t) = c (x (s, t), y (s, t), w), w (s, 0) = h (s). iii. Inverter a relação entre as variáveis (x, y) e (s, t): { { x = x (s, t), s = s (x, y), y = y (s, t). t = t (x, y). iv. Denir a solução da equação por: u (x, y) = w (s (x, y), t (x, y)). 3

4 2 Método das Características para EDPs Quase-lineares Descrição restrita às EDPs de 1 a ordem com duas variáveis. Considere a EDP quase-linear com condições iniciais { a (x, y, u) + b (x, y, u) = c (x, y, u), (x, y) Ω R2 ; u (f (s), g (s))) = h (s), s I R. (5) a = a (x, y, z), b = b (x, y, z), c = c (x, y, z) são funções dendas num domínio Ω R 2 ; f = f (s), g = (s), h = h (s) são funções denidas num intervalo I R tais que (f (s), g (s), h (s)) Ω s I. Aqui, buscamos determinar soluções clássicas da Equação 16, i.e., funções u = u (x, y) : U R diferenciáveis num subdomínio U R 2 que satisfaçam o PVI, bem como a condição (x, y, u (x, y)) Ω, (x, y) U. Denição 2.1 (Curvas Características) Uma curva característica da EDP quase-linear (16) é uma curva diferenciável γ : J R 2, γ (t) = (x (t), y (t)) para a qual existe uma solução u = u (x, y) : U R da Equação 16 tal que γ (t) U ( t J) e d u ( γ (t)) = a ( γ (t), u γ (t)) dt + b ( γ (t), u γ (t)) γ(t), t I. γ(t) Método das Características para EDPs Quase-Lineares: i. Resolver o sistema de equações diferenciais ordinárias com condições iniciais: (s, t) = a (x, y, w), x (s, 0) = f (s) ; (s, t) = b (x, y, w), y (s, 0) = g (s) ; (s, t) = c (x, y, w), w (s, 0) = h (s). ii. Inverter a relação entre as variáveis (x, y) e (s, t): { { x = x (s, t), s = s (x, y), y = y (s, t). t = t (x, y). iii. Denir a solução da equação por: w u (x, y) = w (s (x, y), t (x, y)). Observação 2.1 O procedimento do Método das Características para EDPs semi-lineares difere do procedimento para EDPs quase-lineares num único aspecto: no caso semi-linear as curvas características podem ser calculadas separadamente (antes) do cálculo da solução da EDP (posterior), enquanto isso não é geralmente possível de ser realizado para EDPs quase-lineares que não sejam semi-lineares. Em termos das descrições apresentadas, o caso semi-linear divide a primeira etapa do procedimento para EDPs quase-lineares em duas sub-etapas. 4

5 3 Exemplos 3.1 EDP com coecientes constantes homogênea (geral) Sejam a, b R tais que a 2 + b 2 > 0. Considere a equação diferencial parcial nas variáveis x, y R: a + b = 0, (6) para o qual buscamos determinar soluções clássicas, i.e., funções u = u (x, y) : Ω R diferenciáveis num domínio Ω R 2 que satisfaçam a equação. 2 A ideia fundamental para resolver a Equação 6 consiste na interpretação geométrica dessa equação como uma derivada direcional : Assim, a Equação 6 signica: v = u v = 0, v = (a, b). (7) A derivada direcional de u na direção de v é nula; O gradiente de u é ortogonal a v em todos os pontos do domínio Ω; As curvas de nível (curvas integrais ou curvas características ) de u são tangentes ao campo vetorial v em todos os seus pontos. Essa interpretação geométrica nos motiva abordar a equação num sistema de coordenadas alternativo: localmente, uma variável parametriza as curvas de nível de u e a outra variável parametriza seções ortogonais às curvas de nível. Precisamente, denimos as novas variáveis (ξ, η) R 2 pela seguinte equação vetorial implícita: equivalentemente: Invertendo essa relação, segue: (x, y) = ξ (a, b) + η (b, a) ; (8) { x = aξ + bη, y = bξ aη. (9) Denimos a mudança de variáveis { ξ = (ax + by) / ( a 2 + b 2), η = (bx ay) / ( a 2 + b 2). (10) A equação original reescrita nas variáveis (ξ, η) é dada por: ω (ξ, η) := u (x, y), x = x (ξ, η), y = y (ξ, η). (11) A solução dessa equação é trivial: ω ξ = 0. (12) ω (ξ, η) = f (η), (13) onde f : I R R é qualquer função diferenciável num aberto I R. Exprimindo a solução da equação nas variáveis originais (x, y), obtemos: ( ) bx ay u (x, y) = f a 2 + b 2. (14) 2 Condicições adicionais podem ser impostas à solução da Equação 6, mas isso não será discutido exatamente agora. 5

6 3.2 EDP semi-linear Resolução da EDP semi-linear com condições iniciais { 2y + = u2 ; u (x, 0)) = 1 1+x 2. (15) Método das Características para EDPs semi-lineares: i. PVI das curvas características da equação: { (s, t) = 2y, x (s, 0) = s; (s, t) = 1, y (s, 0) = 0. Solução: x (s, t) = s + t 2 ; y (s, t) = t. ii. PVI da função incógnita nas novas variáveis, w (s, t) = u (x, y) ; Solução: w (s, t) = 1 w2 ; w (s, 0) 1 + s 2 w (s, t) = s 2 t. iii. Inversão da relação entre as variáveis (x, y) e (s, t): { s = x y 2, t = y. iv. Solução da equação original: u (x, y) = (x y 2 ) 2 y. 6

7 3.3 Caso: EDP Quase-Linear Resolução da EDP quase-linear com condições iniciais { u + y = x; u (x, 1)) = 2x. (16) Método das Características para EDPs semi-lineares: i. PVI das curvas características e nova função incógnita: Solução fácil para y: w w (s, t) = u (x, y) ; (s, t) = w, x (s, 0) = s; (s, t) = y, y (s, 0) = 1; (s, t) = x, w (s, 0) = 2s. y (s, t) = e t. Derivando a equação para x e combinando com a equação para w, obtemos uma equação para x desacoplada: 2 x 2 (s, t) = x, x (s, 0) = s, (s, 0) = 2s. Agora, solução fácil para x: x (s, t) = 3s 2 et s 2 e t. A equação desacoplada para w é obtida pela substitução da expressão de x na equação original: Agora, a solução fácil para w: w ii. Inversão da relação entre as variáveis (x, y) e (s, t): (s, t) = 3s 2 et s 2 e t, w (s, 0) = 2s; w (s, t) = 3s 2 et + s 2 e t. { t = ln (y), s = 2xy 3y 2 1. iii. Solução da equação original: u (x, y) = 3y y 2 1 x. 7

8 4 Problemas Problema 4.1 Considere a EDP para uma função u = u (x, y): i. Resolva essa EDP. ii. Determine as curvas características dessa EDP. = 0. iii. Explique porque essa equação junta com uma condição inicial u (0, y) = φ (y) não é um problema bem posto (i.e., que não possui solução ou que possui múltiplas soluções). Problema Resolva a EDP com a condição inicial dada: = 0, 0 < x < 1, t > 0. i. u (x, 0) = u 0 (x), 0 < x < 1; u (0, t) = φ (t), t > 0. ii. u (x, 0) = u 0 (x), 0 < x < 1; u (1, t) = ψ (t), t > 0. Problema Resolva a EDP com condição inicial: { + = x + y, (x, y) R2 ; u (x, x) = x 2, x R. Problema Resolva a EDP com condição inicial pelo Método das Características: { 2 = 0, x, y R; u (x, 0) = 1 1+x, x R. 2 Problema Considere a EDP com condição inicial i. Resolva a EDP. { ii. Suponha que existam a < b R tais que t + c = f (x, t), x R, t > 0; u (x, 0) = 0, x R. f (x, t) = 0, t > 0, x / [a, b]. Nesse caso, determine os pontos (x, t) nos quais podemos garantir que u (x, t) = 0. Problema Considere a EDP com condição inicial dependente de uma função φ : R R: i. Determine as curvas características da equação. ii. Resolva a equação, estabelecendo as condições para existência da solução em termos da função φ (x) e determinando o correspondente domínio da solução u (x, y). 1) 3 Problema proposto em [Gockenbach, 2011, pp.318]. 4 Problema proposto em [Gockenbach, 2011, pp.319]. 5 Problema resolvido em [Gockenbach, 2011, pp ]. 6 Problema proposto em [Gockenbach, 2011, p.319]. 7 Problemas propostos em [Gockenbach, 2011, p.326]. { x + y (x + y) u = 0, u (1, y) = φ (y). 8

9 2) { x y u2 = 0, u (x, 1) = φ (x). Problema Considere a EDP com condição inicial: { u + u = 0, u (x, 0) = φ (x). Resolva a EDP. Determine condições sobre a função φ (x) que garantam que a curva inicial não seja característica em todos os pontos. Problema Considere a EDP com condição inicial: { + (1 u) = 0 (x > 1, t > 0) ; u (x, 0) = 1/x (x > 1). Determine a equação da curva característica que passa pelo ponto (x 0, 0). Prove que a equação possui solução para todo t > 0, mostrando que as curvas características não se intersectam quando t > 0. Determine a solução da equação. Problema A lei de conservação geral em uma dimensão espacial tem a forma: + (f (u)) = 0. Denindo a (u) := df du, a equação é equivalente a esta: + a (u) = 0, Assumindo que a (u) > 0 forallu, considere a EDP com condição inicial: { + a (u) = 0 (x R, t > 0) ; u (x, 0) = φ (x) (x > 0). Determine as curvas características da equação que passam pelo ponto (x 0, 0). Dena a função ψ (x) := a (φ (x)). i. Mostre que se ψ (x) é crescente em x, então as curvas características não se intersectam para t > 0 o que garante que a EDP tem soluções bem-denidas para todo t > 0. ii. Mostre que se ψ (x) é decrescente em algum ponto, então as curvas características se intersectam para t > 0. iii. Especicamente, suponha que dψ/dx (x 0 ) < 0 em algum x 0 R. Determine o valor máximo de t > 0 para o qual a EDP tem solução unicamente denida ao longo da característica que passa por (x 0, 0) para t [0, t ). 8 Problema proposto em [Gockenbach, 2011, p.327]. 9 Problema proposto em [Gockenbach, 2011, p.333]. 10 Problema proposto em [Gockenbach, 2011, p.333]. 9

10 References [Gockenbach, 2011] Mark S. Gockenbach: Partial Dierential Equations: Analytical and Numerical Methods. 2nd Edition. SIAM, 2011: pp