Métodos Numéricos em Engenharia Química

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1 Universidade Federal do Paraná UFPR Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química PPGEQ Métodos Numéricos em Engenharia Química Prof. Éliton Fontana 2018/1

2 Conteúdo 1. Introdução Classicação das Equações Diferenciais Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e Parciais (EDP) Ordem Linearidade Homogeneidade Coecientes constantes e variáveis I. Métodos Numéricos para Análise de Equações Diferenciais 7 2. Métodos Numéricos Para PVI's Método de Euler Erro Associado ao Método de Euler Método de Euler para Sistemas de EDO's Derivações do Método de Euler Método de Euler Aprimorado (Fórmula de Heun) Método de Euler Implícito (Inverso) Regra do Ponto Médio Métodos de Runge-Kutta Método de Runge-Kutta de 2 a Ordem Método de Runge-Kutta de 4 a Ordem Método de Runge-Kutta para Sistemas Métodos de Runge-Kutta Adaptativos Métodos de Passos Múltiplos Método de Adams-Bashforth Método de Adams-Moulton

3 2.5. Estabilidade dos Métodos de Resolução de EDO's Análise de Estabilidade de Métodos de Passo Único Equação Modelo: Decaimento de Primeira Ordem Problemas Rígidos (Sti) Sistemas de Equações Diferenciais Rígidas Lineares Sistemas Não-Lineares Métodos Numéricos para Problemas de Valor de Contorno Estratégias de Solução de PVC's Aproximações por Diferenças Finitas Aproximação da Derivada Primeira Aproximação da Derivada Segunda Discretização das Condições de Contorno Discretização de PVC's utilizando Diferenças Finitas Método das Linhas 60 3

4 1. Introdução A maioria dos sistemas de interesse na engenharia envolvem mais de uma variável dependente que são função da mesma variável independente, como por exemplo a variação na concentração de diversas espécies químicas em um reator ao longo do tempo ou a variação nas três componentes do vetor velocidade ao longo de uma dada direção espacial. De forma geral, não é possível obter a solução para uma única variável independentemente, pois usualmente existe uma dependência de uma sobre a outra. Isto faz com que os modelos gerem sistemas de equações que devem ser resolvidas ao mesmo tempo, podendo estas equações serem algébricas, diferencias, integrais ou uma mistura delas. Além disso, uma equação diferencia de ordem n pode sempre ser transforma em um sistema de n equações diferenciais de primeira ordem. Esta abordagem é particularmente útil para obter soluções numéricas de Problemas de Valor Inicial (PVI's), já que os métodos de resolução (Euler, Runge-Kutta, etc.) são baseados na aproximação da derivada primeira e portanto só podem ser utilizados para resolver equações de primeira ordem. No momento, o objetivo será a análise de sistemas de equações diferenciais ordinárias (EDO's), ou seja, equações que possuem somente uma variável independente. Esta análise pode ser conduzida de forma quantitativa ou qualitativa, sendo que cada forma possui suas vantagens e desvantagens. A análise quantitativa se refere à resolução direta das equações, seja por via analítica ou numérica, de forma a se obter como as variáveis dependentes variam em função da independente. Esta forma de análise é útil quando se deseja conhecer esta dependência para uma condição especíca, porém trás pouca informação sobre o comportamento global do sistema e como uma variável inuencia as demais. A análise qualitativa, por sua vez, consiste em examinar o comportamento geral de todas as famílias de solução do sistema, o que permite obter informações valiosas sobre a estabilidade das soluções. O material a seguir será dividido em duas partes. Na primeira parte, serão apresentados métodos numéricos que podem ser aplicados na análise de equações diferenciais ordinárias, além do Método das Linhas, que pode ser utilizado para transformar equações diferenciais 4

5 parciais em um sistema de EDO's. Na segunda parte serão apresentados métodos qualitativos de análise e uma introdução à análise de estabilidade de equações não-lineares. Ao longo do texto serão feitas referências às principais características das equações diferenciais, pois a forma de análise pode depender de determinadas classicações. Para facilitar, a seguir será apresentada uma breve revisão da classicação das equações diferenciais Classicação das Equações Diferenciais As equações diferenciais são classicadas de acordo com suas características. Esta classi- cação é essencial para a determinação dos métodos de análise mais adequados para cada equação Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e Parciais (EDP) Quando a função desconhecida depende somente de uma variável independente a equação é chamada de Equação Diferencial Ordinária (EDO). Por exemplo: 4 d2 y dt 2 + sin(t) dt = et De forma genérica, uma EDO pode ser expressa como: f(t, y, y, y,..., y (n) ) = 0 Caso a variável dependente dependa de duas ou mais variáveis, a equação é classicada como Equação Diferencial Parcial (EDP). Por exemplo: T t = α2 2 T x Ordem A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Por exemplo: d 2 y dt = 0 2 dt + y3 = 0 segunda ordem primeira ordem A ordem da equação não está relacionada com a maior potência na qual a variável está elevada. 5

6 Linearidade Uma equação algébrica é dita linear quando pode ser escrita da forma: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n + b = 0 ou seja, quando as variáveis x 1, x 2,... x n não aparecem em termos não-lineares. De forma semelhante, a equação diferencial ordinária F (t, y, y, y,..., y (n) ) = 0 é dita linear se F é uma função linear em relação à variável dependente e suas derivadas (y, y, y,..., y (n) ). Isto implica que uma EDO linear pode ser escrita da forma: a n (t) dn y dt n + a n 1(t) d(n 1) y dt (n 1) a 0(t)y = g(t) ou seja, a variável y ou suas derivadas não estão presentes em termos não-lineares, como por exemplo produto entre a variável e as derivadas, y n com n 1 e funções não lineares contendo a variável y (funções trigonométricas, exponencial, etc.). A variável independente (t) pode estar presente em termos não-lineares. Exemplos de equações lineares: d 2 y dt 2 + t dt + y = 0 dt + t2 y = sin(t) dt yet = 0 Quando as equações não podem ser expressas da forma apresentada anteriormente são consideradas não-lineares. As equações diferenciais não-lineares possuem em geral uma resolução muito mais complexa e por isso são mais difíceis de serem avaliadas analiticamente. Exemplos de equações não-lineares: dt + y2 = 0 y dt = t d 2 y dt 2 = sin(y) dt + tey = 0 De forma similar, uma EDP é dita não-linear quando possui algum termo não linear envolvendo qualquer variável dependente. As EDO's lineares ainda podem ser divididas em outras categorias que são utilizadas para facilitar a escolha dos métodos de solução: Homogeneidade Uma equação diferencial do tipo F (t, y, y, y,..., y (n) ) = 0 6

7 é homogênea quando o termo associado somente à variável independente é nulo. Na forma apresentada anteriormente para as EDO's lineares, a equação é homogênea quando g(t) = 0. Caso algum termo diferente de zero não estiver multiplicado pela variável dependente ( y) ou alguma de suas derivadas, a equação é dita não-homogênea; Coecientes constantes e variáveis Esta classicação costuma ser empregada somente para EDO's. Na expressão para uma EDO genérica vista anteriormente, os coecientes a n (t), a n 1 (t)...a 0 (t) podem ser funções conhecidas da variável independente t. No entanto, caso estes coecientes sejam constantes (não dependam de t) a equação é conhecida como EDO com coecientes constantes, caso contrário é chamada de EDO com coecientes variáveis. Uma classe de equações muito importante nas ciências exatas são as equações autônomas. Estas equações surgem quando a variável independente não aparece de forma explícita na equação. 7

8 Parte I. Métodos Numéricos para Análise de Equações Diferenciais 8

9 2. Métodos Numéricos Para PVI's 2.1. Método de Euler A maior parte das equações diferenciais de interesse na engenharia não possuem solução analítica conhecida. Além disso, em muitos casos as soluções analíticas co-nhecidas são difíceis de serem utilizadas, por exemplo quando envolvem séries innitas ou integrais sem resolução analítica. Nestes casos é mais conveniente a utilização de ferramentas numéricas para a resolução das equações. Existem basicamente três formas de analisar equações diferenciais: através de métodos analíticos, métodos qualitativos e métodos numéricos. Os métodos analíticos permite estabelecer uma relação direta entre as variáveis dependentes e independentes através de funções válidas em um determinado intervalo. Os métodos qualitativos envolvem a análise do comportamento geral da equação sem necessariamente buscar uma solução, como por exemplo através da construção do campo de direções. Os métodos de resolução numérica permitem que a solução seja estimada para uma dada condição inicial e um conjunto de parâmetros especícos. A ideia geral é de que é possível obter aproximações da solução de uma determinada EDO avançando em pontos que estão a uma distância t da condição inicial. Diferentemente dos métodos analíticos, a solução obtida através de métodos numéricos é válida somente para um conjunto de parâmetros especícos e para uma dada condição inicial. Caso esta condição inicial ou algum parâmetro sejam alterados, deve-se resolver o problema novamente. A determinação de qual forma de análise deve ser utilizada irá depender tanto das características das equações diferenciais que estão sendo avaliadas quanto de que tipo de informação está se buscando. Assim como para o caso da resolução de sistemas de equações algébricas, existem diversos métodos que podem ser utilizados para a resolução de sistemas de equações diferenciais. Inicialmente será apresentado o método de Euler. Este método costuma ser pouco eciente 9

10 para a resolução de sistemas complexos, porém diversos conceitos fundamentais dos métodos de resolução podem ser mais facilmente apresentados através deste método. O método de Euler é o método mais simples para a aproximação da solução de EDO's. Considere o seguinte problema de valor inicial de primeira ordem: y = dt = f(t, y) y(t 0) = y 0 A solução deste PVI passa obrigatoriamente pelo ponto (t 0, y 0 ). O objetivo do método de Euler é estimar o valor da solução y(t) em um ponto com uma distância t do ponto inicial t 0. Este ponto passa a ser chamado de t 1 = t 0 + t, de modo que o do método de Euler é determina o valor da solução em t 1, y 1 = y(t 1 ). A partir deste valor, pode-se estimar o valor da função em um ponto t 2 distante t do ponto t 1 e continuar com este procedimento até se obter uma aproximação para a solução por quantos pontos forem necessários. Esta classe de métodos são chamados de métodos passo-a-passo. Para avaliar o termo y 1 = y(t 0 + t), pode-se aplicar uma expansão em séries de Taylor em torno do ponto t 0 : y(t 1 ) = y(t 0 + t) = y 0 + ty (t 0 ) + t2 2! y (t 0 ) + t3 3! y (t 0 ) +... Considerando que o espaçamento t seja muito pequeno, os termos t 2, t 3, etc. podem ser desprezados. Com isso: y(t 0 + t) = y 1 y 0 + ty (t 0 ) Considerando também que y = f(t, y), a relação anterior pode ser reescrita como: y 1 = y 0 + tf(t 0, y 0 ) De forma geral, a relação anterior pode ser utilizada para estimar a solução para qualquer valor y n+1 com base no valor para y n : y n+1 = y n + tf(t n, y n ) Como o valor no novo ponto y n+1 é calculado com base somente em valores no ponto anterior (já conhecidos), este método é dito explícito. Estrutura de um código para resolver uma EDO /dt = f(t, y) utilizando o método de Euler: Passo 1: Denir f(t, y); Passo 2: Denir os valores iniciais t[1] = t 0, y[1] = y 0 ; 10

11 Passo 3: Denir o tamanho do passo t e o número de passos n; Passo 4: Para i = 1 até i = n calcular: k 1 = f(t[i], y[i]) y[i + 1] = y[i] + t k 1 (2.1) t[i + 1] = t[i] + t Passo 5: Plotar os resultados. Exemplo 01): Utilizando o método de Euler, obtenha a solução aproximada até t = 0.5 para o seguinte PVI, utilizando t = 0.1: dt = 2t y y(0) = 1 Neste caso f(t, y) = 2t y. No ponto inicial temos: t 0 = 0 y 0 = 1 Como o passo t é constante, os valores de t n são automaticamente denidos, t 1 = t 0 + t = 0.1, t 2 = t 1 + t = 0.2,... Avaliando y 1 = y(t 1 ) = y(0.1): y 1 = y 0 + tf(t 0, y 0 ) = ( 2 0 ( 1)) = 0.9 Repetindo para os próximos passos: y 2 = y 1 + tf(t 1, y 1 ) = ( ( 0.9)) = 0.83 y 3 = y 2 + tf(t 2, y 2 ) = ( ( 0.83)) = y 4 = y 3 + tf(t 3, y 3 ) = ( ( 0.787)) = y 5 = y 4 + tf(t 4, y 4 ) = ( ( )) = Para comparação, a solução exata da equação diferencial é: y(t) = 3e t 2t + 2 sendo que para os pontos avaliados a solução exata é: y 0 = 1 y 1 = y 2 = y 3 = y 4 = y 5 =

12 Exemplo 02): Utilizando o método de Euler, obtenha a solução aproximada para t = 1 para o seguinte PVI, utilizando t = 0.2: dt = 2t2 y 2 y(0) = 1 Com base nos dados fornecidos, t 0 = 0 e y 0 = 1. Como t = 0.2, temos que t 1 = 0.2, t 2 = 0.4, t 3 = 0.6, t 4 = 0.8 e t 5 = 1. Avaliando os termos intermediários: y 1 = y (2 t 2 0y 2 0) = ( ) = 1 y 2 = y (2 t 2 1y1) 2 = ( ) = y 3 = y (2 t 2 2y2) 2 = ( ) = y 4 = y (2 t 2 3y3) 2 = ( ) = y 5 = y (2 t 2 4y4) 2 = ( ) = A solução exata em t = 1 é y(1) = 3, portanto a solução obtida está com um erro signicativo. Por este exemplo, ca claro que é fundamental avaliar os erros associados à utilização do método de Euler Erro Associado ao Método de Euler A utilização de métodos numéricos sempre leva à obtenção de soluções aproximadas. Uma importante propriedade dos métodos numéricos é a convergência. Um método é dito convergente quando a solução obtida tende à solução exata quando o espaçamento t 0. Na resolução de EDO's pelo método de Euler (ou por qualquer outro método), existem duas fontes de erros: - Erros de truncamento: erros associados com o truncamento da expansão em série de Taylor no segundo termo. Como a determinação do ponto y n+1 depende do valor de y n, o erro de truncamento pode aumentar rapidamente ao longo da resolução. Para reduzir os erros de truncamento, pode-se reduzir o passo de tempo t. - Erros de arredondamento: erro associado à precisão dos valores numéricos utilizados (número de dígitos signicativos: 6-9 para precisão única e para precisão dupla). Quanto maior for o número de operações necessárias, maior será o erro de arredondamento. Assim, uma maneira de reduzir este erro é aumentar o passo de tempo, de modo que menos passos precisam ser resolvidos para atingir o tempo desejado. 12

13 Dessa forma, conforme o passo de tempo aumenta, o erro de arredondamento diminui e o de truncamento aumenta. Por isso, existe um ponto ótimo onde o erro total é mínimo, como ilustrado na gura a seguir. Usualmente os erros de arredondamento são menos signicativos, por isso a tendência é que passos pequenos gerem melhores resultados. Como visto anteriormente, pode-se obter o valor de uma função y(t) em um ponto t n+1 com base no valor em t n através de uma expansão em séries de Taylor: y n+1 = y n + t y (t n ) + t2 2! y (t n ) + t2 3! y (t n ) +... A diferença entre o valor exato de y n+1 e o valor aproximado obtido com o uso do método de Euler corresponde ao erro local de truncamento (para um determinado valor de n): e n+1 = t2 2! y (t n ) + t2 3! y (t n ) +... Nesta forma, o erro ainda representa uma série innita. Para evitar este problema, pode-se utilizar a fórmula de Taylor com resto de Lagrange: y n+1 = y n + t y (t n ) + t2 2! y (c) onde c [t n, t n+1 ]. Este resultado é uma extensão do teorema do valor médio, que diz que dada uma função contínua f denida num intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a,b), existe algum ponto c em (a,b) tal que : f (c) = f(b) f(a) b a Utilizando a relação anterior, o erro e n+1 pode ser avaliado como: e n+1 = y (c) 2 t2 13

14 Como y (c) é uma constante (valor nito), temos que: e n+1 = O( t 2 ) ou seja, o erro local é da ordem de t 2. Como cada passo gera um erro local, quanto mais passos forem utilizados, maior será o acúmulo de erros. Por isso, quando o valor y n+1 estiver sendo determinado, o erro associado à determinação do valor de y n também deve ser considerado. Para n passos, o erro global E n pode ser avaliado como: E n+1 = e n+1 n = O(h 2 ) n = O(h 2 ) n h h onde h = t. Novamente, como t n é um escalar: = O(h)t n E n+1 = O(h) Assim, o erro global no método de Euler é da ordem do tamanho do passo utilizado. Esta relação mostra que o erro tende a zero conforme h 0 e portanto o método é convergente. De forma geral, um dado método é convergente quando: E n+1 = O(h p ) p > 0 Neste caso, o método possui ordem p, portanto, o método de Euler é um método de primeira ordem. Métodos de ordem superior convergem mais rapidamente para a solução exata (não exigem passos tão pequenos), sendo por isso mais indicados que os métodos de primeira ordem. A utilização de um passo muito pequeno (tendendo a zero) é impraticável, pois exigiria um tempo computacional demasiadamente alto, além de fazer com que os erros de arredondamento aumentassem rapidamente. Um procedimento simples que pode na maioria dos casos ser utilizado para determinar se o passo utilizado é adequado é resolver o problema com valores de t gradativamente menores. A partir de um determinado ponto as soluções obtidas serão muito parecidas, sendo que uma maior redução em t a partir deste ponto não irá reduzir o erro global de forma signicativa e irá aumentar o erro de arredondamento Método de Euler para Sistemas de EDO's O método de Euler explícito pode ser estendido para aplicação em sistemas de EDO's de primeira ordem. Considere o seguinte sistema de PVI's: dx dt = f(t, x, y) x(0) = x 0 14

15 dt = g(t, x, y) y(0) = y 0 De forma semelhante ao realizado para uma única equação, pode-se partir das condições iniciais e ir avançando ao longo de t com base nos valores já conhecidos: x n+1 = x n + t f(t n, x n, y n ) y n+1 = y n + t g(t n, x n, y n ) Generalizando para um sistema de m equações da forma: 1 dt = f 1(t, y 1, y 2, y 3,..., y m ) 2 dt = f 2(t, y 1, y 2, y 3,..., y m ) 3 dt = f 3(t, y 1, y 2, y 3,..., y m ) m dt. = f m (t, y 1, y 2, y 3,..., y m ) A utilização do método de Euler explícito implica em: y 1 (t 0 ) = y0 1 y 2 (t 0 ) = y0 2 y 3 (t 0 ) = y0 3. y m (t 0 ) = y0 m (2.2) y 1 n+1 y 2 n+1 y 3 n+1. y m n+1 y n 1 f 1 (t n, yn, 1 yn, 2..., yn m ) y n 2 f 2 (t n, yn, 1 yn, 2..., y m n ) = y n 3 + t f 3 (t n, yn, 1 yn, 2..., y m n ).. f m (t n, yn, 1 yn, 2..., yn m ) y m n (2.3) A aplicação do método para resolução de sistemas também permite que ele seja utilizado para a resolução de equações de ordem maior que 1. Por exemplo, considere o seguinte PVI: ( d 2 y dx = f x, y, ) y(0) = y 2 0 = y 1 dx dx x=0 Esta equação pode ser transformada em um sistema de primeira ordem através da denição de uma variável adicional u: u = dx d 2 y dx = du 2 dx Com isso, o PVI pode ser reescrito como: dx = u y(0) = y 0 15

16 du dx = f (x, y, u) u(0) = y 1 Este procedimento pode ser aplicado para escrever uma EDO de qualquer ordem como um sistema de EDO's de primeira ordem. Exemplo 03: Utilizando o método de Euler, obtenha a solução aproximada para os três primeiros passos de tempo para o seguinte sistema, considerando t = 0.1: dx dt = y x(0) = 0 dt = x y + 3y y(0) = 2 Desse modo, f(t, x, y) = y e g(t, x, y) = x y + 3y. Neste caso, temos que t 0 = 0, x 0 = 0 e y 0 = 2. Para avaliar os próximos passos, deve-se determinar todas as variáveis em t 1, na sequência todas as variáveis em t 2 e assim sucessivamente: x 1 = x 0 + t f(t 0, x 0, y 0 ) = (2) = 0.2 y 1 = y 0 + t g(t 0, x 0, y 0 ) = ( ) = 2.6 x 2 = x 1 + t f(t 1, x 1, y 1 ) = (2.6) = 0.46 y 2 = y 1 + t g(t 1, x 1, y 1 ) = ( ) = x 3 = x 2 + t f(t 2, x 2, y 2 ) = (3.4122) = y 3 = y 2 + t g(t 2, x 2, y 2 ) = ( ) =

17 2.2. Derivações do Método de Euler A utilização do método de Euler para a resolução de problemas típicos da engenharia usualmente implica no uso de passos de tempo muito pequenos para garantir a convergência. Normalmente, melhores resultados são obtidos com o uso de métodos de maior ordem ou que ao menos possuam características de convergência mais atrativas. Como visto na aula passada, o método de Euler possui diversas limitações que restringem o seu uso a problemas muito especícos. Dentre as principais causas destas limitações podese citar os termos desprezados na expansão em série de Taylor, a necessidade de utilizar passos de tempo muito pequenos e o fato de que o método considera que o valor da derivada y (t i ) é constante em todo o intervalo (t i, t i+1 ). O método de Euler serviu como base para o desenvolvimento de métodos gradativamente mais complexos e com melhor desempenho. O método de Euler e outros métodos explícitos de maior ordem fazem parte de uma família de métodos numéricos mais abrangentes chamados de métodos de Runge-Kutta (RK). O método de Euler corresponde ao método RK de primeira ordem. Além dos métodos RK, outras abordagens podem ser empregadas, como por exemplo a utilização de métodos implícitos e os métodos de passos múltiplos. A seguir serão apresentadas três modicações do método de Euler que pertencem a estas categorias. Assim como para o método de Euler, o objetivo continua sendo buscar uma solução aproximada para o PVI: dt = f(t, y) y(t 0) = y Método de Euler Aprimorado (Fórmula de Heun) Este método faz parte da categoria de passos múltiplos, onde os valores da derivada em mais de um ponto são utilizados para determinar o próximo ponto. A fórmula de Heun é uma modicação simples do método de Euler e consiste em uma abordagem preditiva-corretiva. O passo inicial consiste determinar um valor preditor com base no método de Euler: y n+1 = y n + t f(t n, y n ) A partir deste valor, é calculada uma etapa corretora com base no valor médio da função avaliada em y n e no valor preditor y n+1 : y n+1 = y n + t 2 (f(t n, y n ) + f(t n+1, y n+1)) 17

18 Esta fórmula representa uma correção do valor estimado anteriormente yn+1. Para implementar computacionalmente este método, pode-se utilizar a mesma estrutura geral apresentada para o método de Euler, sendo necessário somente modicar o passo 4: Passo 4: Para i = 1 até i = n calcular: k1 = f(t[i], y[i]) yp[i + 1] = y[i] + t k 1 t[i + 1] = t[i] + t k2 = f(t[i + 1], yp[i + 1]) y[i + 1] = y[i] + ( t/2)(k1 + k2) Exemplo 01) Repita o exemplo visto anteriormente utilizando a fórmula de Euler aprimorada. Lembrando do PVI ( t = 0.2): dt = 2t2 y 2 y(0) = 1 A resolução com o método de Euler modicado envolve mais etapas: - Passo 1: k1 = f(t 0, y 0 ) = 0 yp 1 = y 0 + t k1 = 1 t 1 = t 0 + t = Passo 2: k2 = f(t 1, yp 1 ) = 0.08 y 1 = y 0 + ( t/2) (k1 + k2) = k1 = f(t 1, y 1 ) = yp 2 = y 1 + t k1 = t 2 = t 1 + t = Passo 3: k2 = f(t 2, yp 2 ) = y 2 = y 1 + ( t/2) (k1 + k2) = k1 = f(t 2, y 2 ) = yp 3 = y 2 + t k1 = t 3 = t 2 + t = Passo 4: k2 = f(t 3, yp 3 ) = y 3 = y 2 + ( t/2) (k1 + k2) = k1 = f(t 3, y 3 ) = yp 4 = y 3 + t k1 = t 4 = t 3 + t =

19 k2 = f(t 4, yp 4 ) = y 4 = y 3 + ( t/2) (k1 + k2) = Passo 5: k1 = f(t 4, y 4 ) = yp 5 = y 4 + t k1 = t 5 = t 4 + t = 1 k2 = f(t 5, yp 5 ) = y 5 = y 4 + ( t/2) (k1 + k2) = Para comparação, a solução exata para t = 0.8 é y = e para t = 1 é y = Método de Euler Implícito (Inverso) O método de Euler explícito utiliza a inclinação da reta tangente no ponto n para estimar o valor da solução no ponto n + 1: y n+1 = y n + t (f(t n, y n )) De forma alternativa, poderia-se utilizara a inclinação da reta tangente no próprio ponto n + 1. Esta formulação dá origem ao método de Eulet implícito ou inverso ou regressivo: y n+1 = y n + t (f(t n+1, y n+1 )) Como a variável y n+1 aparece nos dois lados da igualdade, pode ser necessário utilizar algum método iterativo para a resolução do problema, caso não seja possível explicitar o valor y n+1. Para EDO's lineares sempre é possível isolar y n+1, no entanto para não-lineares isso usualmente não é possível. Esta formulação representa um método implícito, pois a variável y n+1 depende implicitamente dela mesmo. Assim como a formulação explícita, este método representa uma aproximação de primeira ordem, porém, como será visto nas próximas aulas, os métodos implícitos possuem uma grande vantagem sobre os explícitos em relação à estabilidade do método. Exemplo 02) Resolva o seguinte PVI utilizando o método de Euler implícito, com t = 0.1 até t = 0.3: dt = t2 + ty y(0) = 1 19

20 Regra do Ponto Médio Lembrando da Fórmula de Taylor com o resto de Lagrange: y n+1 = y n + t y (t n ) + t2 2! y (c) Quando os termos de segunda ordem são desconsiderados, obtém-se o método de Euler explícito. Uma maneira de se conseguir uma aproximação mais precisa (com maior ordem) é considerar um maior número de termos na expansão. Por exemplo, caso o termo de terceira ordem também for considerado, temos que: onde novamente c (t n, t n+1 ). y n+1 = y n + t y (t n ) + t2 2! y (t n ) + t3 3! y (c) De forma semelhante, pode-se substituir t por t para se obter uma aproximação para y n 1 : onde d (t n 1, t n ). y n 1 = y n t y (t n ) + t2 2! y (t n ) t3 3! y (d) Fazendo a expansão para y n+1 menos a expansão para y n 1 : y n+1 y n 1 = 2 ty (t n ) + y (c) + y (d) t 3 3! Novamente, como as derivadas y (c) e y (d) são dois escalares, a relação anterior pode ser expressa como: y n+1 = y n ty (t n ) + O( t 3 ) Desconsiderando os termos de terceira ordem: y n+1 = y n ty (t n ) Esta relação é conhecida como regra do ponto médio e representa uma aproximação de segunda ordem para y n+1. Esta fórmula depende do conhecimento do valor da variável em três pontos, por isso não pode ser utilizara para determinar y 1, já que y 1 não existe. Outra relação pode ser utilizada para determinar o ponto y 1, e a relação anterior pode ser usada para os demais pontos. Comparando com o método de Euler explícito: y n+1 = y n + ty (t n ) y (t n ) = y n+1 y n t 20

21 y n+1 = y n ty (t n ) y (t n ) = y n+1 y n 1 2 t Exemplo 07:) Utilize a regra do ponto médio para resolver o seguinte PVI até t = 0.3, utilizando t = 0.1: dt = y + 2t + t2 y(0) = 1 Para avaliar o primeiro ponto, pode-se utilizar alguma formulação distinta. Como a regra do ponto médio é um método de segunda ordem, é recomendável a utilização de outro método de segunda ordem para não haver uma perda muito grande de precisão. Utilizando o método de Euler aprimorado: k1 = f(t 0, y 0 ) = 1 yp 1 = y 0 + t k1 = 1.1 t 1 = t 0 + t = 0.1 k2 = f(t 1, y 1 ) = 1.31 y 1 = y 0 + ( t/2)(k1 + k2) = A partir dos valores conhecidos para y 0 e y 1, pode-se agora determinar os demais pontos: y 2 = y tf(t 1, y 1 ) = ( ) = y 3 = y tf(t 2, y 2 ) = ( ) =

22 2.3. Métodos de Runge-Kutta Os métodos de Runge-Kutta (RK) utilizam a aproximação em série de Taylor para obter formulações de alta ordem sem necessitar o cálculo das derivadas de alta ordem. De forma geral, estes métodos podem ser expressos de forma geral como: y i+1 = y i + tφ(t i, y i, t) onde a função φ(t i, y i, t) é chamada de incremento e pode ser interpretada como uma representação da inclinação no intervalo entre t i e t i+1. Como esta função só depende de pontos já conhecidos, os métodos de Runge-Kutta clássicos são explícitos. Para um método de ordem n, a função incremento costuma ser expressa na seguinte forma: φ(t i, y i, t) = a 1 k 1 + a 2 k 2 + a 3 k a n k n onde a 1, a 2, a 3,..., a n são constantes e os termos k i são dados por: k 1 = f(t i, y i ) k 2 = f(t i + p 1 t, y i + q 11 k 1 t) k 3 = f(t i + p 2 t, y i + q 21 k 1 t + q 22 k 2 t). k n = f(t i + p n 1 t, y i + q n 1,1 k 1 t + q n 1,2 k 2 t q n 1,n 1 k n 1 t) onde os termos p i e q ij são constantes. Como pode ser observado, a determinação do parâmetros k n depende os valores k i onde i < n. Por exemplo, para um método de primeira ordem a função incremento é avaliada como: φ(t i, y i, t) = a 1 k 1 onde k 1 = f(t i, y i ). Substituindo na expressão para a forma geral dos métodos de Runge- Kutta: y i+1 = y i + t(a 1 f(t i, y i )) Os métodos RK estão baseados diretamente na expansão em série de Taylor em torno do ponto y i. Como visto anteriormente, a expansão de primeira ordem resulta em: y i+1 = y i + tf(t i, y i ) Comparando os termos semelhantes com a equação anterior, observa-se que a 1 = 1. O método de Runge-Kutta de primeira ordem corresponde, de fato, ao método de Euler. 22

23 Método de Runge-Kutta de 2 a Ordem Considere agora que se deseja obter uma aproximação de segunda ordem. Neste caso, temos que: y i+1 = y i + (a 1 k 1 + a 2 k 2 ) t k 1 = f(t i, y i ) k 2 = f(t i + p 1 t, y i + q 11 k 1 t) Para determinar os valores de a 1, a 2, p 1 e q 11 pode-se primeiramente avaliar a expansão em séries de Taylor de segunda ordem em torno de y i é dada por: y i+1 = y i + tf(t i, y i ) + df t 2 2 Considerando que f = f(t, y), a derivada total de f em relação a t é dada por: Substituindo na expressão anterior: df dt = f t + f y dt y i+1 = y i + tf(t i, y i ) + ( f t + f y ) t 2 dt 2 Utilizando um procedimento semelhante, pode-se utilizar a expansão em séries de Taylor para expandir a própria função f(t, y). Lembrando, para uma função de duas variáveis, a expansão em série de Taylor é dada por: f(x, y) = f(x 0, y 0 ) + f x (x x 0) + f y (y y 0)+ ( ) 1 2 f 2! x (x x 0) f 2 x y (x x 0)(y y 0 ) + 2 f y (y y 0) De forma equivalente, pode-se avaliar a função em um ponto qualquer f(x + a, y + b) com base no valor de f(x, y). Considerando uma aproximação de primeira ordem: f(x + a, y + b) = f(x, y) + f x a + f y b Assim, considerando a denição de k 2, o termo f(t i +p 1 t, y i +q 11 k 1 t) pode ser expresso como: k 2 = f(t i + p 1 t, y i + q 11 k 1 t) = f(t i, y i ) + p 1 t f t + q 11k 1 t f y Substituindo os valores de k 1 e k 2 na expressão para y i+1 = y i +(a 1 k 1 +a 2 k 2 ) t e colocando os termos de mesma ordem em evidência: y i+1 = y i + (a 1 f(t i, y i ) + a 2 f(t i, y i )) t + 23 ( f a 2 p 1 t + a 2q 11 f(t i, y i ) f ) t 2 y

24 Comparando com a equação obtida anteriormente: y i+1 = y i + tf(t i, y i ) + ( f t + f y ) t 2 dt 2 Igualando os coecientes com os termos de mesma ordem, observa-se que as seguintes relações devem ser satisfeitas: a 1 + a 1 = 1 a 2 p 1 = 1/2 a 2 q 11 = 1/2 Este sistema possui três equações e quatro variáveis, portanto não existe solução única. No entanto, a partir do momento em que um dos valores é especicado, os demais podem ser calculados. Isto implica que existem innitas formulações para o método de Runge-Kutta de segunda ordem. Euler Modicado (a 2 = 0.5) Assumindo que a 2 = 0.5, obtém-se que a 1 = 0.5 e p 1 = q 11 = 1. Assim, o método de Runge-Kutta de segunda ordem resulta em: k 1 = f(t i, y i ) k 2 = f(t i + t, y i + k 1 t) y i+1 = y i + (k 1 + k 2 ) t 2 Este método corresponde ao método de Euler modicado (fórmula de Heun). Regra do Ponto Médio (a 2 = 1) Fazendo a 2 = 1, temos que a 1 = 0 e p 1 = q 11 = 1/2: k 1 = f(t i, y i ) k 2 = f(t i + t/2, y i + k 1 t/2) y i+1 = y i + k 2 t Esta formulação corresponde ao método de Euler modicado com base na regra do ponto médio. 24

25 Método de Ralston (a 2 = 2/3) Fazendo a 2 = 2/3, os demais valores são avaliados como a 1 = 1/3 e p 1 = q 11 = 3/4: k 1 = f(t i, y i ) k 2 = f(t i + 3 t/4, y i + 3k 1 t/4) y i+1 = y i + (k 1 /3 + 2k 2 /3) t Esta formulação é chamada de Método de Ralston Método de Runge-Kutta de 4 a Ordem Seguindo o mesmo procedimento mostrado anteriormente para uma aproximação de quarta ordem, obtém-se o método RK4. Este é possivelmente o método mais empregado para a resolução de PVI's, devido a sua alta precisão e por ser um método explícito. Neste caso, os parâmetros k 1, k 2, k 3 e k 4 são avaliados como: k 1 = f(t i, y i ) k 2 = f(t i + t/2, y i + k 1 t/2) k 3 = f(t i + t/2, y i + k 2 t/2) k 4 = f(t i+1, y i + k 3 t) Com base nestes valores, o ponto y n+1 é avaliado como: y n+1 = y n + (1/6)(k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4) A utilização de passos de tempo t constantes para todos os casos possui uma série de desvantagens, especialmente porque em muitos casos a equação pode precisar de valores muito pequenos para manter a precisão em alguns pontos, enquanto que em outros pontos valores maiores poderiam ser utilizados para reduzir o número de cálculos realizados. Muitos softwares utilizam uma abordagem que determina localmente o tamanho necessário para os passos, através da comparação dos resultados obtidos com RK4 e uma formulação de Runge-Kutta de quinta ordem (ex. ode45 do Matlab). Exemplo 08:) Utilize o método RK4 para resolver o seguinte PVI, adotando t = 0.1 até t = 0.3: dt = y + 2t y(0) = 2 25

26 Método de Runge-Kutta para Sistemas O método de Runge-Kutta pode ser utilizado para a resolução de sistemas de EDO's. Considere, por exemplo, um sistema com duas equações: dt = f(y, x, t) y(t 0) = y 0 dx dt = g(y, x, t) x(t 0) = x 0 Neste caso os parâmetros k 1,..., k 4 irão depender de qual equação está sendo avaliada: k y 1 = f(t n, y n, x n ) k1 x = g(t n, y n, x n ) k y 2 = f(t n + t/2, y n + k1 t/2, y x n + k1 t/2) x k2 x = g(t n + t/2, y n + k1 t/2, y x n + k1 t/2) x k y 3 = f(t n + t/2, y n + k2 t/2, y x n + k2 t/2) x k3 x = g(t n + t/2, y n + k2 t/2, y x n + k2 t/2) x k y 4 = f(t n + t, y n + k3 t, y x n + k3 t) x k4 x = g(t n + t, y n + k3 t, y x n + k3 t) x Com base nestes valores, a solução no ponto n + 1 pode ser aproximada: y n+1 = y n + t 6 (ky 1 + 2k y 2 + 2k y 3 + k y 4) x n+1 = x n + t 6 (kx 1 + 2k x 2 + 2k x 3 + k x 4) Considere agora um sistema de m equações: 1 dt = f 1(t, y 1, y 2, y 3,..., y m ) 2 dt = f 2(t, y 1, y 2, y 3,..., y m ) 3 dt = f 3(t, y 1, y 2, y 3,..., y m ) m dt. = f m (t, y 1, y 2, y 3,..., y m ) y 1 (t 0 ) = y0 1 y 2 (t 0 ) = y0 2 y 3 (t 0 ) = y0 3. y m (t 0 ) = y0 m (2.4) Neste caso, as quantidades k 1, k 2, etc. passam a ser vetores com m componentes: 26

27 f 1 (x n, yn, 1 yn, 2..., yn m ) f k 1 = 2 (x n, yn, 1 yn, 2..., y m n ). f m (x n, yn, 1 yn, 2..., yn m ) f 1 (x n + t/2, yn 1 + t k 1 [1]/2, yn 2 + t k 1 [2]/2,... yn m + t k 1 [m]/2) f k 2 = t 2 (x n + t/2, yn 1 + t k 1 [1]/2, yn 2 + t k 1 [2]/2,... y m n + t k 1 [m]/2). f m (x n + t/2, yn 1 + t k 1 [1]/2, yn 2 + t k 1 [2]/2,... yn m + t k 1 [m]/2) f 1 (x n + t/2, yn 1 + t k 2 [1]/2, yn 2 + t k 2 [2]/2,... yn m + t k 2 [m]/2) f k 3 = t 2 (x n + t/2, yn 1 + t k 2 [1]/2, yn 2 + t k 2 [2]/2,... y m n + t k 2 [m]/2). f m (x n + t/2, yn 1 + t k 2 [1]/2, yn 2 + t k 2 [2]/2,... yn m + t k 2 [m]/2) f 1 (x n + t, yn 1 + t k 3 [1], yn 2 + t k 3 [2],... yn m + t k 3 [m]) f k 4 = t 2 (x n + t, yn 1 + t k 3 [1], yn 2 + t k 3 [2],... y m n + t k 3 [m]). f m (x n + t, yn 1 + t k 3 [1], yn 2 + t k 3 [2],... yn m + t k 3 [m]) Com base nestes vetores, a solução para o sistema pode ser avaliada: y i n+1 = y i n + t 2 (k 1[i] + 2k 2 [i] + 2k 3 [i] + k 4 [i]) Exemplo 01:) Utilize o método RK4 para resolver os dois primeros passos para o seguinte sistema, considerando t = 0.2: Denindo: dt = 7y sin(x + 2t) y(0) = 1 dx dt = 4x y2 x(0) = 0 f(t, y, x) = 7y sin(x + 2t) g(t, y, x) = 4x y 2 t 0 = 0 y 0 = 1 x 0 = 0 Para o primeiro passo de tempo, temos que: t 1 = t 0 + t =

28 Avaliando primeiramente k 1 para as duas equações: k y 1 = f(t 0, y 0, x 0 ) = ( 7 (1) sin( )) = 0 k x 1 = g(t 0, y 0, x 0 ) = (4 (0) 1 2 ) = 1 Avaliando agora k 2 k y 2 = f(t 0 + t/2, y 0 + tk y 1/2, x 0 + tk x 1/2) = ( 7 (1) sin( 1 0.2/ /2)) = Para k 3 : k x 2 = g(t 0 + t/2, y 0 + tk y 1/2, x 0 + tk x 1/2) = (4 ( 1 0.2/2) (1) 2 ) = 1.4 k y 3 = tf(t 0 + t/2, y 0 + tk y 2/2, x 0 + tk x 2/2) = ( 7 ( ( )/2) sin((0.2 ( 1.4)/2) )) = Para k 4 : k x 3 = tg(t 0 + t/2, y 0 + tk y 2/2, x 0 + tk x 2/2) = (4(0.2 ( 1.4)/2) ( ( )/2) 2 ) = k y 4 = f(t 1, y 0 + tk y 3, x 0 + tk x 3) = ( 7( ( )) sin((0.2 ( )) 2 (0.2))) = k x 4 = g(t 1, y 0 + tk y 3, x 0 + tk x 3) = (4(0.2 ( )) ( ( )) 2 ) = Agora os pontos y 1 e x 1 podem ser avaliados: y 1 = t 6 (ky 1 + 2k y 2 + 2k y 3 + k y 4) = x 1 = t 6 (kx 1 + 2k x 2 + 2k x 3 + k x 4) = Repetindo o procedimento para o próximo passo, obtém-se os seguintes coecientes: k y 1 = k x 1 = k y 2 = k x 2 = k y 3 = k x 3 = k y 4 = k x 4 = Com isso, obtém-se: y 2 = x 2 =

29 Métodos de Runge-Kutta Adaptativos Como visto anteriormente, o passo de tempo utilizado ( t) possui uma grande inuência no erro associado à resolução de equações diferenciais através de métodos numéricos. Além disso, o valor de t irá denir quantos passos serão necessários para atingir o tempo nal desejado. Para reduzir o gasto computacional envolvido, deve-se utilizar o maior passo de tempo possível que garanta que o erro esteja dentro do limite estabelecido. Para um grande número de problemas comuns na engenharia, a resolução pode necessitar de passos muito pequenos em um determinado intervalo de tempo e possibilitar que passos maiores sejam utilizados para os demais intervalos. Por exemplo, quando a solução representa um decaimento exponencial, usualmente nos instantes iniciais ocorre uma rápida variação na solução que tende a estabilizar conforme o tempo avança. Como consequência, passos de tempo pequenos são necessários nos instantes inicias, porém após um determinado tempo os passos podem ser aumentados sem que o erro seja superior ao especicado. Para evitar estes inconvenientes, pode-se utilizar um passo de tempo que se adapte a solução. A implementação deste tipo de algoritmo requer que o erro de truncamento local seja de alguma forma estimado ao longo da resolução (para cada passo de tempo). Apesar de isto gerar um gasto computacional extra, normalmente o ganho associado ao uso de passos adaptativos supera em muito este gasto. Existem duas formas duas abordagens distintas para implimentar métodos de Runge- Kutta com passo adaptativo. Uma delas consiste em estimar o erro através da diferença entre duas predições obtidas com passos diferentes usando um método de mesma ordem. A outra abordagem consiste em avaliar o erro local de truncamento através da comparação entre os resultados obtidos com métodos de ordem distintas, utilizado o mesmo passo de tempo. Método de Passo Duplo O método adaptativo mais simples é o método de passo duplo, que consiste em avaliar cada ponto duas vezes, uma vez através de um único passo e outra através de dois passos com a metade do tamanho do primeiro. A diferença entre os dois resultados representa uma estimativa do erro de truncamento local. Por exemplo, quando o ponto y i+1 vai ser calculado com base no ponto y i, primeiramente calcula-se utilizando um passo t e na sequência calcula-se novamente y i+1 através de dois passos com tamanho t/2. 29

30 Suponha que y1 representa o valor calculado em t+ com o passo t e y 2 o valor calculado para o mesmo tempo t + t mas com o passo t/2, como ilustrado na gura a seguir. Por exemplo, considere o método de Runge-Kutta de primeira ordem (Euler explícito). Como visto anteriormente, neste caso o erro de truncamento local é da ordem de t 2. Denindo a solução exata em t + t como x, pode-se denir a solução exata em termos de y 1 : x = y 1 + t 2 φ + O( t 3 ) onde φ é um escalar. De forma semelhante, para y 2 são necessários dois passos, de modo que: x = y ( ) 2 t φ + O( t 3 ) = y2 + t2 2 2 φ + O( t3 ) Desprezando os termos da ordem de t 3, igualando as duas expressões temos que: ( ) 2 t y1 + t 2 φ = y2 + 2 φ 2 Denindo = y 2 y 1 : = y 2 y 1 = t2 2 φ Assim, o termo representa uma estimativa do erro associado com y2. Para métodos de maior ordem, o parâmetro também irá representar uma estimativa do erro associado com y 2, porém neste caso o erro não será da ordem de t2 mas irá depender da ordem do método utilizado. Por exemplo, para o método RK4, o parâmetro será da orde de t 5. Se o valor for inferior ao erro local permitido, pode-se aumentar o passo t, enquanto que se for maior que o erro permitido, deve-se diminuir t. 30

31 Considere, por exemplo, que o erro máximo permitido seja e max = Se = y 2 y 1 < 10 6, valida-se o passo e utiliza-se o valor y2. Para corrigir o passo de tempo t, diferentes relações podem ser utilizadas, como por exemplo: t = ( emax ) α t onde t representa o passo de tempo antigo e t o valor corrigido. Como neste caso e max >, o valor novo obtido será maior que o anterior. O valor de α recomendado para este caso (e max > ) é de α = 0.2 Considerando agora que > e max. Neste caso, o passo é invalidado e deve ser recalculado com um passo menor. A relação utilizada para recalcular o passo é a mesma apresentada anteriormente, porém neste caso o valor corrigido será menor que o anterior e o valor recomendado para α é de α = Exemplo 02) Utilize o método de Runge-Kutta de quarta ordem juntamente com o método do passo duplo para estimar o valor de y(1.25). Considere que o erro de truncamento local não pode ser superior a 10 3 e como estimativa inicial para o passo de tempo considere t = 1: dt = 4e0.8t 0.5y y(0) = 2 Avaliando o primero passo com t = 1, obtemos y(1) = y 1 = Considerando agora t = 0.5, a resolução de dois passos implica que y(1) = y 2 = Assim: = y 2 y 1 = Como o valor é superior ao erro máximo, deve-se refazer este passo. Recalculando o passo de tempo: ( ) t = 1 = Recalculando o primeiro passo de tempo com o novo valor de t, obtém-se que y1 = e y2 = , de modo que = Como o valor é inferior ao erro máximo, este ponto pode ser validado: t 1 = t 0 + t = y(t 1 ) = y 1 = Para avaliar o próximo passo, primeiramente pode-se avaliar um novo t: ( ) t = =

32 Utilizando este valor, obtém-se qu para t 2 = t 1 + t = = , y1 = e y2 = , de modo que = Como o valor está acima do erro máximo, deve-se reduzir o passo de tempo: ( ) t = = Recalculado os valores, agora para t 2 = t 1 + t = = , obtémse que y1 = e y2 = , de modo que = Como o erro está abaixo do especicado, pode-se validar o passo. Assim: t 2 = y(t 2 ) = y 2 = Como deseja-se saber y(1.25), o valor de t 2 já está acima do especifado. Para obter o valor no ponto t = 1.25, pode-se realizar uma interpolação linear entre os valores para t 1 e t 2 : y(1.25) = y 1 + (t ) (t 2 t 1 ) (y 2 y 1 ) = Método de Runge-Kutta-Fehlberg Outra alternativa para estimar o erro local de truncamento é avaliar um dado ponto através de métodos com ordem distinta. Por exemplo, pode-se avaliar a solução em um dado ponto y(t i+1 ) através de um método de segunda ordem (yi+1 ) e de um método de terceira ordem (y i+1 ). A diferença entre os dois valores (y i+1 y i+1) representa uma estimativa do erro de truncamento neste ponto. Se os dois valores forem muito próximos, isto indica que a redução no passo de tempo não irá diminuir signicativamente o erro local de truncamento. A abordagem mais utilizada consiste em avaliar a solução em um ponto através de métodos de Runge-Kutta de quarta e quinta ordem, sendo que as estimativas de quarta ordem (y i+1 ) e de quinta ordem (y i+1 ) podem ser representadas como: onde: ( 37 yi+1 = y i + t 378 k k k k 6 ( 2825 y i+1 = y i + t k k k k 1 = f(t i, y i ) ) ) k k 6 32

33 k 6 = f k 5 = f k 3 = f ( k 2 = f t i + t 5, y i + t ) 5 k 1 ( t i + 3 t 10, y i + 3 t 40 k t 40 k 2 ( k 4 = f t i + 3 t 5, y i + 3 t 10 k 1 9 t 10 k t ) 5 k 3 ( t i + t, y i 11 t 54 k t 2 k 2 70 t 27 k t 27 k 4 ( t i + 7 t 8, y i t k t 512 k t k t k t 4096 k 5 Da mesma forma como para o método anterior, o erro associado com a estimativa do ponto y i+1 é avaliado como: = y i+1 y i+1 Com base neste valor, utiliza-se o mesmo critério apresentado anteriormente para corrigir o passo de tempo t, ou seja, se o erro for menor que o especicado aumenta-se o passo de tempo e se o erro for menor descarta-se o valor obtido e reduz-se o passo de tempo até que o erro esteja dentro do valor tolerável. As relações utilizadas para reduzir ou aumentar o passo são as mesmas apresentadas para o método do passo duplo. ) ) ) 33

34 2.4. Métodos de Passos Múltiplos Os métodos de passos múltiplos são aqueles onde a variável y n+1 é determinada com base nos valores desta variável em mais de um ponto, como por exemplo no método baseado na regra do ponto médio: y n+1 = y n ty (t n ) y (t n ) = y n+1 y n 1 2 t Os demais métodos, que determinam y n+1 com base somente nos valores de y n, são chamados de métodos de passo único. Como visto anteriormente, os métodos de passos múltiplos não iniciam automaticamente, sendo necessário avaliar alguns pontos iniciais através de outro método. Dentre os métodos de passos múltiplos, os mais utilizados são os da família dos métodos de Adams, como apresentado a seguir Método de Adams-Bashforth Considere novamente o seguinte PVI: dt = f(t, y) y(t 0) = y 0 Uma maneira de obter o valor em um ponto y n+1 com base em um valor conhecido y n é integrar a equação desde um ponto t n até um ponto t n+1 : tn+1 t n y (t)dt = tn+1 t n f(t, y)dt Como o lado esquerdo avalia a integral de uma derivada, podemos escrever a expressão anterior como: y(t n+1 ) y(t n ) = y n+1 y n = tn+1 t n f(t, y)dt Como a função y(t) não é conhecida, não é possível resolver diretamente a integral do lado direito da equação. O método de Adams-Bashforth consiste em substituir a função f(t, y) por um polinômio p(t), permitindo assim a resolução da integral: y n+1 = y n + tn+1 t n p(t)dt Dependendo da ordem escolhida para o polinômio p(t), diferentes formulações são obtidas. Os coecientes associados ao polinômio são determinados com base nos valores já conhecidos 34

35 para y n, y n 1, y n 2, etc. Caso um polinômio de ordem k for utilizado, é necessário conhecer a solução em k + 1 pontos. Por exemplo, caso um polinômio de primeira ordem for empregado: p(t) = At + B é necessário conhecer o valor da função f(x, y) em dois pontos, ou seja, é necessário determinar dois valores (y n e y n 1 ) para encontar as constantes A e B. Com isso: At n + B = f(t n, y n ) = f n Resolvendo para A e B: At n 1 + B = A(t n t) + B = f(t n 1, y n 1 ) = f n 1 A = f n f n 1 t B = f n 1t n f n t n 1 t Substituindo p(t) = At + B na expressão anterior e resolvendo a integral: y n+1 = y n + tn+1 t n (At + B)dt = y n + A 2 (t2 n+1 t 2 n) + B(t n+1 t n ) Substituindo as expressões obtidas para A e B e simplicando o resultado obtido: y n+1 = y n t f n 1 2 t f n 1 Esta relação é conhecida como método de Adams-Bashforth de 2 a ordem, e representa um método explícito onde é necessário conhecer a solução nos dois pontos anteriores. Usando polinômios de maior ordem, pode-se obter métodos de maior ordem. Um dos mais utilizados é o de quarta ordem: y n+1 = y n + t 24 (55f n 59f n f n 2 9f n 3 ) Neste caso, é necessário conhecer 4 pontos anteriores. Em comparação com outros métodos de quarta ordem, como RK4, o método de Adams-Bashforth costuma apresentar melhores resultados Método de Adams-Moulton O método de Adams-Moulton é uma modicação do método de Adams-Bashftorh que consiste em avaliar o polinômio interpolador p(t) em t n+1, t n, t n 1,... ao invés de t n, t n 1, t n 2,

36 Por exemplo, considere novamente um polinômio de primeira ordem p(t) = αt + β. Neste caso, as constantes são avaliadas através da relações: αt n+1 + β = f n+1 De onde se obtém que: αt n + β = f n α = f n+1 f n t β = f nt n+1 f n+1 t n t De modo que y n+1 pode ser obtido como: y n+1 = y n + t 2 f n + t 2 f n+1 Considerando que f n+1 = f(t n+1, y n+1 ), esta relação representa uma fórmula implícita de segunda ordem. Utilizando polinômios de ordem maior, obtém-se formulações de ordem superior. O método de Adams-Moulton de quarta ordem é dado como: y n+1 = y n + t 24 (9f n f n 5f n 1 + f n 2 ) Para evitar as diculdades associadas ao uso de métodos implícitos, é comum adotar uma abordagem preditiva-corretiva, utilizando Adams-Bashforth como uma etapa preditiva e Adams-Moulton como corretora. Por exemplo, utilizando uma abordagem de segunda ordem, a etapa preditiva é dada como: y n+1 = y n t f n 1 2 t f n 1 Sendo este valor posteriormente corrigido com a relação de Adams-Moulton: onde f n+1 = f(t n+1, y n+1) y n+1 = y n + t 2 f n + t 2 f n+1 Exemplo 03:) Utilizando uma abordagem preditiva-corretiva, utilize os métodos de Adams de segunda ordem para obter a solução aproximada do seguinte PVI até t = 0.4, utilizando t = 0.1: dt = y + 2t y(0) = 2 36

37 Esta equação foi avaliada anteriormente com o método de Runge-Kutta. Para utilizar Adams-Bashforth, neste caso é necessário conhecer a solução em dois pontos anteriores. Pode-se utilizar a condição inicial como um destes pontos: t 0 = 0 y 0 = 2 e o valor obtido com o método de Runge-Kutta para y 1 : t 1 = 0.1 y 1 = 1.82 Com isso, pode-se determinar o valor preditivo em t 2 = 0.2: y 2 = y t f(t 1, y 1 ) 1 2 t f(t 0, y 0 ) = Utilizando Adams-Moulton para corrigir o valor: y 2 = y 1 + t 2 f(t 1, y 1 ) + t 2 f(t 2, y 2) = Repetindo o procedimento para o próximo passo de tempo (t 3 = 0.3): y 3 = y t f(t 2, y 2 ) 1 2 t f(t 1, y 1 ) = y 3 = y 2 + t 2 f(t 2, y 2 ) + t 2 f(t 3, y 3) = Finalmente, para o último passo de tempo (t 4 = 0.4): y 4 = y t f(t 3, y 3 ) 1 2 t f(t 2, y 2 ) = y 4 = y 3 + t 2 f(t 3, y 3 ) + t 2 f(t 4, y 4) =

38 2.5. Estabilidade dos Métodos de Resolução de EDO's Na passagem do método de Euler explícito para métodos mais complexos, o principal objetivo foi obter métodos com melhor precisão (reduzir os erros de truncamento). No entanto, em muitos casos os resultados obtidos não só possuem uma baixa precisão como também são catastrocamente distintos da solução exata. Por exemplo, considere o seguinte PVI: dt = 12y y(0) = 1 A utilização do método de Euler explícito com t = 0.2 gera o resultado ilustrado a seguir. Neste caso, o erro aumenta rapidamente conforme se avança na solução. Este problema está associado com a falta de estabilidade do método empregado. Antes de avaliar a estabilidade dos métodos, é necessário denir dois conceitos relacionados a análise de estabilidade: Consistência: Um método de passo único (como os da família de Runge-Kutta) é dito consistência se o erro de truncamento local e i tende a zero conforme t 0 para todos os passos de tempo, ou seja: lim max e i = 0 t 0 1 i N onde N representa o número total de iterações. Convergência: Um método de passo único é dito convergente com respeito ao pro-blema de valor inicial dt = f(t, y) y(t 0) = y 0 se a diferença entre a solução obtida através do método numérico y i e a solução exata no mesmo ponto φ i tender a zero conforme t 0: lim max y i φ i = 0 t 0 1 i N 38

39 Dessa forma, um método consistente possui a propriedade de que as equações obtidas para cada passo se aproximada da própria equação diferencial conforme o passo de tempo tende a zero, de modo que o erro de truncamento local também tende a zero. Porém, além do erro de truncamento, deve-se considerar a inuência do erro de arredondamento, associado ao fato de que os valores numéricos não são representados de forma exata. Na prática, os parâmetros do sistema, as condições inicias e todo o processo aritmético subsequente possuem erros associados com a precisão numérica nita dos valores empregados. Para garantir que um determinado método seja convergente, deve-se então garantir que além de ser consistente, o erro de arredondamento deve car limitado a um valor aceitável. O controle do erro de arredondamento está associado com a estabilidade do método. Este conceito é muito similar ao conceito de condicionamento de um sistema linear, no sentido de que um método é dito estável quando pequenas variações nos parâmetros ou condições iniciais levam a igualmente pequenas variações na solução obtida. A seguir será apresentada uma análise da estabilidade para os métodos de passo único. Para os métodos de passosmúltiplos, como existem diversas etapas de aproximação envolvidas em cada passo, a análise é mais complexa Análise de Estabilidade de Métodos de Passo Único Para avaliar a estabilidade de um dado método, considere o seguinte PVI: dt = f(t, y) y(t 0) = y 0 Considere que a solução exata deste PVI em um ponto t n é dada por φ(t n ) e que a solução obtida com o uso de método numérico neste ponto é y n. Como comentado anteriormente, na resolução computacional do problema, existem associados erros de arredondamento devido à precisão limitada da representação numérica. Considere que yn é o valor arredondado obtido em uma máquina real e y n é o valor com precisão innita obtido em uma máquina ideal. O erro total associado será a diferença entre a solução exata e o valor fornecido pelo computador: Erro total = φ(t n ) y n = (φ(t n ) y n ) + (y n y n) O primeiro termo representa o erro de truncamento e o segundo o erro de arredondamento associado ao ponto t n. Para que um dado método numérico seja adequado, são necessárias duas condições: 39

40 - O erro de truncamento acumulado (global) deve tender a zero conforme t 0 (consistência); - O erro de arredondamento acumulado (que não pode ser eliminado) deve ser pequeno em comparação com a solução exata (estabilidade) Equação Modelo: Decaimento de Primeira Ordem Para ilustrar as características de estabilidade de um método, considere a equação: dt = λy y(0) = 1 onde λ > 0. Esta equação representa uma taxa de decaimento de primeira ordem, que surge, por exemplo, na análise da variação na fração de um dado reagente em uma reação de primeira ordem. Considerando novamente que φ(t) é a solução exata da equação, o valor calculado numericamente pode ser expresso como: y(t) = φ(t) + ε(t) Substituindo na equação diferencial: d(φ + ε) dt = λ(φ + ε) Como as solução exata deve satisfazer a equação diferencial, temos que: dε dt = λε Esta equação serve como uma relação para determinar como o erro varia ao longo do tempo, ou seja, ao longo dos passos avaliados. Se o erro diminuir com o tempo, o método é estável, caso contrário será instável. Por exemplo, considere que o método de Euler explícito seja utilizado para avaliar ε(t): ε n+1 = ε n + t( λε n ) = ε n (1 tλ) ε n+1 ε n = 1 tλ Para garantir a estabilidade, é preciso que o erro em t n+1 seja menor que o erro em t n, assim: ε n+1 ε n 1 40

41 Considerando a relação anterior: 1 tλ 1 Desse modo, o passo de tempo para garantir a estabilidade deve ser maior que zero e menor que 2/λ. A região contendo os valores de λ t que levam a uma solução estável é chamado de domínio de estabilidade linear. O parâmetro λ pode ser um número complexo, de modo que o domínio de estabilidade costuma ser representado no plano complexo. Denindo z = λ t, temos que para o método de Euler explícito ser estável a seguinte condição deve ser satisfeita: 1 + z 1 Fazendo z = a + bi: 1 + (a + bi) 1 (a + 1) + bi 1 Para um número complexo qualquer α + βi, o módulo é denido como: α + βi = α 2 + β 2 Assim, para o caso anterior, temos que: (a + 1) + bi = (a + 1) 2 + b 2 1 (a + 1) 2 + b 2 1 Esta relação representa um círculo de raio menor ou igual a 1, deslocado em uma unidade para a esquerda no eixo equivalente a a. Como a é a parte real de z e b a parte imaginária de z, o domínio de estabilidade do método de Euler explícito representa a região indicada na gura a seguir. Considere agora que seja empregado o método de Euler implícito: ε n+1 = ε n + t( λε n+1 ) ε n+1 (1 + tλ) = ε n Com isso: ε n+1 ε n = tλ Como λ > 0 e t > 0, esta relação mostra que o método de Euler implícito é estável para qualquer valor de t, o que é uma característica comum dos métodos implícitos. 41

42 Considere agora a modicação de segunda ordem baseada na regra do ponto médio: De modo que: ε n+1 = ε n + t 2 ( λε n λε n+1 ) ε n+1 (1 + tλ/2) = ε n (1 tλ/2) ε n+1 ε n = 1 tλ/2 1 + tλ/2 Considerando a condição para estabilidade: 1 tλ/ tλ/2 Neste caso, a solução também será estável para qualquer t > 0. Para os demais métodos explícitos, a estabilidade também está condicionada a um domínio especíco. Em particular para o caso dos métodos de RK de ordem maior que 1, pode-se mostrar que o domínio de estabilidade linear engloba o domínio associado ao método de Euler explícito (RK de primeira ordem). Assim, se a condição t < 2/λ for respeitada, os métodos de RK de ordem superior serão estáveis. O domínio de estabilidade de métodos de Runge-Kutta de ordem 1 até 5 é representado na gura a seguir: 2.7. Problemas Rígidos (Sti) Algumas equações ou sistemas de equações diferenciais são classicados como rígidos (sti). Não existe uma denição precisa para classicar uma EDO como rígida, mas estes tipos de problema compartilham características em comum: 42

43 - Normalmente existem termos que levam à uma rápida variação na solução; - Problemas rígidos possuem uma variedade de escalas de tempo associadas, ou seja, em determinados pontos a solução varia muito mais rapidamente que em outras; - Métodos explícitos só são estáveis para a resolução de EDO's rígidas se o passo de tempo utilizado for muito pequeno; - Usualmente, o passo de tempo utilizado para garantir a estabilidade é menor que o necessário para garantir a convergência desejada. A equação teste utilizada anteriormente: dt = λy y(t 0) = y 0 é um exemplo de equação rígida, especialmente para altos valores de λ. Esta equação possui solução da forma: y = y 0 e λt 43

44 Como visto anteriormente, se um método explícito for empregado, deve-se usar um valor de t sucientemente pequeno para garantir a estabilidade da solução. Por exemplo, para o método de Euler explícito: t < 2 λ Caso for necessário avaliar a solução até um tempo nal t 1, o número de passos necessários (n) será: n = t 1 t n > λt 1 2 Assim, o número de passos mínimo necessários é diretamente proporcional ao valor de λ Sistemas de Equações Diferenciais Rígidas Lineares Considere o seguinte PVI: A solução deste problema é a seguinte: 1 dt = 500.5y y 2 y 1 (0) = 2 2 dt = 499.5y y 2 y 2 (0) = 1 y 1 (t) = 1.5e t + 0.5e 1000t y 2 (t) = 1.5e t 0.5e 1000t Assim, a solução possui dois termos: um termo e t que varia lentamente com o tempo e outro e 1000t que varia rapidamente. Para garantir a estabilidade, é preciso que a solução se mantenha estável durante toda a resolução, por isso, a estabilidade deve ser assegurada para o termo e 1000t. De modo geral, os valores de t empregados devem ser determinados sem o conhecimento da solução. O PVI anterior pode ser reescrito como: dy dt = Y = AY O valor de t necessário é denido com base nos autovalores da matriz A. Lembrando que os autovalores λ são denidos como os valores onde: A λi = 0 44

45 Assim, para este caso: λ λ ( λ) = 0 Resolvendo a equação de segundo grau, obtém-se as seguintes raízes: λ 1 = 1 λ 2 = 1000 Para garantir a estabilidade em um método explícito, pode-se considerar a função teste usada anteriormente /dt = λy, com λ sendo o maior dos autovalores (em módulo) associados com o problema. Por exemplo, caso o método de Euler explícito seja empregado, deve-se garantir que: t 2 λ max Considerando que no exemplo λ max = 1000, então temos que o passo de tempo máximo é de Caso o menor autovalor fosse empregado, seria obtido um valor de t max = 2. Após os instantes iniciais, o problema passa a ser controlado pelo menor autovalor. Para medir a importância da rigidez na resolução do problema, pode-se determinar o grau de rigidez (stiness ratio) do problema, denido com: SR = λ max λ min Normalmente, para SR > 20 o problema já é classicado como rígido, sendo necessário avaliar com cuidado os passos de tempo empregados Sistemas Não-Lineares Para problemas não-lineares, a análise é mais complexa. Para problemas autônomos, da forma: dy dt = f(y ) pode-se linearizar a equação através de uma expansão em série de Taylor em torno do ponto t n. Desconsiderando os termos de alta ordem: dy dt = f(y n) + J(t n )(Y Y n ) onde J(t n ) é a matriz Jacobiana avaliada em t = t n, denida como: [ ] fi (y) J(t n ) = a ij = y j 45 t n

46 Por exemplo, em um sistema 2 2 da forma: dt = f(x, y) dx dt = g(x, y) O Jacobiano em um ponto t n é determinado da forma: f f x y J(t n ) = tn tn g x tn g y tn Neste caso, a razão de rigidez é denida com base nos autovalores da matriz Jacobiana. Como J(t n ) pode depender do tempo, a razão de rigidez pode variar ao longo da solução. Os valores de t necessários para garantir a estabilidade também podem ser denidos com base nos autovalores da matriz Jacobiana. Obs.: Caso t n for um ponto xo, os autovalores do Jacobiano também servem para denir se o ponto é estável ou não, sendo instável caso algum autovalor tenha parte real positiva. Exemplo: Considere o seguinte PVI: dt = y2 x y(0) = 2 dx dt = 400yx2 x(0) = 1 Determine a razão de rigidez em t = 0. Caso o método de Euler explícito for empregado, qual o valor máximo de t? 46

47 3. Métodos Numéricos para Problemas de Valor de Contorno Equações diferenciais de ordem maior que um podem gerar problemas de valor inicial (PVI) ou problemas de valor de contorno (PVC), dependendo da forma como as condições conhecidas são especicadas. Por exemplo, considere a EDO: y + p(x)y + q(x)y = g(x) Até o momento, foram analisados principalmente casos onde condições iniciais conhecidas são especicadas da forma: y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 0 originando desta forma um PVI. Para a resolução numérica de PVI's, pode-se partir da condição inicial e ir avançando até um tempo nal arbitrário. Em muitos casos, os problemas envolvem condições conhecidas em pontos diferentes, sendo estas chamadas de condições de contorno, podendo ser expressas, por exemplo, como: y(α) = y 0 y(β) = y 1 De forma geral, os PVC's envolvem uma coordenada espacial como variável independente. Assim, a resolução de um PVC's consiste em buscar uma solução que satisfaz a equação diferencial no intervalo α < x < β juntamente com as condições de contorno especicadas. Isto implica que existem duas condições, em pontos diferentes do domínio de solução, que deve ser simultaneamente satisfeitas. Por isso, os métodos de marcha (como os de Runge- Kutta) não podem ser empregados neste caso. 47

48 3.1. Estratégias de Solução de PVC's Os métodos para resolver problemas de valor de contorno se dividem em duas categorias: os baseados em transformar o PVC em um PVI e os baseados em discretizar a equação utilizando métodos de diferenças nitas. Os métodos que transformação PVC's e PVI's consistem basicamente em utilizar uma das condições de contorno como condição inicial e assumir (chutar) diferentes valores para uma segunda condição inicial de modo que o resultado obtido satisfaça a segunda condição de contorno. Por exemplo, considere a seguinte equação utilizada para descrever a variação na temperatura em uma barra que perde calor para o ambiente por convecção, como apresentado na gura a seguir. Considerando que a barra seja muito na, com raio muito menor que o comprimento, pode-se assumir que a equação que descreve a variação na temperatura ao longo de x pode ser expressa como: d 2 T dx 2 + h (T a T ) = 0 onde h é um coeciente de troca térmica e T a é a temperatura ambiente. As condições de contorno corresponde a temperatura xas nas extremidades, em x = 0 e x = L, de modo que: T (0) = T 1 T (L) = T 2 Para transforma a equação em um PVI equivalente, primeiramente é preciso aplicar o método de redução de ordem. Escrevendo o PVI como: dt dx = z T (0) = T 1 dz dx + h (T a T ) = 0 z(0) = z 0 48

49 O valor de z 0 não é conhecido, pois o valor da derivada de T em x = 0 não foi especicado. O método utilizado neste caso consiste em assumir diferentes valores para z 0 até que a condição T (L) = T 2 seja satisfeita. Para equação lineares, este método funciona razoavelmente bem, pois pode-se interpolar os valores para T (L) obtidos para diferentes valores de z 0 para encontrar o valor de z 0 que corresponde a solução correta do problema. No entanto, de modo geral este método é pouco utilizado, em particular porque os métodos baseados em aproximações por diferenças nitas costumam ser mais ecientes, como ser apresentado a seguir Aproximações por Diferenças Finitas O método de diferenças nitas é um método de discretização de equações diferenciais. Isto signica que ele transforma uma função contínua em uma representação discreta (pontos). Por exemplo, considere uma função f(x) = 2x denida em um intervalo entre 0 e 1. Esta função pode ser representada de forma discreta como, por exemplo, f[x] = [0, 0.4, 0.8, 1.2, 1.6, 2], assumindo um espaçamento entre os pontos de 0.2, ou seja, esta representação está relacionada como um domínio discreto da forma x = [0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1]. As soluções obtidas com a aplicação do método de diferenças nitas sempre serão discretas. Caso for necessário obter os valores para algum valor de x que não corresponda exatamente aos pontos do domínio, pode-se interpolar os valores. A primeira etapa da aplicação do método de diferenças nitas consiste exatamente em denir o domínio discreto onde a solução será buscada. Por exemplo, considere o caso apresentado anteriormente para a distribuição de calor em uma barra estacionária. A região onde se deseja obter a distribuição de temperatura é no intervalo de x = 0 até x = L. Este intervalo corresponde ao domínio de solução da equação diferencial. No entanto, ele está em uma forma contínua e não discreta. Para discretizar o domínio, deve-se dividi-lo em um determinado número de pontos. Por exemplo, considere que L = 1 e que se deseja dividir o domínio em pontos com espaçamento x = 0.1, ou seja, deseja-se dividir o domínio em 10 elementos de igual tamanho. Quanto mais elementos forem utilizados, maior será a precisão do método, porém o gasto computacional também irá aumentar. O domínio discreto será então: x = [0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9.1] 49

50 Como pode ser visto, este conjunto contém 11 pontos. De maneira geral, o número de pontos sempre será igual ao número de elementos em que o domínio é dividido mais 1. Este vetor pode ser representado de uma forma mais simples como: x[i] = i x i = 0, 1, 2, Na resolução de PVI's, não é necessário inicialmente denir o domínio de solução, pois pode-se continuar avançando por quantos passos forem necessários, partindo de um valor inicial. No entanto, para o caso de PVC's, o domínio de solução é fechado e deve ser considerado como um todo. Dependendo da formulação utilizada, pode até mesmo ser necessário obter os valores para todos os pontos ao mesmo tempo. A estratégia do método de diferenças ntas consiste em buscar equações algébricas que aproximem a solução em cada ponto i. Para isso, as derivadas são aproximadas como relações algébricas envolvendo a solução em diferentes valores de i. Esta aproximação pode ser realizada de diferentes formas, dependendo da precisão desejada e da natureza do problema e das condições de contorno. Porém, a origem destas aproximações sempre é uma aproximação em série de Taylor em torno de cada ponto i, como será discutido a seguir Aproximação da Derivada Primeira Para apresentar o processo de discretização da derivada de uma função contínua y(x) em um intervalo 0 x L, será considerado um domínio discreto como o apresentado na gura a seguir, onde o domínio físico contínuo (região entre 0 e L) é dividido em N + 1 pontos. Lembrando novamente, o objetivo do método de diferenças nitas é obter aproximações para o valor da função y(x) em cada um destes N + 1 pontos. Esta representação discreta do domínio de solução é normalmente chamada de grid numérico ou malha numérica. Como visto em aulas anteriores, a expansão em série de Taylor pode ser utilizada para avaliar o valor de uma função em um dado ponto com base no valor conhecido em outro ponto. Dependendo da forma como a aproximação é realizada, obtém-se diferentes formulações para o método de diferenças nitas, como será apresentado a seguir. 50

51 Aproximação para Frente (Foward) Considere que se deseja aproximar o valor em x i+1 com base no valor em x i, ou seja, deseja-se aproximar y(x i+1 ) = y i+1 com base em y(x i ) = y i. A expansão em série de Taylor neste caso pode ser expressa como: y i+1 = y i + (x i+1 x i ) + (x i+1 x i ) 2 d 2 y + (x i+1 x i ) 3 d 3 y +... dx x=xi 2! dx x=xi 2 3! dx x=xi 3 (3.1) Considerando novamente que (x i+1 x i ) seja relativamente pequeno, os termos de alta proporcionais a (x i+1 x i ) 2, (x i+1 x i ) 3,... podem ser desprezados. Assim, a derivada primeira da função y(x) no ponto x i pode ser aproximada como: = y i+1 y i dx x=xi x i+1 x i Denindo x = x i+1 x i, a expressão pode ser dada por: = y i+1 y i dx x=xi x Esta expressão é conhecida como aproximação por diferenças nitas para frente (ou método de diferenças nitas para frente), pois utiliza o valor da função em um ponto a frente x i+1 para estimar o valor da derivada em um ponto anterior x i. Fazendo o limite de x tendendo a zero: dx x=xi = lim x 0 y i+1 y i x obtém-se a própria denição da derivada em um ponto. Portanto, esta formulação é consistente. Como pode ser visto, este método é equivalente ao método de Euler explícito, sendo que a diferença é que no método de Euler deseja-se aproximar o valor da função em diferentes pontos com base no conhecimento da derivada /dt = f(t, y) e no método de diferenças nitas deseja-se aproximar o valor da derivada com base no valor em diferentes pontos. Nos dois casos, porém, ocorre uma linearização da função em torno de um ponto. Na aproximação da derivada, foram desprezados os termos O(x i+1 x i ) 2, assim, o erro de truncamento local do método de diferenças para frente é da ordem de O( x 2 ). De forma semelhante ao apresentado para o método de Euler, pode-se mostrar que quando aplicado para avaliar N pontos, o erro associado será da ordem de O(x i+1 x i ) = O( x), ou seja, a aproximação por diferenças para frente é um método de primeira ordem. 51

52 Aproximação para Trás (Backward) De forma semelhante ao realizado para obter a derivada em x i com base na expansão para obter y i+1, pode-se realizar uma expansão para obter a função em x i 1 : y i 1 = y i + (x i 1 x i ) + (x i 1 x i ) 2 d 2 y + (x i 1 x i ) 3 d 3 y +... dx x=xi 2! dx x=xi 2 3! dx x=xi 3 Considerando que o espaçamento entre os pontos é constante, temos novamente que x = x i x i 1 = (x i 1 x i ), assim: y i 1 = y i ( x) + ( x)2 d 2 y dx x=xi 2! dx x=xi ( x)3 d 3 y ! dx x=xi 3 (3.2) Novamente, desprezando os termos de ordem maior ou igual a 2, obtém-se: = y i y i 1 dx x=xi x esta aproximação é conhecida como aproximação por diferenças nitas para trás (ou método de diferenças nitas para trás), e também representa uma aproximação de primeira ordem para a derivada em um dado ponto x i. A utilização dos métodos para trás ou para frente é, a princípio, equivalente. A única restrição ocorre nos pontos extremos do domínio. Por exemplo, no ponto x 0 não pode ser aplicado o método para trás pois não existe um ponto anterior a este. De forma semelhante, no ponto x N a formulação para frente não pode ser utilizada, pois de maneira equivalente não existe nenhum ponto após este para ser utilizado de base. Aproximação Central De forma geral, a utilização de métodos de primeira ordem para a discretização de todos os pontos do domínio não costuma apresentar bons resultados, especialmente nos casos envolvendo gradientes aproximadamente simétricos em relação a direção x, como por exemplo problemas envolvendo condução de calor ou difusão de massa. Uma aproximação de segunda ordem pode ser obtida fazendo a expansão para y i+1 (Eq. 1) menos a expansão para y i 1 (Eq. 2). Com isso, obtém-se: y i+1 y i 1 = 2 x + 2( x)3 d 3 y +... dx x=xi 3! dx x=xi 3 Desprezando agora os termos da ordem de O( x) 3, pode-se obter a seguinte expressão para uma aproximação da derivada primeira em x i : = y i+1 y i 1 dx x=xi 2 x 52

53 Esta expressão é conhecida como aproximação pode diferenças nitas central (ou método de diferenças nitas central). Neste caso, o erro de truncamento local é da ordem de O( x) 3, de modo que o erro global será da ordem de O( x) 2. Assim, esta aproximação é de segunda ordem. Existem aproximações de ordem superior, porém a aproximação central é a mais empregada, sendo adequada para a maioria dos casos. Novamente, dever-se observar que esta aproximação não pode ser aplicada nos pontos extremos do sistema. A melhor estratégia para a discretização da equação é utilizar o método central para os pontos internos, o método para frente no ponto x 0 e o método para trás no ponto x N. Uma comparação geométrica dos três esquemas de discretização é apresentada na gura a seguir Aproximação da Derivada Segunda O método de diferenças nitas pode ser aplicado também para a discretização de derivadas de maior ordem. As aproximações para a derivada segunda são obtidas considerando a denição da derivada em um ponto. Da mesma forma que a derivada primeira pode ser aproximada em termos da variação da função em dois pontos, a derivada segunda pode ser aproximada em termos da variação na derivada primeira em dois pontos. Por exemplo, utilizando um esquema para frente: d 2 y dx 2 x=xi = dx x=xi+1 dx x i+1 x i 53 x=xi

54 onde a derivada avaliada no ponto x i+1, utilizando novamente um esquema para frente, é obtida de forma equivalente a derivada no ponto x i como: = y i+2 y i+1 dx x=xi+1 x i+2 x i+1 Considerando que os pontos sejam igualmente espaçados (grid igualmente espaçado), pode-se juntar as expressões para de derivada em x i+1 e a expressão para a derivada em x i, obtém-se a seguinte expressão para a derivada segunda em x i : d 2 y = y i 2y i+1 + y i+2 dx x=xi 2 ( x) 2 Esta expressão representa o esquema para frente aplicado à derivada segunda. Como ele se baseia em esquemas de primeira ordem, também é uma aproximação de primeira ordem. Fazendo um procedimento semelhante utilizando o esquema para trás, obtém-se: d 2 y = y i 2y i 1 + y i 2 dx x=xi 2 ( x) 2 sendo este o esquema para trás aplicado para a derivada segunda, sendo também um método de primeira ordem. Utilizando o esquema central, obtém-se a seguinte aproximação: d 2 y = y i+1 2y i + y i 1 dx x=xi 2 ( x) 2 sendo esta uma aproximação de segunda ordem. Novamente, a estratégia que normalmente resulta em um melhor resultado é utilizar o esquema central para os pontos internos e os esquemas para frente e para trás para o primeiro e para o último ponto, respectivamente Discretização das Condições de Contorno Além da equação diferencial envolvendo a derivada da função, a resolução de Problemas de Valor de Contorno necessita que determinadas condições de contorno também sejam em determinados pontos do domínio. Para o caso de condições que consistem em denir o valor da função em um dado ponto, basta atribuir este valor para a função discretizada no ponto. Por exemplo, considere o exemplo anterior de transferência de calor em uma barra, onde a temperatura nas duas extremidades era conhecida: T = T 1 em x = 0 e T = T 2 em x = L. Considerando que 54

55 x 0 corresponde ao ponto inicial x = 0 e x N corresponde ao ponto x = L, as condições de contorno são implementadas denindo: T 0 = T 1 T N = T 2 Em muitos casos, a condição de contorno envolve a própria derivada de função em algum ponto. Por exemplo, considere que no exemplo da transferência de calor na barra metálica, a extremidade x = L fosse mantida isolada termicamente. Neste caso, a condição de contorno é expressa como: dt = 0 dx x=l Neste caso, é necessário discretizar a condição de contorno para transforma-la numa relação algébrica. Como este ponto corresponde ao último ponto do domínio, os esquemas para frente e central não pode ser utilizados, pois iriam depender de um ponto y N+1 que está fora do domínio de solução. Assim, é necessário utilizar o esquema para trás, de modo que a condição pode ser discretizada como: dt = T N T N 1 = 0 dx x=l x N x N 1 T N = T N 1 ou seja, a condição de derivada nula na posição x = L implica que a variável em no ponto x N é igual a variável no ponto anterior (x N 1 ) Discretização de PVC's utilizando Diferenças Finitas A partir das expressões obtidas para aproximar a derivada em um ponto através de expressões algébricas, pode-se transformar um problema de valor de contorno em um conjunto de equações algébricas, sendo que para cada ponto do domínio discreto será atribuída uma equação. Esta é uma característica importante dos métodos de diferenças nitas: para que a resolução seja possível, deve-se atribuir uma equação para cada ponto do domínio discreto. Considere novamente a equação utilizada anteriormente para modelar a transferência de calor em um barra metálica: d 2 T dx 2 + h (T a T ) = 0 Para ilustrar os diferentes tipos de condição de contorno, considere agora que na fronteira x = 0 a barra seja mantida a uma temperatura T = T ext e na extremidade x = L a barra esteja isolada, de modo que as condições de contorno neste caso serão: dt T (0) = T ext = 0 dx x=l 55

56 onde T ext, h, T a e L são constantes. Para discretizar a equação, deve-se primeiramente denir o grid numérico, ou seja, deve-se denir em quantos pontos o domínio de solução contínuo será dividido e como estes pontos estão distribuídos. Neste caso, será assumido que o número de pontos será N + 1 = 6 e, por simplicidade, será considerado que os pontos estão igualmente espaçados, portanto o domínio discreto será um conjunto de 6 pontos igualmente espaçados, como ilustrado na gura a seguir. Como pode ser observado, quando 6 pontos são utilizados, o domínio contínuo é dividido em 5 subdomínios com tamanho x, ou seja, x = L/5. O objetivo do método de diferenças nitas é obter uma aproximação para a temperatura em cada um dos pontos x i, ou seja, deve encontrar 6 valores T 0, T 1, T 2, T 3, T 4 e T 5. Para isso, é necessário que cada ponto possua uma equação algébrica associada. O primeiro passo para a resolução é discretizar a equação. Neste caso, a equação possui somente uma derivada segunda que deve ser discretizada. Para isso, será utilizar o esquema de diferenças central: d 2 T dx = T i+1 2T i + T i 1 2 x 2 Além da derivada segunda, a equação também envolve o termo h (T a T ). Como h e T a são constantes, basta utilizar os seus valores na equação discretizada. Como a expressão anterior é utilizara para avaliar a derivada segunda no ponto x i, a temperatura T deve ser substituída pela sua equivalente discreta T i. Assim, a equação discretizada será: T i+1 2T i + T i 1 x 2 + h (T a T i ) = 0 Multiplicando por x 2 e agrupando os termos: T i+1 + T i 1 (2 + h x 2 )T i + x 2 h T a = 0 56

57 ou ainda: (2 + h x 2 )T i T i+1 T i 1 = x 2 h T a Esta relação pode ser utilizada para obter equações para a temperatura em todos os pontos internos, ou seja, para todos os pontos exceto x 0 e x 5. Assim, para o ponto x 1 temos que: (2 + h x 2 )T 1 T 2 T 0 = x 2 h T a De forma semelhante, para o ponto x 2 : (2 + h x 2 )T 2 T 3 T 1 = x 2 h T a e para os pontos x 3 e x 4 : (2 + h x 2 )T 3 T 4 T 2 = x 2 h T a (2 + h x 2 )T 4 T 5 T 3 = x 2 h T a Para estes pontos x 0 e x 5, deve-se utilizar as condições de contorno. Considerando a primeira condição T (0) = T ext, isto resulta em: T 0 = T ext A segunda condição de contorno é dada em termos de derivada nula. Neste caso, é preciso discretizar a condição. Como comentado anteriormente, neste caso somente uma aproximação para trás pode ser utilizada, de modo que: dt = 0 dx x=l T 5 T 4 x = 0 T 5 T 4 = 0 Isto forma um conjunto de 6 equações lineares que podem ser utilizadas para a obtenção das 6 variáveis T 0, T 1, T 2,... Na forma matricial, estas equações podem ser expressas como: T 0 T ext 1 (2 + h x 2 ) T 1 x 2 h T a 0 1 (2 + h x 2 ) T 2 x (2 + h x 2 = 2 h T a ) 1 0 T 3 x 2 h T a (2 + h x 2 ) 1 T 4 x 2 h T a Assim, obtém-se um sistema linear tridiagonal que pode ser resolvido para obter a temperatura em cada um dos pontos do domínio discreto. Para ilustrar, considere um caso onde 57 T 5

58 L = 1 cm (de modo que x = L/5 = 0.2 cm), T ext = 100 C, T a = 25 C e h = 0.1 cm 2. Com isso, o sistema linear pode ser avaliado como: T 0 T 1 T 2 T 3 T 4 T = Para resolver este sistema linear, pode-se utilizar o algoritmo de Thomas (TDMA), como visto em aulas anteriores. Relembrando, este método irá transforma a matriz dos coecientes em uma matriz triangular superior. Os elementos abaixo da diagonal principal serão zerados e os acima da diagonal principal não serão afetados. Os elementos da diagonal principal (a partir da linha 2) são reavaliados como: a i,i = a i,i (a i,i 1 /a i 1,i 1 )a i 1,i De forma semelhante, os termos do lado direito são reavaliados como: b i = b i (a i,i 1 /a i 1,i 1 )b i 1 Assim, o sistema pode ser reescrito como: T 0 T 1 T 2 T 3 T 4 T =

59 Resolvendo o sistema, obtém-se: T [0] = T 0 = 100 C T [0.2] = T 1 = C T [0.4] = T 2 = C T [0.6] = T 3 = C T [0.8] = T 4 = C T [1] = T 5 = C Para comparação, a solução exata em cada um destes pontos é: T [0] = T 0 = 100 C T [0.2] = T 1 = C T [0.4] = T 2 = C T [0.6] = T 3 = C T [0.8] = T 4 = C T [1] = T 5 = 96.4 C Na gura a seguir é apresenta uma comparação entre a solução exata (linha) e a solução aproximada obtida com o método de diferenças nitas (pontos). Pode-se observar que o desvio é relativamente alto, sendo que um resultado melhor pode ser obtido aumentado-se o número de pontos. Neste exemplo, a resolução do problema envolveu um sistema linear tridiagonal. Quando o método de diferenças nitas é aplicado a um PVC linear, este sempre será o caso. Quando 59

60 aplicado em equações não-lineares, o sistema de equações algébricas obtido também será nãolinear e deverá ser resolvido com métodos adequados (método de Newton, por exemplo). 60

61 4. Método das Linhas O método das linhas é um método semi-discreto para a resolução de EDP's que consiste em discretizar as variáveis espaciais e manter uma das varáveis contínua (usualmente o tempo), de modo a transformar a EDP em um sistema de EDO's que pode então ser resolvido através dos métodos vistos anteriormente para a resolução de PVI's (como os métodos de Runge- Kutta). A abordagem utilizada para a discretização das variáveis espaciais usualmente é o método de diferenças nitas, por isso o método das linhas é muitas vezes chamado de método de diferenças nitas semi-discreto. Este método é aplicado principalmente para equações parabólicas, pois sua aplicação em equações elípticas origina um conjunto de PVC's, o que por sua vez também precisam ser resolvido por métodos de discretização. Quando aplicado em equações parabólicas, a variável que possui um caminho característico é mantida contínua enquanto as demais são discretizadas. Por exemplo, considere a equação do calor: T t = α 2 T x 2 Para obter uma solução particular para esta equação, é preciso especicar duas condições de contorno e uma condição inicial. Considere, por exemplo, as seguintes condições: T (0, t) = T a T (L, t) = T b T (x, 0) = sin(x) Neste caso, pode-se discretizar a derivada em relação à direção x. Usando um esquema central: T i+1 2T i + T i 1 x 2 Substituindo esta forma discreta na EDP, obtém-se um sistema de EDO's para avaliar a variação temporal das variáveis T i : dt i dt = α x 2 (T i+1 2T i + T i 1 ) 61

62 A aplicação das condições de contorno vão resultar em valores especícos para a variável T i nas extremidades x = 0 e x = L que serão válidos para qualquer tempo, visto que estas condições são xas. A condição T (0, t) = T a vai resultar em T 0 = T a, enquanto que a condição T (L, t) = T b vai resultar em T N = T b, onde N + 1 é o número total de pontos utilizados para discretizar o domínio de solução na direção x. Para resolver este sistema de EDO's para os i pontos, é preciso especicar condições iniciais para cada valor T i. Como a variável T i representa a temperatura na posição x i, o valor inicial pode ser obtido diretamente da condição inicial especicada anteriormente aplicada no ponto x i. A condição inicial era da forma: T (x, 0) = sin(x) Assim, para cada variável T i teremos uma condição inicial associada da forma: T i (0) = sin(x i ) Observe que enquanto a temperatura é uma função da posição e do tempo ( T (x, t)), as variáveis T i são funções apenas do tempo T i (t), pois representam a temperatura em um ponto xo x i. A aplicação do método das linhas vai originar uma série de curvas (daí o nome método das linhas), contínuas em relação ao tempo, que representam como a temperatura varia em cada ponto x i. A gura a seguir ilustra a forma da solução de uma EDP com duas variáveis independentes obtida com o método das linhas. 62

63 Para ilustrar a aplicação do método das linhas, considere que se deseje obter a variação de temperatura ao longo de uma barra metálica com uma extremidade isolada e outra mantida a uma temperatura T ext e que perde calor para o meio externo por convecção, da mesma forma que analisado na aula anterior. Neste caso, porém, considere que se deseje obter como a temperatura varia ao longo do tempo a partir de um estado inicial T (x, 0) = T ini. A equação que descreve a variação na temperatura ao longo da posição x e do tempo t neste caso será: T t = α 2 T x 2 h α(t T a ) As condições de contorno associadas a este problema são: T (0, t) = T ext Além disso, a condição inicial utilizada é da forma: T = 0 x x=l T (x, 0) = T ini De forma geral, as condições de contorno podem ser função do tempo, da mesma forma que a condição inicial pode ser uma função de x. Para resolver esta equação com o método das linhas, é preciso discretizar a equação na direção espacial e manter a função contínua no tempo. Assim, deve-se denir um domínio discreto na direção x. Neste caso, será considerado o mesmo domínio discreto utilizada anteriormente, com N + 1 = 6 pontos: Neste caso, a discretização da EDP na direção x irá resultar um conjunto de valores (T 0, T 1, T 2, T 3, T 4, T 5 ) que representam a temperatura nos pontos respectivos (x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ). Neste caso, porém, estes valores T i não são necessariamente constantes, mas são uma função do tempo. A EDP avaliada neste exemplo envolve a derivada segunda em relação a direção x, então deve-se discretizar esta derivada. Considerando um esquema central, a derivada segunda nos 63