Métodos Matemáticos Aplicados à Engenharia Química II

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1 Universidade Federal do Paraná UFPR Departamento de Engenharia Química Métodos Matemáticos Aplicados à Engenharia Química II Prof. Éliton Fontana 2018/1

2 Este material foi desenvolvido como complemento para a disciplina de Métodos Matemáticos Aplicados à Engenharia Química II. Devido a falta de atenção ou de conhecimento do autor, eventuais erros podem estar presentes ao longo do texto. Utilize com cautela. 2

3 Conteúdo I. Métodos Numéricos para Sistemas Algébricos 6 1. Sistemas de Equações Algébricas Lineares Conceitos Preliminares Interpretação Geométrica do Sistema Linear Solução de Sistemas Lineares por Eliminação de Gauss Independência Linear e Posto de uma Matriz Existência e Unicidade para Sistemas Lineares Algoritmo de Thomas e Métodos Iterativos Matrizes Tridiagonais e o Algoritmo de Thomas Métodos Iterativos para Sistemas Lineares Método de Jacobi Convergência de Métodos Iterativos Condicionamento de Sistemas Lineares Sistemas Algébricos Não-Lineares e Método de Newton Características Gerais dos Métodos de Busca de Raízes Método de Newton Método de Newton para uma Equação Método de Newton para Sistemas Métodos Quase-Newton Método de Newton Modicado Método de Newton Modicado para Sistemas Não-Lineares Método de Broyden (Secantes)

4 II. Métodos Numéricos para Problemas de Valor Inicial Método de Euler Método de Euler Erro Associado ao Método de Euler Método de Euler para Sistemas de EDO's Métodos de Runge-Kutta Método de Euler Aprimorado (Fórmula de Heun) Método de Euler Implícito (Inverso) Regra do Ponto Médio Métodos de Runge-Kutta Método de Runge-Kutta de 2 a Ordem Método de Runge-Kutta de 4 a Ordem Runge-Kutta Adaptativo e Métodos de Passos-Múltiplos Método de Runge-Kutta para Sistemas Métodos de Runge-Kutta Adaptativos Método de Passo Duplo Método de Runge-Kutta-Fehlberg Métodos de Passos Múltiplos Método de Adams-Bashforth Método de Adams-Moulton Estabilidade de Métodos Numéricos para EDO's e Equações Rígidas Estabilidade dos Métodos de Resolução de EDO's Análise de Estabilidade de Métodos de Passo Único Equação Modelo: Decaimento de Primeira Ordem Problemas Rígidos (Sti) Sistemas de Equações Diferenciais Rígidas Lineares Sistemas Não-Lineares

5 III. Método de Diferenças Finitas Métodos Numéricos para Problemas de Valor de Contorno Estratégias de Solução de PVC's Aproximações por Diferenças Finitas Aproximação da Derivada Primeira Aproximação da Derivada Segunda Discretização das Condições de Contorno Discretização de PVC's utilizando Diferenças Finitas Equações Diferenciais Parciais e Método das Linhas Características Gerais das EDP's Classicação das EDP's de 2ª Ordem Lineares EDP's Elípticas, δ < EDP's Parabólicas, δ = EDP's Hiperbólicas, δ > Método das Linhas Método de Diferenças Finitas para EDP's Elípticas Equação de Laplace Discretização das Condições de Contorno Obtenção do Sistema de Equações Algébricas Método de Diferenças Finitas para EDP's Parabólicas Equação do Calor Unidimensional Discretização das Derivadas Temporal e Espacial Método Explícito Método Implícito

6 Parte I. Métodos Numéricos para Sistemas Algébricos 6

7 1. Sistemas de Equações Algébricas Lineares A aplicação de leis físicas na modelagem de sistemas de interesse em muitos casos origina um conjunto de equações algébricas lineares que devem ser resolvidas simultaneamente. Além disso, métodos de resolução de equações diferenciais com frequência levam à transformação das equações diferenciais em um conjunto de equações algébricas que podem ser então resolvidas. Por exemplo, os métodos de diferenças nitas e de volumes nitos consistem em dividir o domínio de solução em um conjunto de pequenos elementos discretos, sendo para cada elemento atribuída uma equação algébrica. Este processo, chamado de discretização, sempre origina um conjunto de equações algébricas lineares. É fundamental conseguir denir quando um sistema de equações algébricas lineares possui alguma solução (ou seja, é consistente) e se essa solução é única ou envolve um certo número de parâmetros arbitrários. O estudo de sistemas de equações algébricas lineares é um dos tópicos fundamentais da álgebra linear. A seguir será apresentada uma breve revisão da teoria básica de sistemas lineares e de sua resolução pelo método de eliminação de Gauss Conceitos Preliminares Em muitos casos, deve-se buscar soluções para problemas do tipo: f(x) = 0 Quando a função f(x) possui a forma f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 a equação é chamada de algébrica (ou polinomial). No caso onde n = 1, a equação é linear, enquanto que para casos onde n > 1 a equação é não-linear. Quando a função f(x) não pode ser expressa como um polinômio, a equação é dita transcendental (por exemplo, sin(x), e x,...) e possui um comportamento não-linear. 7

8 A equação anterior possui somente uma variável x, porém com frequência os problemas envolvem mais de uma variável e um sistema de equações acoplado. Neste momento, será considerado somente o caso onde todas as equações que foram o sistema são lineares, de modo que sistema com m equações e n variáveis pode ser expresso como: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m O sistema anterior pode ser escrito de diferentes formas, dependendo da conveniência. Por exemplo, pode ser expresso na forma vetorial: a 11 a 21. a m1 x 1 + a 12 a 22. a m2 x a 1n a 2n a mn b 1 b x n = 2.. A expressão acima pode ainda ser simplicada denindo-se os vetores a n dos coecientes que multiplicam cada uma das variáveis, bem como os termos não-homogêneos (aqueles que não multiplicam nenhuma das variáveis): b m a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b onde: a 1 = a 11 a 21. a 2 = a 12 a 22. a n = a 1n a 2n. b 1 b b = 2. a m1 a m2 a mn b m Quando todos os termos do vetor b são nulos, o sistema é chamado de homogêneo, enquanto que no caso onde pelo menos um dos termos b m é diferente de zero, o sistema é chamado de não-homogêneo. Na maioria dos casos, o mais conveniente é expressar os coecientes na forma de uma matriz A: Ax = b 8

9 onde A é uma matriz m n denida como: a 11 a a 1n a A = 21 a a 2n a m1 a m2... a mn O vetor x contém todas as variáveis do sistema linear: x 1 x x = 2. x n Na maioria casos, a matriz A e o vetor b são conhecidos e deve-se determinar o vetor x que satisfaça a igualdade. Uma sequência de números s = (s 1, s 2,..., s m ) é dita solução do sistema linear se cada uma das m equações é satisfeita quando x 1 = s 1, x 2 = s 2 e assim sucessivamente. Se existirem uma ou mais soluções s, o sistema é dito consistente e o conjunto de todas as possíveis soluções é chamado de conjunto de soluções. Caso existir somente um vetor s que satisfaz a equação, esta solução é chamada de única. Considere o caso simplicado onde m = n = 1: a 11 x 1 = b 1 No caso genérico onde a 11 0, a equação anterior admite a solução única x 1 = b 1 /a 11, porém, se a 11 = 0 existem duas possibilidades: se b 1 0 então não existe nenhum valor de x 1 que satisfaça a equação, portanto a equação não possui solução. Caso b 1 = 0 então a equação se torna 0x 1 = 0 e qualquer valor de x 1 satisfaz a equação, portanto existem innitas soluções. Apesar de simples, esta equação estabelece um padrão que pode ser observado para qualquer sistema linear: irá existir 1 solução, nenhuma solução ou innitas soluções. Para sistemas de dimensões superiores, este comportamento pode ser facilmente entendido analisando as equações do ponto de vista geométrico, como será apresentado a seguir Interpretação Geométrica do Sistema Linear Considere o caso agora onde m = n = 2: a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 9

10 Considerando que a 11 ou a 12 sejam diferentes de zero, então a primeira equação dene uma reta no plano (x 1, x 2 ), sendo que qualquer ponto sobre esta reta é uma solução para esta equação. De forma semelhante, se a 21 ou a 22 são não-nulos, a segunda equação forma uma reta e os pontos sobre esta reta são solução para esta equação. A partir disto, existem três possibilidades para a solução do sistema composto pelas duas equações. No primeiro caso, as retas podem se interceptar em um único ponto P, de modo que o sistema de equações irá admitir somente uma solução (ou seja, existe somente um conjunto de valores x 1, x 2 que satisfaz as duas equações ao mesmo tempo). A segunda possibilidade é que as retas sejam paralelas e não se interceptem em nenhum ponto. Neste caso, não haverá solução para o sistema linear (o sistema é inconsistente). Por último, as retas podem ser coincidentes, de modo que qualquer ponto sobre as retas irá satisfazer ambas as equações e portanto o sistema possui innitas soluções. Estas possibilidades são ilustradas na gura a seguir. Anteriormente, assumiu-se que, por exemplo, a 11 ou a 12 eram não nulos. Caso ambos valores forem nulos, o comportamento do sistema irá depender do valor de b 1. Se b 1 0, então a primeira equação não possui solução e como consequência o sistema também não possui solução. Porém, se b 1 = 0, então qualquer valor de x 1 e x 2 satisfaz a primeira equação, sendo que o conjunto de soluções da segunda equação também será solução do sistema e portanto existem innitas soluções. Uma análise similar pode ser aplicada para sistemas de maior ordem. Por exemplo, para um sistema com m = n = 3 as soluções de cada uma das 3 equações será um plano no espaço cartesiano x 1, x 2, x 3. Novamente, os três planos podem se interceptar em um ponto único (única solução), em innitos pontos (innitas soluções) ou não se interceptarem (sem solução). De forma geral, para um sistema com m = n 4, as soluções representam hiperplanos em um espaço n-dimensional. 10

11 1.3. Solução de Sistemas Lineares por Eliminação de Gauss Como visto anteriormente, um sistema linear pode ser expresso em sua forma matricial como: Ax = b O método de eliminação de Gauss é um dos algoritmos mais simples utilizados para a resolução de sistemas lineares. O método consiste basicamente em transformar uma matriz A m n com m = n em um matriz triangular superior através de operações no sistema que não alterem a igualdade. O método também pode ser usado para casos onde m n, porém neste caso a matriz obtida não será triangular. O primeiro passo para a resolução do problema com o método de eliminação é a obtenção da matriz aumentada A b que representa o sistema. Esta matriz consiste na junção da matriz A com a parte não-homogênea b. Para um sistema com m equações e n variáveis, a matriz aumentada é expressa como: A b = a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m A linha vertical é adicionada somente por conveniência. Para a resolução com o método de Gauss, deve-se zerar todos os elementos abaixo da diagonal principal da matriz A, de modo a se obter uma matriz aumentada com o seguinte formato: a 11 a a 1n b 1 A b 0 a = a 2n b a mn b m Neste formado, a matriz é chamada de matriz escalonada. As seguintes operações elementares podem ser aplicadas na matriz aumentada original sem alterar a igualdade do sistema: 1 - Adição de uma linha com outra linha; 2 - Multiplicação de uma linha por uma constante não-nula; 3 - Troca de posição entre duas linhas. 11

12 Cabe ressaltar que estas operações podem ser aplicadas somente nas linhas da matriz e não nas colunas. A partir da obtenção da matriz escalonada, pode-se facilmente obter a solução do sistema linear através da retro-substituição no sistema linear. Exercício 01: Resolva o seguinte sistema linear utilizando o método de eliminação de Gauss. x 1 + x 2 x 3 = 1 3x 1 + x 2 + x 3 = 9 x 1 x 2 + 4x 3 = 8 A primeira etapa é denir a matriz aumentada com base nos coecientes: A b = A partir deste ponto, pode-se fazer qualquer uma das operações listadas anteriormente até se obter a matriz escalonada. Por exemplo, multiplicando a primeira linha por 3 e subtraindo da segunda linha (L 2 L 2 3L 1 ), obtém-se: A b = Fazendo agora a terceira linha menos a primeira (L 3 L 3 L 1 ): A b = Por último, pode-se subtrair a segunda linha da terceira (L 3 L 3 L 2 ) A b = Assim, o sistema linear inicial pode ser escrito como: x 1 + x 2 x 3 = 1 x 2 + 4x 3 = 6 x 3 = 1 12

13 Partindo-se da última equação e avançando até a primeira, pode-se facilmente determinar a solução do sistema: x 3 = 1 x 2 = 1 x 1 = 3 Para saber se esta é mesmo uma solução do problema, basta substituir os valores obtidos no sistema original e averiguar se as equações são satisfeitas: x 1 + x 2 x 3 = = 1 3x 1 + x 2 + x 3 == 3(3) = 9 x 1 x 2 + 4x 3 = 3 ( 1) + 4(1) = 8 Portanto, os valores obtidos são uma solução do sistema. Neste exemplo, obteve-se uma solução única para o sistema. Porém, como discutido anteriormente, podem haver casos onde nenhuma solução ou innitas soluções são obtidas. Por exemplo, considere o seguinte sistema linear: 2x 1 + 3x 2 2x 3 = 4 x 1 2x 2 + x 3 = 3 7x 1 x 3 = 2 Aplicando operações elementares nas linhas da matriz aumentada, pode-se mostrar que este sistema pode ser escrito como: 2x 1 + 3x 2 2x 3 = 4 7x 2 /2 + 2x 3 = 1 7x 2 /2 + 2x 3 = 4 Assim, a segunda e a terceira equação estabelecem igualdades que não podem ser satisfeitas ao mesmo tempo, portanto o problema não possui solução. De forma semelhante, quando existirem mais variáveis do que equações (n > m), não será possível obter uma solução explícita para cada variável, de modo que a solução do problema irá conter parâmetros em aberto (que podem assumir qualquer valor) e assim o sistema irá possuir innitas soluções. Na maioria das situações, sistemas sem solução ou com innitas soluções não possuem signicado físico consistente. Por isso, deve-se garantir que os sistemas obtidos (por exemplo, na discretização de uma equação diferencial) possuam solução única. Para denir os casos onde o sistema possui solução única, é necessário primeiramente rever os conceitos de independência linear e posto de uma matriz. 13

14 1.4. Independência Linear e Posto de uma Matriz Considere um conjunto de m vetores a 1, a 2,..., a m com o mesmo número de componentes. Uma combinação linear destes vetores é uma expressão da forma: c 1 a 1 + c 2 a c m a m onde c 1, c 2,..., c m são escalares. Considere agora a equação c 1 a 1 + c 2 a c m a m = 0 Uma possibilidade de satisfazer esta igualdade é denir todos os escalares c 1, c 2,..., c m = 0. Se esta for a única forma possível de satisfazer a igualdade, então os vetores a 1, a 2,..., a m formam um conjunto linearmente independentes (L.I.). Se a equação puder ser satisfeita com pelo menos um dos escalares sendo não-nulos, então ao menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos demais e portanto é linearmente dependente (L.D.). Por exemplo, considere que c 1 0, a equação anterior pode ser escrita como: a 1 = c 2 c 1 a 2... c m c 1 a m Ou seja, a 1 é uma combinação linear dos demais vetores. Como visto anteriormente, quando escrito na forma matricial, cada equação passa a ocupar uma linha da matriz. O número máximo de linhas linearmente independentes (equivalente ao número máximo de equações L.I.) é chamado de posto (rank) da matriz. O posto de uma matriz é invariante em relação às operações elementares apresentadas anteriormente. Por isso, uma das maneiras de determinar o posto da matriz é reduzir ela para a forma escalonada e observar quantas linhas não nulas são obtidas. Além disso, pode-se mostra que o posto de uma matriz A e o posto de sua transposta A T são iguais. Com base nos conceitos de dependência linear e posto de uma matriz, pode-se enunciar os seguintes teoremas: Teorema 01: Considere p vetores com cada um possuindo n componentes. Estes vetores são linearmente independentes se a matriz formada utilizando estes vetores como linhas possuir um posto p. Em contrapartida, se estes vetores são linearmente dependentes, então o posto da matriz será menor que p. Teorema 02: Considere p vetores com cada um possuindo n componentes. Se n < p, então estes vetores são linearmente dependentes. 14

15 Em analogia com os sistemas lineares, o Teorema 02 é equivalente a dizer que se existirem mais variáveis do que equações, algumas das equações serão linearmente dependentes. Outra forma de entender este teorema é analisar um espaço vetorial. Por exemplo, um espaço no R 3 (como um sistema cartesiano x, y, z) será completamente denido por três vetores LI (por exemplo (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)). Qualquer outro vetor neste espaço poderá ser escrito como uma combinação linear destes Existência e Unicidade para Sistemas Lineares Com base no conceito de posto de uma matriz, pode-se enunciar os seguintes teoremas sobre a existência e unicidade da solução de sistemas lineares. Teorema 03 - Existência: Um sistema linear de m equações e n variáveis da forma: Ax = b possui solução (ou seja, é consistente) se e somente se a matriz dos coecientes A possuir o mesmo posto que a matriz aumentada A b. De modo geral, o Teorema 03 implica que a adição do vetor b como última coluna não altera a quantidade de linhas L.I. presentes na matriz. Como enunciado anteriormente, o posto de uma matriz e de sua transposta são equivalentes. Assim, pode-se interpretar o teorema acima como sendo equivalente a armar que a coluna b deve ser L.D. com relação as demais colunas da matriz aumentada. Por exemplo, considere um sistema com m = n = 2, por simplicidade: a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 A matriz aumentada e sua transposta podem ser escritas como: A b = a a 11 a 12 b 11 a 21 1 A b T = a a 21 a 22 b 2 12 a 22 b 1 b 2 Assumindo que o sistema possui solução, então existem valores x 1 e x 2 que satisfazem o sistema linear. Isto implica que a terceira linha da matriz transposta ( L3) pode ser escrita como uma combinação linear das outras duas linhas (L1 e L2), da forma: L3 = L1x 1 + L2x 2 15

16 Assim, a linha L3 é L.D. Caso não existirem valores x 1 e x 2 que possibilitem esta operação, o sistema não possui solução. Teorema 04 - Unicidade: Um sistema linear de m equações e n variáveis da forma: Ax = b possui solução única se e somente se o posto da matriz dos coecientes A e o posto matriz aumentada A b forem iguais a n. Se o posto destas matrizes for menor que n, o sistema possui innitas soluções. Considerando que as matrizes possuam um posto r, estas innitas soluções podem ser expressas em termos de n r parâmetros arbitrários, ou seja, irão formar um espaço de dimensão n r. Por exemplo, se n r = 1, a soluções irão depender de um parâmetro e serão representadas como uma reta, se n r = 2 irão depender de 2 parâmetros serão representadas por um plano e assim sucessivamente. O Teorema 04 pode ser também expresso da seguinte forma: um sistema linear irá possuir solução única somente quando existir uma equação L.I. para cada variável desconhecida. Este teorema pode ser analisado de forma diferente para sistemas homogêneos e não-homogêneos. Considere um sistema homogêneo da forma: Ax = 0 Este sistema sempre irá admitir a solução trivial x = 0. Pelo Teorema 04, se o posto r de A for igual ao número de variáveis n, então esta é a única solução possível. Soluções não-triviais irão existir se e somente se r < n, sendo que neste caso as soluções irão formar um espaço vetorial de dimensão r n (conhecido como espaço de solução). Considere agora um sistema não-homogêneo da forma Ax = b Além dos teoremas de existência e unicidade apresentados anteriormente, pode-se apresentar o seguinte teorema para este tipo de sistema: Teorema 05: Se um sistema não-homogêneo é consistente, então todas as suas soluções podem ser obtidas da forma: x = x h + x 0 onde x h é a solução do problema homogêneo associado e x 0 é alguma solução do problema não-homogêneo. 16

17 Como visto, o Teorema 05 é equivalente ao teorema que garante a solução de EDO's de segunda ordem não-homogêneas. Resta agora uma questão a ser avaliada: como posso determinar o posto da matriz A para garantir que o sistema possui solução única? Uma maneira de responder esta pergunta é simplesmente aplicando o método de eliminação de Gauss e buscando uma solução para o problema. Porém, uma estratégia mais sensata é primeiramente determinar se o problema possui solução para depois tentar encontrá-la. Na grande maioria dos casos, estaremos trabalhando com casos onde m = n, ou seja, temse o mesmo número de equações e variáveis. Os métodos de resolução de EDP's, por exemplo, sempre irão gerar sistemas com m = n. Assim, a matriz dos coeciente A usualmente será uma matriz quadrada. Neste caso, pode-se determinar se a matriz possui alguma linha L.D. calculando o determinante da matriz A. Com base nisso, pode-se enunciar o seguinte teorema: Teorema 06: Uma matriz quadrada A n n possui posto n se e somente se: det A 0 Exemplo 02: Determine se o seguinte sistema linear possui solução única. Caso possuir, encontre a solução. x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 14 2x 1 x 2 3x 3 = 3 4x 1 + 5x 2 x 3 = 7 Primeiramente, deve-se avaliar se o problema possui solução. Para isso, pode-se avaliar o determinante da matriz dos coecientes: A = det A = (1)( 1)( 1) + (3)( 3)(4) + (5)(2)(5) (5)( 1)(4) (3)(2)( 1) (1)( 3)(5) det A = = 56 Portanto, o determinante é diferente de zero, o que implica que a matriz é L.I. 17

18 Avaliando a matriz aumentada para aplicar o método de redução de Gauss: A b = Zerando os termos na primeira coluna: A b = Deixando agora a matriz na forma escalonada: A b = Assim, o sistema linear pode ser escrito como: x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 14 x 1 = 5 7x 2 13x 3 = 25 x 2 = 2 8x 3 = 24 x 3 = 3 Referências: Greenberg, M. D. Advanced Engineering Mathematics, 2nd ed., Prentice Hall, New Jersey: 1998; Kreyszig, E. Advanced Engineering Mathematics, 10th ed., John Wiley and Sons,

19 Lista de Exercícios 01 - Sistemas Lineares Algébricos 1) Avalie se as seguintes armativas sobre equações algébricas e transcendentais são verdadeiras ou falsas. Caso forem falsas, dê um contra-exemplo. a) Uma equação algébrica é necessariamente linear; b) Uma equação algébrica é necessariamente não-linear; c) Uma equação transcendental é necessariamente linear; d) Uma equação transcendental é necessariamente não-linear; e) Uma equação linear é necessariamente algébrica; f) Uma equação não-linear é necessariamente transcendental. 2) Avalie se os seguintes sistemas lineares possuem solução única, innitas soluções ou não possuem solução. Caso possuírem solução única, encontre esta solução e verique se está correta substituindo os valores encontrados no sistema linear. a) b) c) d) 2x 3y = 1 5x + y = 2 2x 3y = 1 4x 6y = 2 x 2y = 1 2x 4y = 4 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 4 5x 1 + 6x 2 + 7x 3 = 8 9x x x 3 = 12 e) f) g) 2x 1 3x 2 + 4x 3 = 2 4x 1 + x 2 + 2x 3 = 2 x 1 x 2 + 3x 3 = 3 x 1 x 2 + 2x 3 + x 4 = 1 2x 1 + x 2 + x 3 x 4 = 4 x 1 + 2x 2 x 3 2x 4 = 5 x 1 + x 3 = 1 x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 2x 2 + 2x 3 = 4 x 1 + 2x 2 x 3 = 2 19

20 03) Determine para quais valores de λ os seguintes sistemas homogêneos possuem solução nãotrivial. Encontre as soluções não-triviais associadas a cada valor de λ, denindo um número necessário de constantes. a) 2x + y = λx x + 2y = λy b) 2x y = λx x + 2y = λy Respostas: 1) (a) F, (b) F, (c) F, (d) V, (e) V, (f) F 2) (a) solução única, x = 7/17, y = 1/17; (b) innitas soluções; (c) sem solução; (d) innitas soluções; (e) solução única, x1 = 1/2, x2 = 1, x3 = 3/2; (f) innitas soluções; (g) solução única, x1 = 4, x2 = 2, x3 = 2. 3) (a) possui solução não-trivial somente se λ = 1 ou λ = 3. Para λ = 1, a solução é da forma x = c, y = c, onde c é uma constante e para λ = 3, a solução é da forma x = c, y = c. (b) possui solução não-trivial somente se λ = 1 ou λ = 3. Para λ = 1, a solução é da forma x = c, y = c, onde c é uma constante e para λ = 3, a solução é da forma x = c, y = c. 20

21 2. Algoritmo de Thomas e Métodos Iterativos Como visto na Aula 01, métodos de eliminação direta, como o método de Gauss, podem ser aplicados para a resolução de sistemas de equações algébricas lineares. Diversos outros métodos são muito utilizados, como os métodos de Gauss-Jordan, fatoração LU e da matriz inversa. Estes métodos estão baseados em processos de eliminação de determinados termos da matriz dos coecientes através de operações algébricas que não alterem o sistema. Apesar de não haver uma regra geral, os métodos de eliminação costumam ser aplicados quando as seguintes condições são satisfeitas: (a) o número de equações é pequeno (menos de 100), (b) a maioria dos coecientes da matriz A são não-nulos, (c) a matriz dos coecientes não é predominantemente diagonal ou (d) o sistema de equações é mal condicionado (quando pequenos mudanças nos parâmetros de entrada causam grandes mudanças nos resultados obtidos). A princípio, os métodos de eliminação poderiam ser aplicados para qualquer sistema. No entanto, existem alguns problemas que limitam a utilização destes métodos para certas classes de problemas, especialmente envolvendo um grande número de equações. Nestes casos, é necessário um número muito grande de operações para se obter a matriz escalonada, o que faz com que os erros de arredondamento sejam muito signicativos. De modo geral, a utilização de métodos iterativos é mais adequada para a resolução de sistemas com muitas equações onde não existe uma forma adequada de controlar o erro. No entanto, quando a matriz possui alguns formatos especícos, a utilização de métodos de eliminação próprios para cada formato pode permitir a resolução de forma simples, com um erro associado baixo e com um gasto mínimo de memoria computacional. Em particular, são de especial interesse as matrizes tridiagonais, pois estas surgem com frequência na resolução de EDP's e podem ser resolvidas facilmente com um método de eliminação chamado de algoritmo de Thomas, como será apresentado a seguir. 21

22 2.1. Matrizes Tridiagonais e o Algoritmo de Thomas Uma matriz é dita tridiagonal quando possui uma largura de banda igual a 3, ou seja, somente a diagonal principal e os elementos vizinhos acima e abaixo são não-nulos. Este tipo de matriz surge naturalmente na resolução de EDP's através de métodos implícitos. De forma geral, um sistema linear tridiagonal n n pode ser expresso como: a 11 a a 21 a 22 a a 32 a 33 a a 43 a 44 a 4, a n 1,n 2 a n 1,n 1 a n 1,n a n,n 1 a nn x 1 x 2 x 3 x 4. x n 1 x n b 1 = b 4. Para resolver este tipo de sistema, pode-se utilizar uma versão simplicada do método de eliminação de Gauss conhecida como algoritmo de Thomas. Como todos os elementos da primeira coluna abaixo da segunda linha são nulos, o único elemento que precisa ser eliminado nesta coluna é a 21. Assim, pode-se fazer a seguinte operação elementar na segunda linha: L2 L2 (a 21 /a 11 )L1 onde L2 representa a linha 2 e L1 a linha 1. Com isso, a linha 2 passa a ser escrita como: [ ] 0 a 22 (a 21 /a 11 )a 12 a De forma similar, para deixar a matriz no formato triangular, na coluna 2 somente o termo a 32 precisa ser eliminado, na coluna 3 somente o termo a 43 e assim sucessivamente. Como visto no exemplo para a primeira coluna, somente o elemento da diagonal superior será alterado pelo processo de eliminação (o elemento acima não será afetado pois será descontado o valor de zero). De maneira generalizada, os elementos da diagonal principal após a eliminação passam a ser avaliados como: a i,i = a i,i (a i,i 1 /a i 1,i 1 )a i 1,i (i = 2, 3, 4,..., n) Como discutido na aula anterior, as operações elementares utilizadas nos método de eliminação são aplicadas na matriz aumentada, levando em conta também a parte não-homogênea do sistema. Por isso, as operações que afetam a diagonal principal também irão afetar o vetor b. Assim, os elementos deste vetor passam a ser avaliados como: b i = b i (a i,i 1 /a i 1,i 1 )b i 1 (i = 2, 3, 4,..., n) 22 b 2 b 3 b n 1 b n

23 Com isso, pode-se construir uma matriz triangular A e o sistema linear pode ser reescrito como: a 11 a a 22 a a 33 a a 44 a 4, a n 1,n 1 a n 1,n a nn x 1 x 2 x 3 x 4. x n 1 b 1 b 2 b 3 = b 4. b n 1 x n b n A partir deste sistema, a solução x pode ser avaliada, partindo do último elemento x n e avançando até o primeiro: x n = b n/a nn x i = (b i a i,i+1x i+1 )/a i,i i = n 1, n 2, n 3,... 1 Uma das principais vantagens do algoritmo de Thomas é sua facilidade de implementação. A estrutura do código pode ser dividida em duas partes: (a) Substituição: Para i = 2 até n : e i = a i,i 1 /a i 1,i 1 a i,i = a i,i e i a i 1,i b i = b i e i b i 1 (b) Resolução: x n = b n /a n,n Para i = n 1 até 1 : x i = (b i a i,i+1 x i+1 )/a i,i É importante observar que o contador na etapa (b) é decrescente, por isso, os valores x i+1 já são conhecidos quando x i está sendo calculado. Exemplo 01: Através da aplicação do método de diferenças nitas, obteve-se o seguinte conjunto de equações para avaliar a distribuição de temperatura T i ao longo de um objeto: T 1 = 0 T i 1 (2 + α 2 x 2 )T i + T i+1 = 0 i = 2, 3, 4 T 5 = 10 23

24 Considerando que α = 4 e x = 0.125, utilize o algoritmo de Thomas para encontra os valores de T i. 1 R: T = ( ) T 2.2. Métodos Iterativos para Sistemas Lineares O algoritmo de Thomas, apesar de muito simples, está restrito a matrizes estritamente tridiagonais. Quando o sistema não possui este formato e a utilização dos métodos de eliminação não é conveniente, costuma-se utilizar métodos iterativos para a resolução do sistema linear. Estes métodos são particularmente úteis para avaliar matrizes muito esparsas (com muitos elementos iguais a zero), pois neste caso os métodos tendem a convergir rapidamente. Para iniciar os métodos iterativos, deve-se assumir uma solução inicial x 0 (chute inicial). Através de alguma estratégia especíca de cada método, este vetor é então corrigido para um valor aprimorado x 1. Este processo é então repetido (iterado) até que a diferença entre o vetor obtido e o anterior seja menor que um valor especicado. Este processo é convergente se cada iteração produz um valor que se aproxima cada vez mais da solução exata conforme o número de iterações aumenta. O número de interações necessárias para se atingir um determinado critério de convergência estabelecido depende de vários fatores, podendo-se destacar: ˆ O formato da matriz dos coecientes. Matrizes com superior dominância diagonal convergem mais rapidamente; ˆ O método de iteração utilizado, ou seja, a forma como a solução inicial é corrigida; ˆ A solução inicial assumida. método irá convergir; Quanto mais próximo da solução exata, mas rapidamente o ˆ O critério de convergência estabelecido. Dentre os métodos iterativos mais simples para a resolução de sistemas lineares, pode-se destacar os de Jacobi e Gauss-Siedel. O método de Jacobi será apresentado a seguir Método de Jacobi O método de Jacobi é o método iterativo mais simples para a resolução de sistemas lineares. Apesar de apresentar uma convergência relativamente lenta, o método funciona bem para sistemas 1 As resoluções dos exemplos no Scilab são apresentadas como anexo, ao nal do arquivo 24

25 esparsos com grande dominância diagonal. No entanto, este método não funciona em todos os casos. Em particular, uma condição necessária é que todos os elementos da diagonal principal sejam não nulos. Quando algum elemento é nulo, pode-se eventualmente resolver o problema trocando-se a ordem das linhas (lembrando que esta é uma operação elementar que não altera o sistema). Considere novamente o sistema linear da forma: a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b..... = 2... a n1 a n2... a nn Assumindo que todos os termos a ii são todos não-nulos, a solução deste sistema linear pode ser dada por: x n x 1 = 1 a 11 (b 1 a 12 x 2 a 13 x 3... a 1n x n ) x 2 = 1 a 22 (b 2 a 21 x 1 a 23 x 3... a 2n x n ). x n = 1 a nn (b n a n1 x 1 a n2 x 2... a n,n 1 x n 1 ) Como pode ser visto, para determinar o valor de algum termo x i, é preciso conhecer todos os outros valores x j, j i. O método de Jacobi consiste em assumir um valor inicial para o vetor x 0, substituir no lado direito das equações anteriores, encontrar um novo valor x 1 e continuar com este processo até que a diferença entre o valor x k e x k+1 seja pequena o suciente. Assim, pode-se estabelecer a seguinte relação para avançar as iterações: x k+1 1 = 1 a 11 (b 1 a 12 x k 2 a 13 x k 3... a 1n x k n) x k+1 2 = 1 a 22 (b 2 a 21 x k 1 a 23 x k 3... a 2n x k n). x k+1 n = 1 a nn (b n a n1 x k 1 a n2 x k 2... a n,n 1 x k n 1) As equações acima podem ser expressas de forma geral como: x k+1 i = 1 i 1 n b i a ij x k j a ij x k j a ii j=1 j=i+1 Uma maneira mais conveniente de expressar a relação anterior pode ser obtida somando-se e subtraindo-se (portanto, sem alterar a igualdade) o termo x k i temos: x k+1 i = x k i + 1 b i a ii 25 b n do lado direito da equação. Com isso, n a ij x k j j=1

26 Separando o termo entre parêntesis e denido: R i = b i n j=1 a ij x k j x k+1 i = x k i + R i a ii Quando o método numérico atingir a convergência, o termo R i será nulo, por isso o termo R i é muitas vezes chamado de resíduo da equação. De fato, deve-se garantir que o resíduo diminua ao longo das iterações para garantir que o método está convergido para algum lugar. Critério das Linhas Se o método for convergente, conforme o valor de k aumenta, mais próximo se estará da solução verdadeira. Um critério que pode ser utilizado para determinar se o método será convergente é avaliar se a matriz dos coecientes possui a diagonal principal dominante, ou seja, se os termos da diagonal principal em cada linha são maiores (em módulo) que a soma dos demais termos da mesma linha: a ii > j=1 j i Este critério é muitas vezes chamado de critério das linhas e é uma condição suciente, mas não necessária, para que o método de Jacobi seja convergente para qualquer chute inicial. Quando esta condição não é satisfeita, o método ainda pode convergir, mas irá depender de outros fatores, como por exemplo solução inicial adotada. Anteriormente, foi especicado que o processo iterativo deve continuar até que a diferença entre o valor atual e o anterior seja pequena o suciente. Para denir o que isto signica, é importante entender como o erro pode ser calculado. a ij Convergência de Métodos Iterativos Todo sistema não-singular de equações algébricas lineares possui uma solução exata. A princípio, os métodos de resolução direta, como os de eliminação, são capazes de fornecer esta solução exata. No entanto, como os valores são avaliados computacionalmente com uma quantidade nita de algarismos signicativos, sempre irão existir erros de arredondamento associados à solução, seja ela por métodos diretos ou iterativos. De forma geral, os métodos iterativos costumam ser menos afetados pelos erros de arredondamento do que os diretos, devido principalmente a três fatores: (a) os sistemas de equações resolvidos iterativamente normalmente possuem a diagonal dominante, (b) usualmente são esparsos e (c) cada iteração ao longo da resolução é independente dos erros de arredondamento do passo anterior, ou 26

27 seja, a diferença causada pelo erro somente altera o valor inicial utilizado em cada iteração, mas não se acumula ao longo das iterações. Quando um método numérico convergente é utilizado, a solução obtida se aproxima assintoticamente da solução exata conforme o número de iterações aumenta. Quando o número de iterações tende ao innito, a diferença entre a solução obtida numericamente e a solução exata é da magnitude da precisão com que os valores são computados (8 algarismos signicativos para precisão simples e 16 para precisão dupla). Normalmente não é necessário atingir uma precisão tão grande, sendo por isso estabelecido um critério de parada. A precisão de um método numérico é medida em termos do erro associado ao método. Existem duas formas de especicar o erro, de forma absoluta ou relativa: Erro absoluto = Valor aproximado obtido Valor exato Erro relativo = Erro absoluto Valor exato A utilização do erro absoluto como critério de convergência só faz sentido quanto é conhecida a magnitude da solução exata. Por exemplo, um critério absoluto de 10 3 costuma ser suciente se a solução exata possuir valores da ordem de 10 2, por exemplo. No entanto, se a solução é da ordem de 10 4, o critério é totalmente incorreto. Por isso, é sempre mais adequado especicar o erro relativo. No entanto, durante a resolução do sistema linear, o valor da solução exata não é conhecido, portanto os erros denidos anteriormente não podem ser calculados. Por isso, durante a resolução, o erro é calculado baseado na variação dos valores ao longo das iterações. Ao longo da solução, o erro absoluto x i = x k+1 i x exato i é aproximado como x i = x k+1 i x k i. Em cada iteração realizada o erro pode ser pequeno para um determinado valor de i e grande para outro valor, por isso deve-se ter cuidado quando é analisado se o critério de convergência foi atingido. Existem diferentes formas de fazer isto, sendo que as mais comuns são avaliar o valor máximo entre os erros para cada variável ou o somatório dos erros de cada variável. Considerando um critério de convergência ε, estes critérios podem ser respectivamente expressos como: n x k i ) max ε x k i ε (x k+1 i i=1 x k+1 i É importante destacar que o erro sempre deve ser avaliado em módulo e que a soma dos módulos é diferente do módulo das somas. De forma equivalente, os erros relativos podem ser expressos como: (x k+1 i x k i ) max n x k+1 ε x k+1 i x k i i x k+1 ε i Exemplo 02 Resolva os Exemplo 01 utilizando o método de Jacobi, tendo como critério de convergência um erro relativo menor que i=1 27

28 2.3. Condicionamento de Sistemas Lineares Uma dúvida comum que surge na resolução de sistemas lineares é em relação à precisão com que os coecientes e a solução precisam ser avaliados, ou seja, quantos algarismos signicativos devem ser utilizados nos cálculos. De forma geral, todo sistema linear Ax = b com det A 0 admite solução única. A princípio, esta solução pode sempre ser obtida utilizando o método de eliminação de Gauss ou algum método iterativo, como o método de Jacobi, com algarismos com precisão innita. No entanto, todos os cálculos são realizados com valores com precisão limitada. Como consequência sempre existem erros de arredondamento associados e estes erros podem ou não alterar a solução do sistema. Para alguns sistemas, pequenas variações nos coecientes causam uma grande variação na solução obtida. Como muitas vezes os coecientes são obtidos através de medidas físicas (que possuem erros associados) ou advém de outros métodos matemáticos, deve-se avaliar a sensibilidade do sistema em relação aos coecientes. Com base nisso, pode-se dividir os problemas em duas classes: - Problemas bem condicionados: são aqueles onde uma pequena variação em qualquer um dos elementos do problema causa somente uma pequena variação na solução do problema; - Problemas mal condicionados: são problemas onde uma pequena variação em algum dos elementos causa uma grande variação na solução obtida. Estes problemas tendem a ser muito sensíveis em relação a erros de arredondamento. Considere o seguinte sistema: x 1 + x 2 = 2 x x 2 = Utilizando o método de eliminação de Gauss, pode-se reescrever o sistema como: x 1 + x 2 = x 2 = Assim, a solução do sistema é x 1 = 1, x 2 = 1. Considere agora que o coeciente a 22 seja alerado para (uma redução de menos de 0.02%): x 1 + x 2 = 2 x x 2 = Utilizando o método de eliminação, podemos reescrever o sistema como: x 1 + x 2 = x 2 = Assim, a solução obtida neste caso é x 1 = 3, x 2 = 1, o que se distancia muito da solução obtida anteriormente. Este exemplo mostra como um sistema mal condicionado pode ser sensível aos coecientes. 28

29 Um indicativo de que um sistema pode ser mal condicionado é quando o determinante da matriz é muito próximo a zero, porém este critério não representa uma avaliação quantitativa do condicionamento. Uma maneira de avaliar o quanto um determinado sistema é mal condicionado é através da determinação do número de condicionamento, que é denido com base na norma da matriz dos coecientes e sua inversa. O número de condicionamento é uma medida da sensitividade do sistema a pequenas variações em qualquer de seus elementos. A origem deste número não será apresentada aqui, mas pode ser encontrada em Homan (2001). Considerando um sistema linear da forma Ax = b, o número de condicionamento da matriz A é denido como: C(A) = A A 1 Pequenos valores de C(A), da ordem de uma unidade, indicam uma pequena sensibilidade da solução em relação a variações nos coecientes, ou seja, indicam problemas bem condicionados. Valores grandes de C(A) mostram que o sistema é mal condicionado. Na denição do número de condicionamento, a norma utilizada é a norma Euclidiana (ou de Frobenius), denida como: n A = i=1 j=1 n (a ij ) 2 Exemplo 03: Determine o número de condicionamento da seguinte matriz: A = Primeiramente, pode-se determinar a inversa da matriz A para na sequência calcular as normas. Lembrando da denição, a matriz inversa A 1 é uma matriz tal que: A A 1 = I Neste caso, como a matriz é pequena, pode-se formar um sistema linear para determinar a inversa: 1 1 a b = c d 0 1 Assim: a + c = 1 b + d = 0 a c = 0 b d = 1 1/2 29

30 Resolvendo o sistema, obtém-se: Com isso, as normas podem ser calculadas: A = ( ) 1/2 = A 1 = ( ( 10000) 2 + ( 10000) ) 1/2 = Dessa forma, o número de condicionamento será: C(A) = A A 1 = ( )( ) = Como visto, o número de condicionamento é muito elevando, indicando que a matriz é muito mal condicionada, como discutido anteriormente. Referências: Homan, J. D. Numerical Methods for Engineers and Scientists. 2nd ed., Marcel Dekker, New York: Chapra, S. C.; Canale R. P. Numerical Methods for Engineers. 6th ed., McGraw Hill, New York:

31 Lista de Exercícios 02 - Solução Numérica de Sistemas Lineares Algébricos 1) Algoritmo de Thomas. Utilize o algoritmo de Thomas para resolver os seguintes sistemas tridiagonais, caso possuírem solução única (utilize, de preferência, alguma ferramenta computacional). Conra se os valores obtidos estão corretos substituindo-os no sistema original. a) x 1 x 2 x 3 x = c) x 1 x 2 x 3 x = 14 7 b) x 1 x 2 x 3 x = 0 8 d) x 1 x 2 x 3 x = 0 0 2) Através da aplicação do método de diferenças nitas, obteve-se o seguinte conjunto de equações para a distribuição de temperatura em um material: T 1 = 0 T i 1 4T i + T i+1 = 0 i = 2,..., 99 T 100 = 1 Faça um esboço de um algoritmo para a resolução deste sistema linear através do uso do algoritmo de Thomas e através do uso do método de Jacobi. 31

32 3) Método de Jacobi. Utilize o método de Jacobi para obter uma solução aproximada para os seguintes sistemas lineares. Avalie também o número de condicionamento destes sistemas. a) b) 8x 1 + 2x 2 = 2 1x 1 7x 2 = 7 3x 1 x 2 + x 3 = 2 x 1 + 4x 2 + x 3 = 1 2x 1 + x 2 + 6x 3 = 4 4) Sistema sem diagonal dominante. Considere o seguinte sistema linear: 4x + 2y + 3z = 8 3x 5y + 2z = 14 2x + 3y + 8z = 27 Como pode ser observado, este sistema não possui a diagonal dominante, portanto o critério das linhas não pode ser aplicado. Utilize o método de Jacobi para encontrar uma solução aproximada para o sistema. Compare com o valor obtido através do método de eliminação de Gauss. Respostas: 1) (a) x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4, (b) x 1 = 6.2, x 2 = 7.4, x 3 = 7.6, x 4 = 7.8, (c) x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 2, x 4 = 1, (d) x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 0 3) (a) C(A) = , x 1 = , x 2 = 0.931, (b ) C(A) = , x 1 = , x 2 = , x 3 = ) x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 2 32

33 3. Sistemas Algébricos Não-Lineares e Método de Newton Como visto nas aulas anteriores, para um sistema linear existem três possibilidades para a solução do sistema: a solução existe e é única, não existe solução ou existem innitas soluções. Para sistemas envolvendo equações não-lineares, existem duas adicionais possibilidades para a resolução do sistema. A primeira delas é que uma única equação pode não ter solução real, como por exemplo a equação x = 0. Neste caso, a curva não irá cruzar o eixo x em nenhum ponto, enquanto que uma reta ax + b = 0 irá eventualmente cortar o eixo sempre que a 0. A segunda e mais signicativa diferença entre sistemas lineares e não-lineares é que um sistema não-linear pode ter um número nito qualquer de soluções. Por exemplo, curvas denidas por dois polinômios podem se cruzar em n pontos, sendo que cada ponto corresponde a uma solução do sistema. Estas características fazem com que o comportamento governado por sistemas de equações não-lineares seja, em geral, muito mais complexo que o governado por equações lineares. Além disso, a maioria dos métodos iterativos utilizados para a resolução de sistemas não-lineares busca alguma solução do sistema, não fornecendo informações sobre todas as possíveis soluções. Apesar disto, equações não lineares surgem com frequência na modelagem de diversos problemas, como por exemplo na área de reatores químicos, em problemas envolvendo distribuição de forças atuando em ângulos distintos e em diversos métodos de resolução de equações diferenciais. Estes problemas requerem que as equações não-lineares sejam resolvidas, sendo que este processo pode ser denido como: Considerando uma função ou um conjunto de funções não-lineares f(x), deve-se encontrar um valor de x = α tal que f(α) = 0. Neste caso, as funções podem ser polinomiais ou transcendentais. Além disso, em um sistema com n equações, caso alguma delas for não-linear, os métodos para sistemas lineares já não podem mais ser empregados. A maioria dos métodos de resolução de sistemas não-lineares são derivados a partir de métodos de busca de raízes de equações não-lineares, como por exemplo os métodos de Newton, secante, etc. A seguir serão discutidas algumas características gerais destes métodos. 33

34 3.1. Características Gerais dos Métodos de Busca de Raízes O processo de encontrar a raiz de uma equação não-linear, ou de forma equivalente a solução de um sistema não-linear, envolve duas etapas. Primeiramente, deve-se delimitar a solução a um intervalo especíco e na sequência renar a solução até se obter um valor com a precisão desejada. A etapa de delimitação da solução consiste em encontrar uma estimativa inicial para a solução, que irá servir como um ponto de partida para os métodos iterativos. Como comentado anteriormente, um sistema não-linear pode apresentar múltiplas soluções, sendo que qual destas soluções será obtida irá depender, na maioria dos casos, desta estimativa inicial. Para o caso de uma única função ou sistemas com poucas equações, uma maneira simples de obter uma estimativa inicial é através da análise do gráco das funções. Para sistemas grandes, no entanto, este procedimento costuma ser impraticável. Em sequência, a etapa de renamento da solução envolve determinar a solução com a precisão desejada através de algum procedimento adequado. Estes procedimentos podem ser classicados em três categorias: 1. Tentativa e erro: Estes métodos simplicados consistem basicamente em chutar uma solução inicial e vericar se esta solução satisfaz as equações com a precisão desejada. Caso não satiszer, escolhe-se outro valor. Este procedimento somente funciona se uma solução aproximada já é conhecida. 2. Métodos de domínio fechado: São métodos que partem de dois valores que englobam alguma solução do problema. Para o caso de um sistema f(x) = 0, pode-se escolher um valor a onde f(a) > 0 e outro valor b onde f(b) < 0. Considerando que a função seja contínua, com certeza existe alguma solução no intervalo [a, b]. Estes métodos são muito robustos, pois garante que existe alguma solução no intervalo. No entanto, o processo de convergência pode ser muito lento. Exemplos de métodos que utilizam este procedimento são os de falsa posição e bissecção. 3. Métodos de domínio aberto: Esta classe de métodos não mantém a solução presa em um intervalo especíco. Como consequência, não são tão robustos quanto os de domínio fechado e podem vir a divergir. No entanto, utilizam informações da própria equação não-linear para aproximar a solução, sendo por isso consideravelmente mais ecientes que os de domínio aberto. Exemplos de métodos de domínio aberto são os de Newton, secante e ponto-xo. Apesar de os métodos de tentativa e erro e de domínio fechado serem úteis para encontrar raízes de equações, a sua aplicação para a resolução de sistemas não-lineares é bem restrita, sendo que os 34

35 métodos de domínio aberto são mais facilmente aplicados neste caso. Em particular, os métodos de Newton e do ponto xo podem facilmente ser estendidos para a resolução de sistemas não-lineares, como será apresentado a seguir Método de Newton O método de Newton é possivelmente o método mais conhecido e utilizado para a solução de equações não-lineares. A seguir será apresentada uma breve revisão da aplicação do método para uma única equação (problema de encontrar raízes) e na sequência será apresentada a expansão para sistemas Método de Newton para uma Equação O método de Newton pode ser obtido diretamente através da expansão em série de Taylor de uma função em torno de um ponto. Considere que se deseja encontrar os valores de x que satisfazem a equação: f(x) = 0 A expansão em série de Taylor de uma função f(x) em torno de um ponto x 0 é dada como: f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) 2! = n=0 (x x 0 ) 2 + f (x 0 ) (x x 0 ) ! f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! Vale ressaltar que a expansão em série de Taylor é válida para praticamente qualquer função innitamente diferenciável em x 0. Neste caso, a função é dita analítica em x 0. Considere agora que a expansão seja feita nas vizinhanças do ponto x 0. Neste caso, a diferença x x 0 é pequena e os termos (x x 0 ) 2, (x x 0 ) 3,... podem ser desprezados. Este processo lineariza a expansão, pois somente os termos de ordem até 1 são signicativos. Com isso, a expansão pode ser expressa como: f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Pode-se utilizar a expressão acima para avaliar as raízes de f(x): f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) = 0 Reescrevendo a equação anterior: (x x 0 ) = f(x 0) f (x 0 ) x = x 0 f(x 0) f (x 0 ) 35

36 Assumindo que x = x 0 seja uma raiz da equação, f(x 0 ) = 0. A expressão anterior pode ser utilizada para partir de um ponto x 0 qualquer e buscar um valor de x tal que f(x) = 0. De forma generalizada, o método iterativo de Newton é expresso como: x i+1 = x i f(x i) f (x i ) Na gura a seguir é ilustrado como o ponto x i+1 é calculado com base em x i. A principal vantagem do método de Newton é utilizar o valor da derivada no ponto x i para determinar o novo ponto x i+1. Exemplo 01: Utilize o método de Newton para encontrar o ponto de intersecção das funções f(x) = e x2 e g(x) = x. R: x = Problemas com o Método de Newton Como pode ser observado no exemplo anterior, o método de Newton usualmente converge rapidamente para a solução do problema. De fato, pode-se mostrar que para um processo convergente para encontrar uma raiz x = a, o erro e i segue uma relação da forma: e i+1 = 1 f (a) 2 f (a) e2 i o que indica que a convergência é de segunda ordem (quadrática). No entanto, dependendo do valor inicial considerado, a relação anterior pode não ser satisfeita. Neste caso, o procedimento iterativo pode convergir para outra raiz, divergir ou apresentar uma convergência muito lenta. Como o método de Newton envolve o cálculo do termo f(x i )/f (x i ), um problema óbvio do método é que f (x i ) deve ser diferente de zero. Mesmo quando f (x i ) é somente próximo a zero, 36

37 a tendência é que o ponto x i+1 resultará em um valor muito distante de x i, o que pode fazer com que o método convirja para outra solução ou tenha uma convergência muito lenta. Além disso, dependendo do formato da função e das condições iniciais empregadas, o método pode mesmo vir a divergir ou entrar em um loop innito, como ilustrado na gura a seguir. Além destes problemas, diversos outros fatores podem dicultar a convergência do método de Newton, como por exemplo raízes muito próximas, diculdade em encontrar um chute inicial adequado, mal condicionamento das equações não-lineares e a falta de conhecimento sobre a natureza das raízes (reais ou complexas). Em muitos casos, os problemas de convergência podem ser evitados utilizando um método de amortecimento da solução, de forma a fazer com que os valores de x i variem menos entre uma iteração e outra. Isto pode ser conseguir através do uso de um parâmetro de relaxação λ i, escrevendo a relação para x i+1 como: x i+1 = x i + λ i f(x i ) f (x i ) O parâmetro λ i deve ser denido no intervalo entre 0 e 1, sendo que quanto mais próximo de 0. Valores abaixo de 1 tendem a fazer com que a solução seja mais lenta em comparação com o método normal, porém podem evitar com que a solução divirja Método de Newton para Sistemas Um sistema não-linear pode ser escrito de forma geral como: f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f m (x 1, x 2,..., x n ) = 0 Na forma vetorial, este sistema é expresso simplesmente como: F(x) = 0 37

38 Para o caso de funções de várias variáveis, a expansão em série de Taylor em torno de um ponto leva em conta a dependência com todas as variáveis. expansão em torno de um ponto (x 0, y 0 ) é da forma: f(x, y) = f(x 0, y 0 ) + f x (x x 0) + f y (y y 0)+ ( 1 2 f 2! x 2 (x x 0) f x y (x x 0)(y y 0 ) + 2 f y 2 (y y 0) 2 Por exemplo, para um função f(x, y), a ) +... Para uma função de n variáveis, a expansão pode ser expressa, de uma forma geral, como: f(x) = f(x 0 ) + f(x 0 ) (x x 0 ) ( (x x0 ) T H(f(x 0 )(x x 0 )) ) +... onde x = (x 1, x 2,..., x n ) e f(x 0 ) é o gradiente de f(x) avaliado em x = x 0 : ( ) f f f f(x 0 ) = (x 0 ), (x 0 ),..., (x 0 ) x 1 x 2 x n A matriz H(f(x 0 )) é chamada de matriz Hessiana de f(x), sendo também avaliada em x = x 0. Esta matriz é expressa como: 2 f 2 f 2 f x 2 (x 0 ) (x 0 )... (x 0 ) 1 x 1 x 2 x 1 x n 2 f 2 f 2 f (x 0 ) H(f(x 0 )) = x 2 x 1 x 2 (x 0 )... (x 0 ) 2 x 2 x n f 2 f 2 f (x 0 ) (x 0 )... x n x 1 x n x 2 x 2 (x 0 ) n Considerando novamente que as distâncias x x 0 são pequenas, pode-se desprezar os termos de alta ordem e linearizar a função em torno de x 0 : f(x) = f(x 0 ) + f(x 0 ) (x x 0 ) Aplicando este conceito para todas as funções do sistema não-linear apresentado anteriormente, o sistema pode ser expresso como: f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = f 1 (x 0 ) + f 1 (x 0 ) (x x 0 ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = f 2 (x 0 ) + f 2 (x 0 ) (x x 0 ) = 0. f m (x 1, x 2,..., x n ) = f m (x 0 ) + f m (x 0 ) (x x 0 ) = 0 Na forma vetorial, este sistema pode ser expresso como: f 1 (x 0 ) f F(x 0 ) + 2 (x 0 ) (x x 0 ) = 0. f m (x 0 ) 38

39 O vetor formado com o gradiente das funções f 1 (x), f 2 (x),..., f m (x) forma uma matriz chamada de matriz Jacobiana (J(x)) do sistema. Neste caso, como as derivadas são avaliadas em x 0, a matriz Jacobiana é expressa como: J(x 0 ) = f 1 f 1 x 1 f 2 f 2 x 1. f m x 1 x 2... f 1 x n f 2 x n x f m x 2... f m x n Usando a denição da matriz Jacobiana, o sistema pode ser expresso como: F(x 0 ) + J(x 0 ) (x x 0 ) = 0 De forma semelhante ao realizado para uma única equação, pode-se expressar a relação anterior como um processos iterativo: J(x i ) (x i+1 x i ) = F(x i ) Para facilitar a resolução, pode-se denir um vetor deslocamento h i = x i+1 x i : J(x i ) h i = F(x i ) A partir da resolução do sistema linear, obtém-se o vetor deslocamento e na sequência os valores de x i+1 podem ser então avaliados. Neste caso, a solução é um vetor e não um escalar. Assim, pode-se partir de um vetor inicial x 0, determinar os termos F(x i ) e J(x i ) e na sequência obter o valor da nova solução x i+1. É importante destacar que a etada de obtenção de x i+1 sempre irá envolver a resolução de um sistema linear. Uma maneira de evitar a solução do sistema linear é expressar a relação anterior como: x i+1 = x i + J 1 (x i )F(x i ) Nesta forma, porém, é necessário determinar a inversa da matriz Jacobiana para cada iteração. Caso a matriz Jacobiana for singular (não possuir inversa), o método de Newton falha e não pode ser usado para obter a solução. Uma matriz é singular se o seu determinante for igual a zero, portanto esta é uma maneira simples de avaliar se o método de Newton pode ser empregado. Os critérios que garantem que o método de Newton será ou não convergente dependem de diversos fatores, porém de forma geral pode-se dizer que o método tende a ser convergente para qualquer chute inicial sucientemente próximo da solução que se está buscando. Exemplo 02: Encontre a solução do seguinte sistema não-linear, usando como condição inicial x = (0, 1): x x = 0 x 1 x 2 1 = 0 39

40 Exemplo 03: Utilize o método de Newton para obter a solução do seguinte sistema não-linear. Utilize como solução inicial x 0 = (1, 0, 1) x 2 + y 2 + z 2 = 5 x 2 + y 3 z = 0 x + z = 3 Exemplo 04: Repita o exemplo anterior usando a seguinte solução inicial: x 0 = (1, 2, 1) 40

41 Lista de Exercícios 03 - Método de Newton 1) Utilize o método de Newton para obter uma solução aproximada para as seguintes equações não-lineares. Utilize como condição inicial o valor indicado e resolva 3 iterações para cada caso. a)e x = x x 0 = 0 R: x (3) = c) cos(x) + 2 sin(x) = x 2 x 0 = 0 R: x (3) = b)x 3 3x + 1 = 0 x 0 = 1.5 R: x (3) = d) ln(x) + cos(x) = 0 x 0 = 0.5 R: x (3) = ) O método de Newton pode ser utilizado para encontrar o valor aproximado para as raízes de números reais. Por exemplo, a raiz quadrada de um número a será a solução da equação f(x) = x 2 a = 0. Utilize o método de Newton para estimar o valor numérico de 2. Utilize x 0 = 1.0 como valor inicial e resolva três iterações. R: x (3) = ) Utilize o método de Newton para encontrar os quatro pontos de intersecção entre um círculo descrito por: x 2 + y 2 = 4 e uma hipérbole descrita por: x 2 y 2 = 1 Dica: Faça um esboço dos grácos das funções e observe a simetria das raízes. R: x 1 = ( , ), x 2 = ( , ), x 3 = ( , ), x 4 = ( , ) 04) Aplique o método de Newton para obter a solução do seguinte sistema não-linear, usando como condição inicial x = (2, 1). Resolva 3 iterações. Faça um esboço de um algoritmo que possa ser utilizado para determinar a solução com uma precisão de pelo menos x 1 x = 0 x x 2 2 = 4 R: x (3) = (1.4151, ) 05) Considere o seguinte sistema não-linear: x 2 2x y = 0 x 2 + 4y 2 4 = 0 41

42 Implemente um código para estimar a solução deste sistema utilizando o método de Newton, considerando como condição inicial x 0 = 2, y 0 = 0.25 e um critério de convergência de erro absoluto menor que R: x = ( , ) 06) Utilize o método de Newton para obter uma solução aproximada para o seguinte sistema não-linear: x 2 + y 2 + z 2 = 3 x 2 + y 2 z = 1 x + y + z = 3 Resolva pelo menos três iterações e considere como condição inicial x 0 = 1, y 0 = 0, z 0 = 1. R: x (3) = (1.125, 0.875, 1) 42

43 4. Métodos Quase-Newton Uma das principais diculdades em aplicar o método de Newton para a resolução de sistemas não-lineares é que o método exige que, a cada iteração, seja determinada a matriz Jacobiana e um sistema linear seja resolvido. Por exemplo, para um sistema com n equações, a determinação da matriz Jacobiana envolve a determinação de n 2 derivadas parciais e o sistema linear gerado em cada iteração será n n. Para sistemas com muitas equações ou para casos onde as derivadas não podem ser facilmente obtidas, a aplicação do método de Newton é bastante custosa. Além disso, o método de Newton pode apresentar diversos outros problemas, como por exemplo casos onde a matriz Jacobiana é singular e uma grande dependência da condição inicial utilizada. Diversas modicações foram propostas para melhorar determinados aspectos do método de Newton, em particular para evitar a resolução de um sistema linear a cada iteração. De forma geral, estes métodos são conhecidos como métodos quase-newton e consistem em aproximar a matriz Jacobiana J(x i ) por alguma outra matriz B i. A forma como esta matriz é determinada depende do método utilizado. O mais simples destes métodos é o de Newton modicado, que será discutido a seguir Método de Newton Modicado O método de Newton possui a vantagem de utilizar o valor da derivada da função em um ponto para estimar o próximo ponto, o que faz com que a convergência do método tenda a ser rápida. Em contrapartida, isto implica em determinar a derivada da função em cada ponto, ou para o caso de sistemas, o valor da matriz Jacobiana em cada ponto. Como consequência, para o caso de sistemas não-lineares, a cada iteração é preciso resolver um sistema linear, o que faz com que o gasto associado à resolução seja alto. Por exemplo, para uma única equação f(x) = 0, o método de Newton pode ser expresso como: x i+1 = x i f(x i) f (x i ) Partindo de uma solução inicial x 0, procede-se com as iterações para renar a raiz. O método de Newton modicado consiste em considerar f (x i ) = f(x 0 ) para todas as iterações, ou seja, manter o valor da derivada constante e igual ao valor associado à condição inicial. Este método tende 43

44 a possuir uma convergência muito pior que o método de Newton original, porém não necessita a avaliação da derivada em cada ponto. Assim, o método de Newton modicado, para encontrar a solução de f(x) = 0, é expresso como: x i+1 = x i f(x i) f (x 0 ) Exemplo 01: Compare a taxa de convergência do método de Newton e do método de Newton modicado para a busca das raízes da seguinte equação: x 2 6 sin(x) + e x = 0 Considere como condição inicial x 0 = 2. A solução exata para o problema é x = Método de Newton Modicado para Sistemas Não-Lineares Para o caso da busca de raízes de equações não-lineares, a utilização do método de Newton modicado não se justica, pois uma vez determinada a derivada de f(x) não existe um gasto grande associado a determinação de f (x i ). No entanto, para o caso de sistemas não-lineares, cada nova iteração exige a atualização da matriz Jacobiana e a resolução de um novo sistema linear. O método de Newton modicado aplicado para sistemas, de forma semelhante, consiste em considerar a matriz Jacobiana constante e igual ao valor calculado com base na condição inicial. Com visto anteriormente, o método de Newton para sistemas é expresso como: J(x i ) (x i+1 x i ) = F(x i ) x i+1 = x i J 1 (x i )F(x i ) Assim, o método de Newton modicado para este caso resulta em: J(x 0 ) (x i+1 x i ) = F(x i ) x i+1 = x i J 1 (x 0 )F(x i ) Para a aplicação do método de Newton, na maioria dos casos é mais conveniente avaliar o sistema linear do que calcular a inversa da matriz Jacobiana. No entanto, para o método de Newton modicado, como J 1 (x 0 ) não irá mudar ao longo das iterações, é mais conveniente determinar a matriz inversa para a condição inicial. Com isso, não passa a ser mais necessário resolver um sistema linear a cada iteração. Exemplo 02: Considere o seguinte sistema não-linear: x + y = 3 x 2 + y 2 = 9 44

45 Compare a convergência do método de Newton e do método de Newton modicado, usando como condição inicial x 0 = (x 0, y 0 ) = (1, 5). As possíveis soluções para este problema são os pontos (0, 3) e (3, 0) Método de Broyden (Secantes) O método de Broyden pode ser entendido como uma extensão do método da secante para sistemas não-lineares. No método da secante para a busca das raízes de uma função f(x) = 0, o valor da derivada no ponto x i é avaliado por meio de uma aproximação com diferenças nitas 1 f (x i ) = f(x i) f(x i 1 ) x i x i 1 Após esta etapa, o ponto x i+1 é obtido da mesma forma que através do método de Newton: x i+1 = x i f(x i) f (x i ) Desta forma, o método da secante não necessita a determinação da derivada da função no ponto x i. Como desvantagem, este método precisa de dois pontos iniciais para começar o processo iterativo e é bastante sensível com relação às condições adotadas. Para o caso de um sistema de n equações, a matriz Jacobiana é aproximada de uma forma semelhante: Por simplicidade, pode-se denir: J(x i ) = F(x i) F(x i 1 ) x i x i 1 F i = F(x i ) F(x i 1 ) x i = x i x i 1 Assim, a relação anterior pode ser dada por: J(x i ) x i = F i Partindo de uma estimativa inicial para a matriz Jacobiana, pode-se usar a relação anterior para atualizar o valor de J(x i ) a cada iteração do método de Newton. A princípio, a relação anterior não possui solução única. O método de Broyden consiste em atualizar a matriz Jacobiana de modo que o novo valor obtido J(x i+1 ) seja o mais próximo possível de J(x i ) e que satisfaça a relação anterior. Neste contexto, o termo próximo signica o valor que minimiza a norma: J(x i ) J(x i+1 ) 1 Sugestão: mostre que esta aproximação é um resultado de uma expansão em séries de Taylor truncada no primeiro termo. 45

46 Esta condição implica que: J i = J i 1 + F i J i 1 x i T x T x i i x i onde, por conveniência, deniu-se J i 1 = J(x i 1 ) e J i = J(x i ). Para a utilização do método de Newton, a relação anterior pode ser utilizada quando a determinação da matriz Jacobiana não é trivial (quando as funções não possuem derivadas parciais conhecidas, por exemplo). No entanto, não elimina a necessidade da resolução de um sistema linear a cada iteração. Como visto para o método de Newton modicado, uma maneira de evitar a resolução do sistema é através do uso da inversa da matriz Jacobiana: x i+1 = x i J 1 i F(x i ) Utilizando a fórmula de Sherman-Morrison em conjunto com a relação anterior para atualizar a matriz Jacobiana, pode-se obter uma relação para atualizar a inversa da matriz Jacobiana: J 1 i i 1 F i = Ji x i J 1 F T i F i F i T J 1 i 1 As etapas envolvidas na resolução de um sistema linear pelo método de Broyden podem ser resumidas da seguinte forma: ˆ Considere um sistema linear com n equações da forma: f 1 (x 1, x 2, x 3,..., x n ) 0 f F(x) = 2 (x 1, x 2, x 3,..., x n ) 0 =.. f n (x 1, x 2, x 3,..., x n ) 0 ˆ Utilize uma estimativa inicial para a solução x 0 e para a matriz Jacobiana neste ponto J 0 (quando possível, determine as derivadas parciais e avalie os valores em x 0 ); ˆ Determine a inversa de J 0 (J 1 0 ); ˆ Com base em J 1 0, calcule x 1: x 1 = x 0 J 1 0 F(x 0) ˆ Atualize a matriz Jacobiana para obter J 1 1 : 0 F 1 J1 1 = J0 1 + x 1 J 1 F T 1 F 1 F 1 T J 1 0 Lembrando que F 1 = F(x 1 ) F(x 0 ) e x 1 = x 1 x 0, portanto, estes valores são conhecidos. 46

47 ˆ Com base em J 1 1, determine x 2: x 2 = x 1 J 1 1 F(x 1) ˆ Atualize novamente a matriz Jacobiana para obter J 1 2 e siga com o procedimento até obter convergência. Exemplo 03: Utilize o método de Broyden para obter uma solução aproximada para o seguinte sistema não-linear: x + y = 3 x 2 + y 2 = 9 Utilize como condição inicial x 0 = (x 0, y 0 ) = (1, 5). 47

48 Lista de Exercícios 04 - Métodos Quase-Newton 1) A equação de estado de Van der Waals é expressa por: P = RT V b a V 2 onde as constantes a e b são denidas em função das propriedades críticas do uido avalido: a = 27(RT c) 2 64P c b = RT c 8P c Para temperaturas e pressões inferiores às condições críticas (T < T c, P < P c ), a equação possui três raízes reais. Para uma condição de saturação, a menor dela corresponde ao volume do líquido saturado, a maior ao volume do vapor saturado e a raiz intermediária corresponde a um estado instável e por isso não é considerada. Para o dióxido de carbono, T c = K e P c = bar. Para uma temperatura de T = K, a pressão de saturação é de P = bar. Utilize o método de Newton para estimar os volumes molares do líquido e do vapor saturado nestas condições. Para determinar o volume do vapor, utilize como condição inicial V = RT/P e para determinar o volume do líquido utilize como condição inicial V = 1.5b. Considere R = cm 3 bar mol 1 K 1. Resolva cinco iterações para cada caso e compare com os valores obtidos com o método de Newton modicado. R: Raiz Vapor: V = cm 3 /mol (Newton), V = cm 3 /mol (Newton modicado); Raiz líquido: V = cm 3 /mol (Newton), V = cm 3 /mol (Newton modicado) 2) Utilize o método de Newton modicado para estimar a solução dos seguintes sistemas nãolineares com as condições iniciais especicadas. Compare com os valores obtidos com o método de Newton (lista de exercícios 03). Resolva três iterações. a) x 2 2x y = 0 x 2 + 4y 2 4 = 0 x 0 = (x 0, y 0 ) = (2, 0.25) R: x 3 = ( , ) b) x 1 x = 0 x x 2 2 = 4 x 0 = (x 0 1, x 0 2) = (2, 1) R: x 3 = ( , ) 48

49 3) Utilize o método de Broyden para resolver os sistemas não-lineares apresentados no exercício 02, resolvendo pelo menos 2 iterações. R: (a) x 2 = ( , ) R: (b) x 2 = ( , ) 49

50 Parte II. Métodos Numéricos para Problemas de Valor Inicial 50

51 5. Método de Euler A maior parte das equações diferenciais de interesse na engenharia não possuem solução analítica conhecida. Além disso, em muitos casos as soluções analíticas co-nhecidas são difíceis de serem utilizadas, por exemplo quando envolvem séries innitas ou integrais sem resolução analítica. Nestes casos é mais conveniente a utilização de ferramentas numéricas para a resolução das equações. Existem basicamente três formas de analisar equações diferenciais: através de métodos analíticos, métodos qualitativos e métodos numéricos. Os métodos analíticos permite estabelecer uma relação direta entre as variáveis dependentes e independentes através de funções válidas em um determinado intervalo. Os métodos qualitativos envolvem a análise do comportamento geral da equação sem necessariamente buscar uma solução, como por exemplo através da construção do campo de direções. Os métodos de resolução numérica permitem que a solução seja estimada para uma dada condição inicial e um conjunto de parâmetros especícos. A ideia geral é de que é possível obter aproximações da solução de uma determinada EDO avançando em pontos que estão a uma distância t da condição inicial. Diferentemente dos métodos analíticos, a solução obtida através de métodos numéricos é válida somente para um conjunto de parâmetros especícos e para uma dada condição inicial. Caso esta condição inicial ou algum parâmetro sejam alterados, deve-se resolver o problema novamente. A determinação de qual forma de análise deve ser utilizada irá depender tanto das características das equações diferenciais que estão sendo avaliadas quanto de que tipo de informação está se buscando. Assim como para o caso da resolução de sistemas de equações algébricas, existem diversos métodos que podem ser utilizados para a resolução de sistemas de equações diferenciais. Inicialmente será apresentado o método de Euler. Este método costuma ser pouco eciente para a resolução de sistemas complexos, porém diversos conceitos fundamentais dos métodos de resolução podem ser mais facilmente apresentados através deste método. 51

52 5.1. Método de Euler O método de Euler é o método mais simples para a aproximação da solução de EDO's. Considere o seguinte problema de valor inicial de primeira ordem: y = dy dt = f(t, y) y(t 0) = y 0 A solução deste PVI passa obrigatoriamente pelo ponto (t 0, y 0 ). O objetivo do método de Euler é estimar o valor da solução y(t) em um ponto com uma distância t do ponto inicial t 0. Este ponto passa a ser chamado de t 1 = t 0 + t, de modo que o do método de Euler é determina o valor da solução em t 1, y 1 = y(t 1 ). A partir deste valor, pode-se estimar o valor da função em um ponto t 2 distante t do ponto t 1 e continuar com este procedimento até se obter uma aproximação para a solução por quantos pontos forem necessários. Esta classe de métodos são chamados de métodos passo-a-passo. Para avaliar o termo y 1 = y(t 0 + t), pode-se aplicar uma expansão em séries de Taylor em torno do ponto t 0 : y(t 1 ) = y(t 0 + t) = y 0 + ty (t 0 ) + t2 2! y (t 0 ) + t3 3! y (t 0 ) +... Considerando que o espaçamento t seja muito pequeno, os termos t 2, t 3, etc. podem ser desprezados. Com isso: y(t 0 + t) = y 1 y 0 + ty (t 0 ) Considerando também que y = f(t, y), a relação anterior pode ser reescrita como: y 1 = y 0 + tf(t 0, y 0 ) De forma geral, a relação anterior pode ser utilizada para estimar a solução para qualquer valor y n+1 com base no valor para y n : y n+1 = y n + tf(t n, y n ) Como o valor no novo ponto y n+1 é calculado com base somente em valores no ponto anterior (já conhecidos), este método é dito explícito. Estrutura de um código para resolver uma EDO dy/dt = f(t, y) utilizando o método de Euler: Passo 1: Denir f(t, y); Passo 2: Denir os valores iniciais t[1] = t 0, y[1] = y 0 ; Passo 3: Denir o tamanho do passo t e o número de passos n; Passo 4: Para i = 1 até i = n calcular: k 1 = f(t[i], y[i]) y[i + 1] = y[i] + t k 1 (5.1) t[i + 1] = t[i] + t 52

53 Passo 5: Plotar os resultados. Exemplo 01): Utilizando o método de Euler, obtenha a solução aproximada até t = 0.5 para o seguinte PVI, utilizando t = 0.1: dy dt = 2t y y(0) = 1 Neste caso f(t, y) = 2t y. No ponto inicial temos: t 0 = 0 y 0 = 1 Como o passo t é constante, os valores de t n são automaticamente denidos, t 1 = t 0 + t = 0.1, t 2 = t 1 + t = 0.2,... Avaliando y 1 = y(t 1 ) = y(0.1): Repetindo para os próximos passos: y 1 = y 0 + tf(t 0, y 0 ) = ( 2 0 ( 1)) = 0.9 y 2 = y 1 + tf(t 1, y 1 ) = ( ( 0.9)) = 0.83 y 3 = y 2 + tf(t 2, y 2 ) = ( ( 0.83)) = y 4 = y 3 + tf(t 3, y 3 ) = ( ( 0.787)) = y 5 = y 4 + tf(t 4, y 4 ) = ( ( )) = Para comparação, a solução exata da equação diferencial é: y(t) = 3e t 2t + 2 sendo que para os pontos avaliados a solução exata é: y 0 = 1 y 1 = y 2 = y 3 = y 4 = y 5 = Exemplo 02): Utilizando o método de Euler, obtenha a solução aproximada para t = 1 para o seguinte PVI, utilizando t = 0.2: dy dt = 2t2 y 2 y(0) = 1 Com base nos dados fornecidos, t 0 = 0 e y 0 = 1. Como t = 0.2, temos que t 1 = 0.2, t 2 = 0.4, t 3 = 0.6, t 4 = 0.8 e t 5 = 1. Avaliando os termos intermediários: y 1 = y (2 t 2 0y 2 0) = ( ) = 1 53

54 y 2 = y (2 t 2 1y1) 2 = ( ) = y 3 = y (2 t 2 2y2) 2 = ( ) = y 4 = y (2 t 2 3y3) 2 = ( ) = y 5 = y (2 t 2 4y4) 2 = ( ) = A solução exata em t = 1 é y(1) = 3, portanto a solução obtida está com um erro signicativo. Por este exemplo, ca claro que é fundamental avaliar os erros associados à utilização do método de Euler Erro Associado ao Método de Euler A utilização de métodos numéricos sempre leva à obtenção de soluções aproximadas. importante propriedade dos métodos numéricos é a convergência. Um método é dito convergente quando a solução obtida tende à solução exata quando o espaçamento t 0. Na resolução de EDO's pelo método de Euler (ou por qualquer outro método), existem duas fontes de erros: - Erros de truncamento: erros associados com o truncamento da expansão em série de Taylor no segundo termo. Como a determinação do ponto y n+1 depende do valor de y n, o erro de truncamento pode aumentar rapidamente ao longo da resolução. Para reduzir os erros de truncamento, pode-se reduzir o passo de tempo t. - Erros de arredondamento: erro associado à precisão dos valores numéricos utilizados (número de dígitos signicativos: 6-9 para precisão única e para precisão dupla). Quanto maior for o número de operações necessárias, maior será o erro de arredondamento. Assim, uma maneira de reduzir este erro é aumentar o passo de tempo, de modo que menos passos precisam ser resolvidos para atingir o tempo desejado. Dessa forma, conforme o passo de tempo aumenta, o erro de arredondamento diminui e o de truncamento aumenta. Por isso, existe um ponto ótimo onde o erro total é mínimo, como ilustrado na gura a seguir. Usualmente os erros de arredondamento são menos signicativos, por isso a tendência é que passos pequenos gerem melhores resultados. Como visto anteriormente, pode-se obter o valor de uma função y(t) em um ponto t n+1 com base no valor em t n através de uma expansão em séries de Taylor: y n+1 = y n + t y (t n ) + t2 2! y (t n ) + t2 3! y (t n ) +... A diferença entre o valor exato de y n+1 e o valor aproximado obtido com o uso do método de Euler corresponde ao erro local de truncamento (para um determinado valor de n): e n+1 = t2 2! y (t n ) + t2 3! y (t n ) Uma

55 Nesta forma, o erro ainda representa uma série innita. utilizar a fórmula de Taylor com resto de Lagrange: Para evitar este problema, pode-se y n+1 = y n + t y (t n ) + t2 2! y (c) onde c [t n, t n+1 ]. Este resultado é uma extensão do teorema do valor médio, que diz que dada uma função contínua f denida num intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a,b), existe algum ponto c em (a,b) tal que : f (c) = f(b) f(a) b a Utilizando a relação anterior, o erro e n+1 pode ser avaliado como: e n+1 = y (c) 2 t2 Como y (c) é uma constante (valor nito), temos que: e n+1 = O( t 2 ) ou seja, o erro local é da ordem de t 2. Como cada passo gera um erro local, quanto mais passos forem utilizados, maior será o acúmulo de erros. Por isso, quando o valor y n+1 estiver sendo determinado, o erro associado à determinação do valor de y n também deve ser considerado. Para n passos, o erro global E n pode ser avaliado como: E n+1 = e n+1 n = O(h 2 ) n = O(h 2 ) n h h onde h = t. Novamente, como t n é um escalar: E n+1 = O(h) = O(h)t n Assim, o erro global no método de Euler é da ordem do tamanho do passo utilizado. Esta relação mostra que o erro tende a zero conforme h 0 e portanto o método é convergente. De forma geral, 55

56 um dado método é convergente quando: E n+1 = O(h p ) p > 0 Neste caso, o método possui ordem p, portanto, o método de Euler é um método de primeira ordem. Métodos de ordem superior convergem mais rapidamente para a solução exata (não exigem passos tão pequenos), sendo por isso mais indicados que os métodos de primeira ordem. A utilização de um passo muito pequeno (tendendo a zero) é impraticável, pois exigiria um tempo computacional demasiadamente alto, além de fazer com que os erros de arredondamento aumentassem rapidamente. Um procedimento simples que pode na maioria dos casos ser utilizado para determinar se o passo utilizado é adequado é resolver o problema com valores de t gradativamente menores. A partir de um determinado ponto as soluções obtidas serão muito parecidas, sendo que uma maior redução em t a partir deste ponto não irá reduzir o erro global de forma signicativa e irá aumentar o erro de arredondamento Método de Euler para Sistemas de EDO's O método de Euler explícito pode ser estendido para aplicação em sistemas de EDO's de primeira ordem. Considere o seguinte sistema de PVI's: dx dt = f(t, x, y) x(0) = x 0 dy dt = g(t, x, y) y(0) = y 0 De forma semelhante ao realizado para uma única equação, pode-se partir das condições iniciais e ir avançando ao longo de t com base nos valores já conhecidos: x n+1 = x n + t f(t n, x n, y n ) y n+1 = y n + t g(t n, x n, y n ) Generalizando para um sistema de m equações da forma: dy 1 dt = f 1(t, y 1, y 2, y 3,..., y m ) dy 2 dt = f 2(t, y 1, y 2, y 3,..., y m ) dy 3 dt = f 3(t, y 1, y 2, y 3,..., y m ) dy m dt. = f m (t, y 1, y 2, y 3,..., y m ) y 1 (t 0 ) = y0 1 y 2 (t 0 ) = y0 2 y 3 (t 0 ) = y0 3. y m (t 0 ) = y0 m (5.2) 56

57 A utilização do método de Euler explícito implica em: y 1 n+1 y 2 n+1 y 3 n+1. yn 1 f 1 (t n, y n, 1 yn, 2..., yn m ) yn 2 f 2 (t n, yn, 1 yn, 2..., y m n ) = y ṇ 3 + t f 3 (t n, yn, 1 yn, 2..., y m n ).. f m (t n, yn, 1 yn, 2..., yn m ) yn+1 m yn m (5.3) A aplicação do método para resolução de sistemas também permite que ele seja utilizado para a resolução de equações de ordem maior que 1. Por exemplo, considere o seguinte PVI: d 2 ( y dx 2 = f x, y, dy ) dx y(0) = y 0 dy = y 1 dx x=0 Esta equação pode ser transformada em um sistema de primeira ordem através da denição de uma variável adicional u: u = dy dx Com isso, o PVI pode ser reescrito como: d 2 y dx 2 = du dx dy dx = u y(0) = y 0 du dx = f (x, y, u) u(0) = y 1 Este procedimento pode ser aplicado para escrever uma EDO de qualquer ordem como um sistema de EDO's de primeira ordem. Exemplo 03: Utilizando o método de Euler, obtenha a solução aproximada para os três primeiros passos de tempo para o seguinte sistema, considerando t = 0.1: dx dt = y x(0) = 0 dy dt = x y + 3y y(0) = 2 Desse modo, f(t, x, y) = y e g(t, x, y) = x y + 3y. Exemplo 04: Determine o valor de y(t) em t = 0.2 utilizando como passo de tempo t = 0.1: d 3 y dx 3 + x d2 y dx 2 3y = 0 y(0) = 0 dy = 2 dx x=0 Denindo das variáveis adicionais: d 2 y dx 2 x=0 = 1 u = dy dx v = du dx = d2 y dx 2 57

58 Com isto, a equação anterior é retomada como: du dx = v u(0) = 2 dy dx = u y(0) = 0 dv dx + xv + 3y = 0 v(0) = 1 58

59 Lista de Exercícios 05 - Método de Euler 1) Utilizando o método de Euler explícito e considerando t = 0.25, determine o valor aproximado da solução dos seguintes PVI's para t 1 = t 0 + t, t 2 = t t, t 3 = t t (ou seja, para os 3 primeiros passos de tempo), onde t 0 é o valor de t onde a condição inicial é especicada: a) dy dt = y2 t, b) dy dt = e2/y y(0) = 2 y( 1) = 1 c)e y dy dt + t2 y 2 = 0 y(1) = 1 d) dy dt + y t 2 = 2te1/t y(1) = e 2) Utilizando o método de redução de ordem e o método de Euler explícito, obtenha a solução aproximada dos seguintes PVI's para os quatro primeiros passos de tempo, considerando t = 0.1. a) d2 y dt 2 + tdy dt = et, y(0) = 0 b) sin(t) d2 y dt 2 + dy dt = 2t3 + 1, dy = 1 dt t=0 y(1) = π dy = 0 dt t=1 3) As equações de Lotka-Volterra, também chamadas de equação presa-predador, são um conjunto de EDO's não-lineares muito empregadas para descrever a dinâmica de sistemas biológicos. Estas equações são dadas por: dx = αx βxy dt dy = δxy γy dt onde x representa o número de presas, y o número de predadores e α, β, γ e δ são constantes positivas. Considere um ambiente contento lobos e coelhos, onde estas constantes assumem os valores de α = 0.3 β = 0.5, γ = 0.6 e δ = 1, sendo que o número de indivíduos é dado em milhares e o tempo em meses. Obtenha a variação no número de coelhos (x(t)) e lobos (y(t)) entre t = 0 e t = 16, considerando que para t = 0 temos x = 1.2 e y = 0.3. Utilize t =

60 4) Utilizando o método de Euler explícito, obtenha a solução aproximada do seguinte PVI no intervalo 0 t 1, utilizando diferentes valores de t: (i) t = 0.25, (ii) t = 0.1, (iii) t = 0.05 e (iv) t = 0.01: dy dt = t + y y(0) = 4 5) Descreva as principais diferenças entre um método de marcha no tempo, como o método de Euler, e um método iterativo, como por exemplo os métodos de Jacobi e Newton. 60

61 6. Métodos de Runge-Kutta A utilização do método de Euler para a resolução de problemas típicos da engenharia usualmente implica no uso de passos de tempo muito pequenos para garantir a convergência. Normalmente, melhores resultados são obtidos com o uso de métodos de maior ordem ou que ao menos possuam características de convergência mais atrativas. Como visto na aula passada, o método de Euler possui diversas limitações que restringem o seu uso a problemas muito especícos. Dentre as principais causas destas limitações pode-se citar os termos desprezados na expansão em série de Taylor, a necessidade de utilizar passos de tempo muito pequenos e o fato de que o método considera que o valor da derivada y (t i ) é constante em todo o intervalo (t i, t i+1 ). O método de Euler serviu como base para o desenvolvimento de métodos gradativamente mais complexos e com melhor desempenho. O método de Euler e outros métodos explícitos de maior ordem fazem parte de uma família de métodos numéricos mais abrangentes chamados de métodos de Runge-Kutta (RK). O método de Euler corresponde ao método RK de primeira ordem. Além dos métodos RK, outras abordagens podem ser empregadas, como por exemplo a utilização de métodos implícitos e os métodos de passos múltiplos. A seguir serão apresentadas três modicações do método de Euler que pertencem a estas categorias. Assim como para o método de Euler, o objetivo continua sendo buscar uma solução aproximada para o PVI: dy dt = f(t, y) y(t 0) = y Método de Euler Aprimorado (Fórmula de Heun) Este método faz parte da categoria de passos múltiplos, onde os valores da derivada em mais de um ponto são utilizados para determinar o próximo ponto. A fórmula de Heun é uma modicação simples do método de Euler e consiste em uma abordagem preditiva-corretiva. O passo inicial consiste determinar um valor preditor com base no método de Euler: yn+1 = y n + t f(t n, y n ) 61

62 A partir deste valor, é calculada uma etapa corretora com base no valor médio da função avaliada em y n e no valor preditor y n+1 : y n+1 = y n + t 2 (f(t n, y n ) + f(t n+1, y n+1)) Esta fórmula representa uma correção do valor estimado anteriormente y n+1. Para implementar computacionalmente este método, pode-se utilizar a mesma estrutura geral apresentada para o método de Euler, sendo necessário somente modicar o passo 4: Passo 4: Para i = 1 até i = n calcular: k1 = f(t[i], y[i]) yp[i + 1] = y[i] + t k 1 t[i + 1] = t[i] + t k2 = f(t[i + 1], yp[i + 1]) y[i + 1] = y[i] + ( t/2)(k1 + k2) Exemplo 01) Repita o exemplo visto anteriormente utilizando a fórmula de Euler aprimorada. Lembrando do PVI ( t = 0.2): dy dt = 2t2 y 2 y(0) = 1 A resolução com o método de Euler modicado envolve mais etapas: - Passo 1: k1 = f(t 0, y 0 ) = 0 yp 1 = y 0 + t k1 = 1 t 1 = t 0 + t = Passo 2: k2 = f(t 1, yp 1 ) = 0.08 y 1 = y 0 + ( t/2) (k1 + k2) = k1 = f(t 1, y 1 ) = yp 2 = y 1 + t k1 = t 2 = t 1 + t = Passo 3: k2 = f(t 2, yp 2 ) = y 2 = y 1 + ( t/2) (k1 + k2) = k1 = f(t 2, y 2 ) = yp 3 = y 2 + t k1 = t 3 = t 2 + t = Passo 4: k2 = f(t 3, yp 3 ) = y 3 = y 2 + ( t/2) (k1 + k2) = k1 = f(t 3, y 3 ) = yp 4 = y 3 + t k1 = t 4 = t 3 + t =

63 k2 = f(t 4, yp 4 ) = y 4 = y 3 + ( t/2) (k1 + k2) = Passo 5: k1 = f(t 4, y 4 ) = yp 5 = y 4 + t k1 = t 5 = t 4 + t = 1 k2 = f(t 5, yp 5 ) = y 5 = y 4 + ( t/2) (k1 + k2) = Para comparação, a solução exata para t = 0.8 é y = e para t = 1 é y = Método de Euler Implícito (Inverso) O método de Euler explícito utiliza a inclinação da reta tangente no ponto n para estimar o valor da solução no ponto n + 1: y n+1 = y n + t (f(t n, y n )) De forma alternativa, poderia-se utilizara a inclinação da reta tangente no próprio ponto n + 1. Esta formulação dá origem ao método de Euler implícito ou inverso ou regressivo: y n+1 = y n + t (f(t n+1, y n+1 )) Como a variável y n+1 aparece nos dois lados da igualdade, pode ser necessário utilizar algum método iterativo para a resolução do problema, caso não seja possível explicitar o valor y n+1. Para EDO's lineares sempre é possível isolar y n+1, no entanto para não-lineares isso usualmente não é possível. Esta formulação representa um método implícito, pois a variável y n+1 depende implicitamente dela mesmo. Assim como a formulação explícita, este método representa uma aproximação de primeira ordem, porém, como será visto nas próximas aulas, os métodos implícitos possuem uma grande vantagem sobre os explícitos em relação à estabilidade do método. Exemplo 02) Resolva o seguinte PVI utilizando o método de Euler implícito, com t = 0.1 até t = 0.3: dy dt = t2 + ty y(0) = Regra do Ponto Médio Lembrando da Fórmula de Taylor com o resto de Lagrange: y n+1 = y n + t y (t n ) + t2 2! y (c) 63

64 Quando os termos de segunda ordem são desconsiderados, obtém-se o método de Euler explícito. Uma maneira de se conseguir uma aproximação mais precisa (com maior ordem) é considerar um maior número de termos na expansão. Por exemplo, caso o termo de terceira ordem também for considerado, temos que: onde novamente c (t n, t n+1 ). y n+1 = y n + t y (t n ) + t2 2! y (t n ) + t3 3! y (c) De forma semelhante, pode-se substituir t por t para se obter uma aproximação para y n 1 : onde d (t n 1, t n ). y n 1 = y n t y (t n ) + t2 2! y (t n ) t3 3! y (d) Fazendo a expansão para y n+1 menos a expansão para y n 1 : y n+1 y n 1 = 2 ty (t n ) + y (c) + y (d) t 3 3! Novamente, como as derivadas y (c) e y (d) são dois escalares, a relação anterior pode ser expressa como: Desconsiderando os termos de terceira ordem: y n+1 = y n ty (t n ) + O( t 3 ) y n+1 = y n ty (t n ) Esta relação é conhecida como regra do ponto médio e representa uma aproximação de segunda ordem para y n+1. Esta fórmula depende do conhecimento do valor da variável em três pontos, por isso não pode ser utilizara para determinar y 1, já que y 1 não existe. Outra relação pode ser utilizada para determinar o ponto y 1, e a relação anterior pode ser usada para os demais pontos. Comparando com o método de Euler explícito: y n+1 = y n + ty (t n ) y (t n ) = y n+1 y n t y n+1 = y n ty (t n ) y (t n ) = y n+1 y n 1 2 t Exemplo 07:) Utilize a regra do ponto médio para resolver o seguinte PVI até t = 0.3, utilizando t = 0.1: dy dt = y + 2t + t2 y(0) = 1 Para avaliar o primeiro ponto, pode-se utilizar alguma formulação distinta. Como a regra do ponto médio é um método de segunda ordem, é recomendável a utilização de outro método de segunda ordem para não haver uma perda muito grande de precisão. 64

65 Utilizando o método de Euler aprimorado: k1 = f(t 0, y 0 ) = 1 yp 1 = y 0 + t k1 = 1.1 t 1 = t 0 + t = 0.1 k2 = f(t 1, y 1 ) = 1.31 y 1 = y 0 + ( t/2)(k1 + k2) = A partir dos valores conhecidos para y 0 e y 1, pode-se agora determinar os demais pontos: y 2 = y tf(t 1, y 1 ) = ( ) = y 3 = y tf(t 2, y 2 ) = ( ) = Métodos de Runge-Kutta Os métodos de Runge-Kutta (RK) utilizam a aproximação em série de Taylor para obter formulações de alta ordem sem necessitar o cálculo das derivadas de alta ordem. De forma geral, estes métodos podem ser expressos de forma geral como: y i+1 = y i + tφ(t i, y i, t) onde a função φ(t i, y i, t) é chamada de incremento e pode ser interpretada como uma representação da inclinação no intervalo entre t i e t i+1. Como esta função só depende de pontos já conhecidos, os métodos de Runge-Kutta clássicos são explícitos. Para um método de ordem n, a função incremento costuma ser expressa na seguinte forma: φ(t i, y i, t) = a 1 k 1 + a 2 k 2 + a 3 k a n k n onde a 1, a 2, a 3,..., a n são constantes e os termos k i são dados por: k 1 = f(t i, y i ) k 2 = f(t i + p 1 t, y i + q 11 k 1 t) k 3 = f(t i + p 2 t, y i + q 21 k 1 t + q 22 k 2 t). k n = f(t i + p n 1 t, y i + q n 1,1 k 1 t + q n 1,2 k 2 t q n 1,n 1 k n 1 t) onde os termos p i e q ij são constantes. Como pode ser observado, a determinação do parâmetros k n depende os valores k i onde i < n. 65

66 Por exemplo, para um método de primeira ordem a função incremento é avaliada como: φ(t i, y i, t) = a 1 k 1 onde k 1 = f(t i, y i ). Substituindo na expressão para a forma geral dos métodos de Runge-Kutta: y i+1 = y i + t(a 1 f(t i, y i )) Os métodos RK estão baseados diretamente na expansão em série de Taylor em torno do ponto y i. Como visto anteriormente, a expansão de primeira ordem resulta em: y i+1 = y i + tf(t i, y i ) Comparando os termos semelhantes com a equação anterior, observa-se que a 1 = 1. O método de Runge-Kutta de primeira ordem corresponde, de fato, ao método de Euler Método de Runge-Kutta de 2 a Ordem Considere agora que se deseja obter uma aproximação de segunda ordem. Neste caso, temos que: y i+1 = y i + (a 1 k 1 + a 2 k 2 ) t k 1 = f(t i, y i ) k 2 = f(t i + p 1 t, y i + q 11 k 1 t) Para determinar os valores de a 1, a 2, p 1 e q 11 pode-se primeiramente avaliar a expansão em séries de Taylor de segunda ordem em torno de y i é dada por: y i+1 = y i + tf(t i, y i ) + df t 2 dy 2 Considerando que f = f(t, y), a derivada total de f em relação a t é dada por: Substituindo na expressão anterior: df dt = f t + f dy y dt y i+1 = y i + tf(t i, y i ) + ( f t + f y ) dy t 2 dt 2 Utilizando um procedimento semelhante, pode-se utilizar a expansão em séries de Taylor para expandir a própria função f(t, y). Lembrando, para uma função de duas variáveis, a expansão em série de Taylor é dada por: f(x, y) = f(x 0, y 0 ) + f x (x x 0) + f y (y y 0)+ ( 1 2 f 2! x 2 (x x 0) f x y (x x 0)(y y 0 ) + 2 f y 2 (y y 0) 2 66 ) +...

67 De forma equivalente, pode-se avaliar a função em um ponto qualquer f(x + a, y + b) com base no valor de f(x, y). Considerando uma aproximação de primeira ordem: f(x + a, y + b) = f(x, y) + f x a + f y b Assim, considerando a denição de k 2, o termo f(t i +p 1 t, y i +q 11 k 1 t) pode ser expresso como: k 2 = f(t i + p 1 t, y i + q 11 k 1 t) = f(t i, y i ) + p 1 t f t + q 11k 1 t f y Substituindo os valores de k 1 e k 2 na expressão para y i+1 = y i + (a 1 k 1 + a 2 k 2 ) t e colocando os termos de mesma ordem em evidência: ( f y i+1 = y i + (a 1 f(t i, y i ) + a 2 f(t i, y i )) t + a 2 p 1 t + a 2q 11 f(t i, y i ) f ) t 2 y Comparando com a equação obtida anteriormente: ( f y i+1 = y i + tf(t i, y i ) + t + f y ) dy t 2 dt 2 Igualando os coecientes com os termos de mesma ordem, observa-se que as seguintes relações devem ser satisfeitas: a 1 + a 1 = 1 a 2 p 1 = 1/2 a 2 q 11 = 1/2 Este sistema possui três equações e quatro variáveis, portanto não existe solução única. No entanto, a partir do momento em que um dos valores é especicado, os demais podem ser calculados. Isto implica que existem innitas formulações para o método de Runge-Kutta de segunda ordem. Euler Modicado (a 2 = 0.5) Assumindo que a 2 = 0.5, obtém-se que a 1 = 0.5 e p 1 = q 11 = 1. Assim, o método de Runge-Kutta de segunda ordem resulta em: k 1 = f(t i, y i ) k 2 = f(t i + t, y i + k 1 t) y i+1 = y i + (k 1 + k 2 ) t 2 Este método corresponde ao método de Euler modicado (fórmula de Heun). 67

68 Regra do Ponto Médio (a 2 = 1) Fazendo a 2 = 1, temos que a 1 = 0 e p 1 = q 11 = 1/2: k 1 = f(t i, y i ) k 2 = f(t i + t/2, y i + k 1 t/2) y i+1 = y i + k 2 t Esta formulação corresponde ao método de Euler modicado com base na regra do ponto médio. Método de Ralston (a 2 = 2/3) Fazendo a 2 = 2/3, os demais valores são avaliados como a 1 = 1/3 e p 1 = q 11 = 3/4: k 1 = f(t i, y i ) k 2 = f(t i + 3 t/4, y i + 3k 1 t/4) y i+1 = y i + (k 1 /3 + 2k 2 /3) t Esta formulação é chamada de Método de Ralston Método de Runge-Kutta de 4 a Ordem Seguindo o mesmo procedimento mostrado anteriormente para uma aproximação de quarta ordem, obtém-se o método RK4. Este é possivelmente o método mais empregado para a resolução de PVI's, devido a sua alta precisão e por ser um método explícito. Neste caso, os parâmetros k 1, k 2, k 3 e k 4 são avaliados como: k 1 = f(t i, y i ) k 2 = f(t i + t/2, y i + k 1 t/2) k 3 = f(t i + t/2, y i + k 2 t/2) k 4 = f(t i+1, y i + k 3 t) Com base nestes valores, o ponto y n+1 é avaliado como: y n+1 = y n + (1/6)(k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4) A utilização de passos de tempo t constantes para todos os casos possui uma série de desvantagens, especialmente porque em muitos casos a equação pode precisar de valores muito pequenos 68

69 para manter a precisão em alguns pontos, enquanto que em outros pontos valores maiores poderiam ser utilizados para reduzir o número de cálculos realizados. Muitos softwares utilizam uma abordagem que determina localmente o tamanho necessário para os passos, através da comparação dos resultados obtidos com RK4 e uma formulação de Runge- Kutta de quinta ordem (ex. ode45 do Matlab). Exemplo 08:) Utilize o método RK4 para resolver o seguinte PVI, adotando t = 0.1 até t = 0.3: dy dt = y + 2t y(0) = 2 69

70 Lista de Exercícios 06 - Métodos de Runge-Kutta 1) Obtenha a solução dos seguintes PVI's no intervalo 0 t 0.4 através dos métodos de Euler explícito e implícito, considerando t = 0.1. Compare os valores obtidos com a solução exata e calcule o desvio: a) dy dt = t2 y + sin(t) y(0) = π R: desvios para t = 0.4: y = 1.33% (exp.), 1.495% (imp.) b) dy = 5y y(0) = 10 dt R: desvios para t = 0.4: y = 53.81% (exp.), 45.95% (imp.) 2) Considere o seguinte PVI: dy dt = 10 ln(y) + 3ty2 y(0) = 1 a) Utilize o método Euler aprimorado (Fórmula e Heun) para estimar a solução até t = 1, utilizando t = 0.25; R: y(1) = b) Compare o resultado do item (a) com o obtido com o método de Euler modicado com a regra do ponto médio. R: y(1) = ) O método de Runge-Kutta de terceira ordem é denido da seguinte forma: k 1 = f(t n, y n ) Considere o seguinte PVI: k 2 = f(t n + t/2, y n + tk 1 /2) k 3 = f(t n+1, y n tk tk 2 ) y n+1 = y n + (1/6)(k 1 + 4k 2 + k 3 ) dy dt = t y + 7y y(0) = 4 a) Utilize o método de Euler explícito (1 a ordem), o método de Euler aprimorado (2 a ordem) e os métodos de Runge-Kutta de 3 a e 4 a ordem para estimar a solução para t = 0.4, utilizando t = 0.1. Compare com a solução exata y(0.4) = R: y(0.4) = (Euler exp.), y(0.4) = (Euler aprim.), y(0.4) = (RK3), y(0.4) = (RK4) 70

71 b) Faça um esboço de um algoritmo que possa ser utilizado par resolver a equação utilizando, ao mesmo tempo, o método de Runge-Kutta de terceira e quarta ordens. Crie um vetor que armazene a diferença entre o valor obtido com cada um dos métodos para cada passo de tempo. 4) A reação irreversível onde duas moléculas de dicromato de potássio (K 2 Cr 2 O 7 ), duas moléculas de água e três átomos de enxofre reagem para formar três moléculas de gás dióxido de enxofre (SO 2 ), quatro moléculas de hidróxido de potássio sólido (KOH) e duas moléculas de óxido de cromo (Cr 2 O 3 ) pode ser representada estequiometricamente por: 2K 2 Cr 2 O 7 + 2H 2 O + 3S 4KOH + 2Cr 2 O 3 + 3SO 2 Se n 1 moléculas de K 2 Cr 2 O 7, n 2 moléculas de H 2 O e n 3 moléculas de S estão inicialmente disponíveis, a variação na quantidade de KOH ao longo do tempo (x(t)) é dada por: dx (n dt = k 1 x ) 2 ( n 2 x ) ( 2 n 3 3x ) onde k é a constante de velocidade de reação. Considerando que k = , n 1 = n 2 = e n 3 = , implemente um algoritmo utilizando o método de Runge-Kutta de quarta ordem para determinar quantas unidades de hidróxido de potássio será formada após 0.5 segundos, sendo que inicialmente o sistema está isento de hidróxido de potássio. Considere t = Repita o exemplo utilizando t = 0.1. R: x(0.5) = unidades 5) Obtenha o valor de y para t = 2 para o seguinte PVI: dy dt = (1 + 2t) y y(1) = 1 Utilize um passo t = 0.25 e resolva através dos seguintes métodos: a) Analiticamente; R: y(2) = 9 b) Método de Euler explícito; R: y(2) = 7.02 c) Método de Heun; R: y(2) = d) Método de Ralston; R: y(2) = e) RK4. R: y(2) =

72 7. Runge-Kutta Adaptativo e Métodos de Passos-Múltiplos 7.1. Método de Runge-Kutta para Sistemas O método de Runge-Kutta pode ser utilizado para a resolução de sistemas de EDO's. Considere, por exemplo, um sistema com duas equações: dy dt = f(y, x, t) y(t 0) = y 0 dx dt = g(y, x, t) x(t 0) = x 0 Neste caso os parâmetros k 1,..., k 4 irão depender de qual equação está sendo avaliada: k y 1 = f(t n, y n, x n ) k1 x = g(t n, y n, x n ) k y 2 = f(t n + t/2, y n + k y 1 t/2, x n + k1 x t/2) k2 x = g(t n + t/2, y n + k y 1 t/2, x n + k1 x t/2) k y 3 = f(t n + t/2, y n + k y 2 t/2, x n + k2 x t/2) k3 x = g(t n + t/2, y n + k y 2 t/2, x n + k2 x t/2) k y 4 = f(t n + t, y n + k y 3 t, x n + k3 x t) k4 x = g(t n + t, y n + k y 3 t, x n + k3 x t) Com base nestes valores, a solução no ponto n + 1 pode ser aproximada: Considere agora um sistema de m equações: y n+1 = y n + t 6 (ky 1 + 2ky 2 + 2ky 3 + ky 4 ) x n+1 = x n + t 6 (kx 1 + 2k x 2 + 2k x 3 + k x 4 ) 72

73 dy 1 dt = f 1(t, y 1, y 2, y 3,..., y m ) dy 2 dt = f 2(t, y 1, y 2, y 3,..., y m ) dy 3 dt = f 3(t, y 1, y 2, y 3,..., y m ) dy m dt. = f m (t, y 1, y 2, y 3,..., y m ) y 1 (t 0 ) = y0 1 y 2 (t 0 ) = y0 2 y 3 (t 0 ) = y0 3. y m (t 0 ) = y0 m (7.1) Neste caso, as quantidades k 1, k 2, etc. passam a ser vetores com m componentes: f 1 (x n, y n, 1 yn, 2..., yn m ) f k 1 = 2 (x n, yn, 1 yn, 2..., y m n ). f m (x n, yn, 1 yn, 2..., yn m ) f 1 (x n + t/2, yn 1 + t k 1 [1]/2, yn 2 + t k 1 [2]/2,... yn m + t k 1 [m]/2) f k 2 = t 2 (x n + t/2, yn 1 + t k 1 [1]/2, yn 2 + t k 1 [2]/2,... y m n + t k 1 [m]/2). f m (x n + t/2, yn 1 + t k 1 [1]/2, yn 2 + t k 1 [2]/2,... yn m + t k 1 [m]/2) f 1 (x n + t/2, yn 1 + t k 2 [1]/2, yn 2 + t k 2 [2]/2,... yn m + t k 2 [m]/2) f k 3 = t 2 (x n + t/2, yn 1 + t k 2 [1]/2, yn 2 + t k 2 [2]/2,... y m n + t k 2 [m]/2). f m (x n + t/2, yn 1 + t k 2 [1]/2, yn 2 + t k 2 [2]/2,... yn m + t k 2 [m]/2) f 1 (x n + t, yn 1 + t k 3 [1], yn 2 + t k 3 [2],... yn m + t k 3 [m]) f k 4 = t 2 (x n + t, yn 1 + t k 3 [1], yn 2 + t k 3 [2],... y m n + t k 3 [m]). f m (x n + t, yn 1 + t k 3 [1], yn 2 + t k 3 [2],... yn m + t k 3 [m]) Com base nestes vetores, a solução para o sistema pode ser avaliada: y i n+1 = y i n + t 2 (k 1[i] + 2k 2 [i] + 2k 3 [i] + k 4 [i]) Exemplo 01:) Utilize o método RK4 para resolver os dois primeiros passos para o seguinte sistema, considerando t = 0.2: dy dt = 7y sin(x + 2t) y(0) = 1 73

74 Denindo: dx dt = 4x y2 x(0) = 0 f(t, y, x) = 7y sin(x + 2t) g(t, y, x) = 4x y 2 t 0 = 0 y 0 = 1 x 0 = 0 Para o primeiro passo de tempo, temos que: t 1 = t 0 + t = 0.2 Avaliando primeiramente k 1 para as duas equações: Avaliando agora k 2 k y 1 = f(t 0, y 0, x 0 ) = ( 7 (1) sin( )) = 0 k x 1 = g(t 0, y 0, x 0 ) = (4 (0) 1 2 ) = 1 k y 2 = f(t 0 + t/2, y 0 + tk y 1 /2, x 0 + tk x 1 /2) = ( 7 (1) sin( 1 0.2/ /2)) = Para k 3 : Para k 4 : k x 2 = g(t 0 + t/2, y 0 + tk y 1 /2, x 0 + tk x 1 /2) = (4 ( 1 0.2/2) (1) 2 ) = 1.4 k y 3 = tf(t 0 + t/2, y 0 + tk y 2 /2, x 0 + tk x 2 /2) = ( 7 ( ( )/2) sin((0.2 ( 1.4)/2) )) = k x 3 = tg(t 0 + t/2, y 0 + tk y 2 /2, x 0 + tk x 2 /2) = (4(0.2 ( 1.4)/2) ( ( )/2) 2 ) = k y 4 = f(t 1, y 0 + tk y 3, x 0 + tk x 3 ) = ( 7( ( )) sin((0.2 ( )) 2 (0.2))) = k x 4 = g(t 1, y 0 + tk y 3, x 0 + tk x 3 ) = (4(0.2 ( )) ( ( )) 2 ) = Agora os pontos y 1 e x 1 podem ser avaliados: y 1 = t 6 (ky 1 + 2ky 2 + 2ky 3 + ky 4 ) = x 1 = t 6 (kx 1 + 2k x 2 + 2k x 3 + k x 4 ) = Repetindo o procedimento para o próximo passo, obtém-se os seguintes coecientes: k y 1 = kx 1 = k y 2 = kx 2 = Com isso, obtém-se: k y 3 = kx 3 = k y 4 = kx 4 = y 2 = x 2 =

75 7.2. Métodos de Runge-Kutta Adaptativos Como visto anteriormente, o passo de tempo utilizado ( t) possui uma grande inuência no erro associado à resolução de equações diferenciais através de métodos numéricos. Além disso, o valor de t irá denir quantos passos serão necessários para atingir o tempo nal desejado. Para reduzir o gasto computacional envolvido, deve-se utilizar o maior passo de tempo possível que garanta que o erro esteja dentro do limite estabelecido. Para um grande número de problemas comuns na engenharia, a resolução pode necessitar de passos muito pequenos em um determinado intervalo de tempo e possibilitar que passos maiores sejam utilizados para os demais intervalos. Por exemplo, quando a solução representa um decaimento exponencial, usualmente nos instantes iniciais ocorre uma rápida variação na solução que tende a estabilizar conforme o tempo avança. Como consequência, passos de tempo pequenos são necessários nos instantes inicias, porém após um determinado tempo os passos podem ser aumentados sem que o erro seja superior ao especicado. Para evitar estes inconvenientes, pode-se utilizar um passo de tempo que se adapte a solução. A implementação deste tipo de algoritmo requer que o erro de truncamento local seja de alguma forma estimado ao longo da resolução (para cada passo de tempo). Apesar de isto gerar um gasto computacional extra, normalmente o ganho associado ao uso de passos adaptativos supera em muito este gasto. Existem duas formas duas abordagens distintas para implimentar métodos de Runge-Kutta com passo adaptativo. Uma delas consiste em estimar o erro através da diferença entre duas predições obtidas com passos diferentes usando um método de mesma ordem. A outra abordagem consiste em avaliar o erro local de truncamento através da comparação entre os resultados obtidos com métodos de ordem distintas, utilizado o mesmo passo de tempo Método de Passo Duplo O método adaptativo mais simples é o método de passo duplo, que consiste em avaliar cada ponto duas vezes, uma vez através de um único passo e outra através de dois passos com a metade do tamanho do primeiro. A diferença entre os dois resultados representa uma estimativa do erro de truncamento local. Por exemplo, quando o ponto y i+1 vai ser calculado com base no ponto y i, primeiramente calcula-se utilizando um passo t e na sequência calcula-se novamente y i+1 através de dois passos com tamanho t/2. Suponha que y1 representa o valor calculado em t + com o passo t e y 2 o valor calculado para o mesmo tempo t + t mas com o passo t/2, como ilustrado na gura a seguir. Por exemplo, considere o método de Runge-Kutta de primeira ordem (Euler explícito). Como 75

76 visto anteriormente, neste caso o erro de truncamento local é da ordem de t 2. Denindo a solução exata em t + t como x, pode-se denir a solução exata em termos de y 1 : x = y 1 + t 2 φ + O( t 3 ) onde φ é um escalar. De forma semelhante, para y 2 são necessários dois passos, de modo que: x = y ( t 2 ) 2 φ + O( t 3 ) = y 2 + t2 2 φ + O( t3 ) Desprezando os termos da ordem de t 3, igualando as duas expressões temos que: ( ) t 2 y1 + t 2 φ = y2 + 2 φ 2 Denindo = y 2 y 1 : = y 2 y 1 = t2 2 φ Assim, o termo representa uma estimativa do erro associado com y2. Para métodos de maior ordem, o parâmetro também irá representar uma estimativa do erro associado com y 2, porém neste caso o erro não será da ordem de t 2 mas irá depender da ordem do método utilizado. Por exemplo, para o método RK4, o parâmetro será da orde de t 5. Se o valor for inferior ao erro local permitido, pode-se aumentar o passo t, enquanto que se for maior que o erro permitido, deve-se diminuir t. Considere, por exemplo, que o erro máximo permitido seja e max = Se = y 2 y 1 < 10 6, valida-se o passo e utiliza-se o valor y2. Para corrigir o passo de tempo t, diferentes relações podem ser utilizadas, como por exemplo: t = ( emax ) α t onde t representa o passo de tempo antigo e t o valor corrigido. Como neste caso e max >, o valor novo obtido será maior que o anterior. O valor de α recomendado para este caso (e max > ) é de α =

77 Considerando agora que > e max. Neste caso, o passo é invalidado e deve ser recalculado com um passo menor. A relação utilizada para recalcular o passo é a mesma apresentada anteriormente, porém neste caso o valor corrigido será menor que o anterior e o valor recomendado para α é de α = Exemplo 02) Utilize o método de Runge-Kutta de quarta ordem juntamente com o método do passo duplo para estimar o valor de y(1.25). Considere que o erro de truncamento local não pode ser superior a 10 3 e como estimativa inicial para o passo de tempo considere t = 1: dy dt = 4e0.8t 0.5y y(0) = 2 Avaliando o primeiro passo com t = 1, obtemos y(1) = y 1 t = 0.5, a resolução de dois passos implica que y(1) = y2 = Assim: = Considerando agora = y 2 y 1 = Como o valor é superior ao erro máximo, deve-se refazer este passo. Recalculando o passo de tempo: ( ) t = 1 = Recalculando o primeiro passo de tempo com o novo valor de t, obtém-se que y1 = e y2 = , de modo que = Como o valor é inferior ao erro máximo, este ponto pode ser validado: t 1 = t 0 + t = y(t 1 ) = y 1 = Para avaliar o próximo passo, primeiramente pode-se avaliar um novo t: ( ) t = = Utilizando este valor, obtém-se qu para t 2 = t 1 + t = = , y1 = e y2 = , de modo que = Como o valor está acima do erro máximo, deve-se reduzir o passo de tempo: ( ) t = = Recalculado os valores, agora para t 2 = t 1 + t = = , obtém-se que y1 = e y 2 = , de modo que = Como o erro está abaixo do especicado, pode-se validar o passo. Assim: t 2 =

78 y(t 2 ) = y 2 = Como deseja-se saber y(1.25), o valor de t 2 já está acima do especicado. Para obter o valor no ponto t = 1.25, pode-se realizar uma interpolação linear entre os valores para t 1 e t 2 : y(1.25) = y 1 + (t ) (t 2 t 1 ) (y 2 y 1 ) = Método de Runge-Kutta-Fehlberg Outra alternativa para estimar o erro local de truncamento é avaliar um dado ponto através de métodos com ordem distinta. Por exemplo, pode-se avaliar a solução em um dado ponto y(t i+1 ) através de um método de segunda ordem (y i+1 ) e de um método de terceira ordem (y i+1). diferença entre os dois valores (y i+1 yi+1 ) representa uma estimativa do erro de truncamento neste ponto. Se os dois valores forem muito próximos, isto indica que a redução no passo de tempo não irá diminuir signicativamente o erro local de truncamento. A abordagem mais utilizada consiste em avaliar a solução em um ponto através de métodos de Runge-Kutta de quarta e quinta ordem, sendo que as estimativas de quarta ordem (y i+1 ) e de quinta ordem (y i+1 ) podem ser representadas como: onde: k 6 = f ( 37 yi+1 = y i + t 378 k k k k 6 ( 2825 y i+1 = y i + t k k k ) k k 6 k 5 = f k 4 = f k 3 = f k 2 = f k 1 = f(t i, y i ) ( t i + t 5, y i + t 5 k 1 ( t i + 3 t 10, y i + 3 t 40 k t ) 40 k 2 ( t i + 3 t 5, y i + 3 t 10 k 1 9 t 10 k t 5 k 3 ( t i + t, y i 11 t 54 k t 2 k 2 70 t 27 k t 27 k 4 ( t i + 7 t 8, y i t k t 512 k t k t k t 4096 k 5 Da mesma forma como para o método anterior, o erro associado com a estimativa do ponto y i+1 é avaliado como: = y i+1 y i+1 ) ) ) ) ) A 78

79 Com base neste valor, utiliza-se o mesmo critério apresentado anteriormente para corrigir o passo de tempo t, ou seja, se o erro for menor que o especicado aumenta-se o passo de tempo e se o erro for menor descarta-se o valor obtido e reduz-se o passo de tempo até que o erro esteja dentro do valor tolerável. As relações utilizadas para reduzir ou aumentar o passo são as mesmas apresentadas para o método do passo duplo Métodos de Passos Múltiplos Os métodos de passos múltiplos são aqueles onde a variável y n+1 é determinada com base nos valores desta variável em mais de um ponto, como por exemplo no método baseado na regra do ponto médio: y n+1 = y n ty (t n ) y (t n ) = y n+1 y n 1 2 t Os demais métodos, que determinam y n+1 com base somente nos valores de y n, são chamados de métodos de passo único. Como visto anteriormente, os métodos de passos múltiplos não iniciam automaticamente, sendo necessário avaliar alguns pontos iniciais através de outro método. Dentre os métodos de passos múltiplos, os mais utilizados são os da família dos métodos de Adams, como apresentado a seguir Método de Adams-Bashforth Considere novamente o seguinte PVI: dy dt = f(t, y) y(t 0) = y 0 Uma maneira de obter o valor em um ponto y n+1 com base em um valor conhecido y n é integrar a equação desde um ponto t n até um ponto t n+1 : tn+1 tn+1 y (t)dt = f(t, y)dt t n t n Como o lado esquerdo avalia a integral de uma derivada, podemos escrever a expressão anterior como: y(t n+1 ) y(t n ) = y n+1 y n = tn+1 t n f(t, y)dt Como a função y(t) não é conhecida, não é possível resolver diretamente a integral do lado direito da equação. O método de Adams-Bashforth consiste em substituir a função f(t, y) por um polinômio p(t), permitindo assim a resolução da integral: y n+1 = y n + 79 tn+1 t n p(t)dt

80 Dependendo da ordem escolhida para o polinômio p(t), diferentes formulações são obtidas. Os coecientes associados ao polinômio são determinados com base nos valores já conhecidos para y n, y n 1, y n 2, etc. Caso um polinômio de ordem k for utilizado, é necessário conhecer a solução em k + 1 pontos. Por exemplo, caso um polinômio de primeira ordem for empregado: p(t) = At + B é necessário conhecer o valor da função f(x, y) em dois pontos, ou seja, é necessário determinar dois valores (y n e y n 1 ) para encontrar as constantes A e B. Com isso: At n + B = f(t n, y n ) = f n Resolvendo para A e B: At n 1 + B = A(t n t) + B = f(t n 1, y n 1 ) = f n 1 A = f n f n 1 t B = f n 1t n f n t n 1 t Substituindo p(t) = At + B na expressão anterior e resolvendo a integral: tn+1 y n+1 = y n + (At + B)dt = y n + A t n 2 (t2 n+1 t 2 n) + B(t n+1 t n ) Substituindo as expressões obtidas para A e B e simplicando o resultado obtido: y n+1 = y n t f n 1 2 t f n 1 Esta relação é conhecida como método de Adams-Bashforth de 2 a ordem, e representa um método explícito onde é necessário conhecer a solução nos dois pontos anteriores. Usando polinômios de maior ordem, pode-se obter métodos de maior ordem. Um dos mais utilizados é o de quarta ordem: y n+1 = y n + t 24 (55f n 59f n f n 2 9f n 3 ) Neste caso, é necessário conhecer 4 pontos anteriores. Em comparação com outros métodos de quarta ordem, como RK4, o método de Adams-Bashforth costuma apresentar melhores resultados Método de Adams-Moulton O método de Adams-Moulton é uma modicação do método de Adams-Bashftorh que consiste em avaliar o polinômio interpolador p(t) em t n+1, t n, t n 1,... ao invés de t n, t n 1, t n 2,

81 Por exemplo, considere novamente um polinômio de primeira ordem p(t) = αt + β. Neste caso, as constantes são avaliadas através da relações: αt n+1 + β = f n+1 De onde se obtém que: αt n + β = f n α = f n+1 f n t β = f nt n+1 f n+1 t n t De modo que y n+1 pode ser obtido como: y n+1 = y n + t 2 f n + t 2 f n+1 Considerando que f n+1 = f(t n+1, y n+1 ), esta relação representa uma fórmula implícita de segunda ordem. Utilizando polinômios de ordem maior, obtém-se formulações de ordem superior. O método de Adams-Moulton de quarta ordem é dado como: y n+1 = y n + t 24 (9f n f n 5f n 1 + f n 2 ) Para evitar as diculdades associadas ao uso de métodos implícitos, é comum adotar uma abordagem preditiva-corretiva, utilizando Adams-Bashforth como uma etapa preditiva e Adams-Moulton como corretora. Por exemplo, utilizando uma abordagem de segunda ordem, a etapa preditiva é dada como: y n+1 = y n t f n 1 2 t f n 1 Sendo este valor posteriormente corrigido com a relação de Adams-Moulton: onde f n+1 = f(t n+1, y n+1 ) y n+1 = y n + t 2 f n + t 2 f n+1 Exemplo 03:) Utilizando uma abordagem preditiva-corretiva, utilize os métodos de Adams de segunda ordem para obter a solução aproximada do seguinte PVI até t = 0.4, utilizando t = 0.1: dy dt = y + 2t y(0) = 2 Esta equação foi avaliada anteriormente com o método de Runge-Kutta. Para utilizar Adams- Bashforth, neste caso é necessário conhecer a solução em dois pontos anteriores. Pode-se utilizar a condição inicial como um destes pontos: t 0 = 0 y 0 = 2 81

82 e o valor obtido com o método de Runge-Kutta para y 1 : t 1 = 0.1 y 1 = 1.82 Com isso, pode-se determinar o valor preditivo em t 2 = 0.2: y 2 = y t f(t 1, y 1 ) 1 2 t f(t 0, y 0 ) = Utilizando Adams-Moulton para corrigir o valor: y 2 = y 1 + t 2 f(t 1, y 1 ) + t 2 f(t 2, y 2) = Repetindo o procedimento para o próximo passo de tempo (t 3 = 0.3): y 3 = y t f(t 2, y 2 ) 1 2 t f(t 1, y 1 ) = y 3 = y 2 + t 2 f(t 2, y 2 ) + t 2 f(t 3, y 3) = Finalmente, para o último passo de tempo (t 4 = 0.4): y 4 = y t f(t 3, y 3 ) 1 2 t f(t 2, y 2 ) = y 4 = y 3 + t 2 f(t 3, y 3 ) + t 2 f(t 4, y 4) =

83 Lista de Exercícios 07 - Métodos de Runge-Kutta Adaptativos e de Passos-Múltiplos 1) Utilizando o método de Runge-Kutta de quarta ordem, obtenha uma aproximação para a solução da seguinte equação de Hermite no intervalo 0 t 1, considerando t = 0.2. Compare a solução para y(1) com a solução exata e determine o erro associado. R: erro para y(1) = 25.2% d 2 y dt 2 2tdy dt + 8y = 0 y(0) = 12 y (0) = 0 2) Utilize o método de Euler explícito e o método de Runge-Kutta de quarta ordem para obter os valores de y(1) e z(1) utilizando um passo x = 0.2: dy dx = 2y + 4e x y(0) = 2 dz dx = yz2 3 z(0) = 4 R: Euler: z(1) = , RK4: z(1) = ) Através do método de Runge-Kutta de quarta ordem, obtenha y(1) para o seguinte PVI: dy dt = 4y + e 2(t 10)2 y(0) = 1 Utilize o método de passo duplo para adaptar o passo de tempo. Como estimativa inicial, assuma t = 0.5 e considere um erro de truncamento local de e max = R: y(1) = ) Mostre que a utilização de um polinômio de ordem zero p(x) = A para a obtenção dos métodos de Adams-Bashforth e Adams-Moultoun resulta nos métodos de Euler explícito e implícito, respectivamente. 5) Considere o seguinte PVI: dy = 2xy y(0) = 1 dx a) Utilize o método de Adams-Bashforth de segunda ordem para estimar a solução até t = 0.4, com t = 0.1; R: y(0.4) = b) Estime a solução usando uma abordagem preditiva-corretiva com os métodos de segunda ordem de Adams-Brashforth como preditivo e Adams-Moulton como corretivo; R: y(0.4) = c) Obtenha a solução aproximada utilizando o método de Runge-Kutta de quarta ordem; 83

84 R: y(0.4) = d) Compare os resultados anteriores com a solução exata e discuta os resultados. 6) Utilizando um polinômio de segunda ordem como interpolador, obtém-se os métodos de Adams-Bashforth e Adams-Moulton de terceira ordem, sendo expressos respectivamente como Considere o seguinte PVI: y n+1 = y n + t 12 (23f n 16f n 1 + 5f n 2 ) y n+1 = y n + t 12 (5f n+1 + 8f n f n 1 ) dy dt = 40te y y(0) = 3 Obtenha a solução aproximada até t = 1, utilizando t = 0.2, através de uma aborgade preditivacorretiva com os métodos de Adams-Brashforth como preditivo e Adams-Moulton como corretivo. Compare os valores obtidos com as formulações de primeira, segunda, terceira e quarta ordem. Utilize o método de Runge-Kutta de quarta ordem para estimar os valores iniciais necessários. R: 1 a ordem: y(1) = , 2 a ordem: y(1) = , 3 a ordem: y(1) = , 4 a ordem: y(1) = ) Considere o seguinte PVI: dy dt = 7y y(0) = 100 Utilizando o método de Adams-Bashforth de segunda ordem, obtenha a solução aproximada até t = 0.5, utilizando t = 0.1. Compare os resultados obtidos quando os passos iniciais são calculados através dos métodos de Euler explícito e de Runge Kutta de quarta ordem. Avalie a solução exata e determine o desvio para os dois casos. R: Desvio: 6.27% (Euler), 3.00% (RK4) 8) Faça um esboço de um algoritmo para resolver o seguinte PVI: dy dt = f(t, y) y(0) = y 0 utilizando uma abordagem preditiva-corretiva com o método de Adams-Bashforth de quarta ordem como preditor e o método de Adams-Moulton de quarta ordem como corretor. Considere t = 0.1 e avalie até um tempo nal t = 100. Liste todas as hipóteses adotadas. 84

85 8. Estabilidade de Métodos Numéricos para EDO's e Equações Rígidas 8.1. Estabilidade dos Métodos de Resolução de EDO's Na passagem do método de Euler explícito para métodos mais complexos, o principal objetivo foi obter métodos com melhor precisão (reduzir os erros de truncamento). No entanto, em muitos casos os resultados obtidos não só possuem uma baixa precisão como também são catastrocamente distintos da solução exata. Por exemplo, considere o seguinte PVI: dy dt = 12y y(0) = 1 A utilização do método de Euler explícito com t = 0.2 gera o resultado ilustrado a seguir. Neste caso, o erro aumenta rapidamente conforme se avança na solução. Este problema está associado com a falta de estabilidade do método empregado. Antes de avaliar a estabilidade dos métodos, é necessário denir dois conceitos relacionados a análise de estabilidade: Consistência: Um método de passo único (como os da família de Runge-Kutta) é dito consistência se o erro de truncamento local e i tende a zero conforme t 0 para todos os passos de tempo, ou seja: lim max e i = 0 t 0 1 i N 85

86 onde N representa o número total de iterações. Convergência: Um método de passo único é dito convergente com respeito ao pro-blema de valor inicial dy dt = f(t, y) y(t 0) = y 0 se a diferença entre a solução obtida através do método numérico y i e a solução exata no mesmo ponto φ i tender a zero conforme t 0: lim max y i φ i = 0 t 0 1 i N Dessa forma, um método consistente possui a propriedade de que as equações obtidas para cada passo se aproximada da própria equação diferencial conforme o passo de tempo tende a zero, de modo que o erro de truncamento local também tende a zero. Porém, além do erro de truncamento, deve-se considerar a inuência do erro de arredondamento, associado ao fato de que os valores numéricos não são representados de forma exata. Na prática, os parâmetros do sistema, as condições inicias e todo o processo aritmético subsequente possuem erros associados com a precisão numérica nita dos valores empregados. Para garantir que um determinado método seja convergente, deve-se então garantir que além de ser consistente, o erro de arredondamento deve car limitado a um valor aceitável. O controle do erro de arredondamento está associado com a estabilidade do método. Este conceito é muito similar ao conceito de condicionamento de um sistema linear, no sentido de que um método é dito estável quando pequenas variações nos parâmetros ou condições iniciais levam a igualmente pequenas variações na solução obtida. A seguir será apresentada uma análise da estabilidade para os métodos de passo único. Para os métodos de passos-múltiplos, como existem diversas etapas de aproximação envolvidas em cada passo, a análise é mais complexa Análise de Estabilidade de Métodos de Passo Único Para avaliar a estabilidade de um dado método, considere o seguinte PVI: dy dt = f(t, y) y(t 0) = y 0 Considere que a solução exata deste PVI em um ponto t n é dada por φ(t n ) e que a solução obtida com o uso de método numérico neste ponto é y n. Como comentado anteriormente, na resolução computacional do problema, existem associados erros de arredondamento devido à precisão limitada da representação numérica. Considere que y n é o valor arredondado obtido em uma máquina real e y n é o valor com precisão innita obtido em uma máquina ideal. 86

87 O erro total associado será a diferença entre a solução exata e o valor fornecido pelo computador: Erro total = φ(t n ) y n = (φ(t n ) y n ) + (y n y n) O primeiro termo representa o erro de truncamento e o segundo o erro de arredondamento associado ao ponto t n. Para que um dado método numérico seja adequado, são necessárias duas condições: - O erro de truncamento acumulado (global) deve tender a zero conforme t 0 (consistência); - O erro de arredondamento acumulado (que não pode ser eliminado) deve ser pequeno em comparação com a solução exata (estabilidade) Equação Modelo: Decaimento de Primeira Ordem Para ilustrar as características de estabilidade de um método, considere a equação: dy dt = λy y(0) = 1 onde λ > 0. Esta equação representa uma taxa de decaimento de primeira ordem, que surge, por exemplo, na análise da variação na fração de um dado reagente em uma reação de primeira ordem. Considerando novamente que φ(t) é a solução exata da equação, o valor calculado numericamente pode ser expresso como: Substituindo na equação diferencial: y(t) = φ(t) + ε(t) d(φ + ε) dt = λ(φ + ε) Como as solução exata deve satisfazer a equação diferencial, temos que: dε dt = λε Esta equação serve como uma relação para determinar como o erro varia ao longo do tempo, ou seja, ao longo dos passos avaliados. Se o erro diminuir com o tempo, o método é estável, caso contrário será instável. Por exemplo, considere que o método de Euler explícito seja utilizado para avaliar ε(t): ε n+1 = ε n + t( λε n ) = ε n (1 tλ) ε n+1 ε n = 1 tλ Para garantir a estabilidade, é preciso que o erro em t n+1 seja menor que o erro em t n, assim: ε n+1 ε n 1 87

88 Considerando a relação anterior: 1 tλ 1 Desse modo, o passo de tempo para garantir a estabilidade deve ser maior que zero e menor que 2/λ. A região contendo os valores de λ t que levam a uma solução estável é chamado de domínio de estabilidade linear. O parâmetro λ pode ser um número complexo, de modo que o domínio de estabilidade costuma ser representado no plano complexo. Denindo z = λ t, temos que para o método de Euler explícito ser estável a seguinte condição deve ser satisfeita: 1 + z 1 Fazendo z = a + bi: 1 + (a + bi) 1 (a + 1) + bi 1 Para um número complexo qualquer α + βi, o módulo é denido como: α + βi = α 2 + β 2 Assim, para o caso anterior, temos que: (a + 1) + bi = (a + 1) 2 + b 2 1 (a + 1) 2 + b 2 1 Esta relação representa um círculo de raio menor ou igual a 1, deslocado em uma unidade para a esquerda no eixo equivalente a a. Como a é a parte real de z e b a parte imaginária de z, o domínio de estabilidade do método de Euler explícito representa a região indicada na gura a seguir. Considere agora que seja empregado o método de Euler implícito: ε n+1 = ε n + t( λε n+1 ) ε n+1 (1 + tλ) = ε n 88

89 Com isso: ε n+1 ε n = tλ Como λ > 0 e t > 0, esta relação mostra que o método de Euler implícito é estável para qualquer valor de t, o que é uma característica comum dos métodos implícitos. Considere agora a modicação de segunda ordem baseada na regra do ponto médio: De modo que: ε n+1 = ε n + t 2 ( λε n λε n+1 ) ε n+1 (1 + tλ/2) = ε n (1 tλ/2) ε n+1 ε n = 1 tλ/2 1 + tλ/2 Considerando a condição para estabilidade: 1 tλ/ tλ/2 Neste caso, a solução também será estável para qualquer t > 0. Para os demais métodos explícitos, a estabilidade também está condicionada a um domínio especíco. Em particular para o caso dos métodos de RK de ordem maior que 1, pode-se mostrar que o domínio de estabilidade linear engloba o domínio associado ao método de Euler explícito (RK de primeira ordem). Assim, se a condição t < 2/λ for respeitada, os métodos de RK de ordem superior serão estáveis. O domínio de estabilidade de métodos de Runge-Kutta de ordem 1 até 5 é representado na gura a seguir: 8.3. Problemas Rígidos (Sti) Algumas equações ou sistemas de equações diferenciais são classicados como rígidos (sti). Não existe uma denição precisa para classicar uma EDO como rígida, mas estes tipos de problema compartilham características em comum: - Normalmente existem termos que levam à uma rápida variação na solução; - Problemas rígidos possuem uma variedade de escalas de tempo associadas, ou seja, em determinados pontos a solução varia muito mais rapidamente que em outras; - Métodos explícitos só são estáveis para a resolução de EDO's rígidas se o passo de tempo utilizado for muito pequeno; - Usualmente, o passo de tempo utilizado para garantir a estabilidade é menor que o necessário para garantir a convergência desejada. 89

90 A equação teste utilizada anteriormente: dy dt = λy y(t 0) = y 0 é um exemplo de equação rígida, especialmente para altos valores de λ. Esta equação possui solução da forma: y = y 0 e λt Como visto anteriormente, se um método explícito for empregado, deve-se usar um valor de t sucientemente pequeno para garantir a estabilidade da solução. Por exemplo, para o método de Euler explícito: será: t < 2 λ Caso for necessário avaliar a solução até um tempo nal t 1, o número de passos necessários (n) n = t 1 t n > λt 1 2 Assim, o número de passos mínimo necessários é diretamente proporcional ao valor de λ. 90

91 Sistemas de Equações Diferenciais Rígidas Lineares Considere o seguinte PVI: A solução deste problema é a seguinte: dy 1 dt = 500.5y y 2 y 1 (0) = 2 dy 2 dt = 499.5y y 2 y 2 (0) = 1 y 1 (t) = 1.5e t + 0.5e 1000t y 2 (t) = 1.5e t 0.5e 1000t Assim, a solução possui dois termos: um termo e t que varia lentamente com o tempo e outro e 1000t que varia rapidamente. Para garantir a estabilidade, é preciso que a solução se mantenha estável durante toda a resolução, por isso, a estabilidade deve ser assegurada para o termo e 1000t. De modo geral, os valores de t empregados devem ser determinados sem o conhecimento da solução. O PVI anterior pode ser reescrito como: dy dt = Y = AY O valor de t necessário é denido com base nos autovalores da matriz A. Lembrando que os autovalores λ são denidos como os valores onde: Assim, para este caso: A λi = λ λ = 0 ( λ) = 0 Resolvendo a equação de segundo grau, obtém-se as seguintes raízes: λ 1 = 1 λ 2 = 1000 Para garantir a estabilidade em um método explícito, pode-se considerar a função teste usada anteriormente dy/dt = λy, com λ sendo o maior dos autovalores (em módulo) associados com o problema. Por exemplo, caso o método de Euler explícito seja empregado, deve-se garantir que: t 2 λ max Considerando que no exemplo λ max = 1000, então temos que o passo de tempo máximo é de Caso o menor autovalor fosse empregado, seria obtido um valor de t max = 2. Após os instantes iniciais, o problema passa a ser controlado pelo menor autovalor. 91

92 Para medir a importância da rigidez na resolução do problema, pode-se determinar o grau de rigidez (stiness ratio) do problema, denido com: SR = λ max λ min Normalmente, para SR > 20 o problema já é classicado como rígido, sendo necessário avaliar com cuidado os passos de tempo empregados Sistemas Não-Lineares Para problemas não-lineares, a análise é mais complexa. Para problemas autônomos, da forma: dy dt = f(y ) pode-se linearizar a equação através de uma expansão em série de Taylor em torno do ponto t n. Desconsiderando os termos de alta ordem: dy dt = f(y n) + J(t n )(Y Y n ) onde J(t n ) é a matriz Jacobiana avaliada em t = t n, denida como: [ ] fi (y) J(t n ) = a ij = y j Por exemplo, em um sistema 2 2 da forma: dy dt = f(x, y) dx dt O Jacobiano em um ponto t n é determinado da forma: f f x J(t n ) = tn y g x tn tn g y tn t n = g(x, y) Neste caso, a razão de rigidez é denida com base nos autovalores da matriz Jacobiana. Como J(t n ) pode depender do tempo, a razão de rigidez pode variar ao longo da solução. Os valores de t necessários para garantir a estabilidade também podem ser denidos com base nos autovalores da matriz Jacobiana. Obs.: Caso t n for um ponto xo, os autovalores do Jacobiano também servem para denir se o ponto é estável ou não, sendo instável caso algum autovalor tenha parte real positiva. Exemplo: Considere o seguinte PVI: dy dt = y2 x y(0) = 2 dx dt = 400yx2 x(0) = 1 Determine a razão de rigidez em t = 0. Caso o método de Euler explícito for empregado, qual o valor máximo de t? 92

93 Lista de Exercícios 08 - Estabilidade e Problemas Rígidos 1) Determine o passo de tempo máximo que pode ser utilizado para garantir a estabilidade na resolução dos seguintes sistemas, considerando que o método de Euler explícito seja empregado em t = 0: a) R: t max = b) R: t max = 0.2 dy dt = y 5x y(0) = 1 dx = 3x + 17y x(0) = 0 dt dy dt = 10y dx dt = 3y + 2x + z dz dt = 7y z y(0) = 1 x(0) = 1 z(0) = 2 c) R: t max = dy dt = y2 + x y y(0) = 1 dx dt = x3 + x 2 y 2 x(0) = 4 2) Considere a EDO: dy dt = y e t (a) Estime o passo de tempo requerido para manter a estabilidade utilizando o método de Euler explícito (Dica: Refaça o procedimento apresentado para a equação modelo y = λy substituindo a equação); R: t max = (b) Utilizando a condição inicial y(0) = 0, utilize o método de Euler implícito para obter a solução no intervalo de t = 0 até t = 2, utilizando t = 0.1. Compare com a solução exata. R: y(2) = (Euler), y(2) = (Exata) 3) Considere o PVI: dy dt = 30(sin(t) y) + 3 cos(t) y(0) = 0 a) Utilize o método de Euler implícito para obter a solução até t = 2 utilizando um passo de t = 0.4. Compare com a solução exata. R: y(2) = (Euler), y(2) = (Exata) b) Faça um esboço de um algoritmo para avaliar a solução do PVI até t = 50, utilizando o método de Euler implícito. 93

94 5) Utilize o método de Euler implícito para obter a solução até t = 1 para o seguinte PVI, considerando t = 0.2: dy dt = 5e 0.1y + sin(y) y(0) = 1 Compare com o valor obtido através do método RK4. R: y(1) = (Euler), y(1) = (RK4) 94

95 Parte III. Método de Diferenças Finitas 95

96 9. Métodos Numéricos para Problemas de Valor de Contorno Equações diferenciais de ordem maior que um podem gerar problemas de valor inicial (PVI) ou problemas de valor de contorno (PVC), dependendo da forma como as condições conhecidas são especicadas. Por exemplo, considere a EDO: y + p(x)y + q(x)y = g(x) Até o momento, foram analisados principalmente casos onde condições iniciais conhecidas são especicadas da forma: y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 0 originando desta forma um PVI. Para a resolução numérica de PVI's, pode-se partir da condição inicial e ir avançando até um tempo nal arbitrário. Em muitos casos, os problemas envolvem condições conhecidas em pontos diferentes, sendo estas chamadas de condições de contorno, podendo ser expressas, por exemplo, como: y(α) = y 0 y(β) = y 1 De forma geral, os PVC's envolvem uma coordenada espacial como variável independente. Assim, a resolução de um PVC's consiste em buscar uma solução que satisfaz a equação diferencial no intervalo α < x < β juntamente com as condições de contorno especicadas. Isto implica que existem duas condições, em pontos diferentes do domínio de solução, que deve ser simultaneamente satisfeitas. Por isso, os métodos de marcha (como os de Runge-Kutta) não podem ser empregados neste caso Estratégias de Solução de PVC's Os métodos para resolver problemas de valor de contorno se dividem em duas categorias: os baseados em transformar o PVC em um PVI e os baseados em discretizar a equação utilizando métodos de diferenças nitas. 96

97 Os métodos que transformação PVC's e PVI's consistem basicamente em utilizar uma das condições de contorno como condição inicial e assumir (chutar) diferentes valores para uma segunda condição inicial de modo que o resultado obtido satisfaça a segunda condição de contorno. Por exemplo, considere a seguinte equação utilizada para descrever a variação na temperatura em uma barra que perde calor para o ambiente por convecção, como apresentado na gura a seguir. Considerando que a barra seja muito na, com raio muito menor que o comprimento, pode-se assumir que a equação que descreve a variação na temperatura ao longo de x pode ser expressa como: d 2 T dx 2 + h (T a T ) = 0 onde h é um coeciente de troca térmica e T a é a temperatura ambiente. As condições de contorno corresponde a temperatura xas nas extremidades, em x = 0 e x = L, de modo que: T (0) = T 1 T (L) = T 2 Para transforma a equação em um PVI equivalente, primeiramente é preciso aplicar o método de redução de ordem. Escrevendo o PVI como: dt dx = z T (0) = T 1 dz dx + h (T a T ) = 0 z(0) = z 0 O valor de z 0 não é conhecido, pois o valor da derivada de T em x = 0 não foi especicado. O método utilizado neste caso consiste em assumir diferentes valores para z 0 até que a condição T (L) = T 2 seja satisfeita. Para equação lineares, este método funciona razoavelmente bem, pois pode-se interpolar os valores para T (L) obtidos para diferentes valores de z 0 para encontrar o valor de z 0 que corresponde a solução correta do problema. No entanto, de modo geral este método é pouco utilizado, em particular porque os métodos baseados em aproximações por diferenças nitas costumam ser mais ecientes, como ser apresentado a seguir. 97

98 9.2. Aproximações por Diferenças Finitas O método de diferenças nitas é um método de discretização de equações diferenciais. Isto signica que ele transforma uma função contínua em uma representação discreta (pontos). Por exemplo, considere uma função f(x) = 2x denida em um intervalo entre 0 e 1. Esta função pode ser representada de forma discreta como, por exemplo, f[x] = [0, 0.4, 0.8, 1.2, 1.6, 2], assumindo um espaçamento entre os pontos de 0.2, ou seja, esta representação está relacionada como um domínio discreto da forma x = [0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1]. As soluções obtidas com a aplicação do método de diferenças nitas sempre serão discretas. Caso for necessário obter os valores para algum valor de x que não corresponda exatamente aos pontos do domínio, pode-se interpolar os valores. A primeira etapa da aplicação do método de diferenças nitas consiste exatamente em denir o domínio discreto onde a solução será buscada. Por exemplo, considere o caso apresentado anteriormente para a distribuição de calor em uma barra estacionária. A região onde se deseja obter a distribuição de temperatura é no intervalo de x = 0 até x = L. Este intervalo corresponde ao domínio de solução da equação diferencial. No entanto, ele está em uma forma contínua e não discreta. Para discretizar o domínio, deve-se dividi-lo em um determinado número de pontos. Por exemplo, considere que L = 1 e que se deseja dividir o domínio em pontos com espaçamento x = 0.1, ou seja, deseja-se dividir o domínio em 10 elementos de igual tamanho. Quanto mais elementos forem utilizados, maior será a precisão do método, porém o gasto computacional também irá aumentar. O domínio discreto será então: x = [0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9.1] Como pode ser visto, este conjunto contém 11 pontos. De maneira geral, o número de pontos sempre será igual ao número de elementos em que o domínio é dividido mais 1. Este vetor pode ser representado de uma forma mais simples como: x[i] = i x i = 0, 1, 2, Na resolução de PVI's, não é necessário inicialmente denir o domínio de solução, pois podese continuar avançando por quantos passos forem necessários, partindo de um valor inicial. No entanto, para o caso de PVC's, o domínio de solução é fechado e deve ser considerado como um todo. Dependendo da formulação utilizada, pode até mesmo ser necessário obter os valores para todos os pontos ao mesmo tempo. A estratégia do método de diferenças ntas consiste em buscar equações algébricas que aproximem a solução em cada ponto i. Para isso, as derivadas são aproximadas como relações algébricas envolvendo a solução em diferentes valores de i. Esta aproximação pode ser realizada de diferentes 98

99 formas, dependendo da precisão desejada e da natureza do problema e das condições de contorno. Porém, a origem destas aproximações sempre é uma aproximação em série de Taylor em torno de cada ponto i, como será discutido a seguir Aproximação da Derivada Primeira Para apresentar o processo de discretização da derivada de uma função contínua y(x) em um intervalo 0 x L, será considerado um domínio discreto como o apresentado na gura a seguir, onde o domínio físico contínuo (região entre 0 e L) é dividido em N + 1 pontos. Lembrando novamente, o objetivo do método de diferenças nitas é obter aproximações para o valor da função y(x) em cada um destes N + 1 pontos. Esta representação discreta do domínio de solução é normalmente chamada de grid numérico ou malha numérica. Como visto em aulas anteriores, a expansão em série de Taylor pode ser utilizada para avaliar o valor de uma função em um dado ponto com base no valor conhecido em outro ponto. Dependendo da forma como a aproximação é realizada, obtém-se diferentes formulações para o método de diferenças nitas, como será apresentado a seguir. Aproximação para Frente (Foward) Considere que se deseja aproximar o valor em x i+1 com base no valor em x i, ou seja, deseja-se aproximar y(x i+1 ) = y i+1 com base em y(x i ) = y i. A expansão em série de Taylor neste caso pode ser expressa como: y i+1 = y i + (x i+1 x i ) dy + (x i+1 x i ) 2 d 2 y x=xi dx x=xi 2! dx 2 + (x i+1 x i ) 3 d 3 y x=xi 3! dx (9.1) Considerando novamente que (x i+1 x i ) seja relativamente pequeno, os termos de alta proporcionais a (x i+1 x i ) 2, (x i+1 x i ) 3,... podem ser desprezados. Assim, a derivada primeira da função y(x) no ponto x i pode ser aproximada como: dy = y i+1 y i dx x=xi x i+1 x i Denindo x = x i+1 x i, a expressão pode ser dada por: dy = y i+1 y i dx x=xi x 99

100 Esta expressão é conhecida como aproximação por diferenças nitas para frente (ou método de diferenças nitas para frente), pois utiliza o valor da função em um ponto a frente x i+1 para estimar o valor da derivada em um ponto anterior x i. Fazendo o limite de x tendendo a zero: dy dx x=xi = lim x 0 y i+1 y i x obtém-se a própria denição da derivada em um ponto. Portanto, esta formulação é consistente. Como pode ser visto, este método é equivalente ao método de Euler explícito, sendo que a diferença é que no método de Euler deseja-se aproximar o valor da função em diferentes pontos com base no conhecimento da derivada dy/dt = f(t, y) e no método de diferenças nitas deseja-se aproximar o valor da derivada com base no valor em diferentes pontos. Nos dois casos, porém, ocorre uma linearização da função em torno de um ponto. Na aproximação da derivada, foram desprezados os termos O(x i+1 x i ) 2, assim, o erro de truncamento local do método de diferenças para frente é da ordem de O( x 2 ). De forma semelhante ao apresentado para o método de Euler, pode-se mostrar que quando aplicado para avaliar N pontos, o erro associado será da ordem de O(x i+1 x i ) = O( x), ou seja, a aproximação por diferenças para frente é um método de primeira ordem. Aproximação para Trás (Backward) De forma semelhante ao realizado para obter a derivada em x i com base na expansão para obter y i+1, pode-se realizar uma expansão para obter a função em x i 1 : y i 1 = y i + (x i 1 x i ) dy + (x i 1 x i ) 2 d 2 y x=xi dx x=xi 2! dx 2 + (x i 1 x i ) 3 d 3 y x=xi 3! dx Considerando que o espaçamento entre os pontos é constante, temos novamente que x = x i x i 1 = (x i 1 x i ), assim: y i 1 = y i ( x) dy + ( x)2 d 2 y x=xi dx x=xi 2! dx 2 ( x)3 d 3 y x=xi 3! dx (9.2) Novamente, desprezando os termos de ordem maior ou igual a 2, obtém-se: dy = y i y i 1 dx x=xi x esta aproximação é conhecida como aproximação por diferenças nitas para trás (ou método de diferenças nitas para trás), e também representa uma aproximação de primeira ordem para a derivada em um dado ponto x i. A utilização dos métodos para trás ou para frente é, a princípio, equivalente. A única restrição ocorre nos pontos extremos do domínio. Por exemplo, no ponto x 0 não pode ser aplicado o método para trás pois não existe um ponto anterior a este. De forma semelhante, no ponto x N a formulação 100

101 para frente não pode ser utilizada, pois de maneira equivalente não existe nenhum ponto após este para ser utilizado de base. Aproximação Central De forma geral, a utilização de métodos de primeira ordem para a discretização de todos os pontos do domínio não costuma apresentar bons resultados, especialmente nos casos envolvendo gradientes aproximadamente simétricos em relação a direção x, como por exemplo problemas envolvendo condução de calor ou difusão de massa. Uma aproximação de segunda ordem pode ser obtida fazendo a expansão para y i+1 (Eq. 1) menos a expansão para y i 1 (Eq. 2). Com isso, obtém-se: y i+1 y i 1 = 2 x dy + 2( x)3 d 3 y x=xi dx x=xi 3! dx Desprezando agora os termos da ordem de O( x) 3, pode-se obter a seguinte expressão para uma aproximação da derivada primeira em x i : dy = y i+1 y i 1 dx x=xi 2 x Esta expressão é conhecida como aproximação pode diferenças nitas central (ou método de diferenças nitas central). Neste caso, o erro de truncamento local é da ordem de O( x) 3, de modo que o erro global será da ordem de O( x) 2. Assim, esta aproximação é de segunda ordem. Existem aproximações de ordem superior, porém a aproximação central é a mais empregada, sendo adequada para a maioria dos casos. Novamente, dever-se observar que esta aproximação não pode ser aplicada nos pontos extremos do sistema. A melhor estratégia para a discretização da equação é utilizar o método central para os pontos internos, o método para frente no ponto x 0 e o método para trás no ponto x N. Uma comparação geométrica dos três esquemas de discretização é apresentada na gura a seguir Aproximação da Derivada Segunda O método de diferenças nitas pode ser aplicado também para a discretização de derivadas de maior ordem. As aproximações para a derivada segunda são obtidas considerando a denição da derivada em um ponto. Da mesma forma que a derivada primeira pode ser aproximada em termos da variação da função em dois pontos, a derivada segunda pode ser aproximada em termos da variação na derivada primeira em dois pontos. Por exemplo, utilizando um esquema para frente: dy d 2 y dy x=xi dx x=xi+1 dx x=xi dx 2 = x i+1 x i 101

102 onde a derivada avaliada no ponto x i+1, utilizando novamente um esquema para frente, é obtida de forma equivalente a derivada no ponto x i como: dy = y i+2 y i+1 dx x=xi+1 x i+2 x i+1 Considerando que os pontos sejam igualmente espaçados (grid igualmente espaçado), pode-se juntar as expressões para de derivada em x i+1 e a expressão para a derivada em x i, obtém-se a seguinte expressão para a derivada segunda em x i : d 2 y x=xi dx 2 = y i 2y i+1 + y i+2 ( x) 2 Esta expressão representa o esquema para frente aplicado à derivada segunda. Como ele se baseia em esquemas de primeira ordem, também é uma aproximação de primeira ordem. Fazendo um procedimento semelhante utilizando o esquema para trás, obtém-se: d 2 y x=xi dx 2 = y i 2y i 1 + y i 2 ( x) 2 sendo este o esquema para trás aplicado para a derivada segunda, sendo também um método de primeira ordem. Utilizando o esquema central, obtém-se a seguinte aproximação: d 2 y x=xi dx 2 = y i+1 2y i + y i 1 ( x) 2 sendo esta uma aproximação de segunda ordem. Novamente, a estratégia que normalmente resulta em um melhor resultado é utilizar o esquema central para os pontos internos e os esquemas para frente e para trás para o primeiro e para o último ponto, respectivamente. 102

103 Discretização das Condições de Contorno Além da equação diferencial envolvendo a derivada da função, a resolução de Problemas de Valor de Contorno necessita que determinadas condições de contorno também sejam em determinados pontos do domínio. Para o caso de condições que consistem em denir o valor da função em um dado ponto, basta atribuir este valor para a função discretizada no ponto. Por exemplo, considere o exemplo anterior de transferência de calor em uma barra, onde a temperatura nas duas extremidades era conhecida: T = T 1 em x = 0 e T = T 2 em x = L. Considerando que x 0 corresponde ao ponto inicial x = 0 e x N corresponde ao ponto x = L, as condições de contorno são implementadas denindo: T 0 = T 1 T N = T 2 Em muitos casos, a condição de contorno envolve a própria derivada de função em algum ponto. Por exemplo, considere que no exemplo da transferência de calor na barra metálica, a extremidade x = L fosse mantida isolada termicamente. Neste caso, a condição de contorno é expressa como: dt = 0 dx x=l Neste caso, é necessário discretizar a condição de contorno para transforma-la numa relação algébrica. Como este ponto corresponde ao último ponto do domínio, os esquemas para frente e central não pode ser utilizados, pois iriam depender de um ponto y N+1 que está fora do domínio de solução. Assim, é necessário utilizar o esquema para trás, de modo que a condição pode ser discretizada como: dt = T N T N 1 = 0 T N = T N 1 dx x=l x N x N 1 ou seja, a condição de derivada nula na posição x = L implica que a variável em no ponto x N é igual a variável no ponto anterior (x N 1 ) Discretização de PVC's utilizando Diferenças Finitas A partir das expressões obtidas para aproximar a derivada em um ponto através de expressões algébricas, pode-se transformar um problema de valor de contorno em um conjunto de equações algébricas, sendo que para cada ponto do domínio discreto será atribuída uma equação. Esta é uma característica importante dos métodos de diferenças nitas: para que a resolução seja possível, deve-se atribuir uma equação para cada ponto do domínio discreto. Considere novamente a equação utilizada anteriormente para modelar a transferência de calor em um barra metálica: d 2 T dx 2 + h (T a T ) = 0 103

104 Para ilustrar os diferentes tipos de condição de contorno, considere agora que na fronteira x = 0 a barra seja mantida a uma temperatura T = T ext e na extremidade x = L a barra esteja isolada, de modo que as condições de contorno neste caso serão: dt T (0) = T ext = 0 dx x=l onde T ext, h, T a e L são constantes. Para discretizar a equação, deve-se primeiramente denir o grid numérico, ou seja, deve-se denir em quantos pontos o domínio de solução contínuo será dividido e como estes pontos estão distribuídos. Neste caso, será assumido que o número de pontos será N + 1 = 6 e, por simplicidade, será considerado que os pontos estão igualmente espaçados, portanto o domínio discreto será um conjunto de 6 pontos igualmente espaçados, como ilustrado na gura a seguir. Como pode ser observado, quando 6 pontos são utilizados, o domínio contínuo é dividido em 5 subdomínios com tamanho x, ou seja, x = L/5. O objetivo do método de diferenças nitas é obter uma aproximação para a temperatura em cada um dos pontos x i, ou seja, deve encontrar 6 valores T 0, T 1, T 2, T 3, T 4 e T 5. Para isso, é necessário que cada ponto possua uma equação algébrica associada. O primeiro passo para a resolução é discretizar a equação. Neste caso, a equação possui somente uma derivada segunda que deve ser discretizada. Para isso, será utilizar o esquema de diferenças central: d 2 T dx 2 = T i+1 2T i + T i 1 x 2 Além da derivada segunda, a equação também envolve o termo h (T a T ). Como h e T a são constantes, basta utilizar os seus valores na equação discretizada. Como a expressão anterior é utilizara para avaliar a derivada segunda no ponto x i, a temperatura T deve ser substituída pela sua equivalente discreta T i. Assim, a equação discretizada será: T i+1 2T i + T i 1 x 2 + h (T a T i ) = 0 104

105 Multiplicando por x 2 e agrupando os termos: T i+1 + T i 1 (2 + h x 2 )T i + x 2 h T a = 0 ou ainda: (2 + h x 2 )T i T i+1 T i 1 = x 2 h T a Esta relação pode ser utilizada para obter equações para a temperatura em todos os pontos internos, ou seja, para todos os pontos exceto x 0 e x 5. Assim, para o ponto x 1 temos que: (2 + h x 2 )T 1 T 2 T 0 = x 2 h T a De forma semelhante, para o ponto x 2 : (2 + h x 2 )T 2 T 3 T 1 = x 2 h T a e para os pontos x 3 e x 4 : (2 + h x 2 )T 3 T 4 T 2 = x 2 h T a (2 + h x 2 )T 4 T 5 T 3 = x 2 h T a Para estes pontos x 0 e x 5, deve-se utilizar as condições de contorno. Considerando a primeira condição T (0) = T ext, isto resulta em: T 0 = T ext A segunda condição de contorno é dada em termos de derivada nula. Neste caso, é preciso discretizar a condição. Como comentado anteriormente, neste caso somente uma aproximação para trás pode ser utilizada, de modo que: dt = 0 dx x=l T 5 T 4 x = 0 T 5 T 4 = 0 Isto forma um conjunto de 6 equações lineares que podem ser utilizadas para a obtenção das 6 variáveis T 0, T 1, T 2,... Na forma matricial, estas equações podem ser expressas como: (2 + h x 2 ) (2 + h x 2 ) (2 + h x 2 ) (2 + h x 2 ) T 0 T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T ext x 2 h T a x = 2 h T a x 2 h T a x 2 h T a 0 Assim, obtém-se um sistema linear tridiagonal que pode ser resolvido para obter a temperatura em cada um dos pontos do domínio discreto. Para ilustrar, considere um caso onde L = 1 cm (de 105

106 modo que x = L/5 = 0.2 cm), T ext = 100 C, T a = 25 C e h = 0.1 cm 2. Com isso, o sistema linear pode ser avaliado como: T 0 T 1 T 2 T 3 T 4 T = Para resolver este sistema linear, pode-se utilizar o algoritmo de Thomas (TDMA), como visto em aulas anteriores. Relembrando, este método irá transforma a matriz dos coecientes em uma matriz triangular superior. Os elementos abaixo da diagonal principal serão zerados e os acima da diagonal principal não serão afetados. Os elementos da diagonal principal (a partir da linha 2) são reavaliados como: a i,i = a i,i (a i,i 1 /a i 1,i 1 )a i 1,i De forma semelhante, os termos do lado direito são reavaliados como: b i = b i (a i,i 1 /a i 1,i 1 )b i 1 Assim, o sistema pode ser reescrito como: Resolvendo o sistema, obtém-se: T 0 T 1 T 2 T 3 T 4 T = T [0] = T 0 = 100 C T [0.2] = T 1 = C T [0.4] = T 2 = C T [0.6] = T 3 = C T [0.8] = T 4 = C T [1] = T 5 = C 106

107 Para comparação, a solução exata em cada um destes pontos é: T [0] = T 0 = 100 C T [0.2] = T 1 = C T [0.4] = T 2 = C T [0.6] = T 3 = C T [0.8] = T 4 = C T [1] = T 5 = 96.4 C Na gura a seguir é apresenta uma comparação entre a solução exata (linha) e a solução aproximada obtida com o método de diferenças nitas (pontos). Pode-se observar que o desvio é relativamente alto, sendo que um resultado melhor pode ser obtido aumentado-se o número de pontos. 107

108 Neste exemplo, a resolução do problema envolveu um sistema linear tridiagonal. Quando o método de diferenças nitas é aplicado a um PVC linear, este sempre será o caso. Quando aplicado em equações não-lineares, o sistema de equações algébricas obtido também será não-linear e deverá ser resolvido com métodos adequados (método de Newton, por exemplo). 108

109 Lista de Exercícios 09 - Métodos Numéricos para Problemas de Valor de Contorno 01) Em conforto térmico, é frequentemente analisada a perda de calor através de um determinado corpo, que é dada pela variação da temperatura T através da seguinte expressão: d 2 T dx 2 h(t ext T ) = 0 Considere o caso de um casaco com espessura L = 1.5cm onde h = 0.13 cm 2. Na região interior, em contato com o usuário, a temperatura é de T 0 = 28 C, enquanto que a temperatura na região exterior é de T ext = 5 C. Pode-se assumir também que a temperatura na superfície externa do casaco (em x = L) é igual a temperatura externa. Utilizando o método de diferenças nitas, determine a temperatura em x = 0.5 cm e em x = 1 cm, considerando x = 0.25 cm. R: T [0.5] = C, T [1] = 6.49 C 02) A seguinte equação pode ser utilizada para descrever a variação na temperatura ao longo do raio r de uma barra circular com fonte interna de calor, como por exemplo um o metálico por onde passa uma corrente elétrica: d 2 T dr dt r dr + S = 0 Esta equação esta expressa em uma forma adimensional, de modo que nenhuma das variáveis possui unidade. A superfície externa da barra corresponde a r = 1 e o ponto central corresponde a r = 0. Como condições de contorno, temos que: T = 1 em r = 1 dt dr = 0 em r = 0 Isto signica que a temperatura na superfície externa é mantida constante e que o uxo de calor é simétrico. a) Considerando que S = 10, utilize o método de diferenças nitas com r = 0.2 para obter a variação na temperatura ao longo do raio. Obs.: A variável independente r que aparece de forma explícita na EDO também deve ser discretizada. R: T 0 = T 1 = 3.23, T 2 = 3.055, T 3 = 2.575, T 4 = 1.889, T 5 = 1 b) Faça um esboço de um algoritmo que possa ser utilizado para obter a solução aproximada utilizando r =

110 03 ) Um biolme com espessura L f cresce sobre uma superfície sólida, como indicado na gura a seguir. Sobre a superfície do biolme, existe uma camada com espessura L por onde difunde um determinado composto A, que ao entrar no biolme é sujeito a uma reação irreversível de primeira ordem que converte o composto A em um composto B. As equações de balanço de massa em estado estacionário que descrevem a variação na concentração de A ao longo da camada de difusão e do biolme são as seguintes: D d2 C A dx 2 = 0 0 x < L D f d 2 C A dx 2 kc A = 0 L x L + L f onde D = 0.8 cm 2 /s é o coeciente de difusão na camada de difusão, D f = cm 2 /s é o coeciente de difusão no biolme e k = 100 s 1 é a taxa para a reação de conversão de A em B. Como condições de contorno, pode-se assumir que a concentração do composto A é constante no meio líquido (x = 0) de modo que: C A = C A,0 x = 0 A superfície sólida pode ser considerada impermeável, de modo que a seguinte condição é satisfeita: dc A dx = 0 x = L + L f Considerando que L = cm, L f = cm e C A,0 = 0.1 mol/cm 3, utilize o método de diferenças nitas com x = para obter a distribuição do composto A ao longo da camada de difusão e do biolme. Pode-se assumir que a resistência a transferência de massa na interface biolme/camada de difusão é desprezível, de modo que a concentração nos dois lados da interface é a mesma. R: Concentração na interface com a superfície sólida: C A (L + L f ) = mol/cm 3 110

111 04) Descreva as principais diferenças entre um método de marcha no tempo (como o método de Euler) um método iterativo (como os métodos de Jacobi e Newton) e um método de discretização, como o método de diferenças nitas. 111

112 10. Equações Diferenciais Parciais e Método das Linhas Características Gerais das EDP's Uma equação diferencial parcial é uma equação representando a relação entre uma função de duas ou mais variáveis independentes e as derivadas parciais desta função com respeito a estas variáveis independentes. Nos problemas encontrados com mais frequência na engenharia, as variáveis independentes são usualmente as dimensões espaciais x, y e z e o tempo t. A grande maioria das EDP's não possui solução analítica, sendo necessário utilizar algum método numérico para obter uma solução aproximada. Dentre as poucas que possuem solução analítica, as mais comuns são a equação de Laplace bidimensional, a equação do calor (ou equação da difusão) e a equação da onda, dadas, respectivamente, por: 2 f x f y 2 = 0 f t = f α 2 x 2 2 f t 2 = c2 2 f x 2 Dentre as características gerais mais importantes para o estudo e classicação das EDP's, pode-se destacar a ordem, linearidade e homogeneidade: ˆ A ordem de uma equação diferencial é denida como a ordem da derivada de maior ordem presente. Na maioria dos casos (quando termos difusivos são considerados) obtém-se equações de segunda ordem; ˆ Uma EDP é dita linear se todas as derivadas parciais (incluindo de ordem zero, ou seja, a própria variável dependente) aparecem de uma forma linear e se nenhum dos coecientes depende da variável dependente; ˆ A homogeneidade está relacionada com a presença de algum termo que não esteja multiplicado pela variável dependente ou alguma de suas derivadas, sendo uma EDP dita homogênea se nenhum destes termos aparecer na equação. Na maioria dos casos, os termo não-homogêneos estão diretamente relacionados com termos fonte, ou seja, aqueles que não dependem da variável dependente (taxas de geração/consumo, por exemplo). 112

113 Além destas classicações comuns a todas as equações diferenciais, as EDP's podem ser classicadas de acordo com como uma perturbação irá se propagar pelo domínio de solução, do ponto de vista geométrico. Esta classicação dene a forma como a equação pode ser resolvida e quais os métodos mais adequados, sendo portanto esta classicação fundamental para uma análise correta do problema. De forma geral os problemas modelados por EDP's são resolvidos com quatro variáveis independentes (três direções espaciais e o tempo). No entanto, a classicação geral pode ser analisadas considerando-se o caso de equações com somente duas variáveis independentes. Além disso, será considero que a EDP é linear. A análise de EDP's não-lineares é mais complexa, porém em muitos casos os problemas podem ser modelados ou aproximados por EDP's lineares. Não-linearidades normalmente estão associados à dependência de algum coeciente com as variáveis dependentes. Por exemplo, a aplicação das equações de conservação de momento para uidos não-newtonianos leva a EDP's não-lineares, pois a relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação não é linear. De forma semelhante, caso a condutividade térmica de um material depender da temperatura, as equações de transferência de calor neste material serão não-lineares Classicação das EDP's de 2ª Ordem Lineares De forma geral, uma EDP linear de segunda ordem contendo duas variáveis independentes x e y com uma variável dependente φ pode ser expressa como: A 2 φ x 2 + B 2 φ x y + C 2 φ y 2 + D φ x + E φ y + F φ + G = 0 (10.1) os coecientes A, B, C, D, E, F e G podem ser funções das variáveis independentes x e y, mas não da variável φ. A equação característica associada a esta EDO é da forma: B ± B 2 4AC 2A As EDP's são classicadas com base no discriminante δ = B 2 4AC. As equações onde δ < 0, δ = 0 e δ > 0 são chamadas, respectivamente de elípticas, parabólicas e hiperbólicas, sendo que muitas características fundamentais das equações, incluindo os métodos numéricos mais apropriados para resolver a equação, estão diretamente relacionados com esta classicação. = 0 Observe que a natureza da equação depende somente dos coecientes associados com os termos de segunda ordem, sendo que os termos de primeira e de ordem zero não possuem nenhuma inuência na classicação. A classicação das EDP's como elípticas, parabólicas e hiperbólicas está diretamente relacionada com a presença ou não de caminhos característicos nas equações. O caminho característico representa a direção no domínio de solução onde a informação é transportada. Por exemplo, considere 113

114 o caso onde uma determinada espécie química se propaga em um meio contínuo. Caso o meio for estacionário (por exemplo, um perfume difundido em uma sala com ar estagnado), a propagação será em todas das direções, sem uma direção preferencial. Neste caso, diz-se que não existe um caminho preferencial. Porém, caso exista um campo de velocidades (por exemplo, se um ventilador for ligado), a propagação irá ocorrer com maior intensidade em uma direção, neste caso existe então um caminho característico. A quantidade de caminhos característicos está associado com as raízes da equação característica, conforme a tabela a seguir. B 2 4AC Raízes da eq. caract. Caminhos caract. Classicação < 0 Complexas 0 Elíptica = 0 Real e repetida 1 Parabólica > 0 Reais e distintas 2 Hiperbólica A presença de caminhos característicos no domínio de solução leva ao conceito de domínio de dependência e domínio de inuência. Considere um ponto P no domínio de solução. O domínio de dependência do ponto P é denido como a região do domínio de solução que afeta o ponto P. Assim, o ponto P depende de tudo que acontece no domínio de dependência. O domínio de inuência do ponto P é denido como a região do domínio de solução que é inuenciada pelo ponto P, ou seja, o ponto P afeta tudo que está em seu domínio de dependência. Caso uma perturbação seja causada no ponto P, esta perturbação irá afetar tudo que está no domínio de inuência de P. De forma semelhante, qualquer perturbação no domínio de dependência irá afetar a solução no ponto P. As equações parabólicas e hiperbólicas possuem caminhos característicos reais e, como consequência, domínios de dependência e de inuência especícos. As equações elípticas, no entanto, não possuem caminhos característicos. Neste caso, tanto o domínio de dependência quanto o de inuência correspondem a todo o domínio de solução da equação. Estes resultados são ilustrados na Figura 1. Em resumo, a interpretação física da classicação das EDP's pode ser explicada em termo da equação característica: ˆ Se raízes reais existirem (EDP's parabólicas e hiperbólicas), caminhos preferenciais de propagação de informação existem, sendo que a velocidade de propagação irá depender da inclinação dos caminhos característicos. Como consequência, domínios de inuência e dependência especícos irão existir para cada ponto no domínio de solução. Problemas físicos governa- 114

115 Figura 10.1.: Domínio de dependência (linhas horizontais) e de inuência (linhas verticais) para EDP's (a) elípticas, (b) parabólicas e (c) hiperbólicas. y e x representam as variáveis independentes. dos por este tipo de equação são chamados de problemas de propagação e usualmente estão associados a um comportamento transiente; ˆ Se as raízes da equação característica forem complexas (EDP elíptica), não existe um caminho preferencial de propagação. A solução em cada ponto inuencia e é inuenciada pela solução em todos os outros pontos do domínio de solução. Os problemas físicos governados por este tipo de equação são chamados de problemas de equilíbrio, estando associados com problemas estacionários EDP's Elípticas, δ < 0 As EDP's elípticas surgem naturalmente quando o termo de derivada cruzada é nulo e A e C (coecientes associados às derivadas de 2 a ordem) são positivos. Um exemplo de EDP elíptica é a Equação de Laplace mencionada anteriormente. Considere, por exemplo, a equação que descreve a condução de calor em um meio bidimensional (B = 0, A = 1, C = 1): 2 T x T y 2 = 0 Esta equação admite solução analítica através do método de separação de variáveis. No entanto, para ns de denir as características geras associadas às equações elípticas, a equação para condução unidimensional mantém todas as características mais importantes associadas e por isso será usada como exemplo. Considere a equação: 2 T x 2 = 0 115

116 Com condições de contorno de temperatura xa T (0) = T 0 e T (L) = T L, com T L > T 0. A solução desta equação é da forma: T (x) = T 0 + (T L T 0 ) x L Esta equação apresenta duas características associadas ao comportamento elíptico da equação: 1 - A temperatura em qualquer ponto P no domínio é inuenciada pela temperatura nas duas extremidades x = 0 e x = L; 2 - Na ausência de termos-fonte, T (x) é limitada pelas temperaturas nas extremidades, sendo que T (x) não pode ser maior que T L nem menor que T 0. Como esta equação não possui caminhos característicos, os domínios de dependência e de inuência são iguais a todo o domínio de solução. Além disso, como a derivada não apresenta nenhuma descontinuidade ao longo do domínio, a distribuição de temperatura será contínua EDP's Parabólicas, δ = 0 As EDP's parabólicas surgem quando B = 0 e A = 0 ou C = 0. Um exemplo clássico de EDP parabólica é a equação da difusão (de calor ou massa) transiente: T t = α 2 T x 2 Esta equação é uma EDP de segunda ordem em relação a x, sendo portanto necessário especicar duas condições de contorno, por exemplo: T (0, t) = T 0 T (L, t) = T 0 Em relação ao tempo, a equação é de primeira ordem, de modo que somente uma condição inicial precisa ser especicada, por exemplo: T (x, 0) = T i Esta é uma característica das EDP's parabólicas, onde não é necessário denir duas condições para uma das variáveis, ou seja, não é necessário denir uma condição nal para o sistema (não é preciso prever o futuro para resolver a EDP!). Utilizando o método de separação de variáveis, obtém-se a seguinte solução para a EDP: T (x, t) = T 0 + B n sin(c 1 nx)e c2 nt n=1 onde c 1 n = nπ L c 2 n = αn2 π 2 L 2 e B n = 2 L L 0 (T i T 0 ) sin(c 1 nx)dx 116

117 ou seja, B n é uma função da condição inicial e da direção x. Através desta solução, pode-se observar que: ˆ A temperatura nas extremidades, T 0, inuencia a temperatura T (x, t) em qualquer ponto do domínio, da mesma forma que para as EDP's elípticas; ˆ A condição inicial T i inuencia a temperatura para todos os tempos futuros. No entanto, como c 2 n é negativo, esta inuência diminui com o passar do tempo. No limite quando t, esta inuência tende a zero e a equação passa a ter um comportamento elíptico; ˆ A temperatura em qualquer ponto do domínio de solução é limitada pelas condições de contorno e inicial. Com base neste exemplo, pode-se perceber que a variável t possui um comportamento bem distinto da variável x. As variações em t admitem somente inuência em uma direção, enquanto que as variações em x ocorrem em duas direções. Como, neste caso, t representa o tempo, este comportamento já é esperado pelo comportamento físico do sistema (o presente altera somente o futuro e não o passado), no entanto, este comportamento é observado em qualquer EDP parabólica, mesmo quando somente variáveis espaciais são consideradas. Por exemplo, no escoamento no interior de tubos (função das direções radial e axial), a direção axial possui um comportamento parabólico. Os métodos numéricos utilizados para este tipo de equação devem considerar este comportamento, sendo necessário o uso de métodos de marcha no tempo (time-marching) para a resolução da equação EDP's Hiperbólicas, δ > 0 Considere o caso do escoamento unidimensional transiente de um uido no interior de um tubo com uma velocidade constante U > 0. O uido é alimentado a uma temperatura T 0 e, nas condições do escoamento, a transferência de calor por condução pode ser desprezada. A equação que descreve a variação da temperatura ao longo do escoamento é: com as condições: t (ρc pt ) + x (ρc put ) = 0 T (x, 0) = T i T (0, t) = T 0 Apesar de possuir some termos de primeira ordem, está é uma equação hiperbólica. Para provar isto, basta diferenciar a equação em relação a t ou a x, onde se obtém que os coecientes A ou C são nulos e B > 0, considerando que as propriedades físicas e a velocidade são positivas. 117

118 A solução para este problema será uma função descontínua da forma: T i t < x T (x, t) = U T 0 t x U Basicamente, esta função representa uma descontinuidade (degrau) na solução que viaja ao longo do domínio. Neste caso, o termo x/u funciona como um tempo característico. Conforme o uido é alimentado com uma temperatura T 0, leva um determinado tempo para que este afete a temperatura em um posição x longe da entrada, sendo este tempo uma função somente da velocidade U. Com base nesta solução, pode-se observar as seguintes características associadas com as EDP's hiperbólicas: ˆ A condição de contorno especicada em x = 0 afeta somente a temperatura para x > 0. Caso valores de x < 0 fossem avaliados, estes não seriam afetados por T 0 ; ˆ A condição de contorno na entrada se propaga ao longo do domínio de solução com uma velocidade nita U; ˆ Qualquer variação nas condições da entrada não serão sentidas em um ponto x até que t = x/u Método das Linhas O método das linhas é um método semi-discreto para a resolução de EDP's que consiste em discretizar as variáveis espaciais e manter uma das varáveis contínua (usualmente o tempo), de modo a transformar a EDP em um sistema de EDO's que pode então ser resolvido através dos métodos vistos anteriormente para a resolução de PVI's (como os métodos de Runge-Kutta). A abordagem utilizada para a discretização das variáveis espaciais usualmente é o método de diferenças nitas, por isso o método das linhas é muitas vezes chamado de método de diferenças nitas semi-discreto. Este método é aplicado principalmente para equações parabólicas, pois sua aplicação em equações elípticas origina um conjunto de PVC's, o que por sua vez também precisam ser resolvido por métodos de discretização. Quando aplicado em equações parabólicas, a variável que possui um caminho característico é mantida contínua enquanto as demais são discretizadas. Por exemplo, considere a equação do calor: T t = α 2 T x 2 118

119 Para obter uma solução particular para esta equação, é preciso especicar duas condições de contorno e uma condição inicial. Considere, por exemplo, as seguintes condições: T (0, t) = T a T (L, t) = T b T (x, 0) = sin(x) Neste caso, pode-se discretizar a derivada em relação à direção x. Usando um esquema central: T i+1 2T i + T i 1 x 2 Substituindo esta forma discreta na EDP, obtém-se um sistema de EDO's para avaliar a variação temporal das variáveis T i : dt i dt = α x 2 (T i+1 2T i + T i 1 ) A aplicação das condições de contorno vão resultar em valores especícos para a variável T i nas extremidades x = 0 e x = L que serão válidos para qualquer tempo, visto que estas condições são xas. A condição T (0, t) = T a vai resultar em T 0 = T a, enquanto que a condição T (L, t) = T b vai resultar em T N = T b, onde N + 1 é o número total de pontos utilizados para discretizar o domínio de solução na direção x. Para resolver este sistema de EDO's para os i pontos, é preciso especicar condições iniciais para cada valor T i. Como a variável T i representa a temperatura na posição x i, o valor inicial pode ser obtido diretamente da condição inicial especicada anteriormente aplicada no ponto x i. A condição inicial era da forma: T (x, 0) = sin(x) Assim, para cada variável T i teremos uma condição inicial associada da forma: T i (0) = sin(x i ) Observe que enquanto a temperatura é uma função da posição e do tempo (T (x, t)), as variáveis T i são funções apenas do tempo T i (t), pois representam a temperatura em um ponto xo x i. A aplicação do método das linhas vai originar uma série de curvas (daí o nome método das linhas), contínuas em relação ao tempo, que representam como a temperatura varia em cada ponto x i. A gura a seguir ilustra a forma da solução de uma EDP com duas variáveis independentes obtida com o método das linhas. 119

120 Para ilustrar a aplicação do método das linhas, considere que se deseje obter a variação de temperatura ao longo de uma barra metálica com uma extremidade isolada e outra mantida a uma temperatura T ext e que perde calor para o meio externo por convecção, da mesma forma que analisado na aula anterior. Neste caso, porém, considere que se deseje obter como a temperatura varia ao longo do tempo a partir de um estado inicial T (x, 0) = T ini. A equação que descreve a variação na temperatura ao longo da posição x e do tempo t neste caso será: T t = T α 2 x 2 h α(t T a ) As condições de contorno associadas a este problema são: T (0, t) = T ext Além disso, a condição inicial utilizada é da forma: T = 0 x x=l T (x, 0) = T ini De forma geral, as condições de contorno podem ser função do tempo, da mesma forma que a condição inicial pode ser uma função de x. 120

121 Para resolver esta equação com o método das linhas, é preciso discretizar a equação na direção espacial e manter a função contínua no tempo. Assim, deve-se denir um domínio discreto na direção x. Neste caso, será considerado o mesmo domínio discreto utilizada anteriormente, com N + 1 = 6 pontos: Neste caso, a discretização da EDP na direção x irá resultar um conjunto de valores (T 0, T 1, T 2, T 3, T 4, T 5 ) que representam a temperatura nos pontos respectivos (x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ). Neste caso, porém, estes valores T i não são necessariamente constantes, mas são uma função do tempo. A EDP avaliada neste exemplo envolve a derivada segunda em relação a direção x, então deve-se discretizar esta derivada. Considerando um esquema central, a derivada segunda nos pontos x i são dadas por: Substituindo na EDP, obtém-se: dt i dt = α 2 T x 2 = T i+1 2T i + T i 1 ( x) 2 ( Ti+1 2T i + T i 1 ( x) 2 ) h α(t i T a ) Esta equação pode ser aplicada nos pontos i = 1, 2, 3, 4 para obter uma EDO para a temperatura em cada um destes pontos. Para resolver este sistema de EDO's, é preciso denir uma condição inicial para cada ponto. Como a temperatura inicial é considerada constante e igual a T ini, basta associar este valor com a temperatura em cada ponto: T i (0) = T ini Para fechar o sistema de equações, é preciso ainda denir equações para T 0 e T 5, que são obtidas através da aplicação das condições de contorno. A condição T (0, t) = T ext resulta diretamente em: T 0 = T ext Assim, obtém-se uma equação para a temperatura na extremidade x = 0. Na extremidade x = L, a condição é de derivada nula. Como visto anteriormente, neste caso pode-se aplicar um esquema 121

122 de discretização para trás, de onde se obtém que T 5 = T 4. Com estas duas condições extras, o sistema de EDO's pode ser resolvido. De forma resumida, as equações para os 6 pontos são: T 0 = T ext ( ) dt 1 dt = α T2 2T 1 + T 0 ( x) 2 h α(t 1 T a ) ( ) dt 2 dt = α T3 2T 2 + T 1 ( x) 2 h α(t 2 T a ) ( ) dt 3 dt = α T4 2T 3 + T 2 ( x) 2 h α(t 3 T a ) ( ) dt 4 dt = α T5 2T 5 + T 3 ( x) 2 h α(t 4 T a ) T 1 (0) = T ini T 1 (0) = T ini T 1 (0) = T ini T 1 (0) = T ini T 5 = T 4 As equações para i = 1, 2, 3, 4 formam um sistema de PVI's que pode ser resolvido por algum dos métodos vistos anteriormente para a resolução de PVI's, como os métodos de Runge-Kutta. Considere, por exemplo, novamente que um caso onde L = 1 cm ( x = 0.2 cm), T ext = 100 C, T a = 25 C e h = 0.1 cm 2. Além disso, considere que α = 0.01 cm 2 /s e T ini = 25 C. Neste caso, a barra metálica está inicialmente na mesma temperatura que o ambiente externo. Em um dado instante, a temperatura na extremidade x = 0 é aumentada para 100 C. Resolvendo o sistema de equações utilizando Runge-Kutta de quarta ordem, obtém-se as curvas apresentadas na gura a seguir. 122

123 Pode-se observar que para altos valores de tempo as temperaturas tendem a um valor especíco, ou seja, tendem para um valor estacionário. Estes valores correspondem exatamente aos obtidos na aula anterior para a resolução do caso onde o comportamento transiente foi desprezado. 123

124 Lista de Exercícios 10 - Classicação de EDP's e Métodos das Linhas 01) Classique as seguintes equações diferencias em parabólicas, elípticas ou hiperbólicas: a) 2 u x u y 2 = ex + e y c) 2 u x u x y = 0 b) ρu u x = µ 2 u x 2 + ρg x d) u = 2 u 02) a) Considere a seguinte equação: u t = u a 2 x 2 b u x Com as seguintes condições de contorno e condição inicial: u(0, t) = 0 u(1, t) = 1 u(x, 0) = x 2 Utilizando o método das linhas, obtenha o sistema de EDO's que descreve a variação de u em diferentes pontos ao longo do domínio. Considere x = 0.2. b) Utilize o método de Euler explícito para estimar o valor de u em x = 0.8 para t = 0.6. Considere t = 0.2 e a = 0.1 e b = 0.5. R: u 4 (0.6) = ) Utilize o método das linhas para obter uma aproximação para a equação do calor: com as seguintes condições: T t = T α 2 x 2 T = 0 T (1, t) = 2.5 T (x, 0) = 0 x x=0 onde α = 0.1. Considere x = Utilizando o método de Runge-Kutta de quarta ordem, estime a temperatura em x = 0.5 para um tempo t = 1, utilizando t = Faça um esboço de um algoritmo que possa ser utilizado para resolver o problema usando x = t = R: T 2 (1) =

125 11. Método de Diferenças Finitas para EDP's Elípticas As equações elípticas surgem com frequência na modelagem de problemas de equilíbrio, como por exemplo na descrição de transferência de calor em sistemas bidimensionais em estado estacionário. Como visto na aula anterior, as equações elípticas possuem a característica de que o domínio de dependência e o domínio de inuência são iguais e englobam todo o domínio de solução. Por isso, para conhecer o valor de uma dada variável em um ponto, deve-se conhecer os valores em todos os outros pontos. Isto implica que para resolver uma equação elíptica através de métodos numéricos, deve-se resolver todo o domínio de solução simultaneamente. Por isso, o método das linhas não pode ser aplicado neste caso. Dentre as EDP's elípticas mais importantes, pode-se destacar as equações de Laplace e de Poisson. Em um sistema bidimensional, estas equações são expressas, respectivamente, como: 2 u x u y 2 = 0 2 u x u = f(x, y) y Equação de Laplace Para ilustrar a aplicação do método de diferenças nitas para equações elípticas, considere a distribuição de temperatura em um sistema 2D com dimensões L W onde três contornos são mantidos em uma temperatura fria T F e a superfície superior é mantida em uma temperatura quente T Q. Pode-se denir uma temperatura adimensional u = (T T F )/(T Q T F ) para facilitar a resolução, de modo que quando T = T F, u = 0 e quanto T = T Q, u = 1. Um esquema deste sistema é apresentado na gura a seguir. Neste caso, a equação que governa a distribuição de temperatura é a equação de Laplace: 2 u x u y 2 = 0 com as seguintes condições de contorno associadas: u(0, y) = 0 u(w, y) = 0 u(x, 0) = 0 u(x, L) = 1 125

126 Para resolver este tipo de equação, pode-se aplicar o método de diferenças nitas. Anteriormente, o método foi aplicado para a resolução de EDO's, de modo que a solução buscada era função de somente uma variável independente. O domínio de solução desta variável foi então dividido em um dado número de pontos e aproximações por diferença nitas foram aplicadas para obter uma representação discreta da derivada em cada um destes pontos. No caso da equação de Laplace, a solução buscada é função de duas variáveis independentes, de modo que o domínio de solução é um plano e não uma reta. Neste caso, também é necessário dividir o domínio em um conjunto de pontos, porém estes pontos irão gerar uma matriz e não um vetor como no caso das EDO's. Por exemplo, considere que o domínio de solução seja dividido em N i elementos com tamanho x na direção x (ou N i + 1 pontos) e em N j elementos com tamanho y na direção y (ou N j + 1 pontos), como indicado na gura a seguir. Neste caso, o grid numérico (ou malha numérica) possui duas dimensões, de modo que a solução será deverá ser indicada com dois índices, neste caso u[i, j]. O índice i se refere à direção x e o índice j à direção y. Por exemplo, considerando x e y constantes, o termo u[3, 6] se refere a aproximação da solução em x = 3 x e y = 6 y. A equação de Laplace possui derivadas segundas em relação a duas variáveis independentes x e y. Neste caso, a aproximação por diferenças nitas das derivadas parciais parte de uma expansão em séries de Taylor na direção especíca da variável independente analisada. Por exemplo, para avaliar a derivada em relação a x, considera-se y constante e portanto o índice j é mantido xo e o índice i é variado de acordo com o esquema utilizado. Utilizando um esquema central para a aproximação nas duas direções, temos: 2 u u[i 1, j] 2u[i, j] + u[i + 1, j] = x2 x 2 2 u u[i, j 1] 2u[i, j] + u[i, j + 1] = y2 y 2 126

127 Substituindo na EDP: u[i 1, j] 2u[i, j] + u[i + 1, j] u[i, j 1] 2u[i, j] + u[i, j + 1] x 2 + y 2 = 0 Multiplicando a equação por x e denindo α = x/ y: u[i 1, j] 2u[i, j] + u[i + 1, j] + α 2 (u[i, j 1] 2u[i, j] + u[i, j + 1]) = 0 Colocando os termos u[i, j] em evidência: u[i 1, j] + u[i + 1, j] + α 2 (u[i, j 1] + u[i, j + 1]) (2 + 2α 2 )u[i, j] = 0 De modo que: u[i, j] = u[i 1, j] + u[i + 1, j] + α2 (u[i, j 1] + u[i, j + 1]) 2(1 + α 2 ) Esta expressão pode ser utilizada para determinar a solução em um dado ponto com base nos valores dos pontos vizinhos. Como envolve o conhecimento de pontos vizinhos em todas as direções, esta expressão não pode ser utilizada nas fronteiras, onde algum dos vizinhos não é denido. Assim pode-se utilizar a expressão anterior para qualquer valor de i diferente de 0 ou N i e para qualquer valor de j diferente de 0 ou N j. Como pode ser observado, no caso de um grid quadrado, com x = y, teremos que α 2 = 1, de modo que a solução no ponto [i, j] será simplesmente a média aritmética da solução nos seus quatro vizinhos. Por envolver o valor da variável em um dado ponto e em seus quatro vizinhos, esta forma de aproximação é muitas vezes chamada de aproximação em 5 pontos. 127

128 Uma notação muito útil para apresentar relações similares a esta pode ser conseguida utilizando o conceito de pontos cardeais. Com isso, os vizinhos a um dado ponto P são representados como pontos leste (E), oeste (W ), norte (N) e sul (S), por comparação com uma projeção cartográca cartesiana, como indicado na gura a seguir. Neste esquema, o ponto [i, j] é identicado como ponto P, o ponto [i + 1, j] como ponto E, e assim sucessivamente. A vantagem de utilizar este esquema é que pode-se associar um coeciente A com cada ponto, de modo a escrever a equação discretizada como: A P (u[i, j]) + A W (u[i 1, j]) + A E (u[i + 1, j]) + A S (u[i, j 1]) + A N (u[i, j + 1]) = 0 No exemplo anterior, os coecientes associados são: A P = (2 + 2α 2 ) A W = A E = 1 A N = A S = α 2 A discretização de equações elípticas homogêneas em um sistema bidimensional sempre irá gerar uma relação desta forma, portanto pode-se simplesmente alterar os coecientes A para incluir as modicações em relação a este caso Discretização das Condições de Contorno Para resolver o sistema de equações lineares, cada ponto do grid deve possuir uma equação linearmente independente associada. A relação anterior pode ser aplicada para todos os pontos externos, enquanto que nas fronteiras pode-se utilizar as condições de contorno. Relembrando, as condições de contorno associadas são: u(0, y) = 0 u(w, y) = 0 u(x, 0) = 0 u(x, L) = 1 128

129 A primeira condição, u(0, y) = 0, é aplicada em x = 0, ou seja, na extremidade esquerda do domínio de solução. Como a direção x é representa pelo ínidice i, a fronteira x = 0 equivale a i = 0. Com relação a direção y, identicada pelo índice j, a condição deve ser válida para todos os valores de j = 0 até j = N j. Assim, pode-se especicar esta condição de contorno como: u(0, y) = 0 u[0, j] = 0 j = 0 até N j A utilização de índices partindo de 0 e indo até N i ou N j causa problema nos vértices do grid, pois nestes pontos pode haver sobreposição de condições de contorno. Por exemplo, considere a condição na superfície superior (y = L). Esta condição estabelece que u(x, L) = 1. Assim, pode-se denir esta condição na forma discreta como: u(x, L) = 1 u[i, N j ] = 1 i = 0 até N i ou seja, xa-se a direção y e varia-se a direção x para cobrir todo o domínio de solução. No entanto, no vértice u[0, N j ] (canto superior esquerdo), já havia sido atribuída a condição u[0, N j ] = 0. O mesmo problema irá ocorrer em todos os vértices, pois representam uma interseção entre fronteiras que podem ou não ter condições distintas associadas. A pergunta óbvia que deve ser feita neste caso é qual condição deve ser aplicada nos vértices. A resposta não tão óbvia é que não existe uma regra geral para isto. Normalmente, o grid numérico possui um número elementos sucientemente grande para a escolha não ter uma importância tão signicativa. Neste caso, será considere que nos vértices superiores u = 1. Assim, a primeira condição deve ser expressa como: u(0, y) = 0 u[0, j] = 0 j = 0 até N j 1 e as demais condições resultam em: u(w, y) = 0 u[n i, j] = 0 j = 0 até N j 1 u(x, 0) = 0 u[i, 0] = 0 i = 1 até N i 1 Na última condição, foram especicados valores a partir de i = 1 até i = N i 1 porque os vértices já haviam sido denidos nas demais condições. Dessa forma, todos os pontos do grid possuem uma equação algébrica associada. Resolvendo este sistema de equações, obtém-se uma aproximação para a solução da EDP Obtenção do Sistema de Equações Algébricas Para ilustrar este problema, considere uma malha simplicada com N i = N j = 4 e com igual espaçamento nas direções x e y, de modo que x = y e como consequência α = 1. Certamente 129

130 um grid com este número de elementos não é adequado para representar um sistema físico real, mas será utilizado somente para ilustrar a obtenção das equações. As condições denidas anteriormente, na forma discretizada, foram: fronteira esquerda u[0, j] = 0 j = 0 até N j 1 fronteira superior u[i, N j ] = 1 i = 0 até N i fronteira direita u[n i, j] = 0 j = 0 até N j 1 fronteira inferior u[i, 0] = 0 i = 1 até N i 1 A aplicação da condição na fronteira esquerda resulta em: u[0, 0] = u[0, 1] = u[0, 2] = u[0, 3] = 0 De forma semelhante, a aplicação das condições nas fronteiras superior, direita e inferior resulta, respectivamente, em: u[0, 4] = u[1, 4] = u[2, 4] = u[3, 4] = u[4, 4] = 1 u[4, 0] = u[4, 1] = u[4, 2] = u[4, 3] = 0 u[1, 0] = u[2, 0] = u[3, 0] = 0 Estas condições denem os N i N j = 16 pontos da fronteira. Para os pontos internos, deve-se utilizar a equação discretizada obtida anteriormente: A P (u[i, j]) + A W (u[i 1, j]) + A E (u[i + 1, j]) + A S (u[i, j 1]) + A N (u[i, j + 1]) = 0 130

131 Com os coecientes A P = (2 + 2α 2 ) = 4 A W = A E = 1 A N = A S = α 2 = 1 Por exemplo, para j = 1, estas equações resultam em: A P u[1, 1] + A W u[0, 1] + A E u[2, 1] + A S u[1, 0] + A N u[1, 2] = 0 A P u[2, 1] + A W u[1, 1] + A E u[3, 1] + A S u[2, 0] + A N u[2, 2] = 0 A P u[3, 1] + A W u[2, 1] + A E u[4, 1] + A S u[3, 0] + A N u[3, 2] = 0 Como pode ser visto, estas equações dependem também dos valores nas posições j = 0 e j = 2. Fazendo o mesmo procedimento para as demais linhas, irá se obter equações semelhantes. Neste caso, serão 9 equações além das condições de contorno. Por simplicidade, as aproximações u[i, j] serão representadas por u ij. Assim, considerando os valores dos coecientes e as condições de contorno, as equações anteriores podem ser expressas como: 4u 11 + u 21 + u 12 = 0 4u 21 + u 11 + u 31 + u 22 = 0 4u 31 + u 21 + u 32 = 0 De forma semelhante, para j = 2, as equações obtidas são: 4u 12 + u 22 + u 13 + u 11 = 0 4u 22 + u 12 + u 32 + u 23 + u 21 = 0 4u 32 + u 31 + u 22 + u 33 = 0 Finalmente, para j = 3 4u 13 + u 12 + u 23 = 1 4u 23 + u 13 + u 33 + u 22 = 1 4u 33 + u 23 + u 32 = 1 131

132 Este sistema pode ser representado na forma matricial como: u 11 u 21 u 31 u 12 u 22 u 32 u 13 u 23 u 33 = Este sistema pode ser apresentado de uma forma simplicada como: B I 0 I B I 0 I B u 1 u 2 u 3 = onde I é a matriz identidade 3 3 e os blocos B são dados por: os vetores u x representam os pontos associados com valores xos de j = x. O sistema linear formado com estas equações irá apresentar uma estrutura conhecida como tridiagonal em blocos. A resolução deste sistema linear através de técnicas de eliminação não costuma apresentar bons resultados, pois a matriz dos coecientes usualmente é muito esparsa (a maioria dos elementos são nulos). Em contrapartida, métodos iterativos como Jacobi e Gauss-Siedel apresentam excelentes resultados, pois usualmente a matriz possui a diagonal principal dominante. Resolvendo o sistema de equações, obtém-se os seguintes valores: u 11 = u 31 = u 21 = u 12 = u 32 = u 22 = 0.25 u 13 = u 33 = u 23 =

133 Lista de Exercícios 11 - Diferenças Finitas para EDP's Elípticas 1) (Equação de Poisson) Considere um sistema bidimensional, como na Figura a seguir, representando um meio sólido com condutividade térmica constante onde existe uma fonte uniforme de calor q/k e as fronteiras são mantidas em T = 0 C. Neste caso, a equação que descreve a variação de temperatura ao longo das direções x e y, em estado estacionário, é dada por: T x T y 2 = q k As equações com este formato são chamadas de equação de Poisson e são uma importante classe de equações elípticas. Considere um sistema onde L = W = 1 cm e q/k = K/cm 2 correspondendo, por exemplo, a um microchip onde ocorre dissipação de calor devido à passagem de uma corrente elétrica. Utilizando uma malha com N i = N j = 5, obtenha a temperatura no centro do microchip. Se necessário, interpole os valores dos pontos vizinhos ao ponto central. R: T = 67.5 C 2) (Utilização de Planos de Simetria) Considere novamente o sistema descrito no exemplo anterior. Como as condições de contorno impostas são iguais em todos as fronteiras e a fonte de calor é homogênea, os planos paralelos aos eixos x e y e que cruzam o ponto central representam planos de simetria. Isto implica que é suciente considerar somente 1/4 do domínio de solução, já que o comportamento neste quadrante será idêntico ao comportamento nos demais 1. A condição matemática que representa os planos simetrias é de derivada nula em relação à direção normal. Dessa forma, o problema anterior pode ser representado da forma: 1 Alguns sistemas podem apresentar quebra de simetria devido à utuações ininitesimais próximas a pontos de bifurcação, mas este comportamento é raro e usualmente não precisa ser considerado. 133

134 a) Utilizando novamente N i = N j = 5, obtenha a temperatura no ponto central. Observe que neste caso o ponto central corresponde exatamente ao vértice T [N i, N j ]. R: T = C 134