Comparação entre métodos numéricos: Runge-Kutta de quarta ordem e previsor-corretor

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1 Comparação entre métodos numéricos: Runge-Kutta de quarta ordem e previsor-corretor Comparison of numerical methods: fourth-order Runge-Kutta and predictor-corrector ISSN Volume 7, dez Edição ERMAC Rafael de Lima Sterza Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho" (UNESP/FCT) rlsterza@gmail.com Analice Costacurta Brandi Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho" (UNESP/FCT) analice@fct.unesp.br Resumo As equações diferenciais ordinárias são de grande importância em diversas áreas, pois determinam o comportamento futuro de vários problemas, com base nas condições presentes. Os problemas podem ser modelados matematicamente e, através dessa modelagem matemática, é possível a representação dos conceitos e processos envolvidos nesses tipos de problemas, o que leva ao entendimento do fenômeno físico modelado. Neste contexto, este trabalho trata-se da comparação entre dois métodos numéricos, o método de Runge-Kutta e o método previsor-corretor, utilizados para resoluções de equações diferenciais ordinárias. A implementação do problema é realizada através do software Matlab e teve como objetivo a determinação da solução do problema. A verificação dos métodos foi realizada através de simulações numéricas do problema com diferentes condições auxiliares, comparando com a solução analítica existente na literatura. Palavras-chave: Métodos numéricos. Equações diferenciais ordinárias. Método de Runge-Kutta. Método previsor-corretor. Abstract The ordinary differential equations are of great importance in many areas as they may determine the future behavior of several problems, based on current conditions. The problems can be modeled mathematically and through this mathematical model it is possible the representation of the concepts and processes involved in these types of problems, which leads to the understanding of the modeled physical phenomenon. In this context, this work deals with the comparison between two numerical methods, the Runge-Kutta method and the predictorcorrector method used for the resolution of ordinary differential equations. The implementation of the problem was performed using the Matlab software and aimed to determine approximations for the solution of the problem. The validation of the methods is performed via numerical simulations of the problem with different auxiliary conditions, comparing with the analytical solution existing in the literature. Keywords: Numerical methods. Ordinary differential equations. Runge-Kutta method. Predictor-corrector method.

2 1 Introdução Muitos problemas científicos e de engenharias podem ser modelados matematicamente, sendo uma representação idealizada e simplificada de algum fenômeno natural. As soluções das equações devem respeitar os aspectos mais relevantes no comportamento do problema modelado, no entanto, muitas vezes não é possível justificar a utilização de hipóteses simplificadoras que modificam a natureza do problema, tal como a linearidade, que tornariam possível a determinação de uma solução exata. Isso quer dizer que não se pode forçar um problema a satisfazer hipóteses que permitiria a obtenção da solução exata, por esse motivo se faz necessário a utilização de métodos numéricos (CUMINATO; MENEGUETTE JUNIOR, 2013). A utilização de métodos numéricos para a solução de equações diferenciais ordinárias com problema de valor inicial é de fundamental importância e será resolvido através do método de diferenças finitas, sendo que a ideia geral desse método é a discretização do domínio e a substituição das derivadas presentes no problema por aproximações envolvendo o valor numérico da função. O objetivo deste trabalho é a resolução de problemas de valor inicial, isto é, uma equação diferencial ordinária com uma condição inicial conhecida, através do método de Runge-Kutta e do método previsor-corretor, em que a implementação foi executada no software Matlab. Também, será realizada uma comparação entre os métodos numéricos testados e a solução analítica, baseada em seus respectivos erros. 2 Formulação matemática Para as equações diferenciais ordinárias (EDOs) de primeira ordem, um problema de valor inicial (PVI) é um problema de evolução, no qual a informação inicial, que é conhecida, é propagada para o interior do domínio pela equação diferencial e pode ser representado da seguinte maneira: { y = f(x, y), y(a) = β, (1) onde f: R² R é uma função contínua. A função y = y(x) (x a) é a solução do problema e β é o valor inicial no ponto a. Em outras palavras, a equação (1) é uma EDO de primeira ordem com a condição inicial y(a) = β (ZILL, 2011). 3 Formulação numérica Um conjunto de pontos que representam a função y(x) de maneira aproximada é a solução numérica de uma EDO. Quando se resolve numericamente uma equação diferencial, o enunciado do problema também inclui o domínio da solução. Por exemplo, considere que uma solução seja necessária entre x = a e x = b, portanto o domínio será [a, b]. Dependendo do método numérico utilizado para resolver a equação, pode-se ajustar previamente o número de pontos entre a e b nos quais deseja-se obter a solução, ou isso pode ser decidido pelo método. O domínio pode ser dividido em n subintervalos de mesma largura definidos por n + 1 valores da variável independente entre x 1 = a e x n+1 = b, ou seja, considerando o intervalo [a, b], subdividido em n partes iguais, cada uma de comprimento h, formando um conjunto de pontos, com x 0 = a e x n = b, R h = {x i = a + ih, i = 0, 1, 2,, n}, em que h = b a. n 13

3 A solução consiste em valores da variável dependente determinados para cada valor da variável independente. A solução é então formada por um conjunto de pontos (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n+1, y n+1 ), que definem a função y(x) (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008). O método de diferenças finitas utiliza a expansão da Série de Taylor para aproximar as derivadas presentes nas equações, e determina o comportamento da função em um ponto x que é arbitrário, porém próximo ao ponto de referência a, a expansão pode ser escrita de uma maneira geral n y(x) = y(a) + y(k) (a) (x a) k + O((x a) n+1 ), (2) k! k=1 onde a distância x = h = x a, a ordem n do polinômio determina o erro da aproximação e O( x) representa a ordem do erro de truncamento local (ETL) (FORTUNA, 2012), isto é, o erro existente em uma iteração da integração numérica ao substituir um processo infinito por um finito, já o erro de truncamento global é o acúmulo dos ETL ao longo do processo de integração (BORTOLI et al., 2003). Sejam y i aproximações para y(x i ), i = 0, 1, n e em cada um dos pontos aproxima-se a equação diferencial (1). A determinação das aproximações para as derivadas por diferenças avançadas e atrasadas podem ser descritas da seguinte forma y (x i ) = y i+1 y i. h (3) A equação (3) representa a diferença avançada, cujo erro de truncamento local é dado por ETL = h 2 y (ζ i ), ζ i [x i, x i+1 ], ou seja, um erro de primeira ordem (FORTUNA, 2012). Uma outra aproximação para a primeira derivada é dada por y (x i ) = y i y i 1, (4) h que representa a diferença atrasada, cujo erro de truncamento local também é de primeira ordem, dado por ETL = h 2 y (ζ i ), ζ i [x i 1, x i ] (FORTUNA, 2012). 3.1 Método de Runge-Kutta Carl David Runge ( ), matemático e físico alemão, trabalhou muitos anos em espectroscopia. Kutta era um matemático alemão que trabalhava com aerodinâmica e é, também, muito conhecido por suas contribuições importantes à teoria clássica de aerofólio. A análise de dados os levaram a considerar problemas em computação numérica e o método de Runge-Kutta tem origem em um artigo sobre soluções em 1901 por M. Wilhelm Kutta ( ) (VALLE, 2012). O método de Runge-Kutta é provavelmente um dos métodos mais populares e o de quarta ordem é um dos mais utilizados para obter soluções aproximadas de valor inicial. Cada método de Runge-Kutta consiste em comparar um polinômio de Taylor apropriado para eliminar o cálculo das derivadas, fazendo-se várias avaliações da função a cada passo. O método de Runge-Kutta pode ser entendido como um aperfeiçoamento do método de Euler, com uma melhor estimativa da derivada da função (VALLE, 2012). No método de Euler a estimativa do valor de y n+1 é realizado com o valor de y n e com a derivada no ponto x n. No método de Runge-Kutta, busca-se uma melhor estimativa da derivada com a avaliação da função em mais 14

4 pontos no intervalo [x n, x n+1 ]. Um método de Runge-Kutta de ordem n possui um erro da ordem de O(h n+1 ) (BARATTO, 2007). De modo geral, o método de Runge-Kutta é dado por y n+1 = y n + h (Inclinação), (5) onde Inclinação é uma constante que é obtida através do cálculo da inclinação em vários pontos no interior do subintervalo. A ordem do método indica o número de pontos usado em um subintervalo para determinar o valor da Inclinação, isto é, o método de Runge-Kutta de segunda ordem utiliza a inclinação em dois pontos, o método de terceira ordem utiliza três pontos, e assim por diante (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008). Fazendo x = x n+1 = x n + h e a = x n na equação (2) com n = 4, obtém-se y(x n+1 ) = y(x n + h) = = y(x n ) + hy (x n ) + h2 2! y (x n ) + h3 3! y (x n ) + h4 4! y(4) (x n ) + h5 5! y(5) (ζ), onde ζ é algum número entre x n e x n+1. O procedimento de Runge-Kutta de quarta ordem consiste em encontrar constantes apropriadas de tal forma que y n+1 = y n + h(c 1 K 1 + c 2 K 2 + c 3 K 3 + c 4 K 4 ), (6) sendo c 1, c 2, c 3 e c 4 constantes a serem determinadas e K 1 = f(x n, y n ), K 2 = f(x n + α 1 h, y n + β 1 hk 1 ), K 3 = f(x n + α 2 h, y n + β 2 hk 1 + β 3 hk 2 ), K 4 = f(x n + α 3 h, y n + β 4 hk 1 + β 5 hk 2 + β 6 hk 3 ), igualando a equação (6) com o polinômio de Taylor de grau 4, resultará um sistema não-linear de 11 equações e 13 incógnitas, ou seja, haverá infinitas soluções), onde as 13 incógnitas são c 1, c 2, c 3, c 4, α 1, α 2, α 3, β 1, β 2, β 3, β 4, β 5 e β 6 (VALLE, 2012; BARROSO, 1987). No entanto, há uma solução, em particular, que é muito utilizada, fazendo: c 1 = c 4 = 1 6 ; c 2 = c 3 = 1 3 ; α 3 = β 6 = 1; β 2 = β 4 = β 5 = 0; α 1 = α 2 = β 1 = β 3 = 1 2. Dessa forma, o método de Runge-Kutta de quarta ordem é dado por com y n+1 = y n + h 6 (K 1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4 ), K 1 = f(x n, y n ), K 2 = f (x n h, y n hk 1), (7) (8) 15

5 K 3 = f (x n h, y n hk 2), K 4 = f(x n + h, y n + hk 3 ). As equações (7) e (8) representam o método de Runge-Kutta de quarta ordem, cujo erro de truncamento local é h5 5! y(5) (ζ), onde ζ [x n, x n+1 ] ou O(h 5 ) (VALLE, 2012) e o erro de truncamento global é O(h 4 ) (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008). A construção dos métodos de Runge-Kutta de outras ordens é análoga ao mostrado acima, o de segunda ordem, por exemplo, é dado por y n+1 = y n + h(c 1 K 1 + c 2 K 2 ), com c 1 + c 2 = 1, K 1 = f(x n, y n ) e K 2 = f(x n + hα 1, y n + h(β 1 K 1 )) e para determinar os parâmetros c 1, c 2, α 1 e β 1 é necessário comparar a função y n+1 com a fórmula de Taylor de ordem 2, isto é, assim, obtém-se y n + h(c 1 K 1 + c 2 K 2 ) = y n + hy (x n ) + h 2 y (x n ), c 1 + c 2 = 1 { c 2 α 1 = 1 2 Sistema não-linear com infinitas soluções. α 1 = β 1 Em particular, toma-se c 1 = c 2 = 1 2 e α 1 = β 1 = 1 (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008), dessa forma o método de Runge-Kutta de segunda ordem é dado por: y n+1 = y n + h 2 [f(x n, y n ) + f(x n + h, y n + hk 1 )], que também é conhecido como método de Euler aperfeiçoado, cujo erro de truncamento local é dado por h3 3! y(3) (ζ), onde ζ [x n, x n+1 ] ou O(h 3 ) (VALLE, 2012) e o erro de truncamento global é O(h 2 ) (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008). 3.2 Método previsor-corretor Os métodos previsor-corretor se referem a uma família de esquemas usados na solução de EDOs. Esses esquemas utilizam duas fórmulas, chamadas de previsor e corretor. O previsor é uma fórmula explícita usada para estimar a solução y n + 1. Com o previsor, o valor de y n + 1 é calculado a partir da solução conhecida no ponto anterior (x n, y n ) (método de passo simples) ou em vários pontos anteriores (métodos multipasso). Uma vez encontrada uma estimativa para y n + 1, aplica-se o corretor. O corretor usa o valor estimado de y n + 1 no lado direito de uma fórmula que, em circunstâncias normais, seria usada como uma fórmula implícita. Com isso, obtém-se no lado esquerdo da equação um novo valor para y n + 1 que é mais preciso que o anterior. Portanto, a equação corretora, que é usualmente uma equação implícita, acaba sendo usada de uma maneira explícita, já que neste caso não é necessário resolver uma equação nãolinear. Esse esquema usa os benefícios da fórmula implícita, ao mesmo tempo evitando as 16

6 dificuldades associadas à solução direta de uma equação implícita. Além disso, a aplicação do corretor pode ser feita várias vezes com a substituição do novo valor de y n + 1 no lado direito da equação corretora, o que resulta em valores de y n + 1 cada vez mais refinados (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008). Este método de solução de equações diferenciais ordinárias é baseado no Teorema Fundamental do Cálculo x n+1 y (x)dx = y(x n+1 ) y(x n ). x n Como y (x) = f(x, y(x)), tem-se x n+1 x n f(x, y(x))dx = y(x n+1 ) y(x n ) x n+1 y(x n+1 ) = y(x n ) + f(x, y(x))dx x n. Utiliza-se a regra dos Trapézios para a aproximação da integral encontrada na equação (9), dessa forma y(x n+1 ) = y(x n ) + h 2 [f(x (10) n, y n ) + f(x n+1, y(x n+1 ))]. A equação (10) é chamada de Método dos Trapézios e o mesmo deve ser calculado implicitamente, já que o termo y(x n+1 ) = y n+1 aparece nos dois lados da equação. O método previsor-corretor consiste em resolver a equação (10) por meio dos seguintes passos (RUGGIERO, 1996): i) por meio de um método explícito, obtido por diferenças avançadas, encontra-se a primeira (0) aproximação y n+1 para yn+1 ; ii) calcula-se então o valor f(x n+1, y (0) n+1 ), que representa o f n+1 ; (1) iii) por (ii), encontra-se uma próxima aproximação para y n+1, y n+1, usando um método implícito, que é obtido utilizando diferenças atrasadas; (1) iv) calcula-se, agora, f(x n+1, y n+1) e assim repetirá o processo até que duas aproximações sucessivas sejam y n+1 (k) (k 1) yn+1 (k) y n+1 < ε, onde ε é a precisão desejada. Portanto, para a obtenção de y 1, deve-se realizar, Previsor: y 1 (0) = y 0 + hf(x 0, y 0 ), será a primeira aproximação para y 1. E então, utilizando o Corretor: y 1 (k+1) = y0 + h 2 [f(x 0, y 0 ) + f(x 1, y 1 (k) )], caso a sequência y 1 (0), y1 (1), y1 (2), convergir será determinado o valor de y1. E isso deve ser realizado para todos os y n. Em outras palavras, a equação (10) para y(x n+1 ) é resolvida pelo método de aproximações sucessivas com a aproximação inicial dada por y(x n+1 ) = y(x n ) + hf(x n, y(x n )). Ao aplicar o corretor utiliza-se a iteração do ponto fixo que, neste caso, convergirá se φ (y n ) < 1, onde φ(y n ) = y n 1 + h 2 [f(x n 1, y n 1 ) + f(x n, y n )]. Como φ (y n ) = h 2 f(x n,y n ) y n h 2, segue que f(x n, y n ) y n < 1 h f(x n, y n ) y n < 2 h < 2. f(x n, y n ) y n (9) 17

7 Dessa forma, se f(x n,y n ) for contínua, pode-se escolher h suficientemente pequeno para que y n o método corretor gere uma sequência convergente (SANTOS, 2009). 4 Resultados numéricos Neste trabalho foram considerados dois problemas de valor inicial, resolvidos pelos métodos Runge-Kutta de segunda e quarta ordem e previsor-corretor para verificar a validade das técnicas numéricas descritas na seção anterior e compará-las. 4.1 Problema 1 Utilizando o PVI abaixo (ZILL, 2011): y sen(x)sen(y) tg(x) =, cos(x) cos(y) { y(0) = 0, x [0, 0.9], em que a solução analítica é dada por: y(x) = arcsen[sec(x)(ln(cos(x)))]. Assim, a resolução numérica dos métodos estudados é apresentada, comparando-os e fazendo uma análise da convergência. Para a resolução desse problema, é necessário dispor do espaçamento h utilizado, dessa forma, foram consideradas três malhas: grossa (h = 0.036), intermediária (h = 0.018) e fina (h = 0.009). Inicialmente, verifica-se os valores de h escolhidos, isto é, se eles satisfazem o critério de 2 convergência, então h < = 2.35, ou seja, os valores escolhidos estão de f(x n,yn ) yn = acordo com a convergência do método. E para o método previsor-corretor, a precisão utilizada foi ε = A análise será realizada observando o erro máximo absoluto (E), dado por E = max y(x i) y i, isto é, o maior valor da diferença entre a solução numérica e a 1 i,j n 1 analítica, em módulo. Tabela 1: Comparação do valor do erro máximo absoluto para o Problema 1. Malha Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4 Previsor-corretor Grossa e e e-03 Intermediária e e e-03 Fina e e e-04 A Tabela 1 representa o erro máximo absoluto, em outras palavras, é o maior valor do erro global apresentado, e pode-se notar que os valores do erro apresentado pelo método de Runge- Kutta de quarta ordem é menor que nos demais métodos, apesar da diferença ser pequena, mostrando competitividade entre os métodos. 18

8 Figura 1 - Erro global dos métodos numéricos no Problema 1 para a malha fina Na Figura 1 é mostrado o erro global dos métodos numéricos em relação à solução analítica, isto é, o módulo da diferença entre a solução numérica e a solução analítica, sendo que o eixo das ordenadas do gráfico está em escala logarítmica. E com isso, nota-se que o método de Runge-Kutta de quarta ordem foi mais eficaz que os outros dois métodos, isso quer dizer que, o método tem uma maior qualidade de produzir uma resposta correta para problema (CHERRI et al., 2012), apesar da competitividade apresentada na Tabela 1, ao ser avaliado ao longo de todo o domínio, nota-se que o método Runge-Kutta de quarta ordem se destaca. E comparando o método previsor-corretor com o Runge-Kutta de segunda ordem, nota-se que há uma boa competição entre os métodos, no entanto, o método de Runge-Kutta sempre tem uma melhor eficácia, ao longo do domínio. 4.2 Problema 2 O calor transferido de um corpo para seu ambiente por radiação, baseado na lei de Stefan- Boltzman, é descrito pela equação diferencial du dt = α(u4 T 4 (11) ), onde u(t) é a temperatura absoluta do corpo no instante t, T é a temperatura absoluta do ambiente e α é uma constante que depende dos parâmetros físicos do corpo. No entanto, se u for muito maior do que T, as soluções da equação (10) podem ser aproximadas por soluções da equação mais simples du dt = (12) αu4. Suponha que um corpo, a uma temperatura inicial de 2000 K, está em um meio à temperatura de 300 K e que α = 2, K 3 /s. Sabendo que u(0) = 2000 e que a solução analítica é dada por u(t) = , pode-se resolver o problema utilizando a equação (12) (BOYCE; 1+0,048t DIPRIMA, 2010). Dessa forma, a variação da temperatura entre os instantes 0 a 150 s é determinada, verificando também, a convergência dos métodos e a comparação entre eles. 19

9 Para a resolução desse problema, é necessário dispor do espaçamento h utilizado, dessa forma, foram consideradas três malhas: grossa (h = 0.5), intermediária (h = 0.25) e fina (h = 0.1). Inicialmente, verifica-se os valores de h escolhidos, isto é, se eles satisfazem o critério de convergência, então h < 2 = 2 f(t n,un ) un = , ou seja, os valores escolhidos estão de acordo com a convergência do método. E para o método previsor-corretor, a precisão utilizada foi ε = A análise será realizada observando o erro máximo absoluto (E), dado por E = max y(x i) y i, isto é, o maior valor da diferença entre a solução numérica e a 1 i,j n 1 analítica, em módulo. Tabela 2: Comparação do valor do erro máximo absoluto para o Problema 2. Malha Runge-Kutta 2 Runge-Kutta 4 Previsor-corretor Grossa e e Intermediária e e Fina e e e-01 A Tabela 2 representa o erro máximo absoluto, em outras palavras, é o maior valor do erro global apresentado, e pode-se notar que os valores do erro apresentado pelo método de Runge- Kutta de quarta ordem é menor que nos demais métodos. Analisando separadamente, observase que o método previsor-corretor apresentou erros altos para esse problema, já o Runge-Kutta de segunda ordem apresentou resultados consideráveis. Figura 2 - Erro global dos métodos numéricos no Problema 2 para a malha grossa no início do intervalo Na Figura 2 é mostrado o erro global dos métodos numéricos em relação à solução analítica, isto é, o módulo da diferença entre a solução numérica e a solução analítica, sendo que o eixo das ordenadas do gráfico está em escala logarítmica e o eixo do domínio está reduzido apenas para uma pequena parte do intervalo, mas ressalta-se que ao longo do domínio o gráfico de cada método mantém-se coerente com o apresentado. E da mesma forma do problema anterior, notase que o método de Runge-Kutta de quarta ordem foi mais eficaz que os outros dois métodos, 20

10 isso quer dizer que, o método tem uma maior qualidade de produzir uma resposta correta para problema (CHERRI et al., 2012). Comparando o método previsor-corretor com o Runge-Kutta de segunda ordem, nota-se que o segundo se destacou, apresentando erros menores. 5 Conclusão No trabalho apresentado, os métodos de Runge-Kutta de segunda e quarta ordem e previsorcorretor foram utilizados com o objetivo de analisar seus resultados comparando-os com a solução analítica encontrada na literatura. Existem situações em que é preferível um método numérico ao método analítico ainda que este exista, por exemplo se a solução para um problema envolve muitos cálculos. A maior parte dos problemas concretos são, em geral, complexos e envolvem fenômenos não lineares, pelo que é comum de se encontrar numa situação em que os conhecimentos de matemática não são suficientes para a descoberta de uma solução exata para um problema real. Com o estudo e desenvolvimento dos métodos numéricos pode-se concluir que para obter resultados coerentes e precisos, utilizando os métodos já mencionados, é necessário uma correta implementação do problema, atentando-se para a discretização do domínio e a correta substituição das aproximações na equação do problema em questão. Os métodos numéricos apresentados neste trabalho são métodos de implementação simples e produzem soluções eficientes para diversos problemas envolvendo equações diferenciais. De acordo com os problemas apresentados neste trabalho, nota-se que o método de Runge- Kutta de quarta ordem foi mais eficaz em relação aos métodos estudados, o que era esperado, pois o método de Runge-Kutta é um método que apresenta erro de quarta ordem. 6 Referências BARATTO, G. Solução de equações diferenciais ordinárias usando métodos numéricos. Versão 0.1. Fevereiro de Notas de aula. BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico com aplicações. 2. ed. São Paulo: Harbra, BORTOLI, A. L. de et al. Introdução ao cálculo numérico. 2. ed. Porto Alegre: [s.n.], Disponível em: < Acesso em: 07 dez BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, CHERRI, A. et al. Métodos numéricos computacionais Notas de Aula. CUMINATO, J. A.; MENEGUETTE JUNIOR, M. Discretização de equações diferenciais parciais: técnicas de diferenças finitas. Rio de Janeiro: SBM, FORTUNA, A. O. Técnicas computacionais para dinâmica dos fluidos: conceitos básicos e aplicações. 2. ed. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, GILAT, A.; SUBRAMANIAM, V. Métodos numéricos para engenheiros e cientistas: uma introdução com aplicações usando o MATLAB. Porto Alegre: Bookman,

11 RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, SANTOS, S. G. dos. Solução numérica de PVI: Método previsor-corretor de maio de Notas de Aula. VALLE, K. N. F. Métodos numéricos de Euler e Runge-Kutta f. Monografia (Especialização) - Programa de Pós-graduação em Matemática Para Professores Com Ênfase em Cálculo, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, Disponível em: < Acesso em: 07 dez ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning,