Aplicação dos Métodos de Euler e de Euler Melhorado na Resolução de uma Equação Diferencial Ordinária.

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1 Aplicação dos Métodos de Euler e de Euler Melhorado na Resolução de uma Equação Diferencial Ordinária. Rodrigo Romais (FCSGN) * r.romais@gmail.com Resumo: Métodos numéricos são extremamente úteis na resolução de muitos problemasfísicos que são em geral modelados por equações diferenciais ordinárias, e surgem como alternativa para a obtenção de resultados que quase sempre não podem ser obtidos por procedimentos analíticos. Dentre os métodos numéricos utilizados na resolução de equações diferenciais ordinárias destaca-se os Métodos de Euler e de Euler Melhorado, pela simplicidade de implementação computacional e, também, pela facilidade na obtenção dasaproximações de suas versões, diferenciando dos métodos cujo desenvolvimento parte da expansão em série de Taylor. Em se tratando da resolução numérica de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, este trabalho objetiva apresentar e aplicar os Métodos de Euler na resolução de um problema governado pela lei de resfriamento de Newton com solução analítica conhecida, de maneira a confrontar os resultados numéricos advindos das aproximações com o analítico. Palavras-chave: Métodos de Euler, Equações Diferenciais Ordinária, Lei de Resfriamento de Newton. Abstract: Numerical methods are extremely useful in solving many problemasfísicos which are usually modeled by ordinary differential equations, and are an alternative for obtaining results that often can not be achieved by analytical procedures. Among the numerical methods used to solve differential equations stands out the methods Euler and Euler enhanced, for simplicity of computational implementation, and also the ease in obtaining dasaproximações of its versions, whose differentiating methods of development of the expansion Taylor series. In the case of the numerical solution of ordinary differential equations of the first order, this paper aims to present and apply the Euler methods in solving a problem governed by Newton's law of cooling with known analytical solution in order to confront the numerical results arising from the approaches to the analytical. Keyword: Euler Methods, Ordinary Differential Equations, Newton's Law of Cooling. 1. INTRODUÇÃO A resolução de uma equação diferencial ordinária (EDO) pode ser encontrada em aplicações como reações químicas, decaimento radioativo e corpos em queda. No entanto, nem toda equação diferencial apresenta solução analítica. Para se contornar esta problemática, surgem * Rodrigo Romais, Licenciado em Matemática pela Universidade do Estado de Mato Grosso (UNEMAT, Sinop, 2011), Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual Paulista Julho de Mesquita Filho (UNESP, Ilha Solteira, 2014). Atualmente docente do ensino superior na Faculdade de Ciências Sociais de Guarantã do Norte-MT, Rua Jequitiba, nº 40, Jardim Aeroporto. Cep.: r.romais@gmail.com. Julho de

2 os métodos numéricos. Em se tratando da resolução de EDO s de primeira ordem, destacam-se os Métodos de Euler e Euler Melhorado, devido à relativa facilidade de obtenção dos seus algoritmos (aproximações) e também, pela facilidade em que os mesmos apresentam em termos de implementação computacional. O que define o grau de uma EDO é a ordem da derivada da função objetivo, a EDO é de primeira ordem porque a derivada da função é de primeira ordem. Este trabalho tem por objetivo, apresentar e aplicar os Métodos de Euler e de Euler Melhorado na resolução de um problema referente ao estudo da variação da temperatura de um corpo meio a um ambiente termicamente controlado (Lei de Resfriamento de Newton), de maneira a se constatar dentre os métodos aproximados aquele que mostrou ser o mais eficiente, além de apresentar uma alternativa de resolução de uma equação diferencial ordinária, mediante a importância das suas aplicações. 2. PROBLEMA MODELO Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem fica expressa conforme equação (1) e é toda equação do tipo: (1) Em que é a função incógnita ou solução da EDO; é a derivada de primeira ordem da função incógnita; e Q(t) são funções da variável independente. O problema modelo é governado pela lei de Resfriamento de Newton e é contemplada conforme equação (2): (2) Em que é a temperatura do corpo variável ao longo do tempo ; é a derivada de primeira ordem da função incógnita em relação ao tempo ; representa a Temperatura Ambiente é um valor numérico, uma constante; é um coeficiente de proporcionalidade, expresso em valor absoluto. O sinal negativo na Equação (2) indica que, se a temperatura for superior a então o corpo perde temperatura para o meio, isto é, a taxa de variação é negativa, caso contrário, o corpo ganha temperatura do meio, portanto, a taxa de variação positiva. 2

3 Para melhor expressar o problema modelo é apresentada uma ilustração conforme Figura 1. Figura 1 Representação do Problema Modelo Fonte: Próprio Autor O problema modelo é um problema de valor inicial (PVI), isto é, necessita de condições iniciais para sua resolução. As condições propostas é que a temperatura do meio termicamente controlado (sempre constante), a temperatura inicial do objeto (condição inicial) e a sua temperatura decorridos 10 minutos.necessário encontrar inicialmente o valor para a constante do objeto e consequentemente, a sua temperatura no instante de 22 minutos Resolução Analítica do Problema Modelo A equação (2) pode ser reescrita assim como expressa a equação (3). (3) Fazendo analogia entre a equação (3) com a equação (1), constata-se as igualdades expressas nas equações (4) e (5): (4) (5) A solução da equação (2)utilizando a técnica do fator integrante é expressa pela equação (6). (6) Da equação (6), a função é dada pela equação (7): 3

4 Substituindo as equações (4), (5) e (7) na equação (6) e, realizando-se algumas operações algébricas, tem-se: (7) Em que é uma constante de integração. Fazendo duas substituições de e Com o desenvolvimento algébrico resultando na equação (8), assim: (8) A equação (8) é chamada de solução geral da EDO. Como condição inicial admitimos que quando o tempo é igual a zero, a temperatura do corpo é, e dessa forma, a solução particular da equação 2 fica expressa por: Substituindo na equação (8): m Encontra-se a solução particular do problema para, conforme expresso na equação (9). (9) Do problema modelo é conhecido que a temperatura inicial do corpo e que a sua temperatura após 10 minutos é de, pode-se agora encontrar o valor da constante, assim como expressa a equação 10, com seu respectivo desenvolvimento algébrico. 4

5 Aplicando a função logarítmica na equação: (10) Conhecido o valor de, a função de temperatura do corpo fica expressa pela equação (11). A Figura 2 ilustra a variação da temperatura da barra ao longo do tempo. (11) Figura 2 - Variação de temperatura do corpo conforme problema modelo. Fonte: Próprio Autor Conforme equação (11) é possível determinar a temperatura do corpo no decorrer de 22 minutos. Para o instante de 22 minutostemos a temperatura em graus celcius: Esta é a resolução analítica do problema modelo, em outras palavras, esta solução chamada de solução real do problema modelo. Esta é a solução que será comparada com a resolução aproximada advinda dos métodos de Euler e de Euler Melhorado. 5

6 2.2. Métodos Numéricos Basicamente, o desenvolvimento e consequentemente, a melhoria das aproximações de métodos numéricos aplicados a resolução de equações diferenciais ordinárias fundamentam-se em séries de Taylor, cuja melhoria das aproximações ficam atreladas ao termo do truncamento da mesma. Para resolução de EDO s de primeira ordem segundo esta metodologia, destacam-se os métodos de Euler e Euler Melhorado, cujas aproximações são definidas mediante o truncamento dos termos de primeira e segunda ordem da série respectivamente. Para a obtenção de aproximações de ordem superior segundo a expansão em séries de Taylor, o procedimento algébrico utilizado na determinação dos algoritmos se torna cada vez mais complexo, havendo necessidade de obter derivadas de ordens superiores. A expressão geral para estimara o método de Eulere de Euler Melhorado é expressa pela equação 12. (12) Com variando de até. Em que são constantes para cada método de ordem ; ; sendo e constantes para cada método de ordem, para. Em seguida são apresentados os Métodos de Euler e de Euler Melhorado. Mais detalhes sobre o método podem ser encontrados nos trabalhos de Romais(2009) e Ruggiero(1996), como também sobre as referentes equações diferencias em Boyce&DiPrima(1994) e Zill(2003) Método de Euler Seja a EDO, com condições iniciais e. Deseja-se obter, para. Com as condições e conforme equação (12) é expressa a equação (13). (13) Em que é uma constante para o método de Euler; e, onde é o tamanho do intervalo e é a função derivada no ponto 6

7 Método de Euler Melhorado Pelo mesmo procedimento utilizado na dedução anterior da expressão do método de Euler Melhorado conforme equação 14, também conhecida como método de Heun, por expansão da série de Taylor: (14) Em que ; e 1 ; também ainda, com e Resolução Aproximada do Problema Modelo Para a verificação do erro gerado nas duas aproximações, aqui utiliza-se a medida de erro percentual relativo, assim como expressa a equação (15). Em que é a solução obtida pelo procedimento analítico, real; é a solução obtida pelo procedimento aproximado, métodos. Uma vez que o erro relativo é dado em porcentagem. Para a verificação das aproximações segundo os métodos citados aqui são utilizadas respectivamente 5, 10 e 20 partições no intervalo do problema modelo que varia de 10 a 22 minutos, lembrando que temperatura de interesse é referente ao tempo de 22 minutos Aproximações utilizando cinco particões de domínio Realizando as iterações com cinco partições de domínio obtém-se as aproximações para os métodos de Euler e de Euler Melhorado. A Tabela 1 apresenta os valores das aproximações para os dois métodos considerando cinco partições no intervalo de tempo de interesse. Tabela 1- Aproximações para cinco partições e o erro encontrado. Método de Euler (15) Método de Euler Melhorado 40, , , , , , , , , ,

8 24, , , , O erro encontrado é relativo, varia conforme a grandiosidade do problema. Aqui, o problema refere-se a uma temperatura de um corpo disposto emum ambiente termicamente controlado, por se tratar de temperatura, dada em graus célsius, é aceito um erro de 2% quando comparado as soluções, analítica e aproximada. Uma vez que o erro é encontrado, isto é, é calculada a distância entre as soluções constata-se um erro relativo de 2,5% para o Método de Euler e 0,76% para o Método de Euler Melhorado Aproximações utilizando dez particões de domínio Realizando as iterações com dez partições de domínio obtém-se as aproximações para os métodos de Euler e de Euler Melhorado. A Tabela 2 apresenta os valores das aproximações para os dois métodos considerando dez partições no intervalo de tempo de interesse. Tabela 2- Aproximações para dez partições e o erro encontrado. Método de Euler Método de Euler Melhorado 10 40, , ,2 38, , ,4 36, , ,6 34, , ,8 33, , , , ,2 30, , ,4 28, , ,6 27, , ,8 26, , , , , , A tendencia de que quando se aumentam as partições de domínio, consequentente é aumentado o número de iterações, e o erro relativo diminui, isto é, a solução aproximada está mais próxima da solução real Aproximações utilizando vinte particões de domínio 8

9 Realizando as iterações com vinte partições de domínio obtém-se as aproximações para os métodos de Euler e de Euler Melhorado. A Tabela 3 apresenta os valores das aproximações para os dois métodos considerando vinte partições no intervalo de tempo de interesse. Tabela 3- Aproximações para vinte partições e o erro encontrado. Método de Euler Método de Euler Melhorado 10 40, , ,6 39, , ,2 38, , ,8 37, , ,4 36, , , , ,6 34, , ,2 33, , ,8 33, , ,4 32, , , , ,6 30, , ,2 30, , ,8 29, , ,4 28, , , , ,6 27, , ,2 26, , ,8 26, , ,4 25, , , , Erro(%) 0, , Quando aumentam-se as partições de domínio, ambos os métodos apresentam soluções mais satisfatórias, com menor erro. O Método de Euler apresentou um erro inferio a 0,6% enquanto que o Método de Euler Melhorado apresentou um erro ainda mais próximo de zero, 0,04%. 3. CONCLUSÕES Como comentado anteriormente, os métodos de Euler e Euler Melhorado mostram-se como forma alternativa de resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, sendo de fundamental importância em se tratando de problemas desprovidos de solução analítica. A metodologia de se resolver um problema físico com solução analítica mostrou ser 9

10 interessante sobre dois aspectos, um motivando o estudo de métodos analíticos e numéricos de resolução de equações diferenciais ordinárias e o outro, para se discutir de forma clara os erros encontrados nas aproximações. É importante destacar que, em se tratando de problemas sem soluções analíticas conhecidas, a solução do problema para algum valor de domínio de interesse é encontrada quando a diferença entre dois valores sucessivos calculados sobre o mesmo ponto para várias malhas, com aumento progressivo, é menor que uma tolerância (erro) pré-estabelecida. Como era de se esperar, os resultados advindos da versão de Euler Melhorado aplicados na resolução do problema modelo, independente da malha, mostrou ser mais preciso que o Método de Euler. Também, da Tabela 3, percebe-se que para uma malha com vinte partições, o método de Euler de primeira ordem já foi capaz de apresentar uma solução aproximada com erro em torno de 0,6 %. Para finalizar, a utilização de um Método de Euler pode apresentar resultados satisfatórios a medida em que a malha do problema é aumentada, o que acarreta em um número maior de iterações e consequentemente, aumento em trabalho computacional. REFERÊNCIAS BOYCE, W. E.; Di PRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 5ª Ed. Rio de Janeiro. Guanabara Koogan, ROMAIS, R.; BENETTI, D.; CHRISTOFORO, A. L; REIS Jr, D. V. Aplicação de Alguns Métodos de Runge-Kutta na Resolução de equações diferenciais ordinárias. II Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional da Região Centro-Oeste, UNEMAT, Sinop MT, RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionais. 2 ed. São Paulo. Pearson Makron Books, ZILL, D.G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. 1ª Ed. São Paulo. Thomson,